第三节(导数)

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三. 极坐标中的C-R条件 极坐标中的C
极坐标系中， 极坐标系中，∆z 沿径向逼近零（ ∆z = e ∆ρ → 0 ） 径向逼近零（ 逼近零
iϕ
和沿横向逼近零（ ∆z = ρ∆ (e ) = i ρ e ∆ϕ → 0 ） 分别得 和沿横向逼近零（ 横向逼近零
iϕ iϕ
的极限，就得到极坐标系中的柯西－ ∆f / ∆z 的极限，就得到极坐标系中的柯西－黎曼方程
d n z = nzn−1 dz d ez = ez dz d sin z = cos z dz d dz cos z = − sin z d ln z = 1 dz z
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3. C-R条件 条件 只能沿实轴逼近零， 实数∆x只能沿实轴逼近零，但复数 ∆z 可以沿复平面上的 任意一条曲线逼近零， 任意一条曲线逼近零，复变函数的可导比实变函数可导要求严 格！
∂u 1 ∂v ∂ρ = ρ ∂ϕ 1 ∂u = − ∂v ρ ∂ϕ ∂ρ
也可以按照直角变换成极坐标的公式变换成极坐标， 也可以按照直角变换成极坐标的公式变换成极坐标，就可得到 直角变换成极坐标的公式变换成极坐标 极坐标系中的柯西－黎曼方程。 极坐标系中的柯西－黎曼方程。
充分必要条件
设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域 内一点 在区域B内一点z=x+iy可 可 导的充分必要条件 充分必要条件是 导的充分必要条件是
1. u ( x, y ), v ( x, y )在( x, y )点处可微； 2. 在( x, y )点处满足 Cauchy − Riemann条件
在最后一步中， 为有限值， 在最后一步中，已经考虑到 ∆x/∆z , ∆y/∆z 为有限值， 所有含有
而趋于零，根据柯西－ ε 的项随着 ∆z − > 0 而趋于零，根据柯西－黎曼
条件， 条件，可得
∂u ∂v (∆x + i∆y ) + i (∆x + i∆y ) ∂u ∂v ∂x ∂x lim = +i ∆x −> 0 ∆x + i ∆y ∂x ∂x ∆y −> 0
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Cauchy-Riemann方程的意义 Cauchyi)将复变函数的实部和虚部联系起来， i)将复变函数的实部和虚部联系起来， 将复变函数的实部和虚部联系起来 ii)由方程的实部可求出虚部或反之。 ii)由方程的实部可求出虚部或反之。 由方程的实部可求出虚部或反之 注意： 注意： 柯西－黎曼方程只能保证 柯西－黎曼方程只能保证
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0
f (z 0 + ∆ z ) − f (z 0 ) − f ′ (z 0 ) < ε ∆z
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注
与实数极限方式不同的是,复数极限复杂的多 与实数极限方式不同的是 复数极限复杂的多 1. 定义中 z 0 + ∆ z → z 0 (∆ z → 0 )的方式是任意的
2. 此定义是点可导概念 , 如果f (z )在区域D内处处可导 , 则我们就称 f (z )在D内可导
求 f (z ) = z 2的导数 .
f (z + ∆ z ) − f (z ) (z + ∆ z ) − z 2 Q lim = lim ∆z → 0 ∆z → 0 ∆z ∆z
2
例 解
= lim (2 z + ∆z ) = 2 z
∆z → 0
∴ z
( ) = 2z
2
′
2
2. 常用公式
d dw1 dw2 + (w1 + w2 ) = dz dz dz dw1 dw2 d dz (w1w2 ) = dz w2 + w1 dz ′ ′ w1w2 − w1w2 d w1 ( )= 2 dz w2 w2 dw dz = 1/ dw dz d dF dw dz F (w) = dw dz
注意： 注意： f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在点z=x+iy可导(微) ⇔
u ( x, y ), v ( x, y )在( x, y )点处可微；
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充分条件 设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，若u(x,y)和v(x,y)
在(x,y)处满足
∂u ∂u ∂v ∂v 1. , , , 在( x, y )点处存在且连续； ∂x ∂y ∂x ∂y 2. 在( x, y )点处满足Cauchy − Riemann条件
§1.3一.Biblioteka 导 数1. 定义导
数
设函数w = f ( z )定义于区域D, z0为D中的一点, z0 + ∆z点不出D的范围.
