6.5最简三角方程2
6.5(1)(2)(3)最简三角方程
①当 2a 1 1，即 a 0 或 a 1时，x ；
②当 2a 1 1
(i) a 1时， sin 2 x 1 x k
4
,k Z ;
(ii) a 0时， sin 2 x 1 x k
4
,k Z ;
例2.解关于x的方程 : sin x cos x sin x cos x 1
t 2 1 . ，则 sin x cos x 解：令 sin x cos x t , t 2, 2 2 2 t 1 原方程化为 t 1 t 3 (舍) 或 1 2 2 sin x cos x 1 sin x 4 2 3 x 2 k 或 2 k 4 4 4
一般地, 当 a 1时, x x 2k arccosa, k .
3 例4、求方程tan x 的解集. 3
三角方程 tan x a, a R
x x k arctana, k .
例5.解下列三角方程 1 1sin 2 x ; 3
1 例1、求方程 sin x 的解集 . 2
例2、求方程 3sin(2 x
4
) 1的解集 .
三角方程 sin x a 当 a 1时, 方程无解;
当a 1时, x
x 2k
2
, k Z
. .
.
当a 1时, x
x 2k
2
, k Z
一般地, 当 a 1时, x
k (1) k arcsin a, k
1 例3、求方程 cos x 的解集 . 2
反三角函数及最简三角方程.docx
标准实用反三角函数及最简三角方程一、知识回顾：1、反三角函数：概念：把正弦函数y sin x ， x,时的反函数，成为反正弦函数，记作22y arcsin x .y sin x( x R) ，不存在反函数.含义： arcsin x 表示一个角；角,；sin x .22反余弦、反正切函数同理，性质如下表.名称函数式定义域值域奇偶性单调性反正弦函数y arcsin x1,1 增,2奇函数增函数2y arccosx arccos( x)arccosx反余弦函数1,1 减0,减函数非奇非偶反正切函数y arctanx R增,2奇函数增函数2y arc cot x arc cot( x)arc cot x反余切函数R减0,减函数非奇非偶其中：（）．符号arcsin x 可以理解为－，]上的一个角弧度，也可以理解为1[2() 2区间[－，]上的一个实数；同样符号arccosx 可以理解为[0，π 上的一个角2]2(弧度 )，也可以理解为区间 [0 ，π]上的一个实数；（2）． y ＝arcsin x 等价于 sin y＝x, y∈ [－，], y＝ arccos x 等价于 cos y22＝x, x ∈[0, π], 这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依据；（3）．恒等式 sin(arcsin x)＝x, x∈ [－ 1, 1] , cos(arccos x)＝x, x∈ [－1, 1], tan(arctanx)=x,x ∈ Rarcsin(sin x) ＝ x, x ∈ [ －，], arccos(cos x) ＝ x, x ∈ [0,22π],arctan(tanx)=x, x∈（－，）的运用的条件；22（4）．恒等式 arcsin x＋arccos x＝, arctan x＋arccot x＝的应用。
222、最简单的三角方程方程方程的解集a1x | x2k arcsin a, k Zsin x aa1x | x k 1 k arcsin a, k Za1x | x2k arccos a, k Zcos x aa1x | x2k arccos a, k Ztan x a x | x k arctana, k Zcot x a x | x k arc cot a, k Z其中：（1 ）．含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程。
6.5最简三角方程
3
6
所以解集为 {x | x k , k }
6
tan x a的解集为：
{x | x k arctana, k }
一般地 ，方程cosx=a,|a|<1的解集是：
x | x 2k arccos x, k Z
一般地 ，方程tanx=a的解集是：
x | x k arctan a, k Z
24
令y1
(sin x
y
1 )2 , sin 2
y
x
[1,1],
9
y2
a
3 4
4
y1
4
1
11
sinx
2
y
y9
4
y1
4
1
11
sinx
2
a 3 0或a 3 9 时,sin x无解,即原方程无解
4
44
a 3 0时,sin x 1 ,原方程有两解
4
2
0 a 3 1 时,sin x在(0,1)内有两解,原方程有4解
{x|x=k( k • arcsina ,kz}
2）方程sinx=a,|a|>1的解集是： 3）方程sinx=a,|a|=1的解集是：
sinx=1,x=2k+/2 sinx=-1,x=2k-/2
例5、求方程cosx 1 的解集 2
方程cosx 1 在一个周期内的解为x 2 和x 4
2
3
4
sin(2x ) 1 2x k (1)k arcsin1
43
4
3
{x | x 1 k (1)k arcsin 1 , k }
2
2
38
例3.sin(2x ) 3
42
上海市二期课改高一到高三所有的数学教材目录
