例谈运用构造法证明不等式 - 新课程数学 - 新课程数学新课程
构造法证明不等式
构造法证明不等式
构造法证明不等式由于证明不等式没有固定的模式，证法灵活多样，技巧性强，使得不等式证明成为中学数学的难点之一.下面通过数例介绍构造法在证明不等式中的应用.
一、构造一次函数法证明不等式
有些不等式可以和一次函数建立直接联系，通过构造一次函数式，利用一次函数的有关特性，完成不等式的证明.
例1 设0≤a、b、c≤2，求证：4a+b+c+abc≥2ab+2bc+2ca.
证明：视a为自变量，构造一次函数
= 4a+b+c+abc-2ab-2bc-2ca = (bc-2b-2c+4)a+(b+c-2bc)，
由0≤a≤2，知表示一条线段.又= b+c-2bc = (b-c)≥0，
= b+c-4b-4c+8 = (b-2)+(c-2)≥0，
可见上述线段在横轴及其上方，∴≥0，即4a+b+c+abc≥2ab+2bc+2ca.
二、构造二次函数法证明不等式
对一些不等式证明的题目，若能巧妙构造一元二次函数，利用二次函数的有关特性，可以简洁地完成不等式证明.
例2 实数a、b、c满足( a+c)( a+b+c)4a( a+b+c).
证明：由已知得a = 0时，b≠c，否则与( a+c)( a+b+c)故a = 0时，( b-c )>4a( a+b+c)成立.
当a≠0时，构造二次函数= ax+( b-c )x+( a+b+c)，则有
= a+b+c，= 2(a+c)，而·= 2( a+c)( a+b+c)∴存在m，当-1
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例谈“构造法”在高中数学解题中的应用
例谈 构造法 在高中数学解题中的应用曾㊀智(光泽县第一中学ꎬ福建南平３５４１００)摘㊀要:高中数学新课程提出ꎬ高中数学的教学重点之一就是空间形式与数量关系ꎬ这两点数学知识是探讨研究自然规律与社会规律的基础工具.构造法ꎬ一方面ꎬ它是高中数学学习的一种重要方法ꎬ能够有效帮助学生理解空间形式与数量关系ꎻ另一方面ꎬ它也是培养学生 构造思维 的重要基础ꎬ是高中数学教育的关键之一.本文在此背景下ꎬ总结了在高中数学解题中应用 构造法 的原则ꎬ又进一步分类总结了具体应用 构造法 的解题案例ꎬ以期为我国高中数学教师开展 构造法 教学提供参考.关键词:构造法ꎻ高中数学ꎻ应用中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２４)０３－００６０－０３收稿日期:２０２３－１０－２５作者简介:曾智(１９８４.１－)ꎬ男ꎬ福建省光泽人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀高中数学知识相对于初中而言难度更高ꎬ高中生在学习中不免会面临许多难以解决的问题ꎬ尤其是高中生本身解题经验较少ꎬ解题时常常会出现无法找到题目提供的各项条件与问题间的联系的情况ꎬ进而使解题变得十分艰难[１].这种情况一方面会导致学生解题效率降低ꎬ数学考试成绩下降ꎬ另一方面也会使学生长期承受较大的学习压力ꎬ导致对数学学习的兴趣降低ꎬ甚至抵触数学学习[２].此时ꎬ若学生掌握了 构造法 ꎬ则能够以新的角度审视难题ꎬ通过分析问题条件构造与题目本不相关的知识或模型ꎬ间接地解决难题[３].在这一过程中ꎬ高中生的数学思维能力与逻辑推理能力也得到了提高.因此ꎬ对 构造法 在高中数学解题中的应用进行研究ꎬ是具有一定的理论与现实价值的.１在高中数学解题中应用 构造法 的原则在高中数学解题中应用 构造法 是具有一定的原则的ꎬ其具体内容包括:相似性原则㊀在实际应用 构造法 进行解题时ꎬ需要仔细分析题目中提供的条件或题目本身特征ꎬ展开具有相似性的联想ꎬ进而构造出合理的数学对象ꎬ最终通过该数学对象完成数学解题[４].直观性原则㊀高中生在以 构造法 解题时ꎬ应遵循直观性原则ꎬ通过构造某种辅助解题的数学形式ꎬ使得题目中的条件与结论间形成直观的联系ꎬ进而快速地完成解题.熟悉化原则㊀这一原则指的是高中生在解题时应仔细分析题目的结构特征ꎬ并将其与自身熟悉的某种数学式㊁形㊁方程等进行对比ꎬ进而构造出能够与题目相对应的数学形式ꎬ从而解决问题[５].２应用 构造法 进行高中数学解题的案例应用 构造法 进行高中数学解题的重点在于:(１)应用 构造法 的目的ꎬ即想要通过该方法得到的结论是什么ꎻ(２)构造哪种数学形式才能实现应用 构造法 的目的.只有有效实现上述两个重点ꎬ高中生才能够应用 构造法 解决问题[６].本文通过展示几类高中数学常见问题的 构造法 解法ꎬ展示 构造法 的具体应用方法ꎬ如下所示.２.１ 函数构造法 解题案例在高中数学学习中ꎬ函数是重点学习的内容之一ꎬ而在实际题目中ꎬ包含函数的题目往往还会与方０６程㊁数列㊁图形等其他数学知识结合ꎬ使高中生解题难度增大.在这一类问题中应用 构造法 能够有效降低解题难度ꎬ进而加快学生解题速度[７].具体案例如下.案例１㊀求函数ｆ(ｘ)＝ｌｎｘ－ｘ＋１ｘ－１ꎬ讨论ｆ(ｘ)的单调性ꎬ并证明ｆ(ｘ)有且仅有两个零点.解㊀ｆ(ｘ)的定义域为(０ꎬ１)ɣ(１ꎬ＋¥)ꎬ因为ｆᶄ(ｘ)＝１ｘ＋２(ｘ－１)２>０ꎬ则ｆ(ｘ)在０ꎬ１()和(１ꎬ＋ɕ)这两个区间上单调递增.通过分析题意发现该函数有两个零点ꎬ因为ｆ(ｅ)＝１－ｅ＋１ｅ－１<０ꎬｆ(ｅ２)＝２－ｅ２＋１ｅ２－１＝ｅ２－３ｅ２－１>０ꎬ则ｆ(ｘ)在(１ꎬ＋¥)有唯一零点ｘ１ꎬ即ｆ(ｘ１)＝０.又因为０<１ｘ１<１ꎬ则ｆ(１ｘ１)＝－ｌｎｘ１＋ｘ１＋１ｘ１－１＝－ｆ(ｘ１)＝０.故ｆ(ｘ)在０ꎬ１()有唯一零点１ｘ１.综上所述ꎬｆ(ｘ)有且仅有两个零点.２.２ 方程构造法 解题案例在 构造法 中ꎬ方程是一种较为常见的数学形式. 方程构造法 是高中数学解题中的常用方法之一ꎬ尤其是在函数相关题目的解题中.这种方法主要是通过分析题目中的数量关系或特征结构ꎬ构造出一组等量的关系式ꎬ并通过解析关系式找到题目中几个未知量间的关系ꎬ进而得到方程中包含的等量关系[８].具体案例如下.案例２㊀若ａ１ꎬａ２ꎬａ３ꎬａ４均为非零的实数ꎬ且(ａ２１＋ａ２２)ａ２４－２ａ２(ａ１＋ａ３)ａ４＋ａ２２＋ａ２３＝０ꎬ证明四个非零实数中ａ１ꎬａ２ꎬａ３能够形成一个等比数列ꎬ且该数列的公比为ａ４.证明㊀分析题目可推导得出ꎬ在四个非零实数中ꎬａ４这一非零实数是一元二次方程(ａ２１＋ａ２２)ｘ２－２ａ２(ａ１＋ａ３)ｘ＋(ａ２２＋ａ２３)＝０的实数根ꎬ则可以推出关系式:ә＝４ａ２２(ａ１＋ａ３)２－４(ａ２１＋ａ２２)(ａ２２＋ａ２３)＝４(２ａ１ａ２２ａ３－ａ２１ａ２３－ａ４２)＝－４(ａ２２－ａ１ａ３)２ȡ０ꎬ因此ꎬ只有当ａ２２－ａ１ａ３＝０时ꎬ关系式才能成立ꎬ则可推导出ａ２２＝ａ１ａ３ꎬ同时由于题中表明ａ１ꎬａ２ꎬａ３均为非零实数.则可得出ａ１ꎬａ２ꎬａ３能够形成等比数列.且通过构造的求根公式可知ａ４＝２ａ２(ａ１＋ａ３)２(ａ２１＋ａ２２)＝ａ２(ａ１＋ａ３)ａ２１＋ａ１ａ３＝ａ２ａ１ꎬ则ａ４为该等比数列的公比.综上所述可以证明ａ１ꎬａ２ꎬａ３能够形成一个等比数列ꎬ且该数列的公比为ａ４.２.３ 向量构造法 解题案例在高中数学的所有知识点中ꎬ向量的相关知识是教学与学习的重难点之一.