高三)寒假课程第4讲——三角函数(二)
高三数学 教师寒假培训4--三角函数二轮复习专题讲座
基本策略：（三角函数的化简与求值）
• 3．三角函数式的化简原则一是 统一角，二是统一函数名，三 是考虑升降次数；三角函数化 简的方法主要是弦切互化，求值）
• 4．三角函数式化简的要求： • ①能求出值的应求出值； • ②尽量使三角函数名最少； • ③尽量使项数最少； • ④尽量使分母不含三角函数； • ⑤尽量使被开方数不含三角函数； • ⑥注意“1”的代换； • ⑦关注角的范围，特别是用平方关系求三角
用题）
15
谢谢！
16
和差；
1
• 基本策略 (三角函数的图象和性质)
• 1．三角函数图像与性质的问题呈 现的形式有三种：①正面呈现，给 出三角函数解析式，研究它的性质； ②给出函数的一部分性质，研究它 的其它性质，如例3；③以图象形 式呈现，给出函数
• y＝Asin(wx＋)的一部分图象，如
例2（1）．
2
• 基本策略：(三角函数的图象和性质)
• 2．根据三角函数的图象求解函数的解 析式时，要注意从图象提供的信息确定 三角函数的性质，如最小正周期、最值， 首先确定函数解析式中的部分系数，再 根据函数图象上的特殊点的坐标适合函 数的解析式确定解析式中剩余的字母的 值，同时要注意解析式中各个字母的范 围．
3
基本策略：（三角函数的化简与求
值）
13
• 3．三角恒等变换的核心是根据角 之间的关系，选择适当的三角公式， 特别多关注两角和与差的公式的应 用，在求值时还应强调三角函数值 的符号由角的范围确定．
• 4．上述一些例题仅供参考，教学 中应适当增加一些相似题、变式题， 同时还需选择一定量的练习加以巩 固．
14
5．本单元二轮专题和课时建议：
专题
内容说明
第四讲+简单的三角恒等变换 课件——2025届高三数学一轮复习
【题后反思】(1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求 角”用“已知角”表示.①当“已知角”有两个时，“所求角”一 般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一 个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系.
(2)常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β， β＝α＋2 β－α－2 β，α＝α＋2 β＋α－2 β，α－2 β＝α＋β2－α2＋β等.
1－cos α 2.
(2)cos α2＝± (3)tan α2＝±
1＋cos α 2.
1－cos 1＋cos
αα＝1＋sicnoαs
α＝1－sincoαs
α .
以上称之为半角公式，符号由α2所在象限决定.
考点一 三角函数式的化简 1.化简：22tcaonsπ44x－－x2scions22π4x＋＋12x＝________.
2025年高考一轮总复习
第三章 三角函数、解三角形
第四讲 简单的三角恒等变换
1.辅助角公式的应用 (1)a sin α＋b cos α＝ a2＋b2sin α· a2a＋b2＋cos α· a2b＋b2， 不妨记 cos φ＝ a2a＋b2，sin φ＝ a2b＋b2， 则 a sin α＋b cos α＝ a2＋b2(sin αcos φ＋cos αsin φ)＝ a2＋b2sin (α＋φ).
答案：B
考向 3 给值求角
[例 3]已知 α，β∈(0，π)，且 tan(α－β)＝21，tan β＝－17，则 2α－β 的值为________.
解析：∵tan α＝tan [(α－β)＋β]＝1t－ant(aαn－(αβ－)＋β)ttaannββ ＝1＋12－12×17 17＝13＞0， ∴0＜α＜π2.
高考数学总复习讲座第四讲复习三角函数
高考数学总复习讲座第四讲复习三角函数一、本讲进度《三角函数》复习二、本讲要紧内容1、三角函数的概念及象限角、弧度制等概念；2、三角公式，包括诱导公式，同角三角函数关系式和差倍半公式等；3、三角函数的图象及性质。
三、学习指导1、角的概念的推广。
从运动的角度，在旋转方向及旋转圈数上引进负角及大于3600的角。
如此一来，在直角坐标系中，当角的终边确定时，其大小不一定（通常把角的始边放在x 轴正半轴上，角的顶点与原点重合，下同）。
为了把握这些角之间的联系，引进终边相同的角的概念，凡是与终边α相同的角，都能够表示成k ·3600+α的形式，特例，终边在x 轴上的角集合{α|α=k ·1800，k ∈Z}，终边在y 轴上的角集合{α|α=k ·1800+900，k ∈Z}，终边在坐标轴上的角的集合{α|α=k ·900，k ∈Z}。
在已知三角函数值的大小求角的大小时，通常先确定角的终边位置，然后再确定大小。
弧度制是角的度量的重要表示法，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记专门角的弧度制。
在弧度制下，扇形弧长公式=|α|R ，扇形面积公式||R 21R 21S 2α==，其中α为弧所对圆心角的弧度数。
2、利用直角坐标系，能够把直角三角形中的三角函数推广到任意角的三角数。
三角函数定义是本章重点，从它能够推出一些三角公式。
重视用数学定义解题。
设P(x ，y)是角α终边上任一点（与原点不重合），记22y x |OP |r +==，则r y sin =α，r xcos =α，xy tan =α，yxcot =α。
利用三角函数定义，能够得到（1）诱导公式：即α+πt 2k与α之间函数值关系（k ∈Z ），其规律是“奇变偶不变，符号看象限”；（2）同角三角函数关系式：平方关系，倒数关系，商数关系。
3、三角变换公式包括和、差、倍、半公式，诱导公式是和差公式的特例，对公式要熟练地正用、逆用、变用。
人教A版高中数学必修四课件：任意角三角函数(第二课时).pptx
叫做
的正切，记作
tan.
即 tan y (x 0)
x
临海市杜桥中学数学组陈永才
2019年10月30日星期三
三角函数值的符号 口诀：一全二正弦 三切四余弦
正全 切余
临海市杜桥中学数学组陈永才
2019年10月30日星期三
思1.考公：式角一(与诱2导k公式一(k): Z ) 的同名三角函数值大小 有何关系？为什么si?n(2k ) sin
o
x
PT
的终边
(Ⅳ)
2019年10月30日星期三
思考：能不去掉绝对值符号,使得线段ＯＭ,ＭＰ的值与
的正负是一致呢？怎样规定？
有向线段：规定了方向的线段.
