最新高中数学竞赛解题策略-几何分册第32章勃罗卡定理

第32章勃罗卡定理1 勃罗卡()Brocard 定理凸四边形ABCD 内接于O ，延长AB 、DC 交于点E ．延长BC 、AD2 交于点F ．AC 与BD 交于点G ．联结EF ，则OG EF ⊥．3 证法1如图321-，在射线EG 上取一点N ，使得N ，D ，C ，G 四点共圆（即取完全四4 边形ECDGAB 的密克尔点N ），从而B 、G 、N 、A 及E 、D 、N 、B 分别四点共圆．5图321FOL G NEDCBA6 分别注意到点E 、G 对O 的幂，O 的半径为R ，则22EG EN EC ED OE R ⋅=⋅=-．7 22EG GN BG GD R OG ⋅=⋅=-．8 以上两式相减得()22222EG OE R R OG =---， 9 即22222OE EG R OG -=-． 10 同理，22222OF FG R OG -=-．11 又由上述两式，有2222OE EG OF FG -=-． 12 于是，由定差幂线定理，知OG EF ⊥．13 证法2如图321-，注意到完全四边形的性质．在完全四边形ECDGAB 中，其密克尔点N 14 在直线EG 上，且ON EG ⊥，由此知N 为过点G 的O 的弦的中点，亦即知O ，N ，F 三点15 共线，从而EN OF ⊥．16同理，在完全四边形FDAGBC 中，其密克尔点L 在直线FG 上，且OL FG ⊥，亦有FL OE ⊥． 17 于是，知G 为OEF △的垂心，故OG EF ⊥．18 证法3如图321-．注意到完全四边形的性质，在完全四边形ABECFD 中，其密克尔点M 19 在直线EF 上，且OM EF ⊥．联结BM 、CM 、DM 、OB 、OD ．20 此时，由密克尔点的性质，知E 、M 、C 、B 四点共圆，M 、F 、D 、C 四点共圆， 21 即有BME BCE DCF DMF ∠=∠=∠=∠， 22 从而9090BMO DMO DMF DCF ∠-∠=︒-∠=︒-∠23 90(180)90BCD BCD =︒-︒-∠=∠-︒24 11180909022BOD BOD BOD ⎛⎫=︒-∠-︒=︒-∠=∠ ⎪⎝⎭，25 即知点M 在OBD △的外接圆上．26 同理，知点M 也在OAC △的外接圆上，亦即知OM 为OBD 与OAC 的公共弦． 27 由于三圆O ，OBD ，OAC 两两相交，由根心定理，知其三条公共弦BD ，AC ，OM 28 共点于G ．即知O ，G ，M 共线，故OG EF ⊥． 29 该定理有如下推论30 推论1凸四边形ABCD 内接于O ，延长AB 、DC 交于点E ，延长BC 、AD 交于点F ，AC 31 与BD 交于点G ，直线OG 与直线EF 交于点M ，则M 为完全四边形ABECFD 的密克尔点． 32 事实上，若设M '为完全四边形ABECFD 的密克尔点，则M '在EF 上，且OM EF '⊥． 33 由勃罗卡定理，知OG EF ⊥，即OM EF ⊥．而过同一点只能作一条直线与已知直线垂直，34 从而OM 与OM '重合，即M 与M '重合．35 推论2凸四边形ABCD 内接于圆，延长AB 、DC 交于点E ，延长BC 、AD 交于点F ，AC36与BD 交于点G ，M 为完全四边形ABECFD 的密克尔点的充要条件是GM EF ⊥于M ． 37 推论3凸四边形ABCD 内接于圆O ，延长AB 、DC 交于点E ，延长BC 、AD 交于点F ，38 AC 与BD 交于点G ，则G 为OEF △的垂心．39 事实上，由定理的证法2即得，或者由极点公式：22222EG OE OG R =+-，40 22222FG OF OG R =+-，22222EF OE OF R =+-两两相减，再由定差幂线定理即证．41 下面给出定理及推论的应用实例．42 例1（2001年北方数学邀请赛题）设圆内接四边形的两组对边的延长线分别交于点P ，43 Q ，两对角线交于点R ，则圆心O 恰为PQR △的垂心．44 事实上，由推论3知R 为OPQ △的垂心，再由垂心组的性质即知O 为PQR △的垂心． 45 例2如图322-，凸四边形ABCD 内接于O ，延长AB ，DC 交于点E ，延长BC ，AD 交46 于点F ，AC 与BD 交于点P ，直线OP 交EF 于点G ．求证：AGB CGD ∠=∠．47图322F48 证明由勃罗卡定理知，OP EF ⊥于点G ．49 延长AC 交EF 于点Q ，则在完全四边形ABECFD 中，点P ，Q 调和分割AC ，从而GA ，GC ，50 GP ，GQ 为调和线束，而GP GQ ⊥，于是GP 平分AGC ∠，即AGP CGP ∠=∠．