2019-2020学年高中数学 第一章 阶段质量检测 苏教版必修2.doc
2019—2020年苏教版高中数学必修一全册课时同步练习及答案解析.doc
（新课标）2018-2019学年度苏教版高中数学必修一§1.1 集合的含义及其表示（1）课后训练【感受理解】1．给出下列命题(其中N 为自然数集) ：①N 中最小的元素是1 ②若a ∈N 则-a ∉N ③ 若a ∈N,b ∈N ，则a+b 的最小值是2（4）x x 212=+的解可表示为}1,1{， 其中正确的命题个数为 . 2．用列举法表示下列集合.①小于12的质数构成的集合；②平方等于本身的数组成的集合；③由||||(,)a b a b R a b+∈所确定的实数的集合； ④抛物线221y x x =-+ (x 为小于5的自然数)上的点组成的集合.3. 若方程x 2-5x+6=0和方程x 2-x-2=0的解为元素的集合为M ，则M 中元素的个数为4．由2,2,4a a -组成一个集合A ，A 中含有3个元素，则a 的取值可以是【思考应用】5．由实数332,,,x x x x --所组成的集合里最多有 个元素.6. 由“,x xy 0,||,x y ”组成的集合是同一个集合，则实数,x y 的值是否确定的？若确定，请求出来，若不确定，说明理由.7．定义集合运算：},),({B y A x y x xy z z B A ∈∈+==Θ，设集合}3,2{},1,0{==B A ，求集合B A Θ.8．关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠，当,,a b c 分别满足什么条件时，解集为空集、含一个元素、含两个元素？9. 已知集合{,}A x x m m Z N Z ==+∈∈.(1)证明：任何整数都是A 的元素；(2)设12,,x x A ∈求证：12,x x A ⋅∈【拓展提高】9.设S 是满足下列两个条件的实数所构成的集合： ①1S ∉，②若a S ∈，则11S a∈-， 请解答下列问题：（1）若2S ∈，则S 中必有另外两个数，求出这两个数；（2）求证：若a S ∈，则11S a-∈ （3）在集合S 中元素能否只有一个？请说明理由；（4）求证：集合S 中至少有三个不同的元素.§1.1集合的含义及其表示（2）课后训练1． 设a ，b ，c 均为非零实数，则x=||||||||a b c abc a b c abc+++的所有值为元素组成集合是________ 2． 集合}9,7,5,3,1{用描述法表示为 .3． 下列语句中，正确的是 .（填序号）（1）0与{0}表示同一个集合；（2）由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，1，2}；（3）方程0)2()1(22=--x x 的所有解的集合可表示为{1，1，2，2} （4）集合}54{<<x x 可以用列举法表示.4．所有被3整除的数用集合表示为 .5．下列集合中表示同一集合的是` （填序号）（1）M={3，2}，N={2，3} （2）M={(3，2)}，N={（2，3）}（3）M={(,)1},{(,)1}x y x y N y x x y +==+= (4) M={1，2}，N={(1,2)}6.下列可以作为方程组⎩⎨⎧-=-=+13y x y x 的解集的是 （填序号） （1）{1,2},x y ==(2){1,2}(3){(1,2)} （4）{(,)12}(5){(,)12}x y x y x y x y ====且或（6）}0)2()1(),{(22=-+-y x y x7．用另一种方法表示下列集合.（1）{绝对值不大于2的整数} （2）{能被3整除，且小于10的正数}（3）}5,{Z x x x x x ∈<=且 （4）*},*,6),{(N y N x y x y x ∈∈=+（5）{5,3,1,1,3--}8．已知{}{}0|,0|22=+-==++=q px x x B q px x x A .当{}2=A 时，求集合B9．用描述法表示图中阴影部分（含边界）的点的坐标集合.10．对于*,N b a ∈,现规定：⎩⎨⎧⨯+=)()(*的奇偶性不同与的奇偶性相同与b a b a b a b a b a ，集合{(,)*36,,*}M a b a b a b N ==∈ （1） 用列举法表示b a ,奇偶性不同时的集合M.（2） 当b a ,奇偶性相同时的集合M 中共有多少个元素？【拓展提高】11 设元素为正整数的集合A 满足“若x A ∈,则10x A -∈”.（1）试写出只有一个元素的集合A ；（2）试写出只有两个元素的集合A ；（3）这样的集合A 至多有多少个元素？（4）满足条件的集合A 共有多少个？§1.2 子集·全集·补集（1）课后训练【感受理解】1． 设M 满足{1，2，3}⊆M ≠⊂{1，2，3，4，5，6}，则集合M 的个数为 2．下列各式中，正确的个数是 ①0={0}；②0∈{0}；③{1}∈{1，2，3}；④{1，2}⊆{1，2，3}；⑤{a ，b}⊆{a ，b}．3．设{|12}A x x =<< ，{|}B x x a =<，若A 是B 的真子集，则a 的取值范围是 .4．若集合A ={1，3，x}，B ={x 2，1}，且B ⊆A ，则满足条件的实数x 的个数为 .5．设集合M ={(x,y)|x+y<0，xy>0}和N ={(x,y)|x<0，y<0}，那么M 与N 的关系为______________．6．集合A ={x|x=a 2-4a+5，a ∈R}，B ={y|y=4b 2+4b+3，b ∈R} 则集合A 与集合B 的关系是________．【思考应用】7.设x ，y ∈R ，B={(x,y)|y-3=x-2}，A={(x,y)|32y x --=1}，则集合A 与B 的关系是_______ ____． 8.已知集合{}{}|21,,|41,,A x x n n Z B x x n n Z ==+∈==±∈则,A B 的关系是 .9．设集合{}{}21,3,,1,,1,A a B a a a ==-+,A B =若则________=a . 10．已知非空集合P 满足：(){}11,2,3,4;P ⊆()2,5a P a P ∈-∈若则，符合上述要求的集合P 有 个.11．已知A={2，4，x 2-5x+9}，B={3，x 2+ax+a}，C={x 2+(a+1)x-3，1}. 求（1）当A={2，3，4}时，求x 的值；（2）使2∈B ，B A ，求x a ,的值；（3）使B= C 的x a ,的值．【拓展提高】12．已知集合{}{},121|,52|-≤≤+=≤≤-=m x m x B x x A 满足,A B ⊆求实数m 的取值范围.⊂ ≠(变式)已知集合{}{}|25,|121,A x x B x m x m =-<<=+<<-满足,A B ⊆求实数m 的取值范围.§1.2 子集·全集·补集（2）课后训练【感受理解】1．设集合{}{},,3|,,4|22R b b y y B R a a x x A ∈+-==∈+-==则A ，B 间的关系为 . 2若U={x|x 是三角形}，P={x|x 是直角三角形}则U C P = . 3已知全集+=R U ，集合{}|015,,A x x x R =<-≤∈则_______.U C A = 4．已知全集}{非零整数=U ，集合}},42{U x x x A ∈>+=，则=A C U .5．设},61{},,5{N x x x B N x x x A ∈<<=∈≤=，则=B C A .【思考应用】6．设全集U={1，2，3，4，5}，M={1，4}，则U C M 的所有子集的个数是 .7．已知全集},21{*N n x x U n ∈==，集合}*,21{2N n x x A n∈==，则=A C U .8．已知A A y ax y x A Z a ∉-∈≤-=∈)4,1(,)1,2(}3),{(,且，则满足条件a 的值为 .9．设U=R ，}1{},31{+≤≤=≥≤=m x m x B x x x P 或，记所有满足P C B U ⊆的m 组成的集合为M ，求M C U .10.（1）设全集{}{},1|,1|,+>=≤==a x x B x x A R U 且U C A B ⊆，求a 的范围.（2）已知全集{}{}{}22,3,23,2,,5,U U a a A b C A =+-==求实数b a 和的值.【拓展提高】10．已知全集}5{的自然数不大于=U ，集合}1,0{=A ，}1{<∈=x A x x B 且，}1{U x A x x C ∈∉-=且．（1）求U B ，U C ．（2）若}{A x x D ∈=，说明D B A ,,的关系.§1.3 交集·并集（1）课后训练【感受理解】1．设全集{1,2,3,4,5},{1,3,5},{2,4,5}U A B ===,则()()U U C A C B = . 2．设集合{|5,},{|1,}A x x x N B x x x N =≤∈=>∈，那么AB = . 3．若集合22{|21,},{|21,}P y y x x x N Q y y x x x N ==+-∈==-+-∈，则下列各式中正确的是 .(1);(2){0};(3){1};(4)P Q P Q P Q P Q N =∅==-=4．已知集合A={x|-5<x<5}，B={x|-7<x<a}，C={x|b<x<2}，且A ∩B=C ，则 a ，b 的值分别为 .【思考应用】5．设全集U={1，2，3，4}，A 与B 是U 的子集，若A ∩B ＝{1，3 }，则称(A,B)为一个“理想配集”.（若A ＝B ，规定(A,B)＝(B, A)；若A ≠B ，规定(A,B)与(B, A)是两个不同的“理想配集”）.那么符合此条件的“理想配集”的个数是 .6．记{}{},361T ,的三角形，至少有一内角为至少有一边为等腰三角形。
2019—2020年苏教版高中数学必修二章末质量评估1及答案解析.docx
（新课标）2018-2019学年苏教版高中数学必修二章末质量评估(一)(时间：120分钟满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．直线l与平面α所成角为30°，l∩α＝A，m⊂α，A∉m，则m与l所成角的取值范围是________．解析直线l与平面α所成的30°的角为m与l所成角的最小值，当m在α内适当旋转就可以得到l⊥m，即m与l所成角的最大值为90°.答案[30°，90°]2．以△ABC的三条中位线DE，EF，FD为折痕将△ADF，△BDE，△CEF 折起，使A，B，C三点重合并记为P，构成三棱锥P－DEF，则在下列给出的图形中：①等腰三角形；②等边三角形；③锐角三角形；④直角三角形；⑤钝角三角形．△ABC不可能是________．解析∵等边三角形折叠起来是一个正三棱锥，∴等腰三角形、等边三角形、锐角三角形都可能按照上述方法折成三棱锥，而直角三角形、钝角三角形折叠的时候不能使得短边与长边同时重合，不能实现上述折叠．答案④⑤3．若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面的位置关系是__________．解析 若题中所指两直线是相交直线则平面平行，若两直线是平行直线，则两平面相交或平行．答案 平行或相交4．如图，正方体的棱长为1，C 、D 是两棱中点，A 、B 、M 是顶点，则点M 到截面ABCD 的距离是________．解析 作MN ⊥AB 于点N ，取DC 的中点P ，则AB ⊥平面MNP .作MH ⊥NP 于点H ，则MH ⊥平面ABCD ，即MH 为所求．由V M －ABC ＝V A －BCM ，得d ＝23.答案 235．在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，当底面四边形ABCD 满足条件________时，有A 1C ⊥B 1D 1(注：填上你认为正确的一种即可，不必考虑所有可能的情形)．解析 ∵AC ⊥BD ，∴A 1C 1⊥B 1D 1.又∵CC 1⊥B 1D 1，A 1C 1∩CC 1＝C 1，∴B 1D 1⊥平面A 1C 1C ，∴B 1D 1⊥A 1C .答案 AC ⊥BD (答案不唯一)6．轴截面是正方形的圆柱的侧面积为S ，那么圆柱的体积为________． 解析 设圆柱底面直径为x ，则高为x ，因此有πx ·x ＝S .而V 圆柱＝π⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 22·x＝π4x 3＝S 4Sπ.答案S 4S π7．如图，P 点是四边形ABCD 所在平面外一点，O 是AC 与BD 的交点，且PO ⊥平面ABCD ，当四边形ABCD 具有条件________时，点P 到四边形ABCD 四条边的距离相等．(填上你认为正确的一种情况即可)解析 只需考虑O 到四边形四边的距离相等即可． 答案 正方形(或圆的外切四边形等)8．圆柱的侧面展开图是边长为6π和4π的矩形，则圆柱的表面积为________．解析 圆柱的侧面积S 侧＝6π×4π＝24π2.(1)以边长为6π的边为轴时，4π为圆柱底面圆周长，所以2πr ＝4π，即r ＝2.所以S 底＝4π，所以S 表＝24π2＋8π.(2)以4π所在边为轴时，6π为圆柱底面圆周长，所以2πr ＝6，即r ＝3.所以S 底＝9π，所以S 表＝24π2＋18π.答案 24π2＋8π或24π2＋18π9．在△ABC 中，∠BAC ＝90°，P 为△ABC 所在平面外一点，且PA ＝PB ＝PC ，则平面PBC 与平面ABC 的关系是________．解析 如右图所示，取BC 的中点O ，连接AO ，PO . ∵PB ＝PC ，∴PO ⊥BC .又△ABC 是以A 为直角顶点的直角三角形， ∴OA ＝OB ，且PA ＝PB ， ∴Rt △POB ≌Rt △POA ，∴∠POA ＝∠POB ＝90°，即PO ⊥OA ， 而OA ∩BC ＝O ，∴PO ⊥平面ABC ，而PO ⊂平面PBC ， ∴平面PBC ⊥平面ABC . 答案 垂直10．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为2，这个球的的表面积为12π，则这个正四棱柱的体积为________．解析 设正四棱柱的底面边长为a ，则球的直径2R ＝22＋2a 2，所以S 表＝4πR 2＝4π⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22＋2a 24＝12π， 解得a ＝2，所以正四棱柱的体积V ＝2a 2＝8. 答案 811．考察下列三个命题，在“________”处都缺少一个条件，补上这个条件使其成为真命题(其中l 、m 为直线，α、β为平面)，则此条件为________．⎭⎪⎬⎪⎫①m ⊂α l ∥m⇒l ∥α⎭⎪⎬⎪⎫②l ∥m m ∥α⇒l ∥α；⎭⎪⎬⎪⎫③l ⊥β α⊥β⇒l ∥α. 解析 ①体现的是线面平行的判定定理，缺的条件是“l ⊄α”，它同样适合②和③.答案 l ⊄α12．棱长为1的正四面体内有一点P ，由点P 向各面引垂线，垂线段长度分别为d 1，d 2，d 3，d 4，则d 1＋d 2＋d 3＋d 4的值为________．解析 作等体积变换：13×34×(d 1＋d 2＋d 3＋d 4)＝13×34×h ，而h ＝63.答案 6313．设平面α∥β，A ，C ∈α，B ，D ∈β，直线AB 与CD 交于点S ，且AS ＝8，BS ＝9，CD ＝34，则CS ＝________.解析 根据题意易得AS SB ＝SC SD .当点S 在α，β之间时，有89＝CS34－CS，即CS＝16；当点S 在α，β之外时，有817＝SCSC ＋34，即SC ＝2729.答案 16或272914．设正三角形ABC 的边长为a ，PA ⊥平面ABC ，PA ＝AB ，E 为BC 中点，在平面PAE 内过点A 作AF ⊥PE ，垂足为F ，则AF 的长为________．解析 如右图所示，知AE ⊥BC ，又∵BC ⊥PA ，∴BC ⊥平面PAE . ∴平面PAE ⊥平面PBC .∵AF ⊥PE ，垂足为F ，∴AF ⊥平面PBC .则AF ＝PA ·AE PE ＝217a .答案 217a二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(本小题满分14分)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 中，E ，F ，G 分别是AB ，AD ，C 1D 1的中点．求证：平面D 1EF ∥平面BDG . 解 ∵E ，F 分别是AB ，AD 的中点，∴EF∥BD.又∵EF⊄平面BDG，BD⊂平面BDG，∴EF∥平面BDG.∵D1G綉EB，∴四边形D1GBE为平行四边形，∴D1E∥GB.又∵D1E⊄平面BDG，GB⊂平面BDG，∴D1E∥平面BDG.又∵EF∩D1E＝E，∴平面D1EF∥平面BDG.16．(本小题满分14分)如图(1)，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点．(1)证明：AD⊥D1F；(2)求AE与D1F所成的角；(3)证明平面AED⊥平面A1FD1.(1)证明由正方体ABCD－A1B1C1D1，可得AD⊥面D1DCC1.∵D1F⊂面D1DCC1，∴AD⊥D1F.(2)解如图(2)，取AB的中点G，则易证得A1G∥D1F.又正方形A1ABB1中，E、G分别是对应边的中点，∴A1G⊥AE.∴D1F⊥AE.∴AE与D1F所成的角为90°.(3)证明由正方体可知A1D1⊥面A1ABB1，∴A1D1⊥AE.又由(2)已证D1F⊥AE.∵A1D1∩D1F＝D1，∴AE⊥平面A1FD1.又AE⊂平面AED，∴平面AED⊥平面A1FD1.17．(本小题满分14分)已知四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AB＝2，PA＝AD＝4，E为BC的中点．(1)求证：DE⊥平面PAE；(2)求直线DP与平面PAE所成的角的大小．(1)证明取AD中点F，连结EF，则ABEF与EFDC都是正方形，∴∠EAD＝∠ADE＝45°，∴AE⊥DE.∵PA⊥平面ABCD，DE⊂平面ABCD，∴PA⊥DE.又∵PA∩AE＝A，∴DE⊥平面PAE.(2)解由(1)知∠DPE即为DP与平面PAE所成的角．在Rt△PAD中，PD＝4 2.在Rt△DCE中，DE＝2 2.则在Rt△DEP中，PD＝2DE，∴∠DPE＝30°.即直线DP与平面PAE所成的角为30°.18．(本小题满分16分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB ＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD是等边三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD，G为AD的中点．(1)求证：BG⊥平面PAD；(2)求证：AD⊥PB；(3)求二面角ABCP的大小．(1)证明连结BD，则△ABD为等边三角形．∵G为AD的中点，∴BG⊥AD.又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴BG⊥平面PAD.(2)证明：连结PG.∵△PAD是等边三角形且G为AD的中点，∴AD⊥PG.又∵AD⊥BG，PG∩BG＝G，∴AD⊥平面PBG.∵PB⊂平面PBG，∴AD⊥PB.(3)解∵AD⊥PB，AD∥BC，∴BC⊥PB.又∵BG⊥AD，AD∥BC，∴BG⊥BC，∴∠PBG为二面角ABCP的平面角．在Rt△PBG中，PG＝BG，∴∠PBG＝45°.19．(本小题满分16分)如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝23，沿对角线BD将△ABD折起，使点A移至点P，且P在平面BCD内的射影为O，且O 在DC上．(1)求证：PD⊥PC；(2)求二面角P－DB－C的平面角的余弦值．(1)证明∵PO⊥平面BCD，BC⊂平面BCD，∴PO⊥BC.∵BC⊥CD，CD∩PO＝O，∴BC⊥平面PCD.∵DP⊂平面PCD，∴BC⊥DP.又∵DP⊥PB，PB∩BC＝B，∴DP⊥平面PBC.而PC⊂平面PBC，∴PD⊥PC.(2)解 △PBD 在平面BCD 内的射影为△OBD ，且S △PBD ＝12×6×23＝63，S △OBD ＝S △CBD －S △BOC ＝63－12×23×OC .在Rt △DPC 中，PC 2＝24.设OC ＝x ，则OD ＝6－x ，∴PC 2－OC 2＝DP 2－DO 2，即24－x 2＝12－(6－x )2.解得x ＝4.∴S △BOD ＝63－43＝2 3.过点P 作PQ ⊥DB ，连结OQ ，则DB ⊥平面OPQ ，∴∠OQP 即为二面角P －DB －C 的平面角，∴cos ∠OQP ＝S △BOD S △PBD ＝2363＝13.20．(本小题满分16分)在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，MA ⊥平面ABCD ，PD ∥MA ，E 、G 、F 分别为MB 、PB 、PC 的中点，且AD ＝PD ＝2MA .(1)求证：平面EFG ⊥平面PDC ；(2)求三棱锥P －MAB 与四棱锥P －ABCD 的体积之比．解 (1)由已知MA ⊥平面ABCD ，PD ∥MA ，所以PD ⊥平面ABCD .又BC ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥BC .因为四边形ABCD 为正方形，所以BC ⊥DC .又PD ∩DC ＝D ，因此BC ⊥平面PDC .在△PBC 中，因为G 、F 分别为PB 、PC 的中点，所以GF ∥BC ，因此GF ⊥平面PDC .又GF ⊂平面EFG ，所以平面EFG ⊥平面PDC .(2)因为PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，不妨设MA ＝1，则PD ＝AD ＝2，所以V P －ABCD ＝13S 正方形ABCD ·PD ＝83. 由于DA ⊥平面MAB ，且PD ∥MA ，所以DA 即为点P 到平面MAB 的距离，三棱锥V P －MAB ＝13S △MAB ·DA ＝13×12×1×2×2＝23， 所以V P －MAB ∶V P －ABCD ＝1∶4.。
2019—2020年最新苏教版高中数学必修二模块综合试题卷及答案答案解析.docx
