北师大版九年级下册第3章_3.2.2圆的对称性2

●
O
（1）圆是中心对称图形吗？ 圆也是中心对称图形. （2）如果是,它的对称中心是什么? 它的对称中心就是圆心.
猜一猜 请同学们观察屏幕上两个半径相等的圆。请回答：
O
O’
它们能重合吗？如果能重合，请将它们的圆心固定 在一起。 然后将其中一个圆旋转任意一个角度，这时两个
圆还重合吗 ?
归纳 ：
圆具有旋转不变性,即一个圆绕着
定理：在同圆或等圆中，如果①两个圆心角、 ②两 条弧、 ③两条弦中有一组量相等，那么它 们所对应的其余各组量都分别相等。
B O A O′
B′
A′
例2：
如图，在⊙O中，AB，CD是两条
A
E B
C
弦，OE⊥AB，OF⊥CD,重足分别
为E ，F 。
O
F D
⑴如果∠AOB=∠COD，那么OE与OF的大小有什
它的圆心旋转任意一个角度，都能与原
来的圆重合。因此,圆是中心对称圆形，
对称中心为圆心。圆的中心对称性是其
旋转不变性的特例.
同圆 等圆
半径相等的两个圆
O
O
O'
同圆或等圆的半径相等
等弧
在同圆或等圆中，能够互相重合的两条弧叫做等 弧 D
C
A
B
弦心距
圆心到弦的距离（即圆心到弦的垂线段的长度）
O
A
C
B
A
(2) ∵⊙O 和⊙O′是等圆,且 A B= A′B′, ∴ A B=A′B′， ∠A O B= ∠A′O′B′. 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的 圆心角相等,它们所对的弧相等. (3) ∵⊙O 和⊙O′是等圆,且A B= A′B′, ∴ A B=A′B′， ∠A O B=∠A′O′B′
各组量都分别相等.
作业:
课本习题3.2
1, 2, 3
命题（1）：平分弦（不是直径）的直径垂 直于弦，并且平分弦所对的两条弧 ∵CD是直径，AB是弦，并且CD平分AB ⌒ ＝BD ⌒ ，AC ⌒ ＝BC ⌒ ∴CD⊥AB，AD A
C .
O E
B
D 命题（2）：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对 的两条弧 ∵ AB是弦，CD平分AB，CD ⊥AB， ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∴ CD是直径， AD＝BD，AC＝BC 命题（3）：平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且 平分弦所对的另一条弧 ⌒ ⌒ ⌒ ＝BC ⌒） ∵ CD是直径，AB是弦，并且AD＝BD （AC ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∴ CD平分AB，AC＝BC（AD＝BD）CD ⊥AB
第三章 圆
第二节 圆的对称性
记忆
推论
垂径定理 垂直于弦的直径平分 这条弦，并且平分弦 所对的两条弧。
. A
C
O E
D
B
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平 分弦所对 的两条弧 （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的 两条弧 （3）平分一条弧的直径，垂直平分弧所对的弦，并 且平分弦所对的另一条弧
OE⊥AB，OF⊥CD,重足分别为E，F。 ⑵如果Owk.baidu.com=OF那么AB与CD的大小有什 ⌒ 的大小有什么关系？ ⌒与CD 么关系？ AB
A
E
C O
F D
B
为什么？ ∠ AOB与∠ COD呢？ ⌒ ⌒ 解：AB=CD，AB=CD，∠AOB=∠COD， 理由是：∵OE⊥AB，OF⊥CD ∴∠OEB=∠OFD=90° ∵在Rt△BEO和Rt△DFO中，OB＝OD,OE＝OF ∴Rt△BEO≌Rt△DFO（HL） ⌒ ⌒， ∴BE=DF 由垂径定理得：AB=2BE，CD=2DF， ∴AB=CD， ∴AB=CD，∠AOB=∠COD．
么关系？为什么？
⌒ 与CD ⌒的大小有什么关系？ ⑵如果OE=OF那么AB
为什么？ ∠ AOB与∠ COD呢？
例2：如图，在⊙O中，AB，CD是两条弦，
OE⊥AB，OF⊥CD,重足分别为E，F。 ⑴如果∠AOB=∠COD，那么OE与OF的大小 有什么关系？为什么？
A
E
C O
F D
B
解：OE=OF， 理由是：∵OE⊥AB，OF⊥CD，OA=OB，OC=OD，
一.判断下列说法是否正确： 1、相等的圆心角所对的弧相等。（×） 2、相等的弦所对的圆心角相等。（ × ） 2、相等的弧所对的弦相等。（√ ） 二.如图，⊙O中，AB=CD，∠1=500，则∠2=
50 。
C 2 O
o
B 1 A
D
随堂练习 AB 3.已知A,B是⊙O上的两点,∠AOB=1200,C是⌒ 的中点,试确定四边形OACB的形状,并说明理由.
