四川省三台中学实验学校2019_2020学年高一数学下学期开学考试试题
四川省高一下学期入学考试数学试题(解析版)
一､单选题（共40分）1. 已知集合,那么（ ） (){}|10M x x x =-=A.B. C. D. 0M ∈1M ∉1M -∈0M ∉【答案】A【解析】【分析】确定结合的元素，根据元素和集合的关系判断各选项，即得答案.(){}|10M x x x =-=【详解】由题意知集合，(){}|10{0,1}M x x x =-==故，故A 正确，D 错误，，故B 错误，，故C 错误，0M ∈1M ∈1M -∉故选：A2. 命题“，”的否定是（ ）1x ∀≥ln 0x <A. ，B. ， 1x ∃<ln 0x ≥1x ∀≥ln 0x ≥C. ，D. ， 1x ∀<ln 0x <1x ∃≥ln 0x ≥【答案】D【解析】【分析】由全称量词命题的否定为存在量词命题直接写出即可.【详解】全称量词命题的否定为存在量词命题，故命题“，”的否定是“，”.1x ∀≥ln 0x <1x ∃≥ln 0x ≥故选:D.3. 若，则下列不等式中正确的是（ ） 110a b<<A. B.a b <22a b ab >C.D. a b >-2a b a +<【答案】B【解析】 【分析】根据可得：，然后根据不等式的性质逐项进行检验即可求解. 110a b<<0b a <<【详解】因为，所以，故选项错误； 110a b <<0b a <<A 因为，所以，则有，故选项正确；0b a <<0ab >22a b ab >B 因为，所以，又因为，所以，则，故选项错误；0b a <<a b -<-a<0a a =-a a b -=<-C因为，所以，两边同时除以2可得：，故选项错误， 0b a <<a b a a +<+2a b a +<D 故选：.B 4. 已知角的终边经过点， ，则（ ） α(,5)m -12cos 13α=tan α=A. B. C. D. 125±512±512-125-【答案】C 【解析】【分析】由三角函数定义求得，再计算正切值．m【详解】由题意，解得，． 12cos 13α==12m =55tan 1212α-==-故选：C ．5. 函数的零点所在的区间为（ ） ()126x f x x -=+-A.B. C. D.(1,2)(2,3)(3,4)(4,5)【答案】B【解析】【分析】利用零点存在性定理即可求解.【详解】因为函数在上单调递增， 1()26x f x x -=+-R ，，，(1)11640f =+-=-<(2)22620f =+-=-<(3)43610f =+-=>则有，所以函数的零点所在的区间为，(2)(3)0f f ⋅<1()26x f x x -=+-(2,3)故选：.B 6. 函数的图象大致是（ ） ()222x x x f x -=+A. B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据函数的奇偶性先排除，再利用特殊值排除选项，进而求解.B,D C 【详解】函数的定义域为，且， ()222x x x f x -=+R 22()()()2222x x x x x x f x f x ----===++则函数为偶函数，故排除选项；()f x B,D 又因为当时，，故排除选项，0x >()0f x >C 故选：.A 7. 一种药在病人血液中的量保持在以上，才有疗效；而低于，病人就有危险．现给某病1500mg 500mg 人的静脉注射了这种药，如果药在血液中以每小时的比例衰减，那么距下次注射这种药物2500mg 20%最多不能超过（ ）小时．（精确到，参考数据：）0.1h lg 20.30,lg 30.48,lg 50.70≈≈≈A.B. C. D.2.2 5.87.08.2【答案】C【解析】【分析】根据题意列出不等式，整理得指数不等式，再利用指数函数的单调性、指对关系，、换底公式和对数的运算性质，以及条件进行求解．【详解】设应在病人注射这种药小时后再向病人的血液补充这种药，x 依题意，可得， ()5002500120%1500x ≤⨯-≤整理，得， 143555x ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭则， 445531log log 55x ≤≤， 453lg61lg2lg31log 2.25lg813lg21-+-==≈--同理得， 451lg 5log 7.05lg81-=≈-解得：，2.27.0x ≤≤所以距下次注射这种药物最多不能超过7.0小时．故选：C8. 定义在上的奇函数在上是减函数，若，则实数的取值范R ()f x [0,)+∞()()2(32)0f m f m f +-->m 围为（ ）A.B. (1,3)-[]0,2C.D. ()1,2-()1,3【答案】A【解析】【分析】根据函数的奇偶性和单调性得出，然后解一元二次不等式便可223m m <+【详解】是定义在上的奇函数，且在上是减函数， ()f x R [0,)+∞在定义域上是减函数，且，∴()f x R (0)0f =，即，()()2(32)00f m f m f +-->=∴()()()23223f m f m f m >---=+故可知，即可解得，2223230m m m m <+⇒--<13m -<<实数的取值范围为.m (1,3)-故选：A二､多选题（共20分）9. 若“”是“”的必要不充分条件，则实数的值可以是（ ）1x <x m <m A.B. C. D. 23-2-1-【答案】ABC【解析】【分析】根据必要不充分条件的含义得，一一代入选项检验即可.1m <【详解】根据题意可知“”无法推出“”，但“”可以推出“”，1x <x m <x m <1x <则，则ABC 正确，D 错误，1m <故选：ABC.10. 若实数，，满足．以下选项中正确的有（ ） m 0n >21m n +=A. 的最大值为mn 18B. 的最小值为11m n +C. 的最小值为 2911m n +++254D. 