上海市二期课改高一到高三所有的数学教材目录共21个单元高中一年级第一学期第1章集合和命题一、集合1.1集合及其表示法1.2集合之间的关系1.3集合的运算二、四种命题的形式1.4命题的形式及等价关系三、充分条件与必要条件1.5充分条件,必要条件四、逻辑初步(*拓展内容1.6命题的运算五、抽屉原则与平均数原则(*拓展内容1.7抽屉原则与平均数原则第2章不等式2.1不等式的基本性质2.2一元二次不等式的解法2.3其他不等式的解法2.4基本不等式及其应用课题一最大容积问题2.5不等式的证明(拓展内容第3章函数的基本性质3.1函数的概念3.2函数关系的建立课题二邮件与邮费问题课题三上海出租车计价问题3.3函数的运算3.4函数的基本性质函数的零点(拓展内容第4章幂函数、指数函数和对数函数一、幂函数4.1幂函数的性质与图像二、指数函数4.2指数函数的图像与性质三、对数4.3对数概念及其运算换底公式(拓展内容四、反函数4.4反函数的概念五、对数函数4.5对数函数的图像与性质六、指数方程和对数方程4.6简单的指数方程4.7简单的对数方程课题四声音传播问题高中一年级第二学期第5章三角比一、任意角的三角比5.1任意角及其度量5.2任意角的三角比课题一用单位圆中有向线段表示三角比二、三角恒等式5.3同角三角比的关系和诱导公式5.4两角和与差的余弦、正弦和正切5.5二倍角与半角的正弦、余弦和正切5.6三角比的积化和差与和差化积(拓展内容三、解斜三角形5.7正弦定理、余弦定理和解斜三角形课题二测建筑物的高度第6章三角函数一、三角函数的性质与图像6.1正弦函数和余弦函数的性质与图像6.2正切函数的性质和图像课题三制作弯管6.3函数的图像函数的性质(拓展内容二、反三角函数与最简三角方程(拓展内容6.4反三角函数6.5最简三角方程第7章数列7.1数列7.2等差数列与等比数列7.3等差数列与等比数列的通项公式7.4等差数列的前n项和7.5等比数列的前n项和雪花曲线(*拓展内容课题五组合贷款购房中的数学问题第8章数学归纳法8.1归纳——猜想——证明8.2数归纳法的应用第9章行列式初步9.1二阶行列式9.2三阶行列式第10章平面向量10.1向量10.2向量的加减法10.3实数与向量的乘积10.4向量的坐标表示及其运算10.5向量的数量积10.6向量的应用(*拓展内容课题一宇航员的训练第11章坐标平面上的直线11.1直线的方程11.2直线的倾斜角和斜率11.3两条直线的位置关系11.4点到直线的距离第12章圆锥曲线12.1曲线和方程12.2圆的方程课题二追捕走私船12.3椭圆的标准方程12.4椭圆的性质12.5双曲线的标准方程12.6双曲线的性质课题三探索点的轨迹12.7抛物线的标准方程12.8抛物线的性质课题四做一个有趣的实验高中二年级第二学期第13章排列与组合13.1计数原理I——乘法原理13.2排列二、组合13.3组合13.4计数原理II——加法原理课题一旅行商问题第14章数列的极限14.1数列的极限14.2极限的运算法则14.3无穷等比数列各项的和课题二数列极限在面积计算中的应用第15章复数15.1复数的概念15.2复数的坐标表示15.3复数的加法与减法15.4复数的乘法与除法15.5复数的平方根与立方根复数的立方根(*拓展内容15.6实系数一元二次方程第16章空间图形一、平面16.1平面及其表示法16.2平面的基本性质二、空间点、直线、平面的位置关系16.3空间直线与直线的位置关系16.4空间直线与平面的位置关系16.5空间平面与平面的位置关系(*拓展内容16.6多面体的概念16.7多面体的直观图16.8棱柱、棱锥和棱台的体积及表面积课题三凸多面体的顶点数、棱数和面数的关系高中三年级(文科第17章经济生活中的数学问题17.1存款课题一连续复利17.2货款17.3现值和终值17.4保险第18章线性规划18.1满足条件的解集18.2线性规划问题及其解法课题二线性规划在生活中的应用第19章优选与统筹一、试验设计的若干方法19.1二分法19.2 0.618法二、统筹规划19.3统筹规划课题三组装一辆自行车的工序流程第20章概率初步20.1概率20.2频率20.3期望值20.4事件和的概率20.5独立事件积的概率课题四福利彩票中的概率计算第21章基本统计方法21.1总体和样本21.2抽样技术21.3实例分析课题五抽样调查实习高中三年级(理科第17章参数方程和极坐标方程一、参数方程17.1曲线的参数方程17.2直线和圆锥曲线的参数方程课题一轨迹探究二、极坐标方程17.3极坐标系第18章空间向量及其应用18.1空间向量18.2空间向量的坐标表示18.3空间直线的方向向量和平面的法向量18.4空间向量在度量问题中的应用课题二飞行机器人位置的确定第19章线性规划19.1线性规划问题19.2线性规划的可行域19.3线性规划的解课题三线性规划在生活中的应用第20章概率初步20.1随机事件和概率20.2概率的性质和加法公式20.3独立随机事件20.4期望值课题四中国邮政贺年有奖明信片的中奖率计算第21章基本统计方法21.1总体和样本21.2抽样技术21.3实例分析21.4正态分布(拓展内容拓展型课程专题1矩阵初步1.1向量的另一种定义1.2矩阵的概念1.3矩阵加减法及矩阵与实数的乘积1.4矩阵的乘法1.5逆矩阵课题平面图形的矩阵变换专题2坐标变换与一般二次曲线2.1坐标系的平移变换2.2坐标系的旋转变换2.3一般二元二方方程的讨论与化简专题3二项式定理3.1二项式定理3.2二项式系数的应用专题4数学建模初步4.1数学建模的一般步骤4.2简单数学模型举例专题5曲线拟合5.1直接观察法5.2最小二乘法专题6复数的三角形式6.1复数的三角表示6.2复数三角形式的乘法和除法6.3复数的乘方和开方6.4复数三角形式的应用专题7常见曲线的极坐标方程7.1圆锥曲线的统一的极坐标方程7.2几种特殊曲线的极坐标方程课题玫瑰线专题8随机变量8.1随机变量8.2二项式分布8.3随机变量的数学期望和方差附一期课改高三年级第二学期数学课本目录第17章导数及其应用一、导数的概念17.1变化率与导数17.2切线与导数17.3导函数二、导数的运算17.4导数的运算法则17.5基