（新课标）2018-2019学年苏教版高中数学必修二模块综合检测卷(测试时间：120分钟评价分值：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．直线x－3＝0的倾斜角是( )A．45°B．60°C．90°D．不存在答案：C2．已知点A(x,1,2)和点B(2,3,4)，且|AB|＝26，则实数x 的值是( )A．－3或4 B．－6或2C．3或－4 D．6或－2答案：D3．圆x2＋y2－2x＝0与圆x2＋y2－2x－6y－6＝0的位置关系是( )A．相交B．相离C．外切D．内切答案：D4．在同一个直角坐标系中，表示直线y＝ax与y＝x＋a正确的是( )答案：C5．(2013·广东卷)某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是( )A ．4 B.143 C.163 D ．6答案：B6．(2013·重庆卷)已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．52－4 B.17－1C ．6－2 2 D.17解析：先求出圆心坐标和半径，再结合对称性求解最小值，设P(x,0)，设C1(2,3)关于x轴的对称点为C1′(2，－3)，那么|PC1|＋|PC2|＝|PC1′|＋|PC2|≥|C′1C2|＝(2－3)2＋(－3－4)2＝5 2.而|PM|＝|PC1|－1，|PN|＝|PC2|－3，∴|PM|＋|PN|＝|PC1|＋|PC2|－4≥52－4.答案：A7.如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，则图中互相垂直的平面有( )A．4对B．3对C．2对D．1对答案：B8．(2013·辽宁卷)已知点O(0,0)，A(0，b)，B(a，a3)．若△AOB 为直角三角形，则必有( )A ．b ＝a 3B ．b ＝a 3＋1aC ．(b －a 3)⎝ ⎛⎭⎪⎫b －a 3－1a ＝0D ．|b －a 3|＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪b －a 3－1a ＝0解析：根据直角三角形的直角的位置求解．若以O 为直角顶点，则B 在x 轴上，则a 必为0，此时O ，B 重合，不符合题意；若∠A ＝π2，则b ＝a 3≠0.若∠B ＝π2，根据斜率关系可知a 2·a 3－ba ＝－1，所以a (a 3－b )＝－1，即b －a3－1a＝0.以上两种情况皆有可能，故只有C 满足条件． 答案：C9．一个圆柱的轴截面为正方形，其体积与一个球的体积之比是3∶2，则这个圆柱的侧面积与这个球的表面积之比为( ) A．1∶1 B．1∶ 2C.2∶ 3 D．3∶2答案：A10．(2013·广东卷)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列，命题中正确的是( )A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nB．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中的横线上)11．若M、N分别是△ABC边AB、AC的中点，MN与过直线BC 的平面β(不包括△ABC 所在平面)的位置关系是________．答案：平行12．设m >0，则直线2(x ＋y )＋1＋m ＝0与圆x 2＋y 2＝m的位置关系为________．解析：圆心到直线的距离为d ＝1＋m2，圆半径为m ，∵d －r ＝1＋m2－m ＝12(m －2m ＋1)＝12(m －1)2＞0，∴直线与圆的位置关系是相离．答案：相离13．两条平行线2x ＋3y －5＝0和x ＋32y ＝1间的距离是________．答案：3131314．(2013·大纲卷)已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球O 的半径，OK ＝32，且圆O 与圆K 所在的平面所成的一个二面角为60°，则球O 的表面积等于________．解析：根据球的截面性质以及二面角的平面角的定义确定平面角，把球的半径转化到直角三角形中计算，进而求得球的表面积．如图所示，公共弦为AB ，设球的半径为R ，则AB ＝R .取AB 中点M ，连接OM 、KM ，由圆的性质知OM ⊥AB ，KM ⊥AB ，所以∠KMO 为圆O 与圆K 所在平面所成的一个二面角的平面角，则∠KMO ＝60°.在Rt △KMO 中，OK ＝32，所以OM ＝OKsin 60°＝3.在Rt △OAM 中，因为OA 2＝OM 2＋AM 2，所以R 2＝3＋14R 2，解得R 2＝4，解得R 2＝4，所以球O 的表面积为4πR 2＝16π.答案：16π三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)15．(本小题满分12分)已知两点A (－1,2)，B (m,3)．(1)求直线AB 的斜率；解析：当m ＝－1时，直线AB 的斜率不存在， 当m ≠－1时，k ＝1m ＋1.(2)已知实数m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33－1，3－1，求直线AB 的倾斜角α的范围．解析：当m ＝－1时，α＝π2，当m ≠－1时，k ＝1m ＋1∈⎝⎛⎦⎤－∞，－3∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，＋∞， 则α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，2π3，综上，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3.16．(2013·上海卷)(本小题满分12分)如图，在正三棱柱ABCA 1B 1C 1中，AA 1＝6，异面直线BC 1与AA 1所成角的大小为π6，求该三棱柱的体积．解析：因为CC1∥AA1，所以∠BC1C为异面直线BC1与AA1所成的角，即∠BC1C＝π6，在Rt△BC1C中，BC＝CC1·tan ∠BC1C＝6×33＝23，从而S△ABC＝34BC2＝33，因此该三棱柱的体积为V＝S△ABC·AA1＝33·6＝18 3.17.(2013·江西卷)(本小题满分14分)过点(2，0)引直线l与曲线y＝1－x2相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，求直线l的斜率．解析：根据三角形的面积公式和圆的弦的性质求解．由于y＝1－x2，即x2＋y2＝1(y≥0)，直线l与x2＋y2＝1(y≥0)交于A，B两点，如图所示，S△AOB＝12·sin∠AOB≤12，且当∠AOB＝90°时，S△AOB取得最大值，此时AB＝2，点O到直线l的距离为22，则∠OCB＝30°，所以直线l的倾斜角为150°，则斜率为－3318．(本小题满分14分)下图是某几何体的三视图，请你指出这个几何体的结构特征，并求出它的表面积与体积．解析：此几何体是一个组合体，下半部是长方体，上半部是半圆柱，其轴截面的大小与长方体的上底面大小一致．表面积为S ，则S ＝32＋96＋48＋4π＋16π＝176＋20π，体积为V ，则V ＝8×4×6＋12×22×8π＝192＋16π，所以几何体的表面积为176＋20π(cm 2)，体积为192＋16π(cm 3)．19．(本小题满分14分)如图，△ABC中，AC＝BC＝22 AB，四边形ABED是边长为a的正方形，平面ABED⊥平面ABC，若G、F分别是EC、BD的中点．(1)求证：GF∥平面ABC；证明：连EA交BD于F，∵F是正方形ABED对角线BD的中点，∴F是EA的中点．∴FG∥AC .又FG ⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，∴FG ∥平面ABC .(2)求BD 与平面EBC 所成角的大小；解析：∵平面ABED ⊥平面ABC ，BE ⊥AB ，∴BE ⊥平面ABC .∴BE ⊥AC . 又∵AC ＝BC ＝22AB ，∴BC ⊥AC ，又∵BE ∩BC ＝B ， ∴AC ⊥平面EBC . 由(1)知，FG ∥AC ， ∴FG ⊥平面EBC ，∴∠FBG 就是线BD 与平面EBC 所成的角． 又BF ＝12BD ＝2a 2，FG ＝12AC ＝2a4，sin ∠FBG ＝FG BF ＝12.∴∠FBG＝30°.(3)求几何体EFBC的体积．答案：V EFBC＝V FEBC＝13S△EBC·FG＝13·12·a·2a2·12·2a2＝a324.20．(2013·江苏卷)(本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y＝2x－4，设圆C的半径为1，圆心在l上．(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；解析：由题设，圆心C是直线y＝2x－4和y＝x－1的交点，解得点C(3,2)，于是切线的斜率必存在，设过A(0,3)的圆C的切线方程为y＝kx＋3.由题意，得|3k＋1|k2＋1＝1，解得k＝0或k＝－34，故所求切线方程为y＝3或3x＋4y－12＝0.(2)若圆C上存在点M，使MA＝2MO，求圆心C的横坐标a 的取值范围．解析：因为圆心在直线y＝2x－4上，设圆心C[a,2(a－2)]，所以圆C的方程为(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1.设点M(x，y)，因为MA＝2MO，所以x2＋(y－3)2＝2x2＋y2，化简得x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2＝4，所以点M在以D(0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意，点M(x，y)在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，则|2－1|≤CD ≤2＋1， 即1≤a 2＋(2a －3)2≤3.整理，得－8≤5a 2－12a ≤0. 由5a 2－12a ＋8≥0，得a ∈R ； 由5a 2－12a ≤0，得0≤a ≤125.所以点C 的横坐标a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125.。
2019-2020学年数学_必修2(苏教版)：模块综合检测卷(一)Word版含解析
为所求，
可证 △EFH 为直角三角形，
EH ⊥EF ，FH ＝2，EH ＝1，
从而可得 ∠EFH ＝ 30°.
答案： D 10．若直线 y＝kx＋1 与圆 x2＋y2＋kx－y＝0 的两个交点恰好关
于 y 轴对称，则 k 等于 ( )
A．0 B．1 C． 2 D．3
y＝kx＋ 1， 解析： 由 x2＋ y2＋ kx－y＝0， 得(1＋k2) ·x2＋2kx＝0.
13．设点 A(－1，0)，B(1，0)，直线 2x＋y－b＝0 与线段 AB 相
交，则 b 的取值范围是 ________．
解析： b 为直线 y＝－ 2x＋b 在 y 轴上的截距，如图所示，当直
线 y＝－ 2x＋ b 过点 A(－1，0)和点 B(1，0)时 b 分别取得最小值和最
大值．
所以 b 的取值范围是 [－2，2]． 答案： [－2，2] 14．已知直线 ax＋y－2＝0 与圆心为 C 的圆 (x－1)2－ (y－a)2＝4 相交于 A，B 两点，且△ ABC 为等边三角形，则实数 a＝________． 解析： 根据 “半径、弦长 AB 的一半、圆心到直线的距离 ”满足
使得平面 ADC⊥平面 ABC，在折起后形成的三棱锥 D-ABC 中，给
出下列三种说法：
①△ DBC 是等边三角形；② AC⊥BD；③三棱锥 D-ABC 的体积
是
2 6.
其中正确的序号是 ________(写出所有正确说法的序号 )．
解析： 取 AC 的中点 E，连接 DE，BE，
则 DE⊥AC， BE⊥AC，且 DE⊥BE.
进行分析还原，在长方体中计算其体积．
由俯视图可以判断该几何体的底面为直角三角形， 由正视图和左
2019-2020学年高中数学(人教版必修2)阶段质量检测(二) Word版含答案
阶段质量检测（二）(A卷学业水平达标)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(共10小题，每小题6分，共60分)1．下列说法不正确的是( )A．空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形B．同一平面的两条垂线一定共面C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一平面内D．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直答案：D2．(浙江高考)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面( )A．若m⊥n，n∥α，则m⊥αB．若m∥β，β⊥α则m⊥αC．若m⊥β，n⊥β，n⊥α则m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α答案：C3.如图在四面体中，若直线EF和GH相交，则它们的交点一定( )A．在直线DB上B．在直线AB上C．在直线CB上D．都不对答案：A4.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于( )A．AC B．BDC．A1D D．A1D1答案：B5．给定下列四个命题：①若两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中为正确的命题的是( )A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④6．正方体AC1中，E，F分别是DD1，BD的中点，则直线AD1与EF所成角的余弦值是( )A.12B.32C.63D.62答案：C7．在四面体ABCD中，已知棱AC的长为2，其余各棱长都为1，则二面角ACDB的余弦值为( )A.12B.13C.33D.23答案：C8．设α，β，γ为两两不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，给出下列三个说法：①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；②若α∥β，l⊂α，则l∥β；③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.其中正确的说法个数是( )A．3 B．2C．1 D．0答案：B9．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成四面体ABCD，则在四面体ABCD中，下列结论正确的是( )A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC答案：D10．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，在l上取线段AB＝4，AC，BD分别在平面α和平面β内，且AC⊥AB，DB⊥AB，AC＝3，BD＝12，则CD的长度为( )A．13 B.151 C．12 3 D．15答案：A二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)11.如图所示，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为答案：BM⊥PC(其他合理即可)12．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列四个说法：①若a⊥b，a⊥α，b⊄α，则b∥α；②若a∥α，α⊥β，则a⊥β；③若a⊥β，α⊥β，则a∥α或a⊂α；④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β.其中正确的个数为________．答案：313．在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点，EF＝3，则异面直线AD与BC所成角的大小为________．答案：60°14．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角ABDC，有如下三个结论．①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD成60°的角；说法正确的命题序号是________．答案：①②三、解答题(共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分10分)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝BC＝1，PA⊥平面ABCD，CD⊥PC，(1)证明：CD⊥平面PAC；(2)若E为AD的中点，求证：CE∥平面PAB.证明：(1)∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD.又CD⊥PC，PA∩PC＝P，∴CD⊥平面PAC.(2)∵AD∥BC，AB⊥BC，AB＝BC＝1，∴∠BAC＝45°，∠CAD＝45°，AC＝ 2.∵CD⊥平面PAC，∴CD⊥CA，∴AD＝2.又∵E为AD的中点，∴AE＝BC＝1，∴AE綊BC，∴四边形ABCE是平行四边形，又∵AB⊂平面PAB，CE⊄平面PAB，∴CE∥平面PAB.16．(本小题满分12分)(山东高考)如图，几何体EABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD.(1)求证：BE＝DE；(2)若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC.证明：(1)取BD的中点O，连接CO，EO.由于CB＝CD，所以CO⊥BD，又EC⊥BD，EC∩CO＝C，CO，EC⊂平面EOC，所以BD⊥平面EOC，因此BD⊥EO，又O为BD的中点，所以BE＝DE.(2)法一：取AB的中点N，连接DM，DN，MN，因为M是AE的中点，所以MN∥BE.又MN⊄平面BEC，BE⊂平面BEC，所以MN∥平面BEC.又因为△ABD为正三角形．所以∠BDN＝30°，又CB＝CD，∠BCD＝120°，因此∠CBD＝30°，又DN⊄平面BEC，BC⊂平面BEC，所以DN∥平面BEC.又MN∩DN＝N，故平面DMN∥平面BEC.又DM⊂平面DMN，所以DM∥平面BEC.法二：延长AD，BC交于点F，连接EF. 因为CB＝CD，∠BCD＝120°，所以∠CBD＝30°.因为△ABD为正三角形，所以∠BAD＝60°，∠ABC＝90°，因此∠AFB＝30°，所以AB＝12 AF.又AB＝AD，所以D为线段AF的中点．连接DM，由于点M是线段AE的中点，因此DM∥EF.又DM⊄平面BEC，EF⊂平面BEC，所以DM∥平面BEC.17.(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AB⊥平面BB1C1C，BB1＝2BC，D，E，F分别是CC1，A1C1，B1C1的中点，G在BB1上，且BG＝3GB1.求证：(1)B1D⊥平面ABD；(2)平面GEF∥平面ABD.证明：(1)取BB1的中点为M，连接MD，如图所示．因为BB1＝2BC，且四边形BB1C1C为平行四边形，所以四边形CDMB和四边形DMB1C1均为菱形．故∠CDB＝∠BDM，∠MDB1＝∠B1DC1，所以∠BDM＋∠MDB1＝90°，即BD⊥B1D.又AB⊥平面BB1C1C，B1D⊂平面BB1C1C，所以AB⊥B1D.又AB∩BD＝B，所以B1D⊥平面ABD.又F为B1C1的中点，所以GF∥MC1.又MB綊C1D，所以四边形BMC1D为平行四边形，所以MC1∥BD，故GF∥BD.又BD⊂平面ABD，所以GF∥平面ABD.又EF∥A1B1，A1B1∥AB，AB⊂平面ABD，所以EF∥平面ABD.又EF∩GF＝F，故平面GEF∥平面ABD.18．(本小题满分12分)如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝2，CE ＝EF＝1.(1)求证：AF∥平面BDE；(2)求证：CF⊥平面BDE.证明：(1)设AC与BD交于点G.∵EF∥AG，且EF＝1，AG＝12AC＝1，∴四边形AGEF为平行四边形．所以AF∥EG. ∵EG⊂平面BDE，AF⊄平面BDE，∴AF∥平面BDE.(2)连接FG.∵EF∥CG，EF＝CG＝1，且CE＝1，∴四边形CEFG为菱形．∴CF⊥EG.∵四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC.又∵平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，∴BD⊥平面ACEF.∴CF⊥BD.又BD∩EG＝G，∴CF⊥平面BDE.(1)AO 与A ′C ′所成角的度数； (2)AO 与平面ABCD 所成角的正切值； (3)平面AOB 与平面AOC 所成角的度数． 解：(1)∵A ′C ′∥AC ，∴AO 与A ′C ′所成的角就是∠OAC . ∵OC ⊥OB ，AB ⊥平面BC ′，∴OC ⊥AB .又AB ∩BO ＝B ，∴OC ⊥平面ABO . 又OA ⊂平面ABO ，∴OC ⊥OA . 在Rt △AOC 中，OC ＝22，AC ＝2， sin ∠OAC ＝OC AC ＝12，∴∠OAC ＝30°. 即AO 与A ′C ′所成角的度数为30°. (2)如图所示，作OE ⊥BC 于E ，连接AE . ∵平面BC ′⊥平面ABCD ，∴OE ⊥平面ABCD ，∠OAE 为OA 与平面ABCD 所成的角． 在Rt △OAE 中，OE ＝12，AE ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝52， ∴tan ∠OAE ＝OE AE ＝55.(3)∵OC ⊥OA ，OC ⊥OB ，OA ∩OB ＝O ， ∴OC ⊥平面AOB .又∵OC ⊂平面AOC ，∴平面AOB ⊥平面AOC . 即平面AOB 与平面AOC 所成角的度数为90°.M ，N 分别是边AD ，CD 上的点，且2AM ＝MD ，2CN ＝ND ，如图①，将△ABD 沿对角线BD 折叠，使得平面ABD ⊥平面BCD ，并连接AC ，MN (如图②)．(1)证明：MN ∥平面ABC ； (2)证明：AD ⊥BC ；(3)若BC ＝1，求三棱锥A BCD 的体积． 解：(1)证明：在△ACD 中， ∵2AM ＝MD,2CN ＝ND ， ∴MN ∥AC ，又∵MN ⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ， ∴MN ∥平面ABC .(2)证明：在△ABD 中，AB ＝AD ，∠A ＝90°， ∴∠ABD ＝45°.∵在平面四边形ABCD 中，∠B ＝135°， ∴BC ⊥BD .又∵平面ABD ⊥平面BCD ，且BC ⊂平面BCD ，平面ABD ∩平面BCD ＝BD ， ∴BC ⊥平面ABD ，又AD ⊂平面ABD ， ∴AD ⊥BC . (3)在△BCD 中，∵BC ＝1，∠CBD ＝90°，∠BCD ＝60°， ∴BD ＝ 3.在△ABD 中，∵∠A ＝90°，AB ＝AD ， ∴AB ＝AD ＝62， ∴S △ABD ＝12AB ·AD ＝34，由(2)知BC ⊥平面ABD ， ∴V A BCD ＝V C ABD ＝13×34×1＝14.(B卷能力素养提升)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(共10小题，每小题6分，共60分)1．空间两个角α，β的两边分别对应平行，且α＝60°，则β为( )A．60°B．120°C．30°D．60°或120°解析：选D 由等角定理可知β＝60°或120°.2．已知空间中有三条线段AB，BC和CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是( ) A．AB∥CDB．AB与CD异面C．AB与CD相交D．AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交解析：选D 若三条线段共面，如果AB，BC，CD构成等腰三角形，则直线AB与CD相交，否则直线AB 与CD平行；若不共面，则直线AB与CD是异面直线．3.如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，①DA1与BC1平行；②DD1与BC1垂直；③BC1与AC所成角为60°.以上三个结论中，正确结论的序号是( )A．①B．②C．③D．②③解析：选C ①错，应为DA1⊥BC1；②错，两直线所成角为45°；③正确，将BC1平移至AD1，由于三角形AD1C为等边三角形，故两异面直线所成角为60°，即正确命题序号为③，故选C.4．已知l是直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中的真命题( )A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若α⊥β，l∥α，则l⊥βC．若l∥α，α∥β，则l∥βD．若l⊥α，l∥β，则α⊥β解析：选D 对于A，若l∥α，l∥β，则α∥β或α与β相交，所以A错；对于B，若α⊥β，l∥α，则l∥β或l⊥β或l⊂β或l与β相交，所以B错；对于C，若l∥α，α∥β，则l∥β或l⊂β，所以C错；对于D，若l⊥α，l∥β，则α⊥β，由面面垂直的判定可知选项D正确．5．如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为( )A．AC⊥BDB．AC∥截面PQMNC．AC＝BD解析：选C ∵MN∥PQ，由线面平行的性质定理可得MN∥AC，从而AC∥截面PQMN，B正确；同理可得MQ∥BD，故AC⊥BD，A正确；又∠PMQ＝45°，故D正确．6．α，β，γ是三个平面，a、b是两条直线，有下列三个条件：①a∥γ，b⊂β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a⊂γ.如果命题“α∩β＝a，b⊂γ，且________，则a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是( )A．①或②B．②或③C．①或③D．