2020年重庆市北碚区中考数学模拟试卷解析版
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2020年重庆市北碚区中考数学模拟试卷
一、选择题(本大题共12小题,每小题4分,共48分)
1.(4分)5的相反数是()
A.﹣5B.5C.﹣D.
2.(4分)下列图形选自历届世博会会徽,其中是轴对称图形的是()
A.B.C.D.
3.(4分)下列运算结果正确的是()
A.x2+2x2=3x4B.(﹣2x2)3=8x6
C.x2•(﹣x3)=﹣x5D.2x2÷x2=x
4.(4分)下列调查中,最适合采用抽样调查的是()
A.对某校初三年级(2)班学生体能测试达标情况的调查
B.对“神州十一号”运载火箭发射前零部件质量状况的调查
C.对社区5名百岁以上老人的睡眠时间的调查
D.对市场上一批LED节能灯使用寿命的调查
5.(4分)函数的自变量取值范围是()
A.x≠0B.x>﹣3C.x≥﹣3且x≠0D.x>﹣3且x≠0 6.(4分)如图,在△ABC中,点D在边AB上,BD=2AD,DE∥BC交AC于点E,若△ADE的周长为10,则△ABC的周长为()
A.20B.30C.35D.40
7.(4分)×﹣×运算结果应在哪两个连续自然数之间()A.1和2B.2和3C.3和4D.4和5
8.(4分)已知a2+3a﹣3=0,则代数式a2+的值是()
A.3B.C.15D.9
9.(4分)下列图形都是用同样大小的黑点按一定规律组成的,其中第1个图形有1个黑点,第2个图形有3个黑点,第3个图形有7个黑点,第4个图形有13个黑点,…则第9个图形中黑点的个数是()
A.43B.57C.64D.73
10.(4分)如图,正方形ABCD的边长为2,连接BD,先以D为圆心,DA为半径作弧AC,再以D为圆心,DB为半径作弧BE,且D、C、E三点共线,则图中两个阴影部分的面积之和是()
A.πB.+1C.πD.π+1
11.(4分)如图,某校初三学生数学综合实践活动小组的同学欲测量校园内一棵雪松树DE 的高度,他们在这棵树正前方的台阶上的点A处测得树顶端D的仰角为27°,再到台阶下的点B处测得树顶端D的仰角为56°,已知台阶A点的高度AC为2米,台阶AB的坡度i=1:2,则大树DE的高度约为()
(参考数据:sin27°≈0.45,tan27°≈0.5,sin56°≈0.83,tan56°≈1.5)
A.5米B.6米C.7米D.8米
12.(4分)若关于x的不等式组至少有一个整数解,且关于x的方程
=的解为整数,则符合条件的整数a的个数为()
A.2个B.3个C.4个D.5个
二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分)
13.(4分)据统计,2018年重庆中考报名总人数约163600人,把数163600用科学记数法表示为.
14.(4分)﹣|2﹣3|﹣3tan30°=.
15.(4分)唐老师为了了解学生的期末数学成绩,在班级随机抽查了10名学生的成绩,其统计数据如下表:
分数(单位:分)10090807060
人数14212
则这10名学生的数学成绩的中位数是分.
16.(4分)现将背面完全相同,正面分别标有数﹣2,﹣1,0,1的4张卡片洗匀后,背面朝上,从中任取两张,将该卡片上的数记为a,b,则使点P(a,b)在平面直角坐标系xOy中,落在直线y=x+1上的概率为.
17.(4分)如图,已知点A在反比例函数y=(x<0)上,B,C两点在x轴上,△ABC 是以AC为底边的等腰直角三角形,过点B作BD⊥AC交y轴于点E,交AC于点D,若△BCE的面积为3,则k的值为.
18.(4分)近年来,网购越来越流行,某长途货运公司为给客户提供快捷准确的快递服务,确保每一件货件更安全、更有效率地运送,研发了新型能源的甲,乙两种快车,现在对这两种快车进行试运,已知甲、乙两车分别从A、B两地同时以各自的速度匀速相向而行,两车相遇后,甲车把货物转移一部分给乙车,乙车货物加重后减慢速度匀速行驶,甲车的速度不变.甲车出发9小时后,接到通知需原路返回到C处取货物,于是甲车立即调头加快速度匀速向C处行驶,甲追上乙后又经过30分钟到达C处.甲车取货后调头以
加快后的速度匀速赶往B地,又经过小时甲、乙两车再次相遇,相遇后向各自原来的终点继续行驶(转移货物、接通知、调头、取货物的时间忽略不计),甲乙两车之间的距离y(千米)与甲车行驶时间x(小时)的部分函数图象如图所示,则乙车到达A地时,甲车距离A地千米.