在高中数学考试中ꎬ与这一知识点相关的题目大多相对简单ꎬ以选择题或填空题为主ꎬ但当这一知识点出现在解答题中时ꎬ常常与立体几何相联系ꎬ解题难度增加许多ꎬ对学生的数学能力要求也相对较高[９].应用 向量构造法 进行解题ꎬ能够引导高中生将日常学习的向量知识点与三角函数㊁复数㊁函数等知识点联系起来ꎬ进而更加轻松地解决问题ꎬ案例如下.案例３㊀已知ｃｏｓＡ＋ｃｏｓＢ＋ｃｏｓＣ＝ｓｉｎＡ＋ｓｉｎＢ＋ｓｉｎＣ＝０ꎬ求ｓｉｎ２Ａ＋ｓｉｎ２Ｂ＋ｓｉｎ２Ｃ的值.解㊀设Ｐ(ｃｏｓＡꎬｓｉｎＡ)ꎬＱ(ｃｏｓＢꎬｓｉｎＢ)ꎬＲ(ｃｏｓＣꎬｓｉｎＣ)为单位圆上的三个点ꎬ则根据题意可以推导得出Ｏ是әＰＱＲ的外心.由此可以得到关系式:ＯＰң＝(ｃｏｓＡꎬｓｉｎＡ)ꎬＯＱң＝(ｃｏｓＢꎬｓｉｎＢ)ꎬＯＲң＝(ｃｏｓＣꎬｓｉｎＣ).因为ｃｏｓＡ＋ｃｏｓＢ＋ｃｏｓＣ＝ｓｉｎＡ＋ｓｉｎＢ＋ｓｉｎＣ＝０ꎬ则ＯＰң＋ＯＱң＋ＯＲң＝(ｃｏｓＡ＋ｃｏｓＢ＋ｃｏｓＣꎬｓｉｎＡ＋ｓｉｎＢ＋ｓｉｎＣ)＝０ꎬ可以推导得出Ｏ是әＰＱＲ重心ꎬ也是әＰＱＲ的外心ꎬ则әＰＱＲ为正三角形.由此可得出关系式Ｂ＝Ａ＋２π３＋２ｋπꎬＣ＝Ａ－２π３＋２ｋπꎬ则ｓｉｎ２Ａ＋ｓｉｎ２Ｂ＋ｓｉｎ２Ｃ＝ｓｉｎ２Ａ＋ｓｉｎ２Ａ＋２π３æèçöø÷＋ｓｉｎ２Ａ－２π３æèçöø÷＝ｓｉｎ２Ａ＋ｓｉｎＡｃｏｓ２π３＋ｃｏｓＡｓｉｎ２π３æèçöø÷２＋ｓｉｎＡｃｏｓ２π３－ｃｏｓＡｓｉｎ２π３æèçöø÷２１６＝ｓｉｎ２Ａ＋１２ｓｉｎ２Ａ＋３２ｃｏｓ２Ａ＝３２综上所述可得ꎬｓｉｎ２Ａ＋ｓｉｎ２Ｂ＋ｓｉｎ２Ｃ＝３２.２.４ 复数构造法 解题案例复数构造法 的应用ꎬ简单来说可以主要分为两类ꎬ一类题目本身就是复数问题ꎬ通过应用复数本身的性质就可以完成解题ꎻ另一类则是非复数问题ꎬ需要间接构造复数形式来完成解题[１０].案例如下.案例４㊀求函数ｆ(ｘ)＝(ｘ－５)２＋１６＋(ｘ－１)２＋４的最小值.证明:构造复数ｚ１＝５－ｘ＋４ｉꎬｚ２＝ｘ－１＋２ｉꎬ则ｆ(ｘ)＝ｚ１＋ｚ２ȡｚ１＋ｚ２＝４＋６ｉ＝２１３.当ｚ１＝ｋｚ２ꎬ即５－ｘ＋４ｉ＝ｋ(ｘ－１)＋２ｉ[]时取等号ꎬ解得ｘ＝７３ꎬ即ｘ＝７３时ꎬｆ(ｘ)有最小值２１３.２.５ 图形构造法 解题案例数形结合思维是高中数学思维培养中的关键ꎬ这一思维的形成与 图形构造法 的应用有着密不可分的关系.应用 图形构造法 进行解题的案例具体如下所示.案例５㊀证明正弦两角和公式ｓｉｎ(α＋β)＝ｓｉｎαｃｏｓβ＋ｃｏｓαｓｉｎβ.证明:如图１所示ꎬ在线段ＣＤ上任取一点Ａꎬ以Ａ为圆心ꎬ１为半径做圆弧分别过Ｃ点和Ｄ点ꎬ且和ＣＤ垂直的直线相交于点Ｂ与点Ｅꎬ令øＢＡＣ＝αꎬøＥＡＤ＝βꎬ则øＢＡＥ＝π－(α＋β)ꎬＢＣ＝ｓｉｎαꎬＡＣ＝ｃｏｓαꎬＤＥ＝ｓｉｎβꎬＡＤ＝ｃｏｓβ.图１㊀案例５证明示意图梯形ＢＣＤＥ＝әＡＢＣ＋әＡＤＥ＋әＡＢＥꎬ考虑面积相等可得:１２(ｓｉｎα＋ｓｉｎβ)(ｃｏｓα＋ｃｏｓβ)＝１２ｓｉｎαｃｏｓα＋１２ｓｉｎβｃｏｓβ＋１２ˑ１２ˑｓｉｎ(π－α－β)即(ｓｉｎα＋ｓｉｎβ)(ｃｏｓα＋ｃｏｓβ)＝ｓｉｎαｃｏｓα＋ｓｉｎβｃｏｓβ＋ｓｉｎ(α＋β)ꎬ展开整理得ｓｉｎ(α＋β)＝ｓｉｎαｃｏｓβ＋ｃｏｓαｓｉｎβ即可得证.３结束语«普通高中数学课程标准»中提出ꎬ数学核心素养包含具有数学基本特征的思维品格和关键能力ꎬ是数学知识㊁技能㊁思想㊁经验及情感㊁态度㊁价值观的综合体现. 构造法 作为高中最常使用的数学思想方法之一ꎬ能够有效培养高中生的创造思维与创新意识ꎬ综合提升其数学学科思维ꎬ但目前我国高中生对于 构造法 的了解大多有限.本文探讨了 构造法 在高中数学解题中的应用ꎬ为 构造法 在我国高中的推广应用贡献力量.㊀参考文献:[１]吴玉辉.构造法在高中数学圆锥曲线解题中的应用[Ｊ].华夏教师ꎬ２０２１(３５):３１－３２.[２]顾建华.基于 构造法 的高中数学解题思路探索[Ｊ].科学咨询(教育科研)ꎬ２０２０(１０):１６６.[３]吴建文.构造法在高中数学教学中的应用[Ｊ].华夏教师ꎬ２０１９(１９):４０.[４]袁胜蓝ꎬ袁野.高中数学数列通项公式的几种求法[Ｊ].六盘水师范学院学报ꎬ２０１９ꎬ３１(０３):１１７－１２０.[５]杨丽菲.高中数学解题中应用构造法的实践尝试[Ｊ].科学大众(科学教育)ꎬ２０１８(１２):７.[６]何婷.构造函数求解高中数学问题[Ｊ].科学咨询(科技 管理)ꎬ２０１８(０６):１４４.[７]李正臣.高中数学解题中应用构造法之实践[Ｊ].科学大众(科学教育)ꎬ２０１８(０２):３４.[８]罗杰.分析高中数学三角函数的解题技巧[Ｊ].中国高新区ꎬ２０１７(２２):１０２.[９]洪云松.高中数学圆锥曲线解题中构造法的使用[Ｊ].农家参谋ꎬ２０１７(１３):１６０.[１０]刘米可.构造函数法在高中数学解题中的应用[Ｊ].经贸实践ꎬ２０１６(２３):２２６.[责任编辑:李㊀璟]２６。
构造法在不等式证明中的应用
构造法在不等式证明中的应用河间市第四中学 刘秀婷 062451构造法解题是一种富有创造性的思维方式，它是多种思维方式交叉、联系、融汇在一起共同作用的结果。
这种思路可以拓展学生思维、培养他们的创新能力。
不等式的证明是高中数学的一个重点，也是难点，其方法多、技巧强。
细心的观察不等式的结构特点，适当进行变形，巧妙地构造，对不等式的证明起了很大的作用。
一：构造函数例1：若,x y R ∈ 且 ()1313230x y x x y ++++ 求证：30x y +。
分析：所要证明的不等式次数较高，且不易变形，用一般的证明方法不易解决，但认真研究会发现，如果将3x 拆成2x x +，原式变形为()()()131322x y x y x x +++-+，则该式左右两侧形式相同，考虑构造函数()13f t t t =+。
证明：由已知不等式变形为()()()131322x y x y x x +++-+ 构造函数()13f t t t =+ 即有()()2f x y f x +- ()()f t f t -=- 所以()f t 为奇函数 故()()2f x y f x +- ()'121310f t t =+ 故()f t 在R 上是增函数 2x y x ∴+- 即 30x y +。
二：构造数列涉及与自然数有关的不等式证明时，除了用数学归纳法外，构造辅助数列能获得简捷的巧解。
例2：已知1x - 但 0x ≠ 且 *2,n n N ≥∈ 求证：()11n x nx ++。
证明：构造数列 ()11n n nxa x +=+ ()*n N ∈ ()()()()21111110111n n n n n n x nx nx a a x x x ++++++-=-=-+++ 即 1n n a a + ∴数列{}n a 是单调递减数列， 即有121...n n a a a a -=111x x +=+ 故对2n ≥有11n a a = 即()111n nxx ++ ()10n x + ()11n x nx ∴++。
例说构造法证明不等式
对 所有正 整数 成立 ．
分析 ， ・＋／・＋ √ ＋） ／ ２ ， ３ …＋ １是一个与 ， １ ２ ｚ 无
关 的量 ，将 它与 左 右 两端 作 差 构造 出相 应 的数 列 ， 再 利用 数列 的单 调性来 研 究 ．