规定:与坐标轴方向一致时为正,与坐标方向相反时为负.
y CA
o D
有向线段AB:方向A→B；记作 AB 值为正
B
有向线段BA:方向B→A；记作 BA 值为负
即：sin与 sin(2k ) ccooss(2与kcos(2)) ktan)
提问:你能用文字语言怎样描述公式一吗?有何作用? 终边相同的角的同一三角函数的值相等
作用:利用公式一,可以把求任意角的三角函数值都转化 为求0～2(或0º～360º)角的三角函数值。
的终边 y
P
Mo
A(1,0)
x
y T 的终边
P
A(1,0)
oM
x
T
(Ⅱ)
(Ⅰ)
临海市杜桥中学数学组陈永才
2019年10月30日星期三
的终边 y
P
Mo
A(1,0)
x
T (Ⅱ)
yT
M
o
A(1,0)
x
高三冲刺课程第4讲 三角函数与平面向量(学生版)
三角函数与平面向量一、要点归纳三角函数部分一．三角函数定义1．定义---在角α的终边上任取一个异于原点的点),(y x P ，点P 到原点的距离记为(0)r r =>，那么sin y r α=； cos x r α=； tan yxα=； 2．三角函数定义域与值域3二．三角函数基本公式 1．同角三角函数关系平方关系：22sin cos 1αα+=，商数关系：sin tan cos ααα= 2．诱导公式 （1）sin()cos ,cos()sin ,tan()cot 222πππαααααα±=±=±=±（2）sin()sin ,cos()cos ,tan()tan πααπααπαα±=±=-±=±（3）333sin()cos ,cos()sin ,tan()cot 222πππαααααα±=-±=±±=± 3．和、差、倍角公式（1）sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±，sin 22sin cos ααα=（2）cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=，22cos 2cos sin ααα=-（3）tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=，22tan tan 21tan ααα=-三．三角函数的基本性质1. 正弦函数、余弦函数、正切函数的图像2．三角函数的单调区间x y sin =的递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-2222ππππk k ，)(Z k ∈，递减区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡++23222ππππk k ，)(Z k ∈； x y cos =的递增区间是[]πππk k 22，-)(Z k ∈，递减区间是[]πππ+k k 22，)(Z k ∈， y tanx =的递增区间是⎪⎭⎫ ⎝⎛+-22ππππk k ，)(Z k ∈，3.函数B x A y ++=)sin(ϕω），（其中00>>ωA最大值是B A +，最小值是A B -，A 叫振幅，周期是ωπ2=T ，频率是πω2=f ，相位是ϕω+x ，初相是ϕ；其图象的对称轴是直线)(2Z k k x ∈+=+ππϕω，凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心。
三角函数高三知识点
三角函数高三知识点三角函数是数学中的重要概念，在高三数学学习中也是一个关键的知识点。
本文将全面介绍三角函数的相关知识，包括定义、性质和应用。
希望通过本文的介绍，能够帮助读者更好地理解和掌握三角函数的内容。
一、三角函数的定义三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，它们的定义如下：1. 正弦函数（sine function）：正弦函数是一个周期函数，用sin表示，定义为在直角三角形中，对于给定角的正弦值等于对边的长度与斜边的长度之比。
2. 余弦函数（cosine function）：余弦函数也是一个周期函数，用cos表示，定义为在直角三角形中，对于给定角的余弦值等于邻边的长度与斜边的长度之比。
3. 正切函数（tangent function）：正切函数是一个无穷函数，用tan表示，定义为对于给定角的正切值等于对边的长度与邻边的长度之比。
二、三角函数的性质三角函数有许多重要的性质，下面介绍几个常用的性质：1. 周期性：正弦函数和余弦函数的周期都是2π，而正切函数的周期是π。
2. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-x)=-sin(x)；余弦函数是偶函数，即cos(-x)=cos(x)；正切函数是奇函数，即tan(-x)=-tan(x)。
3. 反函数关系：正弦函数和余弦函数是一对反函数，tan(x)=sin(x)/cos(x)。
三、三角函数的应用三角函数在数学中有广泛的应用，以下是三个常见的应用场景：1. 几何学：三角函数在几何学中被广泛应用，例如求解三角形的边长和角度、计算图形的面积和体积等。
2. 物理学：三角函数在物理学中的应用也很重要，例如描述物体振动的运动规律、计算力学问题中的作用力和分力等。
3. 工程学：在工程学中，三角函数可以用于测量和计算建筑、机械等方面的问题，例如测量高楼的高度和角度、设计机械传动系统等。
总结：三角函数是高三数学中的重要知识点，它们的定义、性质和应用都非常关键。
通过学习三角函数，我们可以更好地理解和解决各种数学、物理和工程学中的问题。
高中数学必修四三角函数知识点
高中数学必修四三角函数知识点高中数学必修四三角函数知识点详解角是我们在几何学中经常接触到的重要概念，而三角函数则是与角密切相关的一类函数。
在高中数学必修四中，三角函数是一个重要的知识点，对于数学学习的深入和数学建模的实践具有重要的意义。
本文将结合具体例子，详细介绍高中数学必修四三角函数的相关知识。
一、正弦函数和余弦函数正弦函数和余弦函数是最基本、最常用的两个三角函数。
我们首先从几何解释的角度来理解它们。
对于一个角A，我们可以根据角A所在的单位圆上的点(x,y)的坐标值，得到角A的正弦值sinA和余弦值cosA。
