【5月19日广东茂名二模文数】2020年广东省茂名市高三第二次综合测试文科数学试卷含答案
2020年广东茂名高三第二次综合测试-数学(文)
2020年广东省茂名市高三第二次综合测试文科数学 2020.5一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的)1．已知集合U ={1, 2, 3, 4, 5}，A ={2, 3, 5}，B ={2, 5}，则( )A. A ⊂BB. ∁U B ={1, 3, 4}C. A ∪B ={2, 5}D. A ∩B ={3} 2．若，则复数的虚部为( )A.2B.1C.D.−13．已知函数f (x )在点(1, f (1))处的切线方程为x +2y −2=0，则f (1)+f ′(1) =( )A ．B ． 1C ．D ．04．函数的图象如图所示，则的值为( )A ．B ．1C ．D ．5．下列命题错误的是( )A ．“x ＝2”是“x 2−4x +4＝0”的充要条件B ．命题“若，则方程x 2+x −m ＝0有实根”的逆命题为真命题C ．在△ABC 中，若“A ＞B ”，则“sin A ＞sin B ”D ．若等比数列{a n }公比为q ，则“q ＞1”是“{a n }为递增数列”的充要条件 6．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案，蕴含了深奥的宇宙星象之理，被誉 为“宇宙魔方”，是中华文化阴阳术数之源。
河图的排列结构如图 所示，一与六共宗居下，二与七为朋居上，三与八同道居左，四与 九为友居右，五与十相守居中，其中白圈为阳数，黑点为阴数，若从阳数和阴数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为：( )A. B.C.D.7．“辗转相除法”是欧几里得《原本》中记录的一个算法，是由欧几里得在公元前300年左右首先提出的，因而又叫欧几里得算法.如图所示是一个当型循环结构的“辗转相除法”程序框图.当输入m =2020，n =303时，则输出的m 是( )()i 2i,,R x i y x y -=+∈i x y +i 3212()=sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ+>><()3f π122314m ≥-15625725825xO y26π23π–2第4题图第6题图A. 2B. 6C. 101D. 2028．已知双曲线(a ＞0, b ＞0)的离心率为2，其一条渐近线被圆(x −m )2+y 2=4(m ＞0)截得的线段长 为2，则实数m 的值为( )A ．B ．C ．2D ．1 9．已知函数是定义在R 上的偶函数，当时，．则使不等式成立的x 取值范围是( )A. B. C. D.10．函数在[−5, 5]的图形大致是( )11．已知三棱锥 中，且 平面P AB ⊥平面ABC ，则该三棱锥的外接球的表面积为( ) A ． B ． C ． D ．12．已知函数，对于函数有下述四个结论：①函数在其定义域上为增函数；②对于任意的，都有成立；③有且仅有两个零点；④若y =e x 在点处的切线也是y =ln x 的切线，则x 0必是零点． 其中所有正确的结论序号是A ．①②③B ．①②C ．②③④D ．②③二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置) 13．已知向量，，若，则 .14. 为了贯彻落实十九大提出的“精准扶贫”政策，某地政府投入16万元帮助当地贫困户通过购买机器办厂的形式脱贫，假设该厂第一年需投入运营成本3万元，从第二年起每年投入运营成本比上一年增加2万元，该厂每年可以收入20万元，若该厂n （n ∈N*）年后，年平均盈利额达到最大值，则n 等于 . （盈利额=总收入−总成本）15．在棱长为2的正方体ABCD –A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点，则平面A 1EC 截该正方体所得截面面积为： .22221y x a b-=32()f x 0x ≥()1()22xf x =+9(1)4f x -<(,1)(3,)-∞-+∞∪(1,3)-(0,2)(,0)(2,)-∞+∞∪()1+e ()cos 1e xxf x x =⋅-P ABC -2,3,5,4,3APB PA PB AC BC π∠=====16π28π24π32π+1()=e 1x x f x x --()f x ()f x 0a <()1f a >-()f x 00(,e )x x 0(1)x ≠()f x (4,2)a =-r(1,1)b =-r ()b a kb ⊥+rrrk =AO y5 −5 CO y 5 −5 x x BO y 5 −5 x DO y5 −5x否 结束输出m 是r ＞0? r =1开始 输入m , n 求m 除以n 的余数rm =n n =r 第7题图BC AB 1C 1 A 1D D 1E F第15题图16．过点作圆的切线，已知A ，B 分别为切点，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和下顶点，则直线AB 方程为 ；椭圆的标准方程是 . （第一空2分，第二空3分）三、解答题：(共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答) (一)必考题：共60分17．(分)在中，角，，的对边分别为，，，已知，． (1)求；(2)若，求的面积．18．(分)某种治疗新型冠状病毒感染肺炎的复方中药产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标越大表明质量越好，为了提高产品质量，我国医疗科研专家攻坚克难，新研发出A 、B 两种新配方，在两种新配方生产的产品中随机抽取数量相同的样本，测量这些产品的质量指标值，规定指标值小于85时为废品，指标值在[85,115)为一等品，大于115为特等品. 现把测量数据整理如下, 其中B 配方废品有6件.A 配方的频数分布表质量指标值分组[75,85) [85,95) [95,105) [105,115) [115,125)频数8a36248(1)求a , b 的值；(2)试确定A 配方和B 配方哪一种好？ (说明：在统计方法中，同一组数据常用 该组区间的中点值作为代表)19．(分)如图1，在□ABCD 中，AD =4，AB =2，∠DAB =45°，E 为边AD 的中点，以BE为折痕将△ABE 折起，使点A 到达P 的位置, 得到图2几何体P −EBCD . (1)证明： ；(2)当BC ⊥平面PEB 时，求三棱锥C −PBD 的体积.()11,2P -221x y +=l 12ABC △A B C a b c 2B C =34b c =cos C 3c =ABC △12122PD BE ⊥B 配方的频频率分布直方图 75 85 95 105 115 125 质量指标值O0.0080.006 b 0.022 0.038 第18题图 D P20．(分)已知抛物线C : y 2=2px (p ＞0)与直线l : x +y +1=0相切于点A ，点B 与A 关于x 轴对称.(1)求抛物线C 的方程，及点B 的坐标；(2)设M 、N 是x 轴上两个不同的动点，且满足∠BMN =∠BNM ，直线BM 、BN 与抛物线C 的另一个交点分别为P 、Q ，试判断直线PQ 与直线l 的位置关系，并说明理由. 如果相交，求出的交点的坐标.21．(分)设函数.(1)讨论的单调性；(2)若，当m =1，且时，，求的取值范围.12122()(+)e x f x x m =()f x ()2e 1()x g x nx f x =---0x ≥()0g x ≤n(二)选考题：共10分请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时， 请用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 22．[选修4−4：坐标系与参数方程] (10分)在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C : (θ为参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程，点M)在直线l 上，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点. (1)求曲线C 的普通方程及直线l 的参数方程； (2)求△OAB 的面积.23．[选修4-5：不等式选讲](10分)已知函数f (x )=|x +1|−|x −2|.(1)若f (x )≤1，求x 的取值范围；(2)若f (x )最大值为M ，且a +b +c =M ，求证：a 2+b 2+c 2≥3.绝密★启用前 卷类型：A,,x y θθ=⎧⎨=⎩cos()4a πρθ-=4π2020年茂名市高三级第二次综合测试文科数学参考答案及评分标准二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13．3 14. 4 15. 16. 2x −y −2=0(2分);(3分). 提示：三、解答题：共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答. (一)必考题：共60分17. 解：(1)依题意，由正弦定理得：．·····································1分 ∵，∴， ·······················································2分 ∴， ······························································3分 ∴，，··················4分 ∴． ···············5分(2)解法一：由题意得：. ··················································6分 ∵，∴， ··········································7分∴， ···············································8分， ···············································9分∴.···········10分················································11分22154y x +=3sin 4sin B C =2B C =3sin24sin C C =3sin cos 2sin C C C =(0,)C π∈sin 0C ≠2cos 3C =3,4c b ==(0,)C π∈sin C =sin sin 22sin cos B C C C ===221cos cos2cos sin 9B C C C ==-=-sin sin()sin()sin cos cos sin A B C B C B C B C π=--=+=+2139=-=∴. ·····································12分 解法二：由题意及(1)得：. ··································6分∵，∴， ···········································7分由余弦定理得：， ························8分即， 解得. ···············································9分若，又 则A =C ，又B =2C ，得△ABC 为直角三角形，而三边为的三角形不构成直角三角形，矛盾. ∴. ·················11分∴. ·······································12分18.解：(1)依题意，A 、B 配方样本容量相同，设为n ，又B 配方废品有6件.由B 配方的频频率分布直方图，得废品的频率为， ·················1分 解得n =100. ···················2分 ∴a =100−(8+36+24+8)=24. ···············3分 由(0.006+b +0.038+0.022+0.008)⨯10=1 ······························4分 解得b =0.026.因此a , b 的值分别为24, 0.026； ································5分 (2)由(1)及A 配方的频数分布表得，A 配方质量指标值的样本平均数为····7分质量指标值的样本方差为[(−20)2⨯8+(−10)2⨯24+0⨯36+102⨯24+202⨯8]=112.···8分 由B 配方的频频率分布直方图得，B 配方质量指标值的样本平均数为=80⨯0.06+90⨯0.26+100⨯0.38+110⨯0.22+120⨯0.08=100. ··············9分 质量指标值的样本方差为=(−20)2⨯0.06+(−10)2⨯0.26+0⨯0.38+102⨯0.22+202⨯0.08=104. ········10分综上，＞， ···································11分 即两种配方质量指标值的样本平均数相等，但A 配方质量指标值不够稳定，所以选择B 配方比较好. ···········································································12分 (2)当BC ⊥平面PEB 时，求三棱锥C −PBD 的体积.19. 证明：（1）依题意，在△ABE 中（图1），AE =2，AB =2，∠EAB =45°，由余弦定理得 EB 2=AB 2+AE 2−2AB ·AE cos45°=8+4−2⨯2⨯2⨯=4，·······························································2分 ∴AB 2= AE 2+EB 2， ···········································································3分 即在□ABCD 中，EB ⊥AD . ····································································4分 以BE 为折痕将△ABE 折起，由翻折不变性得，在几何体P −EBCD 中，7514511sin 4322279ABC S bc A ==⨯⨯⨯=V 3,4c b ==2cos 3C =(0,)C π∈25sin 1cos 3C C =-=222=+2cos c a b ab C -229=+1683a a -⨯231621=0a a -+7=3=3a a 或=3a 3,c ==3,4,3abc ==7=3a 5145711sin 422339ABC S ab C ==⨯⨯⨯=V 60.00610n =⨯808902410036110241208=100A x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯20082002410036==100.100⨯+⨯+⨯21=100As B x 5221()Bi i i s x x p ==-∑A B x x =2A s 2B s 2222E B CA D ⇒第19题图1PEBCD第19题图2EB ⊥PE ，EB ⊥ED . 又ED ∩PE =E ，∴BE ⊥平面PED ， ···························5分 又BE ⊂平面PEB ，∴； ·······················································6分 (2)∵BC ⊥平面PEB ，PE ⊂平面PEB ，∴ BC ⊥PE . ····································7分 由(1)得 EB ⊥PE ，同理可得PE ⊥平面BCE ，·············································8分 即PE ⊥平面BCD ，PE 就是三棱锥P −CBD 的高. ········································9分 又∠DCB =∠DAB =45°，BC =AD =4，CD =AB =2，PE =AE =2，∴S △CBD =⨯BC ⨯CD ⨯sin45°=⨯4⨯2⨯=4. ·································10分 V C −PBD =V P −CBD =S △BCD ⨯PE =⨯4⨯2=.因此，三棱锥C −PBD 的体积为.··························································12分（写出V C −PBD =V P −CBD 得1分，结果正确并作答得1分）20.解： (1)联立·········································1分 消去x 得y 2+2py +2p =0，···········································2分∵直线与抛物线相切，∴△=4p 2−8p =0， 又p ＞0，解得p =2，∴抛物线C 的方程为y 2=4x ．·········3分 由y 2+4y +4=0，得y =−2，∴切点为A (1, −2)，∵点B 与A 关于x 轴对称，点B 的坐标B (1, 2). ···········4分(2)直线PQ ∥l . ····························5分 理由如下：依题意直线BM 的斜率不为0, 设M (t , 0)(t ≠1), 直线BM 的方程为x =my +t , ·····6分由(1)B (1, 2)，1=2m +t ，∴直线BM 的方程为x =y +t ， ·························7分 代入y 2=4x ．解得y =2(舍)或y =−2t ，∴P (t 2,−2t ). ·······························8分 ∵∠BMN =∠BNM ，∴ M 、N 关于AB 对称，得N (2−t , 0) . ·····················9分 同理得BN 的方程为x =y +2−t ，代入y 2=4x ．得Q ((t −2)2, 2t −4). ···········10分， ·······················································11分直线l 的斜率为−1，因此PQ ∥l . ·······················································12分 21. 解： (1)依题得，定义域为R ，，，··········1分 令，.①若，即，则恒成立，从而恒成立，当且仅当，时，.所以在R 上单调递增. ································································2分②若，即，令，得或. 当时，； ····································3分 当时，. ·····················4分 综合上述：当时，在R 上单调递增；当时，在区间上单调递减， 在区间上单调递增. ···················5分 (2)依题意可知： ···················6分 令，可得, ···························································7分 .设，则.·····························8分当时, ，单调递减, ······································9分PD BE ⊥2121222213138383{22,10,y px x y =++=12t -12t -224444144(2)PQ t t k tt t --===----()f x 2()(+2+)e x f x x x m '=e 0x >2()2h x x x m =++=44m -△0≤△1m ≥()0h x ≥()0f x '≥1m =1x =-()0f x '=()f x 0△＞1m ＜()0h x =11x m =---11x m =-+-(11,11)x m m ∈----+-()0'<f x (,11)(11,)x m m ∈-∞----+-+∞U ()0f x '>1m ≥()f x 1m ＜()f x (11,11)m m ----+-()f x (,11),(11,)m m -∞----+-+∞2()21()1x x x g x e nx f x e x e nx =---=---0x =(0)0g =2()(12)(R)x g x x x e n x '=---∈2()(12)x h x x x e n =---2()(41)x h x x x e '=-++0x ≥()0h x '<()g x 'xO yN B M PQ A故. ······················································10分 要使在时恒成立,需要在上单调递减， 所以需要. ······················································11分 即,此时,故.综上所述, 的取值范围是. ······································12分 (二)选考题：共10分请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时， 请用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．22. 解:(1)将曲线C :消去参数θ得, 曲线C 的普通方程为:.·····1分∵点M)在直线上，∴ (2)分∴, 又x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴直线l 的直角坐标方程为x +y −2=0, ························································4分显然l 过点(1, 1), 倾斜角为.∴直线l 的参数方程为(t 为参数). ······································5分(2)解法一：由(1)，将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程得： ， ····························································6分· 整理得，显然△＞0.设A , B 对应的参数为t 1, t 2, 则由韦达定理得，.········7分由参数t 的几何意义得|AB |=| t 1−t 2， ························8分又原点O (0,0)到直线l 的距离为····································9分 因此，△OAB 的面积为.···················10分 (2)解法二: 由(1),联立消去y 得:, 显然△＞0. ····6分 设，则由韦达定理得，.············· ·········7分 由弦长公式得|AB ， ··········· ·········8分 又原点O (0,0)到直线l 的距离为 ··································9分 因此，△OAB 的面积为. ··················10分 (2)解法三：由(1),联立消去y 得:, 显然△＞0. ····6分 ()(0)1g x g n ''≤=-()0g x ≤0x ≥()g x [0,)+∞()10g x n '≤-≤1n ≥()(0)0g x g ≤=1n ≥n [1,)+∞,,x y θθ=⎧⎨⎩22143y x +=4πcos()=4a πρθ-cos(44a ππ-cos(4πρθ-cos sin ρθρθ+34π1,1,x y ⎧=⎪⎨⎪=+⎩2211(1)(1)143-++=27100t +-=12t t +=12107t t =-=d =1112||722S AB d ===221,43+20,y x x y ⎧⎪+=⎨-=⎪⎩271640x x -+=1122(,),(,)A x y B x y 12167x x +=1247x x =d =1112||722S AB d ===221,43+20,y x x y ⎧⎪+=⎨-=⎪⎩271640x x -+=设，则由韦达定理得，. ·····················7分 ∵直线l 过椭圆右顶点(2,0)，∴，∴······················8分把代入直线l 的方程得，······················9分因此，△OAB 的面积为. ··························10分23．解：(1)由已知·················································1分当x ≥2时，f (x )=3，不符合； ···························································2分 当−1≤x ＜2时, f (x )=2x −1, 由f (x )≤1, 即2x −1≤1, 解得x ≤1, ∴−1≤x ≤1. ······3分 当x ＜−1时，f (x )= −3，f (x )≤1恒成立. · ··················································4分 综上，x 的取值范围是x ≤1. ·····························································5分 (2)由(1)知f (x )≤3，当且仅当x ≥2时，f (x )=3， ········································6分 ∴M = f (x )Max =3.即a +b +c =3， ·······················································7分· ∵a 2+b 2≥2ab ，a 2+c 2≥2ac ，c 2+b 2≥2cb ， ·············································8分 ∴2(a 2+b 2+c 2)≥2(ab +ac +cb )∴3(a 2+b 2+c 2)≥a 2+b 2+c 2+2ab +2ac+2cb =(a +b +c )2=9， ·································9分 因此(a 2+b 2+c 2)≥3. ··············································································10分1122(,),(,)A x y B x y 12167x x +=1247x x =21627x +=227x =227x =2127y =2111212||27722S OA y =⋅=⨯⨯=3,2,21,12,(, 1.)3x x f x x x ≥⎧⎪--≤⎨--⎪⎩=＜＜。
2020年广东省茂名市高考数学二模试卷(文科)含答案解析
