2007年各地中考模拟试卷压轴题精选2
2007年全国各地中考数学试题压轴题精选全解
2007年全国各地中考试题压轴题精选全解之一 1（北京市）25．我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形．（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；（2）如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在AB AC ，上， 设CD ，BE 相交于点O ，若∠A=60°，12DCB EBC A ∠=∠=∠．请你写出图中一个与A ∠相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形； （3）在△ABC 中，如果∠A 是不等于60°的锐角，点D ，E 分别在AB ，AC 上，且12DCB EBC A ∠=∠=∠．探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论．2（上海市）25.已知：∠MAN=60°，点B 在射线AM 上，AB=4（如图10）．P 为直线AN 上一动点，以BP 为边作等边三角形BPQ （点B ，P ，Q 按顺时针排列），O 是△BPQ 的外心．（1）当点P 在射线AN 上运动时，求证：点O 在 ∠MAN=60°的平分线上；（2）当点P 在射线AN 上运动（点P 与点A 不重合）时，AO 与BP 交于点C ，设AP=x ，AC ·AO=y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）若点D 在射线AN 上，AD=2，圆I 为△ABD 的内切圆．当△BPQ 的边BP 或BQ 与圆I 相切时，请直接写出点A 与点O 的距离．BOAD EC图10备用图3（天津市） 已知关于x 的一元二次方程x c bx x =++2有两个实数根21,x x ，且满足01>x ，112>-x x 。
（1）试证明0>c；（2）证明)2(22c b b +>；（3）对于二次函数c bx x y ++=2，若自变量取值为0x ，其对应的函数值为0y ，则当100x x <<时，试比较0y 与1x 的大小。
2007年全国各地中考数学试题压轴题精选全解五
2007年全国各地中考试题压轴题精选全解之五82.（四川省德阳市）25.如图，已知与x 轴交于点(10)A ，和(50)B ，的抛物线1l 的顶点为(34)C ，，抛物线2l 与1l 关于x 轴对称，顶点为C '．（1）求抛物线2l 的函数关系式；（2）已知原点O ，定点(04)D ，，2l 上的点P 与1l 上的点P '始终关于x 轴对称，则当点P 运4OD = ，22654m m ∴-+=，即2652m m -+=±．当2652m m -+=时，解得3m = 当2652m m -+=-时，解得3m =．∴当点P 运动到(3或(3或(32)-或(32)-时，P P OD '∥，以点D O P P '，，，为顶点的四边形是平行四边形．（3）满足条件的点M 不存在．理由如下：若存在满足条件的点M 在2l 上，则90AMB ∠= ，30BAM ∠= （或30ABM ∠= ）， 114222BM AB ∴==⨯=． 过点M 作ME AB ⊥于点E ，可得30BME BAM ∠=∠=．1121EB BM ∴==⨯=，EM =，4OE =．点，经过A 、B 、C 三点的圆的圆心M （1，m ）恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M 的半径为5．设⊙M 与y 轴交于D ，抛物线的顶点为E ． （1）求m 的值及抛物线的解析式；（2）设∠DBC = α，∠CBE = β，求sin （α－β）的值；（3）探究坐标轴上是否存在点P ，使得以P 、A 、C 为顶点的三角形与△BCE 相似？若存在，请指出点P 的位置，并直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．x解：（1）由题意可知C （0，－3），12=-ab， ∴ 抛物线的解析式为y = ax 2－2ax －3（a ＞0）， 过M 作MN ⊥y 轴于N ，连结CM ，则MN = 1，5=CM ，∴ CN = 2，于是m =－1．、C84.（南充市）25.如图，点M （4，0），以点M 为圆心、2为半径的圆与x 轴交于点A 、B ．已知抛物线216y x bx c =++过点A 和B ，与y 轴交于点C ． （1）求点C 的坐标，并画出抛物线的大致图象． （2）点Q （8，m ）在抛物线216y x bx c =++上，点P 为此抛物线对称轴上一个动点，求PQ ＋PB 的最小值．3∵Q （8，m ）抛物线上，∴m ＝2．过点Q 作QK ⊥x 轴于点K ，则K （8，0），QK ＝2，AK ＝6， ∴AQ =又∵B （6，0）与A （2，0）关于对称轴l 对称， ∴PQ ＋PB 的最小值＝AQ ＝．行于x 轴，B C D ，，三点在抛物线2425y x =上，DC 交y 轴于N 点，一条直线OE 与AB 交于E 点，与DC 交于F 点，如果E 点的横坐标为a ，四边形ADFE 的面积为1352．（1）求出B D ，两点的坐标； （2）求a 的值；（3）作ADN △的内切圆P ，切点分别为M K H ，，，求tan PFM ∠的值．设⊙P 的半径为r ，则12521)13125(21⨯⨯=++=∆r S AND ，r ＝2 在正方形PMNK 中，PM ＝MN ＝2∴413452=+=+=NF MN MF 在Rt △PMF 中，tan ∠PMF ＝1384132==MF PM图（13）A m 又∵ 抛物线P 过(2，0)、(-2，-4)，则由抛物线的对称性可知， 点A 、B 、C 的坐标分别为 A(2，0)，B(-4，0)，C(0，-4) . （2）由题意，AD DGAO OC=，而AO=2，OC=4，AD=2-m ，故DG=4-2m ， ···· 又BE EFBO OC=，EF=DG ，得BE=4-2m ，∴ DE=3m ， ∴SDEFG=DG·DE=(4-2m) 3m=12m-6m 2(0＜m ＜2) .注：也可通过解Rt△BOC 及Rt △AOC ，或依据△BOC 是等腰直角三角形建立关系求解. (3)∵SDEFG=12m-6m 2(0＜m ＜2)，∴m=1时，矩形的面积最大，且最大面积是6 . 当矩形面积最大时，其顶点为D(1，0)，G(1，-2)，F(-2，-2)，E(-2，0)， 设直线DF 的解析式为y=kx+b ，易知，k=23，b=-23，∴2233y x =-， 又可求得抛物线P 的解析式为：2142y x x =+-，61b 三角形MND （D 为抛物线的顶点）是等腰直角三角形？如能，请求出这组值；如不能，请说明理由．解：（1）证明：∵抛物线y ＝x 2－2ax ＋b 2经过点(0)M a c +，∴22()2()0a c a a c b +-++= ∴22222220a ac c a ac b ++--+=∴222b c a +=由勾股定理的逆定理得： ABC △为直角三角形（2）解：①如图所示； ∵3MNP NOP S S =△△∴3MN ON = 即4MO ON =∴2c c = 又c ＞0，∴c ＝1由于c ＝53a b ＝54a ∴a ＝35b ＝34∴当a ＝35，b ＝34，c ＝1时，MNP △为等腰直角三角形。
2007年全国各地中考试题压轴题精选全解之二
25.（杭州市）24.在直角梯形 中， ，高 （如图1）。动点 同时从点 出发，点 沿 运动到点 停止，点 沿 运动到点 停止，两点运动时的速度都是 。而当点 到达点 时，点 正好到达点 。设 同时从点 出发，经过的时间为 时， 的面积为 （如图2）。分别以 为横、纵坐标建立直角坐标系，已知点 在 边上从 到 运动时， 与 的函数图象是图3中的线段 。
(2)如图3，作出四边形ABCD的一个准等距点(尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法)．
(3)如图4，在四边形ABCD中，P是AC上的点，PA≠PC，延长BP交CD于点E，延长DP交BC于点F，且∠CDF=∠CBE，CE=CF．求证：点P是四边形AB CD的准等距点．
(4)试研究四边形的准等距点个数的情况(说出相应四边形的特征及准等距点的个数，不必证明)．
解：（1）∵ ，
设正方形的边长为 ，
∴ ， 或 （舍去）．
（2） ．
．
（3）①当0≤ ＜4时，重叠部分为三角形，如图①．
可得△ ∽△ ，
∴ ， = ．
∴ ．
②当4≤ ＜6时，重叠部分为直角梯形，如图②．
．
③当6≤ ＜8时，重叠部分为五边形，如图③．
可得， ， ．
= ．
④当8≤ ＜10时，重叠部分为五边形，如图④．
(3)分两种情况讨论：
①当
②当
综上所述，当x为2.5秒或3.1秒时， 为直角三角形。
28.(金华市)如图1，在平面直角坐标系中，已知点 ，点 在 正半轴上，且 ．动点 在线段 上从点 向点 以每秒 个单位的速度运动，设运动时间为 秒．在 轴上取两点 作等边 ．
（1）求直线 的解析式；
（2）求等边 的边长（用 的代数式表示），并求出当等边 的顶点 运动到与原点 重合时 的值；
2007-2015昆明数学中考压轴题(含答案).
中考压轴题1．(2007昆明)如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为(－2，0)，连接OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB ．(1)求点B 的坐标；(2)求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式；(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由；(4)如果点P 是(2)中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么△P AB 是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及△P AB 的最大面积；若没有，请说明理由．(注意：本题中的结果均保留根号)解：（1）过点B 作BD ⊥x 轴于点D ，由已知可得： OB=OA=2，∠BOD=60°在Rt △OBD 中，∠ODB=90°，∠OBD=30° ∴OD=1，∴点B 的坐标是（1） 2分（2）设所求抛物线的解析式为y=ax 2+bx+c ，由已知可得：420c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩解得：a=3，b=3，c=0∴所求抛物线解析式为y=3x 2+3x 4分 （备注：a 、b 的值各得1分）（3）存在 5分由y=3x 2+3x 配方后得：y=3（x+1）2-3∴抛物线的对称轴为x=-1 6分 （也可用顶点坐标公式求出）∵点C 在对称轴x=-1上，△BOC 的周长=OB+BC+CO ， ∵OB=2，要使△BOC 的周长最小，必须BC+CO 最小， ∵点O 与点A 关于直线x=-1对称，有OC=CA △BOC 的周长=OB+BC+CO=OB+BC+CA∴当A 、C 、B 三点共线，即点C 为直线AB 与抛物线对称轴的交点时，BC+CA 最小，此时△BOC 的周长最小． 设直线AB 的解析式为y=kx+b，则有：20k b k b ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩解得：k=3，b=3∴直线AB 的解析式为 7分当x=-1时，y=3∴所求点C 的坐标为（-1，3）8分（4）设P （x ，y ），（-2<x<0，y<0），则2x ①过点P 作PQ ⊥x 轴于点Q ，PG ⊥x 轴于点G ，过点A 作AF ⊥PQ 于点F ，过点B 作BE ⊥PQ•于点E ，则PQ=-x ，PG=-y ，由题意可得：S △PAB =S 梯形AFEB -S △AFP -S △BEP 9分 =12（AF+BE ）·FE-12AF ·FP-12PE ·BE=12（）（1+2）-12（-y ）（x+2）-12（1-x ））=-32y+2 ②将①代入②，化简得：S △PAB =-2x 2-2分x+12）2∴当x=-12时，△PAB ． 11分此时，y=3·14+3·（-12）=-4∴点P 的坐标为（-12，-4） 12分 2．（2008昆明）如图，在直角坐标系中，以点(30)M ，为圆心，以6为半径的圆分别交x 轴的正半轴于点A ，交x 轴的负半轴于点B ，交y 轴的正半轴于点C ，过点C 的直线交x 轴的负半轴于点(90)D -，． （1）求A C ，两点的坐标；（2）求证：直线CD 是M 的切线；（3）若抛物线2y x bx c =++经过M A ，两点，求此抛物线的解析式；（4）连接AC ，若（3）中抛物线的对称轴分别与直线CD 交于点E ，与AC 交于点F ，如果点P 是抛物线上的动点，是否存在这样的点P ，使得:PAM CEF S S △△3=，若存在，请求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（注意：本题中的结果均保留根号） 解：（1）连接CM ，由题意得：OM=3，OB=3，OE=9，MC=6 OA=OM+MA=3+6=9A （9，0）……………………………………1分22OC MC ===∴C （0，……………………………………2分 （2）证法一： 在Rt △DCO 中，DC DO ===在△DCM 中，22226144CM DC +=+=2222()(93)12144DM DO OM =+=+==222CM DC DM ∴+=……………………………………3分∴△DCM 直角三角形。
07年中考模拟试题一及答案
M AB C DＮ （第3题图）2007年中考模拟试题一及答案这是一套综合性强，覆盖面广，适应性高的题目，值得大家借鉴。
