数式规律性问题专训
中考总复习数学02- 第二部分 专题二 规律性问题
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专题二 规律性问题—点坐标变换规律 类型三 点坐标变换规律
题型讲解
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点坐标变换型的题目主要考查了点的坐标规律,这类题目一般是点的坐 标在平面直角坐标系中递推变化或周期性变化.通过观察和归纳,从所给 的数据和图形中寻求规律是解答本类问题的关键.
例题 3
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专题二 规律性问题—点坐标变换规律
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（2）若第n个图案共有基础图形2 023个,则n的值是多少? 解：当1+3n=2 023时, 解得n=674, ∴n的值为674.
例题 2
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专题二 规律性问题—图形规律
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4.某矩形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三 角形地砖排列而成,图1表示此人行道的地砖排列方式,其中正方形 地砖为连续排列. 当正方形地砖只有1块时,等腰直角三角形地砖有6块（如图2 ）; 当正方形地砖有2块时,等腰直角三角形地砖有8块（如图3 ）,以此 类推.
排列,探究图形所反映的规律;另外一种是图形的变换规律,即根据一组
相关图案的变化,从中归纳图形的变换所反映的规律.在中考中以图形为
载体的数字规律最为常见.
例题 2
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专题二 规律性问题—图形规律
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方法点拨 数形规律题的解题关键是通过观察图形发现数量关系,并用代数式归纳 出规律,再进行验证,进而解决问题;图形变换规律题的解题关键是抓住 图形的变化特征,找出规律,进而解决问题.
例题 1
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专题二 规律性问题—竖式规律 例题1
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（ 2022·河北模拟）观察 1×49=49,2×48=96,3×47=141,…,23×27=621,24×26=624,25×25= 625,26×24=624,27×23=621,…,47×3=141,28×2=96,49×1=49.
专题训练(四) 数式规律探究问题的四种类型
专题训练(四)数式规律探究问题的四种类型►类型一探索数字的变化规律探索数字的排列规律，关键是找出前面几个数与自身序号数的关系，从而找出一般规律，进而解决问题．数阵中的排列规律的探究一般都是先找一个具有代表性的数(设为某个字母)作为切入点，然后找出其他数与该数的关系，并用含所设字母的式子表示出来，从而解决相关问题．1．在一列数：a1，a2，a3，…a n中，a1＝7，a2＝1，从第三个数开始，每一个数都等于它前面两个数之积的个位数字，则这个数中的第2020个数是()A．1 B．3 C．7 D．92．将正整数1～2020按一定规律排列如下表：上下平移表中带阴影的方框，则方框中五个数的和可以是()A．2018 B．2019 C．2020 D．20213．如图4－ZT－1，在2020年10月份的月历表上，任意圈出一个正方形，则下列等式中错误的是()图4－ZT－1A．a＋d＝b＋cB．a－c＝b－dC．a－b＝c－dD．d－a＝c－b4．如下表，从左到右在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，则第2020个格子中的数为( )A.4B ．3C ．0D ．－2► 类型二 探索单项式的变化规律单项式的变化规律由系数、字母以及字母的指数确定，探索一组单项式的变化规律，其中字母通常是固定不变的，因此需要探索的是系数和字母的指数的变化规律，这可以转化为探索有理数的变化规律．系数的符号正、负或负、正交替出现时，其规律用式子(－1)n ＋1或(－1)n 表示．5．观察下面的一列单项式：－x ，2x 2，－4x 3，8x 4，－16x 5，…，根据其中的规律，得出第10个单项式是( )A ．－29x 10B ．29x 10C ．－29x 9D ．29x 96．观察下列各式：0，x ，x 2，2x 3，3x 4，5x 5，8x 6，…，按此规律写出的第10个式子是________．7．一组按照规律排列的式子：x ，x 34，x 59，x 716，x 925，…，其中第8个式子是________，第n 个式子是________(用含n 的式子表示，n 为正整数)．8．观察下列一串单项式的特点：xy ，－2x 2y ，4x 3y ，－8x 4y ，16x 5y ，…. (1)按此规律写出第9个单项式；(2)第n (n 为正整数)个单项式为多少？它的系数和次数分别是多少？►类型三探索图形的变化规律探索图形的变化规律有两种方法：一是从形着手，即比较前后图形的异同，找出由前一个图形到后一个图形的变化方式，从而确定图形的变化规律；二是从数着手，即分别计算出前面几个特殊图形的相关数据，然后探索这些数据的变化规律．9．用棋子摆出如图4－ZT－2所示的一组图形：图4－ZT－2()A．3n B．6nC．3n＋6 D．3n＋310．2019·大庆归纳“T”字形，用棋子摆成的“T”字形如图4－ZT－3所示，按照图①，图②，图③的规律摆下去，摆成第n(n为正整数)个“T”字形需要的棋子个数为________．图4－ZT－311．观察如图4－ZT－4所示的“蜂窝图”：图4－ZT－4则第n(n是正整数)个图案中“”的个数是________．(用含n的式子表示)12．如图4－ZT－5是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成的，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律，第n(n是正整数)个图案中有________个涂有阴影的小正方形．(用含n的式子表示)图4－ZT－513．观察下列砌钢管的横截面(如图4－ZT－6)，则第n(n是正整数)个图中的钢管数是__________．(用含n的式子表示)图4－ZT －614．将一些半径相同的小圆按图4－ZT －7所示的规律摆放：第1个图形中有6个小圆，第2个图形中有10个小圆，第3个图形中有16个小圆，第4个图形中有24个小圆……依此规律，第n (n 是正整数)个图形中有__________个小圆．(用含n 的式子表示)图4－ZT －7► 类型四 探索等式的变化规律探索等式的变化规律时，要注意观察等式两边数据的个数，分析各数据间的数量关系，然后用字母表示这组等式．注意：当字母在指定的范围内取最小值时，所得等式要恰好是第1个等式．15．已知下列等式：1＝12，1＋2＋1＝22，1＋2＋3＋2＋1＝32，….根据以上等式，猜想：对于正整数n (n ≥4)，1＋2＋…＋(n －1)＋n ＋(n －1)＋…＋2＋1＝________．16．已知2＋23＝22×23；3＋38＝32×38； 4＋415＝42×415；… 若10＋a b ＝102×ab (a ，b 为正整数)，则a ＋b ＝________．17．观察下列等式： 第一行：3＝4－1； 第二行：5＝9－4； 第三行：7＝16－9； 第四行：9＝25－16； … …按照上述规律，第n (n 为正整数)行的等式为________________．18．观察下列各式：13＝12，13＋23＝32，13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102，….(1)说出等式左边各个幂的底数与右边幂的底数之间有什么关系；(2)利用上述规律写出第n(n为正整数)个等式．教师详解详析1．C [解析] 依题意得：a 1＝7，a 2＝1，a 3＝7，a 4＝7，a 5＝9，a 6＝3，a 7＝7，a 8＝1，…， 周期为6，2020÷6＝336……4， 所以a 2020＝a 4＝7. 故选C.2．C [解析] 从表中正整数1～2020的排列情况来看，每一行是8个数，也就是每一列下面的数减去上面的数是8.随着方框的上下平移，可表示出其变化规律的表达式为：2＋8n ，3＋8n ，4＋8n ，5＋8n ，6＋8n ，将这五个数相加为40n ＋20，用四个答案中的数来尝试，可见只有40n ＋20＝2020时，n 为整数．故选C. 3．D4．A [解析] 因为任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，所以4＋a ＋b ＝a ＋b ＋c ，解得c ＝4，a ＋b ＋c ＝b ＋c ＋(－2)，解得a ＝－2.所以数据从左到右依次为4，－2，b ，4，－2，b ，第9个数与第三个数相同，即b ＝3.所以每3个数“4，－2，3”为一个循环组依次循环．因为2020÷3＝673……1，所以第2020个格子中的数与第1个格子中的数相同，为4.故选A.5．B6．34x 9 [解析] 从第二项起，字母的指数是连续的正整数；从第三项起，每一项的系数是它前面两项系数的和．所以第8，9，10项分别是13x 7，21x 8，34x 9.7.x 1564 x 2n －1n 2[解析] 根据分子的底数都是x ，而指数是从1开始的奇数；分母是从1开始的自然数的平方．因此第8个式子是x 2×8－182＝x 1564，第n 个式子是x 2n －1n 2.故答案为x 1564，x 2n －1n 2.8．解：(1)因为当n ＝1时，单项式为xy ， 当n ＝2时，单项式为－2x 2y ， 当n ＝3时，单项式为4x 3y ， 当n ＝4时，单项式为－8x 4y ， 当n ＝5时，单项式为16x 5y ，所以第9个单项式是29－1x 9y ，即256x 9y. (2)第n(n 为正整数)个单项式为 (－1)n ＋12n －1x n y ，它的系数是(－1)n ＋12n －1，次数是n ＋1.9．D [解析] 解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”的增加，后一个图形与前一个图形相比，在数量上如何变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论．因为第①个图形中棋子的个数为3＋3＝6； 第②个图形中棋子的个数为3×2＋3＝9； 第③个图形中棋子的个数为3×3＋3＝12；… 所以第○n 个图形中棋子的个数为3n ＋3.故选D.10．3n ＋2 [解析] 由图可得，图①中棋子的个数为3＋2＝5，图②中棋子的个数为5＋3＝8，图③中棋子的个数为7＋4＝11……则第n(n 为正整数)个“T”字形需要的棋子个数为(2n ＋1)＋(n ＋1)＝3n ＋2.11．3n ＋1 [解析] 根据题意可知，第1个图案中有4个“”，第2个图案中有7个“”，第3个图案中有10个“”，第4个图案中有13个“”，由此可得出后一个图案都比前一个图案多3个“，所以第n 个图案中“”的个数为4＋3(n －1)＝3n ＋1.故答案为3n ＋1.12．(4n ＋1) [解析] 第1个图中有5个阴影小正方形，从第2个图起，每个图中的阴影小正方形个数都比前一个图中多4，所以第n(n 为正整数)个图中阴影小正方形的个数＝5＋4(n －1)＝4n ＋1.13.32n(n ＋1) [解析] 第1个图中钢管数为1＋2＝3， 第2个图中钢管数为2＋3＋4＝12×(2＋4)×3＝9，第3个图中钢管数为3＋4＋5＋6＝12×(3＋6)×4＝18，第4个图中钢管数为4＋5＋6＋7＋8＝12×(4＋8)×5＝30，…依此类推，第n 个图中钢管数为n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋(n ＋3)＋(n ＋4)＋2n ＝12(n ＋2n)(n ＋1)＝32n(n ＋1)．14．(n 2＋n ＋4) [解析] 由题意可知第1个图形中有小圆4＋1×2＝6(个)；第2个图形中有小圆4＋2×3＝10(个)；第3个图形中有小圆4＋3×4＝16(个)；第4个图形中有小圆4＋4×5＝24(个)；第5个图形中有小圆4＋5×6＝34(个)；第6个图形中有小圆4＋6×7＝46(个)……第n 个图形中有小圆4＋n(n ＋1)＝(n 2＋n ＋4)个．15．n 2 [解析] 观察发现，等式右边是等式序号数的平方．16．109 [解析] 仔细观察式子特点可知：3＝22－1，8＝32－1，15＝42－1，故当a ＝10时，b ＝102－1＝99，则a ＋b ＝10＋99＝109.17．2n ＋1＝(n ＋1)2－n 218．解：(1)等式左边各个幂的底数之和等于右边幂的底数． (2)13＋23＋33＋…＋n 3＝[n （n ＋1）2]2.。
(完整)初中数学找规律专项练习题(有答案)
1、观察规律：1=12；1+3=22；1+3+5=32；1+3+5+7=42；…，则2+6+10+14+…+2014的值是。
2、用四舍五入法对31500取近似数，并精确到千位，用科学计数法可表示为．3、观察下面的一列数：0，﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6…请你找出其中排列的规律，并按此规律填空．（1）第10个数是，第21个数是．（2）﹣40是第个数，26是第个数．4、一组按规律排列的数：，，，，…请你推断第9个数是．5、计算：__________；（-2）100+（-2）101= .6、若,则＝__________.7、大肠杆菌每过20分便由1个分裂成2个，经过3小时后这种大肠杆菌由1个分裂成__________个。