本导数公式三、导数的应用17.6函数的增减性17.7函数的极值与最大值、最小值第18章定积分及其应用一、定积分的概念18.1定积分的概率18.2定积分的性质18.3基本定积分公式二、定积分的应用18.4平面图形的面积18.5体积三、微积分史话15.1复数的概念15.2复数的坐标表示15.3复数的加法与减法15.4复数的乘法与除法15.5复数的平方根与立方根复数的立方根(*拓展内容15.6实系数一元二次方程第16章空间图形一、平面16.1平面及其表示法16.2平面的基本性质二、空间点、直线、平面的位置关系16.3空间直线与直线的位置关系16.4空间直线与平面的位置关系16.5空间平面与平面的位置关系(*拓展内容三、多面体16.6多面体的概念16.7多面体的直观图16.8棱柱、棱锥和棱台的体积及表面积课题三凸多面体的顶点数、棱数和面数的关系高中三年级(文科第17章经济生活中的数学问题17.1存款课题一连续复利17.2货款17.3现值和终值17.4保险第18章线性规划18.1满足条件的解集18.2线性规划问题及其解法课题二线性规划在生活中的应用第19章优选与统筹一、试验设计的若干方法19.1二分法19.2 0.618法二、统筹规划19.3统筹规划课题三组装一辆自行车的工序流程第20章概率初步20.1概率20.2频率20.3期望值20.4事件和的概率20.5独立事件积的概率课题四福利彩票中的概率计算第21章基本统计方法21.1总体和样本21.2抽样技术21.3实例分析课题五抽样调查实习高中三年级(理科第17章参数方程和极坐标方程一、参数方程17.1曲线的参数方程17.2直线和圆锥曲线的参数方程课题一轨迹探究二、极坐标方程17.3极坐标系第18章空间向量及其应用18.1空间向量18.2空间向量的坐标表示18.3空间直线的方向向量和平面的法向量18.4空间向量在度量问题中的应用课题二飞行机器人位置的确定第19章线性规划19.1线性规划问题19.2线性规划的可行域19.3线性规划的解课题三线性规划在生活中的应用第20章概率初步20.1随机事件和概率20.2概率的性质和加法公式20.3独立随机事件20.4期望值课题四中国邮政贺年有奖明信片的中奖率计算第21章基本统计方法21.1总体和样本21.2抽样技术21.3实例分析21.4正态分布(拓展内容拓展型课程专题1矩阵初步1.1向量的另一种定义1.2矩阵的概念1.3矩阵加减法及矩阵与实数的乘积1.4矩阵的乘法1.5逆矩阵课题平面图形的矩阵变换专题2坐标变换与一般二次曲线2.1坐标系的平移变换2.2坐标系的旋转变换2.3一般二元二方方程的讨论与化简专题3二项式定理3.1二项式定理3.2二项式系数的应用专题4数学建模初步4.1数学建模的一般步骤4.2简单数学模型举例专题5曲线拟合5.1直接观察法5.2最小二乘法专题6复数的三角形式6.1复数的三角表示6.2复数三角形式的乘法和除法6.3复数的乘方和开方6.4复数三角形式的应用专题7常见曲线的极坐标方程7.1圆锥曲线的统一的极坐标方程7.2几种特殊曲线的极坐标方程课题玫瑰线专题8随机变量8.1随机变量8.2二项式分布8.3随机变量的数学期望和方差附一期课改高三年级第二学期数学课本目录第17章导数及其应用一、导数的概念17.1变化率与导数17.2切线与导数17.3导函数二、导数的运算17.4导数的运算法则17.5基本导数公式三、导数的应用17.6函数的增减性17.7函数的极值与最大值、最小值第18章定积分及其应用一、定积分的概念18.1定积分的概率18.2定积分的性质18.3基本定积分公式二、定积分的应用18.4平面图形的面积18.5体积三、微积分史话6。
上海高中数学课本目录
上海高中数学教材目录高一（上册）第一章集合和命题一集合1.1集合及其表示方法1.2集合之间的关系1.3集合的运算二四种命题的形式1.4命题的形式及等价关系三充分条件和必要条件1.5充分条件和必要条件1.6子集与推出关系第二章不等式2.1不等式的基本性质2.2一元二次不等式的解法2.3其他不等式的解法2.4基本不等式及其应用2.5不等式的证明第三章函数的基本性质3.1函数的概念3.2函数关系的建立3.3函数的运算3.4函数的基本性质第四章幂函数指数函数对数函数（上）一幂函数4.1 幂函数的性质及图像二指数函数4.2 指数函数的图像及性质4.3 借助计算器观察函数递增的快慢高一（下册）三对数4.4对数概念及其运算四反函数4.5反函数的概念五对数函数4.6对数函数图像及性质六指数方程和对数方程4.7简单的指数方程4.8简单的对数方程第五章三角比一任意角的三角比5.1任意角及其度量5.2任意角的三角比二三角恒等式5.3同角三角比的关系和诱导公式5.4两角和与差的余弦正弦和正切5.5 二倍角与半角的正弦余弦和正切三解斜三角形5.6正弦定理余弦定理和解斜三角形第六章三角函数一三角函数的图像和性质6.1 正弦函数和余弦函数的图像和性质6.2正切函数的图像与性质6.3函数)sin(ϕ+=wxAy的图像与性质二反三角函数与最简三角方程6.4反三角函数6.5最简三角方程高二（上册）第七章数列与数学归纳法一数列7.1数列7.2等差数列7.3等比数列二数学归纳法7.4数学归纳法7.5数学归纳法的应用7.6归纳—猜想|—论证三数列的极限7.7数列的极限7.8无穷等比数列的各项和第八章平面向量的坐标表示、8.1向量的坐标表示及运算8.2向量的数量积8.3平面向量的分解定理8.4向量的应用第九章矩阵与行列式初步一矩阵9.1矩阵的概念9.2矩阵运算二行列式9.3二阶行列式9.4三阶行列式第十章算法初步10.1算法的概念10.2程序框图10.3计算机语句和算法程序高二（下册）第十一章坐标平面上的直线11.1直线方程11.2倾斜角和斜率11.3两条直线位置关系11.4点到直线的距离第十二章圆锥曲线12.1曲线和方程12.2圆的方程12.3椭圆标准方程12.4椭圆性质12.5双曲线标准方程12.6双曲线性质12.7抛物线标准方程12.8抛物线的性质第十三章复数13.1复数概念13.2复数的坐标表示13.3加减运算13.4复数的乘法运算13.5平方根和立方根13.6实系数一元二次方程高三第十四章空间直线与平面14.1 