三、解答题(本大题2个小题,每小题8分,共16分)
19.(8分)如图,点B,D,C,F在一条直线上,AB=EF,∠ABC=∠EFD,BD=CF.证明:AC=DE.
20.(8分)为了响应“德、智、体、美、劳全面发展”的号召,某校初一年级决定开设以下体育课外活动项目:A.排球B.立定跳远C.跳绳D.实心球.为了解学生最喜欢哪一种活动项目,在初一年级学生中随机抽取了部分学生进行调查,并根据调查结果绘制了如图所示的不完整的条形统计图.其中最喜欢排球项目的人数占被调查人数的10%,根据图中提供的信息:
(1)被调查的学生总人数为人,并补全条形统计图;
(2)学校为了及时了解体育课外活动项目的效果,决定随机访谈4名学生,其中有2名学生最喜欢排球项目,有1名学生最喜欢跳绳项目,另有1名学生最喜欢实心球项目.若从上述4名学生中随机抽取2名学生进行模拟测试,请用列表或画树状图的方法求抽出的2名学生恰好都最喜欢排球项目的概率.
四、解答题(本大题4个小题,每小题10分,共40分)
21.(10分)计算:
(1)(a+b)(a﹣2b)﹣(a﹣b)2
(2)(﹣x+1)÷
22.(10分)如图,一次函数y=kx﹣2与反比例函数y=(m≠0)相交于A,B两点,与x轴,y轴分别交于C,D两点,已知sin∠ADO=,点B的坐标为(2,n).
(1)求一次函数和反比例函数的解析式;
(2)连接OA,OB,求△AOB的面积.
23.(10分)春漫三月,春茶飘香,重庆市永川区某茶叶基地碧绿连绵、碧浪汹涌,株株茶树冒出了新绿,此茶叶基地生产永川秀芽A,B两个品种,今年A品种每千克售价80元,B品种每千克售价100元,该地茶农今年收获A,B两个品种共500吨,其中A品种的产量不超过B品种产量的9倍.
(1)该茶农今年收获B品种至少多少吨?
(2)该茶农去年将A,B两个品种的茶叶全部运往市场销售,去年A,B的总产量与今年相同,而今年该茶农将收获的A,B两个品种的茶叶全部放在网店销售,且两年都全部售完去年B品种的市场销量在(1)的条件下的最低产量下减少了2m%,售价在今年的
基础上增加%,去年A品种的售价与今年相同,去年向市场的运输成本一共为2050000元,今年B品种的销量为(1)中B品种的最低产量,结果去年的利润比今年减少%,求m的值.
24.(10分)如图1,在平行四边形ABCD中,E,F分别在边AD,AB上,连接CE,CF,且满足∠DCE=∠BCF,BF=DE,∠A=60°,连接EF.
(1)若EF=2,求△AEF的面积;
(2)如图2,取CE的中点P,连接DP,PF,DF,求证:DP⊥PF.
五、解答题(本大题2个小题,25题10分,26题12分,共22分)
25.(10分)若一个三位数,其个位数加上十位数等于百位数,可表示为t=100(x+y)+10y+x,则称实数t为“加成数”,将t的百位作为个位,个位作为十位,十位作为百位,组成一个新的三位数h.规定q=t﹣h,f(m)=,例如:321是一个“加成数”,将其百位作为个位,个位作为十位,十位作为百位,得到的数h=213,∴q=321﹣213=108,f(m)==12.
(1)当f(m)最小时,求此时对应的“加成数”的值;
(2)若f(m)是24的倍数,则称f(m)是“节气数”,猜想这样的“节气数”有多少个,并求出所有的“节气数”.
26.(12分)如图1,已知二次函数y=mx2+3mx﹣m的图象与x轴交于A,B两点(点A 在点B的左侧),顶点D和点B关于过点A的直线l:y=﹣x﹣对称.
(1)求A、B两点的坐标及二次函数解析式;
(2)如图2,作直线AD,过点B作AD的平行线交直线1于点E,若点P是直线AD上的一动点,点Q是直线AE上的一动点.连接DQ、QP、PE,试求DQ+QP+PE的最小值;若不存在,请说明理由:
(3)将二次函数图象向右平移个单位,再向上平移3个单位,平移后的二次函数图象上存在一点M,其横坐标为3,在y轴上是否存在点F,使得∠MAF=45°?若存在,请求出点F坐标;若不存在,请说明理由.
