高中数学选修人教A导学案第3章 空间向量与立体几何§3.1.3 空间向量的数量积运算
选修第三章教案空间向量与立体几何精讲
第三章空间向量与立体几何3.1.1空间向量及其加减运算教学目标：⒈空间向量；⒉相等的向量；⒊空间向量的加减与数乘运算及运算律；教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律．教学难点：应用向量解决立体几何问题．教学过程：一、复习引入1、我们学习了有关平面向量的一些知识，什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：①用有向线段表示；②用字母a、b等表示；③用有向线段的起点与终点字母：．2、数学上所说的向量是自由向量，也就是说在保持向量的方向、大小的前提下可以将向量进行平移，由此我们可以得出向量相等的概念，（1）长度相等且方向相同的向量叫相等向量.（2）向量的加减以及数乘向量运算：向量的加法：向量的减法：实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下：(1)|λa|＝|λ||a|(2)当λ＞0时，λa与a同向；当λ＜0时，λa与a反向；当λ＝0时，λa＝0.3、关于向量的以上几种运算，有哪些运算律呢？加法交换律：a＋b＝b＋a加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c）数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb4、在平面向量的基础上，类比地引入空间向量的概念、表示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算率，并进行一些简单的应用．请阅读课本P84～P85．二、新课讲授（一）基本概念1、空间向量：空间中具有大小和方向的量叫做向量．2、空间向量也用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．3、向量的模：向量的大小叫向量的长度或模。
即表示向量的有向线段的长度。
4、单位向量：模是1的向量。
有向线段的起点与终点重合。
5、零向量：模是0的向量。
零向量的方向是任意的。
6、相等向量：模相等且方向相同的向量叫做相等向量．7、相反向量：模相等且方向相反的向量叫做相反向量．由以上知识可知，向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．因此我们说空间任意两个向量是共面的． 练习：给出下列命题：其中正确的是（ ）（1）将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆；（2）若空间向量a 、b ，=，则a =b ；（3）在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，必有向量AC=A 1C 1 （4）若空间向量：、==，则、= （5）空间中任意两个单位向量必相等。
2020_2021学年高中数学第3章空间向量与立体几何3.1.3空间向量的数量积运算素养课件新人教A
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4．如果 e1，e2 是两个夹角为 60°的单位向量，则 a＝e1＋e2 与 b＝e1－2e2 的夹角为________．
【答案】120° 【解析】由已知，e1·e2＝21，所以(e1＋e2)·(e1－2e2)＝－32， |e1＋e2|＝ 3，|e1－2e2|＝ 3. 所以 a 与 b 的夹角的余弦值为 cos 〈a，b〉＝|ee11＋＋ee22||ee11－－22ee22|＝－12.所以 a 与 b 的夹角为 120°.
4 ． 已 知 空 间 四 边 形 OABC ， OB ＝ OC ， ∠AOB＝∠AOC＝θ，则OA与BC的位置关系为 ________．
【答案】垂直 【解析】O→A·B→C＝O→A·(O→C－O→B)＝O→A·O→C－O→A·O→B＝|O→A
→ |·|OC|cos
θ－|O→A|·|O→B|cos
【解题探究】求|MN|即为求向量|ND|的模长.
求两点间的距离或线段的长度时，先将此线段用向量表 示，然后用其他已知夹角和模的向量表示该向量，再利用|a|=
，计算出|a|，即得所求距离.
找向量的夹角易出错 【示例】如图，AO⊥平面α，BC⊥OB， BC与平面α所成角为30°，AO＝BO＝BC＝ a，求AC长．
∴cos〈O→A，B→C〉＝|O→O→AA|··|B→B→CC|＝24－8×165
2＝3－52
2 .
∴OA 与 BC 所成角的余弦值为3－52
2 .
对于空间向量 a，b，有 cos〈a, b〉＝|aa|·|bb|，利用这一结论， 可以较方便地求解异面直线所成角的问题．由于向量夹角的取 值范围为[0，π]，而异面直线所成角的取值范围为0，π2，故当 〈a，b〉∈0，π2时，它们相等；而当〈a，b〉∈π2，π时，它 们互补．
高二数学人教版A版选修2-1课件：第三章 空间向量与立体几何 3.1.3
解析答
― → ― → ― → (2)| OA ＋ OB ＋ OC |.
解 ＝ ＝
― → ― → ― → | OA ＋ OB ＋ OC | →＋― →＋― →2 ― OA OB OC →2 ― →2 ― →2 ― →― → ― →― → ― →― → OA ＋ OB ＋ OC ＋2 OA · OB ＋ OB · OC ＋ OA · OC
＝ 12＋12＋12＋21×1×cos 60° ×3＝ 6.
解析答
类型二
例2
利用数量积求夹角
BB1⊥平面ABC，且△ABC是∠B＝90°的等腰直角三角形，▱ABB1A1、▱BB1C1C的对角线都分
别相互垂直且相等，若AB＝a，求异面直线BA1与AC所成的角.
反思与
解析答
跟踪训练2
且l⊥OA.
其中正确的有(
A.①② C.③④
)
D B.②③ D.②④
解析 结合向量的数量积运算律，只有②④正确.
解析答
1
2 3 4 5
― → ― → ― → 2.已知正方体 ABCD-A′B′C′D′的棱长为 a，设 AB ＝a，AD ＝b， AA′ ― ― → ― ― ― → ＝c，则〈A′B， B′D ′〉等于( A.30° C.90° B.60°
当堂训练
问题导学 知识点一 空间向量数量积的概念
思考
如图所示，在空间四边形 OABC 中，OA＝8，
AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45° ，∠OAB＝60° ， ― → ― → 类比平面向量有关运算，如何求向量 OA 与 BC 的数量 积？并总结求两个向量数量积的方法.
梳理
(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.
第3章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算教案新人教A版选修2_1
3.1 空间向量及其运算3.1.1 空间向量及其加减运算3.1.2 空间向量的数乘运算学习目标核心素养1．理解空间向量的概念．(难点)2．掌握空间向量的线性运算．(重点)3．掌握共线向量定理、共面向量定理及推论的应用．(重点、难点)1．通过空间向量有关概念的学习，培养学生的数学抽象核心素养．2．借助向量的线性运算、共线向量及共面向量的学习，提升学生的直观想象和逻辑推理的核心素养．1．空间向量(1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．(2)长度或模：向量的大小．(3)表示方法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作：AB→，其模记为|a|或|AB→|．2．几类常见的空间向量名称方向模记法零向量任意00单位向量任意1相反向量相反相等a的相反向量：－aAB→的相反向量：BA→相等向量相同相等a＝b3空间向量的运算加法OB→＝OA→＋OC→＝a＋b减法CA→＝OA→－OC→＝a－b加法运算律(1)交换律：a＋b＝b＋a(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)思考1：(1)空间中，a，b，c为不共面向量，则a＋b＋c的几何意义是什么？(2)平面向量的加减运算和空间向量的加减运算有什么联系？ [提示] (1)以a ，b ，c 为相邻棱的平行六面体的体对角线．(2)任意两个向量都可平移到同一平面，故空间向量的加减运算与平面向量的加减运算类似．4．空间向量的数乘运算(1)定义：实数λ与空间向量a 的乘积λa 仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．当λ>0时，λa 与向量a 方向相同；当λ<0时，λa 与向量a 方向相反；当λ＝0时，λa ＝0；λa 的长度是a 的长度的|λ|倍．(2)运算律：①λ(a ＋b )＝λa ＋λb ；②λ(μa )＝(λμ)a ． 5．共线向量和共面向量 (1)共线向量①定义：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．②共线向量定理：对于空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ使a ＝λb ．③点P 在直线AB 上的充要条件：存在实数t ，使OP →＝OA →＋tAB →． (2)共面向量①定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量．②共面向量定理：若两个向量a ，b 不共线，则向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b ．③空间一点P 位于平面ABC 内的充要条件：存在有序实数对(x ，y ), 使AP →＝xAB →＋yAC →或对空间任意一点O ，有OP →＝OA →＋xAB →＋yAC →．思考2：(1)空间中任意两个向量一定是共面向量吗？(2)若空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，满足OP →＝13OA →＋13OB →＋13OC →，则点P 与点A ，B ，C 是否共面？[提示] (1)空间中任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一个平面的两个向量，因此一定是共面向量．(2)由OP →＝13OA →＋13OB →＋13OC →得OP →－OA →＝13(OB →－OA →)＋13(OC →－OA →)即AP →＝13AB →＋13AC →，因此点P 与点A ，B ，C 共面．1．如图所示，在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1所有的棱中，可作为直线A 1B 1的方向向量的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个D [共四条：AB ，A 1B 1，CD ，C 1D 1．]2．已知空间四边形ABCD 中，AB →＝a ，CB →＝b ，AD →＝c ，则CD →＝( ) A ．a ＋b －c B ．－a －b ＋c C ．－a ＋b ＋cD ．－a ＋b －c C [CD →＝CB →＋BA →＋AD →＝CB →－AB →＋AD →＝－a ＋b ＋c ．]3．在三棱锥A -BCD 中，若△BCD 是正三角形，E 为其中心，则AB →＋12BC →－32DE →－AD →化简的结果为________．0 [延长DE 交边BC 于点F ，则有AB →＋12BC →＝AF →，32DE →＋AD →＝AD →＋DF →＝AF →，故AB →＋12BC →－32DE →－AD →＝0．]4．在三棱锥A -BCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，则AF →－12(AB →＋AC →)的化简结果为________．EF → [12(AB →＋AC →)＝AE →，AF →－12(AB →＋AC →)＝AF →－AE →＝EF →．]空间向量的有关概念【例①若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ；②若向量a 是向量b 的相反向量，则|a |＝|b |； ③在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AC →＝A 1C 1→； ④若空间向量m ，n ，p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ． 其中正确命题的序号是________．(2)如图所示，在平行六面体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，顶点连接的向量中，与向量AA ′→相等的向量有________；与向量A ′B ′→相反的向量有________．(要求写出所有适合条件的向量)(1)②③④ (2)BB ′→，CC ′→，DD ′→ B ′A ′→，BA →，CD →，C ′D ′→[(1)对于①，向量a 与b 的方向不一定相同或相反，故①错；对于②，根据相反向量的定义知|a |＝|b |，故②正确； 对于③，根据相等向量的定义知，AC →＝A 1C 1→，故③正确； 对于④，根据相等向量的定义知正确．](2)根据相等向量的定义知，与向量AA ′→相等的向量有BB ′→，CC ′→，DD ′→．与向量A ′B ′→相反的向量有B ′A ′→，BA →，CD →，C ′D ′→．]解答空间向量有关概念问题的关键点及注意点 (1)关键点：紧紧抓住向量的两个要素，即大小和方向. (2)注意点：注意一些特殊向量的特性.①零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的，且与任何向量都共线，这一点说明了共线向量不具备传递性.②单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1.③两个向量模相等，不一定是相等向量；反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同.若两个向量模相等，方向相反，则它们为相反向量.[跟进训练]1．如图所示，以长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中，(1)试写出与AB →相等的所有向量； (2)试写出AA 1→的相反向量；(3)若AB ＝AD ＝2，AA 1＝1，求向量AC 1→的模．[解] (1)与向量AB →相等的向量有A 1B 1→，DC →，，D 1C 1→，共3个； (2)向量AA 1→的相反向量为A 1A →，B 1B →，C 1C →，D 1D →，共4个； (3)|AC 1→|2＝22＋22＋12＝9，所以|AC 1→|＝3．