的最小值为224m n +12【答案】AD【解析】【分析】利用基本不等式逐项进项检验即可求解.【详解】因为实数，，所以时，也即时取m 0n >12m n =+≥2m n =11,42m n ==等），整理可得：，故选项正确； 18mn ≤A因为（当且仅当，也即11112(2)(33n m m n m n m n m n +=++=++≥+2n m m n =时取等号），故选项错误； 1m n ==-B 因为，则有，21m n +=2(1)(1)4m n +++=所以 29129118(1)2(1)[2(1)(1)]()[13]11411411m n m n m n m n n m +++=++++=++++++++（当且仅当，也即时取等125[1344≥⨯+=18(1)2(1)11m n n m ++=++17,55m n =-=号）因为，所以等号取不到，故选项错误；,0m n >C因为，则有， 21m n +=22222221(2)4442(4)m n m n mn m n m n =+=++=++≤+所以时取等号），故选项正确， 22142m n +≥=11,42m n ==D 故选：. AD 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） 223,0()ln 2,0x x x f x x x ⎧+-≤=⎨->⎩A.()()13f f =-B. 函数在上单调递增()f x ()1,-+∞C. 不等式的解集为()0f x <{}23e x x -<<∣D. 当时，方程有三个不等实根43k -<≤-()f x k =【答案】ACD【解析】【分析】将1代入解析式计算，作出函数图象，判断单调性，解不等式，数形结合推断((1))f f ()f x k =有三个不等实根时k 的取值范围.【详解】因为，所以，A 项正确；(1)2f =-((1))(2)3f f f =-=-作出函数图象如图，函数在和上单调递增，B 项错误；(1,0)-(0,)+∞令，由图形得，C 项正确；()0f x <{}23e x x -<<结合函数图象，直线与图象有三个交点时，，D 项正确.y k =()y f x =43k -<≤-故选：ACD .12. 下列命题是真命题的是（ ）A. 若函数的定义域为，则函数的定义域为()1f x +[]22-,()f x []3,1-B. 函数（其中且）的图象过定点 ()()1log 21x a f x x a-=-+0a >1a ≠()1,1C. 函数的单调递减区间为 ()()2ln f x x x =-1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D. 已知在上是增函数，则实数的取值范围是()()()2511x ax x f x a x x⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩(),-∞+∞a []3,2--【答案】BD【解析】【分析】根据可求得的范围，即为定义域，知A 错误；由恒成立可知B 正22x -≤≤1x +()f x ()11f =确；根据对数型复合函数单调区间的求法可知C 错误；令分段函数每一段单调递增且在分段处函数值大小关系符合单调递增关系即可构造不等式组求得D 正确.【详解】对于A ，的定义域为，即，，()1f x +Q []22-,22x -≤≤113x ∴-≤+≤的定义域为，A 错误；()f x \[]1,3-对于B ，，图象过定点，B 正确；()01log 1011a f a =+=+= ()f x \()1,1对于C ，令，由知：，2u x x =-0u >01x <<在上单调递增，在上单调递减， 2u x x =- 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭又在上单调递增，的单调递减区间为，C 错误； ln y u =()0,∞+()f x \1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭对于D ，在上是增函数，，解得：，()f x (),-∞+∞12015a a a a ⎧-≥⎪⎪∴<⎨⎪---≤⎪⎩32a --≤≤即实数的取值范围为，D 正确.a []3,2--故选：BD.三､填空题（共20分）13. 已知扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的面积为______． 4π3π3【答案】## 8π38π3【解析】【分析】利用扇形弧长公式和面积公式即可求得结果. 【详解】由题意知，圆心角为，弧长为， π3α=4π3l =设扇形半径为，根据弧长公式得， r 4π3l r α==4r =则扇形面积. 114π8π42233S lr ==⨯⨯=故答案为：8π314. 已知函数，则______. ()21,02log ,0xx f x x x ⎧⎛⎫<⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩()114f f ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭【答案】0【解析】 【分析】根据分段函数的解析式直接求解即可. 【详解】因为，所以. 104>211log 244f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭因为，所以. 10-<()11122f -⎛⎫-== ⎪⎝⎭所以. ()1104f f ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭故答案为:0.15. 已知是幂函数，且在上是减函数，则实数的值为__________2()(1)f x m m =--223mm x --(0,)+∞m .