2012.04 第3章 弹塑性力学 本构理论
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第三章 弹性变形、塑性变形、本构方程
§3—1 概 述 §3—2 弹性变形与塑性变形的特点、塑性力
学的附加假设
§3—3 弹塑性力学中常用的简化力学模型 §3—4 弹性本构方程、弹性应变能函数 §3—5 应力张量和应变张量分解的物理意义 §3—6 弹性势能公式、弹性势能的分解
§3—7 塑性应力偏量状态与Lode应力参数
U 0 ( ij ) ij
ij
（3—17）
3、弹性常数间的关系
⑴、极端各向异性体
c mn c nm ; (m, n 1, 2 6)
对极端各向异性体，独立的弹性常数只有21个。
变形过程中，积累在单位体积内的应变能为：
A
n
（3--6）
例3—1 证明弹塑性强化模型的强化系数和刚塑性线性 强化模型的强化系数之间满足关系（如图3—8）：
H EE E E
E H
证：弹塑性线性强化模型的公式是
(当 s时) E (当 s时) s E ( s )
A ( x x y y z z xy xy yz yz zx zx )dxdydz
(b)
U0 x x y y z z xy xy yz yz zx zx
（8）
弹塑线性强化模型转化为刚塑性线性强化模型。
§3—4 弹性本构方程、弹性应变能函数
1、广义虎克定律一般表达式：
◆ 广义虎克定律一般表达式：假设物体中没有初应力，对于均 匀的理想弹性体的应力应变关系下：
x c11 x c12 y c13 z c14 xy c15 yz c16 zx y c 21 x c 22 y c 23 z c 24 xy c 25 yz c 26 zx z c 31 x c 32 y c 33 z c 34 xy c 35 yz c 36 zx （3-8） xy c 41 x c 42 y c 43 z c 44 xy c 45 yz c 46 zx yz c 51 x c 52 y c 53 z c 54 xy c 55 yz c 56 zx zx c 61 x c 62 y c 63 z c 64 xy c 65 yz c 66 zx
§3—3 弹塑性力学力学模型
◆ 变形力学模型是在大量实验的基础上，将各种反映 材料力学性质的应力应变曲线，进行分析归类抽象 总结后提出的。 ◆ 对不同的固体材料，不同的应用领域，可采用不同 的变形体力学模型。
★ 确定力学模型时应注意：
① 必须符合材料的实际情况；
② 模型的数学表达式应足够简单。
1、理想弹塑性力学模型
③ 对材料加载或卸载，其应力应变曲线路径相同。因 此，应力与应变是一一对应的关系。
2、塑性变形特点
① 塑性变形不可恢复，所以外力功不可逆，塑性变形的产生必 定要耗散能量（称耗散能或形变功）。 ② 在塑性变形阶段，其应力应变关系是非线性的。由于本构方 程的非线性，所以不能使用叠加原理。又因为加载与卸载的 规律不同， 应力与应变之间不再存在一一对应的关系，即 应力与相应的应变不能唯一地确定，而应当考虑到加载路径 （或加载历史）。 ③ 在载荷作用下，变形体有的部分仍处于弹性状态称弹性区， 有的部分已进入了塑性状态称塑性区。在弹性区，加载与卸 载都服从广义虎克定律。但在塑性区，加载过程服从塑性规 律，而在卸载过程中则服从弹性的虎克定律。并且随着载荷 的变化，两区域的分界面也会产生变化。 ④ 依据屈服条件，判断材料是否处于塑性变形状态。
理想弹塑性力 学模型亦称为弹 性完全塑性力学 模型，该模型抓 住了韧性材料的 主要变形特征。 其表达式为：
E E s s
(当 s时) (当 s时)
（3-2）
2、理想线性强化弹塑性力学模型
理想线性强 化弹塑性力学 模型亦称为弹 塑性线性强化 材料或双线性 强化模型。其 数学表达式为：
U 0 U 0 U 0 U 0 U 0 U 0 x ; y ; z ; xy ; xz ; zx x y z xy yz zx
上式表明：应力分量等于弹性势函数对相应的应变分 量的一阶偏导数。适用于一般弹性体。其缩写式为：
§3—8 §3—9 §3—10
屈服函数、主应力空间常用屈服条件 加载准则、加载曲面、加载方式 弹塑性应变增量、应变偏量增量间