2020年广东省茂名市高考数学二模试卷（文科）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A=（1，2，5}，∁U B=（1，3，5}，则A∩B=（）A．{2}B．{5}C．{1，2，4，5} D．{3，4，5}2．已知Z=（i为虚数单位），则Z的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知非零向量与向量平行，则实数m的值为（）A．﹣1或B．1或 C．﹣1 D．4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．1 B．C．D．5．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=2，c=2，，且b＜c，则B=（）A．B．C．D．6．设数列{a n}是的等差数列，S n为其前n项和．若S6=8S3，a3﹣a5=8，则a20=（）A．4 B．36 C．﹣74 D．807．设函数，则f（﹣7）+f（log312）=（）A．7 B．9 C．11 D．138．已知命题￢p：存在x∈（1，2）使得e x﹣a＞0，若p是真命题，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，e）B．（﹣∞，e]C．（e2，+∞）D．[e2，+∞）9．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，若将f（x）的图象上所有点向右平移个单位得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的单调增区间为（）A．，k∈Z B．，k∈ZC．，k∈Z D．，k∈Z10．如图为某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（）A．31πB．32πC．34πD．36π11．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（）A．B．C． D．12．已知抛物线y2=4x的焦点为F，A、B为抛物线上两点，若，O为坐标原点，则△AOB的面积为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13．已知直线l过圆x2+（y﹣3）2=4的圆心，且与直线x+y+1=0垂直，则l的方程是．14．实数x，y满足，则z=x+y+1的最大值为．15．设△ABC的内角A，B，C，所对的边分别是a，b，c．若（a+b﹣c）（a+b+c）=ab，则角C=．16．设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，满分60分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=4，S5=30，数列{b n}满足b1+2b2+…+nb n=a n （Ⅰ）求a n；（Ⅱ）设c n=b n•b n+1，求数列{c n}的前n项和T n．18．2020年8月12日天津发生危化品重大爆炸事故，造成重大人员和经济损失．某港口组织消防人员对该港口的公司的集装箱进行安全抽检，已知消防安全等级共分为四个等级（一级为优，二级为良，三级为中等，四级为差），该港口消防安全等级的统计结果如下表所示：等级一级二级三级四级频率0.30 2m m 0.10现从该港口随机抽取了n家公司，其中消防安全等级为三级的恰有20家．（1）求m，n的值；（2）按消防安全等级利用分层抽样的方法从这n家公司中抽取10家，除去消防安全等级为一级和四级的公司后，再从剩余公司中任意抽取2家，求抽取的这2家公司的消防安全等级都是二级的概率．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．（Ⅰ）证明：AB⊥A1C；（Ⅱ）若AB=CB=1，，求三棱锥A﹣A1BC的体积．20．如图，圆C与x轴相切于点T（2，0），与y轴正半轴相交于两点M，N（点M在点N 的下方），且|MN|=3．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）过点M任作一条直线与椭圆相交于两点A、B，连接AN、BN，求证：∠ANM=∠BNM．21．已知函数f（x）=lnx+ax2+x，a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）已知a＜0，对于函数f（x）图象上任意不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），其中x2＞x1，直线AB的斜率为k，记N（u，0），若，求证f′（u）＜k．请考生在第22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请在答题卡中用2B铅笔把所选做题的后面的方框涂黑，并写清题号再作答．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，AC为⊙O的直径，D为的中点，E为BC的中点．（Ⅰ）求证：DE∥AB；（Ⅱ）求证：AC•BC=2AD•CD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C的极坐标方程是．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是．（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且，求直线的倾斜角α的值．[选修4-5；不等式选讲]24．已知函数（Ⅰ）当时，解不等式f（x）≤x+10；（Ⅱ）关于x的不等式f（x）≥a在R上恒成立，求实数a的取值范围．2020年广东省茂名市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A=（1，2，5}，∁U B=（1，3，5}，则A∩B=（）A．{2}B．{5}C．{1，2，4，5} D．{3，4，5}【考点】交集及其运算．【分析】求出集合B，然后根据交集的定义和运算法则进行计算．【解答】解：因为全集U={1，2，3，4，5}，∁U B={1，3，5}，所以B={2，4}，所以A∩B={2}，故选：A．2．已知Z=（i为虚数单位），则Z的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知的等式变形，然后直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求出，得到其坐标得答案．【解答】解：∵Z=（i为虚数单位），∴=1﹣i，对应的点为（1，﹣1）在第四象限．故选：D．3．已知非零向量与向量平行，则实数m的值为（）A．﹣1或B．1或 C．﹣1 D．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】根据平面向量共线定理的坐标表示，列出方程解方程，求出m的值．【解答】解：非零向量与向量平行，∴﹣2（m2﹣1）﹣1×（m+1）=0，解得m=或m=﹣1（不合题意，舍去）；∴实数m的值为．故选：D．4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．1 B．C．D．【考点】程序框图．【分析】从框图赋值入手，先执行一次运算，然后判断运算后的i的值与2的大小，满足判断框中的条件，则跳出循环，否则继续执行循环，直到条件满足为止．【解答】解：框图首先给变量i和S赋值0和1．执行，i=0+1=1；判断1≥2不成立，执行，i=1+1=2；判断2≥2成立，算法结束，跳出循环，输出S的值为．故选C．5．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=2，c=2，，且b＜c，则B=（）A．B．C．D．【考点】余弦定理．【分析】由正弦定理可求sinC，利用同角三角函数基本关系式可求cocC=，可得C为或，又b＜c，B为锐角，分类讨论由三角形内角和定理即可解得B的值．【解答】解：在△ABC中，∵a=2，c=2，，a＜c，可得A=，cosA=，∴sinC===，可得cocC=，即C为或，∵b＜c，B为锐角，∴当C=，B=，矛盾，舍去，故C=，∴B=π﹣A﹣C=．故选：A．6．设数列{a n}是的等差数列，S n为其前n项和．若S6=8S3，a3﹣a5=8，则a20=（）A．4 B．36 C．﹣74 D．80【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列前n项和公式和通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出a20．【解答】解：∵数列{a n}是的等差数列，S n为其前n项和．若S6=8S3，a3﹣a5=8，∴，解得a1=2，d=﹣4，∴a20=a1+19d=2﹣4×19=﹣74．故选：C．7．设函数，则f（﹣7）+f（log312）=（）A．7 B．9 C．11 D．13【考点】函数的值．【分析】由﹣7＜1，1＜log312求f（﹣7）+f（log312）的值．【解答】解：∵﹣7＜1，1＜log312，∴f（﹣7）+f（log312）=1+log39+=1+2+4=7，故选：A．8．已知命题￢p：存在x∈（1，2）使得e x﹣a＞0，若p是真命题，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，e）B．（﹣∞，e]C．（e2，+∞）D．[e2，+∞）【考点】命题的真假判断与应用；命题的否定．【分析】写出命题的否定命题，利用命题的真假关系，通过函数的最值求解即可．【解答】解：命题￢p：存在x∈（1，2）使得e x﹣a＞0，则命题p为：任意x∈（1，2）使得e x﹣a≤0，因为p是真命题，所以e x﹣a≤0恒成立，即a≥e x，e x＜e2．可得a≥e2．故选：D．9．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，若将f（x）的图象上所有点向右平移个单位得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的单调增区间为（）A．，k∈Z B．，k∈ZC．，k∈Z D．，k∈Z【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用y=Asin（ωx+φ）的图象特征，求出函数y=Asin（ωx+φ）的解析式，再根据y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律及正弦函数的图象和性质，即可求得函数g（x）的单调增区间．【解答】解：由图可知A=2，T=4（﹣）=π，∴ϖ==2．∵由图可得点（，2）在函数图象上，可得：2sin（2×+φ）=2，解得：2×+φ=2kπ+，k∈Z，∴由|φ|＜，可得：φ=，∴f（x）=2sin（2x+）．∵若将y=f（x）的图象向右平移个单位后，得到的函数解析式为：g（x）=2sin[2（x﹣）+]=2sin（2x+）．∴由2kπ≤2x+≤2kπ+，k∈Z，可得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，∴函数g（x）的单调增区间为：[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．故选：A．10．如图为某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（）A．31πB．32πC．34πD．36π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】首先还原几何体为底面边长为3的正方形，高为4是四棱锥，明确其外接球的半径，然后计算表面积．【解答】解：由几何体的三视图得到几何体是底面是边长为3的正方形，高为4是四棱锥，所以其外接球的直径为，所以其表面积为34π；故选C．11．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（）A．B．C． D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据近似公式V≈L2h，建立方程，即可求得结论．【解答】解：设圆锥底面圆的半径为r，高为h，则L=2πr，∴=（2πr）2h，∴π=．故选：B．12．已知抛物线y2=4x的焦点为F，A、B为抛物线上两点，若，O为坐标原点，则△AOB的面积为（）A．B．C．D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线的定义，不难求出，|AB|=2|AE|，由抛物线的对称性，不妨设直线的斜率为正，所以直线AB的倾斜角为60°，可得直线AB的方程，与抛物线的方程联立，求出A，B的坐标，即可求出△AOB的面积．【解答】解：如图所示，根据抛物线的定义，不难求出，|AB|=2|AE|，由抛物线的对称性，不妨设直线的斜率为正，所以直线AB的倾斜角为60°，直线AB的方程为，联立直线AB与抛物线的方程可得：，解之得：，，所以，而原点到直线AB的距离为，所以，当直线AB的倾斜角为120°时，同理可求．故应选C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13．已知直线l过圆x2+（y﹣3）2=4的圆心，且与直线x+y+1=0垂直，则l的方程是x﹣y+3=0．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由圆的方程求出圆心坐标，由直线垂直的条件求出直线l的斜率，代入点斜式方程再化为一般式方程．【解答】解：由题意得，圆x2+（y﹣3）2=4的圆心为（0，3），又直线l与直线x+y+1=0垂直，所以直线l的斜率是1，则直线l的方程是：y﹣3=x﹣0，即x﹣y+3=0，故答案为：x﹣y+3=0．14．实数x，y满足，则z=x+y+1的最大值为4．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，由z=x+y+1，即y=﹣x﹣1+z，由图象可知当直线y=﹣x﹣1+z经过点B（3，0），和直线x+y﹣3=0平行时，直线y=﹣x﹣1+z的截距最大，此时z最大．代入目标函数z=x+y+1得z=3+1=4．即目标函数z=x+y+1的最大值为4．故答案为：4．15．设△ABC的内角A，B，C，所对的边分别是a，b，c．若（a+b﹣c）（a+b+c）=ab，则角C=．【考点】余弦定理．【分析】利用已知条件（a+b﹣c）（a+b+c）=ab，以及余弦定理，可联立解得cosB的值，进一步求得角B．【解答】解：由已知条件（a+b﹣c）（a+b+c）=ab可得a2+b2﹣c2+2ab=ab即a2+b2﹣c2=﹣ab由余弦定理得：cosC==又因为0＜C＜π，所以C=．故答案为：16．设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（0，1）．【考点】函数的单调性与导数的关系．【分析】构造函数g（x）=，利用g（x）的导数判断函数g（x）的单调性与奇偶性，画出函数g（x）的大致图象，结合图形求出不等式f（x）＞0的解集．【解答】解：设g（x）=，则g（x）的导数为：g′（x）=，∵当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，即当x＞0时，g′（x）恒小于0，∴当x＞0时，函数g（x）=为减函数，又∵g（﹣x）====g（x），∴函数g（x）为定义域上的偶函数又∵g（﹣1）==0，∴函数g（x）的大致图象如图所示：数形结合可得，不等式f（x）＞0⇔x•g（x）＞0⇔或，⇔0＜x＜1或x＜﹣1．∴f（x）＞0成立的x的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（0，1）．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（0，1）．三、解答题：本大题共5小题，满分60分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=4，S5=30，数列{b n}满足b1+2b2+…+nb n=a n （Ⅰ）求a n；（Ⅱ）设c n=b n•b n+1，求数列{c n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【分析】（I）利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；（II）利用递推关系与“裂项求和”即可得出．【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d，∵a2=4，S5=30，∴，解得a1=d=2．∴a n=2+2（n﹣1）=2n．（II）∵b1+2b2+…+nb n=a n，∴当n=1时，b1=a1=2；当n≥2时，b1+2b2+…+（n﹣1）b n﹣1=a n﹣1，∴nb n=a n﹣a n﹣1=2，解得b n=．∴c n=b n•b n+1==4．∴数列{c n}的前n项和T n=4++…+=4=．18．2020年8月12日天津发生危化品重大爆炸事故，造成重大人员和经济损失．某港口组织消防人员对该港口的公司的集装箱进行安全抽检，已知消防安全等级共分为四个等级（一级为优，二级为良，三级为中等，四级为差），该港口消防安全等级的统计结果如下表所示：等级一级二级三级四级频率0.30 2m m 0.10现从该港口随机抽取了n家公司，其中消防安全等级为三级的恰有20家．（1）求m，n的值；（2）按消防安全等级利用分层抽样的方法从这n家公司中抽取10家，除去消防安全等级为一级和四级的公司后，再从剩余公司中任意抽取2家，求抽取的这2家公司的消防安全等级都是二级的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；分层抽样方法．【分析】（1）由已知先求出m，由频率=，能求出n．（2）由分层抽样的方法得到消防安全等级为一级的有3家，二级的有4家，三级的有2家，四级的有1家．记消防安全等级为二级的4家公司分别为A，B，C，D，三级的2家公司分别记为a，b，从中抽取2家公司，利用列举法能出抽取的2家公司的消防安全等级都是二级的概率．【解答】解：（1）由已知可得：0.30+2m+m+0.10=1，解得：m=0.20．所以n==100．（2）由（1）知，利用分层抽样的方法从中抽取10家公司，则消防安全等级为一级的有3家，二级的有4家，三级的有2家，四级的有1家．记消防安全等级为二级的4家公司分别为A，B，C，D，三级的2家公司分别记为a，b，则从中抽取2家公司，不同的结果为：（Aa），（Ab），（AB），（AC），（AD），（BC），（BD），（Ba），（Bb），（CD），（Ca），（Cb），（Da），（Db），（ab），共15种，记“抽取的2家公司的消防安全等级都是二级”为事件M，则事件M包含的结果有：（AB），（AC），（AD），（BC），（BD），（CD），共6种，所以P（M）==．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．（Ⅰ）证明：AB⊥A1C；（Ⅱ）若AB=CB=1，，求三棱锥A﹣A1BC的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱的结构特征．【分析】（I）取AB的中点O，连接CO，OA1，A1B，由CA=CB得CO⊥AB，由△AA1B 是等边三角形得OA1⊥AB，故AB⊥平面COA1，于是AB⊥A1C；（II）根据等边三角形性质求出OC，OA1，由勾股定理逆定理得出CO⊥OA1，求出S，于是V=2V．【解答】（Ⅰ）证明：取AB的中点O，连接CO，OA1，A1B．∵CA=CB，∴CO⊥AB，∵AB=AA1，∠BAA1=60°．∴△A1AB为等边三角形．∴OA1⊥AB，又∵OC⊂平面COA1，OA1⊂平面COA1，OC∩OA1=O．∴AB⊥平面COA1．又A1C⊂平面COA1，∴AB⊥A1C．（Ⅱ）解：∵AB=BC=AC=1，∴CO=，∵AB=AA1=1，∠BAA1=60°，∴A1O=．∵A1C=，∴CO2+A1O2=A1C2．∴CO⊥A1O．∴S==．∴V=2V=2×=2×=．20．如图，圆C与x轴相切于点T（2，0），与y轴正半轴相交于两点M，N（点M在点N 的下方），且|MN|=3．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）过点M任作一条直线与椭圆相交于两点A、B，连接AN、BN，求证：∠ANM=∠BNM．【考点】直线与圆锥曲线的关系；圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）设圆C的半径为r（r＞0），依题意，圆心坐标为（2，r），根据|MN|=3，利用弦长公式求得r的值，可得圆C的方程．（Ⅱ）把x=0代入圆C的方程，求得M、N的坐标，当AB⊥y轴时，由椭圆的对称性可知∠ANM=∠BNM，当AB与y轴不垂直时，可设直线AB的方程为y=kx+1，代入椭圆的方程，利用韦达定理求得K AB+K BN=0，可得∠ANM=∠BNM．【解答】解：（Ⅰ）设圆C的半径为r（r＞0），依题意，圆心坐标为（2，r）．∵|MN|=3，∴，解得，故圆C的方程为．（Ⅱ）把x=0代入方程，解得y=1或y=4，即点M（0，1），N（0，4）．（1）当AB⊥y轴时，由椭圆的对称性可知∠ANM=∠BNM．（2）当AB与y轴不垂直时，可设直线AB的方程为y=kx+1．联立方程，消去y得，（1+2k2）x2+4kx﹣6=0．设直线AB交椭圆Γ于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，则，．∴=0，∴∠ANM=∠BNM．综上所述，∠ANM=∠BNM．21．已知函数f（x）=lnx+ax2+x，a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）已知a＜0，对于函数f（x）图象上任意不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），其中x2＞x1，直线AB的斜率为k，记N（u，0），若，求证f′（u）＜k．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义即可求出切线方程，（Ⅱ）先求出函数的导数，通过讨论a的范围，得到函数的单调区间，（Ⅲ）要证：f′（u）＜k．，只需证，构造函数令，通过讨论函数的单调性，从而证出结论．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=lnx+x2+x，∴，∴f'（1）=4又∵f（1）=ln1+12+1=2，∴函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为：y﹣2=4（x﹣1），即4x﹣y﹣2=0．（Ⅱ）f（x）的定义域为（0，+∞），当a≥0时，f'（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，f（x）在定义域内单调递增；当a＜0时，令f'（x）=0，解得，，∵x＞0，∴则时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；综上，a≥0时，f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；a＜0时，f（x）的单调递增区间为，f（x）的单调递增区间为（Ⅲ）证明：=，∵，∴x2﹣x1=λ（u﹣x1），∴，又，∴，∴，∵a＜0，x2＞x1，1≤λ≤2，∴要证：f′（u）＜k．，只需证即证：，设令，则，令h（t）=﹣t2+（λ2﹣2λ+2）t﹣（λ﹣1）2，t＞1，1≤λ≤2对称轴．h（t）＜h（1）=0，∴g'（t）＜0，故g（t）在（1，+∞）内单调递减，则g（t）＜g（1）=0，故f′（u）＜k．请考生在第22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请在答题卡中用2B铅笔把所选做题的后面的方框涂黑，并写清题号再作答．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，AC为⊙O的直径，D为的中点，E为BC的中点．（Ⅰ）求证：DE∥AB；（Ⅱ）求证：AC•BC=2AD•CD．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（I）欲证DE∥AB，连接BD，因为D为的中点及E为BC的中点，可得DE⊥BC，因为AC为圆的直径，所以∠ABC=90°，最后根据垂直于同一条直线的两直线平行即可证得结论；（II）欲证AC•BC=2AD•CD，转化为AD•CD=AC•CE，再转化成比例式=．最后只须证明△DAC∽△ECD即可．【解答】证明：（Ⅰ）连接BD，因为D为的中点，所以BD=DC．因为E为BC的中点，所以DE⊥BC．因为AC为圆的直径，所以∠ABC=90°，所以AB∥DE．…（Ⅱ）因为D为的中点，所以∠BAD=∠DAC，又∠BAD=∠DCB，则∠DAC=∠DCB．又因为AD⊥DC，DE⊥CE，所以△DAC∽△ECD．所以=，AD•CD=AC•CE，2AD•CD=AC•2CE，因此2AD•CD=AC•BC．…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C的极坐标方程是．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是．（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且，求直线的倾斜角α的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）由，展开为ρ2﹣4﹣1=0，利用即可得出极坐标方程．（II）将代入圆的方程得化简得t2﹣2tcosα﹣4=0，利用弦长公式，化简即可得出．【解答】解：（1）由，展开为ρ2﹣4﹣1=0，化为﹣1=0，配方得圆C的方程为（2）将代入圆的方程得（tcosα﹣1）2+（tsinα）2=5，化简得t2﹣2tcosα﹣4=0，设A、B两点对应的参数分别为t1、t2，则，所以，所以4cos2α=2，，．[选修4-5；不等式选讲]24．已知函数（Ⅰ）当时，解不等式f（x）≤x+10；（Ⅱ）关于x的不等式f（x）≥a在R上恒成立，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）通过讨论x的范围，求出不等式的解集，取并集即可；（Ⅱ）根据绝对值的意义求出f（x）的最小值，从而求出a的范围．【解答】解：（Ⅰ）当时，，①当时，由f（x）≤x+10得﹣2x+3≤x+10，解得，此时；②当时，由f（x）≤x+10得2≤x+10，解得x≥﹣8，此时；．．③当时，由f（x）≤x+10得2≤x+10，解得x≤13，此时；综上，不等式f（x）≤x+10的解集为；（Ⅱ）由绝对值不等式的性质得：，∴f（x）的最小值为，由题意得，解得，∴实数a的取值范围为．2020年8月1日第21页（共21页）。
2020年广东省茂名市五校联盟高考数学二模试卷(文科) (含解析)
2020年广东省茂名市五校联盟高考数学二模试卷(文科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合M={x|x(x−1)≥0}，N={x|−1<x<1}，则M∩N=()A. |x|−1<x≤0}B. {x|−1≤x≤0}C. {x|0≤x<1}D. {x|0≤x≤1}2.设z=2i1−i+2+i，则复数z的虚部为()A. 2B. 2iC. 1D. i3.若cos(π+α)=−13，则cosα的值为()A. −2√23B. −13C. 13D. 2√234.已知a⃗，b⃗ 为不共线向量，向量8a⃗−k b⃗ 与−k a⃗+b⃗ 共线，则k=()A. 2√2B. −2√2C. ±2√2D. 85.已知点(2,√3)在双曲线x24−y2a=1(a>0)的一条渐近线上，则a=()A. √3B. 3C. 2D. 2√36.某市2015年至2019年新能源汽车年销量y(单位：百台)与年份代号x的数据如表：若根据表中的数据用最小二乘法求得y关于x的回归直线方程为ŷ=6.5x+9，则表中m的值为()A. 22B. 25C. 30D. 无法确定7.古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2均在x轴上，C的面积为2√3π，且短轴长为2√3，则C的标准方程为()A. x212+y2=1 B. x24+y23=1 C. x23+y24=1 D. x216+y23=18.函数f(x)=sinxcosxx2+1的图象大致为()A. B.C. D.9.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为()A. 1B. 2C. 3D. 610.在《周髀算经》中，把圆及其内接正方形称为圆方图，把正方形及其内切圆称为方圆图，圆方图和方圆图在我国古代的设计和建筑领域有着广泛的应用，山西应县木塔是我国现存最古老、最高大的纯木结构楼阁式建筑，它的正面图如图所示。
2020届广东省茂名市高三第二次综合测试数学(文)试题