【答案】2【解析】【分析】解方程，再检验得解.211m m --=【详解】解：依题意，，得或，211m m --2m =1m =-当时，，幂函数在上不是减函数，所以舍去.1m =-0()1f x x ==()f x (0,)+∞当时，，幂函数在上是减函数．所以.2m =3()-=f x x ()f x ()0,∞+2m =故答案为： 216. 已知函数，记函数（其中）的4个零点分别为()()()()221,23,2x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩()()g x f x b =-01b <<，，，，且，则的值为___________. 1x 2x 3x 4x 1234x x x x <<<123422x x x x +++【答案】8【解析】【分析】将函数的零点转化为与图象交点的横坐标，然后根据二次函数的对()()g x f x b =-()f x y b =称性得到，结合的解析式和图象可得，，然后求346x x +=()f x 121x b -=-12222x x +=即可.123422x x x x +++【详解】函数的零点可以看做与图象交点的横坐标，和的图象如上图所()()g x f x b =-()f x y b =()f x y b =示，根据二次函数的对称性得到，34236x x +=⨯=由图可知，，，则，所以.121x b -=-221x b -=12222x x +=1234228x xx x +++=故答案为：8. 四､解答题（共70分）17. 已知集合，，.{}212270A x x x =-+≤{}27B x x =<<{}211C x m x m =-<<+（1）求；,A B A B （2）若，求m 的取值范围.B C C = 【答案】（1）[)(]3,7,2,9A B A B ⋂=⋃=（2）3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）先求出集合A ，由交集和并集的定义即可得出答案；（2）由可得，讨论和，求解即可.B C C = C B ⊆C =∅C ≠∅【小问1详解】 ，{}212270A x x x =-+≤}{=39x x ≤≤{}27B x x =<<所以.[)(]3,7,2,9A B A B ⋂=⋃=【小问2详解】因为，所以，B C C = C B ⊆若，则，解得：， C =∅211m m -≥+2m ≥若，则，解得：， C ≠∅221132122176m m m m m m m <⎧-<+⎧⎪⎪⎪-≥⇒≥⎨⎨⎪⎪+≤⎩≤⎪⎩322m ≤<所以m 的取值范围为：.3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭18. 已知是第二象限角，且.α222sin 3sin cos 2cos 0αααα--=（1）求的值； tan α（2）求的值. ()()πsin sin π23π3cos cos 2αααα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭⎛⎫-+- ⎪⎝⎭【答案】（1）； 1tan 2α=-（2）. 35【解析】【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系化为关于的方程，根据所在的象限即可求解； tan αα（2）根据诱导公式可得原式，分子分母同时除以即可求解. cos sin 3sin cos αααα-=-+cos α【小问1详解】由， 222sin 3sin cos 2cos 0αααα--=可得，即， 2222sin 3sin cos 2cos 0cos ααααα--=22tan 3tan 20αα--=解得或. 1tan 2α=-tan 2α=因为是第二象限角，所以. α1tan 2α=-【小问2详解】. ()()πsin sin πcos sin 1tan 323π3sin cos 3tan 153cos cos 2αααααααααα⎛⎫-++ ⎪--⎝⎭===-+-+⎛⎫-+- ⎪⎝⎭19. 2023年某企业计划引进新能源汽车生产设备，经过市场分析，全年投入固定成本2500万元，每生产x百辆新能源汽车需另投入成本万元，且，由市场调研知，每()C x ()210100,040100005014500,40x x x C x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩一百辆车的售价为500万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.（注：利润＝销售额－成本） （1）求2023年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式.()L x x （2）当2023年的年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.【答案】（1）； ()2104002500,040100002000,40x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎛⎫-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩（2）年产量为100百辆时，该企业所获利润最大，最大利润为1800万元.【解析】【分析】（1）根据利润＝销售额－成本，结合分类讨论思想进行求解即可；（2）根据配方法、基本不等式进行求解即可.