数列通项公式练习题(含解析)

例1．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，255a S =．求数

列{}n a 的通项公式.

例2．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S n n n ．求数列{}n a 的通项公

式。

类型1 递推公式为)(1n f a a n n +=+

1. 已知数列{}n a 满足211=a ，n

n a a n n ++=+211，求n a 。 类型2 （1）递推公式为n n a n f a )(1=+

2.1. 已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n a 1

1+=+，求n a 。 （2）递推式：()n f pa a n n +=+1

2.2．设数列{}n a ：)2(,123,411≥-+==-n n a a a n n ，求n a .

类型3 递推公式为q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数）。

3. 已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a .

类型4递推公式为n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）。

4. 已知数列{}n a 中，11=a ,22=a ,n n n a a a 313212+=

++，求n a 。

类型5 递推公式为n S 与n a 的关系式。(或()n n S f a =)

5. 已知数列{}n a 前n 项和221

4---=n n n a S .

（1）求1+n a 与n a 的关系；（2）求通项公式n a .

例1．解：设数列{}n a 公差为)0(>d d

∵931,,a a a 成等比数列，∴9123a a a =，

即)8()2(1121d a a d a +=+d a d 12=⇒

∵0≠d ， ∴d a =1………………………………①

∵255a S = ∴211)4(2

455d a d a +=⋅⨯+…………② 由①②得：5

31=a ，53=d ∴n n a n 5

353)1(53=⨯-+= 例2．解：由1121111=⇒-==a a S a

当时，有

……， 经验证11=a 也满足上式，所以])1(2[3

212---+=n n n a 点评：利用公式⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-211n S S n S a n n

n n 求解时，要注意对n 分类讨论，但若能合写时一定要合并．

1.解：由条件知：1

11)1(1121+-=+=+=-+n n n n n n a a n n 分别令)1(,,3,2,1-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累加之，即)()()()(1342312--+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+-+-n n a a a a a a a a

)111()4131()3121()211(n

n --+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+-+-= 所以n

a a n 111-=- 211=a ，n

n a n 1231121-=-+=∴

2≥n ,)1(2)(211n n n n n n a a S S a -⨯+-=-=--1122(1),

n n n a a --∴=+⨯-,)1(22221----⨯+=n n n a a .

2212-=a a 11221

122(1)2(1)2(1)n n n n n a a ----∴=+⨯-+⨯-++⨯-].)1(2[3

23

])2(1[2)1(2)]2()2()2[()1(2

1211211--------+=----=-++-+--+=n n n n n n n n n

2.1.解：由条件知

1

1+=+n n a a n n ，分别令)1(,,3,2,1-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累乘之，即 1342312-•⋅⋅⋅⋅⋅⋅•••n n a a a a a a a a n

n 1433221-⨯⋅⋅⋅⋅⋅⋅⨯⨯⨯=n a a n 11=⇒ 又321=a ，n

a n 32=∴ （2）．由n n a n f a )(1=+和1a 确定的递推数列{}n a 的通项可如下求得： 由已知递推式有1)1(--=n n a n f a ， 21)2(---=n n a n f a ，•••，12)1(a f a =依次向前代入，得

1)1()2()1(a f n f n f a n ⋅⋅⋅--=，

2.2．设B An b a B ，An a b n n n n --=++=则，将1,-n n a a 代入递推式，得 []1

2)1(31-+---=---n B n A b B An b n n )133()23(31+----=-A B n A b n

⇒⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=∴13323A B B A A ⎩

⎨⎧==11B A 1++=∴n a b n n 取…（１）则13-=n n b b ,又61=b ，故n

n n b 32361⨯=⨯=-代入（１）得132--⨯=n a n n

3.解：设递推公式321+=+n n a a 可以转化为)(21t a t a n n -=-+即321-=⇒-=+t t a a n n .故递推公式为)3(231+=++n n a a ,令3+=n n a b ，则4311=+=a b ,且23

311=++=++n n n n a a b b .所以{}n b 是以41=b 为首项，2为公比的等比数列，则11224+-=⨯=n n n b ,所以321-=+n n a .

4.解：由n n n a a a 3

13212+=++可转化为)(112n n n n sa a t sa a -=-+++