本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷3页为选择题，24分；第Ⅱ卷8页为非选择题，96分；全卷共11页，满分120分，考试时间为120分钟一、选择题（本大题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分．） 1．气象台预报“本市明天降水概率是80%”，对此信息，下面的几种说法正确的是（ ） Ａ．本市明天将有80%的地区降水 Ｂ．本市明天将有80%的时间降水 Ｃ．明天肯定下雨 Ｄ．明天降水的可能性比较大 2．若反比例函数ky x=的图象经过点()12-，，则这个函数的图象一定经过点（ ） Ａ．()21--，Ｂ．122⎛⎫- ⎪⎝⎭，Ｃ．()21-，Ｄ．122⎛⎫ ⎪⎝⎭，3．在M B N △中，6BM =，点A ，C ，D 分别在MB ，NB ， MN 上，四边形A B C D 为平行四边形，且N D C M D =∠∠， 则ABCD 的周长是（ ）Ａ．24 Ｂ．18 Ｃ．16 Ｄ．124．由几个小立方体搭成的一个几何体如图1所示，它的主（正）视图见图2，那么它的俯视图为（ ）5．如图所示：边长分别为1和2的两个正方形，其一边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为t ，大正方形内除去小正方形部分的面积为S （阴影部分），那么S 与t 的大致图象应为（ ）（图1） （图2）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．（第4题图）t OS t O S t O S tO S（第5题图）6．某时刻两根木棒在同一平面内的影子如图所示，此时，第三根木棒的影子表示正确的是（ ）7．如图，将网格中的三条线段沿网格线平移后组成一个首尾相接的三角形，至少需要移动（ ） Ａ．8格 Ｂ．9格 Ｃ．11格 Ｄ．12格 8．已知点()31A，，()00B ，，()30C，，AE 平分BAC ∠，交BC 于点E ，则直线AE对应的函数表达式是（ ） Ａ．233y x =-Ｂ．2y x =-Ｃ．31y x =- Ｄ．32y x =-二、填空题（本大题共8小题，共24分，只要求填写最后结果，每小题填对得3分）． 9．随着中国综合国力的提升，近年来全球学习汉语的人数不断增加．据报道，2005年海外学习汉语的学生人数已达38200000 人，用科学记数法表示为_____________人（保留3个有效数字）．Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． （第6题图）（第7题图）10．从两副拿掉大、小王的扑克牌中，各抽取一张，两张牌都是红桃的概率是_____________． 11．钟表的轴心到分针针端的长为5cm ，那么经过40分钟，分针针端转过的弧长是_____________． 12．已知方程组42ax by ax by -=⎧⎨+=⎩，的解为21x y =⎧⎨=⎩，，则23a b -的值为_____________．13．将点()31A ，绕原点O 顺时针旋转90到点B ，则点B 的坐标是_____________．14．如图：已知ABC △中，AB AC =，90BAC =∠，直角EPF ∠的顶点P 是BC 中点，两边PE ，PF 分别交AB ，AC 于点E ，F ，给出以下五个结论：①AE CF =②APE CPF =∠∠③EPF △是等腰直角三角形④EF AP =⑤12ABC AEPF S S =△四边形．当EPF ∠在ABC △内绕顶点P 旋转时（点E 不与A ，B 重合），上述结论中始终正确的序号有______________．15．要在一个矩形纸片上画出半径分别是4cm 和1cm 的两个外切圆，该矩形面积的最小值．．．是______________．16．如图，已知ABC △的面积1ABC S =△． 在图（1）中，若11112AA BB CC AB BC CA ===，则11114A B C S =△； 在图（2）中，若22213AA BB CC AB BC CA ===，则22213A B C S =△； 在图（3）中，若33314AA BB CC AB BC CA ===，则333716A B C S =△；按此规律，若88819AA BB CC AB BC CA ===，则888A B C S =△ ．三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）A CFPBE第14题图Ａ Ｂ Ｃ 1B 1A 1CＡ Ｂ Ｃ 2A2C 2B ＡＢ Ｃ 3C3A3B （1） （2） （3） 第16题图17．（本题满分6分）解不等式组，并把其解集在数轴上表示出来：33213(1)8.x x x x -⎧+⎪⎨⎪--<-⎩，≥ 18．（本题满分10分）某单位欲从内部招聘管理人员一名，对甲、乙、丙三名侯选人进行了笔试和面试两项测试，三人的测试成绩如下表所示：测试项目 测试成绩分 甲 乙 丙 笔试 75 80 90 面试937068根据录用程序，组织200名职工对三人利用投票推荐的方式进行民主评议，三人得票率（没有弃权票，每位职工只能推荐1人）如上图所示，每得一票记作1分． （1）请算出三人的民主评议得分； （2）如果根据三项测试的平均成绩确定录用人选，那么谁将被录用（精确到0.01）？ （3）根据实际需要，单位将笔试、面试、民主评议三项测试得分按4:3:3的比例确定个人成绩，那么谁将被录用？ 19．（本题满分10分）近年来，由于受国际石油市场的影响，汽油价格不断上涨，请你根据下面的信息，帮小明计算今年5月份每升汽油的价格．乙：40%甲：25%丙：35% （第18题图） 今年5月份每升汽油的价格是去年5月份的1.6倍，用150元给汽车加的油量比去年少18.75升今年5月份每升汽油的价格是多少呢？20（本题满分10分）两个全等的含30，60角的三角板ADE 和三角板ABC 如图所示放置，E ，A ，C 三点在一条直线上，连结BD ，取BD 的中点M ，连结ME ，MC ，试判断EMC △的形状，并说明理由．21．（本题满分12分）半径为2.5的O 中，直径AB 的不同侧有定点C 和动点P ，已知:4:3BC CA ，点P 在AB 上运动，过点C 作CP 的垂线，与PB 的延长线交于点Q ．（1）当点P 运动到与点C 关于直径AB 对称时，求CQ 的长；Ｍ ＢＣ ＡＥ Ｄ （第20题图） Ｏ ＡＣ Ｂ（第21题图）ＱＰＤ（2）当点P 运动到什么位置时，CQ 取到最大值，并求出此时CQ 的长． 22．（本题满分12分）如图，在ABC △中，1AB AC ==，点D ，E 在直线BC 上运动，设BD x =，CE y =． （1）如果30BAC ∠=，105DAE ∠=，试确定y 与x 之间的函数关系式；（2）如果BAC ∠的度数为α，DAE ∠的度数为β，当αβ，满足怎样的关系式时，（1）中y 与x 之间的函数关系式还成立，试说明理由．ＯＡＣ Ｂ（备用图）Ｂ ＣＥＡＤ（第22题图）23．（本题满分12分）如图，平面直角坐标系中，四边形OABC 为矩形，点A B ，的坐标分别为(40)43()，，，，动点M N ，分别从O B ，同时出发，以每秒1个单位的速度运动．其中，点M 沿OA 向终点A 运动，点N 沿BC 向终点C 运动，过点M 作MP OA ⊥，交AC 于P ，连结NP ，已知动点运动了x 秒．（1）P 点的坐标为（ ， ）（用含x 的代数式表示）； （2）试求NPC △面积S 的表达式，并求出面积S 的最大值及相应的x 值； （3）当x 为何值时，NPC △是一个等腰三角形？简要说明理由． Ｎ BAMPCO y x一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案DCDCADBD二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）9．73.8210⨯ 10．116 11．20πcm 312．6 13．(13)-， 14．①②③⑤ 15．272cm 16．5781三、解答题（本大题共7小题，共72分） 17．（本小题满分6分） 解：解不等式332x x -+≥，得3x ≤， ··························································· 2分解不等式13(1)8x x --<-，得2x >-． ·························································· 4分 所以，原不等式组的解集是23x -<≤． ··························································· 5分 在数轴上表示为····························· 6分18．（本小题满分10分） 解：（1）甲、乙、丙的民主评议得分分别为：50分，80分，70分． ························ 3分（2）甲的平均成绩为：75935021872.6733++=≈（分），乙的平均成绩为：80708023076.6733++=≈（分），丙的平均成绩为：90687022876.0033++==（分）．由于76.677672.67>>，所以候选人乙将被录用． ······································ 6分 （3）如果将笔试、面试、民主评议三项测试得分按433∶∶的比例确定个人成绩，那么甲的个人成绩为：472.9433⨯75+3⨯93+3⨯50=++（分），乙的个人成绩为：477433⨯80+3⨯70+3⨯80=++（分），丙的个人成绩为：477.4433⨯90+3⨯68+3⨯70=++（分），由于丙的个人成绩最高，所以候选人丙将被录用． ········································· 10分19．（本小题满分10分）解：设去年5月份汽油价格为x 元/升，则今年5月份的汽油价格为1.6x 元/升， ········· 1分 根据题意，得15015018.751.6x x-=． ·································································· 5分 整理，得15093.7518.75x -=． 解这个方程，得3x =． ·················································································· 8分 经检验，3x =是原方程的解． ········································································· 9分 所以1.6 4.8x =．答：今年5月份的汽油价格为4.8元/升． ··························································· 10分20．（本小题满分10分）解：EMC △的形状是等腰直角三角形． ···························································· 1分 证明：连接AM ，由题意得：90DE AC DAE BAC =+=︒，∠∠．90DAB ∴=︒∠………………2分 又DM MB = ， 1452MA DB DM MAD MAB ∴====︒，∠∠．10590M D E M A C D M A ∴==︒=︒，∠∠∠． E D M C A ∴△≌△． ················································································· 5分DME AMC EM MC ∴==，∠∠． ·································································· 7分32101234- - -Ｍ Ｂ Ｃ Ａ Ｅ Ｄ（第20题图）又90DME EMA +=︒∠∠， 90EMA AMC ∴+=︒∠∠．C M E M ∴⊥． ···························································································· 9分所以ECM △的形状是等腰直角三角形． ··························································· 10分 21．（本小题满分12分） 解：（1）当点P 运动到与点C 关于直径AB 对称时，如图所示，此时CP AB ⊥于D ，又AB 为O 的直径，90ACB ∴=︒∠．543A B B C C A == ，∶∶， 43BC AC ∴==，．又AC BC AB CD = ， 122455CD PC ∴==，．…………………4分 在Rt ACB △和Rt PCQ △中， 90ACB PCQ ==︒∠∠，C A B C P =∠∠， R t R tA CB PC Q ∴△∽△． ··········································································· 6分43235AC BC BC PC CQ PC PC CQ AC ∴=∴=== ，． ·················································· 8分 （2）因为点P 在弧AB 上运动过程中，有43BC PC CQ PC AC == ， 所以PC 最大时，CQ 取到最大值． ·································································· 10分 ∴当PC 过圆心O ，即PC 取最大值5时，CQ 最大，最大为203． ························ 12分 22．（本小题满分12分）解：（1）在ABC △中，130AB AC BAC ===︒，∠，75ABC ACB ∴==︒∠∠，…………………………1分105ABD ACE ==︒∠∠．又105DAE =︒∠，75DAB CAE ∴+=︒∠∠．