8、猜数字游戏中，小明写出如下一组数：，，，，…，小亮猜想出第六个数字是，根据此规律，第n个数是9、10、若与｜b+5|的值互为相反数，则 =____ ____11、在计数制中，通常我们使用的是“十进位制”，即“逢十进一”.而计数制方法很多，如60进位制：60秒化为1分，60分化为1小时；24进位制：24小时化为1天；7进位制：7天化为1周等…而二进位制是计算机处理数据的依据.已知二进位制与十进位制的比较如下表：0 1 2 3 4 5 6 …十进位制二进制0 1 10 11 100 101 110 …请将二进位制10101010(二)写成十进位制数为 .12、为求值，可令S=，则2S＝，因此2S-S＝，所以＝。
仿照以上推理计算出的值是_________________。
二、选择题（每空？分，共？分）13、的值是……………………………………………【】A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．114、已知8.62＝73.96，若x2＝0.7396，则x的值等于（）A 86. 2B 862C ±0.862D ±86215、计算：(－2)100+(－2)101的是（）A.2100B.－1C.－2D.－210016、计算等于( ) ．A．B．C．D．17、已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为1， p是数轴到原点距离为1的数，那么的值是 ( )．A．3 B．2 C．1 D．018、若，则的大小关系是 ( )．A． B． C． D．19、观察下列等式：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2 187，….解答下列问题：3+32+33+34+…+32 013的末尾数字是( )A.0B.1C.3D.720、计算机是将信息转化成二进制进行处理的，二进制即“逢二进一”。
数字找规律练习题
数字找规律练习题1. 数字找规律练习题在数学中，找规律是一种常见的解题方法。
通过观察数字序列中的规律，我们可以推断出数列中缺失的数字，解开难题。
本文将提供一些数字找规律练习题，帮助读者提高观察能力和解题能力。
2. 练习题一：奇数序列观察以下数列，请找出其中的规律并写出缺失的数字：1, 3, _, 7, _, 11, _, 15, _根据观察，这是一个递增的奇数序列。
我们可以发现，每两个连续的数字之差为4。
因此，我们可以填写缺失的数字为5和9。
答案：1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 173. 练习题二：等差数列观察以下数列，请找出其中的规律并写出缺失的数字：2, 6, 10, _, 18, _, 26, 30, _这是一个递增的等差数列。
每两个连续的数字之差为4。
因此，可以填写缺失的数字为14和22。
答案：2, 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30, 344. 练习题三：斐波那契数列观察以下数列，请找出其中的规律并写出缺失的数字：1, 1, 2, _, 5, 8, _, 21, 34, _这是一个著名的数学数列，被称为斐波那契数列。
每个数字都是前两个数字之和。
因此，可以填写缺失的数字为3和13。
答案：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 555. 练习题四：乘法表观察以下数列，请找出其中的规律并写出缺失的数字：1, 2, 4, 7, 11, 16, _, 26, 33, _这是一个按乘法表生成的数列。
每个数字都是前一个数字加上一个递增的值。
观察每个数字和它的位置之间的关系，可以发现规律：每个数字的位置和它的值之差在递增，依次为1, 2, 3, 4, 5...因此，可以填写缺失的数字为22和44。
答案：1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, 26, 33, 41, 496. 练习题五：平方数列观察以下数列，请找出其中的规律并写出缺失的数字：1, 4, _, 16, _, 36, _, 64这是一个平方数列。
中考数学专题训练：规律探索——数式规律(附参考答案)
中考数学专题训练：规律探索——数式规律（附参考答案）1．按一定规律排列的单项式：a，√2a2，√3a3，√4a4，√5a5，…，第n个单项式是( ) A．√n B．√n−1a n-1C．√n a n D．√n a n-12．在如图所示的运算程序中，若开始输入x的值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第二次输出的结果为12……则第2 023次输出的结果为( )A．6 B．3C．622 021D．322 0223．将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4行第3列的数为27，则位于第32行第13列的数是( )A．2 025 B．2 023C．2 021 D．2 0194．根据图中数字的规律，若第n个图中的q＝143，则p的值为( )A．100 B．121C．144 D．1695．按一定规律排列的单项式：a2，4a3，9a4，16a5，25a6，…，第n个单项式是( ) A．n2a n+1B．n2a n-1C．n n a n+1D．(n＋1)2a n6．根据图中数字的排列规律，在第⑦个图中，a－b－c的值是( )A．62 B．64C．－66 D．－1907．将从1开始的连续自然数按以下规律排列：若有序数对(n，m)表示第n行，从左到右第m个数，如(3，2)表示6，则表示99的有序数对是______________．8．根据图中数字的规律，则x＋y的值是_______．.例9．对于正整数a，我们规定：若a为奇数，则f(a)＝3a＋1；若a为偶数，则f(a)＝a2＝5.若a1＝8，a2＝f(a1)，a3＝f(a2)，a4＝f(a3)，…，如f(15)＝3×15＋1＝46，f(10)＝102依此规律进行下去，得到一列数a1，a2，a3，a4，…，a n，…，(n为正整数)，a1＋a2＋a3＋…＋a2 022＝__________．参考答案1．C 2．A 3．B 4．B 5．A 6．A 7．(10，18) 8．593 9．4 725。
小学生数字规律练习题
小学生数字规律练习题数字规律练习题是帮助小学生培养观察力和逻辑思维能力的有效方式。
以下是一些练习题，适合不同年级的小学生：1. 递增规律：请找出下列数字序列的规律，并填写下一个数字。
- 2, 4, 6, 8, ____- 解答：每个数字比前一个数字大2，所以下一个数字是10。
2. 递减规律：观察下列数字序列，找出规律并填写下一个数字。
- 10, 7, 4, 1, ____- 解答：每个数字比前一个数字小3，所以下一个数字是-2。
3. 乘法规律：下列数字序列遵循乘法规律，请找出规律并填写下一个数字。
- 2, 6, 18, 54, ____- 解答：每个数字是前一个数字的3倍，所以下一个数字是162。
4. 除法规律：观察下列数字序列，找出规律并填写下一个数字。
- 100, 50, 25, 12.5, ____- 解答：每个数字是前一个数字的一半，所以下一个数字是6.25。
5. 加法和乘法混合规律：下列数字序列中，每个数字是前一个数字加上一个递增的数，然后乘以2，请找出规律并填写下一个数字。
- 1, 3, 7, 15, ____- 解答：第一个数字是1，第二个数字是1+2=3，然后乘以2得到6，第三个数字是6+4=10，然后乘以2得到20，依此类推。
所以下一个数字是15+8=23，然后乘以2得到46。
6. 减法和除法混合规律：观察下列数字序列，找出规律并填写下一个数字。
- 100, 90, 81, 72.9, ____- 解答：每个数字依次减去10，然后除以10。
所以下一个数字是72.9-10=62.9，然后除以10得到6.29。
7. 周期性规律：下列数字序列有周期性规律，请找出规律并填写下一个数字。
- 1, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 2, ____- 解答：这个序列每3个数字为一个周期，即1, 2, 3，然后重复。
所以下一个数字是1。
8. 特殊规律：下列数字序列遵循一个特殊规律，请找出规律并填写下一个数字。
代数找规律专项练习60题(有答案)
代数找规律专项练习60题(有答案)1 .数的运算中有一些有趣的对称，请你仿照等式“12 X231=132 X21 ”的形式完成：(1)___________________ 18 X891= ___ X ______________________ ； ( 2) 24 X231= X2 .观察下列算式：2①1 X3 - 2 =3 - 4= - 12②2 X4 - 3 =8 - 9= - 12③3 X5 - 4 =15 - 16= - 1④_______(1 )请你按以上规律写出第4个算式； ______________(2)把这个规律用含字母的式子表示出来； .3 .观察下列等式9 -仁816 - 4=1225 - 9=1636 - 16=20这些等式反映自然数间的某种规律，请用含n (n为正整数)的等式表示这个规律_________________4 •小明玩一种游戏，每次挪动珠子的颗数与对应所得的分数如下表：挪动珠子数(颗) 2 3 45 6对应所得分数(分) 2 6 12 20 30①那么：挪动珠子7颗时，所得分数为 ____________ ;②当对应所得分数为132分时，挪动的珠子数为_______________ 颗.1 12 13 14 1 5卫工亠匸■工 a 72a J3a/ 4込' 5旦'5.观察下列一组分式: n个分式为6 .某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，按此规律，5小时后细胞存活的个数是________________ .7 .观察表格，当输入8时，输出_____________ .输入123456-输出 3 4 5 6 7 8 -8 .观察下列各式，2箱=根|, 3聽=店身，彳% = _____________________ ，请你将发现的规律用含自然数n ( n > 2)的式子表示为___________ .2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 29.观察下列等式：3 +4 =5 ; 5 +12 =13 ; 7 +24 =25 ; 9+40 =41…按照这样的规律，第七个等式是： ____________________ . 10•观察这组数据：2，冇三弓「按此规律写出这组数据的第n个数据，用n表示为——11 . 一列小球按如下图规律排列，第20个白球与第19个白球之间的黑球数目是________________ 个.2 2 2 212 .观察下列各个算式： 1 X3+1=4=2 ; 2X4+1=9=3 ; 3X5+1=16=4 ; 4X6+1=25=5 ;根据上面的规律，请你用一个含n (n > 0的整数)的等式将上面的规律表示出来_________________ .2 2 2 213 .观察下列各式，你会发现什么规律 1 X3=1 +2 X1 , 2X4=2 +2 X23 X5=3 +2 X3 , 4^6=4 +2 X4,…请你将猜到的规律用正整数n表示出来：_____________ .14 .观察下列式子：2(x+1 ) (x - 1) =x - 12 3(x +x+1 ) (x- 1) =x - 13 2 4(x +x +x+1 ) ( X - 1) =x - 1, 4 3 2 、，、5(x +x +x +x+1 ) (x- 1) =x - 1请你根据以上式子的规律计算：1+2+2 2+2 3 4+ "+2 62+2 63= _________ .15 .观察下列各式：9 X0+1=1 ；9X1+2=11 ; 9 X2+3=21 ; 9 X3+4=31 ;-将你猜想到的规律用含有字母n （n为正整数）的式子表示出来：___16 .观察下列算式：24X1 X2+1=34 X2X3+l=5 224 X3 X4+l=724 X4X5+1=9用代数式表示上述的规律是_____________ .17 •观察如图所示的三角形阵：则第50行的最后一个数是_____________I2 34 ~5 C7 S 9 1011 12 13 14 1?18 .已知--丨—— :一」 “ 19 .下列各式是个位数为 5的整数的平方运算：2 2 2 2 215 =225 ; 25 =625 ; 35 =1225 ; 45 =2025 ; 55 =3025 ;2观察这些数都有规律，如果 x =9025，试利用该规律直接写出 x 为 ____________ .2 2 2 220 .观察下列各式：2 - 1=1 X 3, 3 -仁2 X 4, 4 -仁3 X5, 5 -仁4 X6，…，根据上述规律，第 n 个等式应表示为 21•观察上面的一系列等式：2 2 2 2 2 2 2 23 - 1 =8 X 1； 5 - 3 =8 X 2; 7 - 5 =8 X3; 9 - 7 =8 X 4; 则第n 个等式为 ____________ .23•已知2-P |=22X-^F缺畚4冬寻5為二护X 寺■…，按照这种规律，若畤二护a 、b 为正整数）则 a+b= ___________ .24 .观察下列各式：|Q d 4 E R2X2=2+2，豆X3书+3, = 巧乜，玄況迁+5,… 用含有字母n （其中n 为正整数）的等式表示你发现的规律:25 .观察下面数阵：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 …2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 …3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 …4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 …5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 …位于第2行和第2列的数为3，位于第3行和第1列的数为3，由此推知位于第 n+2行和第n 列的数是_________ .