助模型 ，促进转化 ，以期不等式得到证明 ．可以构 造 函数、方程、数列、向量、复数和图形等数学模 型 ，针 对欲 证 不等 式 的结构特 点 ，选择 恰 当 的模 型 ， 顺 利解 决 不等 式 的有 关问题 ． 、 １ ．根据不等式特征 ，构造恰当的初等函数，再
解 设 ａ＝ ／２ ， ・＋ √ －ｚ１ Ｎ ， ，・＋／ ３ …＋ （＋） ∈ ） １ ２ ， （
构造数列｛ ， ｝ 令 ＝ ｎ ａ一
２
＝
，则
２
！± ±
根据函数单调性 、奇偶性等特征来证 明不等式 ． 例 １证明：对于任意的Ｘ Ｙ ｚ （ ， ，不等式 ， ， ∈０１ ）
・
√， １ ＋ ） （＋） ０ Ｎ ， （＋） ２一， １ ，（∈ ） ｚ （ ２ ＞ 所以 ． Ｘ ， ｝ ＋ ｎ ｛ 为单调数列， ＝ ｌ ＞ 首相 √—
为 最小 值 ．所 以 ＞ ： 一１ ＞０，即 ＞ ．
（一 ＋ （一ｚ＋ｚ （一 ） 成 立 ． １ ） Ｙ・ １ ） ・ ＜１ １
证 明 设 ｆ（） １ Ｙ— ） ｘ ＝（一 ｚ・ ＋Ｙ （ ） ｚ， ・ 一ｚ＋ 显然 该 １ 函数 是 以 为主 元 的一 次函数 ．
又令 ： 一
． ．
，则
（ ＋１ （ ＋２ ， ） ） ｚ
一
当 ∈ ０ １时，ｆ ｘ是单调函数 ，且 ｆＯ ＝ — （， ） （） （ Ｙ ）
处的切线 ， Ｘ Ｙ轴所 围成的三角形面积为 ｓｔ， 与 轴 （ ）
浅谈用构造法证明不等式
浅谈用构造法证明不等式作者：吴建平来源：《中学教学参考·理科版》2011年第02期所谓构造法，就是在解数学题时，直接列举出满足条件的数学对象（反例）导致结论的肯定（否定），或通过横向构造相应的模型使问题转化得以解决的方法.其实质是根据某些数学问题的条件或结论所具有的特征，用已知条件中的元素为“元件”，用已知数学关系为“支架”，构造出一种相关的数学对象、一种数学形式，从而使问题转化并得到解决.下面结合实例说明它在证明不等式中的应用.一、构造二项式定理证明不等式在证明不等式的过程中，如果从分析问题所提供的信息知道其本质与二项式定理有关，那么该不等式就可以考虑运用二项式定理来证明.【例1】求证：n∈时，n2•n≤1+n＜n3•n.分析：要证明原不等式，只需证明：n2≤1+1n＜n3，亦只需证明：＜3.证明：当n=1时，显然成立；当n≥2时，＝…+＞2,又∵n(n-1)…(n-k+1)k!•∴-1•(1--12=3--＜3.∴＜3.故n∈时，n2•n≤1+n＜n3•n.【例2】求证：对于n∈，｜｜.分析：因为不等式左边各项系数是二项式系数，所以可令，通过构造二项式定理证明.证明：又［］比较(1)、(2)式的实部，得｜｜｜｜.故待证不等式成立.二、巧设等差数列的公差证明不等式注意研究题设所提供的信息，巧设等差数列的公差证明一类不等式，这对培养创造能力及对数学知识的灵活掌握，是颇为有益的.【例3】已知a＞0,b＞0且a+b=1，求证：证明：∵a＞0,b＞0,∴据已知条件a+b=1可知a,12,b成等差数列.于是可设a=12+d,b=12-d（其中｜d｜＜12），代入(*)式右边，整理得2(a+1a)(b+1b)=2（12+d+112+d）（12-ｄ+112-d）=2(1-2+2521-1-≥252，故【例4】设x,y,z为非负实数，且x+y+z=1.求证：0≤xy+yz+zx-2xyz≤727.证明：由对称性，不妨设x≥y≥z≥0.∵x+y+z=1.∴x+y,12,z成等差数列.于是可设-d(｜d｜≤12),由x+y≥2z≥0，得16≤d≤12,故xy+yz+zx-2xyz=(x+y)z+xy(1-2z)=(12+d)(12-d)+xy［1-2(12-d)］＝14-∵0≤14--14--=14-［(12-］=14+14•2d(12-（2d+12-d+12+d3）＝14+14×127=727.故0≤xy+yz+zx-2xyz≤727.三、构造复数证明不等式某些不等式证明题，采用别的方法求证可能较为繁杂，若我们对题目进行研究分析后，构造出合适的复数，利用复数为等式的性质求证，则可起到事半功倍的效果.【例5】设a、b、c为非负实数，求证：分析：由a、b、c为非负实数得a+b+c=｜a+b+c｜，又不等式左边各项与复数模的表示相似，于是可构造复数因｜｜≤｜｜+｜｜+｜｜，而｜｜=｜｜＝｜｜｜｜+｜｜+｜｜=｜｜+｜｜+｜｜，于是，，即四、巧设三角形，妙证不等式某些不等式的证明，仅从代数角度来考虑，有时会比较困难.因此我们要调整思维的视角，考察问题中涉及的代数或几何元素及其关系，可以通过恰当地构造三角形，借助三角形的有关性质来证明.这样往往能使证明过程简洁直观，有助于思维能力的培养.图1【例6】正数a,b,c,m,n,t满足条件a+m=b+n=c+t=k，求证：an+bt+cm＜证明：由条件可构造边长为k的正三角形ABC，如图1所示，AE=a,BE=m，BF=c,FC=t,CG=b,GA=n.∵△△△＜△即＜，∴34(an+mc+bt)＜∴an+cm+bt＜故 an+bt+cm＜五、构造与直线有关的参数证明不等式利用解析几何的观点来处理不等式问题，往往可以将复杂的不等式问题转化为具有直观几何背景的其他问题，从而起到化繁为简、化难为易的作用，是优化解题的一条重要途径.1.构造直线的斜率证明不等式在不等式证明中，按照条件变换出斜率为k的定义形式或直接引入直线的斜率ｋ，利用解析几何知识可使过程简单化.图2【例7】已知x且x≥0，求证：-4+2133≤y+4x+1≤6.证明：令y+4x+1=k，则由图2可知，当直线过点(0,2)时，；当直线与半圆相切时，＝-4+2133.∴-4+2133≤y+4x+1≤6.2.构造直线的截距证明不等式【例8】已知x,y满足，求证：--分析：令m=y-3x，则y=3x+m.当直线y=3x+m与椭圆相切时，m分别取得最大值与最小值，易得-13≤m≤13，原题得证.3.构造点到直线的距离证明不等式图3【例9】求证：分析：若c、d全为零，则结论显然成立.若c、d不全为零，构造点及直线那么由图3易知｜ac+bd｜.此时ac+bd≤｜ac+bd｜构造法是数学解题中的一种重要思维方法，不仅可以拓宽思路，创设一些新的情境，提高分析问题和解决问题的能力，而且富有巧妙、新颖、独特之功效.证明不等式时，若我们能采用合适的构造方法，在很多时候便可将不等式的证明化繁为简，化难为易.因此，在教学过程中，应重视构造法的运用，以此进一步提高学生的分析能力和创造能力.(责任编辑金铃)。
例谈“构造法”证明不等式
ｆ （ ） ｂ ＋ ６ ｃ １ （ ＋ １ （ ＋ １ 厂 １一 ｃ ＋ ＋ 一 ｂ ）ｃ ）
Ｉ （ １ 一 ６ 一 ６ Ｃ １ （ — １ （ 一 １ 一 ） ｃ 一 ＋ 一 ６ 点Ｑ 直 ＋ 一 一 的 离为ｄ则ｄ 去， ， 一 ‘ ・ ‘
‘
． ．
使 Ｐ — ， Ｂ— Ｙ Ｐ Ａ Ｐ ， Ｃ一
，
。
且 ＡＰＢ一 ＢＰＣ＝ ＣＰＡ １ ０ ２。
‘
． ．
Ａ Ｂ＝、
歹 ，
Ｂ ＝ ，—————— ． ＝ Ｊ——————． Ｃ ， Ｚ ｚ ＋ｙ ＡＣ ／ ＋ ｅ ｚ ｙ ｘ ＋ｚ ＋ｘ ｚ ｚ ｚ
在 △ＡＢＣ中 ， Ｂ＋ Ｂ ＞ＡＣ， Ａ Ｃ