51 延长DB 交直线EF 于点L （或无穷远点L ），则知L ，P 调和分割BD ，同样可得52 BGP DGP ∠=∠．53故AGB CGD ∠=∠．54 例3（2011年全国高中联赛题）如图323-，锐角三角形ABC 的外心为O ，K 是边BC 上55 一点（不是边BC 的中点），D 是线段AK 延长线上一点，直线BD 与AC 交于N ，直线CD 与56 AB 交于点M ．57 求证：若OK MN ⊥，则A ，B ，D ，C 四点共圆．58图32359 证明用反证法．若A ，B ，D ，C 四点不共圆，则可设ABC △的外接圆O 与直线AD 交60 于点E ，直线CE 交直线AB 于P ．直线BE 交直线AC 于Q ．联结PQ ，则由勃罗卡定理，61 知OK PQ ⊥．62 由题设，OK MN ⊥，从而知PQ MN ∥． 63 即有AQ APQN PM=．① 64 对NDA △及截线BEQ ，对MDA △及截线CEP 分别应用梅涅劳斯定理 65 有1NB DE AQBD EA QN⋅⋅= 66 及1MC DE APCD EA PM⋅⋅=． 67 由①，②得NB MCBD CD=． 68再应用分比定理，有ND MDBD DC=， 69 从而DMN DCB △∽△．70 于是，DMN DCB ∠=∠．即有BC MN ∥，从而OK BC ⊥，得到K 为BC 的中点，这与已知71 矛盾．故A ，B ，D ，C 四点共圆．72 例4（1997年CMO 试题）设四边形ABCD 内接于圆，边AB 与DC 的延长线交于点P ，AD 73 与BC 的延长线交于点Q ．由点Q 作该圆的两条切线QE ，QF ，切点分别为E ，F ．求 74 证：P ，E ，F 三点共线．75 证明如图324-，设ABCD 的圆心为O ，AC 与BD 交于点G ，联结PQ ，则由勃罗卡定76 理，知OG PQ ⊥．77A图32478 设直线OG 交PQ 于点M ，则由推论1，知M 为完全四边形ABPCQD 的密克尔点，即知M 、79 Q 、D 、C 四点共圆．80 又O 、E 、Q 、F 四点共圆，且OQ 为其直径，注意到OM MQ ⊥，知点M 也在OEQF 上．81 此时，MQ ，CD ，EF 分别为MQDC ，OEMQF ，ABCD 两两相交的三条公共弦．由82 根心定理，知MQ 、CD 、EF 三条直线共点于P ．83故P ，E ，F 三点共线．84 例5（2006年瑞士国家队选拔赛题）在锐角ABC △中，AB AC ≠，H 为ABC △的垂心，M 85 为BC 的中点，D 、E 分别为AB ，AC 上的点，且AD AE =，D 、H 、E 三点共线．求证：86 ABC △的外接圆与ADE △的外接圆的公共弦垂直于HM ．87 证明如图325-，分别延长BH ，CH 交AC 、AB 于点B '、C '，则知A 、C '、H 、B '及B 、88 C 、B '、C '分别四点共圆，且AH 为AC HB ''的直径，点M 为BCB C ''的圆心．89HB'QCEMNBC 'PA图32590 设直线BC 与直线C B ''交于点Q ，联结AQ ，则在完全四边形BCQB AC ''中，由勃罗卡定理，91 知MH AQ ⊥．92 设直线MH 交AQ 于点P ，则由推论1，2知HP AQ ⊥，且P 为完全四边形BCQB AC ''的密93 克尔点，由此，即知P 为ABC 与AC HB ''的另一个交点，亦即AP 为ABC 与AC HB ''的94 公共弦，也可由根心定理，知三条公共弦BC ，C B ''，AP 所在直线共点于Q ．故AP HM ⊥． 95 下证点P 在ADE △的外接圆上．96 延长HM 至N ，使MN HM =，则四边形BNCH 为平行四边形，由此亦推知N 在ABC 上． 97 由DBH ECH △∽△， 98 有BD CEBH CH=． 99由BPN CPN S S =△△，有BP BN NC CP ⋅=⋅， 100 并注意BN CN =，NC BH =， 101 于是由*，有BD BH NC BPCE CH BN CP===， 102 即BD CEBP CP=． 103 而DBP ECP ∠=∠，则DBP ECP △∽△，即有BDP CEP ∠=∠． 104 于是，ADP AEP ∠=∠，即点P 在ADE △的外接圆上． 105 故ABC △的外接圆与ADE △的外接圆的公共弦AP 垂直于HM ． 106 下面看定理的演变及应用107 将定理中的凸四边形ABCD 内接于圆，演变成凸四边形外切于圆，则有108 例6如图326-，凸四边形ABCD 外切于O ，延长AB 、DC 交于点E ，延长BC 、AD 交109 于点F ，AC 与BD 交于点G ．则OG EF ⊥．