…………………………2分又75DAB ADB ABC +==︒∠∠∠，C A E AD ∴=∠∠． ···················································································· 3分 A D BE A ∴△∽△． ··················································································· 4分 A B B DE C A C∴=． ···························································································· 5分 即11xy =，所以1y x =． ················································································ 7分Ｏ Ａ Ｃ Ｂ （第21题图）ＱＰＤ Ｂ Ｃ Ｅ ＡＤ （第22题图）（2）当αβ，满足关系式902αβ-=︒时，函数关系式1y x=仍然成立． ················· 8分 此时，DAB CAE βα+=-∠∠． ··································································· 9分 又90DAB ADB ABC αβα+==︒-=-2∠∠∠，C A E AD ∴=∠∠． ···················································································· 10分又ABD ACE ADB EAC =∴ ，∠∠△∽△仍然成立． ········································· 11分从而（1）中函数关系式1y x=成立． ································································ 12分 23．（本小题满分12分） 解：（1）由题意可知，(03)C ，，(0)(43)M x N x -，，，， P ∴点坐标为()x x 3，3-4． ············································································ 2分 （2）设NPC △的面积为S ，在NPC △中，4NC x =-，NC 边上的高为34x ，其中04x ≤≤． ··································································································· 3分221333(4)(4)(2)2882S x x x x x 3∴=-⨯=-+=--+4． ······································ 5分 S ∴的最大值为32，此时2x =． ····································································· 7分 （3）延长MP 交CB 于Q ，则有PQ BC ⊥．①若NP CP =， PQ BC NQ CQ x ⊥== ，． 34x ∴=， 43x ∴=．……………………………………9分 ②若CP CN =，则35444CN x PQ x CP x =-==，，， 516449x x x -=∴=，． ·················································································· 10分 ③若CN NP =，则4CN x =-．3424PQ NQ x ==- ， ， 在Rt PNQ △中，222PN NQ PQ =+．2223(4)(42)()4x x x ∴-=-+，12857x ∴=． ···················································· 11分 综上所述，43x =，或169x =，或12857x = Ｎ B A M PCO yx （第23题图）Ｑ。
2007年广东省中考数学压轴题全解全析
2007年广东省中考数学压轴题全解全析2008年中考在即，备受广大师生关注的中考数学中的压轴题，因为这些试题有较强的选拔性，往往在很大的程度上决定了考试的成败，为帮助大家迎接今年的中考，特对2007年广东省各市中考数学压轴题加以整理，希望对大家有所帮助。
1.(深圳) 如图7，在平面直角坐标系中，抛物线2164y x =-与直线12y x =相交于A B ，两点．（1）求线段A B 的长．（2）若一个扇形的周长等于（1）中线段A B 的长，当扇形的半径取何值时，扇形的面积最大，最大面积是多少？ （3）如图8，线段A B 的垂直平分线分别交x 轴、y 轴于C D ，两点，垂足为点M ，分别求出O M O C O D ，，的长，并验证等式222111+=是否成立．（4）如图9，在R t AB C △中，90A C B=∠，C D A B ⊥，垂足为D ，设B C a =，A C b =，A B c =．C D b =，试说明：222111abh+=．解（1） ∴A （-4，-2），B （6，3）分别过A 、B 两点作x AE ⊥轴，y BF ⊥轴，垂足分别为E 、F∴AB =OA+OB 22223624+++=55=（2）设扇形的半径为x ，则弧长为)255(x -，扇形的面积为y则)255(21x x y -=x x5252+-=16125)455(2+--=x∵01<-=a ∴当455=x 时，函数有最大值16125=最大y（3）过点A 作AE ⊥x 轴，垂足为点E ∵CD 垂直平分AB ，点M 为垂足∴255225521=-=-=OA AB OM ∵COM EOA OMC AEO ∠=∠∠=∠,图7 图8图9D∴△AEO ∽△CMO ∴COAO OMOE =∴CO52254=∴45415225=⋅⋅=CO同理可得 25=OD∴542520)52()54(112222==+=+OD OC∴5412=OM∴222111OMODOC=+（4）等式222111hba=+成立．理由如下：∵AB CD ACB⊥=∠,90∴2222121b aABh AB ab +=⋅=∴h c ab ⋅=∴ 2222h cba ⋅= ∴22222)(h b aba += ∴22222222222)(hb a hb a hb a ba +=∴222221ba bah+=∴222111bah+=∴222111hba=+2. （梅州 11分）如图12，直角梯形A B C D 中，90643A B C D A A B A D D C ∠====∥，°，，，，动点P 从点A 出发，沿A D C B →→→方向移动，动点Q 从点A 出发，在A B 边上移动．设点P 移动的路程为x ，点Q 移动的路程为y ，线段P Q 平分梯形A B C D 的周长． （1）求y 与x 的函数关系式，并求出x y ，的取值范围； （2）当P Q A C ∥时，求x y ，的值；（3）当P 不在B C 边上时，线段P Q 能否平分梯形A B C D 的 面积？若能，求出此时x 的值；若不能，说明理由．解：（1）过C 作C E A B ⊥于E ，则34C D A E C E ===，，可得5B C =，所以梯形A B C D 的周长为18． ····················································································· 1分 P Q 平分A B C D 的周长，所以9x y +=， ··································································· 2分 因为06y ≤≤，所以39x ≤≤， 所求关系式为：939y x x =-+，≤≤． ················ 3分（2）依题意，P 只能在B C 边上，79x ≤≤． 126P B x B Q y =-=-，，因为P Q A C ∥，所以B P Q B C A △∽△，所以B P B Q B CB A=，得 ······································ 4分12656x y --=，即6542x y -=， 解方程组96542x y x y +=⎧⎨-=⎩， 得87121111x y ==，． ······ 6分 ABCD P Q图12（3）梯形A B C D 的面积为18． ························································································ 7分 当P 不在B C 边上，则37x ≤≤（a ）当34x <≤时，P 在A D 边上，12A P Q S x y =△．如果线段P Q 能平分梯形A B C D 的面积，则有192x y =······················································· 8分 可得：918.x y x y +=⎧⎨=⎩，解得36x y =⎧⎨=⎩，；（63x y ==，舍去）． ····················································· 9分（b ）当47x ≤≤时，点P 在D C 边上，此时14(4)2A D P Q S x y =⨯-+．如果线段P Q 能平分梯形A B C D 的面积，则有14(4)92x y ⨯-+=，可得92217.x y x y +=⎧⎨+=⎩，此方程组无解． 所以当3x =时，线段P Q 能平分梯形A B C D 的面积．11分3. （韶关 9分）如图6，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，OA=4，AB=2，直线32y x =-+与坐标轴交于D 、E 。
2007年中考数学模拟题
2007年中考数学模拟题（满分150分，时间120分钟）一、选择题（每题4分，共48分）：1、“天上的星星有几颗，7后跟上22个0”这是国际天文学联合大会上宣布的消息。
用科学记数法表示宇宙星星颗数为（）。
A．700×1020 B.7×1022 C.7×1023 D.0.7×10232、将一圆形纸片对折后再对折，得到如图所示的图案，然后沿着图中虚线剪开，得到两部分，其中一部分展开后的平面图形是（）。
3、已知cba+=cab+=bac+=k,则直线y=kx+2k一定经过（）。
A．第一、二象限B．第二、三象限C．第三、四象限D．第一、四象限4、不等式组⎩⎨⎧≥+〈-142xx的解集在数轴上表示正确的是（）。
5、如图，三个方格代表三位数的数字，且甲、乙两人分别将3、6的号码排列如下，然后等机会在1-9的9个号码中选出一个数，将它在两个空格中填上，则排出的数甲大于乙的概率是（）。
A．21B.31C．32D．916、某体育用品商店新进了一批运动服，每件进货价为120元，试销两天的情况如下：为了增加销售量，你认为该店确定这批运动服单价时应更关心这些数据的（）。
A．平均数B．中位数C．众数D．方差7、两条对角线互相垂直且相等的四边形一定是（）。
A．矩形B．菱形C．正方形D．不确定8、如图，其图象（折线ABCDE）描述了一汽车在某一直路上的行驶过程，汽车离出发地的距离s（千米）和行驶时间t（小时）之间的变量关系，根据图中提供的信息，给出下列说法：(1)汽车共行驶了120千米，（2）汽车在行驶途中停留了0.5小时，（3）汽车在售价（元）280 250 220 200 160件数 2 4 7 18 522-1-1BD-1-1223663百个十十个乙：甲：CB DA4.5ATSB CD1.51208023E每个行驶过程中的平均速度为380千米 每小时，（4）汽车自出发后3小时至4.5小时之间行驶的速度在逐渐减小。
2007年全国各地中考数学试题压轴题精选全解之三
2007年全国各地中考试题压轴题精选全解之三45.（某某省某某市）24. 已知：如图，在平面直角坐标系中，ABC △是直角三角形，90ACB ∠=，点A C ，的坐标分别为(30)A -，，(10)C ，，3tan 4BAC ∠=． （1）求过点A B ，的直线的函数表达式；（2）在x 轴上找一点D ，连接DB ，使得ADB △与ABC △相似（不包括全等），并求点D 的坐标；（3）在（2）的条件下，如P Q ，分别是AB 和AD 上的动点，连接PQ ，设AP DQ m ==，问是否存在这样的m 使得APQ △与ADB △相似，如存在，请求出m 的值；如不存在，请说明理由．解：（1）点(30)A -，，(10)C ，4AC ∴=，3tan 434BC BAC AC =⨯=⨯=∠，B 点坐标为(13)，设过点A B ，的直线的函数表达式为y kx b =+，由0(3)3k b k b=⨯-+⎧⎨=+⎩ 得34k =，94b =∴直线AB 的函数表达式为3944y x =+ （2）如图1，过点B 作BD AB ⊥，交x 轴于点D ， 在Rt ABC △和Rt ADB △中，BAC DAB =∠∠Rt Rt ABC ADB ∴△∽△，D ∴点为所求又4tan tan 3ADB ABC ==∠∠， 49tan 334CD BC ADB ∴=÷=÷=∠第24题图第24题图1134OD OC CD ∴=+=，1304D ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，（3）这样的m 存在在Rt ABC △中，由勾股定理得5AB = 如图1，当PQ BD ∥时，APQ ABD △∽△则133413534mm+-=+，解得259m =如图2，当PQ AD ⊥时，APQ ADB △∽△则133413534mm+-=+，解得12536m =46.(某某市)24. 已知：如图，△ABC 是边长3cm 的等边三角形，动点 P 、Q 同时从A 、B 两点出发，分别沿AB 、BC 方向匀速移 动，它们的速度都是1cm/s ，当点P 到达点B 时，P 、Q 两 点停止运动．设点P 的运动时间为t （s ），解答下列问题：（1）当t 为何值时，△PBQ 是直角三角形?（2）设四边形APQC 的面积为y （cm 2），求y 与t 的关系式；是否存在某一时刻t ，使四边形APQC 的面积是△ABC 面积的三分之二？如果存在，求出相应的t 值；不存在，说明理由；（3）设PQ 的长为x （cm ），试确定y 与x 之间的关系式． 解：⑴根据题意：AP ＝tcm ，BQ ＝tcm ． △ABC 中，AB ＝BC ＝3cm ，∠B＝60°， ∴BP＝(3－t)cm ．△PBQ 中，BP ＝3－t ，BQ ＝t ，若△PBQ 是直角三角形，则∠BQP＝90°或∠BPQ＝90°． 当∠BQP＝90°时，BQ ＝12BP ．第24题图2A P即t ＝12(3－t)，t ＝1(秒)．