（请用含n 的代数式表示，n 为正整数）26 .观察下列一组数：1,- 2, 4,- 8, 16,- 32,…顺次写下去，写到第 2011个数是 ______________________ .3 3 327 .大于或等于2的自然数的3次方有如下的分拆规律：2 =3+5 ,3 =7+9+11 ,4 =13+15+17+19 ，…根据上述的3 分拆规律，贝U 5 = ________ .十丁「…，依据上述规律，则遊22 .已知一列数, 112 112 3 2 11卞 I' 2, 1' 3' 51 3" 3* 1 …那么下是第 _________ 个数.28 •观察下列各等式：一 1-4 7-4 2-4 6-4 3_4 5- 4 10_4 -2-4 各等式成立的规律，若使等式 一^―+~~ 二2成立，贝U m= ______________ , n= __________ . 19-4 m- 429 .观察下列等式：2 2第1个等式：4 - 1 =3 X5;2 2第2个等式：5 - 2 =3 X 7;2 2第3个等式：6 - 3 =3 X9;9 9第4个等式：7 - 4 =3 X 11；则第n (n 是正整数)个等式为 _______________30 •如图各圆中三个数之间都有相同的规律，根据这个规律，探索第 式表示).31 .体育馆的某个区域的座位，第一排是 20个座位，以后每增加一排，座位就增加2个.如果用字母a n 表示每排 的座位数，用n 表示排数.请填写表格，并回答问题：(1) 填写下表：排数n 1 2 3 4 5…20 …座位数a n(2 )第10排有多少个座位？(3 )第n 排有多少个座位？(4)其中某一排的座位是 118个，那么它是第几排？ 32 •观察下列两组算式， 回答问题：第一组 第二组2①0+仁1 ①0=-・丨=2 ②1+3=2②仁丄空八门2 1③3+6=3 ③ 3= ::-2④6+10=4 ④ 6=-：'^.X.■■:⑤⑥.根据以上 n 个圆中的m= (用含n 的代数(1) 根据第一组①T④式之间和本身所反映出的规律，继续完成第⑤⑥式(直接填在横线上)(2) 学习第二组对第一组各式第一个数的分析，寻找规律，将第一组的第n个式子表示出来.33 •研究下列算式，你会发现什么规律？2 2 2 21 X3+1=4=2 2X4+1=9=3 3X5+1=16=4 4X6+1=25=5(1)请你找出规律井计算7X9+1 =(2) (3) 计算: 用含有n 的式子表示上面的规律：______________ • 用找到的规律解决下面的问题：(1一 1 (H ― ) (1+—(1+― ) -■ 1X3 2X4 3X5 4X6 C1+Wii34 •树的高度与树生长的年数有关，测得某棵树的有关数据如下表: (树苗原高100厘米)n 年的树苗的高度a n ；(2)生长了 11年的树的高度是多少？35 .将2007减去它的g ,再减去余下的 丄，再减去余下的二， 此时余下的数是多少？再减去余下的，-，最后减去余下的 2006 2007 2 2 2 2 2 2 2 236 .观察下列等式： 3 - 1 =8 X 1 ； 5 - 3 =8 X 2; 7 - 5 =8 X 3; 9 - 7 =8 X 4;__ 2 2(1)根据上面规律，若 a - b =8 X 10，贝y a= ____________ , b= __________(2)用含有自然数n 的式子表示上述规律为 ________________37 .将连续的奇数1、3、5、7…排成如图所示的数阵：(1)如图，十字框中五个数的和与框正中心的数 17有什么关系？(2 )若将十字框上下、左右平移，可框住另外五个数，这五个数的和与框正中心的数还有这种规律吗？请说明理由； (1)用含有字母n 的代数式表示生长了15 11 13 r17 |>21 托29 £3 趺 3741 •■上F140 . (1)有自然数列：0, 1 , 2, 3, 4, 5, 6，…① 按顺序从第2个数数到第6个数，共数了 _____________ 个数；② 按顺序从第 m 个数数到第n 个数(n > m ),共数了 ________________ 个数;(2) 对于奇数数列：1, 3, 5,乙9，…按顺序从数3数到数19,共数了 _______________ 个数；(3 )对于整百数列：100, 200 , 300 , 400 , 500 ,…按顺序从数500数到数2000，共数了 ______________ 个数.41 .仔细观察下列四个等式38 .计算并填写下表：n1 2 3 10 100 1000 d 2n-l 1 --------- n(1 )请你描述一下所填的这一列数的变化规律；2n 耳1(2 )当n 非常大时， '的值接近什么数?n 39 .观察下列各式:(1 )你能探索出什么规律？(用文字或表达式)]X _______ 2007 ^008 (- 1 2008-1 X —= - 1+—知「Id(2)试运用你发现的规律计算:(-1 X2X3 X4+1=25=52 X3X4 X5+1=121=1123 X4X5 X6+1=361=1924 X5X6 X7+1=841=29(1)观察上述计算结果，找出它们的共同特征.(2)以上特征，对于任意给出的四个连续正整数的积与1的和仍具备吗？若具备，试猜想，第n个等式应是什么?给出你的思考过程(3)请你从第10个式子以后的式子中，再任意选一个式子通过计算来验证你猜想的结论.42 .观察下列等式，并回答有关问题:严2 二亍X 2 X 3 ；3 3 3 1 t2L十2十3彳X 3 X 4 ;,3 3 3 3 1 2 2l J+2J+3 +4 =^X 4x 5 ;3 3 3 3(1 )若n为正整数，猜想 1 +2 +3 + "+ n = ________ ;3 3 3 3 2(2) 利用上题的结论比较1 +2 +3 +・・+ 100与5000的大小.43 .观察下面三行数：①2, - 4, 8 , - 16 , 32 , - 64,…；②0，- 6, 6 , - 18, 30，- 66,…；③ 1 , - 2, 4 , - 8, 16 , - 32，…；(1)第①行数按什么规律排列？(2)第②③行数与第①行数分别有什么关系？(3)取每行数的第8个数，计算这三个数的和.44 .下列各组算式，观察它们的共同特点：7 X9=63 11 X13=143 79 X8仁63998 X8=64 12 X12=144 80 X80=6400从以上的计算过程中，你发现了什么？请用字母表示这一规律，并说明它的正确性.45 .观察下列各式：2(X—1) ( x+1 ) =x - 12 3(X- 1 ) ( X +X+1 ) =X - 13 2 4(X- 1 ) ( X +X +X+1 ) =X - 1 由上面的规律:, 5 4 3 2，…亠 (1 )求 2 +2 +2 +2 +2+1 的值； / 、亠 20112010 2009 2008 厶匚人八、仏宀 (2)求2 +2 +2 +2 +・・+2+1的个位数字. (3)你能用其它方法求出 +亠+2 2246 .我们把分子为1的分数叫做单位分数，如寺寺+…，任何一个单位分数都可以拆分成两个不同的单位分数(1 )把 写成两个单位分数之和； 9(2)把丄表示成两个单位分数之和(n 为大于1的整数).11 47 .观察下列各式，并回答问题21+3=4=2 21+3+5=9=3 21+3+5+7=16=4 21+3+5+7+9=25=5 (1) 请你写出第10个式子；(2) 请你用含n 的式子表示上述式子所表述的规律；(3) 计算 1+3+5+7+9 ••+1003+1005+ ••+2009+2011 ；(4) 计算:1005+1007+ ••+2009+2011 .48 .观察下列等式 12X 231=132 X2113 X 341=143 X 3123 X 352=253 X 3234 X 473=374 X 4362 X286=682 X 26以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同的规律，我们称这 类等式为“数字对称等式”.(1 )根据上述各式反应的规律填空，使式子称为“数字对称等式”.① 52 X _________ = __________ X25② _________ X 396=693 X __________(2)设这类等式左边两位数的十位数字为 a ,个位数字为b ，且2 < a+b < 9则等式右边的两位数可表示为_________ ，等式右边的三位数可表示为 ______________ ； (3) 在(2)的条件下，若a - b=5，等式左右两边的两个三位数的差; 的和，如制4｛制电，咼咗…观察上述式子的规律:49 .从2开始，将连续的偶数相加，和的情况有如下规律：2=1 X2 ,2+4=6=2 X3,2+4+6=12=3 X4,2+4+6+8=20=4 X5,2+4+6+8+10=30=5 X6,2+4+6+8+10+12=42=6 X7,按此规律，(1 )从2开始连续2011个偶数相加，其和是多少?(2)从2开始连续n个偶数相加，和是多少？(3)1000+1002+1004+1006+ --+2012 的和是多少？50 .从2开始，连续的偶数相加，它们和的情况如下表: 加数n的个数和S1 2=1 X22 2+4=6=2 X33 2+4+6=12=3 X44 2+4+6+8=20=4 X55 2+4+6+8+10=30=5 X6当n个最小的连续偶数(从2开始)相加时，它们的和与n之间有什么样的关系，请用公式表示出来，并由此计算:①2+4+6+ "202 的值；②126+128+130+ --+300 的值.51•探索规律观察下面由※组成的图案和算式，解答问题:(1) 请猜想1+3+5+7+9+ --+19= ________ ;(2) 请猜想1+3+5+7+9+ ••+ ( 2n - 1) = ________(3)请用上述规律计算：103+105+107+…+2003+20051-3-S=9= 3s1-3-H5+7=16=421+3+5+^7+9 =25=5:52 •大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题：1+2+3 --+100= ?，经过研究，这个问题的一般性结论是1+2+3 ・・+n= —r ■，其中n是正整数，现在我们来研究一个类似的问题： 1 X2+2 X3+ - + n (n+1 ) = ?观察下面三个特殊的等式：1X2=4 (1 X2X3-0X1X2)2 X 3=-； (2 X3 X4 - 1X 2 X 3)5X4=- (3X4X5- 2X3X4)3 将这三个等式的两边相加，可以得到 1 X2+2 X 3+3 X 4=丄X 3 X4 X5=203读完这段材料，请尝试求(要求写出规律) ：(1) 1 X2+2 X 3+3 X 4+4 X5= ?(2) 1 X2+2 X 3+ - + 100 X 101= ?(3) 1 X2+2 X 3+ ••+ n (n+1 ) = ?53 .按一定规律排列的一列数依次为 I 丄，一,—•2 2 2 2 (1) 请写出这列数中的第 6个数；(2) 如果这列数中的第 n 个数为a n ,请用含有n 的式子表示a n ；(3) 分数 ¥是否为这列数当中的一个数，如果是，请指出它是第几个数，如果不是，请找出这列数中与它最接近 的那个数.54 .观察下列等式，你会发现什么规律:21 X 3+1=2 22X 4+1=3 23X5+1=4 24 X6+1=5 请将你发现的规律用仅含字母 n (n 为正整数)的等式表示出来，并说明它的正确性.55 .观察下面的一列数： 1 _丄亠j_ _______________________3 I2^T2=3X4 L . .15 4 1 15_ _20 20_ _20_(1)用只含一个字母的等式表示这一列数的特征; 1_丄二3_上二丄二12 了花帀肓2X3)1(2)利用(1)题中的规律计算： 一一 |亠•丄一_：丄56 .观察下面一列数，探求其规律：1 _1 1 1 ... '3’ 孑号‘ 6'(1) 请问第7个，第8个，第9个数分别是什么数？(2) 第2004个数是什么如果这列数无限排列下去，与哪个数越来越接近?57 .有一列数，第一个数为 X 1 = 1，第二个数为X 2 = 3，从第三个数开始依次为 X 3, X 4，…X n ，从第二个数开始，每个 数是左右相邻两个数和的一半如: 包二 鳥 3.(1)求第三、第四、第五个数，并写出计算过程；(2)根据(1)的结果，推测X 9= _______(3)探索这些户一列数的规律，猜想第 k 个数X k = ___________2 2 258 .观察下列各式：1 X2 X 3X 4+1=5 = ( 1 +3 X 1 + 1 ),2 2 、 22 X 3X 4 X 5+1=11 = (2 +3 X2+1 ),(1) 根据你观察、归纳、发现的规律，写出8 X9 X 10X 11+1的结果； (2) 试猜想：n (n+1 ) (n+2 ) (n+3 ) +1是哪一个数的平方？并说明理由.59. (1) 若 2x - 3y=8 , 6x+4y=19，求 16x+2y 的值;(2 )观察下列各式：X 2=^+2 ,(亍1 ) 1 q +1) ① 想一想，什么样的两数之积等于两数之和；② 设n 表示正整数，用关于 n 的等式表示这个规律. 2 3 X 4X5 X6+1=19 = 2 2 (3+3 X 3+1 ),2 4 X5X6 X 7+1=29 = 2 2 (4 +3 X 4+1 ),彳X2= (亍1) 3X 33,4 X 4= +4 ,3 5X 5=—+5 ,42 2 260. (1)观察：1=1 , 1+3=2 , 1+3+5=3 …可得1+3+5+ ••+ (2n - 1) = _________ .