空间向量的线性运算【例2】 (1)如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算结果为向量AC 1→的有( )①(AB →＋BC →)＋CC 1→； ②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→；③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→； ④(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→． A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个(2)如图所示，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：①AP →； ②A 1N →； ③MP →＋NC 1→．思路探究：(1)根据向量的三角形法则和平行四边形法则求解． (2)根据数乘向量及三角形法则，平行四边形法则求解． (1)D [对于①，(AB →＋BC →)＋CC 1→＝AC →＋CC 1→＝AC 1→， 对于②，(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→＝AD 1→＋D 1C 1→＝AC 1→， 对于③，(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→， 对于④，(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→．](2)解：①∵点P 是C 1D 1的中点，∴AP →＝AA 1→＋A 1D 1→＋D 1P →＝AA 1→＋AD →＋12AB →＝a ＋c ＋12b ，②∵点N 是BC 的中点，∴A 1N →＝A 1A →＋AB →＋BN →＝－AA 1→＋AB →＋12AD →＝－a ＋b ＋12c ，③∵点M 是AA 1的中点，∴MP →＋NC 1→＝MA 1→＋A 1D 1→＋D 1P →＋NC →＋CC 1→＝12a ＋c ＋12b ＋12c ＋a ＝32a ＋12b ＋32c ．1．空间向量加法、减法运算的两个技巧(1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接．(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果．2．利用数乘运算进行向量表示的技巧(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质．[跟进训练]2．已知ABCD 为正方形，P 是ABCD 所在平面外的一点，P 在平面ABCD 上的射影恰好是正方形ABCD 的中点O ，Q 是CD 的中点，求下列各式中x ，y 的值．(1)OQ →＝PQ →＋xPC →＋yP A →； (2)P A →＝xPO →＋yPQ →＋PD →．[解] (1)如图所示，OQ →＝PQ →＋OP →，由向量加法的平行四边形法则可得PO →＝12(PC →＋P A →)，∴OP →＝－12PC →－12P A →，∴OQ →＝PQ →＋OP →＝PQ →－12PC →－12P A →，∴x ＝－12，y ＝－12．(2)∵P A →＝PD →＋DA →＝PD →＋2QO →＝PD →＋2(PO →－PQ →)＝PD →＋2PO →－2PQ →， ∴x ＝2，y ＝－2．共线问题【例3】 (1)设e 1，e 2是空间两个不共线的向量，已知AB →＝e 1＋k e 2，BC →＝5e 1＋4e 2，DC →＝－e 1－2e 2，且A ，B ，D 三点共线，实数k ＝________．(2)如图正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 为A 1C 上一点，且A 1O ＝23A 1C →，BD 与AC 交于点M ．求证：C 1，O ，M 三点共线．思路探究：(1)根据向量共线的充要条件求解． (2)用向量AB →，AD →，AA 1→分别表示MO →和MC 1→．(1)1 [AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(e 1＋k e 2)＋(5e 1＋4e 2)＋(e 1＋2e 2)＝7e 1＋(k ＋6)e 2． 设AD →＝λAB →，则7e 1＋(k ＋6)e 2＝λ(e 1＋k e 2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝7λk ＝k ＋6，解得k ＝1．](2)解：设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则MO →＝MC →＋CO →＝12AC →＋13CA 1→＝12(AB →＋AD →)＋13(CA →＋AA 1→) ＝12AB →＋12AD →＋13(CB →＋CD →＋AA 1→) ＝12AB →＋12AD →－13AD →－13AB →＋13AA 1→ ＝16AB →＋16AD →＋13AA 1→＝16a ＋16b ＋13c ， MC 1→＝MC →＋CC 1→＝12AC →＋AA 1→＝12(AB →＋AD →)＋AA 1→，＝12a ＋12b ＋c ，∴MC 1→＝3MO →，又直线MC 1与直线MO 有公共点M ， ∴C 1，O ，M 三点共线．1．判断向量共线的策略(1)熟记共线向量的充要条件：①若a ∥b ，b ≠0，则存在唯一实数λ使a ＝λb ；②若存在唯一实数λ，使a ＝λb ，b ≠0，则a ∥b ．(2)判断向量共线的关键：找到实数λ． 2．证明空间三点共线的三种思路对于空间三点P ，A ，B 可通过证明下列结论来证明三点共线． (1)存在实数λ，使P A →＝λPB →成立．(2)对空间任一点O ，有OP →＝OA →＋tAB →(t ∈R )． (3)对空间任一点O ，有OP →＝xOA →＋yOB →(x ＋y ＝1)．[跟进训练]3．(1)已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )A ．A ，B ，D B ．A ，B ，C C ．B ，C ，DD ．A ，C ，DA [因为AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(a ＋2b )＋(－5a ＋6b )＋(7a －2b )＝3a ＋6b 所以AD →＝3AB →．又直线AB ，AD 有公共点A ，故A ，B ，D 三点共线．](2)如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 在A 1D 1上，且A 1E →＝2ED 1→，F 在对角线A 1C 上，且A 1F →＝23FC →．求证：E ，F ，B 三点共线．[证明] 设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ， 因为A 1E →＝2ED 1→，A 1F →＝23FC →，所以A 1E →＝23A 1D 1→，A 1F →＝25A 1C →，所以A 1E →＝23AD →＝23b ，A 1F →＝25(AC →－AA 1→)＝25(AB →＋AD →－AA 1→)＝25a ＋25b －25c ，所以EF →＝A 1F →－A 1E →＝25a －415b －25c＝25⎝⎛⎭⎫a －23b －c ． 又EB →＝EA 1→＋A 1A →＋AB →＝－23b －c ＋a ＝a －23b －c ，所以EF →＝25EB →，所以E ，F ，B 三点共线．向量共面问题[1．能说明P ，A ，B ，C 四点共面的结论有哪些？ [提示] (1)存在有序实数对(x ，y )，使得AP →＝xAB →＋yAC →．(2)空间一点P 在平面ABC 内的充要条件是存在有序实数组(x ，y ，z )使得OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x ＋y ＋z ＝1)．(3)P A →∥BC →．2．已知向量a ，b ，c 不共面，且p ＝3a ＋2b ＋c ，m ＝a －b ＋c ，n ＝a ＋b －c ，试判断p ，m ，n 是否共面．[提示] 设p ＝x m ＋y n ，即3a ＋2b ＋c ＝x (a －b ＋c )＋ y (a ＋b －c )＝(x ＋y )a ＋(－x ＋y )b ＋(x －y )c ． 因为a ，b ，c 不共面，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，－x ＋y ＝2，x －y ＝1，而此方程组无解，所以p 不能用m ，n 表示， 即p ，m ，n 不共面．【例4】 如图所示，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在的平面互相垂直，点M ，N 分别在对角线BD ，AE 上，且BM ＝13BD ，AN ＝13AE ．求证：向量MN →，CD →，DE →共面．思路探究：可通过证明MN →＝xCD →＋yDE →求证．[证明] 因为M 在BD 上，且BM ＝13BD ，所以MB →＝13DB →＝13DA →＋13AB →．同理AN →＝13AD →＋13DE →． 所以MN →＝MB →＋BA →＋AN →＝⎝⎛⎭⎫13DA →＋13AB →＋BA →＋⎝⎛⎭⎫13AD →＋13DE → ＝23BA →＋13DE →＝23CD →＋13DE →． 又CD →与DE →不共线，根据向量共面的充要条件可知MN →，CD →，DE →共面．1．利用四点共面求参数向量共面的充要条件的实质是共面的四点中所形成的两个不共线的向量一定可以表示其他向量，对于向量共面的充要条件，不仅会正用，也要能够逆用它求参数的值．2．证明空间向量共面或四点共面的方法(1)向量表示：设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若p ＝x a ＋y b ，则向量p ，a ，b 共面．(2)若存在有序实数组(x ，y ，z )使得对于空间任一点O ，有OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，且x ＋y ＋z ＝1成立，则P ，A ，B ，C 四点共面．(3)用平面：寻找一个平面，设法证明这些向量与该平面平行．[跟进训练]4．已知A ，B ，C 三点不共线，平面ABC 外的一点M 满足OM →＝12OA →＋13OB →＋16OC →．(1)判断MA →，MB →，MC →三个向量是否共面； (2)判断点M 是否在平面ABC 内． [解] (1)因为OM →＝12OA →＋13OB →＋16OC →，所以6OM →＝3OA →＋2OB →＋OC →，所以3OA →－3OM →＝(2OM →－2OB →)＋(OM →－OC →)， 因此3MA →＝2BM →＋CM →＝－2MB →－MC →． 故向量MA →，MB →，MC →共面．(2)由(1)知向量MA →，MB →，MC →共面，三个向量又有公共点M ，故M ，A ，B ，C 共面，即点M 在平面ABC 内．1．一些特殊向量的特性(1)零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的． (2)单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1．(3)两个向量模相等，不一定是相等向量，反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同．若两个向量模相等，方向相反，则它们为相反向量．2．四点P ，A ，B ，C 共面⇔对空间任意一点O ，都有OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，且x ＋y ＋z ＝1．3．OP →＝OA →＋xAB →＋yAC →称为空间平面ABC 的向量表达式．由此可知空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．4．证明(或判断)三点A ，B ，C 共线时，只需证明存在实数λ，使AB →＝λBC →(或AB →＝λAC →)即可，也可用“对空间任意一点O ，有OC →＝tOA →＋(1－t )OB →”来证明三点A ，B ，C 共线．5．空间一点P 位于平面MAB 内的充要条件是存在有序实数对(x ，y )，使MP →＝xMA →＋yMB →，满足这个关系式的点都在平面MAB 内；反之，平面MAB 内的任一点都满足这个关系式．这个充要条件常用于证明四点共面．1．下列说法正确的是( )A ．若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相同，方向相同或相反B ．若向量a 是向量b 的相反向量，则|a |＝|b |C ．两个向量相等，若它们的起点相同，则其终点不一定相同D ．若|a |>|b |，|b |>|c |，则a >cB [对于A ，由|a |＝|b |可得a 与b 的长度相同，但方向不确定；对于B ，a 与b 是相反向量，则它们的模相等，故B 正确；对于C ，两向量相等，若它们的起点相同，则它们的终点一定相同，故C 错；对于D ，向量不能比较大小，故D 错．]2．如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列各式运算结果为BD 1→的是( )①A 1D 1→－A 1A →－AB →； ②BC →＋BB 1→－D 1C 1→； ③AD →－AB →－DD 1→； ④B 1D 1→－A 1A →＋DD 1→．A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④ A [①A 1D 1→－A 1A →－AB →＝AD 1→－AB →＝BD 1→； ②BC →＋BB 1→－D 1C 1→＝BC 1→＋C 1D 1→＝BD 1→；③AD →－AB →－DD 1→＝BD →－DD 1→＝BD →－BB 1→＝B 1D →≠BD 1→；④B 1D 1→－A 1A →＋DD 1→＝BD →＋AA 1→＋DD 1→＝BD 1→＋AA 1→≠BD 1→，故选A ．] 3．化简：12(a ＋2b －3c )＋5⎝⎛⎭⎫23a －12b ＋23c －3(a －2b ＋c )＝________． 56a ＋92b －76c [原式＝12a ＋b －32c ＋103a －52b ＋103c －3a ＋6b －3c ＝⎝⎛⎭⎫12＋103－3a ＋⎝⎛⎭⎫1－52＋6b ＋⎝⎛⎭⎫－32＋103－3c ＝56a ＋92b －76c ．] 4．如图，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ．试用a ，b ，c 表示B 1M →，C 1M →．[解] B 1M →＝B 1A 1→＋A 1A →＋AM →＝－a ＋c ＋12AC →＝－a ＋c ＋12(a ＋b )＝－12a ＋12b ＋c ，C 1M →＝C 1B 1→＋B 1M →＝D 1A 1→＋B 1M → ＝－b －12a ＋12b ＋c＝－12a －12b ＋c ．。
2020-2021学年高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1.3 空间向量的数量积运算课时跟踪