功倍．
证 明 ： 口 （ １ ｂ ，１ ， ＝ （ ２ ｂ ，２ 设 一 ｎ ，１ Ｃ ） 西 口 ，２ Ｃ ）
Ｏ
ｔ １
［ 责任 编校
钱 骁 勇］
０ ａ ＋ ｂ ６ ＋ ２ 口 ・ｂ １２ １２ １ ＝ Ｃ
１ ＋ ６ ＋ Ｃ ２ １ １ １ ； 口 ，ａ ＋ ｂ ＋ Ｃ ２ ２ ２ 一 ｂ
｛ Ｑｌ Ｐ ≥ ， ‘ ｌ Ｑ ｌ≥ ｄ ，‘ （ ＋ ２ ＋ （ ＋ ２ 即 ． ‘ Ｐ 。． ． ） ｙ ）
．
１ ６ １， １＜ ｃ １ ＜ ＜ 一 ＜
≥ 萼
５ 构造 图形
．
．
ｆ １＞ ０ ，（ ）
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一 ： ．． ＋
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当 一１ ＜ １ ， （ ） ０ ＜口 时 ｆａ ＞ ． 口
０ｄ 一４ 。 口 １ ≥ Ｏ 即 （ ４ （ 一 ４ ≥ ０ ． 。 ａ ＋４ 一 ６ ， 口＋ ）口 ） ，‘ ．
例谈用构造法解证不等式
【 关键词 】 构造 法
不等式解证
不等 式是 中学数学 的重要 内容，是分析 、解决其 它数学 问题 的基 础和工具 ，不等 式问题 的解 证是教 学中 的一个难 点 。不等 式题型涉及
Ｉ＋ ｂｃ
面广 ，解证 方 法 灵 活 ，备 受命 题者 的青 睐 ，在 近 几年 高 考试 题 中，
证 明 ：设 ｚ＝ ＋ ｉ ｚ ＝ ＋ １ 一ｂ ） ｉ ｚ ＝ １一 ａ ） （ １一 ｂ ｌａ ｂ 、 ２ ａ （ 、 ３ （ ＋
有些 问题似乎与 函数毫不相干 ， 是根据 题 目的特点 ，巧妙地构造 但 个 函数，利用 函数 的性质可得到简捷 的解决。解题过程 中不 断挖掘学 生的潜 在意识而不让学 生的思维始终注意到某一 点上，把 自己的解题 思
由于 复数具 有代数 、几何、三角等 多种表示 形式 以及 它 的特 定性
此 观 到 ＋ ＝ ＋ ＿ ５构 样 构 函 和运 算法 则 ，我们 可以构 造复 数来 解 决许 多代 数 、几何 、三角 方 面 题 察 （ ） （ ） ＋结 一 后 造 ． ’丢 与 ５
数直接利 用 函数 的单 调性大 大减 少了运 算量 。善于 观察 才善 于构造 。 的不等 式 问题 。这不仅 可以提高纵 向知 识解题 的技 巧，而且可激 发发 散 思维 ，打 破 思维 定势 ，有 效 地培 养 学 生 的 能 力 ，发 展 智力 。 例 ５：求证 ： ＿ ＋ ＿ ＋ ＋ ２ ２ 分析 ：本题 的特 点 是左边 为几个根 式的和 ，因此可联 系到复数 的 模 ，构 造 复数 模 型 ，利 用 复数 的性质 把 问题 解决 。
・
．
．
△： ２ 兰 ０ ：ａ≥ ２ 口一 ≥ 即
用构造法证不等式
用构造法证明不等式对于有些不等式证明问题，如果从正面直接去探求，可能十分困难，甚至无从下手。
若能转换思维角度，对问题的条件和结论分析，构造辅助元素，它可以是一个函数、一个方程（组）、一个图形、一个向量等，架起一座连接条件和结论的桥梁，往往可以寻找巧妙的证法。
让人拍案叫绝，取到意想不到的效果。
本文拟例说明用构造法证明不等式，旨在探索解题规律，提高学生的知识迁移能力和创造性解题能力.一 构造函数证不等式例1 当0x >时，证明不等式 21ln(1)2x x x +>-. 证明： 构造函数[)21()ln(1),0,2f x x x x x =++-∈+∞. ∵21'()10(0)11x f x x x x x =+-=>>++，()f x 在0x =处连续. ∴ ()f x 在[)0,+∞上是增函数，故当0x >时，()(0)0f x f >=，即 21l n (1)0,2x x x ++->从而不等式得证. 二 构造分布列证不等式例2 设，求证：证明：构离散型随机变量的分布列：由，可得三 构造数列证明不等式例3（19届莫斯科数学竞赛题）设任意实数,x y 满足1,1,x y <<求证：22112.111x y xy+≥--- 证明：∵1,1,x y << ∴2201,01, 1.x y xy <<<<<22112,,111x y xy---分别可看作是三个无穷递缩等比数列的各项和. 即24242211(1)(1)11x x y y x y+=+++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅-- 2244222()()222x y x y xy x y =+++++⋅⋅⋅≥+++⋅⋅⋅ 21xy=-. 四 构造向量证不等式例 4 已知,,p q R +∈,s r 满足221r s +=p q ≥+.证明：设向量(,),(,)pr qs qr ps ==a b ，则+≥+a b a b =∵,,p q R +∈且221r s +=，.p q ≥+五 构造平面图形证不等式例5 已知,,x y z 都在(0,1)内取值，求证：(1)(1)(1)1x y y z z x -+-+-<.证明：因,,x y z 都在(0,1)内取值，联想到在边长为1的 正ABC ∆三边上分别取D,E,F ， 使,,,AD x BE y CF z ===则 (1),(1),(1)x y y z z x ---与相应的三角形有关， 如图1所示. ∵,ADE BEF CFD ABC S S S S ∆∆∆∆++< ∴111(1)sin 60(1)sin 60(1)sin 60222x y y z z x ︒︒︒-⋅+-⋅+-⋅111sin 60.2︒<⋅⋅⋅ 从而(1)(1)(1)1x y y z z x -+-+-<.六 构造立体图形证明不等式例6 已知锐角γβα,,满足1cos cos cos 222=++γβα 求证：42cot cot cot ≤∙∙γβα. 证明：如右图所示，构造长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，其长，宽，高分别为a,b,c,其一对角线B 1D 与棱BB 1,A 1B 1,B 1C 1的夹角分别为γβα,,∴ 2221c b a D B ++=∴1cos cos cos 222222222222222=++++++++=++cb ac c b a a c b a b γβα∵22c a BD +=,221c b D A +=,221b a D C +=∴ 222222cot cot cot ba c cb a ca b +∙+∙+=∙∙γβα∵ ac c a 222≥+,bc c b 222≥+,ab b a 222≥+图1AA1 BCD B1C1D1αβγ abc∴ 222222cot cot cot ba c cb ac a b +∙+∙+=∙∙γβα4288222==≤abcabc c b a abc. 七 构造方程证不等式例7 已知 222,1,1,a b c a b c a b c >>++=++=求证： 103c -<<. 证明：由 1,a b c +=-得222()2a b a b ab +=+-22(1)21c ab c =--=-. 