而正弦函数sinx和余弦函数cosx则是将角x所对应的正弦值和余弦值关系式表示的函数。
举个例子来说明，假设有一角x=30°，那么根据单位圆上的坐标特点，点(x,y)的坐标值为(√3/2,1/2)。
因此，角x的正弦值sinx=1/2，余弦值cosx=√3/2。
我们可以用这样的方法，通过观察和计算，来确定正弦函数和余弦函数的函数图像和性质。
二、正切函数和余切函数正切函数和余切函数是另外两个重要的三角函数。
正切函数tanx和余切函数cotx则是将角x所对应的正切值和余切值关系式表示的函数。
我们以正切函数为例，来解释一下它的定义和性质。
对于一个角A，我们可以根据角A所在的单位圆上的点(x,y)的坐标值，得到角A的正切值tanA。
正切函数tanx就是将角x所对应的正切值关系式表示的函数。
正切函数tanx的一个重要特点是周期性。
考虑tanx的函数图像，我们可以观察到在每个周期内，tanx呈现出规律的周期性变化。
而周期为π的函数图像在整个定义域上都是无穷区间波动的。
三、其他三角函数除了上述介绍的正弦函数、余弦函数、正切函数和余切函数之外，还有其他一些与三角函数密切相关的函数，如割函数secx和余割函数cscx等。
割函数和余割函数定义如下：割函数secx是角x对应的余弦倒数的函数，余割函数cscx是角x对应的正弦倒数的函数。
高三数学三角函数知识点
高三数学三角函数知识点一、概述数学中的三角函数是一个重要的概念，主要包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
在高三数学学习中，掌握三角函数的相关知识点可以帮助我们解决各种复杂的几何问题，同时也是高考数学必考的内容。
二、正弦函数与余弦函数1.定义正弦函数(sin)：在直角三角形中，对于一个锐角A，正弦函数的值等于对边与斜边的比值，即sinA=对边/斜边。
余弦函数(cos)：在直角三角形中，对于一个锐角A，余弦函数的值等于邻边与斜边的比值，即cosA=邻边/斜边。
2.性质- 正弦函数的定义域为实数集，值域为[-1,1]。
- 余弦函数的定义域为实数集，值域为[-1,1]。
- 正弦函数与余弦函数的图像均为周期函数，周期为2π或360°。
三、正切函数与余切函数1.定义正切函数(tan)：在直角三角形中，对于一个锐角A，正切函数的值等于对边与邻边的比值，即tanA=对边/邻边。
余切函数(cot)：在直角三角形中，对于一个锐角A，余切函数的值等于邻边与对边的比值，即cotA=邻边/对边。
2.性质- 正切函数的定义域为实数集，值域为全体实数。
- 余切函数的定义域为实数集，值域为全体实数。
- 正切函数与余切函数的图像均为周期函数，周期为π或180°。
四、三角函数的基本关系1.正弦函数与余弦函数的关系- sin(π/2 - A) = cosA- cos(π/2 - A) = sinA2.正切函数与余切函数的关系- tanA = 1 / cotA- cotA = 1 / tanA3.正弦函数与余切函数的关系- sinA / cotA = cosA- cotA / sinA = cosA五、三角函数的图像与性质1.正弦函数与余弦函数的图像- 正弦函数为奇函数，图像关于原点对称。
- 余弦函数为偶函数，图像关于y轴对称。
2.正切函数与余切函数的图像- 正切函数为奇函数，图像关于原点对称。
- 余切函数为奇函数，图像关于原点对称。
高中数学 第一章 三角函数 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(2)课件 新人教A版必修4.ppt
②cos 1，sin 1. 解 因为 cos 1＝sinπ2－1，而 0＜π2－1＜1＜π2且 y＝sin x 在0，π2上单调递 增，所以 sinπ2－1＜sin 1， 即cos 1＜sin 1.
解析答案
类型二 求三角函数的单调区间 例 2 求函数 y＝2sinπ4－x的单调递增区间.
反思与感悟 解析答案
x∈－π3，π3的单调递减区间为－π3，－29π，π9，π3.
解析答案
类型三 正弦函数、余弦函数的最值问题 例 3 (1)已知函数 f(x)＝2asin x＋b 的定义域为－π3，23π，函数的最大值为 1，最小值为－5，求 a 和 b 的值. 解 ∵－π3≤x≤23π，∴－ 23≤sin x≤1. 若 a＞0，则－2a＋3ba＝＋1b，＝－5. 解得ab＝ ＝－ 122－36＋132，3.
跟踪训练 2 函数 y＝sin3x＋π6，x∈－π3，π3的单调递减区间为_－__π3_，__－__2_9π_， __π9_，__π3_______.
解析 由π2＋2kπ≤3x＋π6≤32π＋2kπ(k∈Z)， 得π9＋23kπ≤x≤49π＋23kπ(k∈Z). 又 x∈－π3，π3，所以函数 y＝sin3x＋π6，
∴f(x)max＝a＋b＝ 3，
f(x)min＝－ 23a＋b＝－2.
a＋b＝ 3，
由 －
23a＋b＝－2，
得ab＝ ＝－ 2，2＋ 3.
解析答案
(2)求函数y＝cos2x＋4sin x的最值及取到最大值和最小值时的x的集合.
解析答案
(2)比较下列各组数的大小：
①cos 158π，cos 149π； 解 cos 185π＝cos π8，cos 194π＝cos 49π， 因为 0＜π8 ＜49π＜π，而 y＝cos x 在[0，π)上单调递减，
第4讲 三角函数的图象与性质
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质
函数
y＝sin x
图象
y＝cos x
定义域 值域
R [_－__1_，__1_]__
R _[_－__1_，__1_] _
5
y＝tan x
{x|x∈R，且 x≠kπ＋ π2，k∈Z} _R________
上一页
返回导航
下一页
第四章 三角函数、解三角形
6
函数 奇偶性
y＝sin x ___奇__函__数__
返回导航
下一页
第四章 三角函数、解三角形
8
常用结论
1．函数 y＝Asin(ωx＋φ)和 y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期 T＝|2ωπ|，函数 y＝tan(ωx＋φ)
的最小正周期 T＝|ωπ|.