2020-2021学年高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.3 空间向量的数量积运算课时跟踪训练新人教A版选修2-1年级：姓名：空间向量的数量积运算[A 组 学业达标]1．正方体ABCD A ′B ′C ′D ′中，向量AB ′→与BC ′→的夹角是( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．90°解析：BC ′∥AD ′，△AD ′B ′为正三角形， ∴∠D ′AB ′＝60°， ∴〈AB ′→，BC ′→〉＝60°. 答案：C2．在如图所示的正方体中，下列各对向量的夹角为135°的是( )A.AB →与A ′C ′→B.AB →与C ′A ′→C.AB →与A ′D ′→D.AB →与B ′A ′→解析：〈AB →，A ′C ′→〉＝〈AB →，AC →〉＝45°； 〈AB →，C ′A ′→〉＝180°－〈AB →，AC →〉＝135°； 〈AB →，A ′D ′→〉＝〈AB →，AD →〉＝90°； 〈AB →，B ′A ′→〉＝180°. 答案：B3.如图，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，M 为A 1C 1的中点，若AB →＝a ，AA 1→＝c ，BC →＝b ，则下列向量与BM →相等的是( ) A ．－12a ＋12b ＋cB.12a ＋12b ＋c C ．－12a －12b ＋cD.12a －12b ＋c 解析：BM →＝BB 1→＋B 1M →＝AA 1→＋12(B 1A 1→＋B 1C 1→)＝AA 1→＋12(BA →＋BC →)＝12(－a ＋b )＋c ＝－12a ＋12b ＋c . 答案：A4．已知e 1，e 2是夹角为60°的两个单位向量，则a ＝e 1＋e 2与b ＝e 1－2e 2的夹角是( ) A ．60° B ．120° C ．30°D ．90°解析：a·b ＝(e 1＋e 2)·(e 1－2e 2)＝e 21－e 1·e 2－2e 22＝1－1×1×12－2＝－32，|a |＝a 2＝e 1＋e 22＝e 21＋2e 1·e 2＋e 22＝1＋1＋1＝3， |b |＝b 2＝e 1－2e 22＝e 21－4e 1·e 2＋4e 22＝1－2＋4＝ 3.∴cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b |＝－323＝－12.∴〈a ，b 〉＝120°. 答案：B5．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，有下列命题： ①(AA 1→＋AD →＋AB →)2＝3AB →2； ②A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝0； ③AD 1→与A 1B →的夹角为60°； ④正方体的体积为|AB →·AA 1→·AD →|. 其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：如图所示，(AA 1→＋AD →＋AB →)2＝(AA 1→＋A 1D 1→＋D 1C 1→)2＝AC 1→2＝3AB →2；A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝A 1C →·AB 1→＝0；AD 1→与A 1B →的夹角是D 1C →与D 1A →夹角的补角，而D 1C →与D 1A →的夹角为60°，故AD 1→与A 1B →的夹角为120°；正方体的体积为|AB →||AA 1→||AD →|.综上可知，①②正确． 答案：B6．已知|a |＝13，|b |＝19，|a ＋b |＝24，则|a －b |＝________.解析：|a ＋b |2＝a 2＋2a·b ＋b 2＝132＋2a·b ＋192＝242，∴2a·b ＝46，|a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝530－46＝484，故|a －b |＝22. 答案：227．已知a ，b 是异面直线，A ，B ∈a ，C ，D ∈b ，AC ⊥b ，BD ⊥b ，且AB ＝2，CD ＝1，则a ，b 所成的角是________．解析：AB →＝AC →＋CD →＋DB →，∴CD →·AB →＝CD →·(AC →＋CD →＋DB →)＝|CD →|2＝1， ∴cos 〈CD →，AB →〉＝CD →·AB→|CD →||AB →|＝12，∴异面直线a ，b 所成角是60°. 答案：60°8．如图，已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，则A 1B →·B 1C →＝________.解析：A 1B →·B 1C →＝A 1B →·A 1D →＝|A 1B →|·|A 1D →|·cos →〈A 1B →，A 1D →〉＝2a ×2a ×cos 60°＝a 2. 答案：a 29.如图所示，已知平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CB ＝∠C 1CD ＝∠BCD ＝60°.求证：CC 1⊥BD . 证明：设CB →＝a ，CD →＝b ，CC 1→＝c ， 则|a |＝|b |.∵BD →＝CD →－CB →＝b －a ， ∴BD →·CC 1→＝(b －a )·c＝b·c －a·c ＝|b ||c |cos 60°－|a ||c |cos 60°＝0， ∴CC 1→⊥BD →， 即CC 1⊥BD .10.已知正四面体OABC 的棱长为1.求： (1)OA →·OB →；。
高二数学选修第三章空间向量与立体几何学案
第三章《空间向量与立体几何》学案设计人:杨光明3.1.1空间向量及其运算学习目标1. 理解空间向量的概念，掌握其表示方法；2. 会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题． 重点：空间向量的加法、减法和数乘运算及运算律。
难点：应用向量解决立体几何中的问题。
学习过程 一、课前准备复习 1：平面向量基本概念； 加法交换律：a ＋b ＝b ＋a2：平面向量有加减以及数乘向量运算； 加法结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋（b ＋c ） 3. 向量加法和数乘向量，以下运算律成立吗？ 数乘分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb 二、新课导学 学习探究探究任务一：空间向量的相关概念问题： 什么叫空间向量？空间向量中有零向量，单位向量，相等向量吗？空间向量如何表示？新知：空间向量的加法和减法运算：空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，变为两个平面向量的加法和减法运算。
反思：空间向量加法与数乘向量有如下运算律吗？ ⑴加法交换律：A. + B. = B. + a ；⑵加法结合律：(A. + b ) + C. =A. + (B. + c )； ⑶数乘分配律：λ(A. + b ) =λA. +λb ． 典型例题例1 已知平行六面体''''ABCD A B C D -（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：AB BC +⑴；'AB AD AA ++⑵； 1'2AB AD CC ++⑶； 1(')2AB AD AA ++⑷． 变式：在上图中，用',,AB AD AA 表示'',AC BD 和'DB . 例2 化简下列各式：⑴ AB BC CA ++; ⑵;AB MB BO OM +++⑶;AB AC BD CD -+- ⑷ OA OD DC --.练1. 已知平行六面体''''ABCD A B C D -, M 为A 1C 1与B 1D 1的交点，化简下列表达式：⑴ 111AA A B +;⑵ 11111122A B A D +; ⑶ 111111122AA A B A D ++ ⑷ 1111AB BC CC C A A A ++++.三、总结提升学习小结 1. 空间向量基本概念；2. 空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律 四、课后反思3.1.2 空间向量的数乘运算（一）学习目标1. 掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简；2. 理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题． 重点：空间向量的共线 难点：空间向量的共线 学习过程 一、课前准备复习1：化简：⑴ 5（32a b -）+4（23b a -）； ⑵ ()()63a b c a b c -+--+-. 复习2：在平面上，什么叫做两个向量平行？在平面上有两个向量,a b ， 若b 是非零向量，则a 与b 平行的充要条件是 二、新课导学 学习探究探究任务一：空间向量的共线问题：空间任意两个向量有几种位置关系？如何判定它们的位置关系？ 新知：空间向量的共线：1. 如果表示空间向量的 所在的直线互相 或 ，则这些向量叫共线向量，也叫平行向量.2. 空间向量共线：定理：对空间任意两个向量,a b （0b ≠）， //a b 的充要条件是存在唯一实数λ，使得 试试：已知5,28,AB a b BC a b =+=-+()3CD a b =- ，求证: A,B,C 三点共线. 典型例题例1 已知直线AB ，点O 是直线AB 外一点，若OP xOA yOB =+，且x +y ＝1，试判断A,B,P 三点是否共线？变式：已知A,B,P 三点共线，点O 是直线AB 外一点，若12OP OA tOB =+，那么t ＝例2 已知平行六面体''''ABCD A B C D -，点M 是棱AA '的中点，点G 在对角线A 'C 上，且CG:GA '=2:1,设CD =a ，',CB b CC c ==，试用向量,,a b c 表示向量',,,CA CA CM CG . 练1. 下列说法正确的是（ ）A. 向量a 与非零向量b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线；B. 任意两个共线向量不一定是共线向量；C. 任意两个共线向量相等；D. 若向量a 与b 共线，则a b λ=. 2. 已知32,(1)8a m n b x m n =-=++，0a ≠，若//a b ，求实数.x 三、总结提升学习小结1. 空间向量的数乘运算法则及它们的运算律；2. 空间两个向量共线的充要条件及推论. 课后反思：3.1.2 空间向量的数乘运算（二）学习目标1. 掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简；2. 理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题． 重点：空间向量的共面 难点：空间向量的共面 学习过程 一、课前准备复习1：什么叫空间向量共线？空间两个向量,a b ， 若b 是非零向量，则a 与b 平行的充要条件是2：已知直线AB ，点O 是直线AB 外一点，若1233OP OA OB =+，试判断A,B,P 三点是否共线？二、新课导学学习探究探究任务一：空间向量的共面问题：空间任意两个向量不共线的两个向量,a b 有怎样的位置关系？空间三个向量又有怎样的位置关系？ 1.新知：共面向量： 同一平面的向量. 2. 空间向量共面：定理：对空间两个不共线向量,a b ，向量p 与向量,a b 共面的充要条件是存在 ， 使得 .推论：空间一点P 与不在同一直线上的三点A,B,C 共面的充要条件是：⑴ 存在 ，使 ⑵ 对空间任意一点O ，有试试：若空间任意一点O 和不共线的三点A,B,C 满足关系式111236OP OA OB OC =++,则点P 与 A,B,C 共面吗？反思：若空间任意一点O 和不共线的三点A,B,C 满足关系式OP xOA yOB zOC =++,且点P 与 A,B,C 共面，则x y z ++= . 典型例题例1 下列等式中，使M ,A ,B ,C 四点共面的个数是（ ）①;OM OA OB OC =-- ②111;532OM OA OB OC =++③0;MA MB MC ++= ④0OM OA OB OC +++=. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4变式：已知A,B,C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若向量()17,53OP OA OB OC R λλ=++∈则P,A,B,C 四点共面的条件是λ= 例2 P88例一变式1：已知空间四边形ABCD 的四个顶点A,B,C,D 不共面，E,F,G,H 分别是 AB,BC,CD,AD 的中点，求证：E,F,G,H 四点共面. 2. 已知32,(1)8a m n b x m n =-=++，0a ≠，若//a b ，求实数.x三、总结提升学习小结1. 空间向量的数乘运算法则及它们的运算律；2. 空间两个向量共线的充要条件及推论. 课后反思3.1.3．空间向量的数量积学习目标1. 掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；2. 掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题． 重点：空间向量的数量积定义和性质 难点：空间向量的数量积性质与运算 学习过程 一、课前准备复习1：什么是平面向量a 与b 的数量积？2：在边长为1的正三角形⊿ABC 中，求AB BC ∙. 二、新课导学 学习探究探究任务一：空间向量的数量积定义和性质问题：在几何中，夹角与长度是两个最基本的几何量，能否用向量的知识解决空间两条直线的夹角和空间线段的长度问题？新知：1) 两个向量的夹角的定义：已知两非零向量,a b ，在空间 一点O ，作,OA a OB b ==，则AOB ∠叫做向量a 与b 的夹角，记作 . 试试：⑴ 范围: ,a b ≤<>≤ ,a b 〈〉=0时,a b 与 ;,a b 〈〉=π时,a b 与 ⑵ ,,a b b a <>=<>成立吗？ ⑶,a b <>= ，则称a 与b 互相垂直，记作 . 2) 向量的数量积：已知向量,a b ，则 叫做,a b 的数量积，记作a b ⋅，即a b ⋅= . 规定:零向量与任意向量的数量积等于零.A B CD FE G H反思：⑴ 两个向量的数量积是数量还是向量？ 4) 空间向量数量积运算律： ⑵ 0a ∙= （选0还是0） （1）()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅． ⑶ 你能说出a b ⋅的几何意义吗？ （2）a b b a ⋅=⋅（交换律）．3) 空间向量数量积的性质： （3）()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅（分配律） （1）设单位向量e ，则||cos ,a e a a e ⋅=<>．（2）a b a b ⊥⇔⋅= ．（3）a a ⋅= ＝ .5）⑴ )()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅（吗？⑵ 若a b a c ⋅=⋅，则b c =吗？⑶ 若0a b ⋅=，则00a b ==或吗？ 典型例题例 1 用向量方法证明：在平面上的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.