的关系
§3—11 塑性本构方程(增量理论)
§3—13
§3—17
塑性本构方程(全量理论)
岩土材料的变形模型与强度准则
§3—18 本章小结、关于余能的概念
§3—1 概
◆
述
弹塑性力学研究的问题一般都是静不定问题。
◆静不定问题的解答
｛
1、静力平衡分析——平衡微分方程 2、几何变形分析——几何方程 3、物理关系分析——物理方程
◆ 此即弹塑性力学分析解决问题的基本思路。
◆ 表明固体材料产生弹性变形或塑性变形时 应力与应变，以及应力率与应变率之间关 系的物性方程，称为本构方程（关系）。
§3-2 弹性变形、塑性变形、塑性力学的附加假设 ◆ 大量实 验证实， 固体受力 变形时， 应力与应 变间的关 系是相辅 相成的。
（6）
将
代入，消去公因子 ( s ) ，得: s E s
即:
H E E H E EE H E E
E E E 1 E
（7）
证毕。显然当E→∞，由上述结论可知
EE lim H lim lim E E E E E
式中Cmn称为弹性常数，与位臵坐标无关。
◆ 广义虎克定律张量表达式：
ij cijkl kl
(i，j，k，l 1 2， ) ， 3
（3-9）
◆ 广义虎克定律式（3-8）中36个弹性常数是否彼 此无关？ ◆ 弹性常数针对各种不同的研究对象；它们之间的 关系是什么？ ◆ 式（3-8）若用矩阵表达式则为：
则弹性体由零应变状态加载至某一应变状态 程中，弹性体整个体积的内力功为：
（3—12）
ij 的过
ij
（3—13）
A
0
ij
V
A
V
wenku.baidu.com
ij
0
U0dV U0dV U
V
U 0 ij d ij
于是从零应变状态到达某一应变状态的过程中，积累 在弹性体单位体积内的应变能为： ij ij
E s E1 ( s )
(当 s时) (当 s时)
（4--3）
3、理想刚塑性力学模型
理想刚塑性 力学模型亦称 刚性完全塑性 力学模型，特 别适宜于塑性 极限载荷的分 析。其表达式 为:
s
(当 s时)
（3--4）
4、理想线性强化刚塑性力学模型
U We
若以 Wi 表示内力功，则有：
（3--10）
We Wi 0
且：
（3--11）
U We Wi
（b）
⑵、弹性体中的内力功和应变能
物体内代表一点的微分体，在变形时存在有刚 性位移与变形位移两部分。 由于内力是平衡力系，在微分体的刚体（性） 位移上不作功，则只须讨论应力在微分体变形时， 应变增量所对应的变形位移上作的内力功（亦称形 变功）。 首先考察 微分体受到 x dydz 在x 轴方向 产生的内力 功，见图 3—9（a）：
U 0 0
（f）
因而弹性势（能）函数是物体的状态函数。
0 弹性势能函数是坐标的单值连续函数，故 U 0 必为全 微分，即：
U 0 U 0 U 0 U 0 U 0 U 0 U 0 x y z xy yz zx x y z xy yz zx
U0
0
U0
0
ijd ij
（3—14）
⑶、弹性势能函数 有势力在势力场（弹性体）中，由于质点位臵的改 变（变形）有做功的能力，这种能称为势能。这种势能 显然就是上述应变能。 势能是质点坐标的连续函数，故我们把应变能亦称 为应变能函数，或弹性势能函数。 对于理想弹性体，在每一确定的应变状态下，都具 有确定的应变值。弹性势能函数与应变过程无关。在加、 卸载的过程中：
◆
固体材料在一定条件下，应力与应变之间各自 有着确定的关系，这一关系反映着固体材料的 客观特性。
1、弹性变形特点
① 弹性变形是可逆的。物体在变形过程中，外力所做 的功以能量（应变能）的形式贮存在物体内，当卸 载时，弹性应变能将全部释放出来，物体的变形得 以完全恢复；
② 无论材料是处于单向应力状态，还是复杂应力状态， 在线弹性变形阶段，应力和应变成线性比例关系；
◆ 具强化性质的固体材料，随着塑性变形的增加， 屈服极限在一个方向上提高，而在相反的方向上 降低的效应，称为包辛格效应。
◆ 包辛格效应导致材 料物理力学性质具 有各向异性。 ◆ 由于这一效应的数学 描述比较复杂,一般 塑性理论（在本教 程）中都忽略它的影 响。
3、塑性力学附加假设
为研究塑性力学需要，对材料提出如下附加假设：