2．正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半周期，相邻的
对称中心与对称轴之间的距离是14周期．正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期． 3．三角函数中奇函数一般可化为 y＝Asin ωx 或 y＝Atan ωx 的形式，偶函数一般可化为
第四章 三角函数、解三角形
第4讲 三角函数的图象与性质
数学
第四章 三角函数、解三角形
1
01
基础知识 自主回顾
02
核心考点 深度剖析
03
方法素养 助学培优
04
高效演练 分层突破
上一页
返回导航
下一页
第四章 三角函数、解三角形
2
上一页
返回导航
下一页
第四章 三角函数、解三角形
3
一、知识梳理 1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 在正弦函数 y＝sin x，x∈[0，2π]的图象上，五个关键点是：(0，0)，(π2，1)，(π，0)， _(_3_2π_，__－__1_)，(2π，0)．
三角函数知识点总结高三
三角函数知识点总结高三高三三角函数知识点总结三角函数是数学中重要的分支之一，与几何形状和角度有关。
在高三数学学习中，三角函数是一个重要的内容。
下面是三角函数知识点的总结，包括正弦函数、余弦函数、正切函数以及它们的性质、图像和应用。
一、正弦函数（sin函数）1. 定义：正弦函数是一个周期函数，以2π为一个周期。
在单位圆上，任意角θ的正弦值可以通过点（cosθ，sinθ）的纵坐标得到。
2. 性质：（1）定义域：实数集R；（2）值域：[-1, 1]；（3）奇函数：sin(-θ) = -sinθ；（4）周期性：sin(θ+2kπ) = sinθ，k为整数；（5）对称轴：y = 0即x轴。
3. 图像：（1）在一个周期内，正弦函数的图像呈现一条锯齿状曲线；（2）幅度：正弦函数图像在y轴上的最大正值或最小负值，记为A；（3）相位：正弦函数图像在x轴上的最左端点对应的角度，记为θ0。
4. 应用：正弦函数的应用广泛，包括物理学、工程学等领域。
例如，震动学和周期性的现象研究中就会用到正弦函数。
二、余弦函数（cos函数）1. 定义：余弦函数是一个周期函数，以2π为一个周期。
在单位圆上，任意角θ的余弦值可以通过点（cosθ，sinθ）的横坐标得到。
2. 性质：（1）定义域：实数集R；（2）值域：[-1, 1]；（3）偶函数：cos(-θ) = cosθ；（4）周期性：cos(θ+2kπ) = cosθ，k为整数；（5）对称轴：y = 0即x轴。
3. 图像：（1）在一个周期内，余弦函数的图像呈现一条波浪状曲线；（2）幅度：余弦函数图像在y轴上的最大正值或最小负值，记为A；（3）相位：余弦函数图像在x轴上的最高峰对应的角度，记为θ0。
4. 应用：余弦函数的应用广泛，主要用于研究周期性的问题，如电流和电压的周期性变化等。
三、正切函数（tan函数）1. 定义：正切函数是一个周期函数，以π为一个周期。
在单位圆上，正切值可以通过点（cosθ，sinθ）的纵坐标除以横坐标得到。
高中数学 第一章 三角函数 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(2)教案 新人教A版必修4(1)
高中数学第一章三角函数 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（2）教案新人教A版必修4(1)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第一章三角函数1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（2）教案新人教A版必修4(1)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学第一章三角函数 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（2）教案新人教A版必修4(1)的全部内容。
1.4。
2 正弦函数、余弦函数的性质（二）1。
知识与技能（1)理解正弦函数、余弦函数的性质如周期性、单调性、奇偶性、对称性、最大值、最小值等知识。
（2）掌握正弦函数、余弦函数的图象与性质的灵活应用.2。
过程与方法在求形如y=A sin(ωx+φ)的函数的单调区间时,注意引导学生把ωx+φ看成一个整体，利用整体代换求出。
3.情感、态度与价值观让学生自己探究学习正、余弦函数的图象性质，领会从特殊推广到一般的数学思想，体会三角函数图象所蕴涵的和谐美,体会数形结合的思想,激发学生学习数学的兴趣。
重点：正弦函数、余弦函数的图象及主要性质（包括周期性、单调性、奇偶性、最值或值域)的应用，深化研究函数性质的思想方法.难点：正弦函数、余弦函数的图象与性质的应用。
1.下列函数中，以π为周期且在区间上为增函数的是()A。
y=sin B。
y=sin xC。
y=cos 2x D。
y=—cos 2x解析：由周期为π,排除A,B答案.又y=cos 2x易求递增区间为，k∈Z，从而C不正确.答案：D2.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中ω〉0，-π〈φ≤π,若f（x)的最小正周期为6π，且当x=时,f（x)取得最大值，则（)A。
高考三角函数知识点归纳
高考三角函数知识点归纳三角函数是高中数学中的一大重要内容，也是高考数学中的重点难点。
下面将围绕高考数学三角函数知识点进行归纳。
1.弧度制与角度制：-角度制：一个圆的周长定义为360度，1度等于圆周长的1/360。
-弧度制：一个圆的半径为1时，一个弧长等于半径的弧度数为1弧径(弧度)。
弧度应该是弧长和半径数的比值。
2.正弦、余弦、正切：- 正弦：在直角三角形中，对于一个锐角，将其对边的长度除以斜边的长度，所得的比值称为这个锐角的正弦，记作sin。
- 余弦：在直角三角形中，对于一个锐角，将其邻边的长度除以斜边的长度，所得的比值称为这个锐角的余弦，记作cos。
- 正切：在直角三角形中，对于一个锐角，将其对边的长度除以邻边的长度，所得的比值称为这个锐角的正切，记作tan。
3.基本三角函数的基本性质：- 周期性：sin和cos的周期都为2π，tan的周期为π。
- 奇偶性：sin是奇函数，cos是偶函数，tan是奇函数。
- 五个特殊值：sin0=0，sin30°=1/2，sin45°=√2/2，sin60°=√3/2，sin90°=1；cos0°=1，cos30°=√3/2，cos45°=√2/2，cos60°=1/2，cos90°=0；tan0°=0，tan30°=1/√3，tan45°=1，tan60°=√3，tan90° 不存在。
4.三角恒等式：- 余弦的平方加正弦的平方等于1：cos²x + sin²x = 1；- 倒角公式：sin(2x)=2sin(x)cos(x)，cos(2x)=cos²(x)-sin²(x)；- 和差公式：sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny, cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny。
推荐高中数学必修4三角函数优质课件：正弦函数、余弦函数的性质二 精品
[对点训练] 求函数 f(x)＝2sin2x＋2sin x－12，x∈π6，56π的值域． 解：令 t＝sin x，y＝f(x)， ∵x∈π6，56π，∴12≤sin x≤1，即12≤t≤1. ∴y＝2t2＋2t－12＝2t＋122－1，∴1≤y≤72， ∴函数 f(x)的值域为1，72.