B B′
O
A
O′
A′
你能从中发现哪些等量关系?说一说你的理由.
B B′
O
A
O′
A′
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦相等。
想一想
1、在同圆或等圆中，如果两个圆心角所对的弧相等，那么它 们所对的弦相等吗？这两个圆心角相等吗?你是怎么想的？ 2、在同圆或等到圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆 心角相等吗？它们所对的弧相等吗？你是怎么想的？
圆心角的概念
∠AOB ∠COD ∠AOC ∠BOD B
A
· O
B
O C D
圆心角 顶点在圆心的角(如∠AOB).
做一做
按下面的步骤做一做 1、利用手中已准备的两张半径相等的透明圆胶片，在⊙O 和 ⊙O′上分别作相等的圆心角 ∠A O B和∠A′O′B′,然后将两圆 的圆心固定在一起。 2、将其中的一个圆旋转一个角度，使得O A与O′A′重合。
创新探究
如图，在⊙O中，弦AB=CD，AB的延长线与CD
的延长线相交于点P，直线OP交⊙O于点E、F.你
以为∠APE与∠CPE有什么大小关系？为什么？ A E C O N B P
M
D
小结
D
F O A C
E
B
在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦, ④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余
A
F
C
⌒ ⌒ (1)如果∠AOB=∠COD，那么 OE=OF ， AB=CD，AB=CD ;
⌒ ⌒ ∠ AOB= ∠ COD AB=CD AB=CD （2）如果OE=OF，那么 ， ， ； ⌒ ⌒
（3）如果AB=CD，那么 ∠AOB=∠COD ， AB=CD ， OE=OF ；
⌒ ⌒ （4）如果AB=CD，那么 ∠AOB=∠COD ， OE=OF ， AB=CD 。
1 1 ∴∠OEB=∠OFD=90°,∠EOB= ∠AOB,∠FOD= ∠COD 2 2 ∵∠AOB=∠COD，∴∠EOB=∠FOD， ∵在△EOB和△FOD中， ∠OEB＝∠OFD,∠EOB＝∠FOD , OB＝OD ∴△EOB≌△FOD（AAS）∴OE=OF．
例2：如图，在⊙O中，AB，CD是两条弦，
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
B C
如果 AB = CD ， 则图中有哪些弧等？
⌒ ⌒ AB = CD
O A
⌒ ⌒ AC = BD ？ D ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AB + BC = CD + BC
⌒ ⌒ AC = BD
AC = BD
？
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
B C
B C
？
B C
O A
D
A
？
D
B
B′
O
A
O′
A′
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 弧相等，所对的弦相等。
(1)∵⊙O 和⊙O′是等圆,且∠A O B= ∠A′O′B′ ∴A B=A′B′，A B= A′B′. 在同圆或等圆中，如果两个圆心 角所对的弧相等，那么它们所对 的弦相等,所对的圆心角相等.
O A B O′ A′ B′
通过前面例题的学习，你能否对我们本 节学习的定理加以补充？
在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,
③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那
么它们所对应的其余各组量都分别相等.
D F O A
C
E
B
B
已知：如图，AB，CD是⊙O的两条弦，
E
O D
OE，OF为AB、CD的弦心距，根据这
节课所学的定理及推论填空：