110图326AS DFRCG OM BEN111 证明设O 与边AB ，BC ，CD ，DA 分别切于点M 、N 、R 、S ，则由牛顿定理，知AC 、112 BD 、MR 、NS 四线共点于G ．113 注意到EM ER =，在等腰ERM △中应用斯特瓦尔特定理，有22EG EM MG GR =-⋅．114同理，22FG FS SG GN =-⋅． 115 由上述两式相减，得116 2222EG FG EM FS MG GR SG GN -=--⋅+⋅．117 联结MO 、EO 、FO 、SO ，设O 的半径为r ，则由勾股定理，有222FM OE r =-，118 222FS OF r =-．又显然，有MG GR SG GN ⋅=⋅．119 于是，2222EG FG EO FO -=-． 120 由定差幂线定理，知OG EF ⊥．121 由此例及勃罗卡定理，则可简捷处理如下问题：122 例7（1989年IMO 预选题）证明：双心四边形的两个圆心与其对角线交点共线（双心四123 边形指既有外接圆，又有内切圆的四边形）．124 证明如图327-，设O ，I 分别为四边形ABCD 的外接圆、内切圆圆心，AC 与BD 交于点125 G ．当ABCD 为梯形时，结论显然成立，O ，I ，G 共线于上、下底中点的联线．126图327ADFCOI G BE127 当ABCD 不为梯形时，可设直线AD 与直线DC 交于点E ，直线BC 与直线AD 交于点F ，128 联结EF ．129 由勃罗卡定理，知OG EF ⊥；由例6的结论，知IG EF ⊥． 130 故O ，I ，G 三点共线．131将推论2中的凸四边形内接于圆演变为一般的完全四边形，其密克尔点变为凸四边形对132 角线交点在完全四边形另一条对角线上的射影，则有133 例8（2002年中国国家队选拔赛题）如图328-，设凸四边形ABCD 的两组对边所在直线134 分别交于E ，F 两点，两对角线的交点为P ，过P 作PO EF ⊥于点O ．求证：BOC AOD ∠=∠．135图328A DFOEP CB136 事实上，可类似于前面例2的证法即证得结论成立．137 将勃罗卡定理中的凸四边形对角线的交点演变为三角形的垂心，则有138 例9（2001年全国高中联赛题）如图329-，ABC △中，O 为外心，三条高AD 、BE 、CF 139 交于点H ，直线ED 和AB 交于点M ，FD 和AC 交于点N ．140图329AE CNMDBF OH141 求证：（1）OB DF ⊥，OC DE ⊥;（2）OH MN ⊥． 142 证明（1）由A 、C 、D 、F 四点共圆，知BDF BAC ∠=∠． 143 又()1180902OBC BOC BAC ∠=︒-∠=︒-∠，144即90OBD BDF ∠=︒-∠，故OB DF ⊥． 145 同理，OC DE ⊥．146 （2）要证OH MN ⊥，由定差幂线定理知，只要证明 147 有222MO MH NO NH -=-即可．148 注意到CH MA ⊥，有2222MC MH AC AH -=-，①149 BH NA ⊥，有2222NB NH AB AH -=-．② 150 DA BC ⊥，有2222BD CD BA AC -=-，③ 151 OB DN ⊥，有2222BN BD DN OD -=-，④152 OC DM ⊥，有2222CM CD DM OD -=-．⑤153 由①-②+③+④-⑤得2222NH MH ON OM -=-． 154 即有2222MO MH NO NH -=-． 155 故OH MN ⊥．156 将例9中的外心O 演变为一般的点，则有157 例10如图3210-，设H 是ABC △的垂心，O 是ABC △所在平面内一点，作HP OB ⊥于P ，158 交AC 的延长线于点N ，作HQ OC ⊥于Q 交AB 的延长线于点M ．求证：OH MN ⊥．15911 图3210AE C ND HO Q FB MP160证明要证OH MN ⊥，由定差幂线定理知，只要证明有2222OM HM HN ON -=-即可． 161注意到HN OB ⊥，HM OC ⊥，分别有 1622222OH ON BH BN -=-，2222OH OM CH CM -=-． 163从而得222222OM ON CM BN BH CH -=-+-．① 164由BH AN ⊥，有2222BA BN HA HN -=-， 165CH AM ⊥，有2222CA CM HA HM -=-， 166AH BC ⊥，有2222AB AC HB HC -=-． 167从而得222222HM HN CM BN BH CH -=-+-．② 168由①，②得2222OM ON HM HN -=-．故OH MN ⊥． 169170。