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共12小题,每小题4分,共48分)
1.(4分)5的相反数是()
A.﹣5B.5C.﹣D.
【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号,求解即可.
【解答】解:5的相反数是﹣5,
故选:A.
2.(4分)下列图形选自历届世博会会徽,其中是轴对称图形的是()
A.B.C.D.
【分析】根据轴对称图形的概念:如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴进行分析即可.
【解答】解:A、不是轴对称图形,故此选项错误;
B、是轴对称图形,故此选项正确;
C、不是轴对称图形,故此选项错误;
D、不是轴对称图形,故此选项错误;
故选:B.
3.(4分)下列运算结果正确的是()
A.x2+2x2=3x4B.(﹣2x2)3=8x6
C.x2•(﹣x3)=﹣x5D.2x2÷x2=x
【分析】直接利用整式的除法运算以及积的乘方运算法则、合并同类项法则分别化简得出答案.
【解答】解:A、x2+2x2=3x2,故此选项错误;
B、(﹣2x2)3=﹣8x6,故此选项错误;
C、x2•(﹣x3)=﹣x5,故此选项正确;
D、2x2÷x2=2,故此选项错误.
故选:C.
4.(4分)下列调查中,最适合采用抽样调查的是()
A.对某校初三年级(2)班学生体能测试达标情况的调查
B.对“神州十一号”运载火箭发射前零部件质量状况的调查
C.对社区5名百岁以上老人的睡眠时间的调查
D.对市场上一批LED节能灯使用寿命的调查
【分析】由普查得到的调查结果比较准确,但所费人力、物力和时间较多,而抽样调查得到的调查结果比较近似.
【解答】解:A、对某校初三年级(2)班学生体能测试达标情况的调查,人数较少,应采用全面调查;
B、对“神州十一号”运载火箭发射前零部件质量状况的调查,意义重大,应采用全面调
查;
C、对社区5名百岁以上老人的睡眠时间的调查,人数较少,应采用全面调查;
D、对市场上一批LED节能灯使用寿命的调查,具有破坏性,应采用抽样调查;
故选:D.
5.(4分)函数的自变量取值范围是()
A.x≠0B.x>﹣3C.x≥﹣3且x≠0D.x>﹣3且x≠0【分析】根据被开方数大于等于0,分母不等于0列式计算即可得解.
【解答】解:由题意得,x+3>0,
解得x>﹣3.
故选:B.
6.(4分)如图,在△ABC中,点D在边AB上,BD=2AD,DE∥BC交AC于点E,若△ADE的周长为10,则△ABC的周长为()
A.20B.30C.35D.40
【分析】由DE∥BC,可证得△ADE∽△ABC,然后由相似三角形的周长比等于相似比求得答案.
【解答】解:∵DE∥BC,
∴△ADE∽△ABC,
∵BD=2AD,
∴相似比=,
∵相似三角形的周长比等于相似比,△ADE的周长为10,
∴△ABC的周长=30,
故选:B.
7.(4分)×﹣×运算结果应在哪两个连续自然数之间()A.1和2B.2和3C.3和4D.4和5
【分析】直接利用二次根式的性质化简,再结合的取值范围得出答案.
【解答】解:原式=3﹣4,
∵2<<2.3,
∴2<3﹣4<3.
故选:B.
8.(4分)已知a2+3a﹣3=0,则代数式a2+的值是()
A.3B.C.15D.9
【分析】根据完全平方公式以及整体的思想即可求出答案.
【解答】解:由于a2+3a=3,
显然a≠0,
∴a﹣=﹣3
∴(a﹣)2=a2﹣6+
∴9=a2﹣6+
∴a2+=15
故选:C.
9.(4分)下列图形都是用同样大小的黑点按一定规律组成的,其中第1个图形有1个黑点,第2个图形有3个黑点,第3个图形有7个黑点,第4个图形有13个黑点,…则第9个图形中黑点的个数是()
A.43B.57C.64D.73
【分析】仔细观察图形,找到图形的变化规律,然后利用规律求解即可.
【解答】解:第1个图形有1个黑点,
第2个图形有2×1+1=3个黑点,
第3个图形有3×2+1=7个黑点,
第4个图形有4×3+1=13个黑点,
…
第9个图形有9×8+1=73个黑点,
故选:D.