如果1+3+5+ --+x=361 ,则奇数x的值为 _______________ .X3 /、沖宀“(1+3) X2 (1+5) X3(2 )观察式子：1+肛 --------- ---- ；1+即5二 ----- - ---- ;1+3+5+7=按此规律计算1+3+5+7+ --+2009= ________ .代数找规律专项练习60题参考答案1 .数的运算中有一些有趣的对称，请你仿照等式“12 X231=132 X21 ”的形式完成: (1)18 X891= 198 X 81 ; (2) 24X23仁132 X 42 .22. (1)①1 X3 - 2 =3 - 4= - 1 ,2②2 X4 - 3 =8 - 9= - 1 ,2③3 X5 - 4 =15 - 16= - 1,2④4 X6 - 5 =24 - 25= - 1;2故答案为：4 X6 - 5 =24 - 25= - 1 ;2(2 )第n 个式子是：n X(n+2 ) -( n+1 ) = - 1.2故答案为：n X(n+2 ) -( n+1 ) = - 1.2 23 •上述各等式可整理为： 3 - 1 =2 X4;2 24 - 2 =3 X4;2 25 - 3 =4 X4;2 26 - 4 =5 X4;2 2从而可得到规律为：(n+2 ) - n =4 ( n+1 )4 .••• n=2 时，y=2，即y=1 X2;n=3时，y=6，即y=2X ;n=4时，y=12，即y=3X4;n=5时，y=20，即y=4X5;n=6时，y=30，即y=5X6;n=7时, y=6 X7=42:,n=n时，y= ( n - 1 )n.•••当y=132 时，132= （n - 1）n ,解得n=12或-11 （负值舍去）.故答案分别为：42 , 12 .5.观察题中的一系列分式，可以发现奇数项分式的前面有负号，可得每项分式的前面有（- 1）从各项分式的分母可以发现分母为na,从各项分式的分子可以发现分子为b n,综上所述，可知第n个分式为:na56. 5小时后是2+1=33个.故答案为：332 29 .第七个等式是15 +112 =11310 .由题可知：2 2 2 2 分子的规律是1 , 2 , 3，-n ,分母的规律是： n (n+3 ),2 •••第n 个数据为n n Cn+3)2 13 .I 1 X 3=1 +2 X 1,2 22 X 4=2 +2 X 2,3 石=3 +2 X 3,24 X6=4 +2 X 4, 2 • n (n+2 ) =n +2n14 .由下列式子：2(x+1 ) (x - 1) =x - 12 3(x +x+1 ) (x - 1) =x - 13 2 4(x +x +x+1 ) (x - 1) =x - 14 3 2 5(x+x +x +x+1 ) (x - 1) =x - 1£L +1n 3 2 n+1 n 3 2…规律为：(x + ••+x +x +x+1 ) (x - 1) =x - 1，故 x + ••+x +x +x+1= ----------------15 .因为各式：9X0+1=1 ； 9 X 1+2=11 ; 9X 2+3=21 ; 9 X 3+4=31都为9乘以一个变化的数加上一个变化的数等于 第11.由题可找规律： 1个白球分别和1个、2个、3个…黑球组成1组，所以20个白球即是第20项，20=1+ (n - 1)12 .规律为n ( n+2 ) +仁 (n+1 ) 7•由表格中上行输入的数据1 2 3 4 --n 下行输出相对应的数据分别为3 4 5 6 --n+2•••当输入8时，输出8+2=10 . X 1，即n=20，第20个白球与第19个白球之间的黑球数目是19个 22 3 62 63所以 1+2+2 +2+・・+2 +2 = -----------.即得答案一个变化的数乘以10，再加1,故此当为 n 时有：9?( n - 1) +n= (n - 1 )?10+1 ; 答案为：9?( n - 1) +n= (n - 1 )?10+1 216 .••• 4 X 1 X2+1= ( 2X 1+1 ) =3 , 24 X2X 3+I= (2X 2+1 ) =5 , 24 X 3 X 4+I= (2X 3+1 ) =7 , 24 X 4X5+1= (2X 4+1 ) =9 ,17 .第n 行的最后一个数是1+2+3+ 当n=50时，原式=1275 . 故答案1275.18 .由已知通过观察得:得 n=9 ,所以x=95 ,故答案为：952 2 2 220 .I 2 — 1=1 X 3, 3 — 1=2 X 4, 4 — 1=3 X5, 5 — 1=4 X6,…，2•规律为(n+1 )-仁n (n+2 ).2故答案为：(n+1 )-仁n (n+2 )2 2 2 2 2 2 2 221 .I 3 — 1 =8 X 1 ； 5 — 3 =8 X 2; 7 — 5 =8 X 3; 9 — 7 =8 X 4; • •第n 个等式为： 2 2(2n+1 ) -( 2n - 1) =8n . 故答案为：4a (a+1 ) +1= (2a+1 ) 2.•••规律是:2 J 1 2 即a 1 = 1 1 11+11X2X32 3,1X2X3 +- 1+1IX (1+2)；1 1 3即 a 2=- 1 1 ■ 1U2 i2X3X4 3 8, 2X3X4 1 ■1422X (2+2)；11 14 _ 即a3 r 1 亠］1+33X4X5 4 IE 二，P *I J a 33X4XE 1+3 3X ⑶2)a 1= a 2= a 3= 1 1 1+nn (n+1) Crrl-2) 1+n n Cn+2) …a n = 即a 9= 1 …-l-. 1 1+99X10X11 1 +- 1 14 9 =19X (9+2)所以a 9= 9X10X11 Id ■ 故答案为：a 9= 19 .律, n X(n+1 ) =90 ,的整数的平方运算结果的最后2位一定是25,百位以上结果则为 n X( n+1 ), 4a (a+1 ) +1= (2a+1 )2 2故答案为：(2n+1 ) -( 2n - 1) =8n22 •分母为1的数有1个：一； 1分母为2的数有2个：2, 3 2分母为3的数有3个：^, £,三；3 3 3 r 第45+7=52个数.故答案为52•••第n 个式子为 ？(n+1 )=止丄+ (n+1 ).n n故答案为一+ (n+1 ).n 25 .第n+2行的第一个数是 n+2，后边的数一次大1，则第n 列的数是2n+1 . 故答案是：2n+1第3个数： 24= (- 2),第4个数： 3-8= (- 2),第2个数：-2= (- 2)4•••「前面数的个数为 1+2+3+ --+9=45 ,23 .由已知等式的规律可知, 2 a=8 , b=8 -仁63 ,26 .第1个数: 仁(-2)第5个数: 16= (- 2)第n 个数：-2= (- 2) n - 1第2011个数是(-2) 2010故答案为：(-2) 2010 • a+b=713 3 327 .由已知 2=3+5 , 3=7+9+11 , 4=13+15+17+19 ，…观察可知,(1) 几的三次方就有几个奇数组成，(2) 依次得到的第一个奇数是前一个关系式的最后一个奇数后的奇数，因此 53=21+23+25+27+29 .故答案为：21+23+25+27+2928.占化=2，吕+占=2，老+缶=2，若^4=2， •••1+7=8 , 2+6=8 , 3+5=8 , 10+ (- 2) =8 , •••19+n=8 ,解得n= - 11 ,• m=n= — 11 .故答案为：-11 , - 112 2 29 .等式左边是平方差公式，即( n+3 ) - n =3 (2n+3 ),故答案为( n+3) 2 2-n =3 (2n+3 ).30. • 3=2 X 1+1 ,14= 2(1+3 ) -2 ,5=2 X2+1 , 47= (2+5 ) 2-2,7=3 X2+1 , 98= (3+7 ) 2-2,• n 右边的数是 2n+1 ,2 2m= (n+2n+1 ) -2= (3n +1 ) - 2.故答案为： (3n+ 2 1)- 231 . (1)如图所示:排数n 1 2 3 45 座位数a n 20 22 24 2628(2 )第10排的座位数为：20+2 X9=38 ;(3) 第n 排的座位数为 20+2 x(n - 1) =18+2n ;(4) 由题意 18+2n=118 , 解得n=50 .答：是50排32 . (1［⑤10+15=5⑥ 15+2仁6 2;(2 )第n 个式子为： 故答案为：10+15=5n (n~ 1) n Cn+1) 2 ' 2 2 2:15+21=6 2=n .233. (1) 7 X9+1=64=8 ;(2 )上述算式有规律，可以用 n 表示为：n 2 2(n+2) +仁n +2n+仁(n+1 ). 2 ⑼ 1) L .209+2 11(3)原式= 2故答案为：64, 8; n (n+2 ) +1= (n+1 ); 2Ci1134 . (1) a n =100+5n ;(2) a n =100+5n=100+5 X 1 仁155 厘米.35 .依题意得第一次余下的数是原数 2007的=，即-X 2007 ;第二次余下的数是第一次余下的数的 第三次余下的数是第二次余下的数的 最后余下的数是第 2005次余下的数的 —Y ; 二，即二.X2007 ;3 3 1二，即_2.JX 2OO7 ;4 4 12I2O 〕6200& v 20052007 z 2006 XX0X2007=1 .4 3 2 2 2 2 236 . (1 )根据分析可知： a - b =8 X 10= (2 X 10+1 ) -( 2 X10 - 1), ••• a=21 ,b=19 ;2 2(2) (2n+1 ) -( 2n - 1) =8n .故答案为：(1) a=21 , b=1937 . (1 )十字框中五个数的和是框正中心的数 17的5倍；(2) 有这种规律.设框正中心的数为 X ,则其余的4个数分别为：x+2 , x - 2, 所以十字框中五个数的和是 x+x+2+x - 2+X+12+X - 12=5x , 即十字框中五个数的和是框正中心的数的五倍.(3) 不能.•/ 5x=2010 ,• x=402 .•/ 402不是奇数，故不存在x+12, x - 12,] _ 2 3 _ 4 9 _ 99 9993 寸 ID' 1000(1)这一列数随着n 值的变大，代数式的值越来越小;的值接近于-138 .填表：0 , (2 )当n 变得非常大时, 2n-l 39 . (1) 1-1 + 1 1 11 2007 20082008 + 2009" 40 . (1 [① 6 - 2+仁5 个, + (- X —) + - - + (—L20091 1 +23 ■- + -)=-心n - m+1 )个；(2) (19 - 3)+2+仁9 个；(3) (2000 - 500 )+100+ 仁16 个.41. (1)都是完全平方数…(3分)；(2) 仍具备•也都是完全平方数•••( 5分)；仔细观察前5个算式与其结果的关系，发现：2 1 X2X3 X 4+1= (1 X 4+1 )2 2 X 3X 4 X 5+1= (2 X5+1 )23 X 4X5 X6+1= ( 3 X6+1 )(3 )如 11 X 12 X 13 X 14+1=24024+1=24025 .z 2、 2 , 、 2 2(11 +3 X11+1 ) = (121+33+1 ) =155 =24025 .猜想正确42 . (1 )根据所给的数据可得：13+2 3+33+ "+ n 3=tn ，(n-Hl )(故答案为：一1丁 ：-厂:-1 .100X101)2 2=5050 >5000 ,… , 3 3 3 3 2 则 1 +2 +3 + -+100 > 500043 . (1 )T 2,- 4, 8,- 16 , 32,- 64,-；12 3 4•第①行数是：-(-2) , -( - 2), -( - 2) ,-( - 2), 12 3 4(2)第②行数比第①行数相应的数少2 •即：-(-2) - 2, -(- 2) - 2,-(- 2) - 2,-(- 2) - 2，… ［答案形式不唯一］,_ 12 3 4第③行数的是第①行数数的即：-(-2) X0.5,- (- 2) X0.5,- (- 2) X0.5,- (- 2) X0.5，…［答案形式不唯一］；4 X5X6 X7+1 = (4 X 7+1 )5 X6X 7 X8+1 = (5 X8+1 ) 2 2 (n+3 ) +1］ = (n +3n+1 ) 即，第n 个等式是： 2 2 n ( n+1 ) (n+2 ) (n+3 ) +1= (n +3n+1 ) …(8 分)•••11 X 12X 13X 14+1 = 2(11 +3 X 11+1 )3 3 31 +2 +3 + -- + 100 因此，猜n (n+1 ) (n+2 ) ( n+3) +1=［n(3 )第①行第8个数是:第②行第8个数是:第③行第8个数是: 82)所以这三个数的和是:8 8 -(-2) +[ -( - 2) - 2]+[ -( - 2)8X0 ・5]=-256 - 258 - 128=-64244 .••• 7 X9=63 11 X 13=143 79 X81=63998 X8=64 12 X 12=144 80 X80=64002 •可得：(n - 1) (n+1 ) =n - 1;2 T 利用平方差公式：(a+b ) (a - b ) =a2当a=n , b=1时，有(n - 1) (n+1 ) =n - 1成立，故此规律正确45 . (1)由题可知:十「、 5 4 3 2 6原式=(2 - 1 ) (2 +2 +2 +2 +2+1 ) =2 - 1=64 - 1=63 ;2011 (2)原式=(2 - 1) ( 2+2 2010+2 2009 2008 、 2012 +2 + ・・+2+1 …)=2 - 1 , 1 •/ 2 =2 2 3 4 2 =4 , 2 =8 , 2 =16 5 2 =32 6 2 =64••• 2n (n 为自然数)的各位数字只能为2, 4, 8, 6，且具有周期性. 