轴对称培优讲义

轴对称

【课前热身】

1、下列图案是轴对称图形的有（）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

2、等腰三角形的对称轴有（）

A、1条

B、3条

C、1条或3条

D、无数条

3.下面不是轴对称图形的是（）。

①长方形②平行四边形③圆④

半圆

4、如右图设A、E两点关于直线MN对称，则_____垂

直平分______．

5、如右图，在△ABC中，AB=AC，标出各部分名称

6、在一般的三角形中，如果有两个角相等，•那么

它们所对的边有什么关系？

已知：在△ABO中，∠A=∠B

求证：AO=AO

A B

题6

【考点链接】

1．轴对称的有关概念：

如果一个平面图形沿一条_____折叠,_____两旁的部分能够互相_____，这个图形就叫做轴对称图形,这条____就是它的对称轴,这时,我们也说这个图形关于这条____成轴对称.

一个图形沿着某条直线折叠，如果他能够与________重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称,这条直线叫做_______,折叠后________叫做对称点.

2．垂直平分线的定义与性质：

定义：经过线段并且这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.

性质1：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离

性质2:与线段两个端点距离相等的点在这条线段的

3．画轴对称图形：

几何图形都可以看作由点组成，对于某些图形，只要画出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形。

连接任意一对对称点的线段被对称轴_____________________

在平面直角坐标系中，关于x轴对称的点横坐标_____,,纵坐标_________________.点（x，y）关于x轴的对称点的坐标为__________.

在平面直角坐标系中，关于y轴对称的点横坐标_____,,纵坐标_________________。点（x，y）关于y轴的对称点的坐标为__________.

4．等腰三角形：

定义：有两边相等的三角形叫，相等的两边叫，另一边叫两腰的夹角叫，腰和底边的夹角叫

性质1：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）

性质2：等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合（三线合一）

判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对应的边也相等（等边对等角）

5.等边三角形:

等边三角形是三边都相等的特殊等腰三角形（三边相等，三角相等）

判定1：三个角都相等的三角形是等边三角形。

判定2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

6.直角三角形：

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对应的直角边等于斜边的一半。

7.最短路径问题：

两点之间，线段最短。

注意：在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而做出最短路径的选择。

【典例精析】

例1．下图中有阴影的三角形与哪些三角形成轴对称？整个图形是轴对称图形吗？它共有几条对称轴？

例2．如上图，△ABC和△A’B’C’关于直线L对称，根据图中的条件，求∠A’B’C’的度数和AB的长

变式：如图，四边形ABCD与四边形EFGH关于MN对称。

（1）A、B、C、D的对称点分别是，线段AC、AB的对应线段分别是，CD= ，∠CBA= ，∠ADC= ．（2）AE与BF平行吗？为什么？

（3）AE与BF平行，能说明轴对称图形对称点的连线一定互相平行吗？

（4）延长线段BC、FG，交于点P，延长线段AB、EF，交于点Q,,你有什么发现吗？

例3.如图，在△ABC中，DE是AB的垂直平分线，AE＝3cm，△BCD的周长为13cm，求△ABC的周长。

D

E

C

B

A

O

例4.如右图所示，直线MN和DE分别是线段 AB、BC的垂直平分线，它们交于P 点，请问PA和 PC相等吗?为什么?

变式1：已知：E是∠AOB平分线上一点，EC⊥OA ，ED⊥OB ，垂足分别为C、D．求证：（1）∠ECD=∠EDC ；（2）OE是CD的垂直平分线．

变式2：如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120o，AC的垂直平分线EF交AC 于点E，交BC于点F．

求证：BF=2CF．

变式3：如图，已知AD平分BAC

∠，EF垂直平分AD，交BC延长线于F，连结AF。求证：CAF

B∠

=

∠。

A

B

C

l

例5.如图，已知点A和直线n，试画出点A关于直线n的对称点A′。

画法:

A·

n 例6.画已知图形的轴对称图形

作△ABC关于直线n的对称的图形△A′B′C′

画法：

n

变式1：请画出三角形关于直线n对称的图形

A

C

B

变式2：已知△ABC，及点A的对称点A′，请作出对称轴直线n，并画出△ABC 关于直线n的对称图形。 C

B

变式3：如图在坐标系中标系中，分别画出△ABC

关于X轴对称图形△A1B1C1和△ABC关于Y轴对称

图形△A2B2C2，并标注各个顶点坐标。

A

B

例7.如图所示，根据等腰三角形性质定理在△ABC中，AB=AC时，

①∵AD⊥BC，∴∠_____ = ∠_____，____= ____.

②∵AD是中线，∴____ ⊥ ____ ，∠_____ =∠_____.

③∵AD是角平分线，∴____ ⊥ ____ ，_____ =_____

例8.如图，把一张矩形的纸沿对角线折叠．重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？

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