10.(4分)如图,正方形ABCD的边长为2,连接BD,先以D为圆心,DA为半径作弧AC,再以D为圆心,DB为半径作弧BE,且D、C、E三点共线,则图中两个阴影部分的面积之和是()
A.πB.+1C.πD.π+1
【分析】根据扇形的面积公式可得出阴影部分的面积等于扇形BDE的面积﹣扇形ACD 的面积的一半﹣
【解答】解:∵AB=2,
∴BD=2,
S阴影=S扇形BDE﹣S扇形ACD=﹣×=π﹣π=π,
故选:A.
11.(4分)如图,某校初三学生数学综合实践活动小组的同学欲测量校园内一棵雪松树DE
的高度,他们在这棵树正前方的台阶上的点A处测得树顶端D的仰角为27°,再到台阶下的点B处测得树顶端D的仰角为56°,已知台阶A点的高度AC为2米,台阶AB的坡度i=1:2,则大树DE的高度约为()
(参考数据:sin27°≈0.45,tan27°≈0.5,sin56°≈0.83,tan56°≈1.5)
A.5米B.6米C.7米D.8米
【分析】过点A作AF⊥DE于F,可得四边形ACEF为矩形,设DE=x,在Rt△DBE和Rt△ABC中分别表示出BE,BC的长度,求出DF的长度,然后在Rt△ADF中表示出AF 的长度,根据AF=BE,代入解方程求出x的值即可.
【解答】解:如图,过点A作AF⊥DE于F,
则四边形ACEF为矩形,
∴AF=CE,EF=AC=2米,
设DE=x,
在Rt△BDE中,BE==x,
在Rt△ABC中,
∵=,AC=2,
∴BC=4,
在Rt△AFD中,DF=DE﹣EF=x﹣2,
∴AF==2(x﹣2),
∵AF=CE=BC+BE,
∴2(x﹣2)=4+x,
解得x=6(米).
答:树高为6米.
故选:B.
12.(4分)若关于x的不等式组至少有一个整数解,且关于x的方程=的解为整数,则符合条件的整数a的个数为()
A.2个B.3个C.4个D.5个
【分析】由不等式组至少有一个整数解,可得a的取值范围,再求分式方程可得x的表达式,根据分式方程解为整数,可得整数a的个数.
【解答】解:解不等式2x﹣(x﹣1)>﹣1,得:
x>﹣1,
解不等式(x﹣a)≤0,得:
x≤a,
∵不等式组至少有一个整数解,
∴a≥0,
解方程=得:
x=,
又∵x是整数,且x≠2,
∴a=0,2,5,
故选:B.
二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分)
13.(4分)据统计,2018年重庆中考报名总人数约163600人,把数163600用科学记数法表示为 1.636×105.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n 的值是易错点,由于163600有6位,所以可以确定n=6﹣1=5.
【解答】解:163 600=1.636×105.
故答案为:1.636×105.
14.(4分)﹣|2﹣3|﹣3tan30°=3.
【分析】直接利用二次根式的性质以及特殊角的三角函数值化简得出答案.
【解答】解:原式=3﹣(2﹣3)﹣3×
=3﹣2+3﹣
=3.
故答案为:3.
15.(4分)唐老师为了了解学生的期末数学成绩,在班级随机抽查了10名学生的成绩,其统计数据如下表:
分数(单位:分)10090807060
人数14212
则这10名学生的数学成绩的中位数是85分.
【分析】根据中位数的概念求解.
【解答】解:这组数据按照从小到大的顺序排列为:60,60,70,80,80,90,90,90,90,100,
则中位数为:=85.
故答案为:85.
16.(4分)现将背面完全相同,正面分别标有数﹣2,﹣1,0,1的4张卡片洗匀后,背面朝上,从中任取两张,将该卡片上的数记为a,b,则使点P(a,b)在平面直角坐标系xOy中,落在直线y=x+1上的概率为.
【分析】树状图列出所有等可能结果,根据概率公式解答可得.
【解答】解:画树状图如下:
由树状图可知,共有12种等可能结果,其中落在直线y=x+1上的有(﹣2,0)和(0,1)这2种,
∴落在直线y=x+1上的概率为=,
故答案为:.
17.(4分)如图,已知点A在反比例函数y=(x<0)上,B,C两点在x轴上,△ABC 是以AC为底边的等腰直角三角形,过点B作BD⊥AC交y轴于点E,交AC于点D,若△BCE的面积为3,则k的值为﹣6.
【分析】根据题意得出△BCE的面积=OB.AB=3,即可得到mn=﹣6,从而求得k 的值.