2ab c c ∴=-因此构造以,a b 为根的一元二次方程22(1)0x c x c c --+-=.令22()(1).f x x c x c c =--+-,a b R ∈及,a b c >>得0,12,()0,a b c c f c ∆>⎧⎪+=->⎨⎪>⎩解得103c -<<.八 构造斜率证明不等式例8 证明：3sin 3240.3cos 47x x +≤≤+证明：∵3sin 33sin (3).3cos 43cos (4)x x x x +--=+--所以可以将其看成过定点(4,3)A --与圆上229x y +=的动点(3cos ,3sin )P x x 的直线的斜率，并设直线的方程为3(4)y k x +=+.由223(4)9y k x x y +=+⎧⇒⎨+=⎩2222(1)(86)16240,k x k k x k k ++-+-= 由2400.7k ∆≥⇒≤≤因此不等式得证. 九、构造对偶式证明不等式例9：对任意自然数n ，求证：(1+1)(1+41) (1)231-n ) > 313+n证明：设a n = (1+1)(1+41)…(1+231-n ) = 12·45·78…5343--n n ·2313--n n 构造对偶式：b n =23·56·89…4333--n n ·133-n n ，c n = 34·67·910…3323--n n ·nn 313+ 13112311-+>-+n n ，nn 3112311+>-+ 即a n > b n ，a n > c n∴3n a > a n b n c n∴a n > 313+n ，即：(1+1)(1+41) (1)231-n ) > 313+n从以上几例还可以看出：构造法是一种富有创造性的解题方法，在数学解题中，我们不仅要有扎实的基础知识外，还应有丰富的联想和敢于创新的精神。
构造函数法在不等式证明中运用
构造函数法在不等式证明中运用构造函数法在不等式证明中运用不等式的证明历来是高中数学的难点，也是考察学生数学能力的主要方面。
不等式的证明方法多种多样，根据所给不等式的特征，巧妙的构造适当的函数，然后利用一元二次函数的判别式、函数的奇偶性、单调性、有界性等来证明不等式，统称为函数法。
本文通过一些具体的例子来探讨一下怎样借助构造函数的方法证明不等式。
一、构造函数利用判别式证明不等式①构造函数正用判别式证明不等式在含有两个或两个以上字母的不等式中，若使用其它方法不能解决，可将一边整理为零，而另一边为某个字母的二次式，这时可考虑用判别式法。
一般对与一元二次函数有关或能通过等价转化为一元二次方程的，都可考虑使用判别式，但使用时要注意根的取值范围和题目本身条件的限制。
例1.设：a、b、c∈R，证明：成立，并指出等号何时成立。
解析：令⊿＝∵b、c∈R，∴⊿≤0即：，∴恒成立。
当⊿＝0时，，此时，，∴时，不等式取等号。
例2.已知：且，求证：。
解析：消去c得：，此方程恒成立，∴⊿＝，即：。
同理可求得②构造函数逆用判别式证明不等式对某些不等式证明，若能根据其条件和结论，结合判别式的结构特征，通过构造二项平方和函数：由，得⊿≤0，就可以使一些用一般方法处理较繁琐的问题，获得简捷明快的证明。
例3.设且，求证：﹤6。
解析：构造函数：＝由，得⊿≤0，即⊿＝.∴﹤6.例4.设且，求的最小值。
解析：构造函数＝由，得⊿≤0,即⊿＝144-4≤0∴当时，二、构造函数利用函数有界性证明不等式例5.设﹤1，﹤1，﹤1，求证：﹥-1.解析：令为一次函数。
由于﹥0，且﹥0，∴在时恒有﹥0.又∵，∴﹥0，即：﹥0评注：考虑式中所给三个变量的有界性，可以视其为单元函数，转化为。
三、构造函数利用单调性证明不等式例6.设，求证：﹥解析：设，当﹥0时，是增函数，又＝﹥＝，而，∴﹥，∴﹥故有：﹥例7.求证：当﹥0时，﹥。
解析：令，∵﹥0，∴﹥0.又∵在处连续，∴在上是增函数，从而，当﹥0时，﹥＝0，即：﹥成立。
利用导数证明不等式——构造法证明不等式
利用导数证明不等式——构造法证明不等式构造法又称作图法，是一种利用几何图形来论证不等式的方法。
这种方法通常比较直观，易于理解和应用。
本文将利用导数和构造法相结合的方法来证明一些不等式。
首先，我们将考虑最简单的一类不等式，即严格单调递增函数和递增不等式。
假设函数f(x)在区间[a,b]上是单调递增的，即对于任意的x1,x2属于[a,b]，且x1<x2，有f(x1)<f(x2)。
现证明对于任意的x1,x2属于[a,b]，且x1<x2，有f'(x1)<f'(x2)。
证明：根据导数的定义，函数f(x)在点x1到x2之间的平均变化率即为[f(x2)-f(x1)]/[x2-x1]。
由于f(x)是单调递增函数，所以f(x2)>f(x1)，且x2-x1>0。
因此，平均变化率[f(x2)-f(x1)]/[x2-x1]大于0。
根据拉格朗日中值定理，存在一个c属于(x1,x2)，使得f'(c)=[f(x2)-f(x1)]/[x2-x1]。
由于f'(c)>0，所以f'(x1)<f'(x2)。
接下来，我们将应用构造法来证明一些不等式。
以求解函数的最值为例，说明构造法证明不等式的基本思路。
假设我们要证明不等式f(x)>=k，其中k是常数。
首先，我们可以在坐标系中画出函数f(x)的图像。
然后尝试找到这个函数的极值点，并计算这些极值点处函数的取值。
如果我们发现函数在一些极值点处的取值大于k，那么我们可以断定不等式f(x)>=k是成立的。
举例说明，假设我们要证明函数f(x)=x^2>=0对于所有的实数x成立。
我们可以考虑函数g(x)=x^2-k（k>0），并尝试找到g(x)的极值点。
由于g(x)=x^2-k是一个二次函数，它的顶点坐标即为极值点。
顶点的横坐标为x=0，纵坐标为y=-k。
因此，函数g(x)的图像是一个开口向上的抛物线，它的顶点在y轴的负半轴上，纵坐标小于0。
构造法证明不等式例谈
而f ( 一1 ) = 一b 一 + b + 1 = ( 1 一 c c b) ( 1 一 ) >0 ， 。 f ( 1) = b +c + b + 1 = ( 1 + b) ( 1 + c) > 0， c f ( a ) >0 即a + b + c > 一 b c a 1， 4 洞察联系， 构造方程 对于要证明“ c ) ( 或落 ) 矿” A 这类不等式，
例1
IM ! + IM A CI) I c =万， Al IM + M BI I D!) !B I =万， D 1 1+ IM + 1 c l + iMCI) 2 在 袱 BI 材
故原不等式成立. 3 结构对称， 构造函数
根据代数式的特征( 如结构的对称性) ， 构造适 当的函数， 借助函数的性质， 来证明不等式， 也是一 种常用的构造方法. 例3 已知I l < 1，l a !b < 1， 1 < 1 ， : !。 求证
x2
2
x，
+ 气 〕2气 ，. ‘ ‘，
2
x。 1 _
—
万 .
+ x 。 x 二 一 + x 〕2气 多艺 _1， l
xi
‘
X二
~
若b +。= 。原不等式显然成立. ， 若b + 。 。则f ( a ) 是a 的一次函 尹， 数了(a )
在( 一 1 上为单调函数， 1， )
将上述 n 个同向不等式相加， 并整理得:
.
