中考数学精编试题及答案

1、如图，平面直角坐标系中，矩形OABC 的两边分别在x 轴和y 轴上，OA ＝28cm ，OC ＝8cm ，现有两动点P 、Q 分别从O 、C 同时出发，P 在线段OA 上沿OA 方向以每秒2cm 的速度匀速运动，Q 在线段CO 上沿CO 方向以每秒1cm 的速度匀速运动．设运动时间为t 秒．

（1）用t 的式子表示△OPQ 的面积S ；

（2）求证：四边形OPBQ 的面积是一个定值，并求出这个定值；

（3）当△OPQ 与△P AB 和△QPB 相似时，抛物线y ＝4

1x

2

＋bx ＋c 经过

B 、P 两点，过线段BP 上一动点M 作y 轴的平行线交抛物线于N ，当线段MN 的长取最大值时，求直线MN 把四边形OPBQ 分成两部分的面积之比．

1. 解：（1）∵CQ ＝t ，OP ＝2t ，CO ＝8，∴OQ ＝8－t

∴S △OPQ ＝

2

1

(8－t )·2t ＝－22t

2＋24t （0＜t ＜8）

（2）∵S 四边形OPBQ ＝S 矩形ABCD

－

S △P AB －

S △CBQ

＝8×28－

21×28t －2

1

×8×(28－2t )＝232 ∴四边形OPBQ 的面积为一个定值，且等于232

（3）当△OPQ 与△P AB 和△QPB 相似时，△QPB 必须是一个直角三角形，依题

意只能是∠QPB ＝90°

又∵BQ 与AO 不平行，∴∠QPO 不可能等于∠PQB ，∠APB 不可能等于∠PBQ

∴根据相似三角形的对应关系只能是△OPQ ∽△PBQ ∽△ABP ∴

PA QO ＝AB OP

，即t

t 2288--＝

82t ，解得：t ＝4 经检验：t ＝4是方程的解且符合题意（从边长关系和速度考虑） 此时P （24，0）

∵B （28，8）且抛物线y ＝4

1x

2

＋bx ＋c 经过B 、P 两点 ∴抛物线是y ＝

4

1x

2

－22x ＋8，直线BP 是y ＝2x －8 设M （m ，2m －8），则N （m ，

4

1m

2

－22m ＋8） ∵M 是BP 上的动点，∴24≤m ≤28

∵y 1＝41x

2－22x ＋8＝4

1( x －24)2

∴抛物线的顶点是P （24，0）

又y 1＝

4

1x

2

－22x ＋8与y 2＝2x －8交于P 、B 两点 ∴当24≤m ≤28时，y 2＞y 1

∴|

MN |＝|

y 2－y 1|＝y 2－y 1＝(2m －8)－(

4

1m

2

－22m ＋8) ＝－

41m

2＋23m －16＝－4

1

(m －26)2＋2 ∴当m ＝26时，MN 有最大值是2，此时M （26，4） 设MN 与BQ 交于H 点，则H （26，7） ∴S △BHM

＝

2

1

×3×22＝23 ∴S △BHM :

S 五边形QOPMH

＝23:(232－23)＝3 :

29

∴当线段MN 的长取最大值时，直线MN 把四边形OPBQ 分成两部分的面积之比为3 :

29

2．如图①、②，在平面直角坐标系中，一边长为2的等边三角板CDE 恰好与坐标系中的△OAB 重合，现将三角板CDE 绕边AB 的中点G （G 点也是DE 的中点），按顺时针方向旋转180°到△C ′ED 的位置． （1）求C ′ 点的坐标；

（2）求经过O 、A 、C ′ 三点的抛物线的解析式；

（3）如图③，⊙G 是以AB 为直径的圆，过B 点作⊙G 的切线与x 轴相交于点F ，求切线BF 的解析式；

（4）抛物线上是否存在一点M ，使得S △AMF :

S △OAB ＝16 :

3？若存在，请求出点M 的坐标；

若不存在，请说明理由．

2．解：（1）C ′ 点的横坐标为2＋2×

2

1

＝3，纵坐标为2×23＝3

C ′ 点的坐标为（3，3）

（2）∵抛物线过原点O （0，0），∴设抛物线的解析式为y ＝ax

2

＋bx

把A （2，0），C ′（3，3）代入，得 ⎩⎨⎧4a ＋2b ＝0

9a ＋3b ＝3

解得a ＝

33，b ＝－3

32 ∴抛物线的解析式为y ＝33x

2－3

3

2x

（3）∵∠ABF ＝90°，∠BAF ＝60°，∴∠AFB ＝30°

又AB ＝2，∴AF ＝4，∴OF ＝2，∴F （－2，0） 设切线BF 的解析式为y ＝kx ＋b

把B （1，3），F （－2，0）代入，得⎩⎨⎧k ＋b ＝3

－2k ＋b ＝0

解得k ＝

33，b ＝3

32 ∴切线BF 的解析式为y ＝33x ＋3

3

2

（4）假设存在，设M 的坐标为（x ，

33x

2－3

3

2x ） ①当点M 在x 轴上方时

由S △AMF :

S △OAB ＝16 :

3，得

21×4×(33x 2－332x ):2

1×2×3＝16 :

3

整理得x

2

－2x －8＝0，解得x 1＝－2，x 2＝4

当x ＝－2时，y ＝33×(－2)2－3

32×(－2)＝338 当x ＝4时，y ＝33×4

2－3

32×4＝338 ∴M 1（－2，

338），M 2（4，3

38） ②当点M 在x 轴下方时 由S △AMF :

S △OAB ＝16 :

3，得

21×4×[－(33x

2－332x )]:2

1

×2×3＝16 :

3

整理得x

2

－2x ＋8＝0，此方程无实数解

综上所述，抛物线上存在点M 1（－2，

338）和M 2（4，3

38） 使得S △AMF :

S △OAB ＝16 :

3

3、图9是二次函数y ＝(x ＋m )2

＋k 的图象，其顶点坐标为M （1，－4）． （1）求出图象与x 轴的交点A 、B 的坐标； （2）在二次函数的图象上是否存在点P ，使S △P AB

＝

4

5

S △MAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由；