【解答】解:∵△ABC是以AC为底边的等腰直角三角形,BD⊥AC,
∴AB=BC,∠EBC=45°,
∴△BOE是等腰直角三角形,
∴OB=OE,
设A(m,n),
∴AB=BC=n,OB=OE=﹣m,
∵△BCE的面积为3,
∴BC•OE=3,
∴OB•AB=3,
∴(﹣m)•n=3,
∴mn=﹣6,
∴k=﹣6,
故答案为﹣6.
18.(4分)近年来,网购越来越流行,某长途货运公司为给客户提供快捷准确的快递服务,确保每一件货件更安全、更有效率地运送,研发了新型能源的甲,乙两种快车,现在对这两种快车进行试运,已知甲、乙两车分别从A、B两地同时以各自的速度匀速相向而行,
两车相遇后,甲车把货物转移一部分给乙车,乙车货物加重后减慢速度匀速行驶,甲车的速度不变.甲车出发9小时后,接到通知需原路返回到C处取货物,于是甲车立即调头加快速度匀速向C处行驶,甲追上乙后又经过30分钟到达C处.甲车取货后调头以加快后的速度匀速赶往B地,又经过小时甲、乙两车再次相遇,相遇后向各自原来的终点继续行驶(转移货物、接通知、调头、取货物的时间忽略不计),甲乙两车之间的距离y(千米)与甲车行驶时间x(小时)的部分函数图象如图所示,则乙车到达A地时,甲车距离A地600千米.
【分析】设甲车的初始速度为v甲km/h,乙车的初始速度为v乙km/h,从图象可求两车第一次相遇时间h,相遇前两车的速度和v甲+v乙=270,相遇后两车的速度和200km/h,从而可求相遇后乙车的速度为(v乙﹣70)km/h;由图知道甲到C后又经过小时辆车相遇,这段时间两车间距离50km,可求第二次向后时两车的速度和330km/h,求得甲车改变后的速度为(v甲+60)km/h,由图可得,两车第二次相遇后30分钟两车相距50km,得到(v甲+60)﹣(v乙﹣70)=50,v乙﹣v甲=30,从而求出v甲=120km/h,v乙=150km/h,求出乙车行驶全程的时间为小时,两车第二相遇的时间小时,甲车到C点时,一共行驶的时间是9++=小时,此时甲车距离A地的距离为1080﹣(﹣9)×180=150km,(﹣)×180=450km,450+150=600km.
【解答】解:设甲车的初始速度为v甲km/h,乙车的初始速度为v乙km/h,
由图可知,甲、乙行驶h时,两车相900km,
∴(v甲+v乙)=900,
∴v甲+v乙=270①,
∵1800÷270=h,
∴两车经过h时第一次相遇,
由图可知,行驶9h时两车相距km,
∴÷(9﹣)=200km/h,即相遇后两车的速度和为200km/h,
∵相遇后甲车的速度不变,
∴相遇后乙车的速度为(v乙﹣70)km/h,
设甲车返回的速度为xkm/h,
由图可知,甲到C后又经过小时辆车相遇,这段时间两车间距离50km,(x+v乙﹣70)=50,
∴x+v乙=330,
由①可得,x=v甲+60,
∴甲车改变后的速度为(v甲+60)km/h,
由图可得,两车第二次相遇后30分钟两车相距50km,
∴(v甲+60)﹣(v乙﹣70)=50,
∴v乙﹣v甲=30②,
由①②可得,v甲=120km/h,v乙=150km/h,
∴乙车行驶全程的时间为:1800﹣150=800km,800÷(150﹣70)=10小时,
10+=小时;
甲车行驶9小时的路程是120×9=1080km,乙车行驶9小时的路程是×150+(9﹣)×80=km,
此时两车相距1080+﹣1800=km,
两车第二相遇的时间为÷(180﹣80)=小时,
∴甲车到C点时,一共行驶的时间是9++=小时,
此时甲车距离A地的距离为1080﹣(﹣9)×180=150km,
(﹣)×180=450km,
∴450+150=600km,
∴乙车到达A地时,甲车距离A地600km,
故答案为600.
三、解答题(本大题2个小题,每小题8分,共16分)
19.(8分)如图,点B,D,C,F在一条直线上,AB=EF,∠ABC=∠EFD,BD=CF.证明:AC=DE.
【分析】先求出BC=FD,再利用“边角边”证明△ABC和△EFD全等,然后根据全等三角形对应边相等证明即可.