① 球应力引起了全部体变（即体积改变量），而不 包含畸变（即形状改变量），体变是弹性的。因 此，球应力不影响 屈服条件； ② 偏斜应力引起了全部畸变，而不包括体变，塑性 变形仅是 由应力偏量引起的。因此，在塑性变 形过程中材料具有不可压缩性（即体积应变为 零）； ③ 不考虑时间因素对材料性质的影响，即认为材料 是非粘性的。 ◆ 这些附加假设都是建立在一些金属材料的实验基 础上的，前两条对岩土材料不适用。
于是拉力 x dydz 所作的内力功为：
xε x dxdydz
同理可得：
y y dxdydz, z z dxdydz
同理可得：
xy yzdxdydz
yz yz dxdydz, zx zx dxdydz
dxdydz, zx zx dxdydz
（3）
由上式（3）可解得：
s H
H 1 E
（4）
考虑强化阶段，式（1）及（2）中取同样 值时，有:
s E ( s ) s H
H 1 E
（5）
H H E s s E ( s ) ( s ) s H E E
理想线 性强化刚 塑性力学 模型，其 应力应变 关系的数 学表达式 为：
s E1
(当 0 时)
（3--5）
5、幂强化力学模型
为了避免在 s 处的变化，有时可以 采用幂强化力学模型。 当表达式中幂强化系 数 n 分别取 0 或 1 时，就代表理想弹塑 性模型和理想刚塑性 模型。其应力应变关 系表达式为：
{σ}=[D]{ε}
{σ}称为应力列阵；{ε}称为应变列阵；[D]称为弹 性矩阵。
2、弹性应变能函数
⑴ 弹性体的实功原理：若对于静荷载作用下产生弹性变形
过程中不计能量耗散，则据功能原理：产生此变形的外力在 加载过程中所作的功将以一种能量的形式被积累在物体内， 此能量称为弹性应变能，或称弹性变形能。并且物体的弹性 应变能在数值上等于外力功。这就是实功原理，也称变形能 原理。若弹性应变能用U 表示，外力功用 We 表示，则有：
（1）
刚塑性线性强化模型的公式是: s H 为了比较两种图形塑性范围的应变，上 实际上是图3—8(b)中忽略 式(2)中的 了弹性应变的应变值，即等于塑性应变p ， 于是式（2）可写为：
（2）
s H p s H E
§3—1 概 述 §3—2 弹性变形与塑性变形的特点、塑性力
学的附加假设
§3—3 弹塑性力学中常用的简化力学模型 §3—4 弹性本构方程、弹性应变能函数 §3—5 应力张量和应变张量分解的物理意义 §3—6 弹性势能公式、弹性势能的分解
§3—7 塑性应力偏量状态与Lode应力参数
U 0 ( ij ) ij
ij
（3—17）
3、弹性常数间的关系
⑴、极端各向异性体
c mn c nm ; (m, n 1, 2 6)
对极端各向异性体，独立的弹性常数只有21个。
变形过程中，积累在单位体积内的应变能为：
A
n
（3--6）
例3—1 证明弹塑性强化模型的强化系数和刚塑性线性 强化模型的强化系数之间满足关系（如图3—8）：
H EE E E
E H
证：弹塑性线性强化模型的公式是
(当 s时) E (当 s时) s E ( s )
A ( x x y y z z xy xy yz yz zx zx )dxdydz
(b)
U0 x x y y z z xy xy yz yz zx zx
（8）
弹塑线性强化模型转化为刚塑性线性强化模型。
§3—4 弹性本构方程、弹性应变能函数
1、广义虎克定律一般表达式：
◆ 广义虎克定律一般表达式：假设物体中没有初应力，对于均 匀的理想弹性体的应力应变关系下：
x c11 x c12 y c13 z c14 xy c15 yz c16 zx y c 21 x c 22 y c 23 z c 24 xy c 25 yz c 26 zx z c 31 x c 32 y c 33 z c 34 xy c 35 yz c 36 zx （3-8） xy c 41 x c 42 y c 43 z c 44 xy c 45 yz c 46 zx yz c 51 x c 52 y c 53 z c 54 xy c 55 yz c 56 zx zx c 61 x c 62 y c 63 z c 64 xy c 65 yz c 66 zx
