高中数学北师大版选修1-1课时作业：1.2.1 充分条件与必要条件 Word版含解析

选修1-1 第一章 §2 课时作业4

一、选择题

1．若¬p 是¬q 的必要条件，则q 是p 的( )

A ．充分条件

B ．必要条件

C ．非充分条件

D ．非必要条件

解析：¬p 是¬q 的必要条件，即¬q ⇒¬p 为真命题，故¬q ⇒¬p 的逆否命题p ⇒q 也为真命题．

∴q 是p 的必要条件．

答案：B

2．对任意实数a ，b ，c ，在下列命题中，真命题是( )

A. “ac >bc ”是“a >b ”的必要条件

B. “ac ＝bc ”是“a ＝b ”的必要条件

C. “ac >bc ”是“a >b ”的充分条件

D. “ac ＝bc ”是“a ＝b ”的充分条件

解析：当a ＝b 时，ac ＝bc ，而当ac ＝bc 时，若c ＝0，则a 和b 不一定相等．

答案：B

3．已知条件p ：y ＝lg(x 2＋2x －3)的定义域，条件q ：5x －6>x 2，则¬p 是¬q 的( )

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

解析：¬p ：x 2＋2x －3≤0，则－3≤x ≤1；

¬q ：5x －6≤x 2，即x 2－5x ＋6≥0，

∴x ≥3或x ≤2.由小集合⇒大集合，

∴¬p ⇒¬q ，但¬q ¬p .故选A.

答案：A

4．一次函数y ＝－m n x ＋1n

的图像同时经过第一、二、四象限的必要不充分条件是( )

A. m >0，n >0

B. mn <0

C. m <0，n <0

D. mn >0

解析：一次函数y ＝－m n x ＋1n 的图像同时经过第一、二、四象限，即⎩⎨⎧ －m n <0，1n

>0，得m >0，

n >0.

由题意可得，m >0，n >0可以推出选项条件，而反之不成立，所以选D.

答案：D

二、填空题

5．用“充分条件”和“必要条件”填空．

(1)“xy ＝1”是“lg x ＋lg y ＝0”的__________． (2)“△ABC ≌△A ′B ′C ′”是“△ABC ∽△A ′B ′C ′”的__________．

解析：(1)xy ＝1lg x ＋lg y ＝0(如x ＝y ＝－1)，

lg x ＋lg y ＝0⇒lg(xy )＝0⇒xy ＝1.

(2)△ABC ≌△A ′B ′C ′⇒△ABC ∽△A ′B ′C ′，

△ABC ∽△A ′B ′C ′△ABC ≌△A ′B ′C ′.

答案：(1)必要条件 (2)充分条件

6．已知α、β是不同的两个平面，直线a ⊂α，直线b ⊂β，

p ：a 与b 无公共点，q ：α∥β，则p 是q 的________条件．

解析：面面平行时定有分别位于两个面内的直线无公共点，但是两个面内的直线无公共点时，这两个面的关系可能是平行的，也可能是相交，故p 是q 的必要不充分条件．

答案：必要不充分

7．已知p ：x 2＋x －2>0，q ：x >a ，若q 是p 的充分不必要条件，则a 的取值范围是__________．

解析：将p ，q 分别视为集合A ＝{x |x 2＋x －2>0}＝{x |x >1或x <－2}，B ＝{x |x >a }，已知q 是p 的充分不必要条件，即B A ，在数轴上表示出两个集合(图略)，可知满足题意的a 的取值范围为a ≥1.

答案：a ≥1

三、解答题

8．下列命题中，判断条件p 是条件q 的什么条件：

(1)p ：|x |＝|y |，q ：x ＝y ；

(2)p ：△ABC 是直角三角形，q ：△ABC 是等腰三角形；

(3)p ：四边形的对角线互相平分，q ：四边形是矩形．

解：(1)∵|x |＝|y

|x ＝y ，但x ＝y ⇒|x |＝|y |，

∴p 是q 的必要条件，但不是充分条件．

(2)△ABC 是直角三角形△ABC 是等腰三角形．

△ABC 是等腰三角形△ABC 是直角三角形．

∴p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件．

(3)四边形的对角线互相平分四边形是矩形．

四边形是矩形⇒四边形的对角线互相平分．

∴p 是q 的必要条件，但不是充分条件．

9．[2014·河南省郑州一中月考]已知p ：关于x 的不等式3－m 2

，q ：x (x －3)<0，若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．

解：记A ＝{x |3－m 2

}， B ＝{x |x (x －3)<0}＝{x |0

若p 是q 的充分不必要条件，则A B .

注意到B ＝{x |0

(1)若A ＝∅，即3－m 2≥3＋m 2

，求得m ≤0，此时A B ，符合题意； (2)若A ≠∅，即3－m 2<3＋m 2

，求得m >0， 要使A B ，应有⎩⎨⎧ 3－m 2>0，3＋m 2<3，m >0，解得0

综上可得，实数m 的取值范围是(－∞，3)．