【解答】证明:∵BD=CF,
∴BD+CD=CF+CD,
即BC=FD,
在△ABC和△EFD中,,
∴△ABC≌△EFD(SAS),
∴AC=DE.
20.(8分)为了响应“德、智、体、美、劳全面发展”的号召,某校初一年级决定开设以下体育课外活动项目:A.排球B.立定跳远C.跳绳D.实心球.为了解学生最喜欢哪一种活动项目,在初一年级学生中随机抽取了部分学生进行调查,并根据调查结果绘制了如图所示的不完整的条形统计图.其中最喜欢排球项目的人数占被调查人数的10%,根据图中提供的信息:
(1)被调查的学生总人数为200人,并补全条形统计图;
(2)学校为了及时了解体育课外活动项目的效果,决定随机访谈4名学生,其中有2名学生最喜欢排球项目,有1名学生最喜欢跳绳项目,另有1名学生最喜欢实心球项目.若
从上述4名学生中随机抽取2名学生进行模拟测试,请用列表或画树状图的方法求抽出的2名学生恰好都最喜欢排球项目的概率.
【分析】(1)由A项目人数及其所占百分比可得总人数,总人数减去A、B、D三项目的人数求得C项目人数即可得;
(2)首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果与抽出的2名学生恰好都最喜欢排球项目的情况,再利用概率公式即可求得答案.
【解答】解:(1)被调查的学生总人数为20÷10%=200人,
喜欢跳绳的人数为200﹣(20+80+40)=60,
补全图形如下:
故答案为:200;
(2)画树状图如下:
由树状图可知,共有12种等可能结果,其中2名学生恰好都最喜欢排球项目的结果数为2种,
所以2名学生恰好都最喜欢排球项目的概率为.
四、解答题(本大题4个小题,每小题10分,共40分)
21.(10分)计算:
(1)(a+b)(a﹣2b)﹣(a﹣b)2
(2)(﹣x+1)÷
【分析】(1)利用多项式乘多项式及完全平方公式计算后,再去括号、合并同类项即可得;
(2)先计算括号内的减法,再将除法转化为乘法,最后约分即可得.
【解答】解:(1)原式=a2﹣2ab+ab﹣2b2﹣(a2﹣2ab+b2)
=a2﹣2ab+ab﹣2b2﹣a2+2ab﹣b2
=ab﹣3b2;
(2)原式=(﹣)÷
=•
=﹣
=.
22.(10分)如图,一次函数y=kx﹣2与反比例函数y=(m≠0)相交于A,B两点,与x轴,y轴分别交于C,D两点,已知sin∠ADO=,点B的坐标为(2,n).(1)求一次函数和反比例函数的解析式;
(2)连接OA,OB,求△AOB的面积.
【分析】(1)根据一次函数解析式求出D点坐标,解Rt△COD,得出CD=2,OC=
4,C(﹣4,0),将C点坐标代入y=kx﹣2,求出一次函数的解析式;再求出点B的坐标,然后将B点坐标代入y=,求出反比例函数解析式;
(2)先联立直线与双曲线的解析式,求出A点坐标,再根据S△AOB=S△AOD+S△BOD即可求解.
【解答】解:(1)∵一次函数y=kx﹣2与y轴交于D点,
∴D(0,﹣2).
∵Rt△COD中,sin∠ADO==,
∴cos∠ADO====,
∴CD=2,
∴OC=4,C(﹣4,0),
∵一次函数y=kx﹣2与x轴交于C点,
∴﹣4k﹣2=0,解得k=﹣,
∴一次函数的解析式为y=﹣x﹣2,
把点B的坐标(2,n)代入,可得n=﹣×2﹣2=﹣3,
∴点B的坐标为(2,﹣3).
∵反比例函数y=(m≠0)的图象过B点,
∴m=2×(﹣3)=﹣6,
∴反比例函数解析式为y=﹣;
(2)由,解得,或,
∴A(﹣6,1).
S△AOB=S△AOD+S△BOD
=×2×6+×2×2
=8.
23.(10分)春漫三月,春茶飘香,重庆市永川区某茶叶基地碧绿连绵、碧浪汹涌,株株茶树冒出了新绿,此茶叶基地生产永川秀芽A,B两个品种,今年A品种每千克售价80元,B品种每千克售价100元,该地茶农今年收获A,B两个品种共500吨,其中A品种的产量不超过B品种产量的9倍.
(1)该茶农今年收获B品种至少多少吨?