2020年茂名市高三级第二次综合测试文科数学本试卷分选择题和非选择题两部分，共6页，23小题，满分150分，考试时间120分钟.一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{1,2,3,4,5}U =，{2,3,5}A =，{2,5}B =，则（ ） A.A B ⊂B. {1,3,4}U B =ð C.{2,5}A B =UD.{3}A B ⋂=【答案】B 【分析】利用集合间的关系，集合的交并补运算对每个选项分析断.【详解】由题A B ⊃，故A 错；对C ：{2,3,5}A B =U ，C 错；对D ：{2,5}A B ⋂=，D 错；对B ：∵{1,2,3,4,5}U =，{2,5}B =，∴{1,3,4}U B =ð，B 正确. 故选:B ．【点睛】本题考查了集合间的关系，集合的交并补运算，属于容易题. 2.若()2x i i y i -=+，,x y R ∈，则复数x yi +的虚部为（ ）A.2 B. 1 C. iD.1-【答案】B 【分析】化简再根据复数相等的条件列式求解. 【详解】∵(i)i 1i 2i x x y -=+=+，∴2x =，1y =，所以x yi +的虚部1y =，故选：B ．【点睛】本题考查了复数的运算，两复数相等的条件，属于容易题.3.已知函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为220x y +-=，则(1)(1)f f '+=（ ） A.32B. 1C.12D. 0【答案】D 【分析】切点坐标代入切线方程可求得(1)f ，再利用导数的几何意义求出直线的斜率即为(1)f '. 【详解】切点(1,(1))f 在切线220x y +-=上，∴12(1)20f +-=，得1(1)2f =， 又切线斜率1(1)2k f '==-，∴(1)(1)0f f '+=.故选：D【点睛】本题考查导数的几何意义、曲线的切线，属于基础题. 4.函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,||)2A πωϕ>><的图象如图所示，则()3f π的值为（ ）A.12B. 12 3【答案】B 【分析】根据图象的最值求出A 、周期求出ω、代入特殊点求出ϕ即可求得函数解析式，令3x π=即可得解.【详解】根据图象可得2A =，22362T πππ=-=，即T π=， 根据2||T πω=，0>ω，得22πωπ==， ∴2sin(2)y x ϕ=+， 又()f x 图象过点(,2)6π，∴π22sin(2)6ϕ=⨯+， 即2262k ππϕπ⨯+=+，k Z ∈，∴26k πϕπ=+，k Z ∈，又因||2ϕπ<，∴6π=ϕ， ∴()2sin(2)6f x x π=+，πππ5π()2sin(2)2sin 13366f =⨯+==.故选：B【点睛】本题考查由()sin()f x A x ωϕ=+的图象确定解析式，属于基础题.5.下列命题错误的是（ ）A. “2x =”是“2440x x -+=”的充要条件B. 命题“若14m ≥-，则方程20x x m +-=有实根”的逆命题为真命题 C. 在ABC V 中，若“A B >”，则“sin sin A B >”D. 若等比数列{}n a 公比为q ，则“1q >”是“{}n a 为递增数列”的充要条件 【答案】D 【分析】解一元二次方程即可判断A 正确；根据一元二次方程有实根则>0∆即可得解；由A B a b >⇒>及正弦定理即可推出sin sin A B >，C 正确. 【详解】由22440(2)0202xx x x x -+=⇔-=⇔-=⇔=，∴A 正确；命题“若14m ≥-，则方程20x x m +-=有实根”的逆命题为命题“若方程20x x m +-=有实根，则14m ≥-”， ∵方程20x x m +-=有实根11404Δm m ⇒=+≥⇒≥-，∴B 正确； 在ABC V 中，若sin sin A B a b A B >⇒>⇒>(根据正弦定理)，∴C 正确， 故选D ．【点睛】本题考查命题的真假判断、充要条件的判断、命题及其相互关系，属于基础题.6.《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案，蕴含了深奥的宇宙星象之理，被誉为“宇宙魔方”，是中华文化阴阳术数之源．河图的排列结构如图所示，一与六共宗居下，二与七为朋居上，三与八同道居左，四与九为友居右，五与十相守居中，其中白圈为阳数，黑点为阴数，若从阳数和阴数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为（ ）A.15B.625C.725D.825【答案】A 【分析】列出图中的阴数、阳数，求出从阳数和阴数中各取一数的所有组合总数、满足差的绝对值为5的组合数，利用古典概型概率计算公式求解即可.【详解】∵阳数为1,3,5,7,9；阴数为2,4,6,8,10， ∴从阳数和阴数中各取一数的所有组合共有5525⨯=个，满足差的绝对值为5的有(1,6)，(3,8)，(5,10)，(7,2)，(9,4)共5个， 则51255p ==. 故选：A【点睛】本题考查古典概型概率计算公式，属于基础题.7.“辗转相除法”是欧几里得《原本》中记录的一个算法，是由欧几里得在公元前300年左右首先提出的，因而又叫欧几里得算法．如图所示是一个当型循环结构的“辗转相除法”程序框图．当输入2020m =，303n =时，则输出的m 是（ ）A. 2B. 6C. 101D. 202【答案】C 【分析】直接按照程序框图运行，即可得解.【详解】输入2020m =，303n =，又1r =． ①10r=>，202r =，303m =，202n =；②2020r =>，3032021101÷=LL ，101r =，202m =，101n =；③1010r=>，0r =，101m =，0n =；④0r =，则0r >否，输出101m =.故选：C ．【点睛】本题主要考查程序框图和计算程序框图的输出值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.8.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，其一条渐近线被圆22()4(0)x m y m -+=>截得的线段长为2，则实数m 的值为（ ）C. 2D. 1【答案】C 【分析】先求出双曲线的渐近线方程，再求出圆心到渐近线的距离得到2222()()222+=，解方程即得解.【详解】依题意2c b a a===∴=，∴双曲线渐近线方程为y =，不妨取渐近线10l y -=，则圆心(,0)(0)m m >到1l的距离2d==，由勾股定理得2222()()222+=，解得2m =±. ∵0m >，∴2m =. 故选：C ．【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查直线和圆的位置关系，考查利用弦长求参数，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，1()()22x f x =+．则使不等式9(1)4f x -<成立的x 取值范围是（ ） A. (,1)(3,)-∞-+∞U B. (1,3)-C. (0,2)D. (,0)(2,)-∞+∞U【答案】A 【分析】通过分析得到(|1|)(2)f x f -<，再结合函数的奇偶性和单调性得到|1|2x ->，解不等式即得解.【详解】由题得19(2)244f =+=， 由9(1)4f x -<，得(1)(2)f x f -<， 又∵()f x 为偶函数，∴(|1|)(2)f x f -<，因为当0x ≥时，1()()22x f x =+，所以函数()f x 在(0,)+∞上为单调递减，因为函数是偶函数，所以函数()f x 在(,0)-∞上为单调递增， ∴|1|2x ->，∴12x ->或12x -<-， 即3x >或1x <-. 故选：A ．【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的应用，考查指数函数的单调性，考查绝对值不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.10.函数1()cos 1x x e f x x e ⎛⎫+=⋅ ⎪-⎝⎭在[5,5]-的图形大致是（ ） A. B.C. D.【答案】A 【分析】先计算()f x -，与()f x 进行比较，可判断函数的奇偶性，优先排除选项D ，再当02x π<<时，判断函数每一部分的正负性可排除选项B ，最后计算0x +→时，可得y →-∞，从而确定正确的选项．【详解】解：11()cos()cos ()11x xx xe ef x x x f x e e--++-=-=-=---g g ，∴函数()f x 是奇函数，图象关于原点对称，排除选项D ；()f x 在y 轴右侧第一个零点为2x π=．当02x π<<时，10x e +>，10x e -<，cos 0x >，()0f x ∴<，排除选项B ；当0x +→时，12x e +→，10x e -→，cos 1x →，且10x e -<，y ∴→-∞，排除选项C ；． 故选：A ．【点睛】本题考查函数的图象与性质，一般从函数的奇偶性、单调性和特殊点处的函数值等方面着手思考问题，考查学生的逻辑推理能力，属于基础题． 11.已知三棱锥P ABC -中，23APB ∠=π，3PA PB ==，5AC =，4BC =，且平面PAB ⊥平面ABC ，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）A. 16πB. 28πC. 24πD. 32π【答案】B 【分析】首先根据题意得到CB ⊥平面PAB ，再将三棱锥P ABC -放入直三棱柱中，求其外接球半径，计算表面积即可.【详解】在PAB △中，由余弦定理得233233cos33AB π=+-⨯⨯⨯=， 又222AC AB BC =+，所以ABC V 为直角三角形，CB AB ⊥.又平面PAB ⊥平面ABC 且交于AB ， 所以CB ⊥平面PAB .将三棱锥P ABC -放入直三棱柱中，如图所示：1O ，2O 分别为上下底面外接圆的圆心，O 为三棱锥P ABC -外接球的球心，且为1O ，2O 的中点.所以1122OO BC ==. 设PAB △的外接圆半径为r ，则32232πsin3r ==3r =设几何体的外接球半径为R ，则22223)7R =+=， 所求外接球的表面积2428==ππS R . 故选：B【点睛】本题主要考查三棱锥的外接球，将三棱锥放入直三棱柱中为解题的关键，属于中档题. 12.已知函数()11xx f x e x +=--，对于函数()f x 有下述四个结论： ①函数()f x 在其定义域上为增函数；②对于任意的0a <，都有()1f a >-成立；③()f x 有且仅有两个零点；④若x y e =在点()()000,1xx e x≠处的切线也是ln y x =的切线，则0x 必是()f x 零点．其中所有正确的结论序号是（ ） A. ①②③ B. ①②C. ②③④D. ②③【答案】C 【分析】利用特殊值法可判断①的正误；推导出当0a <时201aea ->-，从而可判断②的正误；利用导数研究函数()y f x =的单调性，结合零点存在定理可判断③的正误；利用导数的几何意义得出等式，进而可判断④的正误.综合可得出结论.【详解】()02f =Q ，()33223535202f e f ⎛⎫=-<-<= ⎪⎝⎭，所以，函数()y f x =在其定义域上不是增函数，①错；∵当0a <时，则201ae a ->-，因此()121111a a a f a e e a a +=-=-+->---成立，②对；函数()y f x =的定义域为()(),11,-∞+∞U ，且()()2201x f x e x '=+>-，所以，函数()y f x =在区间(),1-∞和()1,+∞上均为增函数，()221112033f e e --=-=-<Q ，()020f =>，()()200f f ∴-⋅<，即函数()y f x =在区间(),1-∞上有且仅有1个零点．55244593304f e ⎛⎫=-<-< ⎪⎝⎭Q ，()2230f e =->，()5204ff ⎛⎫∴⋅< ⎪⎝⎭， 所以，函数()y f x =区间()1,+∞上有且仅有1个零点． 因此，函数()y f x =有且仅有两个零点，③对；x y e =Q 在点()()000,1xx e x≠处的切线l 的方程()000-=-x x y e e x x ．又l 也是ln y x =的切线，设其切点为()11,ln A x x ，则l 的斜率11k x =， 从而直线l 的斜率011x k e x ==，01x x e -∴=，即切点为()00,x A e x --， 又点A 在l 上，()()0000000001011x x x x x x e e e x e x x -+∴--=-⇒-=≠-， 即0x 必是函数()y f x =的零点，④对．故选：C.【点睛】本题考查函数单调性、零点个数以及不等式的判断，同时也考查了导数的几何意义，考查推理能力，属于中等题.二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置）13.已知向量()4,2a =-r ，()1,1b =-r，若()b a kb ⊥+r r r ，则k =_______．【答案】3 【分析】求出向量a kb +r r的坐标，利用平面向量垂直的坐标表示可得出关于k 的等式，进而可求得实数k 的值.【详解】()4,2a =-r Q ，()1,1b =-r，()4,2a kb k k ∴+=--r r ，()b a kb ⊥+r r r Q ，()()42260b a kb k k k ∴⋅+=---=-=r r r，解得3k =.故答案为：3.【点睛】本题考查利用平面向量垂直求参数，考查计算能力，属于基础题.14.为了贯彻落实十九大提出的“精准扶贫”政策，某地政府投入16万元帮助当地贫困户通过购买机器办厂的形式脱贫，假设该厂第一年需投入运营成本3万元，从第二年起每年投入运营成本比上一年增加2万元，该厂每年可以收入20万元，若该厂()*n n N ∈年后，年平均盈利额达到最大值，则n 等于_______．（盈利额=总收入-总成本） 【答案】4 【分析】设每年的营运成本为数列{}n a ，根据题意可知数列{}n a 为等差数列，确定该数列的首项和公差，并求出年平均盈利额，利用基本不等式可求得年平均额的最大值，利用取等号的条件可求得n 的值. 【详解】设每年的营运成本为数列{}n a ，依题意该数列为等差数列，且13a =，2d =，所以n 年后总营运成本()()21113122n n n dS na a n n n n -=+=+-=+，因此，年平均盈利额为()22021616181810n n n n nn -+-=--+≤-=， 当且仅当4n =时等号成立． 故答案为：4.【点睛】考查等差数列的应用，考查了利用基本不等式求最值，考查计算能力，属于中等题.15.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，则平面1A EC 截该正方体所得截面面积为_______．【答案】26 【分析】设平面1A EC 交1BB 于点F ，可知平面1A EC 截正方体1111ABCD A B C D -所得截面为1A ECF ，推导出点F 为1BB 的中点，计算得知四边形1A ECF 是边长为5的菱形，并求出菱形1A ECF 的对角线长，由此可求得该截面的面积.【详解】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，Q 平面11//A D DA 平面11B C CB ，平面1A EC I 平面111A D DA A E =，平面1A EC I 平面11B C CB CF =，1//A E CF ∴,同理可证1//A F CE ， 四边形1A ECF 是平行四边形，11//BC A D Q ，11BCF D A E ∴∠=∠，又112BC A D ==，1190CBF A D E ∠=∠=o，11A D E CBF ∴≅V V ，11BF D E ∴==，则F 为1BB 的中点，225CF BC BF ∴=+=5CE =截面1A ECF 5 其对角线22EFBD ==123AC =截面面积11122S AC EF =⨯=⨯=故答案为：【点睛】本题考查正方体截面面积的计算，确定截面形状是解答的关键，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题. 16.过点1(1,)2P -作圆221x y +=的切线l ，已知A ，B 分别为切点，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和下顶点，则直线AB 方程为___________；椭圆的标准方程是__________．【答案】 (1). 220x y --= (2). 22154x y +=【分析】 ①当过点1(1,)2-的直线l 斜率不存在时，直线方程为1x =，切点的坐标(1,0)A ； ②当直线l 斜率存在时，设l 方程为1(1)2y k x =--，根据圆心(0,0)到切线的距离等于半径1，求出34k =确定直线方程，直线l 方程与圆方程的联立，进一步求出切点的坐标34(,)55B -，再求出AB 方程，则椭圆的右焦点及下顶点可求，其标准方程可求. 【详解】解：①当过点1(1,)2-的直线l 斜率不存在时，直线方程为1x =，切点的坐标(1,0)A ； ②当直线l 斜率存在时，设l 方程为1(1)2y k x =--，即102kx y k ---=，根据直线与圆相切，圆心(0,0)到切线的距离等于半径1，得1=可以得到切线斜率34k =，即35:44l y x =-， 直线l 方程与圆方程的联立2213544x y y x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩可以得切点的坐标34(,)55B -， 根据A 、B 两点坐标可以得到直线AB 方程为220x y --=，（或利用过圆222x y r +=上一点00(,)x y 作圆的两条切线，则过两切点的直线方程为200x x y y r +=） 依题意，AB 与x 轴的交点(1,0)即为椭圆右焦点，得1c =，与y 轴的交点(0,2)-即为椭圆下顶点坐标，所以2b =， 根据公式得2225a b c =+=，因此，椭圆方程为22154x y +=．【点睛】已知直线和圆的位置关系确定切线方程，进一步求椭圆的标准方程；属于中档题.三、解答题：（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答） （一）必考题：共60分17.在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2B C =，34b c =． （1）求cos C ； （2）若3c =，求ABC V的面积．【答案】（1）23；（2）． 【分析】（1）因为34b c =，根据正弦定理“边化角”可得3sin 4sin A C =，结合2B C =与正弦二倍角公式，即可求得cos C ；（2）借助题设条件求得b 值，运用三角变换公式求出角A 的正弦值，再运用三角形的面积公式求解：【详解】（1）Q 34b c =根据正弦定理：sin sin b cB C= 可得：3sin 4sin B C =，Q 2B C =，∴3sin 24sin C C =， ∴3sin cos 2sin C C C =，∴(0,)C π∈，sin 0C ≠， ∴2cos 3C =． （2）Q 3c =又Q34b c =可得：4b =，Q (0,)C π∈，∴sin C ==，∴sin sin 22sin cos B C C C ===，221cos cos 2cos sin 9B C C C ==-=-，∴sin sin(π)sin()A B C B C =--=+21sin cos cos sin 939327B C B C =+=⨯-⨯=，∴11sin 4322279ABC S bc A ==⨯⨯⨯=△．【点睛】本题主要考查了根据正弦定理解三角形和求三角形面积，解题关键是掌握正弦定理“边化角”的方法和三角形面积公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.18.某种治疗新型冠状病毒感染肺炎的复方中药产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标越大表明质量越好，为了提高产品质量，我国医疗科研专家攻坚克难，新研发出A 、B 两种新配方，在两种新配方生产的产品中随机抽取数量相同的样本，测量这些产品的质量指标值，规定指标值小于85时为废品，指标值在[85,115)为一等品，大于115为特等品．现把测量数据整理如下，其中B 配方废品有6件．A 配方的频数分布表（1）求a ，b 的值；（2）试确定A 配方和B 配方哪一种好？(说明：在统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表) 【答案】（1）24，0.026；（2）B 配方好些，详见解析． 【分析】(1) A 、B 配方样本容量相同，设为n ，B 配方废品有6件，由B 配方的频率分布直方图，能求出n = 100，从而求出a 和b ；(2)由A 配方的频数分布表能求出A 配方质量指标值的样本平均数和质量指标值的样本方差;由B 配方的频频率分布直方图能求出B 配方质量指标值的样本平均数和质量指标值的样本方差，由两种配方质量指标值的样本平均数相等但A 配方质量指标值不够稳定，得到选择B 配方比较好. 【详解】（1）依题意，,A B 配方样本容量相同，设为n ， 又B 配方废品有6件，由B 配方的频频率分布直方图， 得废品的频率为60.00610n=⨯，解得100n =， ∴100(836248)24a =-+++=．由(0.0060.0380.0220.008)101b ++++⨯=，解得0.026b =， 因此a ，b 的值分别为24，0.026．（2）由（1）及A 配方的频数分布表得：A 配方质量指标值的样本平均数为808902410036110241208100Ax ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=20082002410036100100⨯+⨯+⨯==，质量指标值的样本方差为：222221[(20)8(10)240361024208]112100A s =-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯=；由B 配方的频频率分布直方图得，B 配方质量指标值的样本平均数为：800.06900.261000.381100.221200.08100B x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，质量指标值的样本方差为：25222221()(20)0.06(10)0.2600.38100.22200.08104B i i i s x x p ==-=-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯=∑，综上AB x x =，22A B s s >，即两种配方质量指标值的样本平均数相等，但A 配方质量指标值不够稳定，所以选择B 配方比较好．【点睛】本题主要考查了频数和频率的求法，平均数、方差的求法及应用,频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题.19.如图1，在平行四边形ABCD 中，4=AD ，22AB =，45DAB ∠=︒，E 为边AD 的中点，以BE 为折痕将ABE △折起，使点A 到达P 的位置，得到图2几何体P EBCD -．（1）证明：PD BE ⊥；（2）当BC ⊥平面PEB 时，求三棱锥C PBD -的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）83．分析】（1）由已知条件和勾股定理可得EB AD ⊥，根据折叠的不变性可得EB PE ⊥，EB ED ⊥，由线面垂直的判定和性质可得证；（2）由线面垂直的性质可得出PE ⊥平面BCD ，PE 就是三棱锥P CBD -的高，再运用等体积法可得出三棱锥的体积.【详解】（1）依题意，在ABE △中（图1），2AE =，22AB =45EAB ∠=︒，由余弦定理得2222cos 45EB AB AE AB AE =+-⋅⋅︒842242=+-⨯⨯=， ∴222AB AE EB =+，即在平行四边形ABCD 中，EB AD ⊥．以BE 为折痕将ABE △折起，由翻折不变性得，在几何体P EBCD -中，EB PE ⊥，EB ED ⊥．又ED PE E =I ，∴BE ⊥平面PED ，又BE ⊂平面PEB ，∴PD BE ⊥．（2）∵BC ⊥平面PEB ，PE ⊂平面PEB ，∴BC PE ⊥．由（1）得EB PE ⊥，同理可得PE ⊥平面BCE ，即PE ⊥平面BCD ，PE 就是三棱锥P CBD -的高．又45DCB DAB ∠=∠=︒，4BC AD ==，CD AB ==2PE AE ==，∴11sin 4544222CBD S BC CD =⨯⨯⨯︒=⨯⨯=△， 11842333C PBD P CBD BCD V V S PE --==⨯=⨯⨯=△，因此，三棱锥C PBD -的体积为83． 【点睛】本题考查由平面图形折叠成空间几何体中的线面关系，以及三棱锥的体积的求解，属于中档题. 20.已知抛物线2:2(0)C y px p =>与直线:10l x y ++=相切于点A ，点B 与A 关于x 轴对称．（1）求抛物线C 的方程及点B 的坐标；（2）设,M N 是x 轴上两个不同的动点，且满足BMNBNM ∠=∠，直线BM 、BN 与抛物线C 的另一个交点分别为,P Q ，试判断直线PQ 与直线l 的位置关系，并说明理由．如果相交，求出的交点的坐标． 【答案】（1）24y x =，(1,2)B ；（2）PQ ∥l ，详见解析． 【分析】（1）联立方程组，整理得2220y py p ++=，根据0∆=，求得2p =，得到抛物线C 的方程，进而得到点A的坐标，从而求得点B 的坐标．（2）设(,0)M t ，直线BM 的方程为x my t =+，得出BM 的方程为12tx y t -=+， 代入24y x =，求得2(,2)P t t -，进而得到(2,0)N t -，代入抛物线的方程求得Q 的坐标，利用斜率公式，即可得到结论.【详解】（1）由题意，抛物线2:2C y px =与直线:10l x y ++=相切于点A ，联立方程组2210y px x y ⎧=⎨++=⎩，消去x ，得2220y py p ++=，所以2480p p ∆=-=，解得0p =或2p =，又0p >，解得2p =，所以抛物线C 的方程为24y x =，由2440y y ++=，得2y =-，所以切点为(1,2)A -，因为点B 与A 关于x 轴对称，点B 的坐标(1,2)B ． （2）直线//PQ l ，理由如下： 依题意，直线BM 的斜率不为0， 设(,0)(1)M t t≠，直线BM 的方程为x my t =+，由（1）知点(1,2)B ，则12m t =+，所以直线BM 的方程为12tx y t -=+， 代入24y x =，解得2y =(舍)或2y t =-，所以2(,2)P t t -，因为BMNBNM ∠=∠，所以,M N 关于AB 对称，得(2,0)N t -，同理得BN 的方程为122t x y t -=+-，代入24y x =， 得2((2),24)Q t t --，2244441(2)44PQ t t k t t t--===----， 直线l 的斜率为1-，因此//PQ l ．【点睛】本题主要考查抛物线方程的求解、及直线与抛物线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等. 21.设函数2()()x f x x m e =+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()21()xg x e nx f x =---，当1m =，且0x ≥时，()0g x ≤，求n 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）[1,)+∞． 【分析】（1）利用导数研究函数的单调性，因含有参数，需分类讨论.（2）先由(0)0g =，转化为()g x 在[0,)+∞递减，再转化为'()0g x ≤在0x ≥恒成立， 再构造函数()h x '()g x =，利用导数研究函数()h x 的性质.【详解】（1）依题得，()f x 定义域为R ，2()(2)xf x x x m e '=++，0x e >，令2()2h x x x m =++，44m ∆=-， ①若0∆≤，即m 1≥，则()0h x ≥恒成立，从而()0f x '≥恒成立，当且仅当1m =，1x =-时，()0f x '=， 所以()f x 在R 上单调递增；②若>0∆，即1m <，令()0h x =，得1x =-1x =-+当(11x ∈--时，()0f x '<；当(,1(1)x ∈-∞--++∞U 时，()0f x '>， 综合上述：当m 1≥时，()f x 在R 上单调递增；当1m <时，()f x 在区间(11--上单调递减，()f x 在区间(,11)-∞--++∞上单调递增．（2）依题意可知：2()21()1xxxg x e nx f x e x e nx =---=---， 令0x =，可得(0)0g =，2()(12)()xg x x x e n x '=---∈R ， 设2()(12)xh x x x e n =---，则2()(41)xh x x x e '=-++， 当0x ≥时，()0h x '<，()g x '单调递减， 故()(0)1g x g n ''≤=-，要使()0g x ≤在0x ≥时恒成立，需要()g x 在[0,)+∞上单调递减， 所以需要()10g x n '≤-≤，即1n ≥，此时()(0)0g x g ≤=，故1n ≥， 综上所述，n 的取值范围是[1,)+∞．【点睛】（1）考查了利用导数求函数的单调性，含参问题分类讨论.（2）考查了对题目的理解，分析，将恒成立问题转化成函数单调性问题，利用导数值的正负与函数的单调性关系列式求解.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，请用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.22.在平面直角坐标系xOy中，已知曲线2cos :x C y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩(θ为参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程πcos()4ρθα-=，点π)4M 在直线l 上，直线l 与曲线C 交于,A B 两点． （1）求曲线C 的普通方程及直线l 的参数方程； （2）求OAB V 的面积．【答案】（1）22:143x y C +=，12:12x tl y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)；（2）127．【分析】（1）消参将曲线C 的参数方程化为普通方程，再将l 的极坐标方程先化为一般方程，再化为参数方程； （2）联立直线与椭圆方程，求出弦长||AB ，再求点O 到AB 的距离，求出OAB V 的面积.【详解】（1）将曲线2cos :x C y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，消去参数θ得，曲线C 的普通方程为22143x y +=，∵点4M π⎫⎪⎭在直线cos 4πρθα⎛⎫-= ⎪⎝⎭上，∴ππcos()44α=-=，∴cos()4πρθ-=(cos sin )2ρθρθ+= 又cos x ρθ=，sin y ρθ=，∴直线l 的直角坐标方程为20x y +-=，显然l 过点(1,1)，倾斜角为34π，∴直线l的参数方程为121x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）． （2）由（1），将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程得：2211(1)(1)14232-++=，整理得27100t +-=，显然>0∆，21设,A B 对应的参数为1t ，2t，则由韦达定理得127t t +=-，12107t t =-， 由参数t的几何意义得12||||7AB t t =-===， 又原点(0,0)O 到直线l的距离为d == 因此，OAB V的面积为1112||2277S AB d ==⨯=． 【点睛】本题考查了参数方程、极坐标方程与普通方程的相互转化，点到直线的距离公式,还考查了直线与椭圆相交时的弦长问题.23.已知函数()|1||2|f x x x =+--．（1）若()1f x ≤，求x 的取值范围；（2）若()f x 最大值为M ，且a b c M ++=，求证：2223a b c ++≥．【答案】（1）(,1]-∞； （2）证明见解析【分析】(1)去绝对值，解不等式.(2)由绝对值不等式||||||a b a b -≤-求出最值，再构造柯西不等式证明不等式.【详解】解：（1）由题得1()(1)(2)1x f x x x <-⎧⎨=-++-≤⎩ 或12()(1)(2)1x f x x x -≤≤⎧⎨=++-≤⎩ 或2()(1)(2)1x f x x x >⎧⎨=+--≤⎩， 解得131x <-⎧⎨-≤⎩ 或121x x -≤≤⎧⎨≤⎩ 或231x >⎧⎨≤⎩ ，得1x ≤， 故x 的取值范围为(,1]-∞.(2)由()|1||2|f x x x =+--，则()(1)(2)3f x x x ≤+--=，故()f x 最大值为3M =，即3a b c ++=，由柯西不等式有2222222()(111)()a b c a b c ++++≥++，得2223a b c ++≥，当且仅当1a b c ===时，等号成立.【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，三角不等式求最值，构造柯西不等式证明不等式.。