【练习反馈】
在 [2kπ，π＋2kπ]，k ∈Z 上递减
∈Z 上递减
函数 最值
y＝sin x
y＝cos x
当 x＝ －π2＋2kπ ，k 当 x＝(2k＋1)π，k∈
∈Z 时，ymin＝－1； Z 时，ymin＝－1；
当 x＝π2＋2kπ ，k∈Z
当 x＝ 2kπ ，k∈Z 时，ymax＝1
时，ymax＝1
函数
(1)比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公式把 两个角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较．
(2)比较两个不同名的三角函数值的大小，一般应先化为 同名的三角函数，后面步骤同上．
[对点训练] 比较下列各组数的大小．
(1)cos－π8与 cos137π； (2)sin 194°与 cos 160°. 解：(1)cos－π8＝cosπ8， cos137π＝cosπ＋67π＝－cos67π＝cosπ7. ∵0＜π8＜π7＜π，且 y＝cos x 在(0，π)上单调递减， ∴cosπ8＞cosπ7，即 cos－π8＞cos137π.
(2)sin 194°＝sin (180°＋14°)＝－sin 14°， cos 160°＝cos(180°－20°)＝－cos 20°＝－sin 70°. ∵0°＜14°＜70°＜90°且 y＝sin x 在0，π2上单调递增， ∴sin 70°＞sin 14°，即－sin 14°＞－sin 70°. 故 sin 194°＞cos 160°.
高三数学知识点归纳sincos
高三数学知识点归纳sincos 高三数学知识点归纳：三角函数介绍：在高中数学中，三角函数是一个重要的知识点。
主要包括正弦函数（sin）和余弦函数（cos）。
本文将对高三数学中关于sincos 的知识点进行归纳和总结。
一、正弦函数（sin）1. 定义和性质正弦函数是一个周期函数，公式为：y = sin(x)，其中x为自变量，y为因变量。
它的定义域为实数集，值域为[-1, 1]。
由于是周期函数，其周期为2π。
2. 基本性质- 正弦函数的图像是一条连续的波浪线，呈现周期性变化。
- 在弧度制下，sin(0) = 0，sin(π/2) = 1，sin(π) = 0，sin(3π/2) = -1，sin(2π) = 0，即正弦函数的最值。
- 正弦函数的奇偶性：sin(-x) = -sin(x)，即正弦函数关于原点对称。
- 正弦函数的增减性：x1 < x2，则sin(x1) < sin(x2)。
3. 正弦函数的图像和图像的变换- 基本正弦函数的图像为一条通过原点的波浪线。
- 通过对基本正弦函数进行平移、伸缩和翻转等变换，可以得到不同形态的正弦函数图像。
二、余弦函数（cos）1. 定义和性质余弦函数是一个周期函数，公式为：y = cos(x)，其中x为自变量，y为因变量。
它的定义域为实数集，值域为[-1, 1]。
由于是周期函数，其周期为2π。
2. 基本性质- 余弦函数的图像是一条连续的波浪线，呈现周期性变化。
- 在弧度制下，cos(0) = 1，cos(π/2) = 0，cos(π) = -1，cos(3π/2) = 0，cos(2π) = 1，即余弦函数的最值。
- 余弦函数的奇偶性：cos(-x) = cos(x)，即余弦函数关于y轴对称。
- 余弦函数的增减性：x1 < x2，则cos(x1) > cos(x2)。
3. 余弦函数的图像和图像的变换- 基本余弦函数的图像为一条通过(π/2,1)的波浪线。
2025版高考数学总复习第4章三角函数解三角形第4讲三角函数的图象与性质考点2三角函数的单调性
三角函数的单调性1.求下列函数的单调区间：(1)y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的单调递减区间； (2)y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 4的单调区间； (3)y ＝－⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的单调递减区间． [解析] (1)∵y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3， ∴由2k π≤2x －π3≤2k π＋π(k ∈Z )， 得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z )． 即所求单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )． (2)y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 4＝－3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－π6， 由k π－π2<x 4－π6<k π＋π2， 解得4k π－43π<x <4k π＋83π(k ∈Z )． ∴函数的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫4k π－43π，4k π＋83π(k ∈Z )．无增区间． (3)画图知单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z )．2．(2023·洛阳模拟)若f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，2π3上是增函数，则ω的取值范围是 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34 .[解析] 解法一：∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，2π3(ω>0)， ∴ωx ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－πω2，2πω3， ∵f (x )＝2sin ωx 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，2π3上是增函数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ －πω2≥－π2，2πω3≤π2，ω>0，故0<ω≤34. 解法二：画出函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)的图象如图所示．要使f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，2π3上是增函数， 需⎩⎪⎨⎪⎧ －π2ω≤－π2，2π3≤π2ω，ω>0，即0<ω≤34. 解法三：由－π2＋2k π≤ωx ≤π2＋2k π(k ∈Z )得－π2ω＋2k πω≤x ≤π2ω＋2k πω(k ∈Z )，故f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω(k ∈Z )， 由题意⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，2π3⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω(k ∈Z ，ω>0)， 从而有⎩⎪⎨⎪⎧ ω>0，－π2ω≤－π2，π2ω≥2π3，即0<ω≤34. 名师点拨：三角函数单调性问题的解题策略1．求三角函数单调区间的两种方法：(1)代换法：求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式进行化简．化为y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的形式．求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．(2)图解法：若函数的图象能够容易画出，可利用图象直观迅速求解．如某些含绝对值的三角函数．