1= 1 L9 10 十 90；(2)根据(1)中结果得出: 1 1 1 n '|n+l| n Cn+1)47. (1) 1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21=121=112(2) 1+3+5+7+9+ --+2n+1= ( n+1 ); • 2012 -4=503 X 4,6- 1=5J,46 . (1 )根据已知•••从2开始的连续的第 2011个偶数为2X 201仁4022 ,•••从2开始连续2011个偶数相加=2011 X ，°乎'=4 046 132 ;n(2) 2+4+6+8+ --+2n= 「 =n ( n+1 );(3 )T 1000 -2=500 , 2012 -2=1006 ,• 1000+1002+1004+1006+ ••+2012=1006 X(1006+1 )- 499 X(499+1 ) =1 013 04250 .观察表格，得当 n 个最小的连续偶数(从 2开始)相加时，和=2+4+6+…+2n=n① 2+4+6+ --+202=101 X102=10302 ;② 126+128+ ••+300=150 X151 - 62 03=18744251 . (1) 1+3+5+7+9+ --+19=10 =100 ; (3) 1+3+5+7+9 ・・+1003+1005+ …+2009+2011=10062 2(4) 原式=1006 - 502 =760032•••左边的三位数是 275，右边的三位数是 572 ,••• 52 X 275=572 X25 ,②•••左边的三位数是 396 ,•••左边的两位数是 63,右边的两位数是 36,63 X 369=693 X 36;故答案为：①275 , 572 :②63 , 36;(2 )右边的两位数是 10b+a ，三位数是 100a+10 (a+b )+b ;(3) [100b+10 (a+b ) +a] - [100a+10 (a+b ) +b]=99 (b - a ).■/ a - b=5 ,• 99 ( b - a ) = - 495，即等式左右两边的三位数的差为- 495;(4) 不能，理由如下：•••等式左边的两位数与三位数的积 =(10a+b )x [100b+10 ( a+b ) +a]=(10a+b ) (100b+10a+10b+a )=(10a+b ) (110b+11a )=11 (10a+b ) (10b+a ),而2012不是11的倍数，•等式左边的两位数与三位数的积不能为 201249. (1) 2=1 X 2,2+4=6=2 X 3=2 —^,2 2+4+6=12=3 X 4=3 X ,2+4+6+8=20=4 X5=42+4+6+8+10=30=5 -249 500=763 542 (n+1).X6=52+4+6+8+10+12=42=62(2) 1+3+5+7+9+ ••+ (2n - 1) =n ;(3) 103+105+107+ ••+2003+2005=(1+3+5+7+9+ --+2005 ) -( 1+3+5+7+9+ --+101 )2 2=1003 - 51 =100340852 . (1)原式=一 X 4X 5&40 ,(2) 原式=丄 X 100 X 101 X 102=343400 ; 3(3) 原式=丄门(n+1 ) (n+2 )3 53 . (1 )观察数列可得其分母为 2不变，第一个数分子为 3,且以后每个数的分子比前一个数的分子大 4，故可得 第6个数的分子为3+4作23 ；故第6个数为3证明如下:2 2左边=n +2 n+1= (n+1 )=右边，等式成立.=1 -二57 .根据上面的分析(1) X3=2X 2 - x 1=2 X 3 - 1=5 ; X 4=2x 3 - x 2=2 X5 - 3=7 ; X 5=2x 4 - x 3=2 X 7 - 5=9 ;(3) ■/ 71=4 X 18 - •丄 4X18-12 218 个数54. n (n+2 ) +仁 2(n+1 ).55. 1)古-爲F5 1 _______(n+2)；56 . (1 )•••第 n ]n 个数是(-1)—,•••第7个，第 8个，第9个数分别是-2004 ，最后与0越来越接近.(2 )由(1)可得a n =4n-l2-1 ,••—丄为数列当中第 2 ')+••+(*-牛)(互相抵消)弓(—(2)解：X9=17 ;(3)解:2x k- 1 - X k-2.58 . (1 )观察下列各式: 2 2 2 2 2 21 X2 X3X4+1=5 = (1 +3 X1+1 ) , 2 X3X4 X5+1=11 = (2 +3 X2+1 ),2 23 X4X5 X6+1=19 = ( 3 +3 X3+1 ) ,4 X5 X6X7+1=29 = (4 +3 X4+1 )得出规律: 2n (n+1 ) (n+2 ) (n+3 ) +仁(n +32xn+1 ) (n> 1),2 2 28 X9X10 X11+ 仁(8 +3 X8+1 ) =89 ;(2)根据(1)得出的结论得出:n (n+1 ) (n+2 ) ( n+3 ) +1=n (n+3 ) (n+1 ) (n+2 ) +12 2=(n +3n ) (n +3n+2 ) +12 2 2=(n +3n ) +2 ( n +3n ) +1z 2=(n +3n+159. (1) 16x+2y=4x - 6y+12x+8y=2 (2x- 3y ) +2 (6x+4y ) =2 X8+2 X19=54 .(2)①所有分子比分母大1的分数与分子的积等于这两数之和；②表达式为( )(n+1 ) —+ (n+1 )n n260 . (1) 1+3+5+ ••+ (2n- 1)表示n 个式子相加，因而1+3+5+ ••+ (2n - 1) =n ;2 小r36 仁19，则x=2 X19 -仁37 ;(2) 1+3+5+7+ --+2009=1 (1+2009〕100E = -=1010025 .2故答案是：n , 37; 1010025。
规律变化探究性问题-2023年中考数学压轴题专项训练(学生版)
规律变化探究性问题1.压轴题速练一、单选题1(2023春·重庆丰都·九年级校考阶段练习)下列图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中第①个图形有3颗棋子，第②个图形一共有9颗棋子，第③个图形一共有18颗棋子，⋯，则第⑦个图形中棋子的颗数为()A.84B.108C.135D.1522(2022秋·山东菏泽·九年级校考阶段练习)正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，按如图所示的方式放置，点A1，A2，A3，⋯和点C1，C2，C3，⋯分别在直线y=kx+b(k>0)和x轴上，已知点B1(1，1)，B2 (3，2)，则B2021的坐标是()A.(22021,22022)B.(22021,22020)C.(22021-1,22020)D.(22021+1,22020)3(2023春·重庆渝北·九年级校联考阶段练习)观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，则第2023个图案中的“”的个数是()A.6074B.6072C.6070D.60684(2022秋·四川资阳·九年级统考期末)如图，直线l的解析式为y=33x，点M10，1，M1N1⊥y轴交直线l于点N1；点M2为y轴上位于M1上方的一点，且M1M2=M1N1，M2N2⊥y轴交直线l于点N2；点M3为y轴上位于M2上方的一点，且M2M3=M2N2，M3N3⊥y轴交直线l于点N3⋯，按此规律，线段N2022N2023的长为()A.31+3 2021B.31+3 2022C.231+3 2021D.231+3 20225(2023·山东德州·模拟预测)我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉(约13世纪)所著的《详解九章算法》一书中，用如图的三角形解释二项式a +b 2的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”请计算a +b 10的展开式中第三项的系数为()A.36B.45C.55D.666(2023·湖南益阳·校考模拟预测)如图，矩形ABCD 的面积为5，它的两条对角线交于点O 1，以AB 、AO 1为两邻边作平行四边形ABC 1O 1，平行四边形ABC 1O 1的对角线交于点O 2，同样以AB 、AO 2为两邻边作平行四边形ABC 2O 2，⋯，依此类推，则平行四边形ABC n O n 的面积为()A.52n -1B.52nC.52n +1D.52n +27(2022春·四川内江·九年级专题练习)如图，在平面直角坐标系中，等腰直角△OAB 位置如图，∠OBA =90°，点B 的坐标为(1，0)，每一次将△OAB 绕点O 逆时针旋转90°，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转得到△OA 1B 1，第二次旋转得到△OA 2B 2，⋯，以此类推，则点A 2022的坐标是()A.(22022，22022)B.(-22021，22021)C.(22021，-22021)D.(-22022，-22022)8(2022秋·全国·九年级专题练习)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A(-1,1),B (0,-2),C(1,-0)，点P(0,2)绕点A旋转180°得到点P1，点P1绕点B旋转180°得到点P2，点P2绕点C旋转180°得到点P3，点P3绕点A旋转180°得到点P4⋯⋯按此作法进行下去，则点P2022的坐标为()A.(0,2)B.(-2,0)C.(2,-4)D.(-2,-2)9(2022秋·八年级单元测试)如图所示，直线y=33x+33与y轴相交于点D，点A1在直线y=3 3x+33上，点B1在x轴，且∆OA1B1是等边三角形，记作第一个等边三角形；然后过B1作B1A2∥OA1与直线y=33x+33相交于点A2，点B2在x轴上，再以B1A2为边作等边三角形A2B2B1，记作第二个等边三角形；同样过B2作B2A3∥OA1与直线y=33x+33相交于点A3，点B3在x轴上，再以B2A3为边作等边三角形A3B3B2，记作第三个等边三角形；⋯依此类推，则第n个等边三角形的顶点A纵坐标为()A.2n-1B.2n-2C.2n-1×3D.2n-2×310(2023秋·山东济宁·九年级统考期末)如图，直线y=x+1与x轴、y轴分别相交于点A、B，过点B作BC⊥AB，使BC=2BA．将ΔABC绕点O顺时针旋转，每次旋转90°．则第2022次旋转结束时，点C的对应点C'落在反比例函数y=kx的图象上，则k的值为()A.-4B.4C.-6D.6二、填空题11(2022秋·山东泰安·八年级校考期末)如图，已知△ABC的周长是1，连接△ABC三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边的中点构成第三个三角形⋯依此类推，则第2019个三角形的长.12(2023·湖北恩施·统考一模)一个质点在第一象限及x轴、y轴上运动，在第一秒钟，它从原点运动到0,1，然后接着按图中箭头所示方向运动[即0,0→0,1→1,1→1,0→⋅⋅⋅]，且每秒移动一个单位，那么第2023秒时质点所在位置的坐标是．13(2023·广东深圳·深圳市南山外国语学校校考一模)化学中直链烷烃的名称用“碳原子数+烷”来表示．当碳原子数为1~10时，依次用天干--甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、千、癸--表示，其中甲烷、乙烷、丙烷的分子结构式如图所示，则第7个庚烷分子结构式中“H”的个数是．14(2023·甘肃陇南·校考一模)按一定规律排列的式子：-3ba,8ba3,-15ba5,24ba7，⋯⋯第n个式子是．15(2023·海南省直辖县级单位·统考一模)用火柴棒按上图的方式摆出一系列图案，按这种方式摆下去，第n个图案所用的火柴棒的根数为．16(2023·山东枣庄·校考模拟预测)观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第n个大三角形中白色三角形有(用含n代数式表示)个．17(2023秋·重庆永川·七年级统考期末)如图是一个电子青蛙游戏盘，已知AB=7，BC=6，AC=5，BP0=3．电子青蛙在AB边上的P0处，第一步跳到P1处，使BP1=BP0，第二步跳到P2处，使CP2=CP1，第三步跳到P3处，使AP3=AP2，⋯⋯，按上述的规则跳下去，第2023步落点为P2023，则P1与P2023之间的距离为．18(2023秋·河南许昌·九年级校考期末)平面直角坐标系中，若干个半径为1，圆心角为60°的扇形组成的图形如图所示，点P从原点O出发，向右沿箭头所指方向做上下起伏运动，点P在直线上运动的速度为每秒1个单位长度，在弧线上运动的速度为每秒π3个单位长度，则2021秒时，点P的坐标是．19(2022秋·山东临沂·九年级统考期中)若关于x的一元二次方程x2-3x+m2+m=0m>0，当m=1,2,3,⋯,2022时，相应的一元二次方程的两根分别记为α1,β1;α2,β2;⋯;α2022,β2022,则1α1+1β1+1α2+1β2+⋯1α2022+1β2022的值为．20(2023·江苏扬州·九年级专题练习)如图，在正方形ABCD 中，顶点A -5，0 ，C 5，10 ，点F 是BC 的中点，CD 与y 轴交于点E ，AF 与BE 交于点G ，将正方形ABCD 绕点O 顺时针旋转，每次旋转90°，则第2023次旋转结束时，点G 的坐标为．三、解答题21(2023·安徽六安·统考二模)观察以下等式：第1个等式：23=12+16；第2个等式：25=13+115；第3个等式：27=14+128；第4个等式：29=15+145；⋯⋯按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第6个等式：；(2)写出你猜想的第n 个等式，并证明你的结论．22(2022秋·江苏徐州·七年级校考阶段练习)先观察，再解题：因为1-12=11×2，12-13=12×3，13-14=13×4，⋯所以(1)15×6=．