当∠BPQ＝90°时，BP ＝12BQ ．3－t ＝12t ，t ＝2(秒)．答：当t ＝1秒或t ＝2秒时，△PBQ 是直角三角形．⑵过P 作PM⊥BC 于M ． Rt△BPM 中，sin∠B＝PM PB，∴PM＝PB·sin∠B＝2(3－t)．∴S △PBQ ＝12BQ·PM＝12· t ·2(3－t)．∴y＝S △ABC －S △PBQ＝12×322－122(3－t)2444．∴y 与t 的关系式为： y 2444-+．假设存在某一时刻t ，使得四边形APQC 的面积是△ABC 面积的23， 则S 四边形APQC ＝23S △AB C ．2444＝23×12×322．∴t 2－3 t ＋3＝0． ∵(－3) 2－4×1×3＜0 ∴方程无解．∴无论t 取何值，四边形APQC 的面积都不可能是△ABC 面积的23．⑶在Rt△PQM 中， MQ ＝BM BQ -＝()312t -．MQ 2＋PM 2＝PQ 2．∴x 2＝[32(1－t)]2＋2(3－t)]2＝()()2293219644t t t t -++-+ ＝()23412124t t -+＝3t 2－9t ＋9．∴t 2－3t ＝()2193x -．2444+，)234t t -()21943x -+212x ．∴y 与x 的关系式为：y 212x ．47.(某某省某某市) 29．如图①，Rt ABC △中，90B ∠=，30CAB ∠=．它的顶点A 的坐标为(100)，，顶点B 的坐标为(5，10AB =，点P 从点A 出发，沿A B C →→的方向匀速运动，同时点Q 从点(02)D ，出发，沿y 轴正方向以相同速度运动，当点P 到达点C 时，两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒．（1）求BAO ∠的度数．（2）当点P 在AB 上运动时，OPQ △的面积S （平方单位）与时间t （秒）之间的函数图象为抛物线的一部分，（如图②），求点P 的运动速度．（3）求（2）中面积S 与时间t 之间的函数关系式及面积S 取最大值时点P 的坐标． （4）如果点P Q ，保持（2）中的速度不变，那么点P 沿AB 边运动时，OPQ ∠的大小随着时间t 的增大而增大；沿着BC 边运动时，OPQ ∠的大小随着时间t 的增大而减小，当点P 沿这两边运动时，使90OPQ ∠=的点P 有几个？请说明理由．解: （1）60BAO =∠．（2）点P 的运动速度为2个单位/秒． （3）(10)P t -（05t ≤≤）1(22)(10)2S t t =+-2912124t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭． ∴当92t =时，S有最大值为1214， 此时112P ⎛ ⎝⎭．（4）当点P 沿这两边运动时，90OPQ =∠的点P 有2个． ①当点P 与点A 重合时，90OPQ <∠，当点P 运动到与点B 重合时，OQ 的长是12单位长度， 作90OPM =∠交y 轴于点M ，作PH y ⊥轴于点H ，由OPH OPM △∽△得：11.53OM ==， 所以OQ OM >，从而90OPQ >∠．所以当点P 在AB 边上运动时，90OPQ =∠的点P 有1个．（第29题图①）Ax t （第29题图②）②同理当点P 在BC 边上运动时，可算得1217.83OQ =+=．而构成直角时交y 轴于03⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，20.217.83=>， 所以90OCQ <∠，从而90OPQ =∠的点P 也有1个． 所以当点P 沿这两边运动时，90OPQ =∠的点P 有2个．48.(某某省东营市)24. 根据以下10个乘积，回答问题：11×29； 12×28； 13×27； 14×26； 15×25； 16×24； 17×23； 18×22； 19×21； 20×20．（1）试将以上各乘积分别写成一个“□2－○2”（两数平方差）的形式，并写出其中一个的思考过程；（2）将以上10个乘积按照从小到大的顺序排列起来； （3）试由⑴、⑵猜测一个一般性的结论．（不要求证明） 解：⑴11×29＝202－92；12×28＝202－82；13×27＝202－72；14×26＝202－62；15×25＝202－52；16×24＝202－42； 17×23＝202－32；18×22＝202－22；19×21＝202－12； 20×20＝202－02．例如，11×29；假设11×29=□2－○2， 因为□2－○2=（□＋○）（□－○）； 所以，可以令□－○＝11，□＋○＝29． 解得，□＝20，○＝9．故229202911-=⨯． （或11×29＝（20－9）（20＋9）=202－92． ⑵ 这10个乘积按照从小到大的顺序依次是：1129122813271426⨯<⨯<⨯<⨯<152516241723⨯<⨯<⨯<182219212020⨯<⨯<⨯．⑶ ① 若40=+b a ，a ，b 是自然数，则ab ≤202＝400． ② 若a ＋b ＝40，则ab ≤202＝400．③ 若a ＋b ＝m ，a ，b 是自然数，则ab ≤22m ⎛⎫⎪⎝⎭．④ 若a ＋b ＝m ，则ab ≤22m ⎛⎫⎪⎝⎭．⑤ 若a 1＋b 1＝a 2＋b 2＝a 3＋b 3＝…＝a n ＋b n ＝40．且 | a 1－b 1|≥|a 2－b 2|≥|a 3－b 3|≥…≥| a n －b n |， 则 a 1b 1≤a 2b 2≤a 3b 3≤…≤ a n b n ．⑥若a 1＋b 1＝a 2＋b 2＝a 3＋b 3＝…＝a n ＋b n ＝m ．且 | a 1－b 1|≥|a 2－b 2|≥|a 3－b 3|≥…≥| a n －b n |， 则a 1b 1≤a 2b 2≤a 3b 3≤…≤ a n b n ．49.(某某枣庄)25. 已知：如图，在△ABC 中，D 为A 月边上一点，∠A =36°，AC =BC ，AC 2=AB ·AD ． (1)试说明：△ADC 和△BDC 都是等腰三角形， (2)若AB =1，求AC 的长，(3)试构造一个等腰梯形，要求该梯形连同它的两条对角线所形成的8个三角形中有尽可能多的等腰三角形．解：(1)在△ABC 中，AC =BC ，∠A ＝36°，∴∠B =∠A =36°，∠ACB =108°在△ABC 与△CAD 中，∠A =∠B =36°． ∵AC 2=AB ·AD ，∴AC AD ADAB AC BC==． ∴△ABC ∽△CAD ． ∴∠ACD =∠B =36°．∴∠CDB =72°，∠DCB =108°-36°=72°． ∴△ADC 和△BDC 都是等腰三角形． (2)设AC ＝x ，则AD =1-BD =1-BC =1-2x ∴x 2=1×(1-x )，即x 2＋x -1＝0．解得121515,22x x -+--== （舍去)．∴512AC -=(3)说明：按照画出的梯形中，有4个，6个和8个等腰三角形三种情况分类得分． ①有4个等腰三角形，得1分； ②有6个等腰三角形，得2分； ③有8个等腰三角形，得4分．50.(某某省滨州市)26. 如图12-1所示，在ABC △中，2AB AC ==，90A =∠，O 为BC 的中点，动点E 在BA 边上自由移动，动点F 在AC 边上自由移动．（1）点E F ，的移动过程中，OEF △是否能成为45EOF =∠的等腰三角形？若能，请指出OEF △为等腰三角形时动点E F ，的位置．若不能，请说明理由．（2）当45EOF =∠时，设BE x =，CF y =，求y 与x 之间的函数解析式，写出x 的取值X 围．（3）在满足（2）中的条件时，若以O 为圆心的圆与AB 相切（如图12-2），试探究直线EF 与O 的位置关系，并证明你的结论．图12-1AEF 图12-2A BOEF解：如图，（1）点E F ，移动的过程中，OEF △能成为45EOF ∠=°的等腰三角形． 此时点E F ，的位置分别是： ①E 是BA 的中点，F 与A 重合．②BE CF ==E 与A 重合，F 是AC 的中点（2）在OEB △和FOC △中，135EOB FOC ∠+∠=°，135EOB OEB ∠+∠=°，FOC OEB ∠=∠∴．又B C ∠=∠∵，OEB FOC ∴△∽△． BE BOCO CF=∴． BE x =∵，CF y =，OB OC === 2(12)y x x=∴≤≤． （3）EF 与O 相切．OEB FOC ∵△∽△，BE OECO OF =∴． BE OEBO OF =∴． 即BE BO OE OF =． 又45B EOF ∠=∠=∵°，A EFOCB AEFOC B（图12－1）（图12－2）BEO OEF ∴△∽△． BEO OEF ∠=∠∴．∴点O 到AB 和EF 的距离相等． AB ∵与O 相切，∴点O 到EF 的距离等于O 的半径． EF ∴与O 相切．51.(日照市)24. 如图，直线EF 将矩形纸片ABCD 分成面积相等的两部分，E 、F 分别与BC 交于点E ，与AD 交于点F （E ，F 不与顶点重合），设AB=a,AD=b,BE=x ．(Ⅰ)求证：AF=EC ；(Ⅱ)用剪刀将纸片沿直线EF 剪开后，再将纸片ABEF 沿AB 对称翻折，然后平移拼接在梯形ECDF 的下方，使一底边重合，直腰落在边DC 的延长线上，拼接后，下方的梯形记作EE′B′C .（1）求出直线EE ′分别经过原矩形的顶点A 和顶点D 时，所对应的 x ︰b 的值；（2）在直线EE ′经过原矩形的一个顶点的情形下，连接B E′，直线BE ′与EF 是否平行？你若认为平行，请给予证明；你若认为不平行，请你说明当a 与b 满足什么关系时，它们垂直？ 解: (Ⅰ)证明：∵AB=a ，AD=b ，BE=x ，S 梯形ABEF =S 梯形CDFE ． ∴21a (x +AF )=21a (EC +b -AF )， ∴2AF =EC +(b -x )． 又∵EC ＝b -x ， ∴2AF =2EC ，即AF=EC ；(Ⅱ)（1）当直线EE′经过原矩形的顶点D 时，如图（一）， ∵EC ∥E ′B ′， ∴B E EC ''=BD DC'.由EC ＝b -x ，E ′B ′=EB =x ，DB ′=DC +CB ′=2a ， 得aax x b 2=-， ∴x ︰b =32；当直线E′E 经过原矩形的顶点A 时，如图（二）， 在梯形AE ′B ′D 中，∵EC ∥E ′B ′,点C 是DB ′的中点，∴CE =21(AD + E ′B ′)， 即b -x ＝21（b ＋x ），∴x ︰b =31．(2) 如图（一）， 当直线EE′ 经过原矩形的顶点D 时，BE ′∥EF ． 证明：连接BF ． ∵FD ∥BE , FD =BE ，∴四边形FBED 是平行四边形，∴FB ∥DE ， FB =DE ,又∵EC ∥E ′B ′， 点C 是DB ′的中点， ∴DE =EE ′，∴FB ∥EE ′, FB = EE ′， ∴四边形BE ′EF 是平行四边形 ∴BE ′∥EF ．如图（二）， 当直线EE′ 经过原矩形的顶点A 时，显然BE ′与EF 不平行，设直线EF 与BE ′交于点G .过点E ′作E ′M ⊥BC 于M ， 则E ′M =a .．∵x ︰b =31， ∴EM =31BC =31b ．若BE′与EF 垂直，则有∠GBE +∠BEG =90°，又∵∠BEG ＝∠FEC ＝∠MEE ′， ∠MEE ′+∠ME ′E =90°， ∴∠GBE =∠ME ′E .在R t△BME ′中，tan ∠E ′BM = tan ∠GBE =BM M E '=b a32．在R t△EME ′中，tan ∠ME ′E =M E EM '=ab31，∴b a 32＝a b 31． 又∵a ＞0，b ＞0，=ba32， ∴当=ba32时，BE′与EF 垂直.52.(某某省聊城市)25. 某市为了进一步改善居民的生活环境，园林处决定增加公园A 和公园B 的绿化面积．已知公园A B ，分别有如图1，图2所示的阴影部分需铺设草坪，在甲、乙两地分别有同种草皮21608m 和21200m 出售，且售价一样．若园林处向甲、乙两地购买草皮，其路程和运费单价见下表：公园A公园B路程（千米）运算单价（元）路程（千米）运费单价（元） 甲地 30 0.25 32 0.25 乙地220.3300.3（注：运费单价指将每平方米草皮运送1千米所需的人民币）65m 12060图1图2（1）分别求出公园A B ，需铺设草坪的面积；（结果精确到21m ） （2）请设计出总运费最省的草皮运送方案，并说明理由．解：（1）设公园A B ，需铺设草坪的面积分别为12S S ，，根据题意，得16232622322221800S =⨯-⨯-⨯+⨯=．设图2中圆的半径为R ，由图形知，圆心到矩形较长一边的距离为252， 所以25cos302R =°，有R =．于是，2212012565252π2100836022S =⨯-⨯⨯-⨯≈．所以公园A B ，需铺设草坪的面积分别为21800m 和10082m ．（2）设总运费为y 元，公园A 向甲地购买草皮x 2m ，向乙地购买草皮(1800)x -2m ． 由于公园A B ，需要购买的草皮面积总数为180010082808+=（2m ）， 甲、乙两地出售的草皮面积总数为2160812002808(m )+=． 所以，公园B 向甲地购买草皮2(1608)m x -， 向乙地购买草皮21200(1800)(600)(m )x x --=-．于是，有01608018001200x x ⎧⎪⎨-⎪⎩，．≤≤≤≤所以6001608x ≤≤． 又由题意，得300.25220.3(1800)320.25(1608)300.3(600)y x x x x =⨯+⨯-+⨯-+⨯-···1.919344x =+．因为函数 1.919344y x =+随x 的增大而增大，所以，当600x =时，有最小值 1.96001934420484y =⨯+=（元）．因此，公园A 在甲地购买6002m ，在乙地购买2180********(m )-=；公园B 在甲地购买16086001008-=（2m ）． 此时，运送草皮的总运费最省．53.(某某省某某市非课改区)26. 如图，在ABC △中，90BAC ∠=，AD 是BC 边上的高，E 是BC 边上的一个动点（不与B C ，重合），EF AB ⊥，EG AC ⊥，垂足分别为F G ，．（1）求证：EG CGAD CD=； （2）FD 与DG 是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由； （3）当AB AC =时，FDG △为等腰直角三角形吗？