只有②解析：选C 若填入①，则由a∥γ，b⊂β，b⊂γ，b＝β∩γ，又a⊂β，则a∥b；若填入③，则由a⊂γ，a＝α∩β，则a是三个平面α、β、γ的交线，又b∥β，b⊂γ，则b∥a；若填入②，不能推出a∥b，可以举出反例，例如使β∥γ，b⊂γ，画一草图可知，此时能有a∥γ，b∥β，但不一定a∥b，有可能异面．从而A、B、D都不正确，只有C正确．7．平面α∩平面β＝a，平面β∩平面γ＝b，平面γ∩平面α＝c，若a∥b，则c与a，b的位置关系是( )A．c与a，b都异面B．c与a，b都相交C．c至少与a，b中的一条相交D．c与a，b都平行解析：选D 如图，以三棱柱为模型．∵a∥b，a⊄γ，b⊂γ，∴a∥γ.又∵a⊂β，β∩γ＝c，∴a∥c.∴a∥b∥c.8．如下图，将无盖正方体纸盒展开，直线AB，CD在原正方体中的位置关系是( )A．平行B．相交且垂直C．异面D．相交成60°解析：选D 还原几何体，如图．可知D点与B点重合，△ABC是正三角形，所以选D.成的角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：选A 如图，二面角αl β为45°，AB ⊂β，且与棱l 成45°角，过A 作AO ⊥α于O ，作AH ⊥l 于H .连接OH 、OB ，则∠AHO 为二面角αl β的平面角，∠ABO 为AB 与平面α所成角．不妨设AH ＝2，在Rt △AOH 中，易得AO ＝1；在Rt △ABH 中，易得AB ＝2.故在Rt △ABO 中，sin ∠ABO ＝AO AB ＝12， ∴∠ABO ＝30°，为所求线面角．10．如图(1)所示，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，G 是EF 的中点，现在沿AE 、AF 及EF 把这个正方形折成一个四面体，使B 、C 、D 三点重合，重合后的点记为H ，如图(2)所示，那么，在四面体A EFH 中必有( )A ．AH ⊥△EFH 所在平面B ．AG ⊥△EFH 所在平面C ．HF ⊥△AEF 所在平面D ．HG ⊥△EFH 所在平面解析：选A 折成的四面体中有AH ⊥EH ，AH ⊥FH ，∴AH ⊥平面HEF .故选A. 二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)11．如图，直四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1的底面是边长为1的正方形，侧棱长AA 1＝2，则异面直线A 1B 1与BD 1的夹角大小等于________．解析：∵A 1B 1∥AB ，∴AB 与BD 1所成的角即是A 1B 1与BD 1所成的角．连接AD 1， 可知AB ⊥AD 1，在Rt △BAD 1中，AB ＝1，AD 1＝3，∴tan ∠ABD 1＝AD1AB＝3， ∴∠ABD 1＝60°，故A 1B 1与BD 1的夹角为60°. 答案：60°12．如图，在正三棱柱ABC A 1B 1C 1中，已知AB ＝1，D 在棱BB 1上，且BD ＝1，则AD 与平面AA 1C 1C 所成角的正弦值为________．解析：取AC ，A 1C 1的中点E ，E 1，连接BE ，B 1E 1，EE 1，由题意知平面BEE 1B 1⊥平面AC 1，过D 作DF ⊥EE 1于F ，连接AF ，则DF ⊥平面AC 1.∴∠DAF 即为AD 与平面AC 1所成的角．可求得AD ＝2，DF ＝32，∴sin ∠DAF ＝DF AD ＝64. 答案：6413．设a ，b ，c 是空间中的三条直线，下面给出五个命题： ①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ； ②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c ；③若a 与b 相交，b 与c 相交，则a 与c 相交；④若a ⊂平面α，b ⊂平面β，则a ，b 一定是异面直线； ⑤若a ，b 与c 成等角，则a ∥b .上述命题中正确的命题是________(只填序号)． 解析：由公理4知①正确；当a ⊥b ，b ⊥c 时，a 与c 可以相交、平行，也可以异面，故②不正确；当a 与b 相交，b 与c 相交时，a 与c 可以相交、平行，也可以异面，故③不正确；a ⊂α，b ⊂β，并不能说明a 与b “不同在任何一个平面内”，故④不正确；当a ，b 与c 成等角时，a 与b 可以相交、平行，也可以异面，故⑤不正确． 答案：①14．给出下列命题：①若平面α上的直线a 与平面β上的直线b 为异面直线，直线c 是α与β的交线，那么c 至多与a ，b 中一条相交；②若直线a 与b 异面，直线b 与c 异面，则直线a 与c 异面； ③一定存在平面α同时和异面直线a ，b 都平行． 其中正确的命题为________．(写出所有正确命题的序号)解析：①中，异面直线a ，b 可以都与c 相交，故不正确；②中，直线异面不具有传递性，故不正确；③中，过直线b 上一点P 作a ′∥a ，则a ′、b 确定一平面，则与该平面平行的任一平面(平面内不包含直线a 、b )都与异面直线a 、b 平行，故正确．答案：③三、解答题(共6小题，共70分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算过程) 15.(本小题满分10分)如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为CC 1，AA 1的中点，画出平面BED 1F 与平面ABCD 的交线．解：在平面AA 1D 1D 内，延长D 1F ，∵D 1F 与DA 不平行，∴D 1F 与DA 必相交于一点，设为P ，则P ∈D 1F ，P ∈DA .又∵D 1F ⊂平面BED 1F ，AD ⊂平面ABCD ，∴P ∈平面BED 1F ，P ∈平面ABCD .又B 为平面ABCD 与平面BED 1F 的公共点，连接PB ，∴PB 即为平面BED 1F 与平面ABCD 的交线．如图所示．16．(本小题满分12分)在右图的几何体中，面ABC ∥面DEFG, ∠BAC ＝∠EDG＝120°，四边形ABED 是矩形，四边形ADGC 是直角梯形，∠ADG ＝90°，四边形DEFG是梯形， EF ∥DG ，AB ＝AC ＝AD ＝EF ＝1，DG ＝2.(1)求证：FG ⊥面ADF ； (2)求四面体 CDFG 的体积．解：(1)连接DF 、AF ，作DG 的中点H ， 连接FH ，EH ，∵EF ∥DH ，EF ＝DH ＝ED ＝1， ∴四边形DEFH 是菱形，∴EH ⊥DF ， 又∵EF ∥HG, EF ＝HG ， ∴四边形EFGH 是平行四边形， ∴FG ∥EH ，∴FG ⊥DF ，由已知条件可知AD ⊥DG ，AD ⊥ED ， 所以AD ⊥面EDGF ，所以AD ⊥FG .又∵⎩⎪⎨⎪⎧FG⊥AD，FG⊥DF，AD ⊂面ADF ，DF ⊂面ADF ，AD∩DF＝D ，∴FG ⊥面ADF .(2)因为DH ∥AC 且DH ＝AC ， 所以四边形ADHC 为平行四边形， 所以CH ∥AD ，CH ＝AD ＝1，由(1)知AD ⊥面EDGF ， 所以CH ⊥面DEFG .由已知，可知在三角形DEF 中，ED ＝EF ＝1，∠DEF ＝60°，所以，△DEF 为正三角形，DF ＝1，∠FDG ＝60°， S △DEG ＝12·DF ·DG ·sin∠FDG ＝32. 四面体CDFG ＝13·S △DFG ·CH＝13×32×1＝36. 17．(本小题满分12分)如图所示，在四棱锥P ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AD ⊥AB ，△ABC 是正三角形，AC 与BD 的交点M 恰好是AC 的中点，N 为线段PB 的中点，G在线段BM 上，且BGGM＝2.(1)求证：AB ⊥PD ； (2)求证：GN ∥平面PCD . 证明：(1)因为PA ⊥平面ABCD ， 所以PA ⊥AB .又因为AD ⊥AB ，AD ∩PA ＝A ，所以AB ⊥平面PAD .又PD ⊂平面PAD ，所以AB ⊥PD .(2)因为△ABC 是正三角形，且M 是AC 的中点，所以BM ⊥AC . 在直角三角形AMD 中，∠MAD ＝30°， 所以MD ＝12AD .在直角三角形ABD 中，∠ABD ＝30°， 所以AD ＝12BD ，所以MD ＝14BD .又因为BGGM＝2，所以BG ＝GD .又N 为线段PB 的中点，所以GN ∥PD . 又GN ⊄平面PCD ，PD ⊂平面PCD ， 所以GN ∥平面PCD .18．(本小题满分12分)(浙江高考)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，A1A＝4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．(1)证明：A1D⊥平面A1BC；(2)求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值．解：(1)证明：设E为BC的中点，连接AE，A1E，DE，由题意得A1E⊥平面ABC，所以A1E⊥AE.因为AB＝AC，所以AE⊥BC.又因为A1E，BC⊂平面A1BC，A1E∩BC＝E，故AE⊥平面A1BC.由D，E分别为B1C1，BC的中点，得DE∥B1B且DE＝B1B，从而DE∥A1A且DE＝A1A，所以四边形AA1DE为平行四边形．于是A1D∥AE.又因为AE⊥平面A1BC，所以A1D⊥平面A1BC.(2)作A1F⊥DE，垂足为F，连接BF.因为A1E⊥平面ABC，所以BC⊥A1E.因为BC⊥AE，AE∩A1E＝E，所以BC⊥平面AA1DE.所以BC⊥A1F.又因为DE∩BC＝E，所以A1F⊥平面BB1C1C.所以∠A1BF为直线A1B和平面BB1C1C所成的角．由AB＝AC＝2，∠CAB＝90°，得EA＝EB＝ 2.由A1E⊥平面ABC，得A1A＝A1B＝4，A1E＝14.由DE＝BB1＝4，DA1＝EA＝2，∠DA1E＝90°，得A1F＝72.所以sin∠A1BF＝78.19．(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，BC的中点．(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；(2)求证：C1F∥平面ABE；(3)求三棱锥EABC的体积．解：(1)证明：在三棱柱ABCA1B1C1中，BB1⊥底面ABC，所以BB1⊥AB.又因为AB⊥BC，BB1∩BC＝B，所以AB⊥平面B1BCC1.又AB⊂平面ABE，所以平面ABE⊥平面B1BCC1.(2)证明：取AB中点G，连接EG，FG.因为E，F，G分别是A1C1，BC，AB的中点，所以FG∥AC，且FG＝12AC，EC1＝12A1C1.因为AC∥A1C1，且AC＝A1C1，所以FG∥EC1，且FG＝EC1，所以四边形FGEC1为平行四边形，所以C1F∥EG.又因为EG⊂平面ABE，C1F⊄平面ABE，所以C1F∥平面ABE.(3)因为AA1＝AC＝2，BC＝1，AB⊥BC，所以AB＝AC2－BC2＝ 3.所以三棱锥EABC的体积V＝13S△ABC·AA1＝13×12×3×1×2＝33.20.(本小题满分12分)如图所示，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为DD1、DB的中点．(1)求证：EF∥平面ABC1D1；(2)求三棱锥VB1EFC的体积；(3)求二面角ECFB1的大小．解：(1)证明：连接BD1，在△DD1B中，E、F分别为D1D，DB的中点，则EF为中位线，∴EF∥D1B，而D1B⊂面ABC1D1，EF⊄面ABC1D1，∴EF∥面ABC1D1.(2)等腰直角三角形BCD中，F为BD中点，∴CF⊥BD.①∵ABCDA1B1C1D1是正方体，∴DD1⊥面ABCD，又CF⊂面ABCD，∴DD1⊥CF.②综合①②，且DD1∩BD＝D，DD1，BD⊂面BDD1B1，∴CF ⊥平面EFB 1即CF 为高，CF ＝BF ＝ 2. ∵EF ＝12BD 1＝3，B 1F ＝BF2＋BB21＝2＋22＝6， B 1E ＝B1D21＋D1E2＝12＋2＝3，∴EF 2＋B 1F 2＝B 1E 2，即∠EFB 1＝90°， ∴S △B 1EF ＝12EF ·B 1F ＝322，∴VB 1EFC ＝VC B 1EF ＝13·S △B 1EF ·CF＝13×322×2＝1. (3)∵CF ⊥平面BDD 1B 1，∴二面角E CF B 1的平面角为∠EFB 1. 由(2)知∠EFB 1＝90°∴二面角E CF B 1的大小为90°.。
2019-2020学年高一数学苏教版必修1同步练习：2.3 映射的概念 Word版含答案
姓名，年级：时间：2.3 映射的概念1、下列对应是从集合M 到集合N 的映射的是（ )①;:,,M N R f x y x M y N ==→=∈∈1x。
②2;:,,M N R f x y x x M y N ==→=∈∈ ③|:,,|;M N R f x y x M y N +==→=∈∈1x x。
④3;:,,M N R f x y x x M y N ==→=∈∈.A.①② B 。
②③ C.①④ D 。
②④2、已知:f A B →是集合A 到B 的映射，又A B ==R ，对应法则2:23,f x y x x k B →=+-∈且k 在A 中没有原象，则k 的取值范围是（ ）A 。
(),4-∞-B 。
(1,3)-C 。
[),?-+∞4D 。
(,1)(3,)-∞-⋃+∞3、已知集合A 中元素(),x y 在映射f 下对应B 中元素(),x y x y +-,则B 中元素()4,2-在A 中对应的元素为( ） A. ()1,3 B 。
(1,6) C 。
()2,4 D 。
()2,64、设集合{|02},{|12}A x x B y y =≤≤=≤≤，下列图中能表示从集合A 到集合B 的映射的是（ ）A 。
B.C. D 。
5、下列对应不是映射的是( ）A. B 。
C 。
D 。
6、图中各图表示的对应能构成映射的个数有（ )A.3个 B 。
4个 C 。
5个 D 。
6个 7、在下列各对集合M 和Y 中，使对应法则21:1f x x →-可以作为集合M 到Y 的映射的是（ ) A 。
{}111,3,5,0,,824M Y ⎧⎫=---=⎨⎬⎩⎭B.{}1113,5,7,0,,,82448M Y ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭C 。
{}111,2,3,0,,38M Y ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭D 。
{}110,2,4,6,1,,315M Y ⎧⎫==-⎨⎬⎩⎭8、下列对应关系不是映射的是（ )A 。
B. C. D.9、集合{04},{02}A x x B y y =≤≤=≤≤，下列不表示从A 到B 的函数的是（ ) A.1:2f x y x →=B.1:3f x y x →= C.2:3f x y x →=D.:f x y x →=10、已知映射:,f A B →其中,A B R ==对应法则221:().3xxf x y +→=若对实数,m B ∈在集合A 中存在元素与之对应,则m 的取值范围是（ ) A 。
2019—2020年最新苏教版高中数学必修二章末过关检测卷(二)及解析.docx
（新课标）2019—2020学年苏教版高中数学必修二章末过关检测卷(二)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若直线过点(1，2)，(4，2＋3)，则此直线的倾斜角是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：直线斜率为k ＝2＋3－24－1＝33，故倾斜角为30°.答案：A2．直线mx －y ＋2m ＋1＝0经过一定点，则该定点的坐标为( )A ．(－2，1)B ．(2，1)C ．(1，－2)D ．(1，2)解析：直线mx －y ＋2m ＋1＝0可化为 (x ＋2)m ＋1－y ＝0，令⎩⎨⎧x ＋2＝0，1－y ＝0，得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝1.答案：A3．直线x ＋ky ＝0，2x ＋3y ＋8＝0和x －y －1＝0交于一点，则k 的值是( )A.12 B ．－12C ．2D ．－2 解析：解方程组⎩⎨⎧2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0，得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝－2，则点(－1，－2)在直线x ＋ky ＝0上，得k ＝－12.答案：B4．若坐标原点在圆x 2＋y 2－2mx ＋2my ＋2m 2－4＝0的内部，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1，1)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22 C ．(－3，3) D ．(－2，2)解析：由题设把原点代入方程 02＋02－2m ·0＋2m ·0＋2m 2－4<0， 所以－2<m <2.答案：D5．两圆x 2＋y 2＋4x －4y ＝0与x 2＋y 2＋2x －12＝0的公共弦长等于( )A ．4B ．23 C ．32 D ．42解析：公共弦方程为x －2y ＋6＝0，圆x 2＋y 2＋2x －12＝0的圆心(－1，0)，半径r ＝13，d ＝5.所以弦长＝2×13－5＝42.答案：D6．与圆(x ＋2)2＋y 2＝2相切，且在x 轴与y 轴上的截距相等的直线条数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：当截距均为0时，即直线过原点易知有两条切线；当截距不为0时，设切线为x a ＋ya＝1，即x ＋y －a ＝0，由圆心(－2，0)到切线的距离等于半径2，解得a ＝－4，即此时切线为x ＋y ＋4＝0，故共有3条．答案：C7．(2014·安徽卷)过点P (－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0°，30°B.⎝⎛⎦⎤0°，60°C.⎣⎡⎦⎤0°，30°D.⎣⎡⎦⎤0°，60°解析：法一 如图所示，过点P 作圆的切线PA ，PB ，切点为A ，B .由题意知|OP |＝2，|OA |＝1，则sin α＝12，所以α＝30°，∠BPA ＝60°.故直线l 的倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤0°，60°.故选D.法二 设过点P 的直线方程为y ＝k (x ＋3)－1，则由直线和圆有公共点知|3k －1|1＋k2≤1. 解得0≤k ≤ 3.故直线l 的倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤0°，60°.答案：D8．以A (－2，－2)，B (－3，1)，C (3，5)，D (7，－7)为顶点的四边形是( )A ．正方形B ．矩形C ．平行四边形D ．梯形答案：D9．垂直于直线y ＝x ＋1且与圆x 2＋y 2＝1相切于第一象限的直线方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．x ＋y ＋1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋2＝0答案：A10．平行于直线2x ＋y ＋1＝0且与圆x 2＋y 2＝5相切的直线的方程是( )A ．2x －y －5＝0或2x －y －5＝0B ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0C ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0D ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0解析：设所求切线方程为2x ＋y ＋c ＝0，依题有|0＋0＋c |22＋12＝5，解得c ＝±5，所以所求切线的直线方程为2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0.答案：D11．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积是球的表面积的( )A.316 B.916 C.38 D.58 答案：A12．圆锥的表面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为( )A ．120°B ．150°C ．180°D ．240°解析：S 底＋S 侧＝3S 底，2S 底＝S 侧，即2πr 2＝πrl ，得2r ＝l .设侧面展开图的圆心角为θ，则θπl180°＝2πr ，所以θ＝180°.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中的横线上)13．直线5x ＋12y ＋13＝0与直线10x ＋24y ＋5＝0的距离是________．解析：把5x ＋12y ＋13＝0化为10x ＋24y ＋26＝0，由平行线之间的距离公式d ＝|26－5|26＝2126.答案：212614．在z 轴上与点A (－4，1，7)和点B (3，5，－2)等距离的点C 的坐标为________．解析：设C 点的坐标为(0，0，z )， 由|AC |＝|BC |，得|AC |2＝|BC |2.于是有16＋1＋(7－z )2＝9＋25＋(－2－z )2，解得z ＝149.故点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，149.答案：⎝⎛⎭⎪⎫0，0，14915．已知圆O ：x 2＋y 2＝5，直线l ：x cos θ＋y sin θ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π2.设圆O 到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k ＝________．解析：圆心O 到直线x cos θ＋y sin θ＝1距离d ＝1，即直线与圆相交．因为半径r ＝5＞2，所以O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为4个，所以k ＝4.答案：416．直线l 1：y ＝x ＋a 和l 2：y ＝x ＋b 将单位圆C ：x 2＋y 2＝1分成长度相等的四段弧，则a 2＋b 2＝________．解析：作出图象，如图所示．依题意，不妨设直线y ＝x ＋a 与单位圆相交于A ，B 两点，则∠AOB ＝90°，此时a ＝1，b ＝－1，满足题意， 所以a 2＋b 2＝2. 答案：2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)17．(本小题满分10分)求经过A (－2，3)，B (4，－1)的两点式方程，并把它化成点斜式、斜截式、截距式和一般式．解：过A ，B 两点的直线方程是y ＋13＋1＝x －4－2－4，点斜式为：y ＋1＝－23(x －4)，斜截式为：y ＝－23x ＋53，截距式为：x 52＋y53＝1，一般式为：2x ＋3y －5＝0.18．(本小题满分12分)点A (0，2)是圆x 2＋y 2＝16内的定点，B ，C 是这个圆上的两个动点，若BA ⊥CA ，求BC 中点M 的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么曲线．解：设点M(x，y)．M是弦BC的中点，故OM⊥BC，又因为∠BAC＝90°，所以|MA|＝12|BC|＝|MB|.因为|MB|2＝|OB|2－|OM|2，所以|OB|2＝|MO|2＋|MA|2，即42＝(x2＋y2)＋[(x－0)2＋(y－2)2]，化简为x2＋y2－2y－6＝0，即x2＋(y－1)2＝7.所以所求轨迹为以(0，1)为圆心，以7为半径的圆．19．(本小题满分12分)若圆C经过坐标原点和点(4，0)，且与直线y＝1相切，求圆C的方程．解：如图所示，因为圆C经过坐标原点O和点A(4，0)，所以圆心必在线段OA的中垂线上，所以圆心的横坐标为2，设圆心坐标为C(2，b)，b＜0，半径为R.因为圆与直线y＝1相切，所以R＝1－b，且b2＋22＝R 2＝(1－b )2.解得b ＝－32，所以圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－32，半径R ＝1－b ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝52.所以圆的方程为(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝254.20．(本小题满分12分)已知实数x ，y 满足方程(x －3)2＋(y －3)2＝6，求x ＋y 的最大值和最小值．解：设x ＋y ＝t ，则直线y ＝－x ＋t 与圆(x －3)2＋(y －3)2＝6有公共点．所以|3＋3－t |2≤6.所以6－23≤t ≤6＋2 3.因此x ＋y 最小值为6－23，最大值为6＋23.21．(本小题满分12分)已知圆C ：x 2＋(y －1)2＝5，直线l ：mx －y ＋1－m ＝0(m ∈R)．(1)判断直线l 与圆C 的位置关系；(2)设直线l 与圆C 交于A ，B 两点，若直线l 的倾斜角为120°，求弦AB 的长．解：(1)直线l 可变形为y －1＝m (x －1)，因此直线l 过定点D (1，1)， 又12＋（1－1）2＝1<5，所以点D 在圆C 内，则直线l 与圆C 必相交．(2)由题意知m ≠0，所以直线l 的斜率k ＝m ， 又k ＝tan 120°＝－3，即m ＝－ 3.此时，圆心C (0，1)到直线l ：3x ＋y －3－1＝0的距离 d ＝|－3|（3）2＋12＝32，又圆C 的半径r ＝5， 所以|AB |＝2r 2－d 2＝2 5－⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝17.22．(本小题满分12分)已知圆C 的圆心在直线l 1：2x －y ＋1＝0上，与直线3x －4y ＋9＝0相切，且截直线l 2：4x －3y ＋3＝0所得的弦长为2，求圆C 的方程．解：设圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧2a －b ＋1＝0，|3a －4b ＋9|5＝r ，⎝ ⎛⎭⎪⎫4a －3b ＋352＋1＝r 2，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2a ＋1，|3a －4（2a ＋1）＋9|＝5r ，[4a －3（2a ＋1）＋3]2＋25＝25r 2， 即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2a ＋1，|a －1|＝r ，4a 2＋25＝25r 2.化简，得4a 2＋25＝25(a －1)2. 解得a ＝0或a ＝5021.因此⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1，r ＝1或⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧a ＝5021，b ＝12121，r ＝2921. 故所求圆的方程为x 2＋(y －1)2＝1或⎝ ⎛⎭⎪⎫x －50212＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －121212＝⎝ ⎛⎭⎪⎫29212.。