§3—3 弹塑性力学力学模型
◆ 变形力学模型是在大量实验的基础上，将各种反映 材料力学性质的应力应变曲线，进行分析归类抽象 总结后提出的。 ◆ 对不同的固体材料，不同的应用领域，可采用不同 的变形体力学模型。
★ 确定力学模型时应注意：
① 必须符合材料的实际情况；
② 模型的数学表达式应足够简单。
1、理想弹塑性力学模型
③ 对材料加载或卸载，其应力应变曲线路径相同。因 此，应力与应变是一一对应的关系。
2、塑性变形特点
① 塑性变形不可恢复，所以外力功不可逆，塑性变形的产生必 定要耗散能量（称耗散能或形变功）。 ② 在塑性变形阶段，其应力应变关系是非线性的。由于本构方 程的非线性，所以不能使用叠加原理。又因为加载与卸载的 规律不同， 应力与应变之间不再存在一一对应的关系，即 应力与相应的应变不能唯一地确定，而应当考虑到加载路径 （或加载历史）。 ③ 在载荷作用下，变形体有的部分仍处于弹性状态称弹性区， 有的部分已进入了塑性状态称塑性区。在弹性区，加载与卸 载都服从广义虎克定律。但在塑性区，加载过程服从塑性规 律，而在卸载过程中则服从弹性的虎克定律。并且随着载荷 的变化，两区域的分界面也会产生变化。 ④ 依据屈服条件，判断材料是否处于塑性变形状态。
理想弹塑性力 学模型亦称为弹 性完全塑性力学 模型，该模型抓 住了韧性材料的 主要变形特征。 其表达式为：
E E s s
(当 s时) (当 s时)
（3-2）
2、理想线性强化弹塑性力学模型
理想线性强 化弹塑性力学 模型亦称为弹 塑性线性强化 材料或双线性 强化模型。其 数学表达式为：
U 0 U 0 U 0 U 0 U 0 U 0 x ; y ; z ; xy ; xz ; zx x y z xy yz zx
上式表明：应力分量等于弹性势函数对相应的应变分 量的一阶偏导数。适用于一般弹性体。其缩写式为：
§3—8 §3—9 §3—10
屈服函数、主应力空间常用屈服条件 加载准则、加载曲面、加载方式 弹塑性应变增量、应变偏量增量间
的关系
§3—11 塑性本构方程(增量理论)
§3—13
§3—17
塑性本构方程(全量理论)
岩土材料的变形模型与强度准则
§3—18 本章小结、关于余能的概念
§3—1 概
◆
述
弹塑性力学研究的问题一般都是静不定问题。
◆静不定问题的解答
｛
1、静力平衡分析——平衡微分方程 2、几何变形分析——几何方程 3、物理关系分析——物理方程
◆ 此即弹塑性力学分析解决问题的基本思路。
◆ 表明固体材料产生弹性变形或塑性变形时 应力与应变，以及应力率与应变率之间关 系的物性方程，称为本构方程（关系）。
§3-2 弹性变形、塑性变形、塑性力学的附加假设 ◆ 大量实 验证实， 固体受力 变形时， 应力与应 变间的关 系是相辅 相成的。
（6）
将
代入，消去公因子 ( s ) ，得: s E s
即:
H E E H E EE H E E
E E E 1 E
（7）
证毕。显然当E→∞，由上述结论可知
EE lim H lim lim E E E E E
式中Cmn称为弹性常数，与位臵坐标无关。
◆ 广义虎克定律张量表达式：
ij cijkl kl
(i，j，k，l 1 2， ) ， 3
（3-9）
◆ 广义虎克定律式（3-8）中36个弹性常数是否彼 此无关？ ◆ 弹性常数针对各种不同的研究对象；它们之间的 关系是什么？ ◆ 式（3-8）若用矩阵表达式则为：
则弹性体由零应变状态加载至某一应变状态 程中，弹性体整个体积的内力功为：
（3—12）
ij 的过
ij
（3—13）
A
0
ij
V
A
V
wenku.baidu.com
ij
0
U0dV U0dV U
V
U 0 ij d ij
于是从零应变状态到达某一应变状态的过程中，积累 在弹性体单位体积内的应变能为： ij ij
E s E1 ( s )
(当 s时) (当 s时)
（4--3）
3、理想刚塑性力学模型
理想刚塑性 力学模型亦称 刚性完全塑性 力学模型，特 别适宜于塑性 极限载荷的分 析。其表达式 为:
s
(当 s时)
（3--4）
4、理想线性强化刚塑性力学模型
U We
若以 Wi 表示内力功，则有：
（3--10）
We Wi 0