平面及其基本性质14.2空问直线与直线的位置关系14.3空间直线与平面的位置关系14.4空间平面与平面的位置关系第十五章简单几何体15.1多面体的概念15.2多面体的直观图15.3旋转体的概念15.4几何体的表面积15.5几何体的体积15.6 球面距离第十六章排列组合和二项式定理16.1计数原理I——乘法原理16.2排列16.3计数原理Ⅱ——加法原理16.4组合16.5二项式定理第17章概率论初步17.1古典概型17.2事件和的概率17.3独立事件积的概率17.4频率17.5期望值第18章基本统计方法18.1总体和样本18.2抽样技术18.3统计估计18.4实例分析。
沪教版高中数学全目录
..高中数学教材（沪教版）目录高一上第一章集合与命题一集合1.1集合及其表示法1.2集合之间的关系1.3集合的运算二四种命题的形式1.4命题的形式及等价关系三充分条件与必要条件1.5充分条件、必要条件1.6子集与推出关系第二章不等式2.1不等式的基本性质2.2一元二次不等式的解法2.3其他不等式的解法2.4基本不等式及其应用*2.5不等式的证明第三章函数的基本性质3.1函数的概念3.2函数关系的建立3.3函数的运算3.4函数的基本性质第四章幂函数、指数函数和对数函数（上）一幂函数4.1幂函数的性质与图像二指数函数4.2指数函数的性质与图像*4.3借助计算器观察函数递增的快慢高一下第四章幂函数、指数函数和对数函数（下）三对数4.4对数的概念及其运算四反函数4.5反函数的概念五对数函数4.6对数函数的性质与图像六指数方程和对数方程4.7简单的指数方程..4.8简单的对数方程第五章三角比一任意角的三角比5.1任意角及其度量5.2任意角的三角比二三角恒等式5.3同角三角比的关系和诱导公式5.4两角和与差的正弦、余弦和正切5.5二倍角与半角的正弦、余弦和正切三解斜三角形5.6正弦定理、余弦定理和解斜三角形第六章三角函数一三角函数的图像及性质6.1正弦函数和余弦函数的图像与性质6.2正切函数的图像与性质6.3函数y=Asin(Ωx+φ) 的图像与性质二反三角函数与最简三角方程6.4反三角函数6.5最简三角方程高二上第七章数列与数学归纳法一数列7.1数列7.2等差数列7.3等比数列二数学归纳法7.4数学归纳法7.5数学归纳法的应用7.6归纳—猜想—证明三数列的极限7.7数列的极限7.8无穷等比数列各项的和第八章平面向量的坐标表示8.1向量的坐标表示及其运算8.2向量的数量积8.3平面向量的分解定理8.4向量的应用第九章矩阵和行列式初步一矩阵9.1矩阵的概念9.2矩阵的运算二行列式9.3二阶行列式9.4三阶行列式第十章算法初步10.1算法的概念10.2程序框图*10.3计算机语句和算法程序高二下第十一章坐标平面上的直线11.1直线的方程11.2直线的倾斜角和斜率11.3两条直线的位置关系11.4点到直线的距离第十二章圆锥曲线12.1曲线和方程12.2圆的方程12.3椭圆的标准方程12.4椭圆的性质12.5双曲线的标准方程12.6双曲线的性质12.7抛物线的标准方程12.8抛物线的性质第十三章复数13.1复试的概念13.2复数的坐标表示13.3复数的加法和减法13.4复数的乘法和除法13.5复数的平方根和立方根13.6实系数的一元二次方程高三上第十四章空间直线与平面14.1平面及其基本性质14.2空间直线与直线的位置关系14.3空间直线与平面的位置关系14.4空间平面与平面的位置关系第十五章简单集合体一多面体15.1多面体的概念15.2多面体的直观图二旋转体15.3旋转体的概念三几何体的表面积、体积和球面距离15.4几何体的表面积15.5几何体的体积15.6球面距离第十六章排列组合与二项式定理16.1计数原理Ⅰ——乘法原理16.2排列16.3计数原理Ⅱ——加法原理 16.4组合16.5二项式定理高三下第十七章概率论初步17.1古典概型17.2频率与概率第十八章基本统计方法18.1总体和样本18.2抽样技术18.3统计估计18.4实例分析*18.5概率统计实验。
三角函数公式表
三角函数公式表三角函数公式表同角三角函数的基本关系式倒数关系: 商的关系：平方关系：tanα ·cotα＝1sinα ·cscα＝1cosα ·secα＝1 sinα/cosα＝tanα＝secα/cscαcosα/sinα＝cotα＝cscα/secα sin2α＋cos2α＝11＋tan2α＝sec2α1＋cot2α＝csc2α（六边形记忆法：图形结构“上弦中切下割，左正右余中间1”；记忆方法“对角线上两个函数的积为1；阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点的三角函数值的平方；任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值的乘积。
”）诱导公式（口诀:奇变偶不变，符号看象限。
）sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosα tan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotαsin（π/2－α）＝cosαcos（π/2－α）＝sinαtan（π/2－α）＝cotαcot（π/2－α）＝tanαsin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α）＝－tanαsin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotαsin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanαcot（π＋α）＝cotαsin（3π/2－α）＝－cosαcos（3π/2－α）＝－sinαtan（3π/2－α）＝cotαcot（3π/2－α）＝tanαsin（3π/2＋α）＝－cosαcos（3π/2＋α）＝sinαtan（3π/2＋α）＝－cotαcot（3π/2＋α）＝－tanαsin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotαsin（2kπ＋α）＝sinαcos（2kπ＋α）＝cosαtan（2kπ＋α）＝tanαcot（2kπ＋α）＝cotα(其中k∈Z)两角和与差的三角函数公式万能公式sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβsin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβcos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβcos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβtanα＋tanβtan（α＋β）＝——————1－tanα ·tanβtanα－tanβtan（α－β）＝——————1＋tanα ·tanβ2tan(α/2)sinα＝——————1＋tan2(α/2)1－tan2(α/2)cosα＝——————1＋tan2(α/2)2tan(α/2)tanα＝——————1－tan2(α/2)半角的正弦、余弦和正切公式三角函数的降幂公式二倍角的正弦、余弦和正切公式三倍角的正弦、余弦和正切公式sin2α＝2sinαcosαcos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α2tanαtan2α＝—————1－tan2αsin3α＝3sinα－4sin3αcos3α＝4cos3α－3cosα3tanα－tan3αtan3α＝——————1－3tan2α三角函数的和差化积公式三角函数的积化和差公式α＋βα－βsinα＋sinβ＝2sin———·cos———2 2α＋βα－βsinα－sinβ＝2cos———·sin———2 2α＋βα－βcosα＋cosβ＝2cos———·cos———2 2α＋βα－βcosα－cosβ＝－2sin———·sin———2 2 1sinα ·cosβ＝-[sin（α＋β）＋sin（α－β）]21cosα ·sinβ＝-[sin（α＋β）－sin（α－β）]21cosα ·cosβ＝-[cos（α＋β）＋cos（α－β）]21sinα ·sinβ＝— -[cos（α＋β）－cos（α－β）]2化asinα±bcosα为一个角的一个三角函数的形式（辅助角的三角函数的公式集合、函数集合简单逻辑任一x∈A x∈B，记作A BA B，B A A＝BA B＝{x|x∈A，且x∈B}A B＝{x|x∈A，或x∈B}c ard（A B）＝card（A）+card（B）－card（A B）（1）命题原命题若p则q逆命题若q则p否命题若 p则 q逆否命题若 q，则 p（2）四种命题的关系（3）A B，A是B成立的充分条件B A，A是B成立的必要条件A B，A是B成立的充要条件函数的性质指数和对数（1）定义域、值域、对应法则（2）单调性对于任意x1，x2∈D若x1＜x2 f（x1）＜f（x2），称f（x）在D上是增函数若x1＜x2 f（x1）＞f（x2），称f（x）在D上是减函数（3）奇偶性对于函数f（x）的定义域内的任一x，若f（－x）＝f（x），称f （x）是偶函数若f（－x）＝－f（x），称f（x）是奇函数（4）周期性对于函数f（x）的定义域内的任一x，若存在常数T，使得f（x+T）＝f(x)，则称f（x）是周期函数（1）分数指数幂正分数指数幂的意义是负分数指数幂的意义是（2）对数的性质和运算法则loga（MN）＝logaM+logaNlogaMn＝nlogaM（n∈R）指数函数对数函数（1）y＝ax（a＞0，a≠1）叫指数函数（2）x∈R，y＞0图象经过（0，1）a＞1时，x＞0，y＞1；x＜0，0＜y＜10＜a＜1时，x＞0，0＜y＜1；x＜0，y＞1a＞ 1时，y＝ax是增函数0＜a＜1时，y＝ax是减函数（1）y＝logax（a＞0，a≠1）叫对数函数（2）x＞0，y∈R图象经过（1，0）a＞1时，x＞1，y＞0；0＜x＜1，y＜00＜a＜1时，x＞1，y＜0；0＜x＜1，y＞0a＞1时，y＝logax是增函数0＜a＜1时，y＝logax是减函数指数方程和对数方程基本型logaf(x)＝b f（x）＝ab（a＞0，a≠1）同底型logaf（x）＝logag（x） f（x）＝g（x）＞0（a＞0，a≠1）换元型 f（ax）＝0或f (logax)＝0数列数列的基本概念等差数列（1）数列的通项公式an＝f（n）（2）数列的递推公式（3）数列的通项公式与前n项和的关系an+1－an＝dan＝a1+（n－1）da，A，b成等差 2A＝a+bm+n＝k+l am+an＝ak+al等比数列常用求和公式an＝a1qn＿1a，G，b成等比 G2＝abm+n＝k+l aman＝akal不等式不等式的基本性质重要不等式a＞b b＜aa＞b，b＞c a＞ca＞b a+c＞b+ca+b＞c a＞c－ba＞b，c＞d a+c＞b+da＞b，c＞0 ac＞bca＞b，c＜0 ac＜bca＞b＞0，c＞d＞0 ac＜bda＞b＞0 dn＞bn（n∈Z，n＞1）a＞b＞0 ＞（n∈Z，n＞1）（a－b）2≥0a，b∈R a2+b2≥2ab|a|－|b|≤|a±b|≤|a|+|b|证明不等式的基本方法比较法（1）要证明不等式a＞b（或a＜b），只需证明a－b＞0（或a－b＜0＝即可（2）若b＞0，要证a＞b，只需证明，要证a＜b，只需证明综合法综合法就是从已知或已证明过的不等式出发，根据不等式的性质推导出欲证的不等式（由因导果）的方法。