并说明理由．解: （1）证明：在ADC △和EGC △中Rt ADC EGC ∠=∠=∠，C C ∠=∠ADC EGC ∴△∽△EG CGAD CD∴=（2）FD 与DG 垂直 证明如下：在四边形AFEG 中，90FAG AFE AGE ∠=∠=∠= ∴四边形AFEG 为矩形AF EG ∴=由（1）知EG CGAD CD=AF CGAD CD∴=EB （第26题）EB （第26题）ABC △为直角三角形，AD BC ⊥ FAD C ∴∠=∠ AFD CGD ∴△∽△ ADF CDG ∴∠=∠又90CDG ADG ∠+∠=90ADF ADG ∴∠+∠=即90FDG ∠=FD DG ∴⊥（3）当AD AC =时，FDG △为等腰直角三角形， 理由如下：AB AC =，90BAC ∠= AD DC ∴=由（2）知：AFD CGD △∽△1FD ADGD DC ∴== FD DG ∴= 又90FDG ∠=FDG ∴△FDG ∴△为等腰直角三角形54.(某某省某某市)23. 已知：如图14，在ABC △中，D 为AB 边上一点，36A ∠=，AC BC =，2AC AB AD =．（1）试说明：ADC △和BDC △都是等腰三角形； （2）若1AB =，求AC 的值；（3）请你构造一个等腰梯形，使得该梯形连同它的两条对角线得到8个等腰三角形．（标明各角的度数）解：（1）在ABC △中，AC BC =，36108B A ACB ∴∠=∠=∠=，．在ABC △与CAD △中，36A B ∠=∠=；ＡＤＢ图142AC AB AD =，AC AB ABAD AC BC ∴==． ABC CAD ∴△∽△ 721083672CDB DCB ∴∠=∠=-=，．ADC ∴△和BDC △都是等腰三角形．4分（2）设AC x =，则()211x x =⨯-，即210x x +-=．解得x x =∴=（负根舍去）．55.(某某省实验区) 23．如图，对称轴为直线72x =的抛物线经过点A （6，0）和B （0，4）． （1）求抛物线解析式及顶点坐标；（2）设点E （x ，y ）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF 是以OA 为对角线的平行四边形．求平行四边形OEAF 的面积S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值X 围；①当平行四边形OEAF 的面积为24时，请判断平行四边形OEAF 是否为菱形？②是否存在点E ，使平行四边形OEAF 为正方形？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．36363636 363672 72108(有8个等腰三角形)解：（1）由抛物线的对称轴是72x =，可设解析式为27()2y a x k =-+． 把A 、B 两点坐标代入上式，得227(6)0,27(0) 4.2a k a k ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩ 解之，得225,.36a k ==- 故抛物线解析式为22725()326y x =--，顶点为725(,).26- （2）∵点(,)E x y 在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合22725()326y x =--，∴y<0，即 －y>0,－y 表示点E 到OA 的距离． ∵OA 是OEAF 的对角线， ∴2172264()2522OAES SOA y y ==⨯⨯⋅=-=--+．因为抛物线与x 轴的两个交点是（1，0）的（6，0），所以，自变量x 的 取值X 围是1＜x ＜6．① 根据题意，当S = 24时，即274()25242x --+=．化简，得271().24x -=解之，得123, 4.x x == 故所求的点E 有两个，分别为E 1（3，－4），E 2（4，－4）． 点E 1（3，－4）满足OE = AE ，所以OEAF 是菱形； 点E 2（4，－4）不满足OE = AE ，所以OEAF 不是菱形．② 当OA ⊥EF ，且OA = EF 时，OEAF 是正方形，此时点E 的 坐标只能是（3，－3）．而坐标为（3，－3）的点不在抛物线上，故不存在这样的点E ， 使OEAF 为正方形．56.(某某市) 如图①，在平面直角坐标系中，Rt △AOB ≌Rt △CDA ，且A(－1，0)、B(0，2)，抛物线y ＝ax 2＋ax －2经过点C 。
2007年中考数学压轴题及答案
2007年广东省各市数学中考压轴题解析1、（2007 广东省中山市）第22题：如图，正方形ABCD 的边长为3a ，两动点E 、F分别从顶点B 、C 同时开始以相同速度沿BC 、CD 运动，与△BCF 相应的△EGH 在运动过程中始终保持△EGH ≌△BCF ，对应边EG ＝BC ，B 、E 、C 、G 在一直线上。
(1)若BE ＝a ，求DH 的长；(2)当E 点在BC 边上的什么位置时，△DHE 的面积取得最小值？并求该三角形面积的最小值。
解：（1）连结EF ，则FH ∥BE 且FH=BE ，在Rt △DFH 中，DF=3a －a=2a ，FH=a ，∠DFH=900所以，DH=a FH DF DH 522=+= （2）设BC=x ，△DHE 的面积为y ， 依题意得，EG H CD H G CD E S S S y ∆∆-+=梯形x a x x a x a a ⨯⨯-⨯++-⨯⨯=321)3(21)3(321 22292321a ax x +-=故2222827)23(21292321a a x a ax x y +-=+-= 当时a x 23=，即BE=BC 21=时，E 是BC 的中点，y 取最小值。
△DHE 的面积y 的最小值是2827a 2、（2007 广东省佛山市）第24题：如图，隧道的截面由抛物线AED 和矩形ABCD 构成，矩形的长BC 为8m ，宽AB 为2m ，以BC 所在的直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，y 轴是抛物线的对称轴，顶点E 到坐标原点O 的距离为6m ． （1）求抛物线的解析式；（2）一辆货运卡车高4.5m ，宽2.4m ，它能通过该隧道吗？（3）如果该隧道内设双行道，为了安全起见，在隧道正中间设有0.4m 的隔离带，则该辆货运卡车还能通过隧道吗？解：（1）根据题意，A （－4，2）；D （4，2）；E （0，6） 设物线的解析式为c ax y +=2，将A （－4，2）；E （0，6）D(第22题图)BCAE FGH3a3a第24题图代入caxy+=2得，⎪⎩⎪⎨⎧=-=641ca，故6412+-=xy（2）取,2.1=x解得5454.56)2.1(412=+⨯-=y>4.5,则该辆货运卡车能安全通过隧道。
2007年中考专题训练(含3套练习)
专题训练一声现象考点指津本专题为声现象，知识掌握基本要求：知道声音是由振动产生的；知道声音的传播需要介质；知道不同介质的传声性能与传声速度不同及传播特点；了解声音的三要素及其影响因素；知道人耳听不见的声音；了解噪声的危害与控制方法．中考命题热点：声音的产生及传播；回声测距；实际问题中声音三要素的识别；练习测试一、填空题1．下列与声有关的语句中，所表达的物理含义是：（1）节日里的锣、鼓声“震耳欲聋”，说明锣．鼓声的大．（2）歌唱家的歌声“悦耳动听”，说明歌唱家的歌声的好．（3）小女孩的讲话“脆如银铃”，说明小女孩说话声的高．2．东林书院名联“风声、雨声、读书声，声声入耳”表明声音可以在中传播；用小提琴和二胡演奏“二泉映月”乐曲时，我们可以根据声音的不同来加以辨别．3．声音在介质中以___ 的形成向远处传播．声音传播过程中能引起别的物体发生_____ ，超声波还能粉碎人体内的结石，说明声音具有___________．4．科学工作者为了探测海底某处的深度，向海底垂直发射超声波，经过3s，收到回波信号，海洋中该处的深度为m （声音在海水中传播的速度是1531 m/s），这种方法能不能用来测量月亮到地球的距离？为什么？5．在百米赛跑中，甲、乙两个记时员，分别从看到发令枪冒烟和听到枪声开始记时同一运动员的成绩，则记录的成绩较准确；若甲记录的成绩为11.3s，则乙记录的成绩约为s．6．某汽车以10m／s的速度匀速驶向一座陡峭的高山，司机按了一下嗽叭，经4s钟听到回声．听到回声时，车与前面高山的距离是m．7．频率为Hz以下的声音为次声波；频率为Hz以上的声音为超声波．8．噪声强度如果在dB以上，会影响人的正常学习和休息，如果在dB以上，长时间会造成对人的听力的伤害．9．2005年春节晚会上，聋哑人表演的“千手观音”震撼了所有观众。
她们是怎样训练的呢?听不见声音,她们将身体紧贴在音箱上，感受音乐的节奏，因为声音是由产生的。
2007年全国各地中考数学压轴题赏析
2007年全国各地中考数学压轴题赏析浦东教育发展研究院 杨正家2007年全国各地中考数学试题压轴题多姿多彩，经学习、研究后有不少体会。
这些成功试题值得大家进行深入分析，细细品味。
本人从中选取一部分加以分析，供教学、命题和研究参考。
希望从考试试题的研究出发，在研究、讨论中我们共同获得对数学和数学教学的启发，进而提高对数学和数学教学的认识。
试题1（湖北省十堰市）已知矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝4，以AB 的垂直平分线为x 轴，AB 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(如图)。
(1)写出A 、B 、C 、D 及AD 的中点E 的坐标；(2)求以E 为顶点、对称轴平行于y 轴，并且经过点B 、C 的抛物线的解析式； (3)求对角线BD 与上述抛物线除点B 以外的另一交点P 的坐标；(4)△PEB 的面积S △PEB 与△PBC 的面积S △PBC 具有怎样的关系？证明你的结论。
略解：（1）所求各点坐标为A （0，1），B （0，-1），C （4，-1），D （4，1），E （2，1）。
（2）设抛物线的解析式为1+=22)-(x a y ，由于抛物线经过点B(0,-1)，可求得21－a =，所以抛物线的解析式为121+=22)-(x －y ，经验证，该抛物线过C 。
（3）直线BD 的解析式为121x －y =，与抛物线解析式联列，解得点P 坐标为),(213P 。
（4）PBC ΔPEB ΔS S 21=。
赏与析： 第（2）小题看起来有多余条件，但实际上正好考查学生解题中的自检能力，如果学生用顶点式求抛物线解析式，根据点B 坐标求出解析式后须检查C 在抛物线上。
如果学生运用一般式求解，根据E 、B 、C 的坐标求出解析式后，须检验E 是顶点。
这一自检步骤不可忽略，也不可默认。
试题2（泰安市，非课改）如图，在ABC △中，90BAC ∠=，AD 是BC 边上的高，E 是BC 边上的一个动点（不与B C ，重合），EF AB ⊥，EG AC ⊥，垂足分别为F G ，。
2007年中考模拟试题(二)及答案华师版2007年中考模拟试题(二)及答案华师版
12第4题图www:/ 教育库之数学库2007年中考模拟试题（二）这是一套综合性比较强、内容丰富多彩、技能性高、知识面比较广的具有现实性的新华师版的试题。
值得大家借鉴。
（时间120分钟，满分120分）山东省聊城东昌府区郑家中学 庞纪武 邮编：252035“没有比人更高的山，没有比脚更长的路”．亲爱的同学们，准备好了吗？请相信自己，沉着应答，你一定能愉快地完成这次测试之旅，祝你成功！一选择题（每小题3分，共30分，下列各题只有一个正确选项） 1 ．下图是由10 把相同的折扇组成的“蝶恋花”（图 l ）和梅花图案（图 2 )（图中的折扇无重叠）, 则梅花图案中的五角星的五个锐角均为A . 36ºB . 42ºC . 45ºD . 48º第1题2．若反比例函数xky =的图象经过点)2,1(-，则这个函数的图象一定经过 A.)1,2(- B. )2,21(- C. )1,2(-- D.)2,21(3.若2123x x x -+-的值为零，则x 的值是（ ） A. 1± B. 1 C. 1- D. 不存在4. 如图，将一等边三角形剪去一个角后，∠1+∠2等于（ ）A.1200B.2400C.3000D.36005. 下列图形中，不能．．用同一种作平面镶嵌的是（ ） A.正三角形 B. 正方形 C.正五边形 D.正六边形6.气象台预报“本市明天降水概率是80 %”．对此信息，下列说法正确的是www:/ 教育库之数学库(A)本市明天将有80％的地区降水 (B)本市明天将有80％的时间降水 (C)明天肯定下雨 (D)明天降水的可能性比较大 7小亮早晨从家骑车到学校，先上坡后下坡，行程情况如图所 示．若返回时上坡、下坡的速度仍保持不变，那么小明从学 校骑车回家用的时间是( A ) 37.2分钟 (B) 48分钟 (C ) 30分钟 ( D )33分钟8．据“保护长江万里行”考察队统计，仅2003年长江流域废水排放量已达163.9亿吨！治长江污染真是刻不容缓了！请将这个数据用四舍五入法，使其保留两个有效数字，再用科学记数法表示出来是（ ）(A) 31.610⨯亿吨 (B) 21.610⨯亿吨 (C) 31.710⨯亿吨 (D)21.710⨯ 亿吨9．如图是二次函数y 1＝ax 2＋bx ＋c 和一次函数y 2＝mx ＋n 的图象，观察图象写出y 2≥y 1时，x 的取值范围（ ）A ．x ≥0B ．0≤x ≤1C ．－2≤x ≤1D ．x ≤10．2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a ，较短直角边为b ，则a 3＋b 4的值为( ) A ．35 B ．43 C ．89 D ．97 二填空题(每小题3分,共30分)11．如图，三角形纸片ABC 中，∠A ＝65°，∠B ＝75°，将纸片的一角折叠，使点C 落在△ABC 内，若∠1＝20°，则∠2的度数为______．(第10题) (第11题)www:/ 教育库之数学库12．为了估计湖里有多少条鱼，先从湖里捕捞100条鱼都做上标记，然后放回湖中去，经过一段时间，待有标记的鱼完全混合于鱼群后，第二次再捕捞100条鱼，发现其中10条有标记，那么你估计湖里大约有鱼_________条.13．诗云：“远望巍巍塔七层，灯光点点倍加增，共灯三百八十七，试问尖头几盏灯？” 请回答： 。
07年——11年陕西中考压轴题解析