证明 原不等式即为:( b +c) a + b。 1 >0 +
构造法在高中数学解题中的应用方法
构造法在高中数学解题中的应用方法构造法在高中数学解题中的应用方法构造法是一种数学解题方法，通过构造出符合题目要求的具体例子或特殊性质，来证明或推导出一般性的结论。
它在高中数学解题中有着广泛的应用，特别是在几何问题和代数问题中常用。
在几何问题中，构造法常常被用来构造符合题目要求的图形。
在证明两条垂直平分线相交于一个点时，可以通过构造两条垂直平分线的交点，来证明这个结论。
在证明三角形的性质时，也可以通过构造特殊的角度或边长来推导出一般性的结论。
在代数问题中，构造法常常被用来构造出满足特定条件的方程或函数。
在证明关于二次方程的性质时，可以通过构造一个满足特定条件的二次方程，来推导出一般性的结论。
在求解方程组或不等式时，构造法也常常被用来构造出满足条件的解集。
构造法的应用方法可以总结为以下几个步骤：1. 分析题目要求，确定需要构造的对象或性质。
需要构造一个特定的图形、一个满足特定条件的方程等等。
2. 根据题目条件和要求，确定构造的具体步骤和方法。
确定构造一个特定角度的方法是通过画一条与其他角度相等的角，或者确定构造一个方程的方法是通过设立一个满足特定条件的系数等等。
3. 进行实际的构造过程。
根据确定的方法，进行具体的构造过程，得到符合题目要求的对象或性质。
4. 利用构造出的对象或性质，进行证明或推导过程。
如果是证明问题，可以利用构造出的对象或性质来构造出一般性的结论，或者进行逆向推理。
如果是求解问题，可以利用构造出的对象或性质来得到解集的一般性特点。
构造法在高中数学中的应用举例：1. 证明点到直线的距离公式。
通过构造垂直于直线的垂线，并计算垂线的长度，来推导出点到直线的距离公式。
2. 求解二元一次方程组。
通过构造一个方程组，其中一个方程的两个系数相等，来得到相应的解集。
3. 证明勾股定理。
通过构造一个直角三角形，其中两条直角边的长度符合特定关系，来证明勾股定理的一般性。
4. 求解不等式。
通过构造一个满足特定条件的变量取值范围，来确定不等式的解集。
运用构造法妙证不等式
思路 清晰 、 思 巧 妙 、 程 简捷 ， 构 过 常使 数 学 解题 突破 常
规， 另辟 蹊 径 ．
一
求证 ：ｏ ｃｔｃｔ ｃｔ ｏｐｏ ａ
．
、
构 造恒等式
根据不等式 的特 征 ， 用有 关代 数 知识 ， 构 造恒 利 可 等式 作为辅助模型 ， 从而解决 问题 ． 【 １ 已知 实数 ｚ ． ｚ ５ 例 】 ， ， ， 满足 ｚ十 ＋ｚ 一ａ ｙ 十５
（＞ ０ 口 ），
２
证明： 由已 知条 件 中的数 量关 系 ， 想 到构造 一个 长方 联
体 ， 图 ， 其 对 角 线 与交 于 ６ 如 使
一
点 的 三 条 棱 的夹 角 分别 为
、 、
ｙ，
求 证 ：。 ｚ ＋ ＋ ＋ｓ ≥ ．
设 长 方 体 的棱 长 分 别 为 ａ ｃ 则 ，
法——构造法． 构造法是一种重要 的化归方 法 ， 透着类 比、 归 、 渗 化
猜想 、 归纳等数学思想 ， 于学好数 学 ， 高解题 能力是 对 提
＋分必 要且 有益 的． 造法 的 内涵 ＋分 丰 富 ， 构 运用 构造
数 形结合 是中学数学中 的一个 重要 的数 学思想 ， 如 果要求证 的不 等式有 明显的几何 意义 ， 或根据 题设条件 及数量关 系的特点可与几何 图形建 立联系 ， 可构造几 则
高考和竞赛命题 的热点． 这是 因为不等式 证 明问题形 式 灵活 多变 ， 覆盖 知识 面广 ， 既有一 定 的难度 而又较 为 灵
活， 没有 固定 的模式 可循 ， 是培养 学生逻 辑思 维能力 、 分
‘
ｔ ａ ・ ａＣ ｔｎＢ， 因 Ａ＋Ｂ Ｃ ｃ ｔｎ ＝ ａ ２ 并 ＋ 一７ ，
例谈运用构造法证明不等式-新课程数学-新课程数学新课程（五篇范文）
例谈运用构造法证明不等式-新课程数学-新课程数学新课程（五篇范文）第一篇：例谈运用构造法证明不等式 - 新课程数学 - 新课程数学新课程例谈运用构造法证明不等式在我们的学习过程中，常遇到一些不等式的证明，看似简单，但却无从下手，很难找到切入点，几种常用证法一一尝试，均难以凑效。
这时我们不妨变换一下思维角度，从不等式的结构和特点出发，在已学过的知识的基础上进行广泛的联想，构造一个与不等式相关的数学模型，实现问题的转化，从而使不等式得到证明。
下面通过举例加以说明。
一、构造向量证明不等式例1：证明7x+2(9-x2)≤9，并指出等号成立的条件。
简析与证明：不等式左边可看成7与x 和2与9-x2两两乘积的和，从而联想到数量积的坐标表示，将左边看成向量a=(7,2)与b=(x, 又a·b ≤|a|·|b|，所以9-x2)的数量积，7x+2(9-x2)≤(7)2+(2)2·x2+(9-x2)=9当且仅当b=λa(λ>0)时等号成立，故由立。
x7+9-x22-λ>0得：x=7,λ=1，即x =7时，等号成（1－y)+(x+y-3)+(2x+y-6)≥例2：求证：2221 6简析与证明：不等式左边的特点，使我们容易联想到空间向量模的坐标表示，将左边看成a =(1－y , x+y－3 , 2x+y－6)模的平方，又|a|·|b|≥a·b ,为使a·b为常数，根据待定系数法又可构造b=(1 , 2，-1)222于是|a|·|b|=(1-y)+(x+y-3)+(2x+y-6)·6（1－y)·1＋(x+y-3)·2+(2x+y-6（）·-1）－1 a·b＝222所以(1-y)+(x+y-3)+(2x+y-6)·6≥1（1－y)+(x+y-3)+(2x+y-6)≥即二、构造复数证明不等式22例3、求证：x+y+2221 6x2+(1-y)2+(1-x)2+y2+(1-x)2+(1-y)2≥22简析与证明：从不等式左边的结构特点容易联想到复数的模，将左边看成复数Z1= x+y i , Z2 = x +（1－ y）i，Z3 = 1－ x + y i，Z4 = 1－ x +（1－ y）i 模的和，又注意到Z1＋Z2＋Z3＋Z4＝2＋2 i，于是由z1＋z2＋z3＋z4≥z1+z2+z3+z4可得x2+y2+x2+(1-y)2+(1-x)2+y2+(1-x)2+(1-y)2≥22+22-22此题也可构造向量来证明。
例谈构造法证明不等式
例谈构造法证明不等式谷学标不等式证明无论是在高考中，还是在各类数学竞赛中，都是比较常见的题型。
不等式证明方法多种多样、丰富多彩。
然而有些不等式用常规的方法（如比较法、分析法和综合法等）很难证明或根本证不出来，但若能根据它的题设条件及知识点间的相互联系，构造一个与所证结果有关的辅助函数、方程、数列、几何图形等，使问题得到转化，然后再推理运算，便可获得简捷、直观、巧妙的证明。
本文通过例题谈谈构造法在证明不等式中的应用。
一、构造方程证明不等式由于函数、方程、不等式之间存在着密不可分的关系，函数式可看成方程，而一元二次方程的判别式又可变为不等式，因而某些不等式问题可转化为方程问题，运用方程的理论去求解。
例1 a 、b 、c 为任意实数，求证(b-c)2≥(a-2b)(2c-a)分析：本题用常规证法较难。
但易看出，若a-2b=0或2c-a=0，不等式成立.当a-2b ≠0时，原不等式等价于[2(b-c)]2≥4(a-2b)(2c-a)，因而，考察方程(a-2b)x 2+2(b-c)+2c-a=0，易知，x=1是方程的根.所以△≥0成立，故原不等式成立。
二、构造函数证明不等式有的不等式证明，转化成函数问题，利用函数的单调性、奇偶性等性质来证明，就会变得特别简捷明快。