例2 如图，在空间四边形ABCD 中，2AB =，3BC =，23BD =，3CD =， 30ABD ∠=，60ABC ∠=，求AB 与CD 的夹角的余弦值变式：如图，在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，若AB =2BB 1,则AB 1与C 1B 所成的角为（ ）A. 60°B. 90°C. 105°D. 75°三、总结提升学习小结1..向量的数量积的定义和几何意义.2. 向量的数量积的性质和运算律的运用. 课后反思： 知识拓展向量给出了一种解决立体几何中证明垂直问题，求两条直线的夹角和线段长度的新方法.3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示学习目标1. 掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示；2. 掌握空间向量的坐标运算的规律；重点：空间向量基本定理、向量的直角坐标运算 难点：空间向量的正交分解、空间向量的坐标表示 学习过程 一、课前准备复习1：平面向量基本定理： 复习2：平面向量的坐标表示： 二、新课导学 学习探究探究任务一：空间向量的正交分解问题：对空间的任意向量a ，能否用空间的几个向量唯一表示？如果能，那需要几个向量？这几个向量有何位置关系？新知：（1）空间向量的正交分解：空间的任意向量a ，均可分解为不共面的三个向量11a λ、22a λ、33a λ，使112233a a a a λλλ=++. 如果123,,a a a 两两 ，这种分解就是空间向量的正交分解.(2)空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c ，对空间任一向量p ，存在有序实数组{,,}x y z ，使得p xa yb zc =++. 把 的一个基底，,,a b c 都叫做基向量. 反思：空间任意一个向量的基底有 个.⑶单位正交分解：如果空间一个基底的三个基向量互相 ，长度都为 ，则这个基底叫做单位正交基底，通常用｛i,j,k ｝表示.⑷空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系O -xyz 和向量a ，且设i 、j 、k 为 x 轴、y 轴、z 轴正方向的单位向量，则存在有序实数组{,,}x y z ，使得a xi y j zk =++，则称有序实数组{,,}x y z 为向量a 的坐标，记着p = .⑸设A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则AB ＝ . ⑹向量的直角坐标运算：设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则DA B C⑴a ＋b ＝112233(,,)a b a b a b +++； ⑵a －b ＝112233(,,)a b a b a b ---； ⑶λa ＝123(,,)a a a λλλ()R λ∈； ⑷a ·b ＝112233a b a b a b ++. 试试：1. 设23a i j k =-+，则向量a 的坐标为 .2. 若A (1,0,2)，B (3,1,1)-，则AB ＝ .3. 已知a ＝(2,3,5)-，b ＝(3,1,4)--，求a ＋b ，a －b ，8a ，a ·b 练1. 已知()()()2,3,1,2,0,3,0,0,2a b c =-==，求： ⑴()a b c ∙+； ⑵68a b c +-.练2. 正方体''''ABCD A B C D -的棱长为2，以A 为坐标原点，以'AB,AD,AA 为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系，则点1D ，',AC AC 的坐标分别是 ， ， .三、总结提升 学习小结1. 空间向量的正交分解及空间向量基本定理；2. 空间向量坐标表示及其运算 课后反思： 知识拓展建立空间直角坐标系前，一定要验证三条轴的垂直关系，若图中没有建系的环境，则根据已知条件，通过作辅助线来创造建系的图形.3.1.5 空间向量运算的坐标表示学习目标1. 掌握空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式；2. 会用这些公式解决有关问题.重点：空间向量坐标表示夹角和距离公式 难点：空间向量坐标表示夹角和距离公式 学习过程 一、课前准备复习1：设在平面直角坐标系中，A (1,3)，B (1,2)-，则线段︱AB ︱＝ . 复习2：已知()()3,2,5,1,5,1a b =-=-，求：⑴a ＋B. ⑵3a －b ； ⑶6A. ； ⑷a ·b . 二、新课导学 学习探究探究任务一：空间向量坐标表示夹角和距离公式问题：在空间直角坐标系中，如何用坐标求线段的长度和两个向量之间的夹角？ 新知：1. 向量的模：设a ＝123(,,)a a a ，则｜a ｜＝2. 两个向量的夹角公式：设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，由向量数量积定义：a ·b ＝|a ||b |cos ＜a ,b ＞， 又由向量数量积坐标运算公式：a ·b ＝ ，由此可以得出：cos ＜a ,b ＞＝ 试试：① 当cos ＜a 、b ＞＝1时，a 与b 所成角是 ； ② 当cos ＜a 、b ＞＝－1时，a 与b 所成角是 ；③ 当cos ＜a 、b ＞＝0时，a 与b 所成角是 ，即a 与b 的位置关系是 ，用符合表示为 . 反思：设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则⑴ a //b. ⇔ a 与b 所成角是 ⇔ a 与b 的坐标关系为 ； ⑵ a ⊥b ⇔a 与b 的坐标关系为 ； 3. 两点间的距离公式：在空间直角坐标系中，已知点111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则线段AB 的长度为：222211212()()()AB x x y y z z =-+-+-.4. 线段中点的坐标公式：在空间直角坐标系中，已知点111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则线段AB 的中点坐标为: .典型例题例 1. 如图,在正方体1111ABCD A B C D -中，点11,E F 分别是1111,A B C D 的一个四等分点，求1BE 与1DF 所成的角的余弦值．变式：如上图,在正方体1111ABCD A B C D -中，1111113A BB E D F ==，求1BE 与1DF 所成角的余弦值．例2. 如图，正方体1111ABCD A B C D -中，点E,F 分别是111,BB D B 的中点，求证：1EF DA ⊥.变式：如图，正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是AB 的中点，求1DB 与CM 所成角的余弦值. 三、总结提升学习小结1. 空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式；2. 解决立体几何中有关向量问题的关键是如何建立合适的空间直角坐标系，写出向量的坐标，然后再代入公式进行计算. 课后反思：3.2立体几何中的向量方法（1）设计人：韩爱芳学习目标1. 掌握直线的方向向量及平面的法向量的概念;2. 掌握利用直线的方向向量及平面的法向量解决平行、垂直、夹角等立体几何问题． 重点：向量表示空间的点、直线、平面、平面的法向量 难点：直线的方向向量、平面的法向量 学习过程 一、课前准备复习1： 可以确定一条直线；确定一个平面的方法有哪些？ 复习2：如何判定空间A ,B ,C 三点在一条直线上？复习3：设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，a ·b ＝二、新课导学学习探究探究任务一： 向量表示空间的点、直线、平面问题：怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置？新知： ⑴ 点：在空间中，我们取一定点O 作为基点，那么空间中任意一点P 的位置就可以用向量OP 来表示，我们把向量OP 称为点P 的位置向量.⑵ 直线：① 直线的方向向量：和这条直线平行或共线的非零向量.② 对于直线l 上的任一点P ,存在实数t ，使得AP t AB =，此方程称为直线的向量参数方程. ⑶ 平面：① 空间中平面α的位置可以由α内两个不共线向量确定.对于平面α上的任一点P ,,a b 是平面α内两个不共线向量，则存在有序实数对(,)x y ,使得OP xa yb =+.② 空间中平面α的位置还可以用垂直于平面的直线的方向向量表示空间中平面的位置.⑷ 平面的法向量：如果表示向量n 的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量n 垂直于平面α,记作n ⊥α，那 么向量n 叫做平面α的法向量. 试试：1.如果,a b 都是平面α的法向量，则,a b 的关系 .2.向量n 是平面α的法向量，向量a 是与平面α平行或在平面内，则n 与a 的关系是 . ⑸ 向量表示平行、垂直关系：设直线,l m 的方向向量分别为,a b ，平面,αβ 的法向量分别为,u v ，则 ① l ∥m ⇔a ∥b a kb ⇔= ② l ∥α⇔a u ⊥0a u ⇔⋅= ③ α∥β⇔u ∥v .u kv ⇔= 典型例题例1 已知两点()()1,2,3,2,1,3A B --,求直线AB 与坐标平面YOZ 的交点.变式：已知三点()()1,2,3,2,1,2,A B ()1,1,2P ,点Q 在OP 上运动（O 为坐标原点）,求当QA QB ∙取得最小值时,点Q 的坐标.例2 在空间直角坐标系中,已知()()()3,0,0,0,4,0,0,0,2A B C ,试求平面ABC 的一个法向量. 练1. 设,a b 分别是直线12,l l 的方向向量，判断直线12,l l 的位置关系：⑴ ()()1,2,2,2,3,2a b =-=-；⑵ ()()0,0,1,0,0,3a b ==.练2. 设,u v 分别是平面,αβ的法向量，判断平面,αβ的位置关系： ⑴ ()()1,2,2,2,4,4u v =-=--；⑵ ()()2,3,5,3,1,4u v =-=--.三、总结提升 学习小结1. 空间点，直线和平面的向量表示方法2. 平面的法向量求法和性质. 知识拓展：求平面的法向量步骤：⑴设平面的法向量为(,,)n x y z =；⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标；⑶根据法向量的定义建立关于,,x y z 的方程组；⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.3.2立体几何中的向量方法（2）学习目标1. 掌握利用向量运算解几何题的方法，并能解简单的立体几何问题；2. 掌握向量运算在几何中求两点间距离和求空间图形中的角度的计算方法. 重点：用向量求空间线段的长度、用向量求空间图形中的角度 难点：用向量求空间线段的长度、用向量求空间图形中的角度 学习过程 一、课前准备复习1：已知1a b ∙=，1,2a b ==，且2m a b =+，求m .复习2：什么叫二面角？二面角的大小如何度量？二面角的范围是什么？ 二、新课导学 学习探究探究任务一：用向量求空间线段的长度 问题：如何用向量方法求空间线段的长度？ 新知：用空间向量表示空间线段，然后利用公式2a a =求出线段长度.试试：在长方体''''ABCD A B C D -中，已知'1,2,1AB BC CC ===,求'AC 的长.典型例题例1 如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A 为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？变式：如果一个平行六面体的各条棱长都相等，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于α, 那么由这个平行六面体的对角线的长可以确定棱长吗? 探究任务二：用向量求空间图形中的角度例2 如图，甲站在水库底面上的点A 处，乙站在水坝斜面上的点B 处.从A ，B 到直线l （库底与水坝的交线）的距离,AC BD 分别为,a b ，CD 的长为c ，AB 的长为d .求库底与水坝所成二面角的余弦值.变式：如图，60︒的二面角的棱上有,A B 两点，直线,AC BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于,AB 已知4,6,8AB AC BD ===,求CD 的长.变式2. 如图，M 、N 分别是棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -的棱'BB 、''B C 的中点．求异面直线MN 与'CD 所成的角. 三、总结提升 学习小结1. 求出空间线段的长度：用空间向量表示空间线段，然后利用公式2a a =； 2. 空间的二面角或异面直线的夹角，都可以转化为利用公式cos ,ab a b a b⋅=⋅求解.知识拓展解空间图形问题时,可以分为三步完成:（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题(还常建立坐标系来辅助)；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题； （3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义.3.2立体几何中的向量方法（3）学习目标1. 进一步熟练求平面法向量的方法；2. 掌握向量运算在几何中如何求点到平面的距离和两异面直线间距离的计算方法；3. 熟练掌握向量方法在实际问题中的作用.重点：点到平面的距离的求法、两条异面直线间的距离的求法 难点：点到平面的距离的求法、两条异面直线间的距离的求法 学习过程 一、课前准备复习1：已知()()1,2,0,0,1,1,A B ()1,1,2C ，试求平面ABC 的一个法向量.复习2：什么是点到平面的距离？什么是两个平面间距离？ 二、新课导学学习探究探究任务一：点到平面的距离的求法 问题：如图A ,α∈空间一点P 到平面α的距离为d ,已知平面α的一个法向量为n ,且AP 与n 不共线,能否用AP 与n 表示d ?分析:过P 作PO ⊥α于O ,连结OA ,则d =|PO |=||cos .PA APO ⋅∠ ∵PO ⊥α,,n α⊥ ∴PO ∥n . ∴cos ∠APO=|cos ,PA n 〈〉| ∴D. =|PA ||cos ,PA n 〈〉|=|||||cos ,|||PA n PA n n ⋅⋅〈〉=||||PA n n ⋅新知：用向量求点到平面的距离的方法：设A ,α∈空间一点P 到平面α的距离为d ,平面α的一个法向量为n ，则D. =||||PA n n ∙ 典型例题例1 已知正方形ABCD 的边长为4，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，GC ⊥平面ABCD ，且GC ＝2，求点B 到平面EFG 的距离.小结：求点到平面的距离的步骤：⑴ 建立空间直角坐标系，写出平面内两个不共线向量的坐标；⑵ 求平面的一个法向量的坐标； ⑶ 找出平面外的点与平面内任意一点连接向量的坐标；⑷ 代入公式求出距离. 探究任务二：两条异面直线间的距离的求法 例2 如图，两条异面直线,a b 所成的角为θ，在直线,a b 上分别取点',A E 和,A F ,使得'AA a ⊥,且'AA b ⊥.已知',,A E m AF n EF l ===，求公垂线'AA 的长. 变式：已知直三棱柱111ABC A B C ─的侧棱14AA =,底面ABC △中, 2AC BC ==，且90BCA ∠=,E 是AB 的中点,求异面直线CE 与1AB 的距离小结：用向量方法求两条异面直线间的距离，可以先找到它们的公垂线方向的一个向量n ，再在两条直线上分别取一点,A B ，则两条异面直线间距离n AB d n∙=求解.三、总结提升学习小结1.空间点到直线的距离公式2.两条异面直线间的距离公式 课后反思：1、正方体1111D C B A ABCD -的棱长为2，N M ,分别为1AA 、1BB 的中点。