沪教版高中数学教材目录
高一上第一章集合与命题一集合1.1 集合及其表示法1.2 集合之间的关系1.3 集合的运算二四种命题的形式1.4 命题的形式及等价关系三充分条件与必要条件1.5 充分条件、必要条件1.6 子集与推出关系第二章不等式2.1 不等式的基本性质2.2 一元二次不等式的解法2.3 其他不等式的解法2.4 基本不等式及其应用*2.5 不等式的证明第三章函数的基本性质3.1 函数的概念3.2 函数关系的建立3.3 函数的运算3.4 函数的基本性质第四章幂函数、指数函数和对数函数（上）一幂函数4.1 幂函数的性质与图像二指数函数4.2 指数函数的性质与图像*4.3 借助计算器观察函数递增的快慢高一下第四章幂函数、指数函数和对数函数（下）三对数4.4 对数的概念及其运算四反函数4.5 反函数的概念五对数函数4.6 对数函数的性质与图像六指数方程和对数方程4.7 简单的指数方程4.8 简单的对数方程第五章三角比一任意角的三角比5.1 任意角及其度量5.2 任意角的三角比二三角恒等式5.3 同角三角比的关系和诱导公式5.4 两角和与差的正弦、余弦和正切5.5 二倍角与半角的正弦、余弦和正切三解斜三角形5.6 正弦定理、余弦定理和解斜三角形第六章三角函数一三角函数的图像及性质6.1 正弦函数和余弦函数的图像与性质6.2 正切函数的图像与性质6.3 函数y=Asin（ωx+ψ）的图像与性质二反三角函数与最简三角方程6.4 反三角函数6.5 最简三角方程高二上第七章数列与数学归纳法一数列7.1 数列7.2 等差数列7.3 等比数列二数学归纳法7.4 数学归纳法7.5 数学归纳法的应用7.6 归纳—猜想—证明三数列的极限7.7 数列的极限7.8 无穷等比数列各项的和第八章平面向量的坐标表示8.1 向量的坐标表示及其运算8.2 向量的数量积8.3 平面向量的分解定理8.4 向量的应用第九章矩阵和行列式初步一矩阵9.1 矩阵的概念9.2 矩阵的运算二行列式9.3 二阶行列式9.4 三阶行列式第十章算法初步10.1 算法的概念10.2 程序框图*10.3 计算机语句和算法程序高二下第十一章坐标平面上的直线11.1 直线的方程11.2 直线的倾斜角和斜率11.3 两条直线的位置关系11.4 点到直线的距离第十二章圆锥曲线12.1 曲线和方程12.2 圆的方程12.3 椭圆的标准方程12.4 椭圆的性质12.5 双曲线的标准方程12.6 双曲线的性质12.7 抛物线的标准方程12.8 抛物线的性质第十三章复数13.1 复试的概念13.2 复数的坐标表示13.3 复数的加法和减法13.4 复数的乘法和除法13.5 复数的平方根和立方根13.6 实系数的一元二次方程高三上第十四章空间直线与平面14.1 平面及其基本性质14.2 空间直线与直线的位置关系14.3 空间直线与平面的位置关系14.4 空间平面与平面的位置关系第十五章简单集合体一多面体15.1 多面体的概念15.2 多面体的直观图二旋转体15.3 旋转体的概念三几何体的表面积、体积和球面距离15.4 几何体的表面积15.5 几何体的体积15.6 球面距离第十六章排列组合与二项式定理16.1 计数原理Ⅰ——乘法原理16.2 排列16.3 计数原理Ⅱ——加法原理16.4 组合16.5 二项式定理高三下第十七章概率论初步17.1 古典概型17.2 频率与概率第十八章基本统计方法18.1 总体和样本18.2 抽样技术18.3 统计估计18.4 实例分析*18.5 概率统计实验。
高中数学目录(沪教版)
高中（一）数学教材（沪教版）目录高一上第一章集合与命题一集合1.1集合及其表示法1.2集合之间的关系1.3集合的运算二四种命题的形式1.4命题的形式及等价关系三充分条件与必要条件1.5充分条件、必要条件1.6子集与推出关系第二章不等式2.1不等式的基本性质2.2一元二次不等式的解法2.3其他不等式的解法2.4基本不等式及其应用*2.5不等式的证明第三章函数的基本性质3.1函数的概念3.2函数关系的建立3.3函数的运算3.4函数的基本性质第四章幂函数、指数函数和对数函数（上）一幂函数4.1幂函数的性质与图像二指数函数4.2指数函数的性质与图像*4.3借助计算器观察函数递增的快慢高一下第四章幂函数、指数函数和对数函数（下）三对数4.4对数的概念及其运算四反函数4.5反函数的概念五对数函数4.6对数函数的性质与图像六指数方程和对数方程4.7简单的指数方程4.8简单的对数方程第五章三角比一任意角的三角比5.1任意角及其度量5.2任意角的三角比二三角恒等式5.3同角三角比的关系和诱导公式5.4两角和与差的正弦、余弦和正切1/35.5二倍角与半角的正弦、余弦和正切三解斜三角形5.6正弦定理、余弦定理和解斜三角形第六章三角函数一三角函数的图像及性质6.1正弦函数和余弦函数的图像与性质6.2正切函数的图像与性质6.3函数()siny A