2020年广东省茂名市高考数学二模试卷(文科)(含答案解析)
2020年广东省茂名市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合2，3，4，，3，，，则A. B. 3，C. D.2.若，x，，则复数的虚部为A. 2B. 1C. iD.3.已知函数在点处的切线方程为，则A. B. 1 C. D. 04.函数的图象如图所示，则的值为A.B. 1C.D.5.下列命题错误的是A. “”是“”的充要条件B. 命题“若，则方程有实根”的逆命题为真命题C. 在中，若“”，则“”D. 若等比数列公比为q，则“”是“为递增数列”的充要条件6.易系辞上有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案，蕴含了深奥的宇宙星象之理，被誉为“宇宙魔方”，是中华文化阴阳术数之源．河图的排列结构如图所示，一与六共宗居下，二与七为朋居上，三与八为友居左，四与九同道居右，五与十相守居中，其中白圈为阳数，黑点为阴数，若从阳数和阴数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为A. B. C. D.7.“辗转相除法”是欧几里得原本中记录的一个算法，是由欧几里得在公元前300年左右首先提出的，因而又叫欧几里得算法．如图所示是一个当型循环结构的“辗转相除法”程序框图．当输入，时，则输出的m是A. 2B. 6C. 101D. 2028.已知双曲线的离心率为2，其一条渐近线被圆截得的线段长为2，则实数m的值为A. B. C. 2 D. 19.已知函数是定义在R上的偶函数，当时，则使不等式成立的x取值范围是A. B.C. D.10.函数在的图形大致是A. B.C. D.11.已知三棱锥中，，，，，且平面平面ABC，则该三棱锥的外接球的表面积为A. B. C. D.12.已知函数，对于函数有下述四个结论：函数在其定义域上为增函数；对于任意的，都有成立；有且仅有两个零点；若在点处的切线也是的切线，则必是零点．其中所有正确的结论序号是A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量，，若，则______．14.为了贯彻落实十九大提出的“精准扶贫”政策，某地政府投入16万元帮助当地贫困户通过购买机器办厂的形式脱贫，假设该厂第一年需投入运营成本3万元，从第二年起每年投入运营成本比上一年增加2万元，该厂每年可以收入20万元，若该厂年后，年平均盈利额达到最大值，则n等于______盈利额总收入总成本15.在棱长为2的正方体中，E是棱的中点，则平面截该正方体所得截面面积为：______．16.过点作圆的切线l，已知A，B分别为切点，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和下顶点，则直线AB方程为______；椭圆的标准方程是______第一空2分，第二空3分三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．求cos C；若，求的面积．18.某种治疗新型冠状病毒感染肺炎的复方中药产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标越大表明质量越好，为了提高产品质量，我国医疗科研专家攻坚克难，新研发出A、B两种新配方，在两种新配方生产的产品中随机抽取数量相同的样本，测量这些产品的质量指标值，规定指标值小于85时为废品，指标值在为一等品，大于115为特等品．现把测量数据整理如下，其中B配方废品有6件．质量指标值分组频数8a36248求a，b的值；试确定A配方和B配方哪一种好？说明：在统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表19.如图1，在▱ABCD中，，，，E为边AD的中点，以BE为折痕将折起，使点A到达P的位置，得到图2几何体．证明：；当平面PEB时，求三棱锥的体积．20.已知抛物线C：与直线l：相切于点A，点B与A关于x轴对称．求抛物线C的方程，及点B的坐标；设M、N是x轴上两个不同的动点，且满足，直线BM、BN与抛物线C 的另一个交点分别为P、Q，试判断直线PQ与直线l的位置关系，并说明理由．如果相交，求出的交点的坐标．21.设函数．讨论的单调性；若，当，且时，，求n的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C：，为参数，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程，点在直线l上，直线l与曲线C交于A，B两点．求曲线C的普通方程及直线l的参数方程；求的面积．23.已知函数．若，求x的取值范围；若最大值为M，且，求证：．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：2，3，4，，3，，，，3，，3，，．故选：B．进行交集、并集和补集的运算即可．本题考查了列举法的定义，交集、并集和补集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.答案：B解析：解：，，，的虚部是1，故选：B．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求得x，y，则答案可求．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.答案：D解析：解：因为切点在切线上，，得，又切线斜率为，．．故选：D．将切点横坐标代入切线方程，可求得，切线的斜率即为切点处的导数值，即．本题考查导数的几何意义，以及利用导数求切线方程的基本思路．属于基础题．4.答案：B解析：【分析】根据函数的图象求得A、T、和的值，写出的解析式，再计算的值．本题考查了的图象与性质，是基础题．【解答】解：根据函数的图象可得，，解得，根据，且，得，，又的图象过点，，即，，，，又因，，，计算．故选：B．5.答案：D解析：解：由，A正确；命题“若，则方程有实根”的逆命题为命题“若方程有实根，则”，方程有实根，B正确；在中，若根据正弦定理，C正确；例如数列，，，是的等比数列，但该数列单调递减；又如数列，，，是单调递增数列，但，因此对于公比为q的等比数列，“”是“为递增数列”的既不充分也不必要条件，D错误．故选：D．A，用配方法解一元二次方程即可作出判断；B，先写出原命题的逆命题，再根据判别式，解得m的取值范围，即可作出判断；C，先根据大角对大边，再结合正弦定理即可得解；D，列举特殊数列：例如，，，和，，，，可以说明“”是“为递增数列”的既不充分也不必要条件．本题考查命题的真假，涉及原命题与逆命题的关系、充要条件等知识点，考查学生灵活运用知识的能力和推理论证能力，属于基础题．6.答案：A解析：【分析】阳数为：1，3，5，7，9，阴数为：2，4，6，8，10，从阴数和阳数中各取一数的所有组合共有：个，利用列举法求出满足差的绝对值为5的有5个，由此能求出其差的绝对值为5的概率．本题考查概率的求法，考查列举法等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力，属于基础题．【解答】解：因为阳数为：1，3，5，7，9，阴数为：2，4，6，8，10，所以从阴数和阳数中各取一数的所有组合共有：个，满足差的绝对值为5的有：，，，，共5个，则．故选：A．解析：解：输入，，又．，，，，；，，，；，．，，；，则否，输出．故选：C．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量m的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．8.答案：C解析：解：依题意：，可得，双曲线渐近线方程为：．不妨取渐近线：，则圆心到的距离．由勾股定理得，解得，，，故选：C．利用双曲线的离心率，求出a，b关系，得到双曲线的渐近线方程，利用垂经定理，转化求解即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，直线与圆的位置关系的应用，是基本知识的考查．9.答案：A解析：【分析】根据题意，由函数的解析式可得且在上为减函数，结合函数的奇偶性可得，解可得x的取值范围，即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及绝对值不等式的解法，属于基础题．【解答】解：根据题意，当时，，则有，且在上为减函数，又由为偶函数，则，解可得：或，即x的取值范围为；10.答案：A解析：解：，函数是奇函数，图象关于原点对称，排除选项D；在y轴右侧第一个零点为．当时，，，，，排除选项B；当时，，，，且，．故选：A．先计算，与进行比较，可判断函数的奇偶性，优先排除选项D，再当时，判断函数每一部分的正负性可排除选项B，最后计算时，可得，从而确定正确的选项．本题考查函数的图象与性质，一般从函数的奇偶性、单调性和特殊点处的函数值等方面着手思考问题，考查学生的逻辑推理能力，属于基础题．11.答案：B解析：解：在中，由余弦定理得，又，为直角三角形，，又平面平面ABC且交于AB，平面PAB，设的外接圆的圆心为M，半径为r，则，，且三棱锥的外接球的球心在过点M的平面PAB的垂线上，如图所示：，因为平面PAB，所以几何体的外接球的球心到平面PAB的距离为，即，设几何体的外接球半径为R，在中，则，所求外接球的表面积，先求出AB，得到为直角三角形，所以平面PAB，所以几何体的外接球的球心到平面PAB的距离为，再利用正弦定理求出的外接圆半径为r，利用勾股定理即可求出几何体的外接球半径为R，从而得到外接球的表面积．本题主要考查了三棱柱的外接球，是中档题．12.答案：C解析：解：依题意，的定义域为，且，在区间和上都是增函数，但并不能说明其在整个定义域内是增函数，即错误；当时，有，成立，即正确；在区间上单调递增，且，．，即在区间上有且仅有1个零点．在区间上单调递增，且，，，也可以利用当时，，，即在区间上有且仅有1个零点．因此，有且仅有两个零点，即正确；在点处的切线方程l为．又l也是的切线，设其切点为，则l的斜率，从而直线l的斜率，，即切点为，又点A在l上，，，必是零点，即正确．综上，正确的有，故选：C．对函数求导得，只能说明在区间和上都是增函数，但并不能说明其在整个定义域内是增函数；直接计算的值，分离常数后，在的条件下，与比较大小即可作出判断；由可知，在区间和上都是增函数，分别在两个区间上使用零点存在定理进行判断，其中找区间端点值是关键步骤；先写出在点处的切线方程l，再设直线l与相切于点，利用导数求出斜率以及把点A坐标代入切线l的方程，化简整理后可得，故而即可作出判断．本题考查利用导数研究函数的切线方程、单调性和零点问题，有一定的综合性，考查学生的推理论证能力和运算能力，属于中档题．13.答案：3解析：解：向量，，若，则，，故答案为：3．由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求得k的值．本题主要考查两个向量垂直的性质、两个向量的数量积公式，属于基础题．14.答案：4解析：解：设每年的营运成本为数列，依题意该数列为等差数列，且，．所以n年后总营运成本，因此，年平均盈利额为：，当且仅当时等号成立．故答案为：4．设每年的营运成本为数列，依题意该数列为等差数列，且，所以n年后总营运成本，因此，年平均盈利额为：，利用基本不等式的性质即可得出．本题考查了等差数列的通项公式求和公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15.答案：解析：解：如图，在正方体中，平面平面，平面与平面的交线必过C且平行于，故平面经过的中点F，连接，得截面，易知截面是边长为的菱形，其对角线，，截面面积．故答案为：．作出截面截面，F为的中点，则可得截面是边长为的菱形，求出其面积即可本题考查平面截正方体所得截面的面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．16.答案：解析：解：当过点的直线l斜率不存在时，直线方程为：，切点的坐标；当直线l斜率存在时，设l方程为，根据直线与圆相切，圆心到切线的距离等于半径1，可以得到切线斜率，即l：直线l方程与圆方程的联立可以得切点的坐标；根据A、B两点坐标可以得到直线AB方程为，或利用过圆外一点作圆的两条切线，则过两切点的直线方程为依题意，AB与x轴的交点即为椭圆右焦点，得，与y轴的交点即为椭圆下顶点坐标，所以，根据公式得，因此，椭圆方程为：．故答案为：；．当过点的直线l斜率不存在时，直线方程为：，切点的坐标；当直线l斜率存在时，设l方程为，利用直线与圆相切，求出，得到l：然后求解；得到直线AB方程为，然后利用椭圆的性质，转化求解a，b，得到椭圆方程．本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆方程的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．17.答案：解：依题意，由正弦定理得：，，，，，，．由题意得：，，，，，，，．解析：依题意由正弦定理得：，利用二倍角公式结合，，即可求解．由题意得：，，利用同角三角函数基本关系式可求sin C的值，利用二倍角公式可求sin B，cos B的值，进而利用两角和的正弦函数公式可求sin A的值，利用三角形的面积公式即可求解．本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．18.答案：解：依题意，A、B配方样本容量相同，设为n，又B配方废品有6件．由B配方的频频率分布直方图，得废品的频率为，解得，，由，解得，b的值分别为24，．由及A配方的频数分布表得，A配方质量指标值的样本平均数为：，质量指标值的样本方差为，由B配方的频频率分布直方图得，B配方质量指标值的样本平均数为，质量指标值的样本方差为：，综上，，，即两种配方质量指标值的样本平均数相等，但A配方质量指标值不够稳定，所以选择B配方比较好．解析：、B配方样本容量相同，设为n，B配方废品有6件．由B配方的频频率分布直方图，能求出，从而求出a和b．由A配方的频数分布表能求出A配方质量指标值的样本平均数和质量指标值的样本方差；由B 配方的频频率分布直方图能求出B配方质量指标值的样本平均数和质量指标值的样本方差，由两种配方质量指标值的样本平均数相等，但A配方质量指标值不够稳定，得到选择B配方比较好．本题考查频数和频率的求法，考查平均数、方差的求法及应用，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19.答案：解：证明：依题意，在中，，，，由余弦定理得：，，即在▱ABCD中，，以BE为折痕将折起，由翻折不变性得，在几何体中，，又，平面PED，又平面PEB，．解：平面PEB，平面PEB，，由得，同理可得平面BCE，即平面BCD，PE就是三棱锥的高，又，，，，，．因此，三棱锥的体积为．解析：由余弦定理得，从而，进而，以BE为折痕将折起，由翻折不变性得，，又，从而平面PED，由此能证明．推导出，，从而平面BCE，PE就是三棱锥的高，由，能求出三棱锥的体积．本题考查线线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.答案：解：联立，消去x得，直线与抛物线相切，，又，解得，抛物线C的方程为，由，得，切点为，点B与A关于x轴对称，点B的坐标．直线，理由如下：依题意直线BM的斜率不为0，设，直线BM的方程为，由，，直线BM的方程为，代入解得舍或，，，、N关于AB对称，得，同理得BN的方程为，代入得，，直线l的斜率为，因此．解析：联立，消去x得，通过直线与抛物线相切，解得，得到抛物线C的方程，然后求解即可．直线，证明直线BM的斜率不为0，设，直线BM的方程为，求出直线BM的方程，代入求出，，然后求解即可．本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，抛物线的简单性质的应用，考查分析问题解决问题的能力，属于难题．21.答案：解：依题得，定义域为R，，，分令，，若，即，则恒成立，从而恒成立，当且仅当，时，，所以在R上单调递增分若，即，令，得或，当时，，分当时，，分综合上述：当时，在R上单调递增；当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增分依题意可知：分令，可得，分，，设，则，分当时，，单调递减，分故，分要使在时恒成立，需要在上单调递减，所以需要，分即，此时，故，综上所述，n的取值范围是分解析：对求导后，再令，，接下来分及两种情况讨论得出结论；利用导数求出函数的最大值，只需其最大值小于等于0即可，进而求得n的取值范围．本题考查利用导数研究函数的单调性，最值，考查不等式的恒成立问题，考查分类讨论思想，逻辑推理能力，属于中档题．22.答案：解：将曲线C：，为参数，消去参数得，曲线C的普通方程为：．点在直线上，．，展开得，又，，直线l的直角坐标方程为，显然l过点，倾斜角为．直线l的参数方程为为参数．由，将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程，整理得：，设A，B对应的参数为，，则由韦达定理得，由参数t的几何意义得，又原点O到直线l的距离为．因此，的面积为．解析：直接利用转换关系，把参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．利用一元二次方程根和系数关系式的应用和点到直线的距离公式的应用及三角形面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：由已知分当时，，不符合；分当时，，由，即，解得，分当时，，恒成立分综上，x的取值范围是分证明：由知，当且仅当时，，分即，分，，，分，分因此分解析：分类讨论解不等式，再把每种情况的解集取并集即可；由知，，再利用基本不等式即可得证．本题考查绝对值不等式的解法以及基本不等式的运用，考查分类讨论思想，运算求解能力以及推理论证能力，属于基础题．。
2020届广东省茂名市高三二模语文试题
2020年茂名市高三级第二次综合测试本试卷共10页，22小题，满分150分。
考试用时150分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、现代文阅读(36分)（一）论述类文本阅读（本题共3小题，9分）阅读下面的文字，完成下面小题。
①山珍海味何其多，但在国人心里，总有一个温暖的位置留给粥。
这种可能在新石器时代就已诞生的食物，是属于华人世界精神家园共通的符号。
②粥是如何诞生的？如果要回到史料堆里寻找，三国时期谯周所著的《古史考》中即有“黄帝始有釜甑，火食之道成。
黄帝始蒸谷为饭，烹谷为粥”，《说文解字》也把这一功绩记在了黄帝身上，说“黄帝初教作糜”。
黄帝的历史发生于文字出现前，今天我们对此已难加考证，但如果从煮粥的容器入手，倒是可以做一番猜测。
③史学家们通常认为，新石器时代的先民常食用的几种谷物分别为黍、稷、粟、稻。
无论何种谷物，脱壳以后的做法一是火烤，二是石燔，而粥的做法属于第三种，同样也是火上加热，但要置于容器里加水，使其软化——也就是《古史考》里黄帝的“蒸谷为饭，烹谷为粥”。
在这一过程中，水与米的比例决定了最终的成品是饭还是粥。
正如清朝著名美食家袁枚给粥下的定义为：“见水不见米，非粥也；见米不见水，非粥也。
必使水米融洽，柔腻如一，而后谓之粥。
”追溯粥的起源至黄帝时代，倒不如说在黄帝时代诞生了适合煮粥的容器。
汉代的学者认为黄帝发明了“釜”“甑”这样的烹饪器具，于是顺带把粥的发明也归功于他。
其实从新石器时代起，适合“加水烹煮”的陶器除了“鼎”“釜”以外，还有出现在中晚期的“鬲”“戽”“规”等。
其中“鬲”一字的意思是三足的锅，恰好是“粥”的繁体字“鬻”的下半部分；“鬻”字上半部，“米”字两旁的“弓”，则描绘了煮米时袅袅上升的蒸汽。
广东省茂名市2020届高三第二次综合测试(文科)数学(解析版)
广东省茂名市2020届高三第二次综合测试（文）数学一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的)1．已知集合U ={1, 2, 3, 4, 5}，A ={2, 3, 5}，B ={2, 5}，则( ) A. A ⊂B B. ∁U B ={1, 3, 4} C. A ∪B ={2, 5} D. A ∩B ={3} 2．若，则复数的虚部为( ) A.2 B.1 C. D.−13．已知函数f (x )在点(1, f (1))处的切线方程为x +2y −2=0，则f (1)+f ′(1) =( ) A ． B ．1 C ． D ．04．函数的图象如图所示，则的值为( )A ．B ．1C ．D ．5．下列命题错误的是( ) A ．“x ＝2”是“x 2−4x +4＝0”的充要条件B ．命题“若，则方程x 2+x −m ＝0有实根”的逆命题为真命题C ．在△ABC 中，若“A ＞B ”，则“sin A ＞sin B ”D ．若等比数列{a n }公比为q ，则“q ＞1”是“{a n }为递增数列”的充要条件6．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案，蕴含了深奥的宇宙星象之理，被誉为“宇宙魔方”，是中华文化阴阳术数之源。
河图的排列结构如图所示，一与六共宗居下，二与七为朋居上，三与八同道居左，四与九为友居右，五与十相守居中，其中白圈为阳数，黑点为阴()i 2i,,R x i y x y -=+∈i x y +i 3212()=sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ+>><()3f π122314m ≥-第6题图数，若从阳数和阴数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为：( ) A.B.C.D. 7．“辗转相除法”是欧几里得《原本》中记录的一个算法，是由欧几里得在公元前300年左右首先提出的，因而又叫欧几里得算法.如图所示是一个当型循环结构的“辗转相除法”程序框图.当输入m =2020，n =303时，则输出的m 是( )A. 2B. 6C. 101D. 2028．已知双曲线(a ＞0, b ＞0)的离心率为2， 其一条渐近线被圆(x −m )2+y 2=4(m ＞0)截得的线段长为2，则实数m 的值为( )AB C ．2 D ．19．已知函数是定义在R 上的偶函数，当时，．则使不等式成立的x 取值范围是( )A. B. C. D.10．函数在[−5, 5]的图形大致是( )11．已知三棱锥 中，且平面P AB ⊥平面ABC ，则该三棱锥的外接球的表面积为( )A ．B ．C ．D ．12．已知函数，对于函数有下述四个结论：①函数在其定义域上为增函数；②对于任意的，都有成立；③有且仅有两个零点；④若y =e x 在点处的切线也是y =ln x 的切线，则x 0必是零点．其中所有正确的结论序号是 A ．①②③ B ．①② C ．②③④ D ．②③二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置) 13．已知向量，，若，则 .1562572582522221y x a b-=()f x 0x ≥()1()22xf x =+9(1)4f x -<(,1)(3,)-∞-+∞∪(1,3)-(0,2)(,0)(2,)-∞+∞∪()1+e ()cos 1e xx f x x =⋅-P ABC -2,5,4,3APB PA PB AC BC π∠=====16π28π24π32π+1()=e 1x x f x x --()f x ()f x 0a <()1f a >-()f x 00(,e )x x 0(1)x ≠()f x (4,2)a =-r(1,1)b =-r ()b a kb ⊥+rrrk =14. 为了贯彻落实十九大提出的“精准扶贫”政策，某地政府投入16万元帮助当地贫困户通过购买机器办厂的形式脱贫，假设该厂第一年需投入运营成本3万元，从第二年起每年投入运营成本比上一年增加2万元，该厂每年可以收入20万元，若该厂n （n ∈N*）年后，年平均盈利额达到最大值，则n 等于 . （盈利额=总收入−总成本）15．在棱长为2的正方体ABCD –A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点，则平面A 1EC 截该正方体所得截面面积为： .16．过点作圆的切线，已知A ，B 分别为切点，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和下顶点，则直线AB 方程为 ；椭圆的标准方程是 . （第一空2分，第二空3分）三、解答题：(共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答) (一)必考题：共60分17．(分)在中，角，，的对边分别为，，，已知，． (1)求；(2)若，求的面积．()11,2P -221x y +=l 12ABC △A B C a b c 2B C =34b c =cos C 3c =ABC △1218．(分)某种治疗新型冠状病毒感染肺炎的复方中药产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标越大表明质量越好，为了提高产品质量，我国医疗科研专家攻坚克难，新研发出A、B两种新配方，在两种新配方生产的产品中随机抽取数量相同的样本，测量这些产品的质量指标值，规定指标值小于85时为废品，指标值在[85,115)为一等品，大于115为特等品. 现把测量数据整理如下, 其中B配方废品有6件.A配方的频数分布表(1)求a, b的值；(2)试确定A配方和B配方哪一种好？(说明：在统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表)19．(分)如图1，在□ABCD中，AD=4，AB，∠DAB=45°，E为边AD的中点，以BE为折痕将△ABE 折起，使点A到达P的位置, 得到图2几何体P−EBCD.(1)证明：；(2)当BC⊥平面PEB时，求三棱锥C−PBD的体积.20．(分)已知抛物线C:y2=2px (p＞0)与直线l: x+y+1=0相切于点A，点B与A关于x轴对称.(1)求抛物线C的方程，及点B的坐标；(2)设M、N是x轴上两个不同的动点，且满足∠BMN=∠BNM，直线BM、BN 与抛物线C的另一个交点分别为P、Q，试判断直线PQ与直线l的位置关系，并说明理由.如果相交，求出的交点的坐标.12PD BE1221．(分)设函数.