注：正、余弦型单调区间长度为半周期．2．已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．【变式训练】1．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x (x ∈[0，π])的单调递增区间是( C ) A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12 C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π [解析] y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，由π2＋2k π≤2x －π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得π3＋k π≤x ≤5π6＋k π，k ∈Z ，即函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3＋k π，5π6＋k π，k ∈Z ，∴当k ＝0时，单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6. 2．若f (x )＝cos x －sin x 在[0，a ]上是减函数，则实数a 的最大值是( C )A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π[解析] 本题主要考查三角函数的图象及性质．f (x )＝cos x －sin x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4.因为f (x )在[0，a ]上是减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，a ＋π4≤π，解得0<a ≤3π4.故a 的最大值是3π4，故选C ．。
第4讲跟踪训练2
第4 讲三角函数的图象与性质跟踪训练题 （二）1．函数y ＝23cos -x 的定义域为( ) A.]6,6[ππ-B.]6,6[ππππ+-k k ，k ∈ZC.]62,62[ππππ+-k k ，k ∈Z D ．R 解析：选C.∵cos x －32≥0，得cos x ≥32，∴2k π－π6≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z . 2．函数f (x )＝(1＋sin x )(sin 2x ＋cos 2x －sin x )是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为2π的奇函数D ．最小正周期为2π的偶函数解析：选B.f (x )＝(1＋sin x )(1－sin x )＝1－sin 2x ＝cos 2x ＝12cos 2x ＋12，所以f (x )是最小正周期为π的偶函数．3．函数y ＝2sin )36(ππ-x (0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A ．－1－3B ．－1C ．0D ．2－3 解析：选D.∵0≤x ≤9，∴－π3≤πx 6－π3≤7π6，∴sin )36(ππ-x ∈]1,23[- ∴y ∈[－3，2]，∴y max ＋y min ＝2－3.4．如果函数y ＝3sin(2x ＋φ)的图象关于直线x ＝π6对称，则|φ|的最小值为( )A.π6B.π4C.π3D.π2 解析：选A.依题意得，sin )3(ϕπ+＝±1，则23ππϕπ+=+k (k ∈Z )，即6ππϕ+=k (k ∈Z )，因此|φ|的最小值是π6.5．(2014·高考安徽卷)设函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ．当0≤x <π时，f (x )＝0，则f )623(π＝( ) A.12 B.32 C ．0 D ．－12 解析：选A.∵f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ，∴f (x ＋2π)＝f (x ＋π)－sin x .∴f (x ＋2π)＝f (x )＋sin x －sin x ＝f (x )．∴f (x )是以2π为周期的周期函数．又f )623(π＝f )64(ππ-＝f )6(π-， f )6(ππ+-＝f )6(π-＋sin )6(π-，∴f )65(π＝f )6(π-－12. ∵当0≤x <π时，f (x )＝0，∴f )65(π＝0，∴f )623(π＝f )6(π-＝12.故选A.6．比较大小：sin )18(π-________sin )10(π-解析：因为y ＝sin x 在]0,2[π-上为增函数且1018ππ->-，故sin )18(π-＞sin )10(π-.答案：＞7．(2014·高考山东卷)函数y ＝32sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为________． 解析：∵y ＝32sin 2x ＋cos 2x ＝32sin 2x ＋12cos 2x ＋12＝sin )62(π+x ＋12，∴函数的最小正周期T ＝2π2＝π.答案：π 8．函数y ＝2sin )32(π+x －1，x ∈]3,0[π的值域为________，并且取最大值时x 的值为________． 解析：∵0≤x ≤π3，∴π3≤2x ＋π3≤π，∴0≤sin )32(π+x ≤1，∴－1≤2sin )32(π+x －1≤1，即值域为[－1，1]，且当sin )32(π+x ＝1，即x ＝π12时，y 取最大值． 答案：[－1，1]12π9．已知函数f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x . (1)求f (x )的单调减区间；(2)求f (x )图象上与原点最近的对称中心的坐标． 解：f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin )62(π+x(1)由2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2(k ∈Z )得，k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z )．∴f (x )的单调减区间为[k π＋π6，k π＋2π3](k ∈Z )．(2)由sin(2x ＋π6)＝0，得2x ＋π6＝k π(k ∈Z )，即x ＝k π2－π12(k ∈Z )．∴f (x )图象上与原点最近的对称中心坐标是(－π12，0)．10．(2014·高考天津卷)已知函数f (x )＝cos x ·sin )3(π+x －3cos 2x ＋43，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在闭区间]4,4[ππ-上的最大值和最小值. 解：(1)由已知，有 f (x )＝cos x ·)cos 23sin 21(x x +－3cos 2x ＋34＝12sin x ·cos x －32cos 2x ＋34 ＝14sin 2x －34(1＋cos 2x )＋34＝14sin 2x －34cos 2x ＝12sin )32(π-x 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )在区间]12,4[ππ--上是减函数，在区间]412[ππ，-上是增函数． f )4(π-＝－14，f )12(π-＝－12，f )4(π＝14，所以，函数f (x )在闭区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的最大值为14，最小值为－12.1．若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)0(>ϖ且)2||πϕ<在区间]32,6[ππ上是单调减函数，且函数值从1减少到－1，则f )4(π＝( )A.12B.22C.32 D ．