2020高中数学 第1章 立体几何初步单元测试 苏教版必修2
第1章立体几何初步(时间：120分钟，满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中横线上)1．有下列四个结论，其中正确结论的个数为________．①互相垂直的两直线，有且只有一个公共点；②经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；③垂直于同一条直线的两条直线平行；④两平行线之一垂直于一条直线，则另一条也垂直于此直线．解析：①错误，异面直线也可能垂直．②错误，应有无数条．③错误，可能平行，相交或异面．④正确．答案：12．给出下列命题，其中正确的命题的序号是________．①直线上有两点到平面的距离相等，则此直线与平面平行；②直线m⊥平面α，直线n⊥m，则n∥α；③a、b是异面直线，则存在惟一的平面α，使它与a、b都平行且与a、b距离相等．解析：①错误，如果这两点在该平面的异侧，则直线与平面相交；②错误，直线n可能在平面α内；③正确，如图，设AB是异面直线a、b的公垂线段，E为AB的中点，过E作a′∥a，b′∥b，则a′、b′确定的平面即为与a、b都平行且与a、b距离相等的平面，并且它是惟一确定的．答案：③3．P为△ABC所在平面外一点，AC＝2a，连结PA、PB、PC，得△PAB和△PBC都是边长为a的等边三角形，则平面ABC和平面PAC的位置关系为________．解析：如图所示，由题意知，PA＝PB＝PC＝AB＝BC＝a，取AC中点D，连结PD、BD，则PD⊥AC，BD⊥AC，则∠BDP为二面角P-AC-B的平面角，又∵AC＝2a，∴PD＝BD＝22a，在△PBD中，PB2＝BD2＋PD2，∴∠PDB＝90°.答案：垂直4．如图甲，在正方形SG1G2G3中，E、F分别是边G1G2、G2G3的中点，D是EF的中点，现沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个几何体(图乙)，使G1、G2、G3三点重合于点G，这样，下面结论成立的是________．①SG⊥平面EFG；②SD⊥平面EFG；③GF⊥平面SEF；④GD⊥平面SEF.解析：在图甲中，SG1⊥G1E，SG3⊥G3F；在图乙中，SG⊥GE，SG⊥GF，∴SG⊥平面EFG.答案：①5．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，三棱锥D1－AB1C的表面积与正方体的表面积的比为________．解析：设正方体的棱长为a ，则S 正方体＝6a 2，正四面体D 1－AB 1C 的棱长为2a ，S 正四面体＝4×34×(2a )2＝23a 2，所以S 四面体S 正方体＝236＝33.答案：336．如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是S ，那么圆柱的体积等于________． 解析：设底面半径为r ，则2πr ·2r ＝S ，故r ＝S4π，所以V ＝πr 2·2r ＝S 4Sπ.答案：S 4Sπ7.圆柱形容器内部盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________ cm.解析：设球的半径为r cm ，则πr 2×8＋43πr 3×3＝πr 2×6r ，解得r ＝4. 答案：48．在空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝2，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，EF ＝3，则异面直线AD 与BC 所成角的大小为________．解析：取AC 中点M ，连结EM ，FM ，F 为DC 中点，M 为AC 中点，∴FM ∥AD ，且FM ＝12AD ＝1，同理EM ∥BC ，且EM ＝12BC ＝1.△EMF 中作MN ⊥EF 于N . Rt△MNE 中，EM ＝1，EN ＝32， ∴sin ∠EMN ＝32，∠EMN ＝60°， ∴∠EMF ＝120°，∴AD 与BC 所成角为60°. 答案：60° 9.降水量是指水平地面上单位面积降雨的深度，用上口直径为38 cm ，底面直径为24 cm ，深度为35 cm 的圆台形水桶(轴截面如图所示)来测量降水量，如果在一次降雨过程中，此桶盛得的雨水正好是桶深的17，则本次降雨的降水量是________(精确到1 mm)．解析：桶内水的深度为17×35＝5(cm)，设水面半径为x cm ，则有x －1219－12＝535，解得x ＝13.V 水＝13π·5(122＋12×13＋132)＝2 3453π.设单位面积雨水深度为h ，则V 水＝π·192·h ，∴π·192·h ＝2 3453π，∴h ≈2.2 cm＝22 mm. 答案：22 mm10．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A 1到截面AB 1D 1的距离为________．解析：利用三棱锥A 1－AB 1D 1的体积变换：VA 1－AB 1D 1＝VA －A 1B 1D 1，则13×2×4＝13×6×h ，h＝43. 答案：4311．在空间四边形ABCD 中，平面ABD ⊥平面BCD ，且DA ⊥平面ABC ，则△ABC 的形状是________． 解析：如图，在△ABD 内，作AH ⊥BD 于H ，∵平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ABD ∩平面BCD ＝BD ， ∴AH ⊥平面BCD . 又BC ⊂平面BCD . ∴BC ⊥AH .又∵DA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴DA ⊥BC .又AH ∩DA ＝A ， ∴BC ⊥平面ABD ，∴BC ⊥AB ，故△ABC 是以∠B 为90°角的直角三角形． 答案：直角三角形12．如图(1)所示，一个装了水的密封瓶子，其内部可以看成是由半径为1 cm 和半径为3 cm 的两个圆柱组成的简单几何体．当这个几何体如图(2)水平放置时，液面高度为20 cm ；当这个几何体如图(3)水平放置时，液面高度为28 cm ，则这个简单几何体的总高度为________．解析：设上、下圆柱的半径分别是r 、R ，高分别是h ，H .由水的体积不变得πR 2H ＋πr 2(20－H )＝πr 2h ＋πR 2·(28－h )，又r ＝1，R ＝3，故H ＋h ＝29.则这个简单几何体的总高度为29 cm. 答案：2913．在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝1，若二面角C －AB －C 1的大小为60°，则点C 到平面ABC 1的距离为________．解析：如图，取AB 中点为O ，连结C 1O 和CO .∵三棱柱ABC －A 1B 1C 1是正三棱柱，∴CO ⊥AB . ∵AC 1＝BC 1，∴C 1O ⊥AB ，则∠C 1OC即为二面角C －AB －C 1的平面角．又AB ＝1，∴CO ＝32，C 1C ＝32，OC 1＝ 3.下面用等体积法求距离． VC 1－ABC ＝VC －ABC 1， ∴13S △ABC ·CC 1＝13S △ABC 1·d ， 即34×32＝12×1×3×d .∴d ＝34. 答案：3414．已知Rt △ABC 的斜边在平面α内，直角顶点C 是α外一点，AC 、BC 与α所成角分别为30°和45°，则平面ABC 与α所成锐角为________．解析：如图所示，过点C 作垂直于α的直线CO ，交α于点O . ∴∠CAO ＝30°，∠CBO ＝45°.设CO ＝a ，∴Rt △ACO 中，AC ＝2a ， 在Rt △BCO 中，BC ＝2a .过C 点在平面ABC 内作CD ⊥AB ，连结OD ，则∠CDO 为平面ABC 与α所成的锐角，AB ＝6a ，∴CD ＝23a ，∴在Rt △CDO 中，sin ∠CDO ＝a 2a 3＝32，∴∠CDO ＝60°.答案：60°二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分14分)(2014·淄博高一检测)直三棱柱的高为6 cm ，底面三角形的边长分别为3 cm ，4 cm ，5 cm ，将棱柱削成圆柱，求削去部分体积的最小值． 解：如图所示，只有当圆柱的底面圆为直三棱柱的底面三角形的内切圆时，圆柱的体积最大，削去部分体积才能最小，设此时圆柱的底面半径为R ，圆柱的高即为直三棱柱的高6 cm. ∵在△ABC 中，AB ＝3 cm ， BC ＝4 cm ，AC ＝5 cm ， ∴△ABC 为直角三角形．根据直角三角形内切圆的性质可得7－2R ＝5，∴R ＝1 cm ，∴V 圆柱＝πR 2·h ＝6π cm 3.而三棱柱的体积为V 三棱柱＝12×3×4×6＝36(cm 3)，∴削去部分的体积为36－6π＝6(6－π)(cm 3)． 16．(本小题满分14分)底面是平行四边形的四棱锥P －ABCD ，点E 在PD 上，且PE ∶ED ＝2∶1.问：在棱PC 上是否存在一点F ，使BF ∥平面AEC? 证明你的结论．解：如图所示，连接BD 交AC 于点O ，连接OE ，过点B 作OE 的平行线交PD 于点G ，过点G 作GF ∥CE 交PC 于点F ，连接BF . ∵BG ∥OE ，BG ⊄平面AEC ，OE ⊂平面AEC ， ∴BG ∥平面AEC . 同理GF ∥平面AEC ， 又BG ∩GF ＝G ，∴平面BFG ∥平面AEC ，BF ⊂平面BFG . ∴BF ∥平面AEC .下面求点F 在PC 上的具体位置： ∵BG ∥OE ，O 是BD 的中点， ∴E 是GD 的中点． 又∵PE ∶ED ＝2∶1， ∴G 是PE 的中点．而GF ∥CE .∴F 为PC 的中点．综上可知，存在点F ，当点F 是PC 的中点时，BF ∥平面AEC .17．(本小题满分14分)如图，已知平面α∩平面β＝AB ，PC ⊥α，PD ⊥β，垂足分别是C ，D . (1)求证：AB ⊥平面PCD ；(2)若PC ＝PD ＝1，CD ＝2，试判断平面α与平面β的位置关系，并证明你的结论．解：(1)证明：因为PC ⊥α，AB ⊂α，所以PC ⊥AB .同理PD ⊥AB .又PC ∩PD ＝P ，故AB ⊥平面PCD .(2)设AB 与平面PCD 的交点为H ，连结CH ，DH .因为 AB ⊥平面PCD ，所以AB ⊥CH ，AB ⊥DH ，所以∠CHD 是二面角C －AB －D 的平面角．又PC ＝PD ＝1，CD ＝2，所以CD 2＝PC 2＋PD 2＝2，即∠CPD ＝90°.在平面四边形PCHD 中，∠PCH ＝∠PDH ＝∠CPD ＝90°，所以∠CHD ＝90°，故平面α⊥平面β.18．(本小题满分16分)养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用)，已建的仓库的底面直径为12 m ，高4 m ．养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐．现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4 m(高不变)；二是高度增加4 m(底面直径不变)．(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积； (2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积； (3)哪个方案更经济些？解：(1)如果按方案一，仓库的底面直径变成16 m ，则仓库的体积V 1＝13Sh ＝13π×82×4＝2563π(m 3)；如果按方案二，仓库的高变成8 m ，则仓库的体积V 2＝13Sh ＝13×π×62×8＝2883π(m 3)．(2)如果按方案一，仓库的底面直径变成16 m ，半径为8 m ．棱锥的母线长为l ＝82＋42＝45(m)，则仓库的表面积S 1＝π×8×45＝325π(m 2)； 如果按方案二，仓库的高变成8 m.棱锥的母线长为l ＝82＋62＝10(m)， 则仓库的表面积S 2＝π×6×10＝60π(m 2)． (3)V 2＞V 1，S 2＜S 1，所以方案二比方案一经济．19．(本小题满分16分)已知侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，且AD ＝AA1，点F为棱BB1的中点，点M为线段AC1的中点．(1)求证：MF∥平面ABCD；(2)求证：平面AFC1⊥平面ACC1A1.证明：(1)如图，延长C1F交CB的延长线于点N，连结AN.∵F是BB1的中点，∴F为C1N的中点，B为CN的中点．又M是线段AC1的中点，∴MF∥AN.又MF⊄平面ABCD，AN⊂平面ABCD，∴MF∥平面ABCD，(2)连结BD，由题意知A1A⊥平面ABCD，又∵BD⊂平面ABCD，∴A1A⊥BD.∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD.又∵AC∩A1A＝A，AC⊂平面ACC1A1，A1A⊂平面ACC1A1，∴BD⊥平面ACC1A1.在四边形DANB中，DA∥BN，且DA＝BN，∴四边形DANB为平行四边形∴NA∥BD，∴NA⊥平面ACC1A1.又∵NA⊂平面AFC1，∴平面AFC1⊥平面ACC1A1.20．(本小题满分16分)在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，过E作EF⊥PB于点F.(1)求证：PA∥平面EDB；(2)求证：PB⊥平面EFD；(3)求二面角C－PB－D的大小．解：(1)证明：连结AC，BD，交于点O，连结EO.∵底面ABCD是正方形，∴O是AC的中点，∴在△PAC中，EO是中位线，∴PA∥EO.又∵EO⊂平面EDB，PA⊄平面EDB，∴PA∥平面EDB.(2)证明：∵PD⊥底面ABCD，且DC⊂底面ABCD，∴PD⊥DC.∵PD＝DC，∴△PDC是等腰直角三角形．又∵DE是斜边PC的中线，∴DE⊥PC.∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥BC.∵底面ABCD是正方形，∴DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC.又∵DE⊂平面PDC，∴BC⊥DE.∴DE⊥平面PBC.又∵PB⊂平面PBC，∴DE⊥PB.又∵EF⊥PB，且DE∩EF＝E，∴PB⊥平面EFD.(3)由(2)知，PB⊥DF，EF⊥PB，∴∠EFD 是二面角C －PB －D 的平面角． 由(2)知DE ⊥EF ，PD ⊥DB .设正方形ABCD 的边长为a ，则PD ＝DC ＝a ，BD ＝2a ，∴PB ＝PD 2＋BD 2＝3a ，PC ＝PD 2＋DC 2＝2a ，∴在Rt △PDB 中，DF ＝PD ·BD PB ＝a ·2a 3a ＝63a .又∵DE ＝12PC ＝22a ，∴在Rt△EFD 中，sin ∠EFD ＝DE DF ＝22a63a ＝32，∴∠EFD ＝60°.∴二面角C －PB －D 的大小是60°.。
2019—2020年最新苏教版高一数学必修二综合检测试题及答案解析.doc
（新课标）2018-2019学年苏教版高中数学必修二高一数学必修2综合练习题一.选择题1、若a ，b 是异面直线，直线c ∥a ，则c 与b 的位置关系是（ ）A 、 相交B 、 异面C 、 平行D 、异面或相交2、如图：直线L 1 的倾斜角α1=30０，直线 L 1⊥L 2 ，则L 2的斜率为（ ） Ａ、33- Ｂ、 33 Ｃ、3- Ｄ、3 ３、三个平面把空间分成７部分时，它们的交线有（ ）Ａ、１条 Ｂ、２条 Ｃ、３条 Ｄ、１或２条４、若Ａ（－２，３），Ｂ（３，－２），Ｃ（21，ｍ）三点共线 则ｍ的值为（ ） Ａ、21 Ｂ、21- Ｃ、－２ Ｄ、２ 5、直线032=--y x 与圆9)3()2(22=++-y x 交于Ｅ、F 两点，则∆EOF （O 为原点）的面积为（ ）A 、 23B 、 43C 、 52D 、 5566、下列四个结论：⑴两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行。
⑵两条直线没有公共点，则这两条直线平行。
⑶两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行。
⑷一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行。
其中正确的个数为（ ）A 、 0B 、 1C 、 2D 、 37、棱台上、下底面面积之比为1∶9,则棱台的中截面分棱台成两部分的体积之比是( )A 、 1∶7B 、2∶7C 、 7∶19D 、 5∶ 168、直线032=--y x 与圆9)3()2(22=++-y x 交于E 、F 两点，则∆EOF （O 是原点）的面积为（ ） Ａ、23 Ｂ、43 Ｃ、52 Ｄ、556 9、一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2ｃｍ，则球的表面积是（ ）Ａ、8Лｃｍ２ Ｂ、12Лｃｍ２ Ｃ、16Лｃｍ２ Ｄ、20Лｃｍ２10、已知在四面体ABCD 中，E 、F 分别是AC 、BD 的中点，若CD=2AB=4，EF ⊥AB ，则EF 与CD 所成的角为（ ）Ａ、90０Ｂ、45０ Ｃ、60０ Ｄ、30０ 11、圆：06422=+-+y x y x 和圆：0622=-+x y x 交于A 、B 两点，则AB 的垂直平分线的方程是（ ）A. x+y+3=0 B 、2x-y-5=0 C 、 3x-y-9=0 D 、4x-3y+7=012、圆：012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是（ ） A 、 2 B 、21+ C 、221+ D 、221+ 二.填空题13、与直线5247=+y x 平行，并且距离等于3的直线方程是14、已知：A （1，2，1），B （-1，3，4，），C （1，1，1，），PB AP 2=，则PC 长为15、四棱锥V-ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为5的等腰三角形，则二面角V-AB-C 的平面角为 度16、已知点M （a ，b ）在直线1543=+y x 上，则22b a +的最小值为三.解答题17、如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点。
2019-2020学年高中数学苏教版必修2章末综合测评2 Word版含解析