(1)讨论的单调性；(2)若，当m =1，且时，，求的取值范围.(二)选考题：共10分请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时， 请用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．22．[选修4−4：坐标系与参数方程] (10分)在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C : (θ为参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程，点M) 在直线l 上，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点.(1)求曲线C 的普通方程及直线l 的参数方程；(2)求△OAB 的面积.23．[选修4-5：不等式选讲](10分)已知函数f (x )=|x +1|−|x −2|.(1)若f (x )≤1，求x 的取值范围； (2)若f (x )最大值为M ，且a +b +c =M ，求证：a 2+b 2+c 2≥3.122()(+)e x f x x m =()f x ()2e 1()x g x nx f x =---0x ≥()0g x ≤n ,,x y θθ=⎧⎨=⎩cos()4a πρθ-=4π参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）提示：1. B 【解析】∵U ={1, 2, 3, 4, 5}，B ={2, 5}，∴∁U B ={1, 3, 4}. 故选B.2. B 【解析】，所以的虚部，故选B .3. D 【解析】切点(1, f (1))在切线x +2y −2=0上，∴1+2f (1)−2=0，得f (1)=，又切线斜率故选D.4. B 【解析】根据图象可得，，即，根据，得, ∴, 又的图象过点，∴,即，∴，，又因，∴ ，∴，，故选B.5.D.【解析】由x 2−4x +4＝0⇔(x −2)2=0⇔ x −2=0⇔ x ＝2，∴A 正确；命题“若, 则方程x 2+x −m ＝0有实根”的逆命题为命题“若方程x 2+x −m ＝0有 实根，则”，∵方程x 2+x −m ＝0有实根⇒△=1+4m ≥0⇒，∴B 正确；在△ABC 中，若A ＞B ⇒a ＞b ⇒sin A ＞sin B (根据正弦定理) ∴C 正确；故选D.(事实上等比数列{a n }公比为q ，则“q ＞1”是“{a n }为递增数列”的既不充分也不必要条件) 6. A.【解析】∵阳数为：1, 3, 5, 7, 9；阴数为：2, 4, 6, 8, 10，∴从阳数和阴数中各取一数 的所有组合共有：个，满足差的绝对值为5的有：(1, 6), (3, 8), (5, 10), (7, 2)， (9, 4)共5个, 则, 故选A. 7. C 【解析】输入m =2020，n =303，又r =1. ①r =1＞0，2020÷303=6··············202， r =202，m =303，n =202；②r =202＞0，303÷202=1 (101)(i)i 1i 2i,2,1x x y x y -=+=+==∵∴i x y +1y =121(1),2k f '==-(1)(1)0.f f '+=2A =22362T πππ=-=T π=2||T πω=0,ω>22πωπ==2sin(2)y x ϕ=+()f x (,2)6π22sin(2)6πϕ=⨯+22,Z 62k k ππϕπ⨯+=+∈26k πϕπ=+Z k ∈||2πϕ<6πϕ=()2sin(2)6f x x π=+5()2sin(2)2sin 13366f ππππ=⨯+==14m ≥-14m ≥-14m ≥-5525⨯=51525p ==r =101，m =202，n =101；③r =101＞0，202÷101=2··············0. r =0，m =101，n =0；④r =0，则r ＞0否，输出m =101，故选C.8.C.【解析】依题意: ∴双曲线渐近线方程为不妨取渐近线l 1，则圆心(m ,0) (m ＞0)到l 1的距离. 由勾股定理得，解得，∵m ＞0，∴m =2，故选C ．9. A.【解析】∵，由得，.又∵为偶函数，, 易知在上为单调递减，∴或，即或，故选A.10. A 【解析】易知f (−x )= −f (x )，即函数f (x )是奇函数，图象关于原点对称，排除D ， f (x )在y 轴右侧第一个零点为.当时，，∴f (x )＜0排除B ，当x (＞0)→0时，则, 且∴y →−∞.故选A.(当时，.,排除C)11. B 【解析】在中，由余弦定理得 ，又， ∴为直角三角形， ，又平面P AB ⊥平面ABC 且交于AB ， ∴CB ⊥平面P AB ，∴几何体的外接球的球心到平面P AB 的距离为，设的外接圆半径为,则∴设几何体的外接球半径为R ，则， 所求外接球的表面积 故选B.12.解析：依题意定义域为(−∞, 1)∪(1, +∞)，且，∴在区间(−∞, 1)和(1, +∞)上是增函数，①错；2c b a a =⇒=.y =0y -=d =2222()22+=2m =±9(2)=4f 9(1)4f x -<(1)(2)f x f -<()f x (|1|)(2)f x f -<∴()f x (0,)+∞|1|2x ->∴12x ->12x -<-3x >1x <-2x π=02x π<<1+e 0,1e 0,cos 0x x x >-<>1+e 2,1e 0,cos 1x x x →-→→1e 0x -<02x π<<()1+e 2cos ()cos =cos 1e 1exx x x f x x x =⋅---222(e cos e sin sin )2(e sin sin )()=+sin +sin 0(1e )(1e )x x x x x x x x x x f x x x +--'>>--PAB △3AB =222AC AB BC =+ABC △CB AB ⊥1=22BC PAB ∆r 322sin 3r π==r 22227R =+=2428,S R ππ==()f x 22()=e (1)x f x x '+-()f x∵当时，则，因此成立，②对；∵在区间(−∞, 1)上单调递增，且 ∴，即在区间(−∞, 1)上有且仅有1个零点.∵在区间(1, +∞)上单调递增，且，∴，(也可以利用当时，，)得在区间(1, +∞)上有且仅有1个零点. 因此,有且仅有两个零点；③对 ∵y =e x 在点处的切线方程l 为.又l 也是y =ln x 的切线，设其切点为，则l 的斜率， 从而直线l 的斜率，∴，即切点为，又点在l 上. ∴，即x 0必是零点．④对. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13．3 14. 4 15. 16. 2x −y −2=0(2分);(3分). 提示：13.【答案】3【解析】∵ ，∴，即，由已知得，∴14.【答案】4【解析】设每年的营运成本为数列，依题意该数列为等差数列，且 所以n 年后总营运成本，因此，年平均盈利额为：当且仅当时等号成立.15.【答案】【解析】在正方体ABCD –A 1B 1C 1D 1中， ∵平面A 1D 1DA ∥平面B 1C 1CB ，∴平面A 1EC 与平面B 1C 1CB 的交线必过C 且平行于A 1E ， 故平面A 1EC 经过B 1B 的中点F ，连接A 1F ，得截面A 1ECF ， 易知截面A 1ECFEF =BD，A 1C=，截面面积S =A 1C ⨯EF =⨯⨯=16.【答案】2x −y −2=0，.0a <2e 01a a ->-+12()=e =1e 111a a a f a a a --+->---()f x 22111(2)=e =0,(0)=2>0.e33f f ----<(2)(0)0f f -⋅<()f x ()f x 552445()=e 93304f -<-<2(2)=e 3>0f -5()(2)04f f ⋅<1x +→()f x →-∞2(2)=e 3>0f -()f x ()f x 00(,e )x x 0(1)x ≠000e =e ()x x y x x --11(,ln )A x x 11k x =011==e x k x 01=e x x -00(e ,)x A x --A 00000e =e (e )x x x x x ----000+1e 01x x x ⇒-=-0(1)x ≠()f x 22154y x +=()b a kb ⊥+r r r()0b a kb ⋅+=r r r 2||0b a k b ⋅+=r r r 426,b a ⋅=--=-r r ||b =r620 3.k k -+=⇒={}n a 1=3,=2.a d 2S 2n n n =+220(2)1616181810,n n n n n n -+-=--+≤-=4n =121222154y x +=【解析】①当过点的直线斜率不存在时, 直线方程为：x =1, 切点的坐标;②当直线斜率存在时, 设方程为, 根据直线与圆相切, 圆心(0,0)到切线的距离等于半径1,可以得到切线斜率, 即：.直线方程与圆方程的联立可以得切点的坐标；根据A 、B 两点坐标可以得到直线AB 方程为2x −y −2=0,（或利用过圆外一点作圆的两条切线，则过两切点的直线方程为）依题意，AB 与x 轴的交点即为椭圆右焦点，得，与y 轴的交点即为椭圆下顶点坐标，所以，根据公式得，因此，椭圆方程为：.三、解答题：共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答. (一)必考题：共60分17. 解：(1)依题意，由正弦定理得：．·····································1分 ∵，∴， ·······················································2分 ∴， ······························································3分 ∴，，··················4分 ∴． ···············5分(2)解法一：由题意得：. ··················································6分 ∵，∴， ··········································7分 ∴， ···············································8分 ， ···············································9分∴. ···········10分················································11分∴·····································12分解法二：由题意及(1)得：. ··································6分∵，∴， ···········································7分 由余弦定理得：， ························8分即， 解得.···············································9分1(1,)2-l 10(,)A l l 1=(1)2y k x --34k =l 35=44y x -l 3455(,)B -222+=x y r 00(,)x y 200x x y y r +=10(,)1c =02(,)-2b =2225a b c =+=22154y x +=3sin 4sin B C =2B C =3sin24sin C C =3sin cos 2sin C C C =(0,)C π∈sin 0C ≠2cos 3C =3,4c b ==(0,)C π∈sin C ==sin sin 22sin cos B C C C ==221cos cos2cos sin 9B C C C ==-=-sin sin()sin()sin cos cos sin A B C B C B C B C π=--=+=+2139=-11sin 4322ABC S bc A ==⨯⨯=V 3,4c b ==2cos 3C =(0,)C π∈sin C ==222=+2cos c a b ab C -229=+1683a a -⨯231621=0a a -+7=3=3a a 或若，又 则A =C ，又B =2C ，得△ABC 为直角三角形，而三边为的三角形不构成直角三角形，矛盾. ∴. ·················11分 ∴. ·······································12分 18.解：(1)依题意，A 、B 配方样本容量相同，设为n ，又B 配方废品有6件. 由B 配方的频频率分布直方图，得废品的频率为， ·················1分 解得n =100. ···················2分 ∴a =100−(8+36+24+8)=24. ···············3分 由(0.006+b +0.038+0.022+0.008)⨯10=1 ······························4分 解得b =0.026.因此a , b 的值分别为24, 0.026； ································5分(2)由(1)及A 配方的频数分布表得，A 配方质量指标值的样本平均数为····7分 质量指标值的样本方差为[(−20)2⨯8+(−10)2⨯24+0⨯36+102⨯24+202⨯8]=112.···8分 由B 配方的频频率分布直方图得，B 配方质量指标值的样本平均数为=80⨯0.06+90⨯0.26+100⨯0.38+110⨯0.22+120⨯0.08=100. ··············9分 质量指标值的样本方差为=(−20)2⨯0.06+(−10)2⨯0.26+0⨯0.38+102⨯0.22+202⨯0.08=104. ········10分 综上，＞， ···································11分即两种配方质量指标值的样本平均数相等，但A 配方质量指标值不够稳定，所以选择B 配方比较好. ···········································································12分(2)当BC ⊥平面PEB 时，求三棱锥C −PBD 的体积.19. 证明：（1）依题意，在△ABE 中，AE =2，ABEAB =45°，由余弦定理得EB 2=AB 2+AE 2−2AB ·AE cos45°=8+4−2⨯⨯2=4，·······························································2分∴AB 2= AE 2+EB 2， ···········································································3分 即在□ABCD 中，EB ⊥AD . ····································································4分 =3a 3,c ==3,4,3a b c ==7=3a 711sin 4223ABC S ab C ==⨯⨯=V 60.00610n =⨯808902410036110241208=100A x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯20082002410036==100.100⨯+⨯+⨯21=100A sB x 5221()Bi i i s x x p ==-∑A B x x =2A s 2B s以BE 为折痕将△ABE 折起，由翻折不变性得，在几何体P −EBCD 中，EB ⊥PE ，EB ⊥ED . 又ED ∩PE =E ，∴BE ⊥平面PED ， ···························5分 又BE ⊂平面PEB ，∴； ·······················································6分(2)∵BC ⊥平面PEB ，PE ⊂平面PEB ，∴ BC ⊥PE . ····································7分 由(1)得 EB ⊥PE ，同理可得PE ⊥平面BCE ，·············································8分 即PE ⊥平面BCD ，PE 就是三棱锥P −CBD 的高. ········································9分 又∠DCB =∠DAB =45°，BC =AD =4，CD =AB，PE =AE =2，∴S △CBD =⨯BC ⨯CD ⨯sin45°=⨯4⨯=4. ·································10分 V C −PBD =V P −CBD =S △BCD ⨯PE =⨯4⨯2=. 因此，三棱锥C −PBD 的体积为.··························································12分 （写出V C −PBD =V P −CBD 得1分，结果正确并作答得1分）20.解： (1)联立·········································1分 消去x 得y 2+2py +2p =0，···········································2分∵直线与抛物线相切，∴△=4p 2−8p =0，又p ＞0，解得p =2，∴抛物线C 的方程为y 2=4x ．·········3分由y 2+4y +4=0，得y =−2，∴切点为A (1, −2)，∵点B 与A 关于x 轴对称，点B 的坐标B (1, 2). ···········4分(2)直线PQ ∥l . ····························5分 理由如下：依题意直线BM 的斜率不为0, 设M (t , 0)(t ≠1), 直线BM 的方程为x =my +t , ·····6分 由(1)B (1, 2)，1=2m +t ，∴直线BM 的方程为x =y +t ， ·························7分 代入y 2=4x ．解得y =2(舍)或y =−2t ，∴P (t 2,−2t ). ·······························8分 ∵∠BMN =∠BNM ，∴ M 、N 关于AB 对称，得N (2−t , 0) . ·····················9分 同理得BN 的方程为x =y +2−t ，代入y 2=4x ．得Q ((t −2)2, 2t −4). ···········10分 ， ·······················································11分 直线l 的斜率为−1，因此PQ ∥l . ·······················································12分21. 解： (1)依题得，定义域为R ，，，··········1分 令，.①若，即，则恒成立，从而恒成立，当且仅当，时，.PD BE ⊥121213138383{22,10,y px x y =++=12t -12t -224444144(2)PQ t t k tt t --===----()f x 2()(+2+)e x f x x x m '=e 0x >2()2h x x x m =++=44m -△0≤△1m ≥()0h x ≥()0f x '≥1m =1x =-()0f x '=所以在R 上单调递增. ································································2分②若，即，令，得或当时，； ····································3分当时，. ·····················4分 综合上述：当时，在R 上单调递增；当时，在区间上单调递减， 在区间上单调递增. ···················5分 (2)依题意可知： ···················6分 令，可得, ···························································7分 .设，则.·····························8分 当时, ，单调递减, ······································9分 故. ······················································10分 要使在时恒成立,需要在上单调递减，所以需要. ················································· (11)分 即,此时,故.综上所述, 的取值范围是. ······································12分(二)选考题：共10分请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时， 请用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．22. 解:(1)将曲线C :消去参数θ得, 曲线C 的普通方程为:.·····1分 ∵点M )在直线上，∴.············2分∴, 又x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， ∴直线l 的直角坐标方程为x +y −2=0, ························································4分 显然l 过点(1, 1), 倾斜角为. ∴直线l 的参数方程为 (t 为参数). ······································5分 (2)解法一：由(1)，将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程得：()f x 0△＞1m ＜()0h x =1x =-1x =-(11x ∈--()0'<f x (,1(1)x ∈-∞--++∞U ()0f x '>1m ≥()f x 1m ＜()f x (11--+()f x (,1(1)-∞--+∞2()21()1x x x g x e nx f x e x e nx =---=---0x =(0)0g =2()(12)(R)x g x x x e n x '=---∈2()(12)x h x x x e n =---2()(41)x h x x x e '=-++0x ≥()0h x '<()g x '()(0)1g x g n ''≤=-()0g x ≤0x ≥()g x [0,)+∞()10g x n '≤-≤1n ≥()(0)0g x g ≤=1n ≥n [1,)+∞,,x y θθ=⎧⎨⎩22143y x +=4πcos()=4a πρθ-cos()=44a ππ-cos(4πρθ-cos sin ρθρθ+34π1,1,x y ⎧=⎪⎨⎪=+⎩， ····························································6分· 整理得，显然△＞0.设A , B 对应的参数为t 1, t 2, 则由韦达定理得.········7分 由参数t 的几何意义得|AB |=| t 1−t 2， ·· (8)分 又原点O(0,0)到直线l 的距离为····································9分 因此，△OAB 的面积为. ···················10分 (2)解法二: 由(1),联立消去y 得:, 显然△＞0. ····6分 设，则由韦达定理得，.············· ·········7分 由弦长公式得|AB，........... (8)分 又原点O(0,0)到直线l 的距离为 ··································9分 因此，△OAB 的面积为. ··················10分 (2)解法三：由(1),联立消去y 得:, 显然△＞0. ····6分 设，则由韦达定理得，. ·····················7分 ∵直线l 过椭圆右顶点(2,0)，∴，∴ ······················8分 把代入直线l 的方程得，······················9分因此，△OAB 的面积为. ··························10分23．解：(1)由已知·················································1分当x ≥2时，f (x )=3，不符合； ···························································2分 当−1≤x ＜2时, f (x )=2x −1, 由f (x )≤1, 即2x −1≤1, 解得x ≤1, ∴−1≤x ≤1. ······3分2211(1)(1)143++=27100t +-=12t t +=12107t t =-=d =1112||722S AB d ==221,43+20,y x x y ⎧⎪+=⎨-=⎪⎩271640x x -+=1122(,),(,)A x y B x y 12167x x +=1247x x ==d =1112||722S AB d ==221,43+20,y x x y ⎧⎪+=⎨-=⎪⎩271640x x -+=1122(,),(,)A x y B x y 12167x x +=1247x x =21627x +=227x =227x =2127y =2111212||27722S OA y =⋅=⨯⨯=3,2,21,12,(, 1.)3x x f x x x ≥⎧⎪--≤⎨--⎪⎩=＜＜。
【2020茂名市二模】广东省茂名市2020届高三第二次综合测试数学(文)试题 Word版含答案
绝密★启用前 卷类型：A2020年茂名市高三级第二次综合测试文科数学2020.5本试卷分选择题和非选择题两部分，共6页，23小题，满分150分，考试时间120分钟. 注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上.2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内. 写在试题卷草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑. 答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 5．考试结束后，请将答题卡上交.一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的)1．已知集合U ={1, 2, 3, 4, 5}，A ={2, 3, 5}，B ={2, 5}，则( )A. A ⊂BB. ∁U B ={1, 3, 4}C. A ∪B ={2, 5}D. A ∩B ={3} 2．若()i 2i,,R x i y x y -=+∈，则复数i x y +的虚部为( )A.2B.1C.iD.−13．已知函数f (x )在点(1, f (1))处的切线方程为x +2y −2=0，则f (1)+f ′(1) =( )A ．32B ．1C ．12D ．04．函数()=sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ+>><的图象如图所示，则()3f π的值为( )A ．12B ．1 CD5．下列命题错误的是( )A ．“x ＝2”是“x 2−4x +4＝0”的充要条件B ．命题“若14m ≥-，则方程x 2+x −m ＝0有实根”的逆命题为真命题C ．在△ABC 中，若“A ＞B ”，则“sin A ＞sin B ”D ．若等比数列{a n }公比为q ，则“q ＞1”是“{a n }为递增数列”的充要条件 6．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中国 古代流传下来的两幅神秘图案，蕴含了深奥的宇宙星象之理，被誉 为“宇宙魔方”，是中华文化阴阳术数之源。
【KS5U解析】广东省茂名市2020届高三5月第二次综合测试文综地理试题 Word版含解析
我国海外港口投资各阶段，均处于经济高速发展阶段，A错误。2013年我国提出“21世纪海上丝绸之路”，使得我国海外港口 投资建设呈爆发式增长，B正确。港口投资回报率，不是导致2013年我国海外港口的投资建设呈爆发式增长的主要原因，C错误。我国的国际关系一向良好，D错误。故选B。
【6题详解】
我国海外港口投资始于1978年，至今港口投资建设基本覆盖全球范国。下图示意中资海外港口投资格局演化。
据此完成下列各题。
4 根据图示信息可推测我国海外港口投资
A. 遍布于所有大洲B. 增长速度越来越快
C. 集中在发达国家D. 整体上分散在多国
5. 2013年我国海外港口的投资建设呈爆发式的增长，关键原因是
下图为页岩气开采示意图，结合图文材料完成下面小题。
据此完成下列各题。
7. 影响该城市太阳辐射值月变化的主要