(2)请接着完成下面的计算：11×2+12×3+13×4+⋯+149×50=1-12 +12-13 +13-14 +⋯+149-150(3)参照上述解法计算11×3+13×5+15×7+⋯+149×51．23(2022秋·安徽宣城·七年级统考期末)如图，每个小正方形的面积均为1．将左图中黑色的小正方形移动，得到右边拼成的长方形，根据两种图形方法计算小正方形的个数；如图得出以下等式：(1)请写出第3个等式：；(2)猜想第n个等式为：(用含n的等式表示)；(3)当n为多少时，左图中的最底端有2024个小正方形？此时左图中共有多少个小正方形？24(2023·安徽·模拟预测)以下是一幅幅平面镶嵌图案，它们由相同的灰色正方形和白色等边三角形排列而成，观察图案，如图1，当正方形只有1个时，等边三角形有4个；如图2，当正方形有2个时，等边三角形有7个；以此类推⋯⋯(1)第5个图案中正方形有个，等边三角形有个．(2)第n个图案中正方形有个，等边三角形有个．(3)若此类图案中有2023个等边三角形，该图案中正方形有多少个？25(2023·安徽·模拟预测)十一期间，泉城广场的一个公共区域用盆栽进行了美化，盆栽按如图的方式摆放，图中的盆栽被折线隔开分成若干层，第一层有1个盆栽，第二层有3个盆栽，第三层有5个盆栽，第四层有7个盆栽，⋯⋯，以此类推．请观察图形规律，解答下列问题：(1)第10层有个盆栽，第a层有个盆栽，前n层共有个盆栽；(2)计算：1+3+5+⋯⋯+25=；(3)拓展应用：求27+29+⋯⋯+1921的值．26(2022秋·山东济南·七年级统考期中)利用图形来表示数量或数量关系，也可以利用数量或数量关系来描述图形特征或图形之间的关系，这种思想方法称为数形结合．请你尝试利用数形结合的思想方法解决下列问题(1)如图①，一个边长为1的正方形，依次取正方形面积的12,14,18⋯12n ，根据图示我们可以知道：12+14+18+116+⋯+12n =．(用含有n 的式子表示)(2)如图②，一个边长为1的正方形，第一次取正方形面积的23，然后依次取剩余部分的23，根据图示：计算：23+29+227+⋯+23n =．(用含有n 的式子表示)(3)如图③是一个边长为1的正方形，根据图示：计算：13+29+427+881+⋯+2n -13n =．(用含有n 的式子表示)27(2022秋·浙江杭州·七年级校考期中)完成下列填空：(1)已知a 1=11×2×3+12=23，a 2=12×3×4+13=38，a 3=13×4×5+14=415，⋯⋯，依据上述规律，则a 99==．(2)有若干张边长都是2的四边形纸片和三角形纸片，从中取一些纸片按如图所示的顺序拼接起来(排在第一位的是四边形)，可以组成一个大的平行四边形或一个大的梯形．如果所取的四边形与三角形纸片数的和是5时，那么组成的大平行四边形或梯形的周长是；如果所取的四边形与三角形纸片数的和是n ，那么组成的大平行四边形或梯形的周长是．(3)下面是按一定规律排列的一列数：第1个数：a 1=12-1+-12；第2个数：a 2=13-1+-12 1+(-1)231+(-1)34；第3个数：a 3=14-1+-12 1+(-1)231+(-1)34 1+(-1)45 1+(-1)56 ；⋯⋯则第n 个数为：．28(2022秋·山西吕梁·七年级统考期中)如图，每张小纸带的长为40cm ，用胶水把它们粘贴成一张长纸带，接头粘贴重叠部分的长为3cm ．(1)用2张这样的小纸带粘贴成的纸带的长度为77cm，则用3张这样的小纸带粘贴成的纸带的长度为cm．(2)①用n张这样的小纸带粘贴成的纸带的长度是cm；②计算用20张这样的小纸带粘贴成的纸带的长度．29(2023春·七年级课时练习)观察下列各式(x-1) (x+1)=x2-1(x-1)x2+x+1=x3-1(x-1)x3+x2+x+1=x4-1⋯⋯请根据你发现的规律完成下列各题：(1)根据规律可得(x-1)x n-1+⋯+x+1=(其中n为正整数)；(2)计算：(3-1)×350+349+348+⋯+32+3+1；(3)①计算：22022+22021+22020+⋯+2+1；②计算：(-2)2022+(-2)2021+(-2)2020+⋯+(-2)+1．30(2022秋·广东梅州·七年级校考阶段练习)将正方形ABCD(如图1)作如下划分，第1次划分：分别连接正方形ABCD对边的中点(如图2)，得线段HF和EG，它们交于点M，此时图2中共有5个正方形；第2次划分：将图2左上角正方形AEMH再划分，得图3，则图3中共有9个正方形；(1)若把左上角的正方形依次划分下去，则第100次划分后，图中共有个正方形；(2)继续划分下去，第n次划分后图中共有个正方形；(3)能否将正方形ABCD划分成有2018个正方形的图形？如果能，请算出是第几次划分，如果不能，需说明理由．(4)如果设原正方形的边长为1，通过不断地分割该面积为1的正方形，并把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，可以很容易得到一些计算结果，试着探究求出下面表达式的结果．计算3 41+14+142+143+⋯⋯+14n(直接写出答案即可)。
专题08 整式中规律性探索的三种考法(原卷版)(北师大版)
专题08整式中规律探索的三种考法类型一、数字类规律探索问题-，A B．30，D C．29，BA．29类型二、图表类规律探索问题【变式训练1】我国著名数学家华罗庚曾经说过，“数形结合百般好，隔裂分家万事非”，数形结合的思想方法在数学中应用极为广泛．观察下列按照一定规律堆砌的钢管的横截面图：用含n 的式子表示第n 个图的钢管总数．【分析思路】图形规律中暗含数字规律，我们可以采用分步的方法，从图形排列中找规律；把图形看成几个部分的组合，找到每一部分对应的数字规律，进而找到整个图形对应的数字规律．如：要解决上面问题，我们不妨先从特例入手（统一用n S 表示第n 个图形钢管总数）．【解决问题】(1)如图，如果把每个图形按照它的行来分割观察，你发现了这些钢管的堆砌规律了吗？像123n n n ===，，的情形那样，在所给横线上，请用数学算式表达你发现的规律．123122343456S S S +++=++=+=，，，4S =___________．(2)其实，对同一个图形，我们的分析眼光可以是不同的．请你像（1）那样对每一个所给图形添加分割线，提供与（1）不同的分割方式；并在所给横线上，请用数学算式表达你发现的规律：1S =___________，2S =___________，3S =___________，4S =___________．(3)用含n 的式子列式，并计算第n 个图的钢管总数为___________．类型二、程序类问题【变式训练1】按下面的程序计算：若输入n=100，输出结果是501；若输入n=25，输出结果是631，若开始输入的数，最后输出的结果为656，则开始输入的n值可能有（）A．1种B．2种C．3种D．4种【变式训练2】按如图所示的运算程序，能使输出结果的值为11的是（）A．x＝3，y＝1B．x＝2，y＝2C．x＝2，y＝3D．x＝0，y＝1.5【变式训练3】按图示的程序计算，若开始输入的x为正整数，最后输出的结果为67，则x 的值是（）A．2或7B．2或22C．2或22或7D．2或12或22课后训练A．31B．49C．62D2．如图所示的运算程序中，如果开始输入的x的值为23，我们发现第一次输出的结果为A．13-B．2A．73B．81C．915．如图，古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．例如：称图中的数12，22…为五边形数，则第7个五边形数是（）A．62B．706．如图是按照一定规律“生长”的“勾股树”．经观察可以发现：图②中共有7个正方形，图③中共有15个正方形，照此规律形的个数是（）A．31B．32C．637．下列图形都是由大小相同的小正方形按一定规律组成的，其中第①个图形中有1个小正方形，第②个图形中有5个小正方形，第③个图形中有11个小正方形，…，按此规律排列下去，第⑦个图形中的小正方形个数为（）个A．40B．49C．55D．71的直径，点B、C、D将半圆分成四等分，把五位同学分别编为序号1、8．如图1，AE是O2、3、4、5按顺序站在半圆的五个点上，现把最右边的5号同学调出，站到2号和3号两位同学之间，再把最右边的4号同学调出，站到1号和2号两位同学之间，得到图2，称为“1次换序”．接着按同样的方法，把最右边的3号同学调出，站到4号和2号两位同学之间，再把最右边的5号同学调出，站到1号和4号两位同学之间，得到图3，称为“2次换序”．以此类推……；若从图1开始，经过“n次换序”后，得到的顺序与图1相同，则n的值可以是（）A．11B．12C．13D．14。
教师找规律(数字)专题练习
教师找规律(数字)专题练习简介本专题练旨在帮助教师和学生提高对数字规律的发现和理解能力。
通过多种练题，培养学生的逻辑思维和数学推理能力，提升数学学科的研究效果。
练题目以下是一些针对数字规律的专题练题目，可以用于课堂练、作业或小组活动。
1. 数字序列给出一组数字序列，要求学生通过观察规律，预测下一个数字。
样例题目：1. 2, 4, 6, 8, ? (答案：10)2. 1, 4, 9, 16, ? (答案：25)2. 数字操作给出一组数字和对数字进行的操作，要求学生通过分析操作规律，预测结果。
样例题目：1. 数字9经过什么操作后变成了数字16？ (答案：平方)2. 数字6经过什么操作后变成了数字2？ (答案：除以3)3. 数字图形给出一组数字图形，要求学生通过观察图形规律，填写缺失的数字。
样例题目：1.  缺失的数字是多少？ (答案：5)2.  缺失的数字是多少？ (答案：7)教学方法为了达到更好的研究效果，建议教师采用以下教学方法：1. 引导学生观察和思考：在练过程中，鼓励学生主动观察和分析数字规律，激发他们的思考能力。
2. 错题分析和讨论：对于学生的错误答案，教师可以及时进行讨论，帮助他们找到正确的思路，并引导他们总结数字规律的方法。
3. 小组合作研究：将学生分成小组，在小组内互相讨论和合作解题，鼓励他们分享不同的思路和观点，提高对数字规律的综合理解。
总结通过教师找规律(数字)专题练习，可以培养学生的逻辑思维和数学推理能力，提升他们对数字规律的发现和理解能力。
教师可以根据不同的学生水平和需求，选择合适的练习题目，并采用有效的教学方法，帮助学生在数学学科中取得更好的成绩。
代数式之规律性问题
规律探索型问题1.数字猜想型：数字规律问题主要是在分析比较的基础上发现题目中所蕴涵的数量关系，先猜想，然后通过适当的计算回答问题.2.数式规律型：数式规律问题主要是通过观察、分析、归纳、验证，然后得出一般性的结论，以列代数式即函数关系式为主要内容.3.图形规律型：图形规律问题主要是观察图形的组成、分拆等过程中的特点，分析其联系和区别，用相应的算式描述其中的规律，要注意对应思想和数形结合.4.数形结合猜想型：数形结合猜想型问题首先要观察图形，从中发现图形的变化方式，再将图形的变化以数或式的形式反映出来，从而得出图形与数或式的对应关系，数形结合总结出图形的变化规律，进而解决相关问题.解题方法规律探索问题的解题方法一般是通过观察、类比特殊情况（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）中数据特点，将数据进行分解重组、猜想、归纳得出规律，并用数学语言来表达这种规律，同时要用结论去检验特殊情况，以肯定结论的正确.考点1数字猜想型问题【例1】（2013·常德）小明在做数学题时，发现下面有趣的结果：3－2=1；8＋7－6－5=4；15＋14＋13－12－11－10=9；24＋23＋22＋21－20－19－18－17=16；……根据以上规律可知第100行左起第一个数是___.考点2数式规律型问题【例3】（2013·遂宁）为庆祝六一儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛.如图所示：按照上面的规律，摆第n图，需用火柴棒的根数为.探索数量规律题常用的方法试题(1)(2012·桂林) 下图是在正方形网格中按规律填成的阴影，根据此规律，则第n个图中阴影部分小正方形的个数是________．(2)(2012·黔东南) 如图，第①个图有2个相同的小正方形，第②个图有6个相同的小正方形，第③个图有12个相同的小正方形，第④个图有20个相同的小正方形…按此规律，那么第○n 个图有________个相同的小正方形．(3)如图，由等圆组成的一组图中，第1个图由1个圆组成，第2个图由7个圆组成，第3个图由19个圆组成，…，按照这样的规律排列下去，第9个图形由________个圆组成．规范答题解析(1)根据每一个图形都是一个正方形和右边的一个矩形构成，得到左边的正方形中小正方形的个数和右边的矩形中的正方形的个数的和即可．仔细观察图形知道：每一个阴影部分由左边的正方形和右边的矩形构成，分别为：第1个图有：1＋3个；第2个图有：4＋4个；第3个图有：9＋5个；……故第n个图有：n2＋(n＋2)个．(2)观察不难发现，每一个图形中正方形的个数等于图形序号乘以比序号大1的数，根据此规律解答即可．第①个图有2个相同的小正方形，2＝1×2；第②个图有6个相同的小正方形，6＝2×3；第③个图有12个相同的小正方形，12＝3×4；第④个图有20个相同的小正方形，20＝4×5；……按此规律，第○n 个图有n(n＋1)个相同的小正方形．(3)首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．观察分析可得：第1个图有1个圆；第2个图由7个圆组成，7＝1＋6；第3个图由19个圆组成，19＝1＋6＋2×6；……故第9个图由1＋6＋2×6＋3×6＋…＋8×6＝1＋(1＋2＋3＋…＋8)×6＝217个圆组成．2)观察不难发现，每一个图形中正方形的个数等于图形序号乘以比序号大1的数，根据此规律解答即可．第①个图有2个相同的小正方形，2＝1×2；第②个图有6个相同的小正方形，6＝2×3；第③个图有12个相同的小正方形，12＝3×4；第④个图有20个相同的小正方形，20＝4×5；……按此规律，第○n 个图有n(n＋1)个相同的小正方形．(3)首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．观察分析可得：第1个图有1个圆；第2个图由7个圆组成，7＝1＋6；第3个图由19个圆组成，19＝1＋6＋2×6；……。