如极限 lim
∆z → 0
f ( z 0 + ∆z ) − f ( z 0 ) 存在 , ∆z
可导(或可微 或可微)， 则称f (z ) 在 z0 可导 或可微 ，这个极限值称为f (z ) 在 z0 的导数 或微商 导数(或微商 或微商). 记作 f ′(z ) = dw = lim f ( z0 + ∆z ) − f ( z0 ) 0 ∆z dz z = z ∆z →0 ε − δ定义 ∀ε > 0, ∃δ > 0,当0 < ∆z < δ , 有
与
∆z → 0
的方式无关，故得证。 的方式无关，故得证。
∂u ∂v ∂x = ∂y ∂u = − ∂v ∂y ∂x
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导数的计算公式
可导， 设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在点z=x+iy可导，那么 在 可导
df ( z ) ∂u ∂v ∂v ∂u = +i = −i dz ∂x ∂x ∂y ∂y
∆z
沿平行于实轴方向逼近零的情形， 实轴方向逼近零的情形 ∆y 沿平行于实轴方向逼近零的情形，
≡ 0 ∆z = ∆x → 0
u ( x + ∆x, y ) + iv( x + ∆x, y ) − u ( x, y ) − iv( x, y ) lim ∆x →0 ∆x u ( x + ∆x, y ) − u ( x, y ) v( x + ∆x, y ) − v( x, y ) = lim { +i } ∆x →0 ∆x ∆x ∂u ∂v = +i ∂x ∂x
那么f(z)在 那么 在z=x+iy处可导。 处可导。
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函数f(z)可导的充分条件 函数 ） 函数 可导的充分条件：函数f(z）的偏导数 可导的充分条件： ∂u ∂u ∂v ∂v , , , 存在且连续，且满足柯西－ 存在且连续，且满足柯西－黎曼方程 ∂x ∂y ∂x ∂y
证：由于偏导数连续，二元函数u和v的增量可以写成 由于偏导数连续，二元函数 和 的增量可以写成
∆z
沿平行于虚轴方向逼近零的情形， 沿平行于虚轴方向逼近零的情形， ∆x
≡ 0 ∆z = i∆y → 0
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u ( x, y + ∆y ) + iv( x, y + ∆y ) − u ( x, y ) − iv( x, y ) lim ∆x →0 i∆y v( x, y + ∆y ) − v( x, y ) u ( x, y + ∆y ) − u ( x, y ) = lim { −i } ∆x →0 ∆y ∆y ∂v ∂u = −i ∂y ∂y
∆z 沿实轴逼近零和虚轴逼近零时
逼近同一极限， 沿任意曲线逼近零时， ∆f / ∆z 逼近同一极限，不能保证 ∆z沿任意曲线逼近零时，
∆f / ∆z 总是逼近同一极限。不是复变函数可导的充分条件。 总是逼近同一极限。不是复变函数可导的充分条件。
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• Cauchy-Riemann条件
为必要条件
设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域B内一点 z=x+iy可导，那么有 ∂u ∂u ∂v ∂v 1. , , , 在( x, y )点处存在； ∂x ∂y ∂x ∂y
如果函数f(z)可导，则两个极限必须存在且相等，即 如果函数 可导，则两个极限必须存在且相等， 可导
∂u ∂v ∂v ∂u +i = −i ∂x ∂x ∂y ∂y
实部和虚部必须分别相等
∂u ∂v ∂x = ∂y ∂u = − ∂v ∂y ∂x
柯西－黎曼方程（C-R条件） 柯西－黎曼方程（ 条件） 复变函数可导的必要条件
2. 在( x, y )点处满足Cauchy − Riemann条件 ∂u ∂v ∂u ∂v = , =− ∂x ∂y ∂y ∂x
逆命题不成立
xy , xy ≥ 0 f ( z ) = Re z ⋅ Im z = i | xy | , xy < 0
f(z)在z=0处不可导
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二. 可导的条件
∆u = ∂u ∂u ∆x + ∆y + ε1∆x + ε 2 ∆y ∂x ∂y ∂v ∂v ∆v = ∆x + ∆y + ε 3∆x + ε 4 ∆y ∂x ∂y
各个 ε 随着 ∆z
趋于零， → 0 趋于零，则
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∂u ∂u ∂v ∂v ∆x + ∆y + i ( ∆x + ∆y ) ∆f ∆u + i∆v ∂x ∂y ∂x ∂y = lim = lim lim ∆z →0 ∆z ∆z →0 ∆z →0 ∆z ∆z