07年——11年陕西中考压轴题解析07年压轴题．（本题满分12分）如图，O e 的半径均为R ．（1）请在图①中画出弦AB CD ，，使图①为轴对称图形而不是．．中心对称图形；请在图②中画出弦AB CD ，，使图②仍为中心对称图形；（2）如图③，在O e 中，(02)AB CD m m R ==<<，且AB 与CD 交于点E ，夹角为锐角α．求四边形ACBD 面积（用含m α，的式子表示）； （3）若线段AB CD ，是O e 的两条弦，且AB CD ==，你认为在以点A B C D，，，为顶点的四边形中，是否存在面积最大的四边形？请利用图④说明理由．25．解：（1）答案不唯一，如图①、②（只要满足题意，画对一个图形给2分，画对两个给3分）··················································································································· 3分 （2）过点A B ，分别作CD 的垂线，垂足分别为M N ，．11sin 22ACD S CD AM CD AE α==△∵···，11sin 22BCD S CD BN CD BE α==△···． ····························································· 5分ACD BCD ACBD S S S =+△△四边形∴11sin sin 22CD AE CD BE αα=+····1()sin 2CD AE BE α=+·· （第25题图①） （第25题图②） （第25题图③） （第25题图④） （第25题答案图①） （第25题答案图②）（第25题答案图③）1sin 2CD AB α=·· 21sin 2m α=． ································· 7分（3）存在．分两种情况说明如下： ·································································· 8分 ①当AB 与CD 相交时， 由（2）及AB CD ==知21sin sin 2ACBD S AB CD R αα==四边形··． ·················· 9分 ②当AB 与CD 不相交时，如图④AB CD ==∵，OC OD OA OB R ====，90AOB COD ∠=∠=∴°，而Rt Rt AOB OCD AOD BOC ABCD S S S S S =+++△△△△四边形2AODBOC R S S =++△△． ··············································································· 10分延长BO 交O e 于点E ，连接EC ，则132390∠+∠=∠+∠=°．12∠=∠∴．AOD COE ∴△≌△．AOD OCE S S =△△∴．AOD BOC OCE BOC BCE S S S S S +=+=△△△△△∴．过点C 作CH BE ⊥，垂足为H ， 则12BCE S BE CH R CH ==△··． ∴当CH R =时，BCE S △取最大值2R ．···························································· 11分 综合①、②可知，当1290∠=∠=°，即四边形ABCD的正方形时， 2222ABCD S R R R =+=四边形为最大值． ···························································· 12分 08年压轴题、（本题满分12分）某县社会主义新农村建设办公室，为了解决该县甲、乙两村和一所中学长期存在的饮水困难问题，想在这三个地方的其中一处建一所供水站，由供水站直接铺设管道到另外两处。
人教新课标2007年中考模拟试卷(1)附答案
2007年中考模拟试卷（-）数学考试说明：全卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．全卷满分120分，考试时间共120分钟．答题前，请考生务必在答题卡上正确填涂自己的姓名、考号和考试科目，并将试卷密封线内的项目填写清楚；考试结束，将试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题共40分）注意事项：每小题选出的答案不能答在试卷上，须用铅笔在答题卡上把对应题目．．．．的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦净后，再选涂其它答案．一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意要求.1．下列各数-x2（x≠0），-|-a|（a≠0），π0，b2(b<0)中负数有（）个A、1B、2C、3D、42．当我们从上面观察图1所示的两个物体时，看到的将是（）3．如果代数式2||)2)(1(-++xxx的值为零，则x的值应为（）A、 x=-1或-2B、x=-2C、x=2D、x=-14．把(x-1)(x-2)-12分解因式，正确的是（）A、(x+2)(x+5)B、(x-2)(x-5)C、(x-5)(x+2)D、(x+5)(x-2)5．下列字母中，既是中心对称又是轴对称的是（）A、SB、AC、ωD、φ6．不等式组⎩⎨⎧≥+-<-6)1(342xx的解集在数轴上表示为（）7．李老师骑自行车上班，最初以某一速度匀速行进，中途由于自行车发生故障，停下来修车耽误了8分钟，为了按时到校，李老师加快了速度，但仍保持匀速，结果准时到校，有4个学生画出了李老师上班过程中自行车行驶的路程S（km）与行驶时间t（小时）的函数图象示意图，你认为画得正确的是（）A B C D图1 A DB C8．甲、乙两人各随意地掷一枚骰子，如果所得的点数之积为奇数，那么甲得1分，如果所得点数之积为偶数，那么乙得1分，若接连掷100次，谁的得分总和高谁就获胜，则获胜可能性较大的是（ ）A 、甲B 、乙C 、甲、乙一样大D 、无法判断 9．下列命题中正确的有（ ）个①对角线相等的四边形是矩形 ②相邻的两个角都互补的四边形是平行四边形 ③平分弦的直径垂于弦，并且平分弦所对的两条弧 ④三点确定一个圆 ⑤相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧也相等 A 、0 B 、1 C 、2 D 、310．已知二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象如图所示，则下列结论中不正确的有（ ）个. ①abc>0 ②2a+b=0③方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)必有两个不相等的实根 ④a+b+c>0 ⑤当函数值y 随x 的逐渐增大而减小时，必有x ≤1A 、1B 、2C 、3D 、4第Ⅱ卷（非选择题 共80分）注意事项：本卷共6页，用黑色或蓝色钢笔或圆珠笔直接答在试卷上．二、填空题：本大题共6个小题,每小题3分,共18分.把答案直接填在题中横线上.11．将直线y=-2x+6向左平移了3个单位，得到 直线解析式为. 12．如图6，正方形ABCD 内接于等腰直角三角形PQR ，则AQAP=13．如图7，有一条直的等宽纸带,按图7折叠时,纸带重叠部分中的∠α 14．函数y= 2222(1)mm m x ---+m 2-5m+6是正比例函数,则m=15．如图8，一个矩形分成4个不同的三角形,绿色三角形面积占矩形面积的15%,黄色三角形的面积是图8 ＰＲＢＡＤ图6300α A B 图7 C21平方厘米,则矩形面积是 平方厘米16．如图9，已知AB 是⊙O 的直径,弦PC 交OA 于 点D,弦PE 交OB 于点F,且OC=DC,OF=EF,若∠∠E,则∠CPE=三.解答题：本大题共8个小题，共62分. 解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤.17．计算与化简(本题满分7分)：（1）01)-|sin60°-1|-11()2-+3(1)-（2）2242()4422x x xx x x x ---÷-++-,其中4x =-18、利用根与系数的关系求值(本题满分7分)：已知方程3x 2+5x+1=0的两根为α、β19．(本题满分8分)如图4，正方形ABCD 边长为a ，通过AB 边上一点P 作平行于对角线AC ，BD 的平行线，分别与边BC ，AD 交于Q 和R ，设△PQR 面积为y ，AP 为x ，问：P 在AB 上什么位置时，△PQR 面积最大？最大面积是多少？图9 C Q20．(本题满分7分)小明从家到学校上课，开始时以每分钟走50米的速度走了2分钟，这时他发现，若根据以往上学的经验，再按这个速度走下去，将要迟到2分钟，于是他立即加快速度，每分钟多走10米，结果早到2分钟，小时家到学校有多远？21．计算(本题满分8分)：某风景区对5个旅游景点的门票价格进行了调整，据统计，调价前后各景点的游客人数基本不变。
2007年全国中考数学压轴题汇编
−5a 5 = ………2 分 2a 2
A
y C
1
B
B(5， 4)
2
C (0， 4) …………5 分
1 ………6 分 6
把点 A 坐标代入 y = ax − 5ax + 4 中，解得 a = −
0
1
x
1 5 ∴ y = − x 2 + x + 4 …………………………………………7 分 6 6
（3）存在符合条件的点 P 共有 3 个．以下分三类情形探索． 设抛物线对称轴与 x 轴交于 N ，与 CB 交于 M ． 过点 B 作 BQ ⊥ x 轴于 Q ，易得 BQ = 4 ， AQ = 8 ， AN = 5.5 ，
（2）若双曲线 y = 在第一象限） ，若由点 A，B，P，Q 为顶点组成的四边形面积为 24 ， 的坐标． 解：(1)∵点 A 横坐标为 4 , ∴当 x = 4 时， y = 2 .
y A
O
x
（ P 点 求点 P
B
图 12
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注：第（3）小题中，只写出点 P 的坐标，无任何说明者不得分． 4、 （福州）如图 12，已知直线 y = （1）求 k 的值；
1 k x 与双曲线 y = (k > 0) 交于 A，B 两点，且点 A 的横坐标为 4 ． 2 x
k (k > 0) 上一点 C 的纵坐标为 8，求 △ AOC 的面积； x k （ 3 ）过原点 O 的另一条直线 l 交双曲线 y = (k > 0) 于 P，Q 两点 x
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2007年全国中考数学压轴题精选全解之四
63.（长沙市）26. 如图，ABCD 中，4AB =，3BC =，120BAD =∠，E 为BC 上一动点（不与B 重合），作EF AB ⊥于F ，FE ，DC 的延长线交于点G ，设BE x =，DEF △的面积为S ． （1）求证：BEF CEG △∽△；（2）求用x 表示S 的函数表达式，并写出x 的取值范围； （3）当E 运动到何处时，S 有最大值，最大值为多少？ 解: （1）证明略；（2）由（1）DG 为DEF △中EF 边上的高，在Rt BFE △中，60B =∠，sin EF BE B x ==， 在Rt CEG △中，3CE x =-，3(3)cos602xCG x -=-=， 112xDG DC CG -∴=+=，2132S EF DG x x ∴==-+， 其中03x <≤． （3）30a =-<，对称轴112x =，∴当03x <≤时，S 随x 的增大而增大，∴当3x =，即E 与C 重合时，S 有最大值．S =最大64.(湖南省郴州) 27．如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，将矩形ABCD 沿对角线AC 平移，平移后的矩形为EFGH （A 、E 、C 、G 始终在同一条直线上），当点E 与C 重合时停止移动．平移中EF 与BC 交于点N ，GH 与BC 的延长线交于点M ，EH 与DC 交于点P ，FG 与DC 的延长线交于点Q ．设S 表示矩形PCMH 的面积，S '表示矩形NFQC的面积．（1） S 与S '相等吗？请说明理由．（2）设AE ＝x ，写出S 和x 之间的函数关系式，并求出x 取何值时S 有最大值，最大值是多少？（3）如图11，连结BE ，当AE 为何值时，ABE ∆是等腰三角形． 解: （1）相等 理由是：因为四边形ABCD 、EFGH 是矩形，所以,,EGHEGF ECN ECP CGQ CGMS S S S S S ∆∆∆∆∆∆===所以,EGH ECP CGMEGF ECN CGQ S S S S S S ∆∆∆∆∆∆--=-- 即：S S '=（2）AB ＝3，BC ＝4，AC ＝5，设AE ＝x ，则EC ＝5－x ，34(5),,55PC x MC x =-=所以12(5)25S PCMC x x ==-，即21212(05)255S x x x =-+≤≤ 配方得：2125()3252S x =--+，所以当52x =时，S 有最大值3（3）当AE ＝AB ＝3或AE ＝BE ＝52或AE ＝3.6时，ABE ∆是等腰三角形65.(湖南省怀化市)28. 两个直角边为6的全等的等腰直角三角形Rt AOB △和Rt CED △按图1所示的位置放置A 与C 重合，O 与E 重合．xN MQ PHGFEDCBA图11Q PNMHG FED C BA图（1）求图1中，A B D，，三点的坐标．（2）Rt AOB△固定不动，Rt CED△沿x轴以每秒2个单位长的速度向右运动，当D点运动到与B点重合时停止，设运动x秒后Rt CED△和Rt AOB△重叠部分面积为y，求y与x之间的函数关系式．（3）当Rt CED△以（2）中的速度和方向运动，运动时间4x=秒时Rt CED△运动到如图2所示的位置，求经过A G C，，三点的抛物线的解析式．（4）现有一半径为2，圆心P在（3）中的抛物线上运动的动圆，试P(60)-，62DO x=-，6DH x=-，223263122x x x x⎛⎫=-+=-+⎪⎝⎭当36x≤≤时，位置如图Ｂ所示．可知：122DB x=-（求梯形IOHG的面积及DGB△论正确均可给分）y∴与x的函数关系式为：22312(03)1236(36)x x xyx x x⎧-+<⎪=⎨-+⎪⎩≤≤≤（3）图2中，作GH OE⊥，垂足为H，当4x=时，28OE x==，图1 图2图1224DB x =-=122GH DH DB ∴===，1666242OH HB DB =-=-=-=∴可知：(06)A ，，(42)G ，，(86)C ，∴经过A G C ，，三点的抛物线的解析式为：221(4)22644x y x x =-+=-+ （4）当P 在运动过程中，存在P 与坐标轴相切的情况，设P 点坐标为00()x y ，当P 与y 轴相切时，有02x =，02x =±，由02x =-得：011y =，1(211)P ∴-， 由02x =，得03y =，2(23)P ∴，当P 与x 轴相切时，有02y =02y ∴=，得：04x =，3(42)P ∴，综上所述，符合条件的圆心P 有三个，其坐标分别是：1(211)P -，，2(23)P ，，3(42)P ， 66.(湖南省永州市) 25、在梯形ABCD 中，AB CD ∥，90ABC ∠=°，5AB =，10BC =，tan 2ADC ∠=．（1）求DC 的长；（2）E 为梯形内一点，F 为梯形外一点，若BF DE =，FBC CDE ∠=∠，试判断ECF △的形状，并说明理由．（3）在（2）的条件下，若BE EC ⊥，:4:3BE EC =，求DE 的长． 解（1）过A 点作AG DC ⊥，垂足为G∴四边形ABCG 为矩形（2）DE BF FBC CDE BC DC =∠=∠=，，ECF ∴△是等腰直角三角形（3）过F 点作FH BE ⊥∴四边形ECFH 是正方形，6FH EC ∴==67.(湖南省韶关市) 25.如图6，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，OA=4，AB=2，直线32y x =-+与坐标轴交于D 、E 。