章末综合测评(二) 平面解析几何初步(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上) 1．直线l：x－3y＋1＝0的倾斜角为________．【解析】l：y＝33x＋33，k＝33，∴α＝30°.【答案】30°2．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为________．【解析】直线方程为y＝3x, 圆的方程化为x2＋(y－2)2＝22，∴r＝2，圆心(0,2)到直线y＝3x的距离为d＝1，∴半弦长为22－1＝3，∴弦长为23.【答案】233．(2016·常州高一检测)直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝1的位置关系是__________．【解析】圆心(0,1)到直线l的距离d＝|－1－m＋1|m2＋1＝|m|m2＋1<1＝r.故直线l与圆C相交．【答案】相交4．关于x的方程4－x2＝12(x－2)＋3解的个数为________个. 【导学号：60420097】【解析】作出y＝4－x2和y＝12(x－2)＋3＝12x＋2的图象．可看出直线与半圆有两个公共点．【答案】 25．若直线l与直线3x＋y－1＝0垂直，且它在x轴上的截距为－2，则直线l的方程为_______ _．【解析】因为直线3x＋y－1＝0的斜率为－3，所以直线l的斜率为13.又直线在x轴上的截距为－2，即直线l与x轴的交点为(－2,0)，所以直线l的方程为y－0＝13(x＋2)，即x－3y＋2＝0.【答案】x－3y＋2＝06．(2016·南京高一检测)若曲线(x－1)2＋(y－2)2＝4上相异两点P，Q关于直线kx－y－2＝0对称，则k的值为________ __．【解析】依题意得，圆心(1,2)在直线kx－y－2＝0上，于是有k－4＝0，解得k＝4.【答案】 47．已知点M(a，b)在直线3x＋4y＝15上，则a2＋b2的最小值为________．【解析】a2＋b2的最小值为原点到直线3x＋4y＝15的距离：d＝|0＋0－15|32＋42＝3.【答案】 38．空间直角坐标系中，点A(－3,4,0)和B(x，－1,6)的距离为86，则x的值为________．【解析】(x＋3)2＋(－1－4)2＋(6－0)2＝86，解得x＝2或－8.【答案】2或－89．直线l1：y＝x＋a和l2：y＝x＋b将单位圆C：x2＋y2＝1分成长度相等的四段弧，则a2＋b2＝________.【解析】依题意，不妨设直线y＝x＋a与单位圆相交于A，B两点，则∠AOB＝90°.如图，此时a＝1，b＝－1.满足题意，所以a2＋b2＝2.【答案】 210．在平面直角坐标系内，到点A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．【解析】设平面上的点为P，易知ABCD为凸四边形，设对角线AC与BD的交点为P′，则|P A|＋|PC|≥|AC|＝|AP′|＋|P′C|，|PB|＋|PD|≥|BD|＝|BP′|＋|P′D|，当且仅当P与P′重合时，上面两式等号同时成立，由AC和BD的方程解得P′(2,4)．【答案】 (2,4)11．若直线l 1：ax ＋3y ＋1＝0与l 2：2x ＋(a ＋1)y ＋1＝0平行，则l 1与l 2距离为________． 【解析】 由l 1∥l 2可知a2＝3a ＋1≠11，解得a ＝－3或a ＝2(舍)， ∴a ＝－3.∴l 1：－3x ＋3y ＋1＝0，即x －y －13＝0，l 2：2x －2y ＋1＝0，即x －y ＋12＝0，∴l 1与l 2间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪－13－122＝5212.【答案】521212．若圆O ：x 2＋y 2＝4与圆C ：x 2＋y 2＋4x －4y ＋4＝0关于直线l 对称，则直线l 的方程是__________．【解析】 由圆C 的方程x 2＋y 2＋4x －4y ＋4＝0可得圆心C (－2,2)，由题意知直线l 过OC 的中点(－1,1)，又直线OC 的斜率为－1，故直线l 的斜率为1，所以直线l 的方程为y －1＝x ＋1，即x －y ＋2＝0.【答案】 x －y ＋2＝013．过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为________．【解析】 设P (3,1)，圆心C (1,0)，切点为A 、B ，则P 、A 、C 、B 四点共圆，且PC 为圆的直径，∴四边形P ACB 的外接圆方程为(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y －122＝54，①圆C ：(x －1)2＋y 2＝1，②①－②得2x ＋y －3＝0，此即为直线AB 的方程． 【答案】 2x ＋y －3＝014．设集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}，B ＝{(x ，y )|(x －1)2＋(y －1)2≤r 2(r >0)}，当A ∩B ＝B 时，r 的取值范围是________．【解析】 ∵A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}，B ＝{(x ，y )|(x －1)2＋(y －1)2≤r 2(r >0)}均表示圆及其内部的点，由A ∩B ＝B 可知两圆内含或内切．∴2≤2－r ，即0<r ≤2－2.【答案】 (0,2－2]二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分14分)已知圆C 的方程为：x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0， (1)求m 的取值范围；(2)若直线x －2y －1＝0与圆C 相切，求m 的值．【解】 (1)由圆的方程的要求可得，22＋42－4m ＞0，∴m ＜5. (2)圆心(1,2)，半径r ＝5－m ，因为圆和直线相切，所以有错误!＝错误!， 所以m ＝95.16．(本小题满分14分)直线l 在两坐标轴上的截距相等，且P (4,3)到直线l 的距离为32，求直线l 的方程．【解】 若l 在两坐标轴上截距为0， 设l ：y ＝kx ，即kx －y ＝0，则|4k －3|1＋k2＝32.解得k ＝－6±3214.此时l 的方程为y ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫－6±3214x ； 若l 在两坐标轴上截距不为0， 设l ：xa ＋ya＝1，即x ＋y －a ＝0，则|4＋3－a|12＋12＝32.解得a ＝1或13.此时l 的方程为x ＋y －1＝0或x ＋y －13＝0.综上，直线l 的方程为y ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫－6±3214x 或x ＋y －1＝0或x ＋y －13＝0. 17．(本小题满分14分)一个长方体的8个顶点坐标分别为(0,0,0)，(0,1,0)，(3,0,0)，(3,1,0)，(3,1,9)，(3,0,9)，(0,0,9)，(0,1,9)．(1)在空间直角坐标系中画出这个长方体； (2)求这个长方体外接球的球心坐标； (3)求这个长方体外接球的体积． 【解】 (1)如图．(2)因为长方体的体对角线长是其外接球的直径， 所以球心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3＋02，0＋12，0＋92，即⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，12，92. (3)因为长方体的体对角线长d ＝错误!＝错误!， 所以其外接球的半径r ＝d2＝912. 所以其外接球的体积V 球＝43πr 3＝43π⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫9123＝91π691.18．(本小题满分16分)已知圆C 的圆心与P (0,1)关于直线y ＝x ＋1对称，直线3x ＋4y ＋1＝0与圆C 相交于E ，F 两点，且|AB |＝4.(1)求圆C 的标准方程；(2)设直线l ：mx －y ＋1－m ＝0(m ∈R )与圆C 的交点A ，B ，求弦AB 的中点M 的轨迹方程． 【解】 (1)点P (0,1)是关于直线y ＝x ＋1的对称点，即圆心C 的坐标为(0,1)， 圆心C 到直线3x ＋4y ＋1＝0的距离为d ＝|0＋4＋1|5＝1.所以r 2＝12＋22＝5，得圆C 的方程为x 2＋(y －1)2＝5. (2)联立得错误!消去y ，得(1＋m 2)x 2－2m 2x ＋m 2－5＝0.由于Δ＝4m 4－4(1＋m 2)(m 2－5)＝16m 2＋20>0，故l 与圆C 必交于两点．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则错误!消去m ，得⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x0－122＋(y 0－1)2＝14.∴M 点的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －122＋(y －1)2＝14.19．(本小题满分16分)(2016·盐城月考)已知M 为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点，且点Q (－2,3)．(1)求|MQ |的最大值和最小值； (2)若M (m ，n )，求n －3m ＋2的最大值和最小值．【解】 (1)由题意知，圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －7)2＝8，∴圆心C 的坐标为(2,7)，半径r ＝22.又|QC |＝错误!＝4错误!>2错误!， ∴|MQ |max ＝42＋22＝62，|MQ |min ＝42－22＝22.(2)因为n －3m ＋2表示直线MQ 的斜率，所以设直线MQ 的方程为y －3＝k (x ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫k ＝n －3m ＋2， 即kx －y ＋2k ＋3＝0.由题意知直线MQ 与圆C 有交点， 所以|2k －7＋2k ＋3|1＋k2≤22，解得2－3≤k ≤2＋3，所以n －3m ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－3.20．(本小题满分16分)如图1，已知△ABC 中A (－8,2)，AB 边上的中线CE 所在直线的方程为x ＋2y －5＝0，AC 边上的中线BD 所在直线的方程为2x －5y ＋8＝0，求直线BC 的方程．图1【解】 设B (x 0，y 0)，则AB 中点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x0－82，y0＋22，由条件可得： ⎩⎪⎨⎪⎧2x0－5y0＋8＝0，x0－82＋2·y0＋22－5＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧2x0－5y0＋8＝0，x0＋2y0－14＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x0＝6，y0＝4，即B (6,4)，同理可求得C 点的坐标为(5,0)． 故所求直线BC 的方程为y －04－0＝x －56－5，即4x －y －20＝0.。
2019—2020年最新苏教版高中数学必修二全册综合试题试题及答案答案解析.docx
（新课标）2018-2019学年苏教版高中数学必修二综合检测一、填空题1． 已知直线m 、n 与平面α、β，给出下列三个命题：①若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ；②若m ∥α，n ⊥α，则n ⊥m ；③若m ⊥α，m ∥β，则α⊥β.其中正确命题的个数是________．2． 已知点A (1,2，－1)，点C 与点A 关于平面xOy 对称，点B 与点A 关于x 轴对称，则线段BC 的长为________．3． 垂直于梯形两腰的直线与梯形两底所在平面的位置关系是________．4． 直线3ax －y －1＝0与直线(a －23)x ＋y ＋1＝0垂直，则a 的值是________． 5． 在平面直角坐标系xOy 中，直线3x ＋4y －5＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A 、B 两点，则弦AB 的长等于________．6． 若经过点(3，a )、(－2,0)的直线与经过点(3，－4)且斜率为12的直线垂直，则a 的值为_______．7． 圆C 1：(x －3)2＋(y －4)2＝16与圆C 2：x 2＋y 2＝m 内切，则实数m ＝________.8． 如图，在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB 1、BC 1的中点，则下列结论不成立的是________．①EF 与BB 1垂直； ②EF 与BD 垂直；③EF 与CD 异面； ④EF 与A 1C 1异面．9．已知点P在z轴上，且满足PO＝1(O是坐标原点)，则点P到点A(1,1,1)的距离是________．10．设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1，2和a，且长为a的棱与长为2的棱异面，则a的取值范围是________．11．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱CD、CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是________．12．已知直线l1的倾斜角为60°，直线l2经过点A(1，3)，B(－2，－23)，则直线l1，l2的位置关系是________．13．过直线x＋y－22＝0上点P作圆x2＋y2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P的坐标是________．14．已知正三棱锥P－ABC，点P，A，B，C都在半径为3的球面上，若PA，PB，PC两两相互垂直，则球心到截面ABC的距离为________．二、解答题15．两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(－3，－1)，并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.求：(1)d的变化范围；(2)当d取最大值时，两条直线的方程．16．如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，过E点作EF⊥PB交PB于点F.求证：(1)PA∥平面EDB；(2)PB⊥平面EFD.17．已知圆C：x2＋y2－4x－6y＋12＝0，点A(3,5)．(1)求过点A的圆的切线方程；(2)O点是坐标原点，连结OA，OC，求△AOC的面积S.18．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE.(1)证明：BD⊥平面PAC；(2)若PA＝1，AD＝2，求二面角B－PC－A的正切值．19．已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，且截距不为零，求此切线的方程；(2)从圆C外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有PM＝PO，求使得PM取得最小值的点P的坐标．20．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝4，BC＝3，AD＝5，∠DAB＝∠ABC＝90°，E是CD的中点．(1)证明：CD⊥平面PAE；(2)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P－ABCD的体积．答案1．22．43．垂直4．－13或15．2 36．－107．818．④ 9.6或 210．(0，2)11．90°12．平行或重合13．(2，2) 14.3315．解 (1)如图所示，显然有0<d ≤AB .而AB ＝(6＋3)2＋(2＋1)2＝310.故所求的d 的变化范围为(0,310]．(2)由图可知，当d 最大时，两直线垂直于AB .而k AB ＝2－(－1)6－(－3)＝13，∴所求的直线的斜率为－3.故所求的直线方程分别为y －2＝－3(x －6)和y ＋1＝－3(x ＋3)，即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.16．证明(1)如图所示，连结AC，AC交BD于点O，连结EO.∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点．在△PAC中，EO是中位线，∴PA∥EO.而EO⊂平面EDB且PA⊄平面EDB，∴PA∥平面EDB.(2)∵PD⊥底面ABCD，且DC⊂平面ABCD，∴PD⊥DC.∵PD＝DC，∴△PDC是等腰直角三角形．又DE是斜边PC的中线，∴DE⊥PC.①由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC.∵底面ABCD是正方形，∴DC⊥BC.又PD∩DC＝D，∴BC⊥平面PDC.又DE⊂平面PDC，∴BC⊥DE.②由①和②推得DE⊥平面PBC.而PB⊂平面PBC，∴DE⊥PB.又EF⊥PB，且DE∩EF＝E，∴PB⊥平面EFD.17．解(1)⊙C：(x－2)2＋(y－3)2＝1.①当切线的斜率不存在时，有直线x＝3，C(2,3)到直线的距离为1，满足条件．②当k存在时，设直线方程为y－5＝k(x－3)，即kx－y＋5－3k＝0，故|－k＋2|k2＋1＝1，得k＝34.∴方程为y －5＝34(x －3)，即3x －4y ＋11＝0.综上，所求直线方程为x ＝3或3x －4y ＋11＝0.(2)AO ＝9＋25＝34，l AO ：5x －3y ＝0，点C 到直线OA 的距离d ＝134，S ＝12d ·AO ＝12.18．(1)证明 ∵PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥BD .同理由PC ⊥平面BDE 可证得PC ⊥BD .又PA ∩PC ＝P ，∴BD ⊥平面PAC .(2)解 如图，设BD 与AC 交于点O ，连结OE .∵PC ⊥平面BDE ，BE 、OE ⊂平面BDE .∴PC ⊥BE ，PC ⊥OE .∴∠BEO 即为二面角B －PC －A 的平面角．由(1)知BD ⊥平面PAC .又OE 、AC ⊂平面PAC ，∴BD ⊥OE ，BD ⊥AC .故矩形ABCD 为正方形，∴BD ＝AC ＝22，BO ＝12BD ＝ 2.由PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD 得PA ⊥BC .又BC ⊥AB ，PA ∩AB ＝A ，∴BC ⊥平面PAB .而PB ⊂平面PAB ，∴BC ⊥PB .在Rt △PAB 中，PB ＝PA 2＋AB 2＝5，在Rt △PAC 中，PC ＝PA 2＋AC 2＝3.在Rt △PBC 中，由PB ·BC ＝PC ·BE 得BE ＝253. 在Rt △BOE 中，OE ＝BE 2－BO 2＝23. ∴tan ∠BEO ＝BOOE ＝3，即二面角B －PC －A 的正切值为3.19．解 (1)∵切线在两坐标轴上的截距相等且截距不为零，∴设切线方程为x ＋y ＝a (a ≠0)，又∵圆C ：(x ＋1)2＋(y －2)2＝2，∴圆心C (－1,2)到切线的距离等于圆的半径2， ∴|－1＋2－a |2＝2⇒a ＝－1，或a ＝3，则所求切线的方程为：x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0.(2)∵切线PM 与半径CM 垂直，∴PM 2＝PC 2－CM 2，∴(x 1＋1)2＋(y 1－2)2－2＝x 21＋y 21， ∴2x 1－4y 1＋3＝0，∴动点P 的轨迹是直线2x －4y ＋3＝0.PM 的最小值就是PO 的最小值，而PO 的最小值为O 到直线2x －4y ＋3＝0的距离d＝3510，此时点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－310，35.20．(1)证明 如图，连结AC .由AB ＝4，BC ＝3，∠ABC ＝90°得AC ＝5.又AD ＝5，E 是CD 的中点，所以CD ⊥AE .因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥CD .而PA ，AE 是平面PAE 内的两条相交直线，所以CD ⊥平面PAE .(2)解 过点B 作BG ∥CD ，分别与AE ，AD 相交于点F ，G ，连结PF .由(1)CD ⊥平面PAE 知，BG ⊥平面PAE .于是∠BPF 为直线PB 与平面PAE 所成的角，且BG ⊥AE .由PA ⊥平面ABCD 知，∠PBA 为直线PB 与平面ABCD 所成的角． 由题意得∠PBA ＝∠BPF ，因为sin ∠PBA ＝PA PB ，sin ∠BPF ＝BF PB ， 所以PA ＝BF .由∠DAB ＝∠ABC ＝90°知，AD ∥BC .又BG ∥CD ，所以四边形BCDG 是平行四边形．故GD ＝BC ＝3.于是AG ＝2.在Rt △BAG 中，AB ＝4，AG ＝2，BG ⊥AF ，所以BG ＝AB 2＋AG 2＝25，BF ＝AB 2BG ＝1625＝855. 于是PA ＝BF ＝855.又梯形ABCD 的面积为S ＝12×(5＋3)×4＝16， 所以四棱锥P －ABCD 的体积为V ＝13×S ×PA ＝13×16×855＝128515.。
2019—2020年最新苏教版高中数学必修二章末质量评估2及答案解析.docx
（新课标）2019—2020学年苏教版高中数学必修二章末质量评估(二)(时间：120分钟满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．与y轴垂直的直线L，它的倾斜角是________．解析画出直线L，它与x轴平行或就是x轴，故倾斜角为0°.答案0°2．下列命题：①每条直线都有唯一一个倾斜角与之对应，也有唯一一个斜率与之对应；②倾斜角的范围是：0°≤α＜180°，且当倾斜角增大时，斜率也增大．其中错误的有________(填序号)．解析①当倾斜角为90°时，斜率不存在；故①是错误的．②当倾斜角由锐角增大为钝角时，斜率由正数变化为负数；故②也是错误的．答案①，②3．已知过P(－2，m)和Q(m,4)两点的直线斜率等于1，那么m的值为________．解析由直线的斜率定义得k＝4－mm－(－2)＝1，解得m＝1.答案 14．过点(3,1)在两坐标轴上的截距相等的直线方程是________．解析(1)若截距为0，设直线方程为y＝kx.∵直线过点(3,1)，∴1＝k ×3.∴k ＝13，∴直线方程为y ＝13x ；(2)若截距不为0，设在x 轴上截距为a ，则在y 轴上截距也为a ，直线方程为x a ＋ya＝1，∵直线过点(3,1)，∴3a ＋1a＝1，解得a ＝4，∴直线方程为y ＝－x ＋4；综上，所求直线方程为y ＝x3或y ＝－x ＋4.答案 y ＝x3或y ＝－x ＋45．若直线x ＋ay －a ＝0与直线ax －(2a －3)y －1＝0垂直，则a 的值为________．解析 由A 1A 2＋B 1B 2＝0得， 1×a ＋a [－(2a －3)]＝0 得a ＝2或a ＝0. 答案 2或06．已知点(x 0，y 0)在直线ax ＋by ＝0(a ，b 为常数)上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2的最小值为________．解析(x 0－a )2＋(y 0－b )2可看作点(x 0，y 0)与点(a ，b )的距离，而点(x 0，y 0)在直线ax ＋by ＝0上，所以(x 0－a )2＋(y 0－b )2的最小值为点(a ，b )到直线ax ＋by ＝0的距离|a ·a ＋b ·b |a 2＋b2＝a 2＋b 2.答案a 2＋b 27．当圆x 2＋y 2＋2x ＋ky ＋k 2＝0的面积最大时，圆心坐标是________． 解析 r 2＝4＋k 2－4k 24＝1－34k 2，∴当k ＝0时，r 2最大，从而圆的面积最大．此时圆心坐标为(－1,0)．答案 (－1,0)8．圆x 2＋y 2－8x ＋6y ＋16＝0与圆x 2＋y 2＝64的位置关系是________． 解析 圆x 2＋y 2－8x ＋6y ＋16＝0即为(x －4)＋(y ＋3)2＝9，故圆心为(4，－3)，半径为3，而圆x 2＋y 2＝64的圆心为(0,0)，半径为8；故两圆的圆心距为d ＝42＋32＝5，半径之差为R －r ＝5，故圆心距d ＝R －r ，所以两圆内切．答案 内切9．若过点A (4,0)的直线l 与曲线(x －2)2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为________．解析 依题意，设直线l 的方程是y ＝k (x －4)，即kx －y －4k ＝0，因此由题意得圆心(2,0)到直线l 的距离不超过该圆的半径，即有|2k －4k |k 2＋1≤1，由此解得－33≤k ≤33. 答案 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－33，33 10．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x ＋ay －3＝0(a 为实数)上任意一点关于直线l ：x －y ＋2＝0的对称点都在圆C 上，则a ＝________.解析 ∵圆C ：x 2＋y 2＋2x ＋ay －3＝0(a 为实数)的圆心为C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1，－a 2，且圆C 上任意一点关于直线l 的对称点都在圆C 上，∴点C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1，－a 2在直线l 上．∴－1＋a 2＋2＝0，解得a ＝－2.答案 －211．已知点P (－1,1)和点Q (2,2)，若直线l ：x ＋my ＋m ＝0与线段PQ 不相交，则实数m 的取值范围是________．解析 如图，因为直线l ：x ＋my ＋m ＝0斜率为－1m，且恒过点A (0，－1)，直线l 与线段PQ 不相交，即将图中的直线AQ 顺时针旋转到AP 位置，这个过程中的所有直线都是符合条件的直线l ；故符合条件的直线l 的斜率范围是(k AP ，k AQ )，即k AP ＜－1m ＜k AQ ，而k AP ＝1－(－1)－1－0＝－2，k AQ ＝2－(－1)2－0＝32，故－2＜－1m ＜32，解得实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞，－23∪⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，＋∞.