例2 已知a>b>0，证明a 3-b 3a 3+b 3 >a 2-b 2a 2+b 2 >a-ba+b分析：由不等式的结构特征可构造函数f(x)=a x -b xa x +bx ，由f(x)=2a x a x +b x -1=1)12-+xab （,可知f(x)在(0,+∞)上f(x)为增函数.∴f(1)<f(2)<f(3)，即原不等式成立。
注：构造一个函数，使原不等式（或经过变形后）的左右两边是这个函数在其一个单调区间上的两个值，就可利用函数的单调性证明不等式。
例3 求证：x 2 >x1-2x)0(≠x .分析：此不等式变形后与偶函数相关，由此联想到构造f(x)= x 2 -x1-2x=)12(2)12(-+xx x ，易得f(-x)=f(x)，所以f(x)为偶函数.当x>0时，2x >1即f(x)= )12(2)12(-+x x x >0，又当x<0时，有-x>0，∴f(-x)=f(x)>0.综上所述,对0≠x 总有f(x)>0，即x 2 >x1-2x 。
浅谈用构造法证明不等式
故 ｘ ＋ｙ ＋２ 一２ ｙ 一（ ＋ ） ｙ ｚ 。 ｘｚ ｚ ｒ ＋ｘ （ —２ ） ｙ１ 一
‘１十 八 １
又１ 一１ｃ ＋ｓ ） Ｉ。导 ｃ导＋ （ ） （ ｏ ｉＯ一２ｓ （ｓ ＋ ＋ ￣ ｉ”－ ｎ ｃ 。
３ ６ 中学教学参考（ 中旬）２ １． ０ １ ２总第 ７ ７期
活掌握 ， 是颇 为有益 的．
【 ３ 已知 ｎ ０ ｂ 例 】 ＞ ，Ｙ ＞０且 ｎ ｂ １ 求 证 ：ｎ ＋ 一 ， （ ＋
信息知道其本质与二项式定 理有关 ， 么该 不等式就 可 那
以考 虑 运 用二 项 式 定 理 来证 明． 【 １ 求 证 ：ＥＮ 时 ， ・ １ ＜ ・ 例 】 ｎ ≤ ＋ ． 分 析 ： 证 明原 不 等 式 ， 要 只需 证 明 ： ≤ １ ＋ ＜ ， 亦 只需 证 明 ：≤ （＋ ） ３ ２ １ ” ． ＜
・ ．
） ｙ—（一） 丢 ２ ＋ ［ ２ 一 一 ＋ ｘ １ 吉 ］ ｄ． 。 ｛ ２ ｛ ２ ） ｛ ０ 一 ＋出≤ 一 ＋ （ 一 ≤ 一
一
１
．
解题 方 法ｓ技 巧 Ｈ Ｎ ＸＥ Ｊ Ｏ Ｕ ＡＫ Ｏ ＺＯ ＧＵ Ｉ ＸＥ ＣＮ Ａ Ａ
ｄ２ ２ ・ ＋ ｄ １ ‘ １＋ ） ｄ２ １巩 ‘１ ＋
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中学数学中不等式证明的构造法运用
4 ； 当 直 线 y=2x+m 与 椭 圆 上 半 部 分 相 3 切时 ，m 有最大值 。 y=2x+m 2 2 由 得 ：13m +4mx+m -4=0 2 2 9x +y =4
∠
令 △=4 （52-9m ）=0 得 ：
2
图 （4 ）
图 （1 ）
a+m a ［2］ ＞ . b+m b 证 明 ： 如 图 （1 ）， 在 Rt △ABC 及 Rt △ADF 中 ，AB=a ，AC=b ，BD=m ， 作 CE∥BD ∵△ABC∽△ADF a a+m a+m a+m = ∴ = ＜ b b+CF b+CE b+m 2. 构造多面体证明不等式
+∞ ） 上单调递增 . 又 f （0 ）=0 ，∴e -1-x1 2 x 成立 . 2
x
x 1 2 x ＞0 ， 即 x＞0 时 ，e ＞1+x+ 2
二 、 巧用向量证明不等式 向 量 兼 具 “数 ”与 “形 ”的 特 点 ，是 解 决 几 何 问 题 的 锐 利 武 器 ， 同时它也是解决具有特定结构的代数问题的重要工具 。 对 一些具有特定结构的不等式的证明 ， 认真分析不等式的条件 和 结 论 ，构 造 适 当 的 向 量 ，利 用 向 量 数 量 积 的 性 质 ，可 使 证 明 过程变得简捷 。 下面举例加以说明 。 例 2 ： 证 明 对 任 意 a ，b ，c ，d ∈R 恒 有 不 等 式 （ac+bd ） ≤ （a +
周刊 2011年第10期 ○ 数学教学与研究
中学数学中不等式证明的构造法运用
冉景龙
（ 昆明市东川区高级中学 ， 云南 昆明 摘 要 ： 运 用 构 造 法 解 决 不 等 式 问 题 ，不 但 可 以 深 化 对 相关数学知识的认识和理解 ， 而且可以沟通数学中不同知识 内容之间的内在联系 ， 是解决许多不等式问题的一种行之有 效的新方法 。 本文通过列举一些具体的例子来探讨怎样借助 构造法证明不等式 。 关键词 ： 高中数学 构造法 不等式证明 《 普通高中数学课程标准 （ 实验 ）》 指出 ：“ 高中数学新课程 应力求通过各种不同形式的自主学习 、 探究活动 ， 让学生体验 数学发现和创造的历史 ， 发展他们的创新意识 。 ” 在数学教学 中不断进行数学思想方法的渗透是培养学生创新能力的重要 措施 ， 其中构造法是一种富有创新 、 提升学生学习层面境界的 方法 ， 在数学问题解决中有着极为重要的作用 。 不等式的证明 历来是高中数学的难点 ， 也是考查学生数学能力的主要方法 。 对 于 不 等 式 的 证 明 ，方 法 灵 活 多 变 ，技 巧 性 强 ，而 有 些 不 等 式 的 证 明 如 用 常 规 的 方 法 处 理 ，可 能 难 以 奏 效 ，甚 至 无 从 下 手 ， 此 时 可 以 根 据 所 给 不 等 式 的 特 征 ， 巧 妙 构 造 适 当 的 函 数 、方 程 、 向量 、 几何图形 、 平面曲线等方法来证明 ， 可使证明过程变 得简捷 。 下面通过一些具体的例子来探讨怎样借助构造法证 明不等式 。 一 、 借助构造函数的方法证明不等式 函数思想与方程观点是贯穿在整个中学数学中的最重要 的思想方法和解题策略 ， 函数思想揭示了事物运动变化的规 律 ， 反映了事物间的相互关系 。 应用函数思想 ， 就是将所研究 的问题借助建立函数关系式 ， 抑或构造中间函数 ， 结合函数的 图 像 与 性 质 ，加 以 分 析 、转 化 ，解 决 有 关 求 值 ，解 （证 ）不 等 式 ， 解方程 ， 以及讨论参数的取值范围等问题 。 在高中数学学习过 程 中 ，我 们 常 遇 到 一 些 不 等 式 的 证 明 ，看 似 简 单 ，但 却 无 从 下 手 ， 很难找到切入点 ， 常用的证法很难奏效 。 这时我们不妨变 换思维角度 ， 从所证不等式的结构和特点出发 ， 构造一个新的 函数 ， 再借助导数确定函数的单调性 ， 利用单调性实现问题的 转化 ， 从而使不等式得到证明 。
用构造法证不等式例谈
4 (a1 + a2 + · · · + an)2 − 4n (a21 + a22 + · · · + a2n) 0, 即
(a1 + a2 + · · · + an)2
n
(a21
+
a22
+
·
·
·
+
a2 = · · · = an 时, 取“=”.
例 6 已知 a, b, c ∈ R+, 且 abc = 8, 求证: a + b + c +
设t =
cos A cos B cos C, 则有 cos2 C − cos(A − B) cos C + 2t = 0,
又 cos C ∈ R, 所 以 △ = cos2(A − B) − 8t 0, 所 以
8t
cos2(A − B)
1, 所 以 t
=
cos A cos B cos C
≤
1 .
8
当 A = B = C = 60◦ 时, 取“=”.
间: π)
− , − , − , − , − , 0 , 0, , , , , ,
23
36
6
6 63 32
据 抽 屉 原 则, αi(i = 1, 2, · · · 7) 至 少 有 两 个 角 在 同 一 区
间, 不 妨 设 为 α1, α2 且 α1
π
α2, 则 0
≤
α1 − α2
≤
, 6
而 tan (α1 − α2)
证明 为 斜 边.