2007年全国中考数学压轴题精选全解之三
年全国各地中考试题压轴题精选全解之三.（山东省济南市）. 已知：如图，在平面直角坐标系中，ABC △是直角三角形，90ACB ∠=，点A C ，的坐标分别为(30)A -，，(10)C ，，3tan 4BAC ∠=． （）求过点A B ，的直线的函数表达式；（）在x 轴上找一点D ，连接DB ，使得ADB △与ABC △相似（不包括全等），并求点D 的坐标；（）在（）的条件下，如P Q ，分别是AB 和AD 上的动点，连接PQ ，设A P D Q m==，问是否存在这样的m 使得APQ △与ADB △相似，如存在，请求出m 的值；如不存在，请说明理由．解：（）点(30)A -，，(10)C ，4AC ∴=，3tan 434BC BAC AC =⨯=⨯=∠，B 点坐标为(13)，设过点A B ，的直线的函数表达式为y kx b =+，由0(3)3k b k b=⨯-+⎧⎨=+⎩ 得34k =，94b =∴直线AB 的函数表达式为3944y x =+ （）如图，过点B 作BD AB ⊥，交x 轴于点D ， 在Rt ABC △和Rt ADB △中，BAC DAB =∠∠ Rt Rt ABC ADB ∴△∽△， D ∴点为所求又4tan tan 3ADB ABC ==∠∠，49tan 334CD BC ADB ∴=÷=÷=∠134OD OC CD ∴=+=，1304D ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭， （）这样的m 存在在Rt ABC △中，由勾股定理得5AB = 如图，当PQ BD ∥时，APQ ABD △∽△第题图第题图第题图则133413534mm +-=+，解得259m =如图，当PQ AD ⊥时，APQ ADB △∽△则133413534mm+-=+，解得12536m =.(青岛市). 已知：如图，△是边长的等边三角形，动点、同时从、两点出发，分别沿、方向匀速移动，它们的速度都是，当点到达点时，、两点停止运动．设点的运动时间为（），解答下列问题：（）当为何值时，△是直角三角形?（）设四边形的面积为（），求与的关系式；是否存在某一时刻，使四边形的面积是△面积的三分之二？如果存在，求出相应的值；不存在，说明理由；（）设的长为（），试确定与之间的关系式． 解：⑴ 根据题意：＝ ，＝ ． △中，＝＝，∠＝°， ∴＝(－ ) ．△中，＝－，＝，若△是直角三角形，则∠＝°或∠＝°．当∠＝°时，＝12．即＝12(－ )，＝ (秒)．当∠＝°时，＝12．－＝12，＝ (秒)．答：当＝秒或＝秒时，△是直角三角形．⑵ 过作⊥于 ．△中，∠＝PMPB，∴＝·2(－ )．M A C Q B P∴△＝12·＝12·2(－ )．∴＝△－△＝12××2－12· ·2(－ )2444．∴与的关系式为： 2444+．假设存在某一时刻，使得四边形的面积是△面积的23， 则四边形＝23△．2444＝23×122．∴ － ＋＝．∵(－) －××＜， ∴方程无解．∴无论取何值，四边形的面积都不可能是△面积的23．⑶ 在△中， ＝BM BQ -＝()312t -．＋ ＝ ．∴＝[32(－ ) ]＋2(－ ) ]＝()()2293219644t t t t -++-+＝()23412124t t -+＝－＋．∴－＝()2193x -．∵＝2444t -+，)234tt -()21943x-+212x ．212x +．.(山东省泰州市) ．如图①，Rt ABC △中，90B ∠=，30CAB ∠=．它的顶点A 的坐标为(100)，，顶点B的坐标为(5，10AB =，点P 从点A 出发，沿A B C →→的方向匀速运动，同时点Q 从点(02)D ，出发，沿y 轴正方向以相同速度运动，当点P 到达点C 时，两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒．（）求BAO ∠的度数．（）当点P 在AB 上运动时，OPQ △的面积S （平方单位）与时间t （秒）之间的函数图象为抛物线的一部分，（如图②），求点P 的运动速度．（）求（）中面积S 与时间t 之间的函数关系式及面积S 取最大值时点P 的坐标． （）如果点P Q ，保持（）中的速度不变，那么点P 沿AB 边运动时，OPQ ∠的大小随着时间t 的增大而增大；沿着BC 边运动时，OPQ ∠的大小随着时间t 的增大而减小，当点P 沿这两边运动时，使90OPQ ∠=的点P 有几个？请说明理由．解: （）60BAO =∠．（）点P 的运动速度为个单位秒．（）(10)P t -（05t ≤≤）1(22)(10)2S t t =+-2912124t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭． ∴当92t =时，S 有最大值为1214， （第题图①）（第题图②）此时112P ⎛⎝⎭． （）当点P 沿这两边运动时，90OPQ =∠的点P 有个． ①当点P 与点A 重合时，90OPQ <∠，当点P 运动到与点B 重合时，OQ 的长是单位长度， 作90OPM =∠交y 轴于点M ，作PH y ⊥轴于点H ，由OPH OPM △∽△得：11.53OM ==， 所以OQ OM >，从而90OPQ >∠．所以当点P 在AB 边上运动时，90OPQ =∠的点P 有个．②同理当点P 在BC边上运动时，可算得1217.8OQ ==． 而构成直角时交y轴于03⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，20.217.83=>， 所以90OCQ <∠，从而90OPQ =∠的点P 也有个． 所以当点P 沿这两边运动时，90OPQ =∠的点P 有个．.(山东省东营市). 根据以下个乘积，回答问题：×； ×； ×； ×； ×； ×； ×； ×； ×； ×．（）试将以上各乘积分别写成一个“□－○”（两数平方差）的形式，并写出其中一个的思考过程；（）将以上个乘积按照从小到大的顺序排列起来；（）试由⑴、⑵猜测一个一般性的结论．（不要求证明） 解：⑴×＝－；×＝－；×＝－；×＝－；×＝－；×＝－； ×＝－；×＝－；×＝－； ×＝－． 例如，×；假设×□－○，因为□－○（□＋○）（□－○）； 所以，可以令□－○＝，□＋○＝．第题图①解得，□＝，○＝．故229202911-=⨯． （或×＝（－）（＋）－ ．⑵ 这个乘积按照从小到大的顺序依次是：1129122813271426⨯<⨯<⨯<⨯<152516241723⨯<⨯<⨯< 182219212020⨯<⨯<⨯．⑶ ① 若40=+b a ，，是自然数，则≤＝． ② 若＋＝，则≤＝．③ 若＋＝，，是自然数，则≤22m ⎛⎫⎪⎝⎭．④ 若＋＝，则≤22m ⎛⎫⎪⎝⎭．⑤ 若＋＝＋＝＋＝…＝＋＝．且 －≥－≥－≥…≥ －， 则 ≤≤≤…≤ ．⑥若＋＝＋＝＋＝…＝＋＝．且 －≥－≥－≥…≥ －， 则≤≤≤…≤ ．.(山东枣庄). 已知：如图，在△中，为月边上一点，∠°，，·．()试说明：△和△都是等腰三角形， ()若，求的长，()试构造一个等腰梯形，要求该梯形连同它的两条对角线所形成的个三角形中有尽可能多的等腰三角形．解：()在△中，，∠＝°，∴∠∠°，∠° 在△与△中，∠∠°． ∵·，∴AC AD ADAB AC BC==． ∴△∽△． ∴∠∠°．∴∠°，∠°°°．∴△和△都是等腰三角形． ()设＝，则∴×()，即＋＝．解得1211,22x x -+-==（舍去)．∴AC =()说明：按照画出的梯形中，有个，个和个等腰三角形三种情况分类得分． ①有个等腰三角形，得分； ②有个等腰三角形，得分； ③有个等腰三角形，得分．.(山东省滨州市). 如图所示，在ABC △中，2AB AC ==，90A =∠，O 为BC 的中点，动点E 在BA 边上自由移动，动点F 在AC 边上自由移动．（）点E F ，的移动过程中，OEF △是否能成为45EOF =∠的等腰三角形？若能，请指出OEF △为等腰三角形时动点E F ，的位置．若不能，请说明理由．（）当45EOF =∠时，设BE x =，CF y =，求y 与x 之间的函数解析式，写出x 的取值范围．（）在满足（）中的条件时，若以O 为圆心的圆与AB 相切（如图），试探究直线EF 与O 的位置关系，并证明你的结论．解：如图，（）点E F ，移动的过程中，OEF △能成为45EOF ∠=°的等腰三角形． 此时点E F ，的位置分别是：①E 是BA 的中点，F 与A 重合．图图B（图－） （图－）②BE CF ==E 与A 重合，F 是AC 的中点（）在OEB △和FOC △中，135EOB FOC ∠+∠=°，135EOB OEB ∠+∠=°， FOC OEB ∠=∠∴． 又B C ∠=∠∵，OEB FOC ∴△∽△．BE BOCO CF=∴．BE x =∵，CF y =，OB OC === 2(12)y x x=∴≤≤． （）EF 与O 相切． OEB FOC ∵△∽△， BE OECO OF =∴． BE OEBO OF =∴． 即BE BO OE OF=． 又45B EOF ∠=∠=∵°， BEO OEF ∴△∽△． BEO OEF ∠=∠∴．∴点O 到AB 和EF 的距离相等． AB ∵与O 相切，∴点O 到EF 的距离等于O 的半径． EF ∴与O 相切．.(日照市). 如图，直线将矩形纸片分成面积相等的两部分，、分别与交于点，与交于点（，不与顶点重合），设．(Ⅰ)求证：；(Ⅱ)用剪刀将纸片沿直线剪开后，再将纸片沿对称翻折，然后平移拼接在梯形的下方，使一底边重合，直腰落在边的延长线上，拼接后，下方的梯形记作′′.（）求出直线′分别经过原矩形的顶点和顶点时，所对应的 ︰的值；（）在直线′经过原矩形的一个顶点的情形下，连接′，直线′与是否平行？你若认为平行，请给予证明；你若认为不平行，请你说明当与满足什么关系时，它们垂直？解: (Ⅰ)证明：∵，， ，梯形 梯形．∴21()21()， ∴()． 又∵＝， ∴，即；(Ⅱ)（）当直线′经过原矩形的顶点时，如图（一），∵∥′′， ∴B E EC ''BD DC'.由＝，′′， ′′， 得aax x b 2=-， ∴︰32 ；当直线′经过原矩形的顶点时，如图（二）， 在梯形′′中，∵∥′′,点是′的中点，∴21( ′′)， 即＝21（＋），∴︰31．() 如图（一）， 当直线′ 经过原矩形的顶点时，′∥． 证明：连接． ∵∥, ，∴四边形是平行四边形， ∴∥， ,又∵∥′′， 点是′的中点， ∴′， ∴∥′, ′，∴四边形′是平行四边形 ∴′∥．如图（二）， 当直线′ 经过原矩形的顶点时，显然′与不平行，设直线与′交于点.过点′作′⊥于， 则′.．∵︰31， ∴3131． 若′与垂直，则有∠∠°，又∵∠＝∠＝∠′， ∠′∠′°， ∴∠∠′.在△′中，∠′ ∠BM M E 'b a32．在△′中，∠′ M E EM 'a b 31，∴b a 32＝a b 31． 又∵＞，＞，=ba32， ∴当=ba32时，′与垂直..(山东省聊城市). 某市为了进一步改善居民的生活环境，园林处决定增加公园A 和公园B 的绿化面积．已知公园A B ，分别有如图，图所示的阴影部分需铺设草坪，在甲、乙两地分别有同种草皮21608m 和21200m 出售，且售价一样．若园林处向甲、乙两地购买草（注：运费单价指将每平方米草皮运送千米所需的人民币）（）分别求出公园A B ，需铺设草坪的面积；（结果精确到21m ） （）请设计出总运费最省的草皮运送方案，并说明理由．解：（）设公园A B ，需铺设草坪的面积分别为12S S ，，根据题意，得12060图图16232622322221800S =⨯-⨯-⨯+⨯=．设图中圆的半径为R ，由图形知，圆心到矩形较长一边的距离为252， 所以25cos302R =°，有R =．于是，2212012565252π2100836022S =⨯-⨯⨯-⨯≈．所以公园A B ，需铺设草坪的面积分别为21800m 和2m ．（）设总运费为y 元，公园A 向甲地购买草皮x 2m ，向乙地购买草皮(1800)x -2m ． 由于公园A B ，需要购买的草皮面积总数为180010082808+=（2m ）， 甲、乙两地出售的草皮面积总数为2160812002808(m )+=． 所以，公园B 向甲地购买草皮2(1608)m x -， 向乙地购买草皮21200(1800)(600)(m )x x --=-．于是，有01608018001200x x ⎧⎪⎨-⎪⎩，．≤≤≤≤所以6001608x ≤≤． 又由题意，得300.25220.3(1800)320.25(1608)300.3(600)y x x x x =⨯+⨯-+⨯-+⨯-···1.919344x =+．因为函数 1.919344y x =+随x 的增大而增大，所以，当600x =时，有最小值 1.96001934420484y =⨯+=（元）．