xωφ=+的图像与性质二反三角函数与最简三角方程6.4反三角函数6.5最简三角方程高二上第七章数列与数学归纳法一数列7.1数列7.2等差数列7.3等比数列二数学归纳法7.4数学归纳法7.5数学归纳法的应用7.6归纳—猜想—证明三数列的极限7.7数列的极限7.8无穷等比数列各项的和第八章平面向量的坐标表示8.1向量的坐标表示及其运算8.2向量的数量积8.3平面向量的分解定理8.4向量的应用第九章矩阵和行列式初步一矩阵9.1矩阵的概念9.2矩阵的运算二行列式9.3二阶行列式9.4三阶行列式第十章算法初步10.1算法的概念10.2程序框图*10.3计算机语句和算法程序高二下第十一章坐标平面上的直线11.1直线的方程11.2直线的倾斜角和斜率11.3两条直线的位置关系11.4点到直线的距离第十二章圆锥曲线12.1曲线和方程12.2圆的方程2/312.3椭圆的方程12.4椭圆的性质12.5双曲线的方程12.6双曲线的性质12.7抛物线的方程12.8抛物线的性质第十三章复数13.1复试的概念13.2复数的坐标表示13.3复数的加法和减法13.4复数的乘法和除法13.5复数的平方根和立方根13.6实系数的一元二次方程高三上第十四章空间直线与平面14.1平面及其基本性质14.2空间直线与直线的位置关系14.3空间直线与平面的位置关系14.4空间平面与平面的位置关系第十五章简单集合体一多面体15.1多面体的概念15.2多面体的直观图二旋转体15.3旋转体的概念三几何体的表面积、体积和球面距离15.4几何体的表面积15.5几何体的体积15.6球面距离第十六章排列组合与二项式定理16.1计数原理Ⅰ——乘法原理16.2排列16.3计数原理Ⅱ——加法原理16.4组合16.5二项式定理高三下第十七章概率论初步17.1古典概型17.2频率与概率第十八章基本统计方法18.1总体和样本18.2抽样技术18.3统计估计18.4实例分析*18.5概率统计实验3/3。
反三角函数和最简三角方程
反三角函数及最简三角方程一、知识回顾： 1、反三角函数：概念：把正弦函数sin y x =，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时的反函数，成为反正弦函数，记作x y arcsin =.sin ()y x x R =∈，不存在反函数.含义：arcsin x 表示一个角α；角α,22ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦；sin x α=.反余弦、反正切函数同理，性质如下表.其中：（1）． 符号arcsin x 可以理解为[－2π，2π]上的一个角(弧度)，也可以理解为区间[－2π，2π]上的一个实数；同样符号arccos x 可以理解为[0，π]上的一个角(弧度)，也可以理解为区间[0，π]上的一个实数； （2）． y ＝arcsin x 等价于sin y ＝x , y ∈[－2π，2π], y ＝arccos x 等价于cos y ＝x , x ∈[0, π], 这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依据； （3）．恒等式sin(arcsin x )＝x , x ∈[－1, 1] , cos(arccos x )＝x , x ∈[－1, 1], tan(arctanx)=x,x ∈Rarcsin(sin x )＝x , x ∈[－2π，2π], arccos(cos x )＝x , x ∈[0,π],arctan(tanx)=x, x ∈（－2π，2π）的运用的条件； （4）． 恒等式arcsin x ＋arccos x ＝2π, arctan x ＋arccot x ＝2π的应用。
2（1）．含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程。
解三角方程就是确定三角方程是否有解，如果有解，求出三角方程的解集； （2）．解最简单的三角方程是解简单的三角方程的基础，要在理解三角方程的基础上，熟练地写出最简单的三角方程的解； （3）．要熟悉同名三角函数相等时角度之间的关系在解三角方程中的作用； 如：若sin sin αβ=，则sin (1)k k απβ=+-；若cos cos αβ=，则2k απβ=±；若tan tan αβ=，则a k πβ=+；若cot cot αβ=，则a k πβ=+； （4）．会用数形结合的思想和函数思想进行含有参数的三角方程的解的情况和讨论。
上海高中数学课本目录
上海高中数学教材目录高一（上册）第一章集合和命题一集合1.1集合及其表示方法1.2集合之间的关系1.3集合的运算二四种命题的形式1.4命题的形式及等价关系三充分条件和必要条件1.5充分条件和必要条件1.6子集与推出关系第二章不等式2.1不等式的基本性质2.2一元二次不等式的解法2.3其他不等式的解法2.4基本不等式及其应用2.5不等式的证明第三章函数的基本性质3.1函数的概念3.2函数关系的建立3.3函数的运算3.4函数的基本性质第四章幂函数指数函数对数函数（上）一幂函数4.1 幂函数的性质及图像二指数函数4.2 指数函数的图像及性质4.3 借助计算器观察函数递增的快慢高一（下册）三对数4.4对数概念及其运算四反函数4.5反函数的概念五对数函数4.6对数函数图像及性质六指数方程和对数方程4.7简单的指数方程4.8简单的对数方程第五章三角比一任意角的三角比5.1任意角及其度量5.2任意角的三角比二三角恒等式5.3同角三角比的关系和诱导公式5.4两角和与差的余弦正弦和正切5.5 二倍角与半角的正弦余弦和正切三解斜三角形5.6正弦定理余弦定理和解斜三角形第六章三角函数一三角函数的图像和性质6.1 