1 解析：选C.由题意得函数f (x )的周期T ＝2)632(ππ-＝π，所以ω＝2，此时f (x )＝sin(2x ＋φ)，将点)1,6(π代入上式得sin )3(ϕπ+＝1)2|(|πϕ<，所以φ＝π6，所以f (x )＝sin )62(π+x ， 于是f )4(π＝sin )62(ππ+＝cos π6＝32. 2．已知函数f (x )＝sin 2x cos φ＋cos 2x sin φ(x ∈R )，其中φ为实数，且f (x )≤f )92(π对任意实数R 恒成立， 记p ＝f )32(π，q ＝f π65，r ＝f )67(π，则p 、q 、r 的大小关系是( )A ．r <p <qB ．q <r <pC ．p <q <rD ．q <p <r 解析：选C.f (x )＝sin 2x cos φ＋cos 2x sin φ＝sin(2x ＋φ)， ∴f (x )的最小正周期T ＝π.∵f (x )≤f )92(π，∴f )92(π是最大值． ∴f (x )＝sin )182(π+x ，∴p ＝sin 25π18，q ＝sin 31π18，r ＝sin 7π18，∴p <q <r .3．当x ∈]67,6[ππ时，函数y ＝3－sin x －2cos 2x 的最小值是________，最大值是________． 解析：∵x ∈]67,6[ππ，∴sin x ∈]1,21[-.又y ＝3－sin x －2cos 2x ＝3－sin x －2(1－sin 2x )＝22)41(sin -x ＋78.∴当sin x ＝14时，y min ＝78，当sin x ＝－12或sin x ＝1时，y max ＝2.答案：7824．给出下列命题：①函数f (x )＝4cos )32(π+x 的一个对称中心为)0,125(π-； ②已知函数f (x )＝min{sin x ，cos x }，则f (x )的值域为]22,1[-； ③若α、β均为第一象限角，且α＞β，则sin α＞sin β.其中所有真命题的序号是________．解析：对于①，令x ＝－512π，则2x ＋π3＝－56π＋π3＝－π2，有f )125(π-＝0，因此)0,125(π-为f (x )的一个对称中心，①为真命题；对于②，结合图象知f (x )的值域为]22,1[-，②为真命题；对于③，令α＝390°，β＝60°，有390°＞60°，但sin 390°＝12＜sin 60°＝32，故③为假命题，所以真命题为①②.答案：①②5．设函数f (x )＝sin ωx ＋sin )2(πϖ-x ，x ∈R .(1)若ω＝12，求f (x )的最大值及相应x 的集合；(2)若x ＝8π是f (x )的一个零点，且0<ω<10，求ω的值和f (x )的最小正周期． 解：由已知：f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin )4(πϖ-x .(1)若ω＝12，则f (x )＝2sin )42(π-x ，又x ∈R ，则2sin )42(π-x ≤2，∴f (x )max ＝2，此时12x －π4＝2k π＋π2，k ∈Z .即x ∈},234|{Z k k x x ∈+=ππ.(2)∵x ＝π8是函数f (x )的一个零点，∴2sin )48(πϖπ-＝0，∴π8ω－π4＝k π，k ∈Z ，又0<ω<10，∴ω＝2，∴f (x )＝2sin )42(π-x ，此时其最小正周期为π.6．已知a >0，函数f (x )＝－2a sin )62(π+x ＋2a ＋b ，当x ∈]2,0[π时，－5≤f (x )≤1.(1)求常数a ，b 的值； (2)设g (x )＝f )2(π+x 且0lg )(>x g ，求g (x )的单调区间．解：(1)∵x ∈]2,0[π，∴2x ＋π6∈]67,6[ππ∴sin )62(π+x ∈]1,21[-， ∴－2a sin )62(π+x ∈[－2a ，a ]．∴f (x )∈[b ，3a ＋b ]，又∵－5≤f (x )≤1，∴b ＝－5，3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5.(2)由(1)得， f (x )＝－4sin )62(π+x －1，g (x )＝f )2(π+x ＝－4sin )672(π+x －1＝4sin )62(π+x －1， 又由0lg)(>x g ，得g (x )>1，∴4sin )62(π+x －1>1，∴sin )62(π+x >12，∴2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ， 其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即k π<x ≤k π＋6π，k ∈Z ，∴g (x )的单调增区间为Z k k k ∈+],6,(πππ又∵当2k π＋π2<2x ＋6π<2k π＋5π6，k ∈Z 时，g (x )单调递减，即k π＋6π<x <k π＋3π，k ∈Z . ∴g (x )的单调减区间为Z k k k ∈++],3,6(ππππ。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
教学过程一、课堂导入解三角形及三角形与向量等其他知识的综合应用是高考必考的一个考点，所占分值文科中至少13分，理科至少5分以上。
如何正确应用定理解决问题，是一个重要问题，今天我们就针对相应问题进行探究。
二、复习预习解三角形涉及的知识较多，除了新的知识外，经常会涉及到三角形中常用结论以及向量的相关知识。
一、解三角形时常用结论sin()sin A B C +=；cos()cos A B C +=-；tan()tan A B C +=-。
sincos ,cos sin 2222A B C A B C++==； 在ABC ∆中，sin sin a b A B A B >⇔>⇔>二、常用向量知识 ①若()11,a x y =，()22,b x y =，则1212(,)a b x x y y ±=±± ，1212a b x x y y ⋅=+；②若(),a x y = ，则2222a a a a x y ⋅===+，a = ③若()11,A x y ，()22,B x y ，则AB =④若()11,a x y = ，()22,b x y =，则12120a b x x y y ⊥⇔+= ；12210a b x y x y ⇔-= ∥⑤22||a a = ，cos ,||||a b a b a b ⋅<>=；⑥0a b a b ⊥⇔⋅=．三、知识讲解考点11、正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===（R 为外接圆半径） 2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ⇔=== sin ,sin ,sin 222a b cA B C R R R⇔===::sin :sin :sin a b c A B C ⇔=sin sin sin sin sin sin a b c a b c A B C A B C++⇔===++ 用途：①已知三角形两角和任一边，求其它元素；②已知三角形两边和其中一边的对角，求其它元素。
2、面积公式111sin sin sin 222ABCS ab C ac B bc A ∆===2、余弦定理2222cos=+-a b c bc A2222cos=+-b ac ac B2222cos=+-c a b ab C用途：①已知三角形两边及其夹角，求其它元素；②已知三角形三边，求其它元素。
3、正余弦定理、三角函数的综合应用正余弦定理混合应用，以及三角函数与其他知识的混合应用（其中与向量知识混合出题最常见）。
四、例题精析考点一 正弦定理例1 在锐角ABC ∆中，角A ，B 所对的边长分别为,a b ，若，则角A 等于( )A.12πB.6πC.4π3.D π解：在ABC ∆中，利用正弦定理得∴又A 为锐角，.3A π∴＝评注：解题中看到两边及一边所对角想正弦定理，本题为典型的正弦定理题型。