A. 海拔高度与天气状况B. 海拔高度与人类活动
C. 正午太阳高度与人类活动D. 正午太阳高度与天气状况
8. 该城市最可能是
A. 北京B. 上海C. 昆明D. 拉萨
【答案】7. D 8. C
【解析】
【7题详解】
城市的海拔高度一般是不会变化的，人类活动对到达地面的太阳辐射量也不会呈现明显的年内变化，A、B、C错误。正午太阳高度的年内变化和天气状况的变化是影响该城市太阳辐射值月变化的主要原因，D正确。故选D。
【2题详解】
“城市蜂窝化”现象的出现，将使城市人居环境质量下降，A错误。市中心对郊区人口的引力将下降，B错误。城市对青壮年劳动力吸引力也下降，将加速城市人口老龄化，C正确。随着城市的发展，相同类型土地利用是趋于集中，而不是分散，D错误。故选C。
【3题详解】
由材料可知，出现“城市蜂窝化”现象的区域，首先要出现人口减少现象。我国西部中小城镇，以人口迁出为主，较易出现“城市蜂窝化”现象，D正确。而我国东部大城市、东部中小城镇、西部大城市，以人口迁入为主，不易出现“城市蜂窝化”，A、B、C错误。故选D。
2020年广东省茂名市五校联盟高考数学二模试卷(文科)
2020年广东省茂名市五校联盟高考数学二模试卷（文科）一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合M={0,1，3，5，7}，N={x|x(x−5)<0}，则M∩N=()A. {1,3}B. {0,1，3}C. {1,3，5}D. {0,1，3，5}2.已知复数z满足z⋅(3−2i)=13i，则z的虚部为()A. −2B. 3iC. 1D. 33.已知cos(π+α)=45，则sin(3π2+α)的值为()A. 35B. −35C. 45D. −454.设a⃗，b⃗ 是两个不共线的平面向量，已知m⃗⃗⃗ =a⃗−2b⃗ ，n⃗=3a⃗+k b⃗ (k∈R)，若m⃗⃗⃗ //n⃗，则k=()A. 2B. −2C. 6D. −65.记曲线y=2a x−2−1(a>0且a≠1)所过的定点为P，若点P在双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线上，则C的离心率为()A. √5B. √52C. √2D. 26.某市2015年至2019年新能源汽车年销量y(单位：百台)与年份代号x之间的关系如表所示：若根据表中的数据用最小二乘法求得y关于x的回归直线方程为ŷ=6.5x+9，则表中m的值为()A. 22B. 25.5C. 28.5D. 307.古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2均在x轴上，C的面积为2√3π，且短轴长为2√3，则C的标准方程为()A. x212+y2=1 B. x24+y23=1 C. x23+y24=1 D. x216+y23=18.将函数f(x)=sinx+x3x2的图象向下平移1个单位长度，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的图象大致是()A. B.C. D.9.四棱锥P−ABCD的三视图如图所示，则异面直线PB与CD所成的角的余弦值为()A. √22B. −√22C. 2√1313D. 3√131310.在《周髀算经》中，把圆及其内接正方形称为圆方图，把正方形及其内切圆称为方圆图．圆方图和方圆图在我国古代的设计和建筑领域有着广泛的应用．山西应县木塔是我国现存最古老、最高大的纯木结构楼阁式建筑，它的正面图如图所示．以该木塔底层的边AB作正方形，以点A或点B为圆心，以这个正方形的对角线为半径作圆，会发现塔的高度正好跟此对角线长度相等．以该木塔底层的边AB作正方形，会发现该正方形与其内切圆的一个切点D正好位于塔身和塔顶的分界线上．经测量发现，木塔底层的边AB不少于47.5米，塔顶C到点D的距离不超过19.9米，则该木塔的高度可能是()(参考数据：√2≈1.414)A. 66.1米B. 67.3米C. 68.5米D. 69.0米11.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，若对任意的x∈R，都有3f(x)+xf′(x)<0，且f(2)=10，则不等式x2f(x)>80x(x≠0)的解集为()A. (−∞,0)B. (0,2)C. (2,+∞)D. (−∞,0)∪(0,2)12. 已知函数f(x)=|cos2x +cosx|，有下列四个结论：①f(x)为偶函数；②f(x)的值域为[0,98]；③f(x)在[−5π4,−π]上单调递减；④f(x)在[−2π,2π]上恰有8个零点．其中所有正确结论的序号为( )A. ①③B. ②④C. ①②③D. ①③④二、填空题（本大题共3小题，共15.0分）13. 命题“∃x 0∈(1,+∞)，x 02+x 0≤2”的否定为______．14. 已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且S 3=15，a 3+a 4+a 5=27，则S 10=______．15. 已知长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的共顶点的三条棱长度之比为1：1：2，且其外接球的表面积为16π，则该长方体的全面积为______．三、多空题（本大题共1小题，共5.0分）16. 已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且bsinA −√3acosAcosC =√3ccos 2A ，则tanA = ；若a =2，则b +c 的取值范围为 (用区间表示)． 四、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 记S n 为等比数列{a n }的前n 项和，且a 4=a 22，a 5=32．(1)求{a n }的通项公式；(2)求使得S n <2020成立的n 的最大值n 0．18. 在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩、防护服、消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉．我国某口罩生产企业在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，…，[90,100)，得到如图频率分布直方图． (1)求出直方图中m 的值；(2)利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数和中位数(同一组中的数据用该组区间中点值作代表，中位数精确到0.01)；(3)现规定：质量指标值小于70的口罩为二等品，质量指标值不小于70的口罩为一等品．利用分层抽样的方法从该企业所抽取的100个口罩中抽出5个口罩，并从中再随机抽取2个作进一步的质量分析，试求这2个口罩中恰好有1个口罩为一等品的概率．19. 在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AC =BC =CC 1=1，∠ACB =3π4，点D ，E 分别为线段CC 1，AB 的中点． (1)求证：DE//平面AB 1C 1； (2)求三棱锥D −AC 1E 的体积．20. 已知抛物线C ：x 2=4y 的焦点为F ，O 坐标原点，过点F 的直线l 与C 交于A ，B 两点．(1)若直线l 与圆O ：x 2+y 2=14相切，求直线l 的方程；(2)若直线l 与x 轴的交点为D ，且DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μBF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，试探究：λ+μ是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由．21. 已知函数f(x)=mx 2+(x −1)e x +1(m ∈R)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)证明：当x ∈(13,1)时，f(x)>mx 2+x 3．22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =2cosα,y =3sinα(α为参数).以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=4cosθ． (1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程； (2)点P ，Q 分别为曲线C 1，C 2上的动点，求证：|PQ|≤9√55+2．23. 已知函数f(x)=|x −a|+|x +2b|(a >0,b >0)．(1)当a =b =1时，解不等式f(x)≥2−x ；(2)若函数f(x)的值域为[2,+∞)，求a22b +4b2a的最小值．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵集合M={0,1，3，5，7}，N={x|x(x−5)<0}={x|0<x<5}，∴M∩N={1,3}．故选：A．求出集合M，N，由此能求出M∩N．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】D【解析】解：∵z⋅(3−2i)=13i，∴z=13i3−2i =13i(3+2i)13=−2+3i．∴z的虚部为3．故选：D．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】C【解析】解：因为cos(π+α)=−cosα=45，所以sin(3π2+α)=−cosα=45．故选：C．利用诱导公式将已知和所求化简求值．本题考查了三角函数诱导公式的运用化简三角函数求值，解答时注意符号．4.【答案】D【解析】解：∵m⃗⃗⃗ =a⃗−2b⃗ ，n⃗=3a⃗+k b⃗ (k∈R)，m⃗⃗⃗ //n⃗，∴31=k−2，解得k=−6．故选：D．利用向量平行的性质直接求解．本题考查实数值的求法，考查向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.【答案】B【解析】解：曲线y =2a x−2−1(a >0且a ≠1)所过的定点为P(2,1)， 点P 在双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线上，则C 的一条渐近线的斜率ba =12，所以双曲线的离心率为e =√1+(ba)2=√1+14=√52．故选：B ．求出定点P 的坐标，求出双曲线的渐近线方程，代入求解即可推出双曲线的离心率． 本题考查函数的图象的特征，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．6.【答案】D【解析】解：因为x −=0+1+2+3+45−=2，所以y −=6−.5×2+9=22，因为回归直线方程过样本中心，所以10+15+20+m +35=22×5， 解得m =30． 故选：D ．求出样本中心，利用回归直线方程过样本中心，即可求出m 的值． 本题考查回归直线方程的性质，是基本知识的考查．7.【答案】B【解析】解：由题意可得{abπ=2√3π2b =2√3，解得a =2，b =√3，因为椭圆C 的焦点在x 轴上，所以C 的标准方程为x 24+y 23=1．故选：B ．利用已知条件，结合椭圆的性质，求解a ，b ，得到椭圆方程． 本题考查椭圆的简单性质以及椭圆方程的求法，是基本知识的考查．8.【答案】D【解析】解：根据题意，函数f(x)=sinx+x 3x 2的图象向下平移1个单位长度，得到函数g(x)=sinx+x 3x 2−1， 又由f(−x)=sin(−x)+(−x)3(−x)2=−(sinx+x 3x 2)=−f(x)，则函数f(x)=sinx+x3x2为奇函数，其图象关于原点对称，故函数g(x)的图象关于点(0,−1)对称，排除A，B；又由g(1)=sin1>0，排除C．故选：D．根据题意，可得g(x)=sinx+x3x2−1，然后得到函数g(x)的图象关于点(0,−1)对称，排除A，B；求出g(1)的值，可以排除C，即可得答案．本题考查函数的图象变换，涉及函数的奇偶性的定义，考查数形结合思想，属于基础题．9.【答案】A【解析】解：由四棱锥的三视图，还原几何体如图，其中底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD.因为AB//CD，所以∠PBA即为异面直线PB与CD所成的角．因为tan∠PBA=PAAB=1，所以∠PBA=45°，所以cos∠PBA=√22．如图所示：故选：A．首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的体积．本题考查的知识要点：三视图和直观图形之间的转换，异面直线的夹角的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．10.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了解三角形的实际应用，属于基础题．设该木塔的高度为h，根据ℎ=AB×√2和ℎ=√2CD2−1可估算h的取值范围，结合选项可求．【解答】解：设该木塔的高度为h，则由图可知ℎ=AB×√2>47.5×1.414=67.165(米)，同时CDℎ=√2−1√2，∴ℎ=√2CD √2−1=1−√22≤19.91−1.4142≈67.9，即木塔的高度h 约在67.165米至67.9米之间，对照各选项，只有B 符合． 故选：B ．11.【答案】B【解析】解：构造函数g(x)=x 3f(x)，则g′(x)=3x 2f(x)+x 3f′(x)=x 2[3f(x)+xf′(x)]≤0， 所以函数g(x)=x 3f(x)在R 上单调递减． 因为f(2)=10，所以g(2)=80， 由x 2f(x)>80x(x ≠0)，①当x >0时，得x 3f(x)>80，所以g(x)>g(2)， 因为函数g(x)在R 上单调递减，所以0<x <2； ②当x <0时，得x 3f(x)<80.所以g(x)<g(2)， 所以x >2，不合题意，舍去， 所以不等式x 2f(x)>80x(x ≠0)的解集为(0,2)．故选：B ．构造函数g(x)=x 3f(x)，求出g(x)的导数，根据函数的单调性求出g(x)<g(2)，求出不等式的解集即可． 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及不等式，考查转化思想，是一道常规题．12.【答案】A【解析】解：由于f(−x)=|cos(−2x)+cos(−x)|=|cos2x +cosx|=f(x)，故f(x)为偶函数，①正确； f(x)=|cos2x +cosx|=|2cos 2x −1+cosx|=|2(cosx +14)2−98|，记t =cosx ∈[−1,1]， 则y =2cos 2x +cosx −1=2(t +14)2−98，当t =1时，y 的最大值2，当t =−14时，y 取得最小值−98，即y =2cos 2x +cosx −1=2(t +14)2−98的值域为[−98,2]， 所以f(x)的值域为[0,2]，②错误； f(x)在[−5π4,−π]上的单调性与它在[π,5π4]上的单调性刚好相反，当x ∈[π,5π4]时，t =cosx 单调递增，且t ∈[−1,−√22]， 而y =2t 2+t −1=2(t +14)2−98在t ∈[−1,−√22]时单调递减，故y =2cos 2x +cosx −1在[π,5π4]上单调递减，又此时y =2t 2+t −1∈[−√22,0]，故函数f(x)在[π,5π4]上单调递增，于是得f(x)在[−5π4,−π]上单调递减，③正确；令2t 2+t −1=0，得t =−1或12，而当x ∈[0,2π]时，cosx =−1及cosx =12恰有3个不等的实根π，π3，5π3，即f(x)在[0,2π]上恰有3个零点，结合奇偶性可知，f(x)在[−2π,2π]上恰有6个零点，④错误．故正确的是①③．故选：A ．利用函数的奇偶性判断①；函数的值域判断②；函数的单调性判断③；函数的零点的个数判断④．本题考查命题的真假的判断与应用，涉及三角函数的最值，函数的零点的个数，函数的奇偶性以及函数的单调性的求法，是中档题．13.【答案】∀x ∈(1,+∞)，x 2+x >2【解析】解：由特称命题的否定为全称命题，可得命题“∃x 0∈(1,+∞)，x 02+x 0≤2”的否定为“∀x ∈(1,+∞)，x 2+x >2”．故答案为：∀x ∈(1,+∞)，x 2+x >2．直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．本题考查命题的否定，特称命题与全称命题之间的关系，基本知识的考查．14.【答案】120【解析】解：设等差数列{a n }的公差为d ，根据题意得{3a 1+3d =153a 4=3(a 1+3d)=27， 解得a 1=3，d =2，所以S 10=10a 1+10×92d =120．故答案为：120由已知结合等差数列的通项公式及求和公式即可求解本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题． 15.【答案】803【解析】解：设长方体外接球的半径为R ，则4πR 2=16π，解得R =2；设三条棱长分别为k ，k ，2k(k >0)，于是得2R =4=√k 2+k 2+4k 2=√6k ，解得k =√6；所以该长方体的全面积为2(k2+2k2+2k2)=2×5k2=803．故答案为：803．求出长方体外接球的半径R，再求出长方体三条棱长，即可求得长方体的全面积．本题考查了长方体外接球的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．16.【答案】√3(2√3,4]【解析】【分析】由已知结合正弦定理进行化简可求tan A，然后结合锐角三角形可求B的范围，再由正弦定理可表示b+c，利用和差角公式及辅助角公式进行化简后，结合正弦函数的性质可求．本题主要考查了正弦定理，和差角公式，辅助角公式及正弦函数的性质在求解三角形中的应用，属于中档题．【解答】解：由bsinA−√3acosAcosC=√3ccos2A及正弦定理得sinBsinA=√3cosA(sinAcosC+sinCcosA)，即sinBsinA=√3cosAsin(A+C)，∴sinBsinA=√3cosAsinB，∵0<B<π2，∴sinB>0，可得tanA=√3，∴A=π3，又∵△ABC是锐角三角形，∴{0<B<π20<2π3−B<π2解得π6<B<π2，∴b+c=asinA[sinB+sin(2π3−B)]=√3+sin(2π3−B)]=4sin(B+π6)，因为π3<B+π6<2π3所以sin(B+π6)∈(√32,1],∴b+c∈(2√3,4]．故答案为：√3，(2√3,4]17.【答案】解：(1)设{a n}的公比为q，由已知条件得a1q3=a12q2，a1q4=32，解得a1=q=2．故a n=a1q n−1=2n．(2)因为a n=2n，所以S n=2(1−2n)1−2=2n+1−2，由S n>2020，得2n+1−2<2020，即2n+1<2022，而210=1024<2022，211=2048>2022，所以n+1≤10，即n≤9，所以n0=9．【解析】(1)由已知结合等比数列的通项公式即可求解；(2)结合等比数列的求和公式，解不等式即可求解．本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的应用，属于中档试题．18.【答案】解：(1)由10×(0.010+0.015+0.015+m+0.025+0.005)=1，得m=0.030．(2)平均数x−=45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71．设中位数为n，则0.1+0.15+0.15+(n−70)×0.03=0.5，得n=2203≈73.33．故可以估计该企业所生产口罩的质量指标值的平均数为71，中位数为73.33．(3)由频率分布直方图可知，100个口罩中一等品，二等品各有60个，40个，由分层抽样可知，所抽取的5个口罩中一等品，二等品各有3个，2个．记这3个一等品为a，b，c，2个二等品为d，e，则从5个口罩中抽取2个的可能结果有：(a,b)，(a,c)，(a,d)，(a,e)，(b,c)，(b,d)，(b,e)，(c,d)，(c,e)，(d,e)，共10种，其中恰有1个口罩为一等品的可能结果有：(a,d)，(a,e)，(b,d)，(b,e)，(c,d)，(c,e)，共6种．故这2个口罩中恰好有1个口罩为一等品的概率为P=610=35．【解析】(1)通过频率分布直方图面积的和为1，求解m即可．(2)求出平均数，设中位数为n，然后求解n即可．(3)所抽取的5个口罩中一等品，二等品各有3个，2个．记这3个一等品为a，b，c，2个二等品为d，e，从5个口罩中抽取2个的可能结果10种，恰有1个口罩为一等品的可能结果共6种．利用古典概型概率公式求解这2个口罩中恰好有1个口罩为一等品的概率即可．本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率、频数与样本容量的应用问题，古典概型概率的求法，是基础题．19.【答案】解：(1)证明：取AB1的中点F，连接EF，C1F，则在△ABB1中，EF//BB1，EF=12BB1，又点D是CC1的中点，所以C1D=12CC1=12BB1，而CD//BB1，所以C1D−−//EF，所以四边形C1DEF是平行四边形，所以DE//C1F，又DE⊄平面ABC，C1F⊂平面AB1C1，所以DE//平面AB1C1．(2)因为点D是CC1的中点，所以V D−AC1E =12V C−AC1E=12V C1−ACE．而V C1−ACE =13×12S△ABC×CC1=16×12×CA×CB×sin3π4×CC1=112×1×1×√22×1=√224，所以三棱锥D−AC1E的体积为V D−AC1E =√248．【解析】(1)取AB1的中点F，连接EF，C1F，证明四边形C1DEF是平行四边形，推出DE//C1F，然后证明DE//平面AB1C1．(2)利用V D−AC1E =12V C−AC1E=12V C1−ACE，转化求解三棱锥D−AC1E的体积．本题考查线面平行的判定定理和几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力，属中档题．20.【答案】解：(1)由已知得F(0,1)，显然直线l的斜率存在，设l：y=kx+1．由直线l与圆O：x2+y2=14相切，得√1+k2=12，解得k=±√3，即直线l的方程为y=±√3x+1．(2)设l ：x =m(y −1)(m ≠0)，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2).联立{x 2=4y x =m(y −1)，消去x ， 得m 2y 2−2(m 2+2)y +m 2=0，所以y 1+y 2=2(m 2+2)m 2，y 1y 2=1．易知D(−m,0)，由DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAF⃗⃗⃗⃗⃗ ，得(x 1+m,y 1)=λ(−x 1,1−y 1)， 所以λ=y 11−y 1，同理μ=y 21−y 2，所以λ+μ=y 11−y 1+y 21−y 2=y 1+y 2−2y 1y 21−(y 1+y 2)+y 1y 2=2(m 2+2)m 2−22−2(m 2+2)m 2=−1，所以λ+μ为定值−1．【解析】(1)求出F(0,1)，设l ：y =kx +1.通过直线l 与圆O ：x 2+y 2=14相切，求解直线方程．(2)设l ：x =m(y −1)(m ≠0)，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2).联立{x 2=4y x =m(y −1)，消去x ，得m 2y 2−2(m 2+2)y +m 2=0，利用韦达定理，以及向量关系转化求解即可．本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，直线与圆的位置关系的应用，是中档题． 21.【答案】解：(1)由题得，f′(x)=2mx +xe x =x(e x +2m)．当m ≥0时，令f′(x)>0，得x >0；令f′(x)<0，得x <0，故f(x)在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增．当m <0时，令f′(x)=0，得x =0或x =ln(−2m)．当m =−12时，f′(x)=x(e x −1)≥0，故f(x)在(−∞,+∞)上单调递增．当−12<m <0时，令f′(x)>0，得x >0或x <ln(−2m)，令f′(x)<0，得ln(−2m)<x <0，即f(x)在(ln(−2m),0)上单调递减，在(−∞,ln(−2m))，(0,+∞)上单调递增．当m <−12时，令f′(x)>0，得x <0或x >ln(−2m)，令f′(x)<0，得0<x <ln(−2m)，即f(x)在(0,ln(−2m))上单调递减，在(−∞,0)，(ln(−2m),+∞)上单调递增．(2)证明：设F(x)=f(x)−mx 2−x 3=(x −1)e x −x 3+1，则F′(x)=e x +(x −1)e x −3x 2=x(e x −3x)，设φ(x)=e x −3x ，则φ′(x)=e x −3．∵x ∈(13,1)，∴φ′(x)<e −3<0，∴φ(x)在(13,1)上单调递减，又φ(13)=√e 3−1>0，φ(1)=e −3<0，∴φ(x)在(13,1)内存在唯一的零点，设为x 0．则当13<x <x 0时，φ(x)>0，F′(x)>0，F(x)单调递增；当x 0<x <1时，φ(x)<0，F′(x)<0，F(x)单调递减，又F(13)=2627−23e 13=26−18e 1327>0，F(1)=0， ∴F(x)>0在x ∈(13,1)上成立，∴当x ∈(13,1)时，f(x)>mx 2+x 3．【解析】(1)求出函数的导数，通过讨论m 的范围，求出函数的单调区间即可；(2)设F(x)=f(x)−mx 2−x 3，求出F(x)的导数，根据函数的单调性证明即可．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查分类讨论思想，转化思想，是一道综合题． 22.【答案】解：(1)由{x =2cosα,y =3sinα,(α为参数)消去α得x24+y29=1，即曲线C 的普通方程为x 24+y 29=1，由ρ=4cosθ，整理得ρ2=4ρcosθ，根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2，所以曲线C 2的直角坐标方程为x 2+y 2−4x =0(或者(x −2)2+y 2=4)．(2)证明：设点P(2cosα,3sinα)，则|PC 2|=√(2cosα−2)2+3(sinα)2=√−5(cosα+45)2+815， 当cosα=−45时，|PC 2|max =9√55， 故|PQ|max =9√55+2， 即|PQ|≤9√55+2．【解析】(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(2)利用三角函数关系式的变换和二次函数性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，二次函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 23.【答案】解：(1)根据题意得，a =b =1时原不等式为|x −1|+|x −2|≥2−x ，等价于{x ≤−2,1−x −x −2≥2−x ，或{−2<x <1,1−x +x +2≥2−x，或{x ≥1,x −1+x +2≥2−x,； 解得x ≤−3或−1≤x <1或x ≥1，所以不等式f(x)≥2−x 的解集为{x|x ≤−3或x ≥−1}．(2)f(x)=|x −a|+|x +2b|≥|x −a −x −2b|=|a +2b|，当且仅当(x −a)(x +2b)≤0时等号成立；又a >0，b >0，f(x)的值域为[2,+∞)，所以a +2b =2；所以a 22b +4b 2a =(a 22b +4b 2a )+(a +2b)−2=(a 22b +2b)+(a +4b 2a)−2 ≥2√a 2+2√4b 2−2=2(a +2b)−2=2，当且仅当a =2b =1时取等号；所以a 22b +4b 2a 的最小值为2．【解析】(1)a =b =1时原不等式为|x −1|+|x −2|≥2−x ，利用分类讨论法求出不等式的解集；(2)根据绝对值不等式求出f(x)的最小值，再结合题意利用基本不等式求出a 22b +4b 2a 的最小值．本题考查了基本不等式和绝对值不等式的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．。
2020年茂名市高三级第二次综合测试(文科数学)试题和答案20200519
数学试卷(文科) 第 4 页（共 5 页）
21．(12 分)
设函数 f (x) (x2 +m)ex . (1)讨论 f (x) 的单调性；
(2)若 g(x) 2ex nx 1 f (x) ，当 m=1，且 x 0 时， g(x) 0，求 n 的取值范围.