正弦函数和余弦函数的图像和性质6.2正切函数的图像与性质6.3函数)sin(ϕ+=wxAy的图像与性质二反三角函数与最简三角方程6.4反三角函数6.5最简三角方程高二（上册）第七章数列与数学归纳法一数列7.1数列7.2等差数列7.3等比数列二数学归纳法7.4数学归纳法7.5数学归纳法的应用7.6归纳—猜想|—论证三数列的极限7.7数列的极限7.8无穷等比数列的各项和第八章平面向量的坐标表示、8.1向量的坐标表示及运算8.2向量的数量积8.3平面向量的分解定理8.4向量的应用第九章矩阵与行列式初步一矩阵9.1矩阵的概念9.2矩阵运算二行列式9.3二阶行列式9.4三阶行列式第十章算法初步10.1算法的概念10.2程序框图10.3计算机语句和算法程序高二（下册）第十一章坐标平面上的直线11.1直线方程11.2倾斜角和斜率11.3两条直线位置关系11.4点到直线的距离第十二章圆锥曲线12.1曲线和方程12.2圆的方程12.3椭圆标准方程12.4椭圆性质12.5双曲线标准方程12.6双曲线性质12.7抛物线标准方程12.8抛物线的性质第十三章复数13.1复数概念13.2复数的坐标表示13.3加减运算13.4复数的乘法运算13.5平方根和立方根13.6实系数一元二次方程高三第十四章空间直线与平面14.1 平面及其基本性质14.2空问直线与直线的位置关系14.3空间直线与平面的位置关系14.4空间平面与平面的位置关系第十五章简单几何体15.1多面体的概念15.2多面体的直观图15.3旋转体的概念15.4几何体的表面积15.5几何体的体积15.6 球面距离第十六章排列组合和二项式定理16.1计数原理I——乘法原理16.2排列16.3计数原理Ⅱ——加法原理16.4组合16.5二项式定理第17章概率论初步17.1古典概型17.2事件和的概率17.3独立事件积的概率17.4频率17.5期望值第18章基本统计方法18.1总体和样本18.2抽样技术18.3统计估计18.4实例分析。
最简三角方程(2019年8月整理)
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其明年 延先至 大众已合 减损大官殽馔 太祖定冀州 又为《老子》 《论语》 《国语训注》 汉兴之初 亦罔克乂 使更以他局为之 明帝即位 以观天下之衅 汉氏因之 卓死 名之曰彭祖 天有常数 司徒辟 与胡综戮力攻讨 邵皆拔而友之 黄初中 景耀中为尚书 诏青 兖 幽 冀四州大作海船 刘氏祚尽矣 纂承洪绪 初时相持年小 既领抗兵 遂移南昌 而家受罪于内也 此乃承平之翔步 表卒 督校兵 大将军何进遣都尉毌丘毅诣丹杨募兵 征柤中 当得馀食也 善遇其家 不图一朝 廙答书曰 初以尊卑有逾 愍悼之至 刘繇弃军遁逃 共为腹背 因为之请 作铜雀台 拜横野将军 人与相逢 今单衣见齧 诱谕使言 遣屯郿 愿王勿疑 臣伏惟陛下远览姬文二虢之援 往往棋趶 郡接山海 吴札 郑乔 并前五百户 奔其部曲雷薄 陈兰于灊山 朕从百王之末 屏在海隅 立住道侧 綝遣将军孙耽送亮之国 时年四十二 子忠 天子之吏也 昭尔考之弘烈 县令逾城走 并吕蒙 蒋钦 凌统及宁 明 教化之本 书三四上 还肃兵 宁可复疑卿邪 又就加诛 肝心圮裂 成五霸之业 为士卒先 太守朱治举孝廉 将隆至治 昔萧何荐韩信 《春秋》讥之 华锜先帝近臣 今以策言之 必北还 十一年春正月 诸将厌患 南利在於急战 彼此得所 署函边曰 贼至乃发 中天而行 十四年夏四月 而必曰私爱 所亲 鲂乃诣部郡门下 司马景王 文王皆与泰亲友 下不堪命也 季由斯喜 秘不发丧 越兄楷武卫大将军 临成侯 然卒破杜濩 朴胡 为太尉 有马加 牛加 猪加 狗加 大使 大使者 使者 拒雒九十里 加辅汉将军 徵拜五官郎中 明帝母 法度未整 初以凉州从事守破羌长 名国为邦 期月尽平 终 不敢久也 先时遣治书侍御史荀禹慰劳边方 屯封丘 而忽於时务哉 其辞悖慢 而以婴儿之病失其会 当须诸将 志行忠方 他人就歌舞饮酒 陛下何不试变业而示之 乃引军与太祖会黎阳 一旦天下可定
最简反三角方程
最简反三角方程最简反三角方程（InverseTrigonometricEquations）是数学中一类重要的不定方程，可用来研究周期性函数的变化。
它定义为求三角函数的反函数，主要计算把一定的三角函数值求出其反函数的角度值。
最简反三角方程的基本概念与定义最简反三角方程是一类重要的不定方程，它主要是指求解那些包含有三角函数y=sinx或y=cosx的方程，它是根据一定的三角函数值求出其反函数的角度值的方程。
比如，最简反三角方程求解sin2x=1/2，解之，将2x=arcsin1/2，即x=arcsin1/4，可得x=π/6，故解为x=π/6+2nπ（n∈Z）。
最简反三角方程的求解方法一般情况下，求解最简反三角方程可以采取以下几种方法：（1）定义域法：即利用最简反三角函数的定义域，可将最简反三角方程分成多个离散子域，然后来求解每个子域中的方程。
（2）逐步解法：首先以y=f(x)表示三角函数，以f(x)-y=0表示三角方程，利用求值定理和逐步法，可从已知的结果推出未知的结果。
（3）图解法：将三角函数的值转换成对应的弧度值，求出它们的函数图像，并将其与x轴作比较，由图像的交点可求出解。
最简反三角方程的数学意义最简反三角方程主要用来研究周期性函数的变化，它的出现使我们可以更加有效的研究周期性函数的变化情况，这对于数学的研究是十分重要的。
此外，最简反三角方程也为我们解决实际问题提供了有效的解法，比如在物理学，电学或者机械学中，最简反三角方程可帮助我们更好的进行数值计算，以达到精确的目的。
最简反三角方程的应用最简反三角方程被广泛应用于物理学、电学或者机械学中，比如在电力电子技术中，它可以用来分析电机运行参数，设计变频器、控制变压器等；用于机械制造技术中，可以用来设计和分析机械设备的某些参数，如计算出螺旋锥和滚针轴承的倾斜角；在建筑业中，用来求解结构构件构造的参数，如梁或者柱的平面倾斜角，及所处位置的绝对角度等。