高中数学人教A版选修2-1第三章 空间向量与立体几何
高中数学学习材料（灿若寒星 精心整理制作）第三章 空间向量与立体几何§3.1 空间向量及其运算3.1.1 空间向量及其加减运算 课时目标1．理解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示和字母表示．2．掌握空间向量的加减运算及其运算律，能借助图形理解空间向量及其运算的意义．2．几类特殊向量(1)零向量：____________的向量叫做零向量，记为________．(2)单位向量：________的向量称为单位向量．(3)相等向量：方向________且模________的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量．(4)相反向量：与向量a 长度______而方向________的向量，称为a 的相反向量，记为________． 3．空间向量的加减法与运算律空间向量的加减法 类似平面向量，定义空间向量的加、减法运算(如图)：OB →＝OA →＋AB →＝__________；CA →＝OA →－OC →＝________.加法运算律 (1)交换律：a ＋b ＝________ (2)结合律：(a ＋b )＋c ＝____________.；一、选择题1．下列命题中，假命题是( )A. 向量AB →与BA →的长度相等B ．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同C ．只有零向量的模等于0D ．共线的单位向量都相等2.如图所示，平行四边形ABCD 的对角线的交点为O ，则下列等式成立的是( )A. OA →＋OB →＝AB →B. OA →＋OB →＝BA →C. AO →－OB →＝AB →D. OA →－OB →＝CD →3.已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点且2OA →＋OB →＋OC →=0，则AO →等于( )A. OB →B. OC →C. OD → D .2OD → 4.已知向量AB →，AC →，BC →满足|AB →|＝|AC →|＋|BC →|，则( )A. AB →＝AC →＋BC →B. AB →＝－AC →－BC →C. AC →与BC →同向D. 与AC →与CB →同向5.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，向量表达式DD 1→-AB →+BC →化简后的结果是( )A. BD 1→B. 1D BC.1B DD. 1DB6．平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H ，P ，Q 分别是A 1A ，AB ，BC ，CC 1，C 1D 1，D 1A 1的中点，则( )A.EF →＋GH →＋PQ →＝0B. EF→－GH →－PQ →＝0 C.EF→＋GH →－PQ →＝0 D.EF →－GH →＋PQ →＝0 二、填空题7.在平行六面体ABCD －A ’B’C ’D ’中，与向量''A B 的模相等的向量有________个．8.若G 为△ABC 内一点，且满足AG ＋BG →＋CG →＝0，则G 为△ABC 的________．(填“外心”“内心”“垂心”或“重心”)9．判断下列各命题的真假：①向量AB →的长度与向量BA →的长度相等；②向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；④两个有公共终点的向量，一定是共线向量；⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中假命题的个数为________．三、解答题10．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由．①向量AB →与CD →是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在一条直线上；②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④四边形ABCD 是平行四边形的充要条件是AB →＝DC →；⑤模为0是一个向量方向不确定的充要条件．11.如图所示，已知空间四边形ABCD ，连结AC,BD,E,F,G 分别是BC,CD,DB 的中点，请化简：AB →＋BC →＋CD →，(2)AB →＋GD →＋EC →，并标出化简结果的向量．能力提升12.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F.若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →等于( )A.14a ＋12bB.13a ＋23b C.12a ＋14b D.23a ＋13b 13．证明：平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分．1．在掌握向量加减法的同时，应首先掌握有特殊位置关系的两个向量的和或差，如共线、共起点、共终点等．2．通过掌握相反向量，理解两个向量的减法可以转化为加法．3．注意向量的三角形法则和平行四边形法则的要点．对于向量加法运用平行四边形法则要求两向量有共同起点，运用三角形法则要求向量首尾顺次相连．对于向量减法要求两向量有共同的起点．4．a －b 表示的是由b 的终点指向a 的终点的一条有向线段．第三章 空间向量与立体几何§3.1 空间向量及其运算3．1.1 空间向量及其加减运算知识梳理1．大小 方向 (2)大小 模 (3)①有向线段②AB →2．(1)长度为0 0 (2)模为1 (3)相同 相等(4)相等 相反 －a3．a ＋b a －b (1)b ＋a (2)a ＋(b ＋c )作业设计1．D [共线的单位向量是相等向量或相反向量．]2．D [OA →－OB →＝BA →＝CD →.]3．C [∵D 为BC 边中点，∴OB →＋OC →＝2OD →，∴OA →＋OD →＝0，∴AO →＝OD →.]4．D [由|AB →|＝|AC →|＋|BC →|＝|AC →|＋|CB →|，知C 点在线段AB 上，否则与三角形两边之和大于第三边矛盾，所以AC →与CB →同向．]5．A[如图所示，∵DD 1→＝AA 1→，DD →1－AB →＝AA 1→－AB →＝BA 1→，BA 1→＋BC →＝BD →1，∴DD 1→－AB →＋BC →＝BD 1→.]6．A [观察平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1可知，向量EF →，GH →，PQ →平移后可以首尾相连，于是EF →＋GH →＋PQ →＝0.]7．7解析 |D'C'→|＝|DC →|＝|C'D'→|＝|CD →|＝|BA →|＝|AB →|＝|B'A'→|＝|A'B'→|.8．重心解析如图，取BC 的中点O ，AC 的中点D ，连结OG 、DG .由题意知AG →＝－BG →－CG →＝GB →＋GC →＝2GO →，同理BG →＝2GD →，故G 为△ABC 的重心．9．3解析 ①真命题；②假命题，若a 与b 中有一个为零向量时，其方向是不确定的；③真命题；④假命题，终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反；⑤假命题，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段．10．解 ①不正确，共线向量即平行向量，只要求两个向量方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB ，CD 在同一条直线上．②不正确，单位向量模均相等且为1，但方向并不一定相同．③不正确，零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的．④正确．⑤正确．11．解 (1) AB →＋BC →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →.(2)∵E ，F ，G 分别为BC ，CD ，DB 的中点．∴BE →＝EC →，EF →＝GD →.∴AB →＋GD →＋EC →＝AB →＋EF →＋BE →＝AF →.故所求向量AD →，AF →，如图所示．12．D [AF →＝AC →＋CF →＝a ＋23CD → ＝a ＋13(b －a )＝23a ＋13b .]13．证明如图所示，平行六面体ABCD —A ′B ′C ′D ′，设点O 是AC ′的中点，则AO →＝12AC'→ ＝12(AB →＋AD →＋AA'→)． 设P 、M 、N 分别是BD ′、CA ′、DB ′的中点．则AP ＝AB →＋BP →＝AB →＋12BD'→ ＝AB →＋12(BA →＋BC →＋B B'→) ＝AB →＋12(－AB →＋AD →＋AA'→) ＝12(AB →＋AD →＋AA'→)． 同理可证：AM →＝12(AB →＋AD →＋AA'→) AN →＝12(AB →＋AD →＋AA'→)． 由此可知O ，P ，M ，N 四点重合．故平行六面体的对角线相交于一点，且在交点处互相平分．。
高二数学选修2-1人教A全册导学案第3章空间向量与立体几何§3.2《立体几何中的向量方法》
§3.2 立体几何中的向量方法知识点一用向量方法判定线面位置关系(1)设a、b分别是l1、l2的方向向量，判断l1、l2的位置关系：①a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)．②a＝(5,0,2)，b＝(0,4,0)．(2)设u、v分别是平面α、β的法向量，判断α、β的位置关系：①u＝(1，－1,2)，v＝(3,2，)．②u＝(0,3,0)，v＝(0，－5,0)．(3)设u是平面α的法向量，a是直线l的方向向量，判断直线l与α的位置关系．①u＝(2,2，－1)，a＝(－3,4,2)．②u＝(0,2，－3)，a＝(0，－8,12)．解(1)①∵a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)，∴a＝－b，∴a∥b，∴l1∥l2.②∵a＝(5,0,2)，b＝(0,4,0)，∴a·b＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2.(2)①∵u＝(1，－1,2)，v＝(3,2，)，∴u·v＝3－2－1＝0，∴u⊥v，∴α⊥β.②∵u＝(0,3,0)，v＝(0，－5,0)，∴u＝－v，∴u∥v，∴α∥β.(3)①∵u＝(2,2，－1)，a＝(－3,4,2)，∴u·a＝－6＋8－2＝0，∴u⊥a，∴l⊂α或l∥α.②∵u＝(0,2，－3)，a＝(0，－8,12)，∴u＝－a，∴u∥a，∴l⊥α.知识点二利用向量方法证明平行问题如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.证明方法一如图所示，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则可求得M (0,1，)，N (,1,1)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，于是=（，0，），设平面A1BD的法向量是n=（x，y，z）.n＝(x，y，z)．则n·＝0，得取x＝1，得y＝－1，z＝－1.∴n＝(1，－1，－1)．又·n＝(,0，)·(1，－1，－1)＝0，方法二∵ =∴∥，又∵MN⊄平面A1BD.∴MN∥平面A1BD.知识点三利用向量方法证明垂直问题在正棱锥P—ABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是△PAB的重心，E、F分别为BC、PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2.(1)求证：平面GEF⊥平面PBC；(2)求证：EG是PG与BC的公垂线段．证明(1)方法一如图所示，以三棱锥的顶点P为原点，以PA、PB、PC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．令PA＝PB＝PC＝3，则A(3,0,0)、B(0,3,0)、C(0,0,3)、E(0,2,1)、F(0,1,0)、G(1,1,0)、P(0,0,0)．于是＝(3,0,0)，＝(3,0,0)，故＝3，∴PA∥FG.而PA⊥平面PBC，∴FG⊥平面PBC，又FG⊂平面EFG，∴平面EFG⊥平面PBC.方法二同方法一，建立空间直角坐标系，则E(0,2,1)、F(0,1,0)、G(1,1,0)．＝(0，－1，－1)，＝(0，－1，－1)，设平面EFG的法向量是n＝(x，y，z)，则有n⊥，n⊥，∴令y＝1，得z＝－1，x＝0，即n＝(0,1，－1)．而显然=（3，0，0）是平面PBC的一个法向量.这样n·= 0,∴n⊥即平面PBC的法向量与平面EFG的法向量互相垂直，∴平面EFG⊥平面PBC.（2）∵=（1，1，1），=（1，1，0），=（0，3，3），∴·=11= 0，·=33 = 0，∴EG⊥PG，EG⊥BC，∴EG是PG与BC的公垂线段.知识点四利用向量方法求角四棱锥P—ABCD中，PD⊥平面ABCD，PA与平面ABCD所成的角为60°，在四边形ABCD中，∠D＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，AD＝2.(1)建立适当的坐标系，并写出点B，P的坐标；(2)求异面直线PA与BC所成角的余弦值．解(1)如图所示，以D为原点，射线DA，DC，DP分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系D—xyz，∵∠D＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，AD＝2，∴A(2,0,0)，C(0,1,0)，B(2,4,0)．由PD⊥面ABCD得∠PAD为PA与平面ABCD所成的角．∴∠PAD＝60°.在Rt△PAD中，由AD＝2，得PD＝2．∴P(0,0,2)．（2）∵＝(2,0，－2)，=（2，3，0）∴cos〈,〉=∴PA与BC所成角的余弦值为．正方体ABEF－DCE′F′中，M、N分别为AC、BF的中点(如图所示)，求平面MNA 与平面MNB所成二面角的余弦值．解取MN的中点G，连结BG，设正方体棱长为1.