(二)选考题：共 10 分 请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，
有实根△=1+4m≥0
m
1 4
，∴B
正确；
在△ABC 中，若 A＞Ba＞bsinA＞sinB(根据正弦定理) ∴C 正确；故选 D.
(事实上等比数列{an}公比为 q，则“q＞1”是“{an}为递增数列”的既不充分也不必要条件) 6. A.【解析】∵阳数为：1, 3, 5, 7, 9；阴数为：2, 4, 6, 8, 10，∴从阳数和阴数中各取一数
且
平面 PAB⊥平面 ABC，则该三棱锥的外接球的表面积为( )
A．16
B． 28
C． 24
D． 32
12．已知函数
f
( x)=e x
x+1 x1
，对于函数
f
(x)
有下述四个结论：①函数
f
(x)
在其定义域
上为增函数；②对于任意的 a 0 ，都有 f (a) 1 成立；③ f (x) 有且仅有两个零点；
请用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．
22．[选修 4−4：坐标系与参数方程] (10 分)
在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C:
x 2cos ,
y
3 sin ,
(为参数)，以原点 O 为极
点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线
广东省茂名市第二高级中学2020年高三数学文模拟试卷含解析
广东省茂名市第二高级中学2020年高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若函数（ω>0）在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω=A． B． C．2 D．3参考答案：B本题考查了三角函数的单调性以及取得最值的条件，难度中等。
.由条件易知，，又，因此.故选B.2. 已知z是复数，且=1+i，则z在复平面内对应的点的坐标为（）A．（﹣3，1）B．（﹣3，﹣1）C．（1，﹣3）D．（﹣1，﹣3）参考答案：A【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解： =1+i，∴z+2=i﹣1，化为：z=﹣3+i，则z在复平面内对应的点的坐标为（﹣3，1）．故选：A．3. 命题命题，则是成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：B4. （5分）（2015?市中区校级四模）若函数y=|﹣x2+4x﹣3|的图象C与直线y=kx相交于点M（2，1），那么曲线C与该直线的交点的个数为（）A． 1 B． 2 C． 3 D． 4参考答案：D【考点】：二次函数的性质；函数的图象．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：直线y=kx过点M（2，1），求出y=，画出图象y=，函数y=|﹣x2+4x﹣3|，即可得出交点个数．解：∵直线y=kx过点M（2，1），∴1=2k，k=，∴y=，∵函数y=|﹣x2+4x﹣3|∴作图如下：曲线C与该直线的交点的个数为4故选：D【点评】：本题考查了函数的图象解决问题，画出图象，即可判断交点，难度不大，属于容易题．5. 设F1，F2是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）A. B. C. D.参考答案：C根据题意，一定有∠PF1F2＝30°，且∠PF2x＝60°，故直线PF2的倾斜角是，设直线x＝a与x轴的交点为M，则|PF2|＝2|F2M|，又|PF2|＝|F1F2|，所以|F1F2|＝2|F2M|.所以2c＝2，即4c＝3a，故e＝＝.故选C.6. 已知i为虚数单位，复数z满足，则在复平面内对应的点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限参考答案：D【分析】先利用复数的除法，求出复数z，再求共轭复数，然后判定所在象限.【详解】因为，所以，由于，所以复平面内对应的点在第四象限，故选D.【点睛】本题主要考查复数的运算，共轭复数等，侧重考查数学运算的核心素养.7. 在中，若,则的面积( )A 、 B、 C、 D、参考答案：C8. 执行如图所示的程序框图，若输出的结果s = 132，则判断框中可以填（）A. B.C. D.参考答案：B第一次循环第二次循环结束循环，输出，所以判断框中应填选B.9. 在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=120°，则在方向上的投影为( ) A． B． C．1 D．2参考答案：C试题分析：根据条件可判断△ABC为正三角形，利用投影为公式计算．试题解析：解：∵在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=120°，∴∠B=60°，∴△ABC为正三角形，∴？=2×2cos60°=2∴在方向上的投影为==1，故选：C考点：平面向量数量积的含义与物理意义．点评：本题考查了平面向量的数量积的运算，及应用，属于容易题．10. 已知命题则是( )A． B．C． D．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱锥高为3，体积为6，则这个球的表面积是_____．参考答案：1612. 下列四个命题：①；②；③；④．其中正确命题的序号是．参考答案：①②④13. 在△ABC中，，点D在边BC上，，，，则AC＋BC＝_________________.参考答案：【知识点】解三角形 C8【答案解析】解析：，,故答案为：【思路点拨】根据三角形的边角关系，利用正弦定理和余弦定理求出BD，CD和AD的长度，即可得到结论．14. 设，若函数g（x）=f（x）﹣ax﹣1有4不同的零点，则a的取值范围为．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；根的存在性及根的个数判断．【分析】利用分段函数判断x≥1时，y=ax+1与y=f（x）交点的个数，利用导函数的几何意义求解即可．【解答】解：，若函数g（x）=f（x）﹣ax﹣1有4不同的零点，就是方程f（x）=ax+1有4不同的根，就是函数y=f（x）与y=ax+1有4个交点，因为y=ax+1恒过（0，1），而y=f（x）在x＜1时，x=0时最大值为1，所以y=ax+1在x≥1时，与y=lnx有两个交点，才满足题意．又y′=，设切点坐标（m，n），可得=，解得n=2，即lnm=2，解得m=e2，此时y=ax+1在x≥1时，与y=lnx有1个交点，所以0＜a．故答案为：．【点评】本题考查函数与方程的应用，切线方程以及函数的零点个数的求法，考查分析问题解决问题的能力．15. 若命题“，”是真命题，则实数m的取值范围是▲．参考答案：[－1,1]16. 已知圆C的方程为x2+y2+8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的取值范围为．参考答案：【考点】圆的一般方程．【分析】将圆C的方程整理为标准形式，找出圆心C的坐标与半径r，根据直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，即圆心到直线y=kx ﹣2的距离小于等于2，利用点到直线的距离公式列出关于k的不等式求出不等式的解集即可得到k的范围．【解答】解：将圆C的方程整理为标准方程得：（x+4）2+y2=1，∴圆心C（﹣4，0），半径r=1，∵直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴圆心（﹣4，0）到直线y=kx﹣2的距离d=，解得：≤k≤0．故答案为：．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了圆的标准方程，点到直线的距离公式，是基础题．17. 函数的定义域为 .参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。
【解析版】广东省茂名市高三第二次模拟数学文科试卷
绝密★启用前 试卷类型：A 茂名市第二次高考模拟考试 数学试卷（文科） .4【试卷综述】本试卷注重基础知识、基本技能的考查，符合高考命题的意图和宗旨。
注重基础知识的考查。
注重能力考查，要注重综合性，又兼顾到全面，更注意突出重点．试题减少了运算量、加大了思维量，降低了试题的入口难度，突出对归纳和探究能力的考查。
【题文】第一部分 选择题（共50分）【题文】一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 【题文】1、已知集合{}1,2A =，{}2,1,2B =-，则A B 等于( )A ．{}2-B ．{}1 C ．{}1,2 D ．{}1,1,2-【知识点】交集的运算A1【答案】【解析】C 解析：因为集合{}1,2A =，{}2,1,2B =-，则AB ={}1,2,故选C.【思路点拨】直接利用交集的定义即可.【题文】2、复数311(i i -为虚数单位）在复平面上对应的点的坐标为（ ）A ．(1,1)B ．(1,1)-C ．(1,1)-D ．(1,1)-- 【知识点】复数的代数表示法及其几何意义．L4【答案】【解析】B 解析：因为复数1﹣=1+=1﹣i ，在复平面上对应的点的坐标为（1，﹣1）． 故选B ．【思路点拨】通过复数i 的幂运算，化简复数为a+bi 的形式，即可判断复数在复平面上对应的点的坐标．【题文】3、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，63=S ，则10a 的值为（ ）A ．1B ．3C ．10D ．55【知识点】等差数列的性质;等差数列的通项公式D2 【答案】【解析】C 解析：因为3236S a ,所以22a ,则321da a ,所以103710a a d ,故选C.【思路点拨】先由3236S a 解得d,再利用等差数列的通项公式即可.【题文】4、已知向量(2,1)=a ，(,2)x =-b ，若//a b ，则+a b 等于（ ） A. （-2，-1） B. （2，1） C. （3，-1） D. （-3，1） 【知识点】向量的运算;向量共线的充要条件F2【答案】【解析】A 解析：因为//a b ,则1220x ,解得4x ,所以2,1a b,故选A.【思路点拨】先利用向量共线的充要条件解得4x,再利用向量的加法进行运算即可.【题文】5、若,x y 满足不等式1101x y x x y +≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩, 则2x y +的最小值为( )A. 0B. 4-C.4D. 3 【知识点】简单线性规划．E5【答案】【解析】B 解析：由约束条件1101x y x x y +≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩作出可行域如图，令z=2x y +，化为y=﹣2x+z ，由图可知，当直线y=﹣2x+z 过点A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值．联立，解得：A （﹣1，﹣2），∴z 的最小值等于2×（﹣1）﹣2=﹣4．故选：B ．【思路点拨】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【题文】6、命题“2000,220x R x x ∃∈++≤” 的否定是( )A.2,220x R x x ∀∈++> B.2,220x R x x ∀∈++≥ C. 2000,220x R x x ∃∈++< D. 2000,220x R x x ∃∈++>【知识点】特称命题;命题的否定A2【答案】【解析】A 解析：根据特称命题的否定，既否定量词，也否定结论的原则可得 命题“2000,220x R x x ∃∈++≤”的否定是命题是“2,220x R x x ∀∈++>”故选A. 【思路点拨】特称命题的否定，既否定量词，也否定结论，故否定后的量词为∀，结论为2220x x .【题文】7、已知平面α⊥平面β，=l αβ，点,A A l α∈∉，作直线AC l ⊥，现给出下列四个判断：（1）AC 与l 相交， （2）AC α⊥， （3）AC β⊥， （4）//AC β. 则可能成立的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系．G4 【答案】【解析】D 解析：如图在直线l 上取点C ，连接AC ，则AC 与l 相交；（1）成立；A 在平面α内，所以过A 可以做一条直线AC 与α垂直；此时AC ∥β，故（2）（4）正确；过A 作AC ⊥l ，垂足为C ，因为Aα与β相交l ，所以AC ⊥β；故（3）成立；故选：D ． 【思路点拨】根据面面垂直的性质定理，由A 点不动，C 点位置变化，可以对四个判断进行分析解答．【题文】8、如图所示,程序框图的输出结果是1112s =，那么判断框中应填入的关于n 的判断条件是( )A ．8?n ≤B ．8?n <C ．10?n ≤D ．10?n <【知识点】程序框图．L1【答案】【解析】B 解析：模拟执行程序框图，可得s=0，n=2 满足条件，s=，n=4;满足条件，s=，n=6;满足条件，s=+=，n=8由题意可得，此时应该满足条件，退出循环，输出s 的值为．结合选项，判断框中应填入的关于n 的判断条件是：n ＜8？故选：B ．【思路点拨】首先判断循环结构类型，得到判断框内的语句性质．然后对循环体进行分析，找出循环规律．判断输出结果与循环次数以及i 的关系．最终得出选项.【题文】9、已知抛物线24y x =与双曲线()222210,0x y a b a b -=>>有相同的焦点F ，点,A B 是两曲线的交点，O 为坐标原点，若()0OA OB AF +⋅=，则双曲线的实轴长为( )A 22B ．12-C ．122-D ．222-【知识点】双曲线的简单性质．H6【答案】【解析】D 解析： 抛物线x y 42=与双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 有相同的焦点F ，F ∴点的坐标为（1，0）， 0)(=•+AF OB OA ，∴AF ⊥x 轴.设A 点在第一象限，则A 点坐标为（1，2）设左焦点为'F ，则'FF =2,由勾股定理得'AF 22=，由双曲线的定义可知2222'-=-=AF AF a .故选D.【思路点拨】求出抛物线的焦点（1，0），即有双曲线的两个焦点，运用向量的数量积的定义可得A 点坐标，再由双曲线的定义可得结论。
2020年广东省茂名市高考数学二模试卷(文科) (含答案解析)
2020年广东省茂名市高考数学二模试卷(文科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 设U ={1,2,3,4,5}，，则B⋂(C U A)=( )A. ⌀B. {2}C. {3,4}D. {1,3,4,5}2. 若(x +2i)i =y −1i (x,y ∈R)，则x +y =( )A. −1B. 1C. 3D. −33. 函数y =f(x)的图象在点x =5处的切线方程是y =−x +8，则f(5)+f′(5)等于( )A. 1B. 2C. 0D. 124. 已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,π2<φ<π)的图象如图所示，则下列说法正确的是( )A. 函数f(x)的周期为πB. 函数y =f(x −π)为偶函数C. 函数f(x)在[−π,−π4]上单调递增 D. 函数f(x)的图象关于点(5π6,0)对称5. 下列结论中是错误命题的是( )A. 命题p ：“∃x ∈R ，x 2−2≥0”的否定形式为￢p ：“∀x ∈R ，x 2−2<0”B. 若￢p 是q 的必要条件，则p 是￢q 的充分条件C. “M >N ”是“(23)M >(23)N ”的充分不必要条件6.洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四黑点为阴数，其各行各列及对角线点数之和皆为15.如图，若从四个阴数中随机抽取2数，则能使这两数与居中阳数之和等于15的概率是()A. 12B. 23C. 14D. 137.算法的程序框图如图所示，当输入n=6时，输出的结果是()．A. 35B. 84C. 49D. 258.已知直线l1，l2为双曲线M：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线，若l1、l2与圆N：(x−2)2+y2=1相切，则双曲线M离心率的值为()A. √33B. 2√33C. √3D. 4√339.已知偶函数f(x)在[0,+∞)单调递减，若f(−2)=0，则满足xf(x)>0的x的取值范围是()A. B.C. D. (−2,0)∪(0,2)10.函数f(x)=e x−e−x2cosx在[−2π,2π]上的大致图象是()A. B.C. D.11.在三棱锥S−ABC中，SC⊥平面ABC，SC=√3，AB=1，BC=√3，AC=√2，则该三棱锥的外接球的表面积为()A. 2πB. 4πC. 6πD. 8π(x∈R)，有下述四个结论：12.关于函数f(x)=x1+|x|①任意x∈R，等式f(−x)+f(x)=0恒成立；②任意x1，x2∈R，若x1≠x2，则一定有f(x1)≠f(x2)；③存在m∈(0,1)，使得方程|f(x)|=m有两个不等实数根；④存在k∈(1,+∞)，使得函数g(x)=f(x)−kx在R上有三个零点．其中包含了所有正确结论编号的选项为()A. ①②③④B. ①②③C. ①②④D. ①②二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗=(3,1)，b⃗ =(1,3)，c⃗=(k,2)，若(a⃗−c⃗ )⊥b⃗ 则k=______ ．14.已知{a n}是等差数列，S n为其前n项和，n∈N∗.若a3=16，S20=20，则S10的值为_____．15.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别是棱AD，DD1的中点．若AB=4，则过点B，E，F的平面截该正方体所得的截面面积S等于______．16.过椭圆x24+y22=1的右顶点A作斜率为−1的直线交椭圆于另一点B，则点B的坐标为________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，内角A，B，C对边分别为a，b，c，已知ba+c =a+b−ca+b．(Ⅰ)求角A；(Ⅱ)若a=15，b=10，求cos B的值．18.某高科技公司投入1000万元研发某种产品，大规模投产后，在产品出库进入市场前，需做严格的质量检验．为此，从库房的产品中随机抽取200件，检测一项关键的质量指标值(记为X)，由检测结果得到如下样本频率分布直方图：(1)求这200件产品质量指标值的样本平均数X−、样本方差s2(同一组数据用该区间的中点值作代表)；(2)该公司规定：当X>170时，产品为正品；当X≤170时，产品为次品．公司每生产一件这种产品，若是正品，则盈利80元；若是次品，则亏损20元．①估计这200件产品中正品、次品各有多少件；②求公司生产一件这种产品的平均利润．19.如图1，菱形ABCD中，AB=2，∠A=60∘，以对角线BD为折痕把△ABD折起，使点A到达如图2所示点E的位置，使EC=√3．(1)求证：BD⊥EC；(2)求三棱锥E−BCD的体积．20.已知抛物线C：x2=2py(p>0)，直线l：y=−2，且抛物线的焦点到直线l的距离为3．(Ⅰ)求抛物线的方程；(Ⅱ)动点P在直线l上，过P点作抛物线的切线，切点分别为A，B，线段AB的中点为Q，证明：PQ⊥x轴．21.已知f(x)=e x−mx．(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性；(Ⅱ)若函数f(x)恰有两个不同的零点，求m的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=−1+2cosφy=2sinφ(其中φ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l1的极坐标方程为ρ=√2sin(θ+π4)，设l1与C相交于A，B两点，AB的中点为M，过点M作l1的垂线l2交C于P，Q两点．(1)写出曲线C的普通方程与直线l1的直角坐标方程；(2)求|PQ||MP|⋅|MQ|的值．23.已知函数f(x)=|x|+|x+1|．(Ⅰ)解关于x的不等式f(x)≥2；(Ⅱ)若a，b，c∈R+，函数f(x)的最小值为m，若a+b+c=m，求证：ab+bc+ac≤13．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：本题考查集合的交集、补集运算，属于基础题．解：∵U={1,2,3,4,5}，，∴C U A={3,4}，∴B⋂(C U A)={3,4}．故选C．2.答案：A解析：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，是基础题．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件列式求得x，y的值，则x+y可求．，得解：由(x+2i)i=y−1i−2+xi=y−−i=y+i，−i2∴x=1，y=−2.则x+y=−1．故选A．3.答案：B解析：解：因f(5)=−5+8=3，f′(5)=−1，故f(5)+f′(5)=2．故选项为B据切点处的导数值为切线的斜率，故f′(5)为切线斜率，又由切线方程是y=−x+8，即斜率为−1，故f′(5)=−1；又f(5)为切点纵坐标，据切点坐标与斜率可求得答案．考查曲线在切点处的导数值为切线斜率．4.答案：C解析：本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键，属于中档题． 根据图象求解析式，即可判断各选项，可得到结论． 解：根据图象，可知A =2，图象过(0,√3)，∴√32=sinφ，∵π2<φ<π，∴φ=2π3．周期12T =5π4−(−π4)=3π2，∴T =3π.可知A 错误； ∴ω=2πT=23． 函数f(x)=2sin(23x +2π3)，f(x −π)=2sin 23x 为奇函数， 可知B 错误； 令2kπ−π2≤23x +2π3≤2kπ+π2，k ∈Z ．得：3kπ−7π4≤x ≤3kπ−π4k ∈Z ，∴函数f(x)在[−π,−π4]上单调递增；C 正确; 令可得D 错误．故选：C ．5.答案：C解析：解：对于A ：命题p ：“∃x ∈R ，x 2−2≥0”的否定形式为￢p ：“∀x ∈R ，x 2−2<0”，故A 正确；对于B ：若￢p 是q 的必要条件，则￢q 是p 的必要条件，即p 是￢q 的充分条件，故B 正确 对于C ：若M >N ，则(23)M <(23)N ”，不能得到“(23)M >(23)N ”，即充分性不成立；反之，若“(23)M >(23)N ”，则M <N ，即必要性也不成立，∴“M >N ”是“(23)M >(23)N ”的既不充分又不必要条件，故C 错误． 