(2)该茶农去年将A,B两个品种的茶叶全部运往市场销售,去年A,B的总产量与今年相同,而今年该茶农将收获的A,B两个品种的茶叶全部放在网店销售,且两年都全部售完去年B品种的市场销量在(1)的条件下的最低产量下减少了2m%,售价在今年的基础上增加%,去年A品种的售价与今年相同,去年向市场的运输成本一共为2050000元,今年B品种的销量为(1)中B品种的最低产量,结果去年的利润比今年减少%,求m的值.
【分析】(1)设该茶农今年收获B品种茶叶x吨,则收获A品种茶叶(500﹣x)吨,根据A品种的产量不超过B品种产量的9倍,即可得出关于x的一元一次不等式,解之取其最小值即可得出结论;
(2)根据总价=单价×数量结合去年的利润比今年减少%,即可得出关于m的一元二次方程,解之取其较小值即可得出结论.
【解答】解:(1)设该茶农今年收获B品种茶叶x吨,则收获A品种茶叶(500﹣x)吨,根据题意得:500﹣x≤9x,
解得:x≥50.
答:该茶农今年收获B品种茶叶至少50吨.
(2)根据题意得:50×(1﹣2m%)×100×1000(1+%)+[500﹣50(1﹣2m%)]×80×1000﹣2050000=[50×100×1000+(500﹣50)×80×1000]×(1﹣%),
整理得:m2﹣420m+4100=0,
解得:m1=10,m2=410(不合题意,舍去).
答:m的值为10.
24.(10分)如图1,在平行四边形ABCD中,E,F分别在边AD,AB上,连接CE,CF,且满足∠DCE=∠BCF,BF=DE,∠A=60°,连接EF.
(1)若EF=2,求△AEF的面积;
(2)如图2,取CE的中点P,连接DP,PF,DF,求证:DP⊥PF.
【分析】(1)先证明证明△CDE≌△CBF,得到CD=CB,可得▱ABCD是菱形,则AD =AB,由DE=BF得AE=AF,则△AEF是等边三角形,根据EF的长可得△AEF的面积;
(2)延长DP交BC于N,连结FN,证明△CPN≌△EPD,得到AE=BN,证明△FBN ≌△DEF,得到FN=FD,根据等腰三角形三线合一的性质可得结论.
【解答】(1)解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠D=∠B,
∵BF=DE,∠DCE=∠BCF,
∴△CDE≌△CBF(AAS),
∴CD=CB,
∴▱ABCD是菱形,
∴AD=AB,
∴AD﹣DE=AB﹣BF,即AE=AF,
∵∠A=60°,
∴△AEF是等边三角形,
∵EF=2,
∴S△AEF=×22=;
(2)证明:如图2,延长DP交BC于N,连结FN,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AD∥BC,
∴∠EDP=∠PNC,∠DEP=∠PCN,
∵点P是CE的中点,
∴CP=EP.
∴△CPN≌△EPD,
∴DE=CN,PD=PN.
又∵AD=BC.
∴AD﹣DE=BC﹣CN,即AE=BN.
∵△AEF是等边三角形,
∴∠AEF=60°,EF=AE.
∴∠DEF=120°,EF=BN.
∵AD∥BC,
∴∠A+∠ABC=180°,
又∵∠A=60°,
∴∠ABC=120°,
∴∠ABC=∠DEF.
又∵DE=BF,BN=EF.
∴△FBN≌△DEF,
∴DF=NF,
∵PD=PN,
∴PF⊥PD.
五、解答题(本大题2个小题,25题10分,26题12分,共22分)
25.(10分)若一个三位数,其个位数加上十位数等于百位数,可表示为t=100(x+y)+10y+x,则称实数t为“加成数”,将t的百位作为个位,个位作为十位,十位作为百位,组成一
个新的三位数h.规定q=t﹣h,f(m)=,例如:321是一个“加成数”,将其百位作为个位,个位作为十位,十位作为百位,得到的数h=213,∴q=321﹣213=108,f(m)==12.
(1)当f(m)最小时,求此时对应的“加成数”的值;
(2)若f(m)是24的倍数,则称f(m)是“节气数”,猜想这样的“节气数”有多少个,并求出所有的“节气数”.
【分析】(1)根据新定义,由求f(m)最小值,可知就是求q的最小值,根据定义表示q=t﹣h=100(x+y)+10y+x﹣(101y+11x)=9y+90x,可得结论;
(2)根据f(m)是24的倍数,f(m)=24n(n为正整数),得q=216n,由(1)中q =9y+90x,列方程,解方程可得结论.