【微专题】2023学年八年级数学上册常考点微专题提分精练(人教版) 分式的规律性问题(解析版)
分式的规律性问题1．若11x a =+（a 不取0和1-） 2111x x =- 3211x x =- … 111n n x x -=- 则2020x 等于（ ） A ．1a +B ．1a a +C ．1a -D ．a2．观察下列等式1a x = 211a a =- 321a a =- 431a a =-…根据其中的规律 猜想2022a =_______（用含x 的代数式表示）．3．观察下列各式：1234523101526,,,,,357911a a a a a ===== 根据其中的规律可得n a =________（用含n 的式子表示）．4．一组按规律排列的式子： …（）,则第个式子是______（为正整数）. 【答案】.【详解】试题分析：观察给出的一列数 发现这一列数的分母a 的指数分别是1、2、3、4… 与这列数的项数相同 故第n 个式子的分母是a n ；这一列数的分子b 的指数分别是2、5、8、11 …即第一个数是3×1-1=2 第二个数是3×2-1=5 第三个数是3×3-1=8 第四个数是3×4-1=11 …每个数都比项数的3倍少1 故第n 个式子的分子是b 3n -1；特别要注意的是这列数字每一项的符号 它们的规律是奇数项为负 偶数项为正 故第n 个式子的符号为（-1）n ．试题解析：第n 个式子是.考点：规律型：数字的变化类．5．观察下列等式：第1个等式：x1=111(1) 1323=-⨯；第2个等式：x2=1111() 35235=-⨯；第3个等式：x3=1111() 57257=-⨯；第4个等式：x4=1111() 79279=-⨯；则x l+x2+x3+…+x10=_______________．6．观察下列等式：第1个等式：1211 2424a==-⨯；第2个等式：2211 4646a==-⨯；第3个等式：3211 6868a==-⨯；第4个等式：4211 810810a==-⨯；⋯根据以上规律 解决下列问题：（1）写出第5个等式：5a =______；（2）计算1234n a a a a a ++++⋯+结果等于______． ）观察下列等式：三、解答题7．观察下列各式：2622464+=-- 146214464-+=--- 7127414+=-- 102210424-+=---． (1)请再写出一个符合上述各式规律的式子：___________；(2)依照以上各式呈现的规律 写出它们的一般形式 并给出证明．8．观察下列等式：第1个等式：222=211⨯+；第2个等式：333=322⨯+；第3个等式：444=433⨯+；第4个等式：555=544⨯+；．．．．．．根据上述规律解决下列问题：(1)写出第5个等式：；(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示n是正整数）并证明．9．观察下列等式：第1个等式：251 133 -=第2个等式：261 284 -=第3个等式：271 3155 -=……按照以上规律解决下列问题：(1)写出第4个等式：_________；(2)写出你猜想的第n个等式：_________ 并给出证明．10．观察下列等式：第1个等式：223111221222=-⨯⨯⨯⨯； 第2个等式：3234112322232=-⨯⨯⨯⨯； 第3个等式：4345113423242=-⨯⨯⨯⨯； 第4个等式：5456114524252=-⨯⨯⨯⨯； 第5个等式：6567115625262=-⨯⨯⨯⨯； …… 按上述规律 回答以下问题：(1)写出第6个等式：_______________________________________________；(2)写出你猜想的第n 个等式：_____________________________________（用含n 的等式表示） 并证明．11．观察下列各式：第1个等式：211133=-⨯．第2个等式：211 2424=-⨯．第3个等式：211 3535=-⨯．……根据你发现的规律解答下列问题：(1)第4个等式为：______．(2)写出你猜想的第n个等式：______（用含n的等式表示）并证明．112)2n n n【分析】（1）观察前几个等式中数字的变化n故答案为：()21122n n n n =-++． 【点睛】本题考查了分式的规律探究 有理数的加减运算 解决本题的关键在于推导一般性规律．12．观察以下等式：第1个等式：1111122+-= 第2个等式：111134212+-= 第3个等式：111156330+-= 第4个等式：111178456+-= …… 按照以上规律 解决下列问题：(1)写出第5个等式：______________________；(2)写出你猜想的第n 个等式：____________（用含n 的等式表示） 并证明.13．观察下列等式：1﹣12＝1×122﹣23＝2×23 3﹣34＝3×34… （1）试写出第5个等式；（2）写出第n 个等式 并证明其正确性．14．观察下列等式：111122=-⨯ ①1112323=-⨯ ② 1113434=-⨯ ③1114545=-⨯ ④1115656=-⨯ ⑤…… （1）请按上述规律写出第2021个算式 然后把一共2021个算式两边分别相加并计算出等式右边；（2）根据第（1）小题计算 总结规律并填空：()11111223341n n ++++=⨯⨯⨯+________； （3）根据发现的规律 在小于60的正整数中 求出8个数 使得它们的倒数和等于112021++⨯1142021++-(14n n +++111n n ++-+ 1111133478+-++-+115667+⨯⨯1142568++=20 3015．观察下列方程 回答问题①12111x x +=++的解为x =0 ②24111x x +=++的解为x =1 ③36111x x +=++的解为x =2 ④48111x x +=++的解为 x =3 （1）请直接写出第⑤个方程及它的解；（2）请你写出第 n （n 为正整数）个方程 并求出它的解．（写出解答过程）16．观察下列等式：第1个等式：411(1)1321⨯+=+；第2个等式：911(1)1832⨯+=+；第3个等式：1611(1)1 1543⨯+=+；第4个等式：2511(1)1 2454⨯+=+；…根据你观察到的规律解决下列问题：（1）写出第5个等式；（2）写出第n个等式并证明；（3）计算：22 4916252020 38152420201⨯⨯⨯⨯⨯-．220202020⨯⨯11120194111152020⨯⨯⨯++++17．请先阅读下列内容然后解答问题：因为：111122=-⨯1112323=-⨯1113434=-⨯…111910910=-⨯所以：112+⨯123⨯+134⨯+…+1910⨯＝112-+1123-+1134-+…+11910-＝1 110 -＝9 10（1）猜想并写出：11)n n⋅+（＝；（n为正整数）（2）直接写出下面式子计算结果：112+⨯123⨯+134⨯+…+120192020⨯＝；（3）探究并计算：131+⨯153⨯+117597+⨯⨯+…+112017201520192017+⨯⨯11)(21)n =+【详解】解：（1）故答案为：1n n -1 2+⨯123⨯12019++-18．探究规律：(1)填空：①111x x-=+_________②112x x-=+_________③113x x-=+_________(2)根据（1）中的填空猜想11x x n-=+_________（n为整数）并说明理由；(3)受上述规律的启发计算：111 (1)(2)(2)(3)(9)(10) x x x x x x++------1(9)(x +-19．观察下列等式：第1个等式：224233⨯=+； 第2个等式：339388⨯=+； 第3个等式：441641515⨯=+； 第4个等式：552552424⨯=+… 按照以上规律 解决下列问题：(1)请写出第5个等式________；(2)请写出第n 个等式 并证明．20．观察以下等式：第1个等式：732(2)3333⨯-=-；第2个等式：1332(2)3755⨯-=-；第3个等式：1932(2)31177⨯-=-；第4个等式：2532(2)31599⨯-=-；……；按照以上规律解答下列问题：(1)写出第5个等式：；(2)写出你猜想的第n个等式：（用含n的等式表示）并证明．21．观察下列等式：第1个等式：1411=332⎛⎫-÷⎪⎝⎭；第2个等式：1921=483⎛⎫-÷⎪⎝⎭；第3个等式：11631=5154⎛⎫-÷⎪⎝⎭；第4个等式：12541=6245⎛⎫-÷⎪⎝⎭；第5个等式：13651=7356⎛⎫-÷⎪⎝⎭；……按照以上规律解决下列问题：(1)写出第6个等式：___________；(2)写出你猜想的第n个等式_________（用含n的等式表示）并证明．22．观察以下等式：第1个等式：1112 12111+=⨯⨯-；第2个等式：1112 22423+=⨯⨯-；第3个等式：1112 32935+=⨯⨯-；第5个等式：1112 522559+=⨯⨯-；……按照以上规律解决下列问题：(1)写出第7个等式：；(2)写出你猜想的第n个等式：（用含n的等式表示）并证明．23．观察以下等式：第1个等式：1212323 13131 ++⨯⨯==；第3个等式：12123235353 ++⨯⨯=；第4个等式：12123246464++⨯⨯=；……；按照以上规律解决下列问题：(1)写出第5个等式：______(2)写出你猜想的第n个等式______（用含n的等式表示）并证明．。
小学综合算式专项测题数字的规律与推理能力训练
小学综合算式专项测题数字的规律与推理能力训练数字的规律与推理能力在小学综合算式中的训练在小学数学教学中，综合算式是一个重要的内容，它结合了各种数学运算，对学生的数字理解能力、计算能力和推理能力提出了较高的要求。
而在综合算式中，数字的规律与推理能力是学生们需要掌握和培养的基本技能。
本文将从数列的规律、算式的推理以及习题训练等方面，探讨小学生数字的规律与推理能力的培养。
一、数列的规律是数字推理的基础数列是由一组按照一定规则排列的数字组成的序列。
在小学数学中，常见的数列有等差数列和等比数列等。
学生们通过观察并找出数列中的规律，可以进一步推理出下一个数字，提高数字的分析和推理能力。
以等差数列为例，假设我们有一个数列：1，3，5，7，9，11......，学生可以观察到每个数字都比前一个数字大2，因此可以推断下一个数字是13。
这种通过观察规律并推理出下一个数字的过程，可以锻炼学生的数字推理能力和逻辑思维能力。
二、算式的推理培养数字规律综合算式中的算式推理是培养学生数字规律和推理能力的重要方法之一。
在算式推理中，学生需要通过已有的数字和运算符号，推断出缺失的数字或变量，并完成整个算式。
这既考验了学生对数字规律的理解，也考察了他们的逻辑推理和计算能力。
以一个简单的算式推理为例，假设我们有一个算式：2 + 4 = 6，学生需要通过观察已有的数字，推断出下一个运算式的结果是多少。
学生可以观察到两个加数之间的关系是递增的，因此可以推测出下一个运算结果是8。
这个过程不仅锻炼了学生的数字规律理解，也促进了他们的逻辑思维和计算能力。
三、习题训练提高数字推理能力除了通过观察和推理数列规律以及算式推理来培养数字规律和推理能力外，习题训练也是提高学生数字能力的重要途径。
通过大量的习题训练，学生们可以对数字规律和推理进行反复的巩固和练习，从而提高他们的数字表达和推理能力。
在综合算式中，我们可以设计一些具有挑战性的习题，让学生们解答并推理出正确的答案。
小学三年级奥数数字推理专题训练
小学三年级奥数数字推理专题训练
前言
数字推理是小学奥数中的一个重要内容，也是未来培养孩子思维能力的必要技能之一。
为了帮助小学三年级的孩子更好地掌握数字推理，我们整理了以下专题训练，供大家参考。
第一章：数字规律
1. 请根据下面的数字序列找出其中的规律并补充下一位数字：
1, 3, 5, 7, 9, __
2. 请思考下面两个数字的规律，并回答下一个问题：
28, 25, 22, 19, 16, __，什么数字最有可能出现在空白处？
第二章：数字组合
1. 请列举以下数字的所有组合，并统计有多少个不同的组合：
1, 2, 3
2. 请列举数字1、2、3、4的所有组合，并找出其中最大的一组。
第三章：数字排列
1. 请将数字1-6排列成一个6位数，要求这个数字能够被2整除、被3整除、被4整除。
2. 请将数字1-9排列成一个9位数，要求这个数字能够被3整除、被5整除、被9整除。
第四章：数字猜谜
1. 某个数字的各个数位上的数字相加等于7，这个数字是多少？
2. 某个数字的各个数位上的数字从大到小排列后，得到的数字
是132，这个数字是多少？
结语
以上就是本次小学三年级数字推理专题训练的全部内容。
希望
大家认真练习，并能够在数字推理上有所提高！。
期末专项训练 专题一 探索数与式的运算性质及规律
C．a、b 为有理数，则 a＋b＞a－b
D．a、b 为不等于零的有理数，则 ab 与ab同号
7．如果在数轴上表示 a、b 两个实数的点的位置如图所示，那么化简|a－b| ＋|a＋b|的结果等于( B )
A．2a
B．－2a
C．0
D．2b
8．已知多项式 ax5＋bx3＋cx－1，当 x＝－2 时，其值为 5，那么当 x＝2 时，
23．在求两位数的平方时，可以用“列竖式”的方法进行速算，求解过程如 图 1 所示．
(1)仿照图 1，在图 2 中补全 672 的“竖式”； (2)仿照图 1，用“列竖式”的方法计算一个两位数的平方，部分过程如图 3 所示．若这个两位数的个位数字为 a，则这个两位数为 a＋50 (用含 a 的代 数式表示)．
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
13．某音像社对外出租光盘的收费方法是：每张光盘在租出后的头两天收 0.8 元，以后每天收 0.5 元，那么一张光盘在租出的第 n 天(n 是大于 2 的自然数)， 应收租金 0.5n＋0.6 元． 14．如图，已知 a＝4，b＝3，则阴影部分的面积为 8－89π .