故错误的是：C ． 故选：C ．A ，写出命题p ：“∃x ∈R ，x 2−2≥0”的否定形式，再判断正误即可；B ，利用原命题与其逆否命题的等价性可知：￢q 是p 的必要条件，即p 是￢q 的充分条件；C ，利用充分必要条件的概念及指数函数的单调性质可判断“M >N ”是“(23)M >(23)N ”的既不充分又不必要条件．本题考查命题的真假判断与应用，着重考查命题的否定及等价命题的应用，考查充分必要条件的概念及应用，属于中档题．6.答案：D解析：本题考查古典概型公式，考查列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．从四个阴数中随机抽取2个数，共有6种取法，其中满足题意的取法有两种：4，6和2，8，由此能求出能使这两数与居中阳数之和等于15的概率． 解：四个阴数分别为2，4，6，8，阳数为5，从四个阴数中随机抽取2个数，有(2,4)，(2,6)，(2,8)，(4,6)，(4,8)，(6,8)共计6种取法． 其中满足题意的取法有两种：(4,6)和(2,8)，∴能使这两数与居中阳数之和等于15的概率p =26=13． 故选D ．7.答案：A解析：本题考查了利用程序框图求和的问题，解题时应模拟程序框图的运行情况，得出正确的结论，是基础题．根据题意，模拟程序框图的运行过程，求出程序输出的结果．解：根据算法的程序框图，是计算S =1×1+3×3+5×5+⋯的值；当i =5+2=7>6时，输出S =1×1+3×3+5×5=35．故选A ．8.答案：B解析：本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用渐近线方程和直线和圆相切的条件：d =r ，考查运算能力，属于中档题．求出双曲线的渐近线方程，求得圆的圆心为(2,0)，半径为1，运用直线和圆相切的条件：d =r ，化简整理可得a 2=3b 2，运用a ，b ，c 的关系和离心率公式，计算可得所求值．解：双曲线M:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的两条渐近线为 y =±b a x ，即为bx ±ay =0，由渐近线与圆(x −2)2+y 2=1相切，可得√b 2+a 2=1， 化为a 2=3b 2，由c 2=a 2+b 2=43a 2，可得e =ca =2√33故选B ．9.答案：A解析：本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，关键是分析函数的符号．根据题意，由函数的奇偶性的性质可得f(2)的值，结合函数的单调性可得函数f(x)的符号，进而由xf(x)>0，可得{x >0f(x)>0或{x <0f(x)<0；分析可得x 的范围，即可得答案． 解：根据题意，函数f(x)为偶函数，若f(−2)=0，则有f(2)=0，若函数f(x)在[0,+∞)单调递减，则在[0,2)上，f(x)>0，在(2,+∞)上，f(x)<0，函数f(x)在(−∞,0)上单调递增，则在(−∞,−2)上，f(x)<0，在(−2,0)上，f(x)>0，又由xf(x)>0，则有{x >0f(x)>0或{x <0f(x)<0； 解可得x <−2或0<x <2；即x 的取值范围为(−∞,−2)∪(0,2)；故选：A ．10.答案：A解析：解：函数f(−x)=e −x −e x 2cos(−x)=−e x −e −x 2cosx =−f(x)，即f(x)是奇函数，图象关于原点对称，排除C ，D ，f(2π)=e 2π−e −2π2cos2π=e 2π−e −2π2>0，排除B ，故选：A ．根据条件判断函数的奇偶性和对称性，利用特殊值的对应性进行排除即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性的关系以及利用特殊值进行排除是解决本题的关键．11.答案：C解析：根据ABC 的边长可得外接圆的半径r ，设球心到圆心距离为x ，构造直角三角形，即可求出三棱锥S −ABC 的外接球的半径，从而求解表面积．解：SC ⊥平面ABC ，SC =√3，AB =1，BC =√3，AC =√2，由余弦定理可得，，可得ABC 的边长可得外接圆的半径：r =√32，设球心到圆心距离为x ，球的半径为R ，根据球心与圆心构成直角三角形：可得 x 2+r 2=(√3−x)2+r 2=R 2，解得：x =√32，R =√62， 外接球表面积为．故选C ．12.答案：B解析：本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了函数的单调性，奇偶性，零点，全称量词命题与特称量词命题等知识点，难度中档．由函数的奇偶性定义判断①；先求出x ≥0时的单调性，再由奇偶性判断②；令m =12，可解得x =1或x =−1判断③；判断g(x)的奇偶性和在x >0时的函数值的正负即可判断④．解：对于①，∵函数f(x)=x 1+|x|(x ∈R)是奇函数，∴任意x ∈R ，等式f(−x)+f(x)=0恒成立，故①正确；对于②，当x ≥0时，f(x)=x 1+x =1−1x+1，故原函数在[0,+∞)单调递增，f(x)是奇函数，故函数在R 上单调递增，故②正确．对于③，令m =12，|f(x)|={x 1+x ,x ≥0x x−1,x <0, 则由|f(x)|=12，可解得x =1或x =−1，故③正确；对于④，易知g(x)是定义域为R 的奇函数，当x >0时，g(x)=f(x)−kx =x 1+x −kx =(1−k )x−kx 21+x <0，没有零点，所以g(x)在x <0时也无零点，又g(0)=0，所以g(x)只有一个零点，故④错误，故正确的为①②③，故选：B ． 13.答案：0解析：本题考查数量积判断两个平面向量的垂直关系，考查计算能力，是基础题．求出a ⃗ −c ⃗ ，利用(a ⃗ −c ⃗ )⊥b ⃗ 可得(a ⃗ −c ⃗ )⋅b ⃗ =0，求出k 的值．解：a⃗ −c ⃗ =(3−k,−1)， 因为(a ⃗ −c ⃗ )⊥b ⃗ ，所以(a ⃗ −c ⃗ )⋅b ⃗ =0，(3−k,−1)⋅(1,3)=3−k −3=0，所以k =0故答案为0．14.答案：110解析：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为D.a 3= a 1+2 d =16，S 20=20 a 1+20×192 d =20，∴{a 1+2d =162a 1+19d =2，解得d =−2，a 1=20．∴ S 10=10 a 1+10×92 d =200−90=110．15.答案：18解析：本题考查截面面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养． 推导出EF//平面BCC 1，过EF 且过B 的平面与面BCC 1的交线l 平行于EF ，则l 即为BC 1，由此能求出过点B ，E ，F 的平面截该正方体所得的截面面积S ．解：如图，∵正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是棱AD 、DD 1的中点，∴EF//AD 1//BC 1，∵EF ⊄平面BCC 1，BC 1⊂平面BCC 1，∴EF//平面BCC 1，由线面平行性质定理，过EF 且过B 的平面与面BCC 1的交线l 平行于EF ，则l 即为BC 1． 由正方体的棱长为4，可得BE =C 1F =2√5，BC 1=2EF =4√2，截面是等腰梯形，其高为ℎ=√(2√5)2−(√2)2=3√2，其面积为S =(EF+BC 1)2ℎ=2√2+4√22⋅3√2=18．故答案为18．16.答案：(23,43)解析：本题考查直线与椭圆的位置关系，设出直线方程，和椭圆联立，利用韦达定理即可求出答案，属中档题．解：椭圆x 24+y 22=1的右顶点A (2,0)，则过A 且斜率为−1的直线方程y =−x +2，联立{y =−x +2x 24+y 22=1得：3x 2−8x +4=0， 则2+x B =83，x B =23，所以y B =−23+2=43．故B (23,43)．故答案为(23,43)．17.答案：解：(Ⅰ)∵b a+c =a+b−c a+b ，整理可得：b 2+c 2−a 2=bc ，∴cosA=b2+c2−a22bc =bc2bc=12，∵A∈(0,π)，∴A=π3．(Ⅱ)∵A=π3，a=15，b=10，a>b，∴B为锐角，∴sinB=b⋅sinAa =10×√3215=√33，可得：cosB=√1−sin2B=√63．解析：本题主要考查了余弦定理，大边对大角，正弦定理，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．(Ⅰ)由已知整理可得：b2+c2−a2=bc，利用余弦定理可求cosA=12，结合范围A∈(0,π)，可求A 的值；(Ⅱ)利用大边对大角可求B为锐角，利用正弦定理可求sinB=b⋅sinAa，进而利用同角三角函数基本关系式可得cos B的值．18.答案：解：(1)取每个区间中点值为区间代表计算平均数为：x−=140×0.02+160×0.08+180×0.24+200×0.33+220×0.22+240×0.09+260×0.02= 200，方差为：s2=(−60)2×0.02+(−40)2×0.08+(−20)2×0.24+0×0.33+202×0.22+402×0.09+602×0.02=600；(2)①由题意知，产品是正品的频率为1−(0.001+0.004)×20=0.9，则200件产品中是正品的件数为200×0.9=180(件)，是次品的件数为20件；②由题意知，生产一件产品的平均利润为0.9×80−0.1×20=70(元)．解析：(1)根据题意计算平均数和方差即可；(2)①计算产品是正品的频率以及200件产品中是正品的件数，和次品的件数；②由题意计算生产一件产品的平均利润值．本题考查了频率分布直方图与平均数和方差的计算问题，是基础题．19.答案：(1)证明：在图1中，连接AC，设AC交BD于点O，∵ABCD为菱形，∴BD⊥AC，则BD⊥OA，BD⊥OC，由图2可知，BD⊥OE，BD⊥OC，又OE∩OC=O，OE，OC⊂平面EOC，∴BD⊥平面EOC，又EC⊂平面EOC，∴BD⊥EC．(2)解：由四边形ABCD为菱形，AB=2，∠A=60°，可得OA=OC=√3，∴OE=OC=√3，又EC=√3，∴三角形EOC为等边三角形，∴S△EOC=12×3×√32=3√34．∴V E−BCD=2V B−EOC=2×13S△EOC⋅BO=2×13×3√34×1=√32．解析：本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定与应用，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．(1)在图1中，连接AC，设AC交BD于点O，即可得到图2中BD⊥OE，BD⊥OC，由线面垂直的判定可得BD⊥平面EOC，进一步得到BD⊥EC；(2)由四边形ABCD为菱形，AB=2，∠A=60°，可得三角形EOC为等边三角形，求出三角形EOC 的面积，由V E−BCD=2V B−EOC，求解三棱锥E−BCD的体积．20.答案：解：(Ⅰ)由抛物线C：x2=2py焦点F(0,p2)，准线方程：y=−p2，抛物线的焦点到直线l的距离为3，即p2−(−2)=3，解得：p=2，∴抛物线的方程x2=4y；(Ⅱ)证明：设A(x1,x124)，B(x2,x224)，线段AB的中点Q(x0,y0)，x1+x22=x0，y0=y1+y22=x12+x228，∵y=14x2，则y′=12x，∴抛物线x2=4y在A(x1,x124)点处的切线斜率为12x1，在B(x2,x224)点处的切线斜率为12x2，∴切线PA：y=12x1(x−x1)+x124；切线PB：y=12x2(x−x2)+x224，联立可得P(x1+x22,x1x24)，由P的横坐标与Q的横坐标相等，∴PQ⊥x轴．解析：(Ⅰ)求得抛物线的焦点及准线方程，由p2−(−2)=3，即可求得p的值，求得抛物线的方程；(Ⅱ)设A，B点坐标，利用中点坐标公式，求得中点Q点坐标，利用导数求得切线的斜率，求得PA 及PB的方程，联立即可求得P点坐标，由由P的横坐标与Q的横坐标相等，PQ⊥x轴．本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线相切位置关系的判断，导数与曲线的切线斜率之间的关系，属于中档题．21.答案：解：(Ⅰ)∵f(x)=e x−mx，∴f′(x)=e x−m，①当m≤0时，f′(x)>0恒成立，f(x)在R上单调递增，②当m>0时，令f′(x)>0，则x>lnm，即函数f(x)的递增区间是(lnm,+∞)，同理，由f′(x)<0得函数f(x)的递减区间是(−∞,lnm)；(Ⅱ)由(Ⅰ)知，当m≤0时，函数f(x)单调递增，与条件不符，当m>0时，函数f(x)在(lnm,+∞)上单调递增，在(−∞,lnm)上单调递减，∴f(x)min=f(lnm)=m(1−lnm)，由条件可得m(1−lnm)<0，解得m>e，∵f(0)=1>0，∴f(x)在(0,lnm)上存在唯一零点，f(2lnm)=m2−2mlnm=m(m−2lnm)，令g(m)=m−2lnm，则g′(m)=1−2m，∴当m>e时，g(m)单调递增，则g(m)>g(e)>0，∴f(2lnm)=m2−2mlnm=m(m−2lnm)>0，即f(x)在(lnm,+∞)上存在唯一零点，综上可得m>e．解析：(Ⅰ)先求导，再分类讨论，根据导数和函数单调性的关系即可求出，(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论，求出函数的最小值，再构造函数令g(m)=m−2lnm，根据导数求出函数的单调性求出g(m)的最小值，从而求出m的范围即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，函数的零点，考查导数的应用，属于中档题．22.答案：解：(1)由曲线C的参数方程{x=−1+2cosφy=2sinφ，消去参数φ，得曲线C的普通方程为(x+1)2+y2=4．由曲线l1的极坐标方程ρsin(θ−π4)=√22，得ρsinθ+ρcosθ=1，将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，得l1的直角坐标方程为x+y−1=0；(2)由l1⊥l2，得直线l2的斜率k l2=−1k l1=1，所以l2的倾斜角为π4，又l2过圆心(−1,0)，所以l2的方程为y=x+1，与x+y−1=0联立，得AB的中点M(0,1)，故l2的参数方程为{x=tcosπ4y=1+tsinπ4,(t为参数)，即{x=√22ty=1+√22t,(t为参数)，代入(x+1)2+y2=4中，化简、整理得t2+2√2t−2=0，设P，Q对应的参数分别为t1，t2，则由韦达定理得t1·t2=−2，又线段PQ为圆的直径，所以|PQ|=4，所以|PQ||MP|⋅|MQ|=4|−2|=2．解析：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．23.答案：解：(Ⅰ)f(x)≥2即|x|+|x +1|≥2，可得{x ≥0x +x +1≥2或{−1<x <0−x +x +1≥2或{x <−1−x −x −1≥2， 解得x ≥12或x ∈⌀或x ≤−32，则原不等式的解集为{x|x ≥12或x ≤−32}；(Ⅱ)证明：f(x)=|x|+|x +1|≥|x −x −1|=1，当且仅当x(x +1)≤0，即−1≤x ≤0时，上式取得等号，可得函数f(x)的最小值为1，则a +b +c =1，且a ，b ，c ∈R +，由(a +b +c)2=a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ca ≥ab +bc +ca +2ab +2bc +2ca =3(ab +bc +ca)，可得3(ab +bc +ca)≤1，当且仅当a =b =c =13取得等号，即ab +bc +ac ≤13．解析：(Ⅰ)由绝对值的意义去绝对值，解不等式，求并集可得所求解集；(Ⅱ)运用绝对值不等式的性质可得f(x)的最小值m ，再由三个数的完全平方公式和基本不等式，结合不等式的性质即可得证．本题考查绝对值不等式的解法和绝对值不等式的性质的运用，考查不等式的证明，注意运用均值不等式和不等式的性质，考查化简运算能力、推理能力，属于中档题．。
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5．考试结束后，请将答题卡上交.
一、选择题：(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，有
且只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合 U={1, 2, 3, 4, 5}，A={2, 3, 5}，B={2, 5}，则( )
A. AB
B. ∁UB={1, 3, 4}
C. A∪B={2, 5} D. A∩B ={3}
绝密★启用前
卷类型：A
2020 年茂名市高三级第二次综合测试
文科数学 2020.5
本试卷分选择题和非选择题两部分，共 6 页，23 小题，满分 150 分，考试时间 120 分钟.
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上.
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.
2．若 (x i)i y 2i, x, y R ，则复数 x yi 的虚部为( )
A.2
B.1
C. i
D.−1
3．已知函数 f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为 x+2y−2=0，则 f(1)+f ′(1) =( )
A．
3 2
B．1
C．
1 2
D．0
4．函数
f
( x)=A sin( x
A. (, 1)∪(3, ) B. (1,3) C. (0, 2) D. (, 0)∪(2, )
10．函数 f (x)
1+ex 1ex
cos x 在[−5, 5]的图形大致是(
)
y
y
y
y
−5
O
5x −5
O
5 x −5
O
5 x −5
O
5x
A
B
C
D
11．已知三棱锥 P ABC
中， APB2 3 Nhomakorabea与 九为友居右，五与十相守居中，其中白圈为阳数，黑点为阴数，
第 6 题图
若
从阳数和阴数中各取一数，则其差的绝对值为 5 的概率为：( )
数学试卷(文科) 第 1 页（共 5 页）
A.
1 5
B.
6 25
C.
7 25
D.
8 25
7．“辗转相除法”是欧几里得《原本》中记录的一个
算法，是由欧几里得在公元前 300 年左右首先提出
kb) ，则 k
.
14. 为了贯彻落实十九大提出的“精准扶贫”政策，某地政府投入 16 万元帮助当地贫困户
通过购买机器办厂的形式脱贫，假设该厂第一年需投入运营成本 3 万元，从第二年起每
年投入运营成本比上一年增加 2 万元，该厂每年可以收入 20 万元，若该厂 n（n∈N*）
年后，年平均盈利额达到最大值，则 n 等于
.
（盈利额=总收入−总成本）
15．在棱长为 2 的正方体 ABCD–A1B1C1D1 中，E 是棱 DD1 的中点，则平面 A1EC 截该正方体所得截面面积为：
数学试卷(文科) 第 2 页（共 5 页）
A1 B1 FA
D1 C1 E
D
B
C
第 15 题图
16．过点
P
1,
1 2
作圆 x2 y2 1的切线 l ，已知 A，B 分别为切点，直线 AB 恰好经过椭圆
的 右 焦 点 和 下 顶 点 ， 则 直 线 AB 方 程 为
是
. （第一空 2 分，第二空 3 分）
；椭圆的标准方程
三、解答题：(共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第 17~21 题为必考题，每
个试题考生都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答)
(一)必考题：共 60 分
的，因而又叫欧几里得算法.如图所示是一个当型循
环结构的“辗转相除法”程序框图.当输入 m=2020，
n=303 时，则输出的 m 是( )
A. 2
B. 6
C. 101
D. 202
8．已知双曲线
x2 a2
y2 b2
1 (a＞0,
b＞0)的离心率为
2，
其一条渐近线被圆(x−m)2+y2=4(m＞0)截得的线段长
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内. 写在试题
卷草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑. 答案
写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
D．若等比数列{an}公比为 q，则“q＞1”是“{an}为递增数列”的充要条件 6．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中国
古代流传下来的两幅神秘图案，蕴含了深奥的宇宙星象之理，被
誉
为“宇宙魔方”，是中华文化阴阳术数之源。河图的排列结构如图
所示，一与六共宗居下，二与七为朋居上，三与八同道居左，四
17．(12 分)
在 △ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，已知 B 2C ， 3b 4c ． (1)求 cos C ； (2)若 c 3 ，求 △ABC 的面积．
)( A
0,
0,|
|
2
)
的图象如图
所示，则 f (3)的值为(
)
A．
1 2
B．1
C． 2
D． 3
y 2
O 6
2 3
x
5．下列命题错误的是( )
–2
A．“x＝2”是“x2−4x+4＝0”的充要条件
第 4 题图
B．命题“若
m
1 4
，则方程
x2+x−m＝0
有实根”的逆命题为真命题
C．在△ABC 中，若“A＞B”，则“sinA＞sinB”
, PA
PB
3, AC 5, BC 4,
且
平面 PAB⊥平面 ABC，则该三棱锥的外接球的表面积为( )
A．16
B． 28
C． 24
D． 32
12．已知函数
f
( x)=e x
x+1 x1
，对于函数
f
(x)
有下述四个结论：①函数
f
(x)
在其定义域
上为增函数；②对于任意的 a 0 ，都有 f (a) 1 成立；③ f (x) 有且仅有两个零点；④
为 2，则实数 m 的值为( )
A． 3
B． 2
C．2
D．1
9．已知函数 f (x) 是定义在 R 上的偶函数，当 x 0
开始
输入 m, n r=1
n=r
m=n
r＞0? 否
输出 m
求m 除以n 的余数r 是
时，
结束
f (x)
1 2
x
2
．则使不等式
f
(x
1)
9 4
成立的
第 7 题图
x 取值范围是( )
若 y=ex 在点 (x0 , ex0 ) (x0 1) 处的切线也是 y=lnx 的切线，则 x0 必是 f (x) 零点．
其中所有正确的结论序号是
A．①②③
B．①②
C．②③④
D．②③
二、填空题：(本大题共
13．已知向量
a
(4,
2)
4，小b题，(1每, 小1) 题，若5 分b ， 共(a
20 分 .把答案填在答题卡的相应位置)