且：
（3--11）
U We Wi
（b）
⑵、弹性体中的内力功和应变能
物体内代表一点的微分体，在变形时存在有刚 性位移与变形位移两部分。 由于内力是平衡力系，在微分体的刚体（性） 位移上不作功，则只须讨论应力在微分体变形时， 应变增量所对应的变形位移上作的内力功（亦称形 变功）。 首先考察 微分体受到 x dydz 在x 轴方向 产生的内力 功，见图 3—9（a）：
U 0 0
（f）
因而弹性势（能）函数是物体的状态函数。
0 弹性势能函数是坐标的单值连续函数，故 U 0 必为全 微分，即：
U 0 U 0 U 0 U 0 U 0 U 0 U 0 x y z xy yz zx x y z xy yz zx
U0
0
U0
0
ijd ij
（3—14）
⑶、弹性势能函数 有势力在势力场（弹性体）中，由于质点位臵的改 变（变形）有做功的能力，这种能称为势能。这种势能 显然就是上述应变能。 势能是质点坐标的连续函数，故我们把应变能亦称 为应变能函数，或弹性势能函数。 对于理想弹性体，在每一确定的应变状态下，都具 有确定的应变值。弹性势能函数与应变过程无关。在加、 卸载的过程中：
◆
固体材料在一定条件下，应力与应变之间各自 有着确定的关系，这一关系反映着固体材料的 客观特性。
1、弹性变形特点
① 弹性变形是可逆的。物体在变形过程中，外力所做 的功以能量（应变能）的形式贮存在物体内，当卸 载时，弹性应变能将全部释放出来，物体的变形得 以完全恢复；
② 无论材料是处于单向应力状态，还是复杂应力状态， 在线弹性变形阶段，应力和应变成线性比例关系；
◆ 具强化性质的固体材料，随着塑性变形的增加， 屈服极限在一个方向上提高，而在相反的方向上 降低的效应，称为包辛格效应。
◆ 包辛格效应导致材 料物理力学性质具 有各向异性。 ◆ 由于这一效应的数学 描述比较复杂,一般 塑性理论（在本教 程）中都忽略它的影 响。
3、塑性力学附加假设
为研究塑性力学需要，对材料提出如下附加假设：
① 球应力引起了全部体变（即体积改变量），而不 包含畸变（即形状改变量），体变是弹性的。因 此，球应力不影响 屈服条件； ② 偏斜应力引起了全部畸变，而不包括体变，塑性 变形仅是 由应力偏量引起的。因此，在塑性变 形过程中材料具有不可压缩性（即体积应变为 零）； ③ 不考虑时间因素对材料性质的影响，即认为材料 是非粘性的。 ◆ 这些附加假设都是建立在一些金属材料的实验基 础上的，前两条对岩土材料不适用。
于是拉力 x dydz 所作的内力功为：
xε x dxdydz
同理可得：
y y dxdydz, z z dxdydz
同理可得：
xy yzdxdydz
yz yz dxdydz, zx zx dxdydz
dxdydz, zx zx dxdydz
（3）
由上式（3）可解得：
s H
H 1 E
（4）
考虑强化阶段，式（1）及（2）中取同样 值时，有:
s E ( s ) s H
H 1 E
（5）
H H E s s E ( s ) ( s ) s H E E
理想线 性强化刚 塑性力学 模型，其 应力应变 关系的数 学表达式 为：
s E1
(当 0 时)
（3--5）
5、幂强化力学模型
为了避免在 s 处的变化，有时可以 采用幂强化力学模型。 当表达式中幂强化系 数 n 分别取 0 或 1 时，就代表理想弹塑 性模型和理想刚塑性 模型。其应力应变关 系表达式为：
{σ}=[D]{ε}
{σ}称为应力列阵；{ε}称为应变列阵；[D]称为弹 性矩阵。
2、弹性应变能函数
⑴ 弹性体的实功原理：若对于静荷载作用下产生弹性变形
过程中不计能量耗散，则据功能原理：产生此变形的外力在 加载过程中所作的功将以一种能量的形式被积累在物体内， 此能量称为弹性应变能，或称弹性变形能。并且物体的弹性 应变能在数值上等于外力功。这就是实功原理，也称变形能 原理。若弹性应变能用U 表示，外力功用 We 表示，则有：
（1）
刚塑性线性强化模型的公式是: s H 为了比较两种图形塑性范围的应变，上 实际上是图3—8(b)中忽略 式(2)中的 了弹性应变的应变值，即等于塑性应变p ， 于是式（2）可写为：
（2）
s H p s H E