方法一∵△AMN，△BMN为等腰三角形，∴AG⊥MN，BG⊥MN.∴∠AGB为二面角的平面角或其补角．∵AG=BG=,，设〈，〉=θ，2＝2＋2·＋2，∴1＝()2＋2××cosθ＋()2.∴cosθ＝，故所求二面角的余弦值为．方法二以B为坐标原点，BA，BE，BC所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系B－xyz则M(，0，)，N (,,0)，中点G(，，)，A(1,0,0)，B(0,0,0)，由方法一知∠AGB为二面角的平面角或其补角．∴＝(，－，－)，＝(，－，－)，∴ cos<, >==,故所求二面角的余弦值为．方法三建立如方法二的坐标系，∴即取n1＝(1,1,1)．同理可求得平面BMN的法向量n2＝(1，－1，－1)．∴cos〈n1，n2〉＝,故所求二面角的余弦值为知识点五用向量方法求空间的距离已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，求点B到平面EFG的距离．解如图所示，以C为原点，CB、CD、CG所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系C－xyz.由题意知C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(4,0,0)，D(0,4,0)，E(4,2,0)，F(2,4,0)，G(0,0,2)．＝(0,2,0)，＝(－2,4,0)，设向量⊥平面GEF，垂足为M，则M、G、E、F四点共面，故存在实数x，y，z，使= x+ y+ z，即= x（0，2，0）+y（2，4，0）+z（4，0，2）=（2y4z，2x+4y，2z）.由BM⊥平面GEF，得⊥,⊥，于是·＝0，·＝0，即即，解得∴＝(－2y－4z,2x＋4y,2z)＝∴||＝即点B到平面GEF的距离为．考题赏析(安徽高考)如图所示，在四棱锥O—ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC＝，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点．(1)求异面直线AB与MD所成角的大小；(2)求点B到平面OCD的距离．解作AP⊥CD于点P.如图，分别以AB、AP、AO所在直线为x、y、z轴建立平面直角坐标系．A(0,0,0)，B(1,0,0)，P (0，，0)，D (－，，0)，O(0,0,2)，M(0,0,1)．(1)设AB与MD所成角为θ，∵＝(1,0,0)，＝(－，，－1)，∴cos =．∴θ＝．∴AB与MD所成角的大小为．（2）∵=（0,，），=（，，）,∴设平面OCD的法向量为n = ( x, y , z ),则n·=0，n·= 0.得取z=，解得n = (0,4,).设点B到平面OCD的距离为d,则d为在向量n上的投影的绝对值.∵=（1，0，2），∴d＝,∴点B到平面OCD的距离为,1．已知A(1,0,0)、B(0,1,0)、C(0,0,1)，则平面ABC的一个单位法向量是( )A．(，，－) B．(，－，)C．(－，，) D．(－，－，－)答案 D＝(－1,1,0)，是平面OAC的一个法向量．＝(－1,0,1)，＝(0，－1,1)设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)∴令x＝1，则y＝1，z＝1∴n＝(1,1,1)单位法向量为：＝± (,，)．2．已知正方体ABCD—A1B1C1D1，E、F分别是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心，则EF和CD所成的角是( )A．60°B．45°C．30°D．90°答案 B3．设l1的方向向量a＝(1,2，－2)，l2的方向向量b＝(－2,3，m)，若l1⊥l2，则m＝( ) A．1 B．2 C．D．3答案 B解析因l1⊥l2，所以a·b＝0，则有1×(－2)＋2×3＋(－2)×m＝0，∴2m＝6－2＝4，即m＝2.4．若两个不同平面α，β的法向量分别为u＝(1,2，－1)，v＝(－3，－6,3)，则( )A．α∥βB．α⊥βC．α，β相交但不垂直D．以上均不正确答案 A解析因v＝－3u，∴v∥u.故α∥β.5．已知a、b是异面直线，A、B∈a，C、D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a与b所成的角是( )A．30°B．45°C．60°D．90°答案 C解析设〈，〉=θ，·=（++·= ||2= 1，cosθ=,所以θ=606．若异面直线l1、l2的方向向量分别是a＝(0，－2，－1)，b＝(2,0,4)，则异面直线l1与l2的夹角的余弦值等于( )A．B．C．－D．答案 B解析设异面直线l1与l2的夹角为θ，则cosθ＝7．已知向量n＝(6,3,4)和直线l垂直，点A(2,0,2)在直线l上，则点P(－4,0,2)到直线l的距离为________．答案，解析=（6，0，0），因为点A在直线l上，n与l垂直，所以点P到直线l的距离为8．平面α的法向量为(1,0，－1)，平面β的法向量为(0，－1,1)，则平面α与平面β所成二面角的大小为________．答案或，解析设n1＝(1,0，－1)，n2＝(0，－1,1)则cos〈n1，n2〉＝〈n1，n2〉＝．因平面α与平面β所成的角与〈n1，n2〉相等或互补，所以α与β所成的角为或．9．已知四面体顶点A(2,3,1)、B(4,1，－2)、C(6,3,7)和D(－5，－4,8)，则顶点D到平面ABC的距离为________．答案11解析设平面ABC的一个法向量为n =（x,y,z）则令x=1,则n = (1,2,),=（7，7，7）故所求距离为,10．如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥平面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于F.(1)证明：PA∥平面BDE；(2)证明：PB⊥平面DEF.证明(1)如图建立空间直角坐标系，设DC＝a，AC∩BD＝G，连结EG，则A(a,0,0)，P(0,0，a)，C(0，a,0)，E (0，，)，G (，，0)．于是=（a，0，a），=（，0，）,∴= 2，∴PA∥EG.又EG平面DEB.PA平面DEB.∴PA∥平面DEB.(2)由B(a,a,0),得=(a, a, a),又=（0, ,）,∵·=∴PB⊥DE.又EF⊥PB，EF∩DE=E，∴PB⊥平面EFD.11．如图所示，已知点P在正方体ABCD—A′B′C′D′的对角线BD′上，∠PDA＝60°.(1)求DP与CC′所成角的大小；(2)求DP与平面AA′D′D所成角的大小．解如图所示，以D为原点，DA为单位长度建立空间直角坐标系D—xyz.则=（1，0，0），= (0,0,1).连结BD,B′D′.在平面BB′D′D中,延长DP交B′D′于H.设= (m,m,1) (m>0),由已知〈,〉= 60,由·= ||||cos〈,〉,可得2m =解得m =，所以＝(，，1)，(1)因为cos〈,〉=(2)所以〈,〉= 45,即DP与CC′所成的角为45.(2)平面AA′D′D的一个法向量是= (0,1,0).因为cos〈,〉=所以〈,〉= 60°,可得DP与平面AA′D′D所成的角为30.12. 如图，四边形ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，∠BAD=60°.平面PBD⊥平面PAC，(1)求点A到平面PBD的距离;(2)求异面直线AB与PC的距离.(1)解以AC、BD的交点为坐标原点，以AC、BD所在直线为x轴、y轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A（3，0，0），B（0，1，0），C（，0，0），D（0，1，0），P（3，0，2）.设平面PBD的一个法向量为n1=（1，y1，z1）.由n1⊥，n1⊥，可得n1=（1，0，）.（1）=（，0，0），点A到平面PBD的距离,,13.如图所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC = 2a，BB1 = 3a，D为A1C1的中点，在线段AA1上是否存在点F，使CF⊥平面B1DF？若存在，求出||；若不存在，请说明理由.解以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz.假设存在点F，使CF⊥平面B1DF，并设=λ=λ（0，0，3a）=（0，0，3λa）（0<λ<1），∵D为A1C1的中点，∴D(，,3a)＝(，,3a)－(0,0,3a)＝(,，0)，=∵CF⊥平面B1DF，∴CF⊥, ⊥,即解得λ＝或λ＝∴存在点F使CF⊥面B1DF，且当λ=时，||=,|| = a当λ=，|| =,|| = 2a.14．如图(1)所示，已知四边形ABCD是上、下底边长分别为2和6，高为eq \r(3)的等腰梯形．将它沿对称轴OO1折成直二面角，如图(2)．(1)证明：AC⊥BO1；(2)求二面角O—AC—O1的余弦值．(1)证明由题设知OA⊥OO1，OB⊥OO1.所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角，即OA⊥OB.故以O为原点，OA、OB、OO1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则相关各点的坐标是A(3,0,0)、B(0,3,0)、C(0,1, )、O1(0,0, )．·＝－3＋·＝0.所以AC⊥BO1.（2）解因为·=+ ·＝0.所以BO1⊥OC.由（1）AC⊥BO1，所以BO1⊥平面OAC,是平面OAC的一个法向量.设n=（x，y，z）是平面O1AC的一个法向量，由取z= ，得n=（1，0，）.设二面角O-AC-O1的大小为θ，由n 、的方向可知θ=〈n,〉，所以cosθ= cos〈n ，〉=即二面角O—AC—O1的余弦值是.。
高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.2 空间向量的数乘运算学案(
3.1.2 空间向量的数乘运算[目标] 1.掌握空间向量的数乘运算的定义和运算律，了解共线(平行)向量的意义.2.理解共线向量定理和共面向量定理及其推论，会证明空间三点共线与四点共面问题．[重点] 应用共线定理与共面定理解决共线问题与共面问题．[难点] 证明线面平行与面面平行．知识点一空间向量的数乘运算[填一填][答一答]1．空间向量的数乘运算与平面向量的数乘运算有什么关系？提示：相同．2．类比平面向量，空间向量的数乘运算满足(λ＋μ)a＝λa＋μa(λ，μ∈R)，对吗？提示：正确．类比平面向量的运算律可知．知识点二共线、共面定理[填一填][答一答]3．a ＝λb 是向量a 与b 共线的充要条件吗？提示：不是．由a ＝λb 可得出a ，b 共线，而由a ，b 共线不一定能得出a ＝λb ，如当b ＝0，a ≠0时．4．空间中任意两个向量一定共面吗？任意三个向量呢？提示：空间任意两个向量一定共面，但空间任意三个向量不一定共面． 5．共面向量定理中为什么要求a ，b 不共线？提示：如果a ，b 共线，则p 一定与向量a ，b 共面，却不一定存在实数组(x ，y )，使p ＝x a ＋y b ，所以共面向量基本定理的充要条件要去掉a ，b 共线的情况．6．已知空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，满足向量关系式OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x ＋y ＋z ＝1)的点P 与点A ，B ，C 是否共面？提示：四点共面．∵x ＋y ＋z ＝1，∴x ＝1－y －z ，又∵OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →∴OP →＝(1－y －z )OA →＋yOB →＋zOC →∴OP →－OA →＝y (OB →－OA →)＋z (OC →－OA →) ∴AP →＝yAB →＋zAC →， ∴点P 与点A ，B ，C 共面．1．共线向量、共面向量不具有传递性．2．共线向量定理及其推论是证明共线(平行)问题的重要依据．定理中的条件a ≠0不可遗漏．3．直线的方向向量是指与直线平行或共线的向量．一条直线的方向向量有无限多个，它们的方向相同或相反．4．空间任意两个向量总是共面的，空间任意三个向量可能共面，也可能不共面． 5．向量p 与a ，b 共面的充要条件是在a 与b 不共线的前提下才成立的，若a 与b 共线，则不成立．类型一 空间向量的数乘运算【例1】 设O 为▱ABCD 所在平面外任意一点，E 为OC 的中点，试用向量OA →，OB →，OD →表示AE →.【分析】 将向量AE →分解成OA →，OB →，OD →的线性组合的形式． 【解】 由题意，可以作出如下图所示的几何图形．在封闭图形ADOE 中，有：AE →＝AD →＋DO →＋OE →， ①在△AOD 中，AD →＝OD →－OA →. ②在△BOC 中，OC →＝BC →－BO →，∵AD →＝BC →，∴OC →＝AD →＋OB →＝OD →－OA →＋OB →. 又∵OE →＝12OC →，∴OE →＝12(OD →－OA →＋OB →)＝－12OA →＋12OB →＋12OD →. ③又DO →＝－OD →， ④ 将②、③、④代入①可得： AE →＝(OD →－OA →)－OD →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12OA →＋12OB →＋12OD →＝－32OA →＋12OB →＋12OD →，∴AE →＝－32OA →＋12OB →＋12OD →.寻找到以欲表示的向量所对应的线段为其一边的一个封闭图形，利用这一图形中欲求向量与已知向量所在线段的联系进行相应的向量运算是处理此类问题的基本技巧，一般地，可以找到的封闭图形不是唯一的.但需知，无论哪一种途径，结果应是唯一的.如下图所示，在平行六面体ABCD A ′B ′C ′D ′中，设AB →＝a ，AD →＝b, AA ′→＝c ，E 和F分别是AD ′和BD 的中点，用向量a ，b ，c 表示D ′B →，EF →.解：D ′B →＝D ′A ′→＋A ′B ′→＋B ′B →＝－b ＋a －c .EF →＝EA →＋AB →＋BF →＝12D ′A →＋a ＋12BD →＝12(－b －c )＋a ＋12(－a ＋b )＝12(a －c )．类型二 空间向量的共线问题【例2】 如图所示，已知四边形ABCD ，ABEF 都是平行四边形且不共面，M ，N 分别是AC ，BF 的中点，判断CE →与MN →是否共线．【解】 因为M ，N 分别是AC ，BF 的中点，且四边形ABCD ，四边形ABEF 都是平行四边形，所以MN →＝MA →＋AF →＋FN →＝12CA →＋AF →＋12FB →.又因为MN →＝MC →＋CE →＋EB →＋BN →＝－12CA →＋CE →－AF →－12FB →，以上两式相加得CE →＝2MN →，所以CE →∥MN →，即CE →与MN →共线．判断向量共线就是充分利用已知条件找到实数λ，使a ＝λb 成立，同时要充分运用空间向量的运算法则，结合空间图形，化简得出a ＝λb ，从而得出a ∥b .