考点二 余弦定理例2 在ABC 中，内角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，且222.a b c C ＋＝求；解：因为222a b c ＋＝，由余弦定理有2223.24a b c cosC C ab π+-＝故＝评注：本题主要考察余弦定理，比较典型。
做题时一定熟记正余弦定理的模样，看到相似处就尽量联想相应定理，看到平方，两边乘积，或者是已知三边求角时，多数都用余弦定理。
考点三正余弦定理、三角函数的综合应用例3 已知BC=（2）若点D是AB的中点，求中线CD的长度。
∆∠=︒==，求（1）?ABC B AC C,45,解：（1）由cos sin 55C C ==，sin sin(18045)sin )210A C C C =--=+=，由正弦定理知sin sin 10AC BC A B =⋅=⋅= （2）sin 2sin 52AC AB C B =⋅==，112BD AB ==。
由余弦定理知：CD ===评注：注意三角形三个内角之间的关系，做题时准确区分及应用正余弦定理解题。
例4设 （Ⅰ）求函数的最小正周期和单调区间．（Ⅱ）若锐角△ABC 中，，求角C 及边c ．[]4()sin sin()cos(),0,263f x x x x x πππ=++-+∈()fx ()2,f A a b ===解：()44sin sin coscos sincos cossin sin 6633f x x x x x x ππππ=++-+因为，∴该函数无周期性由，可知当，即时，为单调递增函数当，即时，为单调递减函数 当，即时，为单调递增函数 所以的单调递增区间为，的单调递减区间为 （Ⅱ）在锐角中，，sin cos x x =+)4x π=+[]0,2x π∈[]0,2x π∈9,444x πππ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,442x πππ⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()f x 3,422x πππ⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5,44x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()f x 39,424x πππ⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5,24x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()f x ()f x 0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭5,24ππ⎛⎫⎪⎝⎭()f x 5,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ABC ∆()f A =)4A π+=sin()14A π+=由，可得，由正弦定理，得 由，可得， 由余弦定理，可得 解得02A π≤≤4A π=2,a b = sin sin a b A B=sin B =02B π≤≤3B π=A B C π++= 512C π∴=2,2a b A ===2222cos a b c bc A =+-220c -+=11c c ==或5012312C A πππ-=-=>,1c a c ∴>=故例5在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，=（2b-c ，cosC ），=（a ，cosA ），且∥ （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）求的最大值及相应的角B 的大小。
m n m n)23cos(sin 22B B y -+=π解：（I ）由∥得，由正弦定理得， ∴，∴， ∵B （0，π），∴sinB≠0，∴cosA=，∵A （0，π），∴A= （II ）=1-=+1． 由（I ）的，∴，当=，即时，。
m nC a A c b cos cos )2(=-0cos sin cos sin cos sin 2=--C A A C A B 0)sin(cos sin 2=+-C A A B 0sin cos sin 2=-B A B ∈21∈3πB B B y 2sin 3sin2cos 3cos sin 22ππ++=B B 2sin 232cos 21+)62sin(π-B 320π<<B 67626πππ<-<-B 62π-B 2π3π=B 2max =y例6在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是且， （Ⅰ）求cosA 的值；（Ⅱ）若，，求向量在上的投影。
a b c ,,53)cos(sin )sin(cos 2cos 22-=++---C A B B A B B A 24=a 5=b BC解：（I ）由得[]cos()1A B -+，即， 则，即。
（II ）由，0<A<π,得，由正弦定理有，所以，，由题知a>b ，则A>B ，故， 根据余弦定理有，，解得c=1或c=-7（舍去），故向量在。
53)cos(sin )sin(cos 2cos 22-=++---C A B B A B B A ]53cos sin )sin(cos 1)cos(2-=---+-B B B A B B A 53sin )sin(cos )cos(-=---B B A B B A 53)cos(-=+-B B A 53cos -=A 53cos -=A 54sin =A BbA a sin sin =22sin sin ==a A b B 4π=B )53(525)24(222-⨯⨯-+=c c 22cos =B例7已知向量设函数（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值；（Ⅲ）在中，分别是角的对边，若的面积为的值。
)22,cos ,m x x =+ ()1,2cos ,n x = ()3,f x m n =⋅- .x R ∈()f x ()f x ,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ABC ∆,,a b c ,,A B C ()1,3,f A b ==ABC ∆a解：(Ⅰ) 的最小正周期为。
(Ⅱ)因为所以。
于是，当即时，取得最大值2；当即时，取得最小值-1。
(Ⅲ)由得即,又即，有余弦定理得，2()3222cos 12f x m n x x =⋅-++-- 2sin(2)6x π=+∴()f x 22T ππ==,64x ππ-≤≤22663x πππ-≤+≤2,62x ππ+=6x π=()f x 2,66x ππ+=-6x π=-()f x (A)1,f =2sin(2)1,6A π+=1sin(2),62A π+=50,2,66A A πππ<<∴+= 3A π∴=1sinA 2bc =4c =4c ∴=22212cos 1421232a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=a ∴=例8在中，内角的对边分别是,向量，，且， （Ⅰ）求内角的大小；（Ⅱ）若，，成等差数列，且,求边的长。
ABC ,,A B C ,,a b c C sin A sin C sin B c解：（1）∵，，评注：本类综合题知识点涉及较多，既要考虑三角函数方面的知识，又要考察一些简单的向量方面的问题，但是通常情况下不偏不难，对基础知识掌握较深，需要学生掌握理解。
(sin ,sin )m A B = (cos ,cos )n B A =课程小结本节课主要学习了解三角形的方法，及常见题型，需要大家掌握并做到几下几点：1、掌握正弦定理、余弦定理的公式及变形，正余弦定理应用的条件。
2、知道三角函数有时候会与解三角形综合应用。
所以做题时思想不能太死板。
3、向量与三角函数习惯性结合一起出题，所以对与向量的一些基本概念必须掌握，并会合理应用。