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞，－23∪⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，＋∞12．直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0(a ＜3)相交于两点A 、B ，弦AB 的中点为(0,1)，则直线l 的方程为________．解析 由已知条件得圆心坐标为(－1,2)，圆心与AB 中点连线的斜率k 1＝2－1－1－0＝－1，连线与AB 垂直，故直线L 的斜率k 满足k ·k 1＝－1，即k ＝1，故L 的方程为y －1＝1·(x －0)，即为x －y ＋1＝0.答案 x －y ＋1＝013．已知圆的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，且与直线3x ＋4y ＋4＝0相切，则圆的方程是________．解析 设圆心坐标为(a,0)(a ＞0)，由直线3x ＋4y ＋4＝0与圆相切，可得圆心到直线3x ＋4y ＋4＝0的距离d ＝|3a ＋4|32＋42＝|3a ＋4|5＝2，解得a ＝2或a ＝－143(舍去)，故所求的圆的方程为(x －2)2＋y 2＝4，即x 2＋y 2－4x ＝0. 答案 x 2＋y 2－4x ＝014．若直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝1相交于P 、Q 两点，且∠POQ ＝120°(其中O 为原点)，则k 的值为________．解析 如图所示，过O 作OS ⊥PQ 于S ，由∠POQ ＝120°，结合图形可求得圆心O 到直线y ＝kx ＋1的距离OS ＝12，再由点到直线的距离公式，得1k 2＋1＝12，解得k ＝± 3.答案 －3或 3二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(本小题满分14分)已知两直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，当m 为何值时，直线l 1与l 2：(1)相交；(2)平行；(3)垂直． 解 由A 1B 2＝A 2B 1得 1×3＝m (m －2) 解之：m ＝－1 m ＝3当m ＝－1时，⎩⎪⎨⎪⎧直线l 1：x －y ＋6＝0直线l 2：3x －3y ＋2＝0∴l 1∥l 2当m ＝3时，⎩⎪⎨⎪⎧直线l 1：x ＋3y ＋6＝0直线l 2：x ＋3y ＋6＝0∴l 1与l 2重合．因此，当m ≠－1且m ≠3时，l 1与l 2相交， 又因A 1A 2＋B 1B 2＝0得， 1×(m －2)＋m ×3＝0 ∴m ＝12.∴当m ＝12时，直线l 1与l 2垂直．16．(本小题满分14分)一圆过点(1,3)，且在x 轴上的截距之和为2，在y 轴上的截距之积为－2，求此圆方程．解 设此圆方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)， ∵圆过点(1,3)，∴1＋9＋D ＋3E ＋F ＝0①∵圆在x 轴上的截距之和为2，∴令y ＝0得方程x 2＋Dx ＋F ＝0的两根之和为2， 即－D ＝2；②∵圆在y 轴上的截距之积为－2，∴令x ＝0得方程y 2＋Ey ＋F ＝0的两根之积为－2，即F ＝－2；③ 由①②③解得D ＝－2，E ＝－2，F ＝－2； ∴此圆方程为x 2＋y 2－2x －2y －2＝0.17．(本小题满分14分)直线l 经过点P (－5，－4)，且与两坐标轴围成的三角形面积为5，求直线l 的方程．解 设所求直线l 的方程为x a ＋yb＝1∵直线l 过点P (－5，－4)，∴－5a ＋－4b＝1，即4a ＋5b ＝－ab .又由已知有12|a ||b |＝5，即|ab |＝10，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋5b ＝－ab ，|ab |＝10，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－52，b ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2，故所求直线l 的方程为：x －52＋y 4＝1，或x5＋y－2＝1；即为8x －5y ＋20＝0，或2x －5y －10＝0.18．(本小题满分16分)已知直线(m ＋2)x －(2m －1)y －3(m －4)＝0.(1)求证：不论m 怎样变化，直线恒过定点； (2)求原点(0,0)到直线的距离的最大值．(1)证明 直线方程变形为m (x －2y －3)＋2x ＋y ＋12＝0，则由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －3＝0，2x ＋y ＋12＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－215，y ＝－185，∴不论m 怎样变化，直线恒过定点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－215，－185.(2)解 原点(0,0)到直线距离的最大值，即为原点(0,0)到直线所恒过的定点⎝⎛⎭⎪⎪⎫－215，－185的距离d .而d ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2152＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1852＝3855，所以原点(0,0)到直线距离的最大值为3855. 19．(本小题满分16分)已知：以点C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫t ，2t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O ，A ，与y 轴交于点O ，B ，其中O 为原点．(1)求证：△OAB 的面积为定值；(2)设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M ，N ，若OM ＝ON ，求圆C 的方程． 解 (1)∵圆C 过原点O ，∴OC 2＝t 2＋4t 2.设圆C 的方程是(x －t )2＋⎝⎛⎭⎪⎪⎫y －2t 2＝t 2＋4t 2令x ＝0，得y 1＝0，y 2＝4t；令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t∴S △OAB ＝12OA ×OB ＝12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪4t ×|2t |＝4，即△OAB 的面积为定值．(2)∵OM ＝ON ，CM ＝CN ，∴OC 垂直平分线段MN . ∵k MN ＝－2，k OC ＝12∴直线OC 的方程是y ＝12x .∴2t ＝12t ，解得：t ＝2或t ＝－2 当t ＝2时，圆心C 的坐标为(2,1)，OC ＝5，此时C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝95＜5，圆C 与直线y ＝－2x ＋4相交于两点．当t ＝－2时，圆心C 的坐标为(－2，－1)，OC ＝5，此时C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝95＞5，圆C 与直线y ＝－2x ＋4不相交，∴t ＝－2不符合题意舍去．∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.20．(本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中，设二次函数f (x )＝x 2＋2x ＋b (x ∈R )的图象与两个坐标轴有三个交点，经过这三点的圆记为C .(1)求实数b 的取值范围； (2)求圆C 的方程；(3)问圆C 是否经过定点(其坐标与b 无关)？请证明你的结论．解 (1)显然b ≠0，否则，二次函数f (x )＝x 2＋2x ＋b 的图象与两个坐标轴只有两个交点(0,0)(－2,0)，这与题设不符．由b ≠0知，二次函数f (x )＝x 2＋2x ＋b 的图象与y 轴有一个非原点的交点(0，b )，故它与x 轴必有两个交点，从而方程x 2＋2x ＋b ＝0有两个不相等的实数根，因此方程的判别式4－4b ＞0，即b ＜1. 所以b 的取值范围是(－∞，0)∪(0,1)． (2)由方程x 2＋2x ＋b ＝0，得x ＝－1±1－b .于是二次函数f (x )的图象与坐标轴的交点是(－1－1－b ，0)，(－1＋1＋b ，0)，(0，b )．设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.因圆C 过上述三点，将它们的坐标分别代入圆C 的方程，得⎩⎨⎧(－1－1－b )2＋D (－1－1－b )＋F ＝0，(－1＋1－b )2＋D (－1＋1－b )＋F ＝0，b 2＋Eb ＋F ＝0.解上述方程组，因b ≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝2，E ＝－(b ＋1)，F ＝b .所以圆C 的方程为x 2＋y 2＋2x －(b ＋1)y ＋b ＝0.(3)圆C 过定点．证明如下：设圆C 过定点(x 0，y 0)(x 0，y 0不依赖于b )，将该点的坐标代入圆C 的方程，并变形为x 20＋y 20＋2x 0－y 0＋b (1－y 0)＝0.(*)为使(*)式对所有满足b ＜1(b ≠0)的b 都成立，必须有1－y 0＝0，结合(*)式，得x 20＋y 20＋2x 0－y 0＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝0，y 0＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝－2，y 0＝1.经检验知，点(0,1)，(－2,1)均在圆C 上．所以圆C 过定点．。
2019-2020学年高中数学(苏教版必修2)同步文档：章末综合测评(一) 立体几何初步 Word版含解析
章末综合测评(一) 立体几何初步(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上) 1．给出下列命题：(1)若两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面； (2)若两个平面平行，那么垂直于其中一个平面的直线一定垂直于另一个平面； (3)若两个平面垂直，那么垂直于其中一个平面的直线一定平行于另一个平面； (4)若两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面． 其中真命题的序号为__________．【解析】 (1)因为两个平面平行，所以两个平面没有公共点，即其中一个平面内的直线与另一个平面也没有公共点，由直线与平面平行的判定定理可得直线与该平面平行，所以(1)正确．(2)因为该直线与其中一个平面垂直，那么该直线必与其中两条相交直线垂直，又两个平面平行，故另一个平面也必定存在两条相交直线与该直线垂直，所以该直线与另一个平面也垂直，故(2)正确．(3)错，反例：该直线可以在另一个平面内．(4)错，反例：其中一个平面内也存在直线与另一个平面平行． 综上：(1)(2)为真命题． 【答案】 (1)(2)2．在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，当底面四边形ABCD 满足条件________时，有A 1C ⊥B 1D 1(注：填上你认为正确的一种即可，不必考虑所有可能的情形)．【解析】 若有AC ⊥BD ，则A 1C 1⊥B 1D 1. 又∵CC 1⊥B 1D 1，A 1C 1∩CC 1＝C 1，∴B 1D 1⊥平面A 1C 1C ，∴B 1D 1⊥A 1C ，故条件可填AC ⊥BD . 【答案】 AC ⊥BD (答案不唯一)3．棱长为1的正四面体内有一点P ，由点P 向各个面引垂线，垂线段分别为d 1，d 2，d 3，d 4，则d 1＋d 2＋d 3＋d 4的值为________．【解析】 设四面体的高为h ，则h ＝12－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23×32×12＝63，13Sh ＝13S (d 1＋d 2＋d 3＋d 4)， ∴d 1＋d 2＋d 3＋d 4＝h ＝63.【答案】 634．体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积为__________．【解析】 设圆锥的体积为x ，则x －52x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫133，解得x ＝54.【答案】 545．已知正四棱锥O －ABCD 的体积为322，底面边长为3，则以O 为球心，OA 为半径的球的表面积为________.【导学号：41292058】【解析】 V 四棱锥O －ABCD ＝13×3×3h ＝322，得h ＝322，∴OA 2＝h 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AC 22＝184＋64＝6.∴S 球＝4πOA 2＝24π. 【答案】 24π6．若l ，m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l ⊥m ”是“l ∥α”的________条件． 【解析】 ∵m ⊥α，若l ∥α，则必有l ⊥m ，即l ∥α⇒l ⊥m . 但l ⊥mD ⇒/l ∥α，∵l ⊥m 时，l 可能在α内． 故“l ⊥m ”是“l ∥α”的必要而不充分条件． 【答案】 必要不充分7．如图1所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱AA 1和AB 上的点，若∠B 1MN 是直角，则∠C 1MN 等于________．图1【解析】 ∵B 1C 1⊥平面A 1ABB 1， MN ⊂平面A 1ABB 1，∴B 1C 1⊥MN ，又∠B 1MN 为直角． ∴B 1M ⊥MN ，而B 1M ∩B 1C 1＝B 1.∴MN ⊥平面MB 1C 1.又MC 1⊂平面MB 1C 1， ∴MN ⊥MC 1，∴∠C 1MN ＝90°. 【答案】 90°8．设l 为直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是________．①若l ∥α，l ∥β，则α∥β；②若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β；③若l ⊥α，l ∥β，则α∥β；④若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β.【解析】 对于①，若l ∥α，l ∥β，则α和β可能平行也可能相交，故错误； 对于②，若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β，故正确； 对于③，若l ⊥α，l ∥β，则α⊥β，故错误；对于④，若α⊥β，l ∥α，则l 与β的位置关系有三种可能：l ⊥β，l ∥β，l ⊂β，故错误．故选②.【答案】 ②9．如图2，在空间四边形ABCD 中，E ，H 分别是AB ，AD 的中点，F ，G 分别是CB ，CD 上的点，且CF CB＝CG CD＝23，若BD ＝6cm ，梯形EFGH 的面积为28cm 2，则平行线EH ，FG 间的距离为__________cm.图2【解析】 由题知，EH ＝12BD ＝3 cm ，FG ＝23BD ＝4 cm.设平行线EH ，FG 之间距离为d ，则12×(3＋4)×d ＝28，解得d ＝8 cm. 【答案】 810．在四棱锥P －ABCD 中，P A⊥平面ABCD ，且P A ＝AD ，四边形ABCD 是正方形，E 是PD 的中点，则AE 与PC 的位置关系为________．【解析】 易知CD ⊥AE ，AE ⊥PD ，则AE ⊥平面PCD ，所以AE ⊥PC . 【答案】 垂直11．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，过点A 作平面A 1BD 的垂线，垂足为点H .以下结论中，错误的是________．①点H 是△A 1BD 的垂心； ②AH ⊥平面CB 1D 1； ③AH 的延长线经过点C 1； ④直线AH 和BB 1所成的角为45°.【解析】 因为AH ⊥平面A 1BD ，BD ⊂平面A 1BD ， 所以BD ⊥AH .又BD ⊥AA 1，且AH ∩AA 1＝A . 所以BD ⊥平面AA 1H . 又A 1H ⊂平面AA 1H .所以A 1H ⊥BD ，同理可证BH ⊥A 1D ， 所以点H 是△A 1BD 的垂心，①正确． 因为平面A 1BD ∥平面CB 1D 1， 所以AH ⊥平面CB 1D 1，②正确．易证AC 1⊥平面A 1BD .因为过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，所以AC 1和AH 重合．故③正确．因为AA 1∥BB 1，所以∠A 1AH 为直线AH 和BB 1所成的角． 因为∠A 1AH ≠45°，故④错误． 【答案】 ④12．如图3所示，直线P A 垂直于⊙O 所在的平面，△ABC 内接于⊙O ，且AB 为⊙O 的直径，点M 为线段PB 的中点．现有结论：图3①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③点B到平面P AC的距离等于线段BC的长．其中正确的序号是________．【解析】对于①，∵P A⊥平面ABC，∴P A⊥BC，∵AB为⊙O的直径，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面P AC.又PC⊂平面P AC，∴BC⊥PC，故①正确；对于②，∵点M为线段PB的中点，∴OM∥P A.∵P A⊂平面P AC，∴OM∥平面P AC，故②正确；对于③，由①知BC⊥平面P AC，∴线段BC的长即是点B到平面P AC的距离，故③正确．【答案】①②③13．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A－BD－C，有如下四个结论：①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③二面角A－BC－D的度数为60°；④AB与CD所成的角是60°.其中正确结论的序号是________．【解析】如图(1)(2)所示，取BD的中点O，连结AO，OC，易知AO⊥BD且CO⊥BD，AO∩OC＝O，故BD⊥平面AOC，∴BD⊥AC，故①正确．设正方形ABCD 的边长为1，易知AO ＝OC ＝22.又由题意可知∠AOC ＝90°，故AC ＝1.所以AC ＝AD ＝DC ，所以△ACD 是等边三角形，故②正确．取BC 的中点E ，连结OE ，AE ，则∠AEO 即为二面角A －BC －D 的平面角， ∴tan ∠AEO ＝AOOE＝2，(3)故③不正确．对于④，如图(3)所示，取AC 的中点F ，连结OF ，EF ，OE ，则OE∥CD ，EF∥AB ，则∠FEO 即为异面直线AB 与CD 所成的角．又在△AOC 中，OF ＝12，故EF ＝OE ＝OF ，∴AB 与CD 所成的角为60°，故④正确．综上可知①②④正确． 【答案】 ①②④14．如图4所示，三棱锥A －BCD 的底面是等腰直角三角形，AB ⊥平面BCD ，AB ＝BC ＝BD ＝2，E 是棱CD 上的任意一点，F ，G 分别是AC ，BC 的中点，则在下面命题中：①平面ABE ⊥平面BCD ； ②平面EFG ∥平面ABD ；③四面体FECG体积的最大值是1 3 .其中为真命题的是__________．(填序号)【导学号：41292059】图4【解析】①正确，因为AB⊥平面BCD，且AB⊂平面ABE，由面面垂直的判定定理可知平面ABE⊥平面BCD；②错，若两平面平行，则必有AD∥EF，而点E是棱CD上任意一点，故该命题为假命题；③正确，由已知易得GF⊥平面GCE，且GF＝12AB＝1，而S△GCE＝12GC·CE·sin45°＝24CE≤1，故V F－GCE＝13S△GCE·FG≤13.故正确的命题为①③.【答案】①③二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)图515．(本小题满分14分)如图5，正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为a，连结A′C′，A ′D，A′B，BD，BC′，C′D，得到一个三棱锥．求：(1)三棱锥A′－BC′D的表面积与正方体表面积的比值；(2)三棱锥A′－BC′D的体积．【解】(1)∵ABCD－A′B′C′D′是正方体，∴六个面是互相全等的正方形，∴A′C′＝A′B＝A′D＝BC′＝BD＝C′D＝2a，∴S 三棱锥＝4×34×(2a )2＝23a 2，S 正方体＝6a 2，∴S 三棱锥S 正方体＝33. (2)显然，三棱锥A ′－ABD ，C ′－BCD ，D －A ′D ′C ′，B －A ′B ′C ′是完全一样的， ∴V 三棱锥A ′－BC ′D ＝V 正方体－4V 三棱锥A ′－ABD ＝a 3－4×13×12a 2×a ＝13a 3.16．(本小题满分14分)如图6所示，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为AB ，A 1D 1的中点，判断MN 与平面A 1BC 1的位置关系，并说明理由．图6【解】 直线MN ∥平面A 1BC 1. 证明如下：∵M ∉平面A 1BC 1，N ∉平面A 1BC 1. ∴MN ⊄平面A 1BC 1. 如图，取A 1C 1的中点O 1， 连结NO 1，BO 1.∵NO 1綊12D 1C 1，MB 綊12D 1C 1，∴NO 1綊MB ， ∴四边形NO 1BM 为平行四边形， ∴MN ∥BO 1.又∵BO 1⊂平面A 1BC 1， ∴MN ∥平面A 1BC 1.17．(本小题满分14分)如图7，圆锥的轴截面SAB 为等腰直角三角形，Q 为底面圆周上一点．图7(1)若QB 的中点为C ，求证：平面SOC ⊥平面SBQ ； (2)若∠AOQ ＝120°，QB ＝3，求圆锥的表面积．【解】 (1)∵SQ ＝SB ，OQ ＝OB ，C 为QB 的中点， ∴QB ⊥SC ，QB ⊥OC . ∵SC ∩OC ＝C ， ∴QB ⊥平面SOC . 又∵QB ⊂平面SBQ ， ∴平面SOC ⊥平面SBQ . (2)∵∠AOQ ＝120°，QB ＝3，∴∠BOQ ＝60°，即△OBQ 为等边三角形， ∴OB ＝3.∵△SAB 为等腰直角三角形，∴SB ＝6，∴S 侧＝3·6π＝32π， ∴S 表＝S 侧＋S 底＝32π＋3π＝(3＋32)π.图818．(本小题满分16分)如图8所示，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO ⊥底面ABCD ，底面边长为a ，E 是PC 的中点．(1)求证：P A ∥平面BDE ； (2)求证：平面P AC ⊥平面BDE ；(3)若二面角E －BD －C 为30°，求四棱锥P －ABCD 的体积． 【解】 (1)证明：连结OE ，如图所示．∵O ，E 分别为AC ，PC 的中点， ∴OE ∥P A .∵OE ⊂平面BDE ，P A ⊄平面BDE ，∴P A ∥平面BDE . (2)证明：∵PO ⊥平面ABCD ，∴PO ⊥BD . 在正方形ABCD 中，BD ⊥AC . 又∵PO ∩AC ＝O ，∴BD ⊥平面P AC .又∵BD ⊂平面BDE ，∴平面P AC ⊥平面BDE . (3)取OC 中点F ，连结EF .∵E 为PC 中点， ∴EF 为△POC 的中位线，∴EF ∥PO . 又∵PO ⊥平面ABCD ，∴EF ⊥平面ABCD ， ∴EF ⊥BD ，∵OF ⊥BD ，OF ∩EF ＝F ，∴BD ⊥平面EFO ， ∴OE ⊥BD ，∴∠EOF 为二面角E －BD －C 的平面角， ∴∠EOF ＝30°.在Rt △OEF 中，OF ＝12OC ＝14AC ＝24a ，∴EF ＝OF ·tan 30°＝612a ，∴OP ＝2EF ＝66a .∴V P －ABCD ＝13×a 2×66a ＝618a 3.19．(本小题满分16分)如图9，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，P A ⊥平面ABCD ，E 是PC 的中点，F 为线段AC 上一点.【导学号：41292060】(1)求证：BD ⊥EF ； (2)若EF ∥平面PBD ，求AFFC 的值．图9【解】(1)因为P A⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以P A⊥BD.又四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD.又P A∩AC＝A，所以BD⊥平面P AC.又EF⊂平面P AC，所以BD⊥EF.(2)设AC与BD交于点O，连结PO.因为EF∥平面PBD，平面P AC∩平面PBD＝PO，且EF⊂平面P AC，所以EF∥PO.又E 是PC的中点，所以OF＝FC，所以AF＝3FC，即AFFC＝3.20．(本小题满分16分)如图10(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图10(2)．(1) (2)图10(1)求证：DE∥平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.说明理由．【解】(1)证明：∵D，E分别为AC，AB的中点，∴DE∥BC.又∵DE⊄平面A1CB，BC⊂平面A1CB，∴DE∥平面A1CB.(2)证明：由已知得AC⊥BC且DE∥BC，∴DE⊥AC，∴DE⊥A1D，DE⊥CD，A1D∩CD＝D，∴DE⊥平面A1DC，而A1F⊂平面A1DC，∴DE⊥A1F.又∵A1F⊥CD，DE∩CD＝D，∴A1F⊥平面BCDE，BE⊂平面BCDE，∴A1F⊥BE.(3)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC. 又∵DE∥BC，∴DE∥PQ，∴平面DEQ即为平面DEP.由(2)知，DE⊥平面A1DC，A1C⊂平面A1DC，∴DE⊥A1C.又∵P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，∴A1C⊥DP.又DE∩DP＝D，∴A1C⊥平面DEP.从而A1C⊥平面DEQ.故线段A1B上存在点Q(中点)，使得A1C⊥平面DEQ.。