解：(1)厂家直销利润：30x－20x－1200＝10x－1200 委托商场销售利润：24x －20x＝4x (2)当 x＝300 时，直销 300×10－1200＝1800(元)；批发 4×300＝1200(元)， ∵1800＞1200，故选择直销获利较多． (3)当 x＝200 时，两种销售方式都可以，获利一样多．
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/8/262021/8/26Thursday, August 26, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/8/262021/8/262021/8/268/26/2021 7:56:38 PM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/8/262021/8/262021/8/26Aug-2126-Aug-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/8/262021/8/262021/8/26Thursday, August 26, 2021
小学综合算式专项练习题找数字规律的扩展题
小学综合算式专项练习题找数字规律的扩展题随着小学生对综合算式的掌握程度逐渐提高，为了进一步提升他们的逻辑思维和数学分析能力，我们可以引入一些扩展题，帮助他们锻炼发现数字规律的能力。
在这篇文章中，我将为大家介绍一些小学综合算式找数字规律的扩展题。
1. 数列规律题(1) 假设有一个数列：2, 4, 8, 16, 32, ...请问下一个数字是多少？解析：观察数列中的数字，可以发现每个数字都是前一个数字的2倍。
所以下一个数字应该是32的2倍，即64。
(2) 假设有一个数列：1, 4, 9, 16, 25, ...请问下一个数字是多少？解析：观察数列中的数字，可以发现每个数字都是它的索引值的平方。
所以下一个数字应该是36，即6的平方。
2. 四则运算规律题(1) 假设有一个算式：5 + 10 = 15， 10 + 15 = 25， 15 + 20 = 35， ...请问下一个算式应该是多少？解析：观察算式中的数字，可以发现每个结果都是两个数相加后再加上前一个结果的和。
所以下一个算式应该是20 + 25 = 45。
(2) 假设有一个算式：4 * 7 = 12， 7 * 11 = 18， 11 * 15 = 24， ...请问下一个算式应该是多少？解析：观察算式中的数字，可以发现每个结果都是两个数相乘后再加上前一个结果的差。
所以下一个算式应该是15 * 19 = 35。
3. 空格数字规律题(1) 假设有一个算式：3 + ___ = 9， 7 + ___ = 15， 8 + ___ = 16， ...请问下一个算式应该是什么？解析：观察算式中的数字，可以发现空格处的数字都是结果与第一个数的差。
所以下一个算式应该是9 + ___ = 18。
(2) 假设有一个算式：4 * ___ = 24， 6 * ___ = 48， 9 * ___ = 72， ...请问下一个算式应该是什么？解析：观察算式中的数字，可以发现空格处的数字都是结果与第一个数的商。
一年级数学规律练习题下册
一年级数学规律练习题下册【一年级数学规律练习题下册】在一年级数学教学中，规律练习题是培养学生逻辑思维和数学思维能力的重要环节。
通过规律练习题的训练，可以帮助学生理解数学规律，提高他们的观察力和推理能力。
在本篇文章中，我们将探讨一些适合一年级学生的数学规律练习题，以帮助他们更好地掌握数学知识。
一、用数字填空1. 观察下面的数列：2, 4, 6, 8, __, __, __。
这个数列中的数字都是偶数，并且每个数字都比前一个数字大2。
根据这个规律，我们可以填入下面的数字：10, 12, 14。
2. 观察下面的数列：1, 4, 9, 16, __, __, __。
这个数列中的数字是平方数，并且每个数字都比前一个数字大3、5、7。
根据这个规律，我们可以填入下面的数字：25, 36, 49。
二、找规律观察下面的图案，找出规律并填入正确的数字：[图片]这个图案中，每一行都是一个等差数列。
第一行的公差为1，第二行的公差为2，第三行的公差为3。
根据这个规律，我们可以填入下面的数字：1, 3, 6, 10三、选择填空1. 下面的数字中，哪一个数字不符合规律？A. 8B. 16C. 24D. 32这个题目中，数字之间存在倍数关系，都是上一个数字乘以2。
根据这个规律，我们可以发现选项C不符合规律，因为24不是16的两倍。
2. 下面的数字中，哪一个数字不符合规律？A. 1B. 3C. 5D. 7这个题目中，数字之间的规律是奇数序列。
根据这个规律，我们可以发现选项B不符合规律，因为3是偶数而不是奇数。
四、思考题1. 有一组数列：2, 4, 6, 8, 10, __, __。
请问，下面两个数字应该填入什么？这个数列中的数字都是偶数，并且每个数字都比前一个数字大2。
根据这个规律，我们可以填入下面的数字：12, 14。
2. 请找出下面的数列的规律：1, 3, 6, 10, 15, __, __。
这个数列中的数字之间没有明显的倍数关系，我们可以观察数字之间的差值情况。
专题08规律题方法总结与例题专训(原卷版)
专题08 规律题方法总结与例题专训【知识点睛】常见规律题类型❖周期性循环特点：常以3个或4个数据为一周期，以此循环往复；总数比较大，常和年份结合考察处理方法步骤：1.找出第一周期的几个数，确定周期数2.算出题目中的总数和待求数3.用总数÷周期数=m……n（表示这列数中有m个整周期，最后余n个）4.最后余几，待求数就和每周期的第几个一样；❖周期性递变循环特点：常以2个或3个一周期，后边的每组，周期数不变，但是数据的大小会以相同的关系递增或递减；处理方法：同周期性循环基本一致，最后一步需要加入递变的关系❖递变增减型特点：分以此递增和以此递减，通常是数据之间的直接变化，偶尔借助图形；常和年份结合考察处理方法：熟记单独数据规律，直接应用于考察问题；❖算式类比性特点：常给出几个算式或等式，先算简单的，再从简单的类比到复杂题目的计算处理办法：1.正确计算出前面简单算式的答案2.找出数字间的规律3.将简单数字间的关系推导到字母n的关系中❖常见数字间固定规律识记：1.裂项相消法：将一项拆分成多项，前后保持相等，然后利用某些项相消的原则简化运算；2.错位相减法：适用于两个式子间有相同项的题目，两式相减直接抵消掉中间项，剩余首项、尾项再计算；3.倒序求和发：如：计算1+2+3+......+50，可以设S=1+2+3+......+50，则亦有S=50+49+48+ (1)∴2S=51×50，∴S=51×25=…裂项法公式：kn n k n n k +-=+11)(【类题训练】1．填在下面各正方形中的四个数之间都有一定的规律，按此规律得出a ，b 的值分别为（ ）A ．16，257B ．16，91C ．10，101D ．10，1612．观察下列一组数：，，，，，…，它们是按一定规律排列的，那么这组数的第2022个数是（ ） A ．B ．C ．D ．3．一只小球落在数轴上的某点P 0，第一次从P 0向左跳1个单位到P 1，第二次从P 1向右跳2个单位到P 2，第三次从P 2向左跳3个单位到P 3，第四次从P 3向右跳4个单位到P 4……若按以上规律跳了100次时，它落在数轴上的点P 100所表示的数恰好是2021，则这只小球的初始位置点P 0所表示的数是（ ） A ．1971B ．1970C ．﹣1971D ．﹣19704．有一列数a 1，a 2，a 3，…，a n ，从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面那个数的倒数的差，若a 1＝2，则a 2022为（ ） A ．B ．2C ．﹣1D ．20225．如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上数字0，1，2，3，先让圆周上数字0所对应的点与数轴上的数﹣2所对应的点重合，再让圆沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数﹣2022将与圆周上的哪个数字重合（ ）A ．0B ．1C ．2D ．36．观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知数2022应标在（ ）A．第506个正方形的右上角B．第506个正方形的左下角C．第505个正方形的右上角D．第505个正方形的左下角7．等边三角形（三条边都相等的三角形是等边三角形）纸板ABC在数轴上的位置如图所示，点A、B 对应的数分别为2和1，若△ABC绕着顶点逆时针方向在数轴上连续翻转，翻转第1次后，点C所对应的数为0，则翻转2023次后，点C所对应的数是（）A．﹣2021B．﹣2022C．﹣2023D．﹣20248．下列图形都是由圆和几个黑色围棋子按一定规律组成，图①中有4个黑色棋子，图②中有7个黑色棋子，图③中有10个黑色棋子，…，依次规律，图中黑色棋子的个数是（）A．6067B．6066C．6065D．60649．算筹是古代用来进行计算的工具，它是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形武（如图）．当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间：个位、百位、万位数用纵式表示；十位、千位、十万位数用横式表示；“0”用空位来代替，以此类推例如3306用算筹表示就是，则2022用算筹可表示为（）A．B．C．D．10．根据图中数字的排列规律，在第⑦个图中，a﹣b﹣c的值是（）A．﹣190B．﹣66C．62D．6411．已知整数m1，m2，m3，m4，…满足下列条件：m1＝0，m2＝﹣|1+m1|，m3＝﹣|2+m2|，m4＝﹣|3+m3|，…，以此类推，m2020＝．12．在2020个“□”中依次填入一列数字m1，m2，m3…，m2020，使得其中任意四个相邻的“□”中所填的数字之和都等于15．已知m3＝2，m6＝7，则m1+m2020的值为．27…13．有一数值转换器，原理如图所示，若开始输入x的值是1，可发现第一次输出的结果是4，第二次输出的结果是2，……，请你探索第2021次输出的结果是．14．如图，数字都是按一定规律排列的，其中x的值是．15．观察图，找出规律．，则的值为．16．观察以下等式：第1个等式：×（2﹣）＝1+；第2个等式：×（2﹣）＝1+；第3个等式：×（2﹣）＝1+；第4个等式：×（2﹣）＝1+；第2021个等式：．17．请你观察：，，；…+＝+＝1﹣＝；++＝++＝1﹣＝；…以上方法称为“裂项相消求和法”．请类比完成：（1）+++＝；（2）++++…+＝；（3）计算：的值．18．先阅读下列内容，然后解答问题．因为．所以．请解答：（1）应用上面的方法计算：…．（2）类比应用上面的方法计算：…．19．观察以下图案和算式，解答问题：（1）1+3+5+7+9＝；（2）1+3+5+7+9+…+19＝；（3）请猜想1+3+5+7+……+（2n﹣1）＝；（4）求和号是数学中常用的符号，用表示，例如，其中n＝2是下标，5是上标，3n+1是代数式，表示n取2到5的连续整数，然后分别代入代数式求和，即：＝3×2+1+3×3+1+3×4+1+3×5+1＝46请求出的值，要求写出计算过程，可利用第（2）（3）题结论．20．从2开始，连续的偶数相加，它们的和的情况如表：加数m的个数和S12＝1×222+4＝6＝2×332+4+6＝12＝3×442+4+6+8＝20＝4×552+4+6+8+10＝30＝5×6（1）按这个规律，当m＝6时，和为；（2）从2开始，m个连续偶数相加，它们的和S与m之间的关系，用公式表示出来为：＝．（3）应用上述公式计算：①2+4+6+ (200)②202+204+206+ (300)21．观察算式：1×3+1＝4＝22；2×4+1＝9＝32；3×5+1＝16＝42；4×6+1＝25＝52；……（1）请根据你发现的规律填空：7×9+1＝（）2；（2）用含n的等式表示上面的规律：；（3）用找到的规律解决下面的问题：计算：22．（1）①观察一列数1，2，3，4，5，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之差是一个常数，这个常数是；根据此规律，如果a n（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么a18＝，a n ＝；②如果欲求1+2+3+4+…+n的值，可令S＝1+2+3+4+…+n❶，将①式右边顺序倒置，得S ＝n+…+4+3+2+1❷，由❷式+❶式，得2S＝；∴S＝；由结论求1+2+3+4+…+55＝；（2）①观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是；根据此规律，如果a n（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么a18＝，a n＝；②为了求1+3+32+33+…+32018的值，可令M＝1+3+32+33+…+32018❶，则3M＝3+32+33+…+32019❷，由❷式﹣❶式，得3M﹣M＝32019﹣1，∴M＝，即1+3+32+33+...+32018＝．仿照以上推理，计算1+5+52+53+ (551)。
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练习
1正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图的方式放置．点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线y=x+1和x轴上，则点B n的坐标是．
2如图，在等腰Rt△OAA1中，∠OAA1=90°，OA=1，以OA1为直角边作等腰Rt△OA1A2，以OA2为直角边作等腰Rt△OA2A3，…则OA2018的长度为．
例3下面是一个某种规律排列的数阵：
根据数阵的规律，第n（n是整数，且n≥3）行从左到右数第n﹣2个数是（用含n的代数式表示）
练习
1 观察下列各式：
13=12
13+23=32
13+23+33=62
13+23+33+43=102
…
猜想13+23+33+…+103=．
进一步猜想，若从1的立方一直加到n的立方结果等于多少？
2观察下列一组数：，，，，，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n个数是．
例4
一列数a1，a2，a3，…a n，其中a1=﹣1，a2=，a3=，…，a n=，则a1+a2+a3+…+a2014=．
练习
如图，弹性小球从点P（0，3）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为P1，第2次碰到矩形的边时的点为P2，…，第n次碰到矩形的边时的点为P n，则点P3的坐标是；点P2014的坐标是．
三反思与小结
1本节复习内容主要复习了什么问题的解决方法？
2该种问题在解决的时候一般至少求出前几个数值才能发现规律？但是那种类型的问题不适合这种做法？
3常见的数式规律问题最终结果的类型你掌握了几个？
规律探索练习题
一、选择题
1．（2014•德州，第17题4分）如图，抛物线y=x2在第一象限内经过的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次为A1，A2，A3…A n，…．将抛物线y=x2沿直线L：y=x向上平移，得一系列抛物线，且满足下列条件：
①抛物线的顶点M1，M2，M3，…M n，…都在直线L：y=x上；
②抛物线依次经过点A1，A2，A3…A n，…．
则顶点M2014的坐标为（，）．
3．（2014年山东泰安，第24题4分）如图，在平面直角坐标系中，将
△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x 轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x
轴上，依次进行下去…．若点A（，0），B（0，4），
则点B2014的横坐标为．
4.（2014•娄底19．（3分））如图是一组有规律的图案，第1个图案由4个▲组成，第2个图案由7个▲组成，第3个图案由10个▲组成，第4个图案由13个▲组成，…，则第n（n 为正整数）个图案由个▲组
成．
5. (2014年湖北咸宁14．（3分）)观察分析下列数据：0，﹣，，﹣3，2，﹣，3，…，根据数据排列的规律得到第16个数据应是（结果需化简）．
6 (2014•年山东东营,第18题4分)将自然数按以下规律排列：
表中数2在第二行第一列，与有序数对（2，1）对应，数5与（1，3）对应，数14与（3，4）对应，根据这一规律，数2014对应的有序数对为．。