因此，公园A 在甲地购买2m ，在乙地购买2180********(m )-=；公园B 在甲地购买16086001008-=（2m ）． 此时，运送草皮的总运费最省．.(山东省泰安市非课改区). 如图，在ABC △中，90BAC ∠=，AD 是BC 边上的高，E 是BC 边上的一个动点（不与B C ，重合），EF AB ⊥，EG AC ⊥，垂足分别为F G ，．（）求证：EG CGAD CD=； （）FD 与DG 是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由； （）当AB AC =时，FDG △为等腰直角三角形吗？并说明理由．解: （）证明：在ADC △和EGC △中Rt ADC EGC ∠=∠=∠，C C ∠=∠ADC EGC ∴△∽△EG CGAD CD∴=（）FD 与DG 垂直证明如下：在四边形AFEG 中，90FAG AFE AGE ∠=∠=∠= ∴四边形AFEG 为矩形 AF EG ∴=由（）知EG CGAD CD =AF CGAD CD∴=ABC △为直角三角形，AD BC ⊥ FAD C ∴∠=∠ AFD CGD ∴△∽△ ADF CDG ∴∠=∠又90CDG ADG ∠+∠=90ADF ADG ∴∠+∠=即90FDG ∠=FD DG ∴⊥（）当AD AC =时，FDG △为等腰直角三角形，ED B （第题）EB （第题）理由如下：AB AC =，90BAC ∠= AD DC ∴=由（）知：AFD CGD △∽△ 1FD AD GD DC ∴== FD DG ∴=又90FDG ∠=FDG ∴△FDG ∴△为等腰直角三角形.(山东省德州市). 已知：如图，在ABC △中，D 为AB 边上一点，36A ∠=，AC BC =，2AC AB AD =．（）试说明：ADC △和BDC △都是等腰三角形； （）若1AB =，求AC 的值；（）请你构造一个等腰梯形，使得该梯形连同它的两条对角线得到个等腰三角形．（标明各角的度数）解：（）在ABC △中，AC BC =，36108B A ACB ∴∠=∠=∠=，．在ABC △与CAD △中，36A B ∠=∠=；2AC AB AD =，AC AB ABAD AC BC ∴==． ABC CAD ∴△∽△ 721083672CDB DCB ∴∠=∠=-=，．ADC ∴△和BDC △都是等腰三角形．分（）设AC x =，则()211x x =⨯-，即210x x +-=．解得x x =∴=（负根舍去）．Ｄ图36363636 363672 72108(有个等腰三角形).(河南省实验区) ．如图，对称轴为直线72x =的抛物线经过点（，）和（，）． （）求抛物线解析式及顶点坐标；（）设点（x ，y ）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形是以为对角线的平行四边形．求平行四边形的面积与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； ①当平行四边形的面积为时，请判断平行四边形是否为菱形？②是否存在点，使平行四边形为正方形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．解：（）由抛物线的对称轴是72x =，可设解析式为2()2y a x k =-+． 把、两点坐标代入上式，得227(6)0,27(0) 4.2a k a k ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩ 解之，得225,.36a k ==- 故抛物线解析式为22725()326y x =--，顶点为725(,).26- （）∵点(,)E x y 在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合22725()326y x =--，∴<，即 －>,－表示点到的距离．∵是OEAF 的对角线， ∴2172264()2522OAES SOA y y ==⨯⨯⋅=-=--+．因为抛物线与x 轴的两个交点是（，）的（，），所以，自变量x 的 取值范围是＜x ＜．① 根据题意，当 时，即274()25242x --+=．化简，得271().24x -=解之，得123, 4.x x == 故所求的点有两个，分别为（，－），（，－）． 点（，－）满足 ，所以OEAF 是菱形； 点（，－）不满足 ，所以OEAF 不是菱形．② 当⊥，且 时，OEAF 是正方形，此时点的 坐标只能是（，－）．而坐标为（，－）的点不在抛物线上，故不存在这样的点， 使OEAF 为正方形．.(武汉市) 如图①，在平面直角坐标系中，△≌△，且(－，)、(，)，抛物线＝＋－经过点。
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22．（本题满分10分）已知：如图12，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC ＝5cm ，CD ＝6cm ，∠DCB ＝60°，∠ABC ＝90°。
等边三角形MPN （N 为不动点）的边长为a cm ，边MN 和直角梯形ABCD 的底边BC 都在直线l 上，NC ＝8cm 。
将直角梯形ABCD 向左翻折180°，翻折一次得到图形①，翻折二次得图形②，如此翻折下去。
（1）将直角梯形ABCD 向左翻折二次，如果此时等边三角形的边长a ≥2cm ，这时两图形重叠部分的面积是多少？（2）将直角梯形ABCD 向左翻折三次，如果第三次翻折得到的直角梯形与等边三角形重叠部分的面积等于直角梯形ABCD 的面积，这时等边三角形的边长a 至少应为多少？（3）将直角梯形ABCD 向左翻折三次，如果第三次翻折得到的直角梯形与等边三角形重叠部分的面积等于直角梯形面积的一半，这时等边三角形的边长应为多少？22、福州市解：（1）重叠部分的面积等于23cm （2）等边三角形的边长a 至少为10cm （3）等边三角形的边长为cm )221(+24．（本题满分12分）如图1，已知抛物线的顶点为A(O ，1)，矩形CDEF 的顶点C 、F 在抛物线上，D 、E 在x 轴上，CF 交y 轴于点B(0，2)，且其面积为8．(1)求此抛物线的解析式；(2)如图2，若P 点为抛物线上不同于A 的一点，连结PB 并延长交抛物线于点Q ，过点P 、Q 分别作x 轴的垂线，垂足分别为S 、R ．①求证：PB ＝PS ； ②判断△SBR 的形状；③试探索在线段SR 上是否存在点M ，使得以点P 、S 、M 为顶点的三角形和以点Q 、R 、M 为顶点的三角形相似，若存在，请找出M 点的位置；若不存在，请说明理由． 24、.⑴解：方法一：∵B 点坐标为(0．2)， ∴OB ＝2，∵矩形CDEF 面积为8，∴CF=4.∴C 点坐标为(一2，2)．F 点坐标为(2，2)。
设抛物线的解析式为2y ax bx c =++．其过三点A(0，1)，C(-2．2)，F(2，2)。
I图12M C BN得1242242xa b c a b c=⎧⎪=-+⎨⎪=++⎩解这个方程组，得1,0,14a b c ===∴此抛物线的解析式为 2114y x =+ ………… (3分) 方法二：∵B 点坐标为(0．2)，∴OB ＝2，∵矩形CDEF 面积为8，∴CF=4.∴C 点坐标为(一2，2)。
……… (1分) 根据题意可设抛物线解析式为2y ax c =+。
其过点A(0，1)和C(-2．2) 124c a c=⎧⎨=+⎩……… 解这个方程组，得1,14a c ==此抛物线解析式为2114y x =+ (2)解：①过点B 作BN BS ⊥，垂足为N ． ∵P 点在抛物线y=214x 十l 上．可设P 点坐标为21(,1)4a a +． ∴PS ＝2114a +，OB ＝NS ＝2，BN ＝a 。
∴PN=PS —NS=2114a - ………………………… (5分)在Rt PNB 中．PB ＝222222211(1)(1)44PN BN a a a +=-+=+ ∴PB ＝PS ＝2114a +………………………… (6分) ②根据①同理可知BQ ＝QR 。
∴12∠=∠， 又∵ 13∠=∠， ∴23∠=∠，同理∠SBP ＝5∠………………………… (7分) ∴2523180∠+∠=︒ ∴5390∠+∠=︒ ∴90SBR ∠=︒.∴ △SBR 为直角三角形．………………………… (8分) 错误！未找到引用源。
方法一：设,PS b QR c ==，∵由①知PS ＝PB ＝b ．QR QB c ==，PQ b c =+。
∴222()()SR b c b c =+--∴SR = (9分)假设存在点M ．且MS ＝x ，别MR ＝x 。
若使△PSM ∽△MRQ ，则有b x =。
即20x bc -+=∴12x x ==∴SR ＝∴M 为SR 的中点.………………………… (11分) 若使△PSM ∽△QRM ， 则有b x =。
∴2x b c=+。
∴1MR c QB ROMS b BP OS =====。
∴M 点即为原点O 。
综上所述，当点M 为SR 的中点时．∆PSM ∽∆MRQ ；当点M 为原点时，∆PSM ∽∆MRQ ．………………………… (13分)方法二：若以P 、S 、M 为顶点的三角形与以Q 、M 、R 为顶点的三角形相似，∵90PSM MRQ ∠=∠=︒，∴有∆PSM ∽∆MRQ 和∆PSM ∽△QRM 两种情况。
当∆PSM ∽∆MRQ 时．∠SPM ＝∠RMQ ，∠SMP ＝∠RQM ． 由直角三角形两锐角互余性质．知∠PMS+∠QMR ＝90︒。
∴90PMQ ∠=︒。
………………………… (9分) 取PQ 中点为N ．连结MN ．则MN ＝12PQ=1()2QR PS +．……………… (10分)∴MN 为直角梯形SRQP 的中位线,∴点M 为SR 的中点 …………………… (11分) 当△PSM ∽△QRM 时，RM QR QBMS PS BP == 又RM ROMS OS=，即M 点与O 点重合。
∴点M 为原点O 。
综上所述，当点M 为SR 的中点时，∆PSM ∽△MRQ ；当点M 为原点时，∆PSM ∽△Q RM ……………………… (13分) 24．（本题满分12分）如图15，点P 在y 轴上，P 交x 轴于A B ，两点，连结BP 并延长交P 于C ，过点C 的直线2y x b =+交x 轴于D ，且P4AB =．（1）求点B P C ，，的坐标；（2）求证：CD 是P 的切线；（3）若二次函数2(1)6y x a x =-+++的图象经过点B ，求这个二次函数的解析式，并写出使二次函数值小于一次函数2y x b =+值的x 的取值范围．24、解：（1）如图4，连结CAO P A B ∵⊥ 2OB OA ==∴ ············································································ 1分222OP BO BP +=∵ 2541OP =-=∴，1OP = ··········································· 2分 BC ∵是P 的直径90CAB ∠=∴（也可用勾股定理求得下面的结论）C PB P =∵，OB OA = 22AC OP ==∴ ······················································ 3分(20)B ，∴，(01)P ，，(22)C -，（写错一个不扣分） ············································ 4分（2）2y x b =+∵过C 点6b =∴ 26y x =+∴ ·············································· 5分∵当0y =时，3x =- (30)D -，∴ ∴1AD = ··············································· 6分21OB AC AD OP ====，∵，90CAD POB ∠=∠=D A C P O ∴△≌△ D C A A B∠=∠∴ 90ACB CBA ∠+∠=∵90DCA ACB ∠+∠=∴（也可用勾股定理逆定理证明） ·································· 7分 DC ∴是P 的切线 ······························································································· 8分（3）2(1)6y x a x =-+++∵过(20)B ，点 202(1)26a =-++⨯+∴ 2a =-∴ ································································· 9分 26y x x =--+∴ ································································································· 10分 24．（本题满分12分） 已知抛物线y=x 2+(2n-1)x+n 2-1 (n 为常数).(1)当该抛物线经过坐标原点，并且顶点在第四象限时，求出它所对应的函数关系式； (2)设A 是(1)所确定的抛物线上位于x 轴下方、且在对称轴左侧的一个动点，过A 作x 轴的平行线，交抛物线于另一点D ，再作AB ⊥x 轴于B ，DC ⊥x 轴于C. ①当BC=1时，求矩形ABCD 的周长；②试问矩形ABCD 的周长是否存在最大值？如果存在，请求出这个最大值，并指出此时A 点的坐标；如果不存在，请说明理由 24、解：（1）由已知条件，得：n 2－1=0解这个方程，得： n 1=1 ，n 2=－1；当n=1时，得y=x 2+x ，此抛物线的顶点不在第四象限； 当n=－1时，得y=x 2－3x ，此抛物线的顶点在第四象限；∴所求的函数关系式为y=x 2－3x …… (4分)(2)由y=x 2－3x ，令y=0，得x 2－3x=0，解得x 1=0 ，x 2=3； ∴抛物线与x 轴的另一个交点为（3，0）∴它的顶点为（49,23-），对称轴为直线x=23①∵BC=1，由抛物线和矩形的对称性易知OB=()11321=-⨯∴B （1，0）∴点A 的横坐标x=1，又点A 在抛物线y=x 2－3x 上， ∴点A 的纵坐标y=12－3×1=－2。