2019-2020学年高中数学苏教版必修二学业分层测评2 Word版含答案
学业分层测评(二)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．下列说法正确的是________．①平行于圆锥某一母线的截面是等腰三角形；②平行于圆台某一母线的截面是等腰梯形；③过圆锥顶点与底面圆心的截面是等腰三角形；④过圆台上底面中心的截面是等腰梯形．【解析】由圆柱、圆锥、圆台的性质知③正确．【答案】③2．正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周，所得几何体是________．【解析】连结正方形的两条对角线知对角线互相垂直，故绕对角线旋转一周形成两个圆锥的组合体．【答案】两个圆锥的组合体3．在日常生活中，常用到的螺母可以看成一个组合体，其结构特征是________．图1-1-24【解析】一个六棱柱中挖去一个等高的圆柱．【答案】一个六棱柱中挖去一个圆柱4．线段y＝2x(0≤x≤2)绕x轴旋转一周所得的图形是________．【解析】由线段y＝2x(0≤x≤2)绕x轴旋转一周所得的图形是圆锥的侧面．【答案】圆锥的侧面5．如图1-1-25所示，将梯形ABCD绕底边AB所在直线旋转一周，由此形成的几何体是由简单几何体__________构成的. 【导学号：60420008】图1-1-25【解析】旋转体要注意旋转轴，可以想象一下旋转后的几何体，由旋转体的结构特征知它中间是圆柱，两头是圆锥．【答案】圆锥、圆柱6．一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，则截面可能的图形是________．①②③④图1-1-26【解析】当截面平行于正方体的一个侧面时得③，当截面过正方体的体对角线时得②，当截面不平行于任何侧面也不过对角线时得①，但无论如何都不能截出④.【答案】①②③7．已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且距离为1，那么这个球的半径为________．【解析】如图所示，∵两个平行截面的面积分别为5π，8π，∴两个截面圆的半径分别为r1＝5，r2＝22.∵球心到两个截面的距离d1＝R2－r21，d2＝R2－r22，∴d1－d2＝R2－5－R2－8＝1，∴R2＝9，∴R＝3.【答案】38．若圆柱的轴截面是一个正方形，其面积为4S，则它的一个底面面积是__________．【解析】因为圆柱的轴截面的一边是底面直径，另一邻边为圆柱的高，所以应满足4S ＝2r(r为底面圆半径)，∴r＝S，故底面面积为πS.【答案】πS二、解答题9．轴截面为正方形的圆柱叫做等边圆柱．已知某等边圆柱的轴截面面积为16cm2，求其底面周长和高．【解】如图所示，作出等边圆柱的轴截面ABCD，由题意知，四边形ABCD为正方形，设圆柱的底面半径为r，则AB＝AD＝2r.其面积S＝AB×AD＝2r×2r＝4r2＝16 cm2，。
2019-2020学年高中数学 阶段质量检测(二)平面解析几何初步 苏教版必修2
阶段质量检测（二） 平面解析几何初步(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．过两点A (－2，m )，B (m,4)的直线倾斜角是45°，则m 的值是( ) A ．－1 B ．3 C ．1D ．－3解析：选C k AB ＝m －4－2－m＝tan 45°＝1，∴m ＝1.2．点(1,1)到直线x ＋y －1＝0的距离为( ) A ．1 B ．2 C.22D. 2解析：选C 由点到直线的距离公式d ＝|1＋1－1|12＋12＝22. 3．方程x 2＋y 2＋x ＋y －m ＝0表示一个圆，则m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞ D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12 解析：选A 由题意得1＋1＋4m >0，解得m >－12.4．圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( ) A ．(x －1)2＋(y －1)2＝1 B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1 C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2D ．(x －1)2＋(y －1)2＝2解析：选D 圆的半径r ＝(1－0)2＋(1－0)2＝2，圆心坐标为(1,1)，所以圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.5．若直线mx ＋ny ＋3＝0在y 轴上的截距为－3，且它的倾斜角是直线3x －y ＝33的倾斜角的2倍，则( )A ．m ＝－3，n ＝1B ．m ＝－3，n ＝－3C ．m ＝3，n ＝－3D ．m ＝3，n ＝1解析：选D 依题意得：直线3x －y ＝33的斜率为3，∴其倾斜角为60°.∴－3n＝－3，－m n＝tan 120°＝－3，得m ＝3，n ＝1.6．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x 2＋y 2－4y ＝0所截得的弦长为( ) A. 3 B ．2 C. 6D ．2 3解析：选D 直线方程为y ＝3x ，圆的方程化为x 2＋(y －2)2＝4，∴r ＝2，圆心(0,2)到直线y ＝3x 的距离为d ＝1，∴弦长为2 22－1＝2 3.7．已知直线l 的倾斜角为135°，直线l 1经过点A (3,2)，B (a ，－1)，且l 1与l 垂直，直线l 2：2x ＋by ＋1＝0与直线l 1平行，则a ＋b 等于( )A ．－4B ．－2C ．0D ．2解析：选B 因为l 的斜率为tan 135°＝－1，所以l 1的斜率为1，所以k AB ＝2－(－1)3－a＝1，解得a ＝0.又l 1∥l 2，所以－2b＝1，解得b ＝－2，所以a ＋b ＝－2，故选B.8．已知三条直线y ＝2x ，x ＋y ＝3，mx ＋ny ＋5＝0交于一点，则坐标(m ，n )可能是( ) A ．(1，－3) B ．(3，－1) C ．(－3,1)D ．(－1,3)解析：选A 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，x ＋y ＝3，得交点坐标M (1,2)，而M (1,2)又在直线mx ＋ny ＋5＝0上，∴m ＋2n ＋5＝0，结合选项可知选项A 中m ＝1，n ＝－3符合方程．9．已知过点P (2,2)的直线与圆(x －1)2＋y 2＝5相切，且与直线ax －y ＋1＝0垂直，则a ＝( )A ．－12B ．1C ．2D ．12解析：选C 因为点P (2,2)为圆(x －1)2＋y 2＝5上的点，由圆的切线性质可知，圆心(1,0)与点P (2,2)的连线与过点P (2,2)的切线垂直．因为圆心(1,0)与点P (2,2)的连线的斜率k ＝2，故过点P (2,2)的切线斜率为－12，所以直线ax －y ＋1＝0的斜率为2，因此a ＝2.10．已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则PM ＋PN 的最小值为( )A ．52－4 B.17－1 C ．6－2 2D.17解析：选A 圆C 1，C 2的图象如图所示．设P 是x 轴上任意一点，则PM 的最小值为PC 1－1，同理PN 的最小值为PC 2－3，则PM ＋PN 的最小值为PC 1＋PC 2－4.作C 1关于x 轴的对称点C 1′(2，－3)，连结C 1′C 2，与x 轴交于点P ，连结PC 1，可知PC 1＋PC 2的最小值为C 1′C 2＝(3－2)2＋(4＋3)2＝52，则PM ＋PN 的最小值为52－4.11．过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( )A ．2x ＋y －3＝0B ．2x －y －3＝0C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝0解析：选A 设点P (3,1)，圆心C (1,0)．已知切点分别为A ，B ，则P ，A ，C ，B 四点共圆，且PC 为圆的直径．故四边形PACB 的外接圆圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，半径长为12(3－1)2＋(1－0)2＝52.故此圆的方程为(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝54.① 圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝1.②①－②得2x ＋y －3＝0，此即为直线AB 的方程．12．已知在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2＝－2y ＋3，直线l 经过点(1,0)且与直线x －y ＋1＝0垂直，若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，则△OAB 的面积为( )A ．1B ． 2C ．2D ．2 2解析：选A 由题意，得圆C 的标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，圆心为(0，－1)，半径r ＝2.因为直线l 经过点(1,0)且与直线x －y ＋1＝0垂直，所以直线l 的斜率为－1，方程为y －0＝－(x －1)，即为x ＋y －1＝0.又圆心(0，－1)到直线l 的距离d ＝|0－1－1|2＝2，所以弦长AB ＝2r 2－d 2＝24－2＝2 2.又坐标原点O 到弦AB 的距离为|0＋0－1|2＝12，所以△OAB的面积为12×22×12＝1.故选A.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上)13．在如图所示的长方体ABCD A1B 1C 1D 1中，已知A 1(a,0，c )，C (0，b,0)，则点B 1的坐标为________．解析：由题中图可知，点B 1的横坐标和竖坐标与点A 1的横坐标和竖坐标相同，点B 1的纵坐标与点C 的纵坐标相同，∴B 1(a ，b ，c )．答案：(a ，b ，c )14．已知直线l 与直线y ＝1，x －y －7＝0分别交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M (1，－1)，则直线l 的斜率为________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 22＝－1，又y 1＝1，∴y 2＝－3，代入方程x －y －7＝0，得x 2＝4，即B (4，－3)，又x 1＋x 22＝1，∴x 1＝－2，即A (－2,1)，∴k AB ＝－3－14－(－2)＝－23. 答案：－2315．若直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相垂直，则实数m ＝________. 解析：∵直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相垂直，∴12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m ＝－1，∴m ＝1.答案：116．已知点M (a ，b )在直线3x ＋4y ＝15上，则 a 2＋b 2的最小值为________． 解析：a 2＋b 2的最小值为原点到直线3x ＋4y ＝15的距离：d ＝|0＋0－15|32＋42＝3. 答案：3三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知正四棱锥P ABCD 的底面边长为4，侧棱长为3，G 是PD 的中点，求BG .解：∵正四棱锥P ABCD 的底面边长为4，侧棱长为3， ∴正四棱锥的高为 1.以正四棱锥的底面中心为原点，平行于AB ，BC 所在的直线分别为y 轴、x 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则正四棱锥的顶点B ，D ，P 的坐标分别为B (2,2,0)，D (－2，－2,0)，P (0,0,1)．∴G 点的坐标为G ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－1，12 ∴BG ＝32＋32＋14＝732.18．(本小题满分12分)已知直线l 的倾斜角为135°，且经过点P (1,1)． (1)求直线l 的方程；(2)求点A (3,4)关于直线l 的对称点A ′的坐标． 解：(1)∵k ＝tan 135°＝－1， ∴l ：y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0. (2)设A ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧b －4a －3×(－1)＝－1，a ＋32＋b ＋42－2＝0，解得a ＝－2，b ＝－1，∴A ′的坐标为(－2，－1)．19．(本小题满分12分)已知直线l 1：x －y －1＝0，直线l 2：4x ＋3y ＋14＝0，直线l 3：3x ＋4y ＋10＝0，求圆心在直线l 1上，与直线l 2相切，截直线l 3所得的弦长为6的圆的方程．解：设圆心为C (a ，a －1)，半径为r ，则点C 到直线l 2的距离d 1＝|4a ＋3(a －1)＋14|5＝|7a ＋11|5. 点C 到直线l 3的距离是d 2＝|3a ＋4(a －1)＋10|5＝|7a ＋6|5.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧|7a ＋11|5＝r ，⎝ ⎛⎭⎪⎫|7a ＋6|52＋32＝r 2.解得a ＝2，r ＝5，即所求圆的方程是(x －2)2＋(y －1)2＝25.20．(本小题满分12分)直线l 在两坐标轴上的截距相等，且P (4,3)到直线l 的距离为32，求直线l 的方程．解：若l 在两坐标轴上截距为0，设l ：y ＝kx ，即kx －y ＝0，则|4k －3|1＋k 2＝3 2. 解得k ＝－6±3214.此时l 的方程为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－6±3214x ； 若l 在两坐标轴上截距不为0，设l ：x a ＋y a ＝1，即x ＋y －a ＝0，则|4＋3－a |12＋12＝3 2. 解得a ＝1或13.此时l 的方程为x ＋y －1＝0或x ＋y －13＝0. 综上，直线l 的方程为y ＝⎝⎛⎭⎪⎫－6±3214x 或x ＋y －1＝0或x ＋y －13＝0.21．(本小题满分12分)如图，已知点A (2,3)，B (4,1)，△ABC是以AB 为底边的等腰三角形，点C 在直线l ：x －2y ＋2＝0上．(1)求AB 边上的高CE 所在直线的方程； (2)求△ABC 的面积．解：(1)由题意可知，E 为AB 的中点， ∴E (3,2)，且k CE ＝－1k AB＝1，∴CE 所在直线方程为y －2＝x －3，即x －y －1＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2＝0，x －y －1＝0，得C (4,3)，∴AC ＝BC ＝2，AC ⊥BC ，∴S △ABC ＝12AC ·BC ＝2.22．(本小题满分12分)已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，是否存在斜率为1的直线l ，使以l 被圆截得的弦AB 为直径的圆过原点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．解：假设存在斜率为1的直线l ，满足题意，且OA ⊥OB .设直线l 的方程是y ＝x ＋b ，其与圆C 的交点A ，B 的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1x 1·y 2x 2＝－1，即x 1x 2＋y 1y 2＝0， ①由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0消去y 得：2x 2＋2(b ＋1)x ＋b 2＋4b －4＝0， ∴x 1＋x 2＝－(b ＋1)，x 1x 2＝12(b 2＋4b －4)， ②y 1y 2＝(x 1＋b )(x 2＋b )＝x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2＝12(b 2＋4b －4)－b 2－b ＋b 2＝12(b 2＋2b －4)． ③ 把②③式代入①式，得b 2＋3b －4＝0，解得b ＝1或b ＝－4，且b ＝1或b ＝－4都使得Δ＝4(b ＋1)2－8(b 2＋4b －4)>0成立， 故存在直线l 满足题意，其方程为y ＝x ＋1或y ＝x －4.。
2019—2020年最新苏教版高中数学必修二章末过关检测卷(一)及解析.docx
（新课标）2019—2020学年苏教版高中数学必修二章末过关检测卷(一)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知平面α和直线l，则α内至少有一条直线与l( )A．平行B．相交C．垂直D．异面解析：无论l在α内，还是与α平行或相交，都可在α内找到一条直线与l垂直．答案：C2．对两条异面直线a与b，必存在平面α，使得( )A．a⊂α，b⊂αB．a⊂α，b∥αC．a⊥α，b⊥αD．a⊂α，b⊥α解析：已知两条异面直线a和b，可以在直线a上任取一点A，则A∉b.过点A作直线c∥b，则过a，c确定平面α，且使得a⊂α，b∥α.答案：B3．已知直线m，n和平面α，β满足m⊥n，m⊥α，α⊥β，则( ) A．n⊥βB．n∥β或n⊂βC．n⊥αD．n∥α或n⊂α解析：在平面β内作直线l垂直于α，β的交线，则由α⊥β得直线l ⊥α.又因为m⊥α，所以l∥m.若m⊂β，要满足题中限制条件，显然只能n∥α或n⊂α；同理m⊄β，仍有n∥α或n⊂α.综上所述，D正确．答案：D4．已知空间两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，则下列命题正确的是( )A．若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥nB．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥nC．若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥nD．若m∥α，n⊥β，α⊥β，则m∥n解析：对于A，m与n还可能平行或相交或异面；对于C，m与n还可能相交或异面；对于D，m与n还可能相交或异面．答案：B5．(2015·浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是( )A ．8 cm 3B ．12 cm 3 C.323 cm 3 D.403cm 3 解析：该几何体是由一个正方体和一个正四棱锥构成的组合体．下面是棱长为2 cm 的正方体，体积V 1＝2×2×2＝8(cm 3)；上面是底面边长为2 cm ，高为2 cm 的正四棱锥，体积V 2＝13×2×2×2＝83(cm 3)，所以该几何体的体积V ＝V 1＋V 2＝323(cm 3)． 答案：C6．(2015·北京卷)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是( )A ．2＋ 5B ．4＋ 5C ．2＋2 5D ．5解析：该三棱锥的直观图如图所示，且过点D 作DE ⊥BC ，交BC 于点E ，连接AE ，则BC ＝2，EC ＝1，AD ＝1，ED ＝2，S 表＝S △BCD ＋S △ACD ＋S △ABD ＋S △ABC ＝12×2×2＋12×5×1＋12×5×1＋12×2×5＝2＋2 5.答案：C7．(2015·课标全国Ⅰ卷)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：由题意知，2r ·2r ＋12·2πr ·2r ＋12πr 2＋12πr 2＋12·4πr 2＝4r 2＋5πr 2＝16＋20π，解得r ＝2.答案：B8．(2015·广东卷)若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值( )A ．大于5B ．等于5C ．至多等于4D ．至多等于3解析：当n ＝3时显然成立，故排除A 、B ；由正四面体的四个顶点，两两距离相等，得n ＝4时成立．答案：C9．如左下图所示，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )A.500π3cm 3B.866π3cm 3C.1 372π3cm 3D.2 048π3cm 3 解析：作出该球轴截面的图象，如图所示，依题意BE ＝2，AE ＝CE ＝4，设DE ＝x ，故AD ＝2＋x ，因为AD 2＝AE 2＋DE 2，解得x ＝3，故该球的半径AD ＝5，所以V ＝43πR 3＝500π3(cm 3)． 答案：A10.如图所示，等边三角形ABC 的边长为4，M ，N 分别为AB ，AC 的中点，沿MN 将△AMN 折起，使得平面AMN 与平面MNCB 所成的二面角为30°，则四棱锥A -MNCB 的体积为( )A.32B.32C. 3 D ．3解析：如图所示，作出二面角A -MNB 的平面角∠AED ，AO 为△AED 底边ED 上的高，也是四棱锥A -MNCB 的高．由题意，得AO ＝32. V ＝13×32×33＝32. 答案：A11．