如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E 在A 1D 1上，且A 1E →＝2ED 1→，F 在对角线A 1C 上，且A 1F →＝23FC →.求证：E ，F ，B 三点共线．证明：设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c . ∵A 1E →＝2ED 1→，A 1F →＝23FC →，∴A 1E →＝23A 1D 1→，A 1F →＝25A 1C →.∴A 1E →＝23AD →＝23b ，A 1F →＝25(AC →－AA 1→)＝25(AB →＋AD →－AA 1→)＝25a ＋25b －25c . ∴EF →＝A 1F →－A 1E →＝25a －415b －25c ＝25(a －23b －c )．又EB →＝EA 1→＋A 1A →＋AB →＝－23b －c ＋a ＝a －23b －c ，∴EF →＝25EB →，所以E ，F ，B 三点共线．类型三 空间向量的共面问题【例3】 已知A ，B ，C 三点不共线，平面ABC 外一点M 满足OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →.(1)判断MA →，MB →，MC →三个向量是否共面； (2)判断M 是否在平面ABC 内．【解】 (1)∵OA →＋OB →＋OC →＝3OM →，∴OA →－OM →＝(OM →－OB →)＋(OM →－OC →)＝BM →＋CM →，∴MA →＝BM →＋CM →＝－MB →－MC →，∴向量MA →，MB →，MC →共面．(2)由(1)知向量MA →，MB →，MC →共面，而它们有共同的起点M ，且A ，B ，C 三点不共线，∴M ，A ，B ，C 共面，即M 在平面ABC 内．1证明向量共面，可以利用共面向量的充要条件，也可直接利用定义，通过线面平行或直线在平面内进行证明.2向量共面向量所在的直线不一定共面，只有这些向量都过同一点时向量所在的直线才共面向量的起点、终点共面.已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，求证： (1)E ，F ，G ，H 四点共面． (2)BD ∥平面EFGH .证明：如下图，连接EG ，BG .(1)因为EG →＝EB →＋BG →＝EB →＋12(BC →＋BD →)＝EB →＋BF →＋EH →＝EF →＋EH →，由向量共面的充要条件知：E ，F ，G ，H 四点共面．(2)因为EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB →＝12BD →，所以EH ∥BD .又EH ⊂平面EFGH ，BD ⊄平面EFGH ，所以BD ∥平面EFGH .1．下列命题中正确的是( C )A ．若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线B ．向量a ，b ，c 共面，即它们所在的直线共面C ．零向量没有确定的方向D ．若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb解析：A 中，若b ＝0，则a 与c 不一定共线；B 中，共面向量的定义是平行于同一平面的向量，表示这些向量的有向线段所在的直线不一定共面；D 中，若b ＝0，a ≠0，则不存在λ.2．当|a |＝|b |≠0，且a 、b 不共线时，a ＋b 与a －b 的关系是( A ) A ．共面 B ．不共面 C ．共线D ．无法确定解析：a ＋b 与a －b 不共线，则它们共面．3．设O ABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上的一点，且OG ＝3GG 1，若OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则(x ，y ，z )为( A )A ．(14，14，14)B ．(34，34，34)C ．(13，13，13)D ．(23，23，23)解析：因为OG →＝34OG 1→＝34(OA →＋AG 1→)＝34OA →＋34×23[12(AB →＋AC →)]＝34OA →＋14[(OB →－OA →)＋(OC →－OA →)]＝14OA →＋14OB →＋14OC →，而OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，所以x ＝14，y ＝14，z ＝14.4．已知A 、B 、C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若由OM →＝－2OA →＋OB →＋λOC →确定的点M 与A 、B 、C 共面，则λ＝2.解析：M 与A 、B 、C 共面，则OM →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，其中x ＋y ＋z ＝1，结合题目有－2＋1＋λ＝1，即λ＝2.5．如下图，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BB 1和A 1D 1的中点．证明：向量A 1B →，B 1C →，EF →是共面向量．证明：EF →＝EB →＋BA 1→＋A 1F →＝12B 1B →－A 1B →＋12A 1D 1→＝12(B 1B →＋BC →)－A 1B →＝12B 1C →－A 1B →.由向量共面的充要条件知，A 1B →，B 1C →，EF →是共面向量．。
数学选修2-1人教A教案导学案第3章 空间向量与立体几何 §3.1.5 空间向量运算的坐标表示
§3．1.5 空间向量运算的坐标表示知识点一 空间向量的坐标运算设a ＝(1,5，－1)，b ＝(－2,3,5)．(1)若(k a ＋b )∥(a －3b )，求k ； (2)若(k a ＋b )⊥(a －3b )，求k .解 (1)k a ＋b ＝(k －2,5k ＋3，－k ＋5)，a －3b ＝(1＋3×2,5－3×3，－1－3×5)＝(7，－4，－16)．因为(k a ＋b )∥(a －3b )，所以k －27＝5k ＋3－4＝－k ＋5－16，解得k ＝－13.(2)因为(k a ＋b )⊥(a －3b )，所以(k －2)×7＋(5k ＋3)×(－4)＋(－k ＋5)×(－16)＝0，解得k ＝1063.【反思感悟】 以下两个充要条件在解题中经常使用，要熟练掌握．若a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，则a ∥b ⇔x 1＝λx 2且y 1＝λy 2，且z 1＝λz 2(λ∈R )；a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2＝0.已知A (3,3,1)，B (1,0,5)，求：(1)线段AB 的中点坐标和长度；(2)到A ，B 两点距离相等的点P (x ，y ，z )的坐标x ，y ，z 满足的条件．解 （1）设M 是线段AB 的中点，则OM ＝12(OA →＝12(OA →＋OB →)＝(2，32，3)，所以线段AB 的中点坐标是(2，32，3)．|AB |＝(1－3)2＋(0－3)2＋(5－1)2＝29. (2)点P (x ，y ，z )到A ，B 两点距离相等，则(x －3)2＋(y －3)2＋(z －1)2＝(x －1)2＋(y －0)2＋(z －5)2，化简，得4x ＋6y －8z ＋7＝0.即到A ，B 两点距离相等的点P (x ，y ，z )的坐标x ，y ，z 满足的条件是4x ＋6y －8z ＋7＝0.知识点二证明线面的平行、垂直在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为BB 1，CD 的中点，求证：D 1F ⊥平面ADE .证明, 不妨设已知正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则D （0，0，0），A （2，0，0），E （2，2，1），F （0，1，0），D 1（0，0，2），所以AD＝(－2,0,0)，D 1F →＝(0,1，－2)，AD →·D 1F →＝0＋0＋0＝0，所以D 1F ⊥AD .又AE →＝(0,2,1)，所以AE →、D 1F →＝0＋2－2＝0，所以D 1F ⊥AE .又AD ∩AE ＝A ，所以D 1F ⊥平面ADE .【反思感悟】本例中坐标系的选取具有一般性，这样选取可以使正方体各顶点的坐标均为非负数，且易确定，在今后会常用到．已知A (－2,3,1)，B (2，－5,3)，C (8,1,8)，D (4,9,6)，求证：四边形ABCD 为平行四边形．证明 设O 为坐标原点，依题意 OA =（-2，3，1），OB =（2，-5，3）， ∴AB =OB -OA = (2, -5,3) - (-2,3,1) = (4, -8 , 2). 同理可得DC = (4,-8,2),AD = (6,6,5),BC = (6,6,5).由AB =AB DC ，AD =BC ，可知AB ∥AB ，AD ∥BC ，所以四边形ABCD 是平行四边形.知识点三 向量坐标的应用棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 为DD 1的中点，O 1、O 2、O 3分别是平面A 1B 1C 1D 1、平面BB 1C 1C 、平面ABCD 的中心．(1)求证：B 1O 3⊥P A ；(2)求异面直线PO 3与O 1O 2所成角的余弦值； (3)求PO 2的长．(1)证明 以D 为坐标原点，DA 、DC 、DD1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.则B 1(1,1,1)，O 3(12 ， 12,0)，P(0,0，12)，A(1,0,0)，13B O ＝(－12，－12，－1)，P A →＝(－12，－12，－1)，P A →＝(1,0，－12)，∴13B O ·P A →＝－12＋0＋12＝0，即 13B O ⊥P A →∴B 1O 3⊥P A .(2)解 ∵O 1(12，12，1)，O 2(12，1，12)，则12O O =（0，12，12-）.又∵3PO =（ 12，12，-12），∴cos 〈3PO ，12O O 〉=PO 3→·O 1O 2→|PO 3→||O 1O 2→|＝0＋(12)2＋(－12)2(12)2＋(12)2＋(－12)2·02＋(12)2＋(－12)2＝63， ∴异面直线PO 3与O 1O 2所成角的余弦值为63. (3)∵P (0,0，12)，O 2(12，1，12)，2PO ＝(12，1,0)．∴|2PO |＝(12－0)2＋(1－0)2＋(12－12)2＝52.【反思感悟】 在特殊的几何体中建立空间直角坐标系，要充分利用几何体本身的特点，以使各点的坐标易求．利用向量解决几何问题，可使复杂的线面关系的论证、角及距离的计算变得简单．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面△ABC 中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，AA 1＝2，N 是AA 1的中点．(1)求BN 的长；(2)求BA 1，B 1C 所成角的余弦值．解 以C 为原点建立空间直角坐标系，则 (1)B(0,1,0)，N(1,0,1)，∴BN ＝(1－0)2＋(0－1)2＋(1－0)2 ＝ 3.(2)A 1(1,0,2)，C (0,0,0)， B 1(0,1,2)．∴1BA ＝(1，－1,2)，B 1C →＝(1，－1,2)，B 1C →＝(0，－1，－2)，1BA ·B 1C →＝1－4＝－3，|1BA |＝6，|B 1C →|＝5， ∴cos 〈1BA ，B 1C →〉＝1111·||||B CBA BA BC＝－36×5＝－3010.∴BA 1，B 1C 所成角的余弦值为3010.一、选择题1．已知点A (x 1，y 1，z 1)，则点A 关于xOz 平面的对称点A ′的坐标为( ) A ．(－x 1，－y 1，－z 1) B ．(－x 1，y 1，z 1) C ．(x 1，－y 1，z 1) D ．(x 1，y 1，－z 1) 答案 C解析 点A 与A ′关于xOz 平面对称，即AA ′⊥平面xOz .且A 、A ′到面xOz 的距离相等，所以A 与A ′的x ，z 的值相同，y 的值互为相反数．2．已知a ＝(2,3，－4)，b ＝(－4，－3，－2)，b ＝12x －2a ，则x 等于( )A ．(0,3，－6)B ．(0,6，－20)C ．(0,6，－6)D ．(6,6，－6) 答案 B解析 ∵b ＝12x －2a ，∴x ＝4a ＋2b ＝(0,6，－20)．3．已知a ＝(sin θ，cos θ，tan θ)，b ＝(cos θ，sin θ，1tan θ)，有a ⊥b ，则θ等于( )A ．－π4 B.π4C ．2kπ－π2 (k ∈Z )D ．kπ－π4(k ∈Z )答案 D 解析 a·b ＝2sin θcos θ＋1＝sin2θ＋1＝0，2θ＝2kπ－π2，θ＝kπ－π4.4．若向量a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1,2)，cos 〈a ，b 〉＝89，则λ为( )A ．2B ．－2C ．－2或255D ．2或－255答案 C解析 由cos 〈a ，b 〉＝a·b|a||b |＝6－λ35＋λ2＝89，化得55λ2＋108λ－4＝0，由此可解得λ＝－2或λ＝255.5．已知a ＝(cos α，1，sin α)，b ＝(sin α，1，cos α)，则向量a ＋b 与a －b 的夹角是( ) A ．90° B ．60° C ．30° D ．0° 答案 A解析 ∵|a |＝|b |＝2， ∴(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝0. 二、填空题6．模等于27且方向与向量a ＝(1,2,3)相同的向量为________________． 答案 (2，22，32) 解析 设b ＝λa (λ>0)．则λ2＋4λ2＋9λ2＝28，λ2＝2，故λ＝ 2.7．已知三个力f 1＝(1,2,3)，f 2＝(－1,3，－1)，f 3＝(3，－4,5)，若f 1，f 2，f 3共同作用于一物体上，使物体从点M 1(1，－2，1)移动到点M 2(3,1,2)，则合力所做的功是________．答案 16解析 合力f ＝f 1＋f 2＋f 3＝(3,1,7)， 位移s ＝(2,3,1)， ∴功w ＝f·s ＝(3,1,7)·(2,3,1)＝6＋3＋7＝16.8．已知点A (2，－5，－1)，B (－1，－4，－2)，C (λ＋3，－3，μ)在同一直线上，则λ＝________，μ＝________.答案 －7 －3解析 AB ＝(－3,1，－1)，AC →＝(λ＋1,2，μ＋1)，则AB ∥AC →，所以λ＋1－3＝21＝μ＋1－1，故λ＋1＝－6，μ＋1＝－2.即λ＝－7，μ＝－3. 三、解答题9．E ，F 分别是正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中线段A 1D ，AC 上的点，且DE ＝AF ＝13AC .求证：(1)EF ∥BD 1；(2)EF ⊥A 1D .证明 (1) 建立如图所示的空间直角坐标系，设AB=1，则A(1,0,0)， B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)， A1(1,0,1)，D1(0,0,1)，E 11,0,33⎛⎫ ⎪⎝⎭，F 21,,033⎛⎫ ⎪⎝⎭. EF →＝⎝⎛⎭⎫13，13，－13， 1BD ＝(－1，－1,1)＝－3EF →.∴1BD ∥EF →，又F ∉BD 1， ∴EF ∥BD 1.（2）1AD ＝(－1,0，－1)，EF ·A 1D →＝⎝⎛⎭⎫13，13，－13·(－1,0，－1) ＝－13＋13＝0，∴EF ⊥A 1D →，即EF ⊥A 1D . 10.,,如图所示，正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=2AB=4，点E 在CC 1上且C 1E=3EC. 证明：A 1C ⊥平面BED.证明 以D 为坐标原点，射线DA 为x 轴的正半轴，射线DC 为y 轴的正半轴，射线DD 1为z 轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系D —xyz.依题设B(2,2,0)，C(0,2,0)， E(0,2,1)，A 1(2,0,4).DE ＝(0,2,1)，DB →＝(2,2,0)，1A C ＝(－2,2，－4)， 1DA ＝(2,0,4)．因为1A C ·DB →＝0，1A C ·DE ＝(－2,2，－4)， 故A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥DE . 又BD ∩DE ＝D ， 所以A 1C ⊥平面BED .。