由 题 设 可 知, a, b, c 设 a = c sin θ, b =
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例谈运用构造法证明不等式
在我们的学习过程中，常遇到一些不等式的证明，看似简单，但却无从下手，很难找到切入点，几种常用证法一一尝试，均难以凑效。
这时我们不妨变换一下思维角度，从不等式的结构和特点出发，在已学过的知识的基础上进行广泛的联想，构造一个与不等式相关的数学模型，实现问题的转化，从而使不等式得到证明。
下面通过举例加以说明。
一、构造向量证明不等式
例1：证明9)9(272≤-+x x ，并指出等号成立的条件。
简析与证明：不等式左边可看成7与 x 和2与29x -两两乘积的和，从而联想到数量积的坐标表示，将左边看成向量a=(7,2)与b=( x ,
29x -)的数量积， 又a ·b ≤|a |·|b | ，所以9)9(·)2()7()9(2722222=-++≤-+x x x x 当且仅当b=λa (λ>0)时等号成立，故由02
972
>--+λx x
得：x=7,λ=1，即 x =7时，等号成立。
例2：求证：61)62()3()122
2≥-++-++y x y x y －（ 简析与证明：不等式左边的特点，使我们容易联想到空间向量模的坐标表示，将左边看成a =(1－y , x +y －3 , 2x +y －6)模的平方，又 |a |·|b |≥a ·b ,为使 a ·b 为常数，根据待定系数法又可构造 b = (1 , 2 ，-1)
于是|a |·|b |=6·)62()3()1(222-++-++-y x y x y
a ·
b ＝
11·)62(2·)3(1·)1）－（＋－（--++-+y x y x y 所以16·)62()3()1(222≥-++-++-y x y x y 即
61)62()3()1222≥-++-++y x y x y －（ 二、构造复数证明不等式
例3、求证：22)1()1()1()1(22222222≥-+-++-+-+++y x y x y x y x
简析与证明：从不等式左边的结构特点容易联想到复数的模，将左边看成复数Z 1=
x +y i , Z 2 = x +（1－ y ）i ，Z 3 = 1－ x + y i ，Z 4 = 1－ x +（1－ y ）i 模的和，又注意到Z 1＋Z 2＋Z 3＋Z 4＝2＋2 i ，于是由 1z ＋2z ＋3z ＋4z ≥4321z z z z +++可得2222)1()1()1()1(2222222222-+≥-+-++-+-+++y x y x y x y x 此题也可构造向量来证明。
三、构造几何图形证明不等式
例4：已知：a>0、b>0、c>0 ,求证：222222c ac a c bc b b ab a ++≥
+-++-当且仅当c
a b 111+=时取等号。
简析与证明：从三个根式的结构特点容易联想到余弦定理，于是可构造如下图形：
图（1） 作OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，∠AOB=∠BOC=60° 如图（1）
则∠AOC ＝120°，AB=22b ab a +-，BC=22c bc b +-,AC=22c ac a ++ 由几何知识可知：AB ＋BC≥AC ∴22b ab a +-+22c bc b +-≥22c ac a ++
当且仅当A 、B 、C 三点共线时等号成立，此时有
︒=︒+︒120sin 2
160sin 2160sin 21ac bc ab ，即ab+bc=ac 故当且仅当c
a b 111+=时取等号。
四、构造椭圆证明不等式
例5：求证：3
132294342≤--≤-x x 简析与证明：294x -的结构特点，使我们联想到椭圆方程
及数形结合思想。
于是令 )0(942≥-=y x y ，则其图象是椭圆
14
9
42
2=+y x 的上半部分，设y-2x=m ，于是只需证3
13234≤≤-m , 因 m 为直线y=2x ＋m 在y 轴上的截距，由图（2）可知：当直线 y = 2 x ＋m 过点（
32，0）时，m 有最小值为m=34-
；当直线y =2x ＋m 与椭圆上半部分相切时，m 有最大值。
由 ⎩⎨⎧=++=49222y x m
x y 得：13x 2 + 4mx + m 2 – 4 = 0
令△= 4（52－9m 2）=0 得：3132=m 或3
132－=m （舍） 即m 的最大值为3
132，故3132m 34≤≤-，即3132294342≤--≤-x x 五、构造方程证明不等式
例6：设 a 1、a 2、…a n 为任意正数，证明对任意正整数n
不等式(a 1 + a 2 + … + a n )2 ≤ n ( a 12 + a 22 + … + a n 2 )均成立
简析与证明：原不等式即为 4 (a 1 + a 2 + … + a n )2－4n ( a 12 + a 22 + … + a n 2 ) ≤
图（2）
由此联想到根的判别式而构造一元二次方程：
( a 12 + a 22 + … + a n 2 ) x 2 + 2 (a 1 + a 2 + … + a n ) x + n=0 （＊）
因方程左边＝ (a 1 x + 1)2 + (a 2 x + 1)2 + … ＋ (a n x + 1)2 ≥ 0
当a 1、a 2、…a n 不全相等时，a 1 x +1、a 2 x +1、…a n x +1至少有一个不为0，方程（＊）左边恒为正数，方程（＊）显然无解。
当a 1＝a 2＝…＝a n 时，方程（＊）有唯一解 x ＝1
1a - 故△＝4 ( a 1 + a 2 + … + a n )2 － 4n ( a 12 + a 22 + … + a n 2 ) ≤ 0
即(a 1 + a 2 + … +a n )2 ≤ n ( a 12 + a 22 + … + a n 2 ) 对任意正整数n 均成立
六、构造数列证明不等式
例7：求证：C n 1+C n 2+…+C n n >21-n 2
·n 简析与证明：不等式左边即为 2n －1=2
121--n
从而联想到等比数列的求和公式，于是左边=1+2+22+…+ 2 n
－1=2
1[(1+2n-1) + (2+2n-2) + … (2n-1+1)≥21·n ·122-n =21-n 2·n 例8：设任意实数a 、b 均满足| a | < 1，| b | < 1 求证：ab
b a -≥-+-12111122 简析与证明：不等式中各分式的结构特点与题设联想到无穷等比数列（| q | < 1）各项和公式S ＝q a -11，则：221111b
a -+-=（1 + a 2 + a 4 + …）+（1 +
b 2 + b 4 + …） =2+（a 2 + b 2）+ ( a 4 + b 4) + … ≥2+2ab +2 a 2 b 2 + 2a 4b 4 + … =
ab
-12 七、构造函数证明不等式
例9：已知| a | < 1，| b | < 1，| c | < 1 ，求证：ab ＋bc ＋ca ＞－1
简析与证明：原不等式即为：（b ＋c ）a ＋bc ＋1>0 ……①
将a 看作自变量，于是问题转化为只须证：当－1＜a ＜1时，（b ＋c ）a ＋bc ＋1恒为正数。
因而可构造函数 f ( a ) = ( b + c ) a + bc +1 (－1＜a ＜1)
若b + c = 0原不等式显然成立。
若b + c ≠0，则f ( a ) 是a 的一次函数，f ( a ) 在（－1,1）上为单调函数
而 f ( -1 ) =－ b －c + bc +1＝（1－b ）（1－c ）＞0
f ( 1 )＝b ＋c ＋bc ＋1＝（1＋b ）（1＋c ）＞0
∴f ( a ) ＞0 即ab ＋bc ＋ca ＞－1
此题还可由题设构造不等式（1＋a ）（1＋b ）（1＋c ）＞0
（1－a ）（1－b ）（1－c ）＞0
两式相加得：2＋2（ab ＋bc ＋ca ）＞0即ab ＋bc ＋ca ＞－1
八、构造对偶式证明不等式
例10：对任意自然数n ，求证：(1+1)(1+
41)…(1+231-n ) > 313+n 简析与证明：设a n = (1+1)(1+
41)…(1+231-n ) = 12·45·78…5343--n n ·2313--n n 构造对偶式：b n = 23·56·89…4333--n n ·133-n n ，c n = 34·67·910…3323--n n ·n
n 313+ 13112311-+>-+n n ，n
n 3112311+>-+ 即a n > b n ，a n > c n
∴3n a > a n b n c n
∴a n > 313+n ，即：(1+1)(1+41)…(1+2
31-n ) > 313+n 小结：从以上几例还可以看出：（1）构造法不仅是证明不等式的重要思想方法，也是解不等式，求函数值域或最值的重要思想方法。
（2）运用构造法解题，必须对基础知识掌握的非常熟练，必须有丰富的联想和敢于创新的精神。
（3）不时机地运用构造法，定能激发和培养学生的探索精神与创新能力。
（本文于2004年在《高中数学教与学》第10期上发表）。