轴截面为正方形的圆柱的侧面积与全面积的比是( )A ．1∶2B ．2∶3C ．1∶3D ．1∶4 答案：B12．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l ，在l 上取线段AB ＝4，AC 、BD 分别在平面α和平面β内，且AC ⊥AB ，DB ⊥AB ，AC ＝3，BD ＝12，则CD 的长度为( )A ．13 B.151 C ．12 3 D ．15 答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中的横线上)13．已知正四棱锥O -ABCD 的体积为322，底面边长为3，则以O 为球心，OA 为半径的球的表面积为________．解析：设正四棱锥的高为h ，则13×(3)2h ＝322，解得高h ＝322.底面正方形的对角线长为2×3＝6，所以OA ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3222＋⎝⎛⎭⎪⎫622＝6，所以球的表面积为4π(6)2＝24π.答案：24π 14．(2014·北京卷)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为________．解析：根据三视图还原几何体，得如图所示的三棱锥P -ABC ，由三视图的形状特征及数据，可推知PA ⊥平面ABC ，且PA ＝2.底面为等腰三角形，AB ＝BC ，设D 为AC 中点，AC ＝2，则AD ＝DC ＝1，且BD ＝1，易得AB ＝BC ＝2，所以最长的棱为PC ，PC ＝PA 2＋AC 2＝2 2.答案：2 215．(2015·江苏卷)现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________．解析：底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱的总体积为13π·52×4＋π·22×8＝196π3.设新的圆锥和圆柱的底面半径为r ，则13π·r 2·4＋π·r 2×8＝28π3r 2＝196π3，解得r ＝7. 答案：7 16．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S 1，S 2，体积分别为V 1，V 2，若它们的侧面积相等，且S 1S 2＝94，则V 1V 2的值是________． 解析：设甲、乙两个圆柱的底面半径和高分别为r 1，r 2和h 1，h 2， 则2πr 1h 1＝2πr 2h 2，所以h 1h 2＝r 2r 1，又S 1S 2＝πr 21πr 22＝94， 所以r 1r 2＝32. 所以V 1V 2＝πr 21h 1πr 22h 2＝r 21r 22·h 1h 2＝r 21r 22·r 2r 1＝32. 答案：32三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)17．(本小题满分10分)(2014·课标全国Ⅱ卷)如图所示，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．(1)证明：PB ∥平面AEC ；(2)设AP ＝1，AD ＝3，三棱锥P -ABD 的体积V ＝34，求A 到平面PBC 的距离．(1)证明：如图所示，设BD 与AC 的交点为O ，连接EO .因为四边形ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点．又E 为PD 的中点， 所以EO ∥PB .因为EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ， 所以PB ∥平面AEC .(2)解：由V ＝16PA ·AB ·AD ＝36AB ，又V ＝34，可得AB ＝32.作AH ⊥PB 交PB 于点H .由题设知BC ⊥平面PAB ，所以BC ⊥AH .故AH ⊥平面PBC .在Rt △PAB 中，由勾股定理可得PB ＝132，所以AH ＝PA ·AB PB＝31313.所以A 到平面PBC 的距离为31313. 18．(本小题满分12分)如图所示，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BCD ＝60°.已知PB ＝PD ＝2，PA ＝6.(1)证明：PC ⊥BD ；(2)若E 为PA 的中点，求三棱锥P -BCE 的体积． (1)证明：如图所示，连接BD ，AC 交于点O . 因为PB ＝PD ， 所以PO ⊥BD .又因为ABCD 是菱形，所以BD ⊥AC .而AC ∩PO ＝O ， 所以BD ⊥面PAC .所以BD ⊥PC . (2)解：由(1)知BD ⊥面PAC .由已知得BD ＝2，AC ＝23，PO ＝3.所以S △PEC ＝12S △PAC ＝12×12×23×3＝32.所以V P -BCE ＝V B -PEC ＝13·S △PEC ·BO ＝13×32×1＝12.19．(本小题满分12分)将圆心角为120°，面积为3π的扇形，作为圆锥的侧面，求圆锥的表面积和体积．解：设扇形的半径和圆锥的母线都为l，圆锥的底面半径为r，则120360πl2＝3π，l＝3；2π3×3＝2πr，r＝1；S表面积＝S侧面＋S底面＝πrl＋πr2＝4π，V＝13Sh＝13×π·12×22＝223π.20．(本小题满分12分)一个几何体按比例绘制出的三视图如图所示(单位：m)．(1)试画出其直观图；(2)求它的体积．解：(1)几何体的直观图如图所示．(2)由直观图知，该几何体可看成底面立起来的四棱柱，其体积为V＝12×(1＋2)×1×1＝32(m3)．21.(本小题满分12分)如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AB ＝1，AD ＝3，点F 是PB 的中点，点E 在边BC 上移动．(1)求三棱锥E -PAD 的体积；(2)点E 为BC 的中点时，试判断EF 与平面PAC 的位置关系，并说明理由；(3)求证：无论点E 在BC 边的何处，都有PE ⊥AF . (1)解：因为PA ⊥底面ABCD ，所以PA ⊥AD ， 所以三棱锥E -PAD 的体积为V ＝13S △PAD ·AB ＝13×12×1×3×1＝36. (2)解：当点E 为BC 的中点时，EF 与平面PAC 平行． 因为在△PBC 中，E ，F 分别为BC ，PB 的中点， 所以EF ∥PC .又EF ⊄平面PAC ，而PC ⊂平面PAC ， 所以EF ∥平面PAC .(3)证明：因为PA ⊥平面ABCD ，BE ⊂平面ABCD ， 所以EB ⊥PA .因为EB⊥AB，AB∩AP＝A，AB，AP⊂平面PAB，所以EB⊥平面PAB.又因为AF⊂平面PAB，所以AF⊥BE.因为PA＝AB＝1，点F是PB的中点，所以AF⊥PB.因为PB∩BE＝B，PB，BE⊂平面PBE，所以AF⊥平面PBE.因为PE⊂平面PBE，所以AF⊥PE.22．(本小题满分12分)(2014·广东卷)如图①所示，四边形ABCD 为矩形，PD⊥平面ABCD，AB＝1，BC＝PC＝2，按图②方式折叠，折痕EF//DC.其中点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M，并且MF⊥CF.(1)证明：CF⊥平面MDF；(2)求三棱锥M-CDE的体积．(1)证明：如图所示，因为PD⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PD ⊥AD .又因为ABCD 是矩形，CD ⊥AD ，PD 与CD 交于点D ，所以AD ⊥平面PCD . 又CF ⊂平面PCD ， 所以AD ⊥CF ，即MD ⊥CF . 又MF ⊥CF ，MD ∩MF ＝M ， 所以CF ⊥平面DMF .(2)解：因为PD ⊥DC ，BC ＝2，CD ＝1，∠PCD ＝60°， 所以PD ＝3，由(1)知FD ⊥CF ，在直角三角形DCF 中，CF ＝12CD ＝12.过点F 作FG ⊥CD ，得FG ＝FG sin 60°＝12×32＝34，所以DE ＝FG ＝34，故ME ＝PE ＝3－34＝334.所以MD ＝ME 2－DE 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3342－⎝⎛⎭⎪⎫342＝62.S △CDE ＝12DE ·DC ＝12×34×1＝38.故V M - CDE ＝13MD ·S △CDE ＝13×62×38＝216.。
2019-2020学年高中数学新同步苏教版必修2模块测评(A卷) Word版含解析
姓名，年级：时间：模块综合测评（A卷)(满分：150分时间:120分钟)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设α，β是两个不同的平面,l，m是两条不同的直线，且lα,mβ.( ）A．若l⊥β，则α⊥βB．若α⊥β，则l⊥mC．若l∥β,则α∥βD．若α∥β，则l∥mA[利用空间平行与垂直的判定定理及性质定理进行分析．∵l⊥β，lα，∴α⊥β（面面垂直的判定定理），故A正确．］2．下列叙述中不正确的是（)A．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应B．每一条直线都有唯一对应的倾斜角C．与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0°或90°D．若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan αD[当α＝90°时，tan α不存在，所以D错误，由直线斜率和倾斜角的知识知A、B、C正确．]3．关于空间直角坐标系O。
xyz中的一点P(1，2，3）有下列说法：①OP的中点坐标为错误!；②点P关于x轴对称的点的坐标为(－1，－2，－3)；③点P关于坐标原点对称的点的坐标为(1，2,－3）；④点P关于xOy平面对称的点的坐标为(1，2，－3)．其中正确说法的个数是（)A．2 B．3C．4 D．1A[①显然正确；点P关于x轴对称的点的坐标为（1，－2,－3）,故②错；点P 关于坐标原点对称的点的坐标为（－1，－2,－3),故③错，④正确．］4．直线ax－y＋2a＝0与圆x2＋y2＝9的位置关系是( )A．相离B．相切C．相交D．不确定C[ax－y＋2a＝0可化为y＝a（x＋2)，所以直线过定点（－2，0)，又（－2）2＋02〈9，故该定点在圆x2＋y2＝9的内部，所以直线ax－y＋2a＝0与圆x2＋y2＝9相交．］5．设长方体的长,宽，高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A．3πa2B．6πa2C．12πa2D．24πa2B［由题可知，球的直径等于长方体的体对角线的长度，故2R＝错误!,解得R＝错误! a，所求球的表面积S＝4πR2＝6πa2.］6．已知直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4,AB ⊥AC，AA1＝12,则球O的半径为（）A。
2019-2020学年高一数学苏教版必修二同步训练：第一章 章末检测 Word版含答案
姓名，年级：时间：第一章 章末检测1、已知1111ABCD A BC D -为棱长为1的正方体,点1P ， 2P 分别是线段AB ,1BD 上的动点且不包括端点，在1P , 2P 运动的过程中线段1P ， 2P 始终平行于平面11A ADD ，则四面体121P P AB -的体积的最大值是( ）A.124 B 。
112C. 148D. 122、一个封闭的正三棱柱容器,高为3，内装水若干(如图甲,底面处于水平状态），将容器放倒（如图乙,一个侧面处于水平状态）,这时水面与各棱交点11,,,E F F E 分别为所在棱的中点，则图甲中水面的高度为（ )A. 32B. 74C.2 D 。
943、我国古代数学专著《九章算术》中有关“堑堵”的记载堑堵"即底面是直角三角形的直三棱柱。
已知某“堑堵”被一个平面截去一部分后，剩下几何体的三视图如图所示,则剩下几何体的体积是（ ）A。
50 B。
75C. 50 2D. 75 24、已知圆锥的母线长为5cm，,圆锥的侧面展开图如图所示,且1120AOA∠=，一只蚂蚁欲从圆锥底面上的点A出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点A,则蚂蚁爬行的最短路程为（）A。
8cmB. 53cmC. 10cmD。
5cmπ5、如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是（ )A.平行B。
垂直相交C.垂直但不相交D.相交但不垂直6、如图1，在三棱锥P ABC -中, PA ⊥平面,,ABC AC BC D ⊥为侧棱PC 上的一点，它的主视图和左视图如图2所示, 则下列命题正确的是( )A. AD ⊥平面PBC ,且三棱柱D ABC -的体积为83B 。
BD ⊥平面PAC ,且三棱柱D ABC -的体积为83C. AD ⊥平面PBC ,且三棱柱D ABC -的体积为163D. BD ⊥平面PAC ，且三棱柱D ABC -的体积为1637、经过两条异面直线a ， b 外的一点P 作与,?a b 都平行的平面,则这样的平面（ )A 。
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2019-2020学年高中数学 第一章 阶段质量检测 苏教版必修2一、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共70分) 1．(2012·临沂高一检测)下列几何体是旋转体的是________． ①圆柱；②六棱锥；③正方体；④球体；⑤四面体 答案：①④2．若两个平面互相平行，则分别在这两个平行平面内的直线________．解析：由于直线分别位于两平行平面内，因此它们无公共点，因此它们平行或异面． 答案：平行或异面3．直线l 1∥l 2，在l 1上取3个点，l 2上取2个点，由这5个点能确定平面的个数为________．解析：∵l 1∥l 2，∴过l 1与l 2有且只有一个平面． 答案：14．(2012·淮阴高一检测)长、宽、高分别为4、3、2的长方体的外接球的表面积为________．解析：球的直径与长方体体对角线相等，故S 球＝4πr 2＝4π×(292)2＝29π. 答案：29π5．(2012·鹤岗高一检测)一个三角形用斜二测画法画出来是一个边长为1的正三角形，则此三角形的面积是________．解析：如图所示，将△A ′B ′C ′还原后为△ABC ，由于O ′C ′＝2C ′D ′＝2×1×32＝62， 所以CO ＝2O ′C ′＝ 6 ∴S △ABC ＝12×1×6＝62答案：626．(2012·福州高一检测)如图，如果MC ⊥菱形ABCD 所在的平面，那么MA 与BD 的位置关系是________．[解析：连结AC ，由于四边形ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD ，又MC ⊥平面ABCD ，所以MC ⊥BD ，又MC ∩AC ＝C ，所以BD ⊥平面AMC ，所以MA ⊥BD .答案：垂直7．(2012·龙岩高一检测)已知直线a ∥平面α，平面α∥平面β，则直线a 与平面β的位置关系为________．解析：∵a ∥α，α∥β，∴a ∥β或a ⊂β. 答案：a ∥β或a ⊂β8．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为AB ，AD 的中点．(1)A 1C 1与EF 所成的角的大小是________． (2)AD 1与EF 所成的角的大小是________．解析：(1)连结B 1D 1，易证B 1D 1∥EF ，又B 1D 1⊥A 1C 1，所以A 1C 1⊥EF ，即A 1C 1与EF 所成的角为90°.(2)连结B 1A ，可知∠AD 1B 1＝60°，又EF ∥B 1D 1，故∠B 1D 1A ＝60°，即为AD 1与EF 所成的角．答案：(1)90° (2)60°9．已知点E 是棱长为3的正方体AC 1的面A 1C 1上的任意一点，则四棱锥E －ABCD 的体积是________．解析：四棱锥E －ABCD 的高是正方体的棱长，则其体积是13×32×3＝9.答案：D10．如图所示，在长方形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，E 为DC 的中点，F 为线段EC (端点除外)上一动点．现将△AFD 沿AF 折起，使平面ABD ⊥平面ABC .在平面ABD 内过点D 作DK ⊥AB ，K 为垂足，设AK ＝t ，则t 的取值范围是________．解析：此题的求解可考虑F 与E 重合和F 与C 重合这两个极端位置．当F 位于DC 的中点E 时，点K 与AB 的中点重合，t ＝1.F 点右移至C 点时，因CB ⊥AB ，CB ⊥DK ，∴CB ⊥平面ADB ，即有CB ⊥BD ， ∵CD ＝2，BC ＝1， ∴BD ＝3，又AD ＝1，AB ＝2， ∴AD ⊥BD ，则有t ＝12.因此t 的取值范围是(12，1)．答案：(12，1)11．(2012·温州模拟)设α表示平面，a 、b 表示直线，给出下列四个说法 ①a ∥α，a ⊥b ⇒b ∥α ②a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α ③a ⊥α，a ⊥b ⇒b ⊂α ④a ⊥b ，b ⊂α⇒a ⊥α 其中正确说法的序号是________．解析：对①，还有可能b ⊂α，b ⊥α，对③，b 还可能与α平行，故①③错误；②正确，对④a 还可能与α相交，a 还可能在α内，但不垂直，故④错误．答案：②12．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l ，点A ∈α，A ∉l ，直线AB ∥l ，直线AC ⊥l ，直线m ∥α，m ∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是________．①AB ∥m ②AC ⊥m ③AB ∥β ④AC ⊥β解析：A ∈α，AB ∥l ，则AB ⊂α，AC ⊥l ，C 点未必在α内，由图知，AC ⊥β不成立．答案：④13．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，底面是以∠ABC 为直角的等腰直角三角形，AC ＝2a ，BB 1＝3a ，D 是A 1C 1的中点，点F 在线段AA 1上，当AF ＝________时，CF ⊥平面B 1DF .解析：由题意易知，B 1D ⊥平面ACC 1A 1，所以B 1D ⊥CF .要使CF ⊥平面B 1DF ，只需CF ⊥DF 即可．令CF ⊥DF ，设AF ＝x ，则A 1F ＝3a －x ，由Rt △CAF ∽Rt △FA 1D ，得AC A 1F ＝AF A 1D ，即2a3a －x＝x a.整理得x 2－3ax ＋2a 2＝0，解得x ＝a 或x ＝2a . 答案：a 或2a14．体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得这个圆台的原圆锥的体积是________．解析：设上底面半径为r ，则由题意求得下底面半径为3r ，设圆台高为h 1， 则52＝13πh 1(r 2＋9r 2＋3r ·r )，∴πr 2h 1＝12.令原圆锥的高为h ，由相似性得r 3r ＝h －h 1h，∴h ＝32h 1.∴V 原圆锥＝13π(3r )2×h ＝3πr 2×32h 1＝92×12＝54.答案：54二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)圆柱的轴截面是边长为5 cm 的正方形ABCD ，圆柱侧面上从A 到C 的最短距离是多少？解：如图，底面半径为52cm ，母线长为5 cm.沿AB 展开，则C 、D 分别是BB ′、AA ′的中点． 依题意AD ＝π×52＝52π.∴AC ＝52π2＋52＝2.∴圆柱侧面上从A 到C cm16．(14分)如图所示，已知ABCD 是矩形，E 是以DC 为直径的半圆周上一点，且平面CDE ⊥平面ABCD .求证：CE ⊥平面ADE .证明：∵E 是以DC 为直径的半圆周上一点， ∴CE ⊥DE .又∵平面CDE ⊥平面ABCD ，且AD ⊥DC ，∴AD ⊥平面CDE .又CE ⊂面CDE ，∴AD ⊥CE .又DE ∩AD ＝D ，∴CE ⊥平面ADE .17．(14分)(2011·南京高一检测)已知正四棱锥S －ABCD 中，高SO 是4 m ，底面的边长是6 m ．(1)求正四棱锥S －ABCD 的体积； (2)求正四棱锥S －ABCD 的表面积．解：(1)S 底＝6×6＝36 (m 2)．∴V 正四棱锥＝13S 底h ＝13×36×4＝48 (m 3)．∴正四棱锥S －ABCD 的体积为48 m 3.(2)过点S 做SE ⊥BC 于点E ，连结OE ，则SE 是斜高， 在直角三角形SOE 中，SE ＝42＋622＝5S 正棱锥侧＝12ch ′＝12×6×4×5＝60 m 2 S 表＝S 正棱锥侧＋S 底＝60＋6×6＝96 m 2∴正四棱锥S －ABCD 的表面积为96 m 2.18．(16分)已知等腰梯形PDCB 中(如图①)，PB ＝3，DC ＝1，PD ＝BC ＝2，A 为PB 边上一点，且DA ⊥PB .现将△PAD 沿AD 折起，使平面PAD ⊥平面ABCD (如图②)．(1)证明：平面PAD ⊥平面PCD ；(2)试在棱PB 上确定一点M ，使截面AMC 把几何体分成两部分，其两部分体积比为V PDCMA ∶V M －ACB ＝2∶1.解：(1)证明：依题意知，CD ⊥AD ， 又∵平面PAD ⊥平面ABCD ， ∴DC ⊥平面PAD .又DC ⊂平面PCD ， ∴平面PAD ⊥平面PCD . (2)由题意知PA ⊥平面ABCD ，∴平面PAB ⊥平面ABCD .如上图，在PB 上取一点M ，作MH ⊥AB ，则MH ⊥平面ABCD ，设MH ＝h ， 则V M －ABC ＝13S △ABC ·h＝13×12×2×1×h ＝h 3. V P －ABCD ＝13S 梯形ABCD ·PA＝13×＋2×1×1＝12.要使V PDCMA ∶V M －ACB ＝2∶1， 即(12－h 3)∶h 3＝2∶1，解得h ＝12. 易得M 为PB 中点．19.(16分)(2011·江苏高考)如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，E ，F 分别是AP ，AD 的中点．求证：(1)直线EF ∥平面PCD ； (2)平面BEF ⊥平面PAD .证明：(1)在△PAD 中，因为E ，F 分别为AP ，AD 的中点，所以EF ∥PD .又因为EF ⊄平面PCD ，PD ⊂平面PCD .所以直线EF ∥平面PCD .(2)连结BD .因为AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，所以△ABD 为正三角形．因为F 是AD 的中点，所以BF ⊥AD .因为平面PAD ⊥平面ABCD ，BF ⊂平面ABCD ， 平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ， 所以BF ⊥平面PAD .又因为BF ⊂平面BEF ，所以平面BEF ⊥平面PAD .20．(16分)(2012·三水高一检测)如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是CD 、A 1B 1的中点，(1)若M 在侧面A 1D 1DA 及其边界上运动，问M 在哪条线段上运动均能使A 1C ∥平面AME ？并证明你的结论；(2)求证：平面AED1∥平面C1FB.解：(1)当M在AD1上运动时，总能使A1C∥面AEM，证明如下：连结A1D，取A1D的中点为G，连结EG，∵E，G分别为CD，A1D的中点，∴EG∥A1C，∵EG⊂面AEG，∴A1C∥面AEG，∵当M在AD1上运动时，EG总在面AEM内，∴A1C∥面AEM，故M在AD1上运动时，总能使A1C∥面AEM.(2)证明：在正方体中，∵AD1∥BC1，BC1⊄面AED1，∴BC1∥面AED1，取AB中点H，连结FH，CH，∵FH綊CC1，∴四边形FHCC1为平行四边形．∴FC1∥HC，又易知四边形AHCE为平行四边形，∴AE∥HC，∴C1F∥AE，又∵C1F⊄面D1AE，∴C1F∥面D1AE，而BC1∩C1F＝C1，且BC1，C1F⊂面BC1F，∴平面BC1F∥平面D1AE.。