高二数学教案：第三章 空间向量与立体几何 3.1~02《空间向量及其运算》(2)(人教A版选修2-1)
a a
就像是特 别的云 彩
如 果 两 个 向 量 a , b 不 共 线 ， p 与 向 量 a , b 共 面 的 充 要 条 件 是 存 在 实 数 x, y 使
p xa yb ．
推 论 ： 空 间 一 点 位 于 平 面 MAB 内 的 充 分 必 要 条 件 是 存 在 有 序 实 数 对 x, y ， 使
AC 2e1 8e2 ， AD 3e1 3e2 ， 1． 已知两个非零向量 e1 , e2 不共线， 如果 AB e1 e2 ，
求证： A, B, C , D 共面． 2．已知 a 3m 2n 4 p, b ( x 1)m 8n 2 yp ， a 0 ，若 a // b ，求实数 x, y 的值。 3．如图， E , F , G, H 分别为正方体 AC1 的棱 A1 B1 , A1 D1 , B1C1 , D1C1 的中点， 求证： （1） E , F , D, B 四点共面； （2）平面 AEF // 平面 BDHG ．
1 2 2 OA OB OC ， 5 5 5
O
D
ABCD ，从平面 AC 外一点 O 引向量
A H
C
B
OE kOA, OF KOB, OG kOC , OH kOD ，
（1）求证：四点 E , F , G , H 共面； （2）平面 AC // 平面 EG ．
G
F
E
解： （1）∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AC AB AD ，
1．共线（平行）向量： 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或 平行向量。读作： a 平行于 b ，记作： a // b ． 2．共线向量定理： 对空间任意两个向量 a , b (b 0), a // b 的充要条件是存在实数 ，使 a b （ 唯一） ． 推论：如果 l 为经过已知点，且平行于已知向量 a 的直线，那么对任一点 O ，点在直线 l 上的 充要条件是存在实数，满足等式 OP OA t AB ①，其中向量 a 叫做直线 l 的方向向量。在 l 上取 AB a ，则①式可化为 OP OA t AB 或 OP (1 t )OA EG OG OE ，
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§3．1.3 空间向量的数量积运算知识点一 求两向量的数量积如图所示，已知正四面体O-ABC 的棱长为 a ，求 AB ·OC . .解 由题意知 | AB | = |AC | = | AO | = a ，且〈AB ，AO 〉= 120° ，〈AB，CA〉= 120° ，AB ·OC = AB·（OA CA - ）= AB ·OA AB -· CA ,= a 2cos120°- a 2cos120°＝0【反思感悟】 在求两向量的夹角时一定要注意两向量的起点必须在同一点，如〈AB ，AC →〉＝60°时，〈AB ，CA →〉＝120°.已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝4，E 为AB 1的中点，F 为A 1D 1的中点，试计算：（1） BC · 1ED；（2） BF · 1AB；（3）EF ·1FC.解 如图所示，设AB ＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a |＝|c |＝2，|b |＝4，a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0.（1） BC ·1ED = b ·［ 12（c -a ）+b ］= | b |2 = 42 = 16 ..(2) BF · 1AB = （c -a +12b ）·（ a +c ）= | c |2-| a |2 = 22 - 22 = 0.（3）EF ·1FC = [12(c －a )＋12b ]·(12b ＋a )＝12(－a ＋b ＋c )·(12b ＋a )＝－12|a |2＋14|b |2＝2.知识点二 利用数量积求角如图，在空间四边形OABC 中，OA ＝8，AB ＝6，AC ＝4，BC ＝5，∠OAC ＝45°，∠OAB ＝60°，求OA 与BC 所成角的余弦值．解 . 因 BC AC AB =-,所以 OA ·BC = OA ·AC - OA ·AB=|OA ||AC |cos 〈OA ，AC 〉-| OA | | AB | cos 〈OA , AB〉 =8×4×cos135°- 8×6×cos120°24,=-所以 cos 〈OA , BC 〉=OA →·BC→|OA →||BC →|.＝24－1628×5＝3－225.即OA 与BC 所成角的余弦值为3－225.【反思感悟】 在异面直线上取两个向量，则两异面直线所成角的问题可转化为两向量的夹角问题．需注意的是：转化前后的两个角的关系可能相等也可能互补．在二面角α－l －β中，A ，B ∈α，C ，D ∈l ，ABCD 为矩形，P ∈β，P A ⊥α，且P A ＝AD ，M 、N 依次是AB 、PC 的中点．(1)求二面角α－l －β的大小； (2)求证：MN ⊥AB ；(3)求异面直线P A 与MN 所成角的大小． (1)解 ∵PA ⊥α，l ⊂α∴PA ⊥l ，又∵AD ⊥l ，PA ∩AD=A ， ∴l ⊥平面PAD ，∴l ⊥PD ，故∠ADP 为二面角α-l-β的平面角， 由PA=AD 得∠ADP=45°. ∴二面角α-l-β的大小为45°.（2）证明 PC ＝PD →＋DC →，PN ＝12PC →＝12PD →＋12DC →＝12(AD →－AP →)＋12DC →， AN ＝PN →－P A → ＝PN → ＋AP →， ∴AN ＝12AD ＋12AP →＋12DC →，MN ＝AN →－AM → = 12AD ＋12AP →＋12DC →－12DC →= 12AD ＋12AP →，∵AD ⊥AB ，AP ⊥AB∴ AD →·AB ＝ 0，AP →·AB＝0，∴ MN ⊥AB . (3)解 设AP ＝a ，由(2)得 MN ＝12AD ＋12AP →AP ·AN ＝12AD ·AP →＋12AP →·AP →＝12a 2， |AP |＝|AD →|＝a ， | MN |＝(12AD →＋12AP →)2＝14AD →2＋14AP →2＝22a ，∴ cos< AP , MN >＝·|| AP AN AP AN＝22， 即异面直线P A 与MN 所成角为45°.知识点三 利用数量积证明垂直关系如图所示，m ，n 是平面α内的两条相交直线．如果l ⊥m ，l ⊥n ，求证：l ⊥α.证明 在α内作任一直线g ，分别在l ，m ，n ，g 上取非零向量l ，m ，n ，g . 因为m 与n 相交，所以向量m ，n 不平行．由向量共面的充要条件知，存在惟一的有序实数对(x ，y )，使g ＝x m ＋y n . 将上式两边与向量l 作数量积， 得l·g ＝x l ·m ＋y l·n . 因为l·m ＝0，l·n ＝0，所以l·g ＝0, 所以l ⊥g .即l ⊥g .这就证明了直线l 垂直于平面α内的任意一条直线， 所以l ⊥α.【反思感悟】 证明两直线垂直可转化为证明两直线的方向向量垂直，即证明两向量数量积为零．已知：在空间四边形OABC 中，OA ⊥BC ，OB ⊥AC ，求证：OC ⊥AB .证明 ∵OA ⊥BC ，OB ⊥AC ，∴ OA ·BC = 0，OB ·AC= 0.∵ OC ·AB ＝(OB +BC )· ( AC → + CB ) = OB ·AC →＋OB →·CB →＋BC →·AC →＋BC →·CB → =OB · CB →＋BC →·(AC →＋CB →) = OB ·CB →＋BC →·AB ＝BC → ·(AB ＋BO →)＝BC →·AO →＝0， ∴ OC ⊥AB →，∴OC ⊥AB .课堂小结：空间两个向量a ，b 的数量积，仍旧保留平面向量中数量积的形式，即：a·b ＝|a||b |cos 〈a ，b 〉，这里〈a ，b 〉表示空间两向量所成的角(0≤〈a ，b 〉≤π)．空间向量的数量积具有平面向量数量积的运算性质．应用数量积可以判断空间两直线的垂直问题，可以求两直线夹角问题和线段长度问题．即(1)利用a ⊥b ⇔a·b ＝0证线线垂直(a ，b 为非零向量)．(2)利用a·b ＝|a|·|b |cos 〈a ，b 〉，cos θ＝a·b|a|·|b |，求两直线的夹角．(3)利用|a |2＝a·a ，求解有关线段的长度问题．一、选择题1．若a ，b 均为非零向量，则a·b ＝|a||b |是a 与b 共线的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件 答案 A 解析 a·b ＝|a||b |cos 〈a ，b 〉＝|a||b | ⇔cos 〈a ，b 〉＝1⇔〈a ，b 〉＝0， 当a 与b 反向时，不能成立．2．已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a ＋3b |等于( ) A.7 B.10 C.13 D ．4 答案 C解析 |a ＋3b |2＝(a ＋3b )2 ＝a 2＋6a ·b ＋9b 2＝1＋6·cos60°＋9＝13.3．对于向量a 、b 、c 和实数λ，下列命题中真命题是( ) A ．若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0 B ．若λa ＝0，则λ＝0或a ＝0 C ．若a 2＝b 2，则a ＝b 或a ＝－b D ．若a ·b ＝a ·c ，则b ＝c 答案 B解析 A 中若a ⊥b ，则有a·b ＝0，不一定有a ＝0，b ＝0.C 中当|a |＝|b |时，a 2＝b 2，此时不一定有a ＝b 或a ＝－b . D 中当a ＝0时，a·b ＝a·c ，不一定有b ＝c .4．已知四边形ABCD 满足：－*6]·OC →·BC →>0，BC →·CD →>0，CD →·DA →>0，DA →·－*6]·OC →>0，则该四边形为( )A ．平行四边形B ．梯形C ．平面四边形D ．空间四边形 答案 D5．已知a 、b 是平面α内的两个不相等的非零向量，非零向量c 在直线l 上，则c ·a ＝0且c ·b ＝0是l ⊥α的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B 二、填空题6．已知向量a 、b 满足条件：|a |＝2，|b |＝2，且a 与2b －a 互相垂直，则a 与b 的夹角为________．答案 45°解析 因为a 与2b －a 垂直，所以a ·(2b －a )＝0. 即2a·b －|a |2＝0，所以2|a||b |·cos 〈a ，b 〉－|a |2＝0，所以42cos 〈a ，b 〉－4＝0⇒cos 〈a ，b 〉＝22，所以a 与b 的夹角为45°.7. 已知线段AB,BD 在平面α内,∠ABD=120°,线段AC ⊥α,如果AB=a,BD=b,AC=c,则| CD|为____________．答案a 2＋b 2＋c 2＋ab 解析 |CD |2＝|AB ＋BD →－AC →|2＝AB 2＋BD →2＋AC →2＋2AB ·BD →－2AB ·AC →－2BD →·AC →＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab cos60°＝a 2＋b 2＋c 2＋ab .|CD|＝a 2＋b 2＋c 2＋ab .＝a 2＋b 2＋c 2＋ab .8．已知|a |＝32，|b |＝4，m ＝a ＋b ，n ＝a ＋λb ，〈a ，b 〉＝135°，m ⊥n ，则λ＝________.答案 －32解析 由m·n ＝0，得(a ＋b )·(a ＋λb )＝0，列方程解得λ＝－32.三、解答题9. 如图，已知E 是正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱C 1D 1的中点，试求向量11A C 与DE所成角的余弦值.解 设正方体的棱长为m ， AB ＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ， 则|a |＝|b |＝|c |＝m . a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0.又∵11A C ＝A 1B 1→＋B 1C 1→＝AB ＋AD →＝a ＋b ， DE ＝DD 1→＋D 1E →＝DD 1→＋12D 1C 1→＝c ＋12a . ∴ 11A C ·DE →＝(a ＋b )·(c ＋12a )＝a ·c ＋b ·c ＋12a 2＋12a ·b ＝12a 2＝12m 2.又∵| 11A C |＝2m ，|DE →|＝2m ，∴ cos 〈11A C ，DE →〉= 1111|| A C DE A C DE＝12m 22m ·52m＝1010. 10．已知在平行六面体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，AB ＝4，AD ＝3，AA ′＝5，∠BAD ＝90°，∠BAA ′＝∠DAA ′＝60°.(1)求AC ′的长(如图所示)；(2) 求 'AC 与AC →的夹角的余弦值．解 (1)∵'AC = AB + AD + 'AA, ∴|'AC |2 = (AB +AD + 'AA )2=| AB |2 + | AD |2+ | 'AA |2 + 2 (AB ·AD + AB ·'AA + AD ·'AA )= 42 + 32 + 52 +2（0+10+7.5）= 85.∴|'AC| ＝ 85.(2) 方法一 设 'AC 与AC的夹角为θ,∵四边形ABCD 是矩形,∴| AC| = 5=。