【解答】解:(1)∵f(m)=,
∴当f(m)最小时,q最小,
∵t=100(x+y)+10y+x,h=100y+10x+x+y=101y+11x,
∴q=t﹣h=100(x+y)+10y+x﹣(101y+11x)=9y+90x,且1≤y≤9,0≤x≤9,x、y为正整数,
当x=0,y=1时,q小=9,此时对应的“加成数”是110;
(2)∵f(m)是24的倍数,
设f(m)=24n(n为正整数),
则24n=,q=216n,
由(1)知:q=9y+90x=9(y+10x),
∴216n=9(y+10x),
24n=y+10x,(x+y<10)
①当n=1时,即y+10x=24,解得:x=2,y=4,则这样的“节气数”是24;
②当n=2时,即y+10x=48,解得:x=4,y=8,x+y=12>10,不符合题意;
③当n=3时,即y+10x=72,解得:x=7,y=2,则这样的“节气数”是72;
①当n=4时,即y+10x=96,解得:x=9,y=6,x+y=15>10,不符合题意;
①当n=5时,即y+10x=120,没有符合条件的整数解,
综上,这样的“节气数”有2个,分别为24,72.
26.(12分)如图1,已知二次函数y=mx2+3mx﹣m的图象与x轴交于A,B两点(点A 在点B的左侧),顶点D和点B关于过点A的直线l:y=﹣x﹣对称.
(1)求A、B两点的坐标及二次函数解析式;
(2)如图2,作直线AD,过点B作AD的平行线交直线1于点E,若点P是直线AD上的一动点,点Q是直线AE上的一动点.连接DQ、QP、PE,试求DQ+QP+PE的最小值;若不存在,请说明理由:
(3)将二次函数图象向右平移个单位,再向上平移3个单位,平移后的二次函数图象上存在一点M,其横坐标为3,在y轴上是否存在点F,使得∠MAF=45°?若存在,请求出点F坐标;若不存在,请说明理由.
【分析】(1)令y=0,可求A,B点坐标,由直线:y=﹣x﹣与x轴所成锐角为30°,可求D点坐标,代入可求解析式.
(2)由A,D两点可求AD解析式,BE∥AD,可求BE解析式,即可求E点坐标,作点P关于AE的对称点P',作点E关于x轴的对称点E',由对称性可得PQ=P'Q,PE=EP'=P'E',则DQ+PQ+PE=DQ+P'Q+P'E',所以当D,Q,E'三点共线时,DQ+PQ+PE值最小,即求DE'的长度.
(3)以AM为直角边作等腰三角形,M点为直角顶点作等腰直角三角形,分在直线AM 上方或下方讨论.
【解答】解:(1)∵令y=0,
∴0=mx2+3mx﹣m
∴x1=,x2=﹣
∴A(﹣,0),B(,0)
∴顶点D的横坐标为﹣
∵直线y=﹣x﹣与x轴所成锐角为30°,且D,B关于y=﹣x﹣对称.∴∠DAB=60°,且D点横坐标为﹣
∴D(﹣,﹣3)
∴﹣3=m﹣m﹣m
∴m=
∴抛物线解析式y=x2+x﹣
(2)∵A(﹣,0),D(﹣,﹣3)
∴直线AD解析式y=﹣x﹣
∵直线BE∥AD
∴直线BE解析式y=﹣x+
∴﹣x﹣=﹣x+
∴x=
∴E(,﹣3)
如图2,作点P关于AE的对称点P',作点E关于x轴的对称点E'
根据对称性可得PQ=P'Q,PE=EP'=P'E'
∴DQ+PQ+PE=DQ+P'Q+P'E'
∴当D,Q,E'三点共线时,DQ+PQ+PE值最小
即DQ+PQ+PE最小值为DE'
∵D(﹣,﹣3),E'(,3)
∴DE'=12
∴DQ+PQ+PE最小值为12
(3)∵抛物线y=(x+)2﹣3图象向右平移个单位,再向上平移3个单位∴平移后解析式y=x2
当x=3时,y=3,
∴M(3,3)
如图3
,
若以AM为直角边,点M是直角顶点,在AM上方作等腰直角△AME,则∠EAM=45°,直线AE交y轴于F点,作MG⊥x轴,EH⊥MG,则△EHM≌△AMG.
∵A(﹣,0),M(3,3)
∴E(3﹣3,3+)
∴直线AE解析式:y=x+
∴F(0,)。