【小问1详解】当时，040x <<；()22500101002500104002500L x x x x x x =---=-+-当时，， 40x ≥()1000010000500501450025002000L x x x x x x ⎛⎫=--+-=-+ ⎪⎝⎭所以； ()2104002500,040100002000,40x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎛⎫-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩【小问2详解】当时，，040x <<()()210201500L x x =--+所以；()()max 201500L x L ==当时，， 40x ≥()100002000200020002001800L x x x ⎛⎫=-+≤-=-= ⎪⎝⎭当且仅当，即时等号成立. 10000x x=100x =故，()()max 10018001500L x L ==>所以当2023年的年产量为100百辆时，该企业所获利润最大，最大利润为1800万元.20. 在①不等式的解集为，②当时，取得最大值4，③()0f x >()1,3-1x =()f x 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答.()()()11,03f x f x f +=-=问题：已知函数，且__________. ()22f x ax x c =+-（1）求的解析式；()f x （2）若在上的值域为，求的值. ()f x [],()m n m n <[]3,72n m --m n +【答案】（1）()223f x x x =-++（2）5【解析】【分析】（1）对①：根据三个二次之间的关系运算求解；对②：根据二次函数的最值运算求解；对③：根据二次函数的对称性运算求解；（2）根据题意结合二次函数的单调性和最值分析运算.【小问1详解】若选①：由函数，且不等式的解集为， ()22f x ax x c =+-()0f x >()1,3-即是方程两个实数根，且，1,3-220ax x c +-=a<0可得，解得， 21313a c a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=-⎪⎩1,3a c =-=-所以； ()223f x x x =-++若选②：由题意可得，解得，()11124a f a c ⎧-=⎪⎨⎪=-+-=⎩1,3a c =-=-故； ()223f x x x =-++若选③：因为，所以图象的对称轴方程为，()()11f x f x +=-()f x 1x =则，即， 11a -=1a =-因为，所以，()03f =3c =-故.()223f x x x =-++【小问2详解】因为在上的值域为，所以，即， ()223f x x x =-++R (],4∞-724m -≤32m ≥因为图象的对称轴方程为，所以在上单调递减，()f x 1x =()f x [],m n 则， ()()222372233f m m m m f n n n n ⎧=-++=-⎪⎨=-++=-⎪⎩解得，即.2,3m n ==5n m +=21. 已知函数（且）的图象经过点和．()log a f x b x =+0a >1a ≠()4,1()1,1-（1）求函数的解析式；()f x （2）令，求的最小值及取最小值时x 的值．()()()21g x f x f x =+-()g x 【答案】（1） 2()1log f x x =-+（2）的最小值为，且取最小值时x 的值为.()g x 3()g x 1【解析】【分析】（1）由求出，可得的解析式； 1log 41log 1a a b b =+⎧⎨-=+⎩,a b ()f x （2）化简得，再根据基本不等式和对数函数的单调性可求出()g x 21()1log ()2g x x x ⎛⎫=-+++ ⎪⎭(0)x >结果.【小问1详解】依题意可得，解得， 1log 41log 1a a b b =+⎧⎨-=+⎩21a b =⎧⎨=-⎩所以.2()1log f x x =-+【小问2详解】由（1）知，，2()1log f x x =-+所以()()22()21log (1)1log g x x x =-++--+22211log x x x++=-+211log (2x x ⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭(0)x >，因为，所以，当且仅当时，等号成立， 0x >1224x x ++≥+=1x =又，所以，此时.21>min ()143g x =-+=1x =所以的最小值为，且取最小值时x 的值为.()g x 3()g x 122. 已知函数定义域为，函数． 21()21x x f x -=+(1,1)-1()421x x g x m m +=+⋅+-（1）解不等式；(21)(32)0f x f x -+-<（2）若存在两个不等的实数a ，b 使得，且，求实数m 的取值范围．()()0f a f b +=()()0g a g b +≥【答案】（1） 1335x x ⎧⎫<<⎨⎬⎭⎩（2） 25+12∞⎛⎫- ⎪⎝⎭，【解析】【分析】（1）结合函数的单调性和奇偶性求解即可；（2）由已知结合函数的单调性及奇偶性可得，进而推导出代=-b a ，令，则代入化简可得，令211()()2222022a a a a g a g b m m ⎛⎫⎛⎫+=+++-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭122a a t =+222t m t ≥-，只需即可. ()222t h t t=-()min m g t >【小问1详解】函数定义域为，关于原点对称， 21()21x x f x -=+(1,1)-，所以易知，在上单调递增， 212122()1212121x x x x x f x +--===-+++()f x (1,1)-因为，是奇函数， ()2112()2112x xx x f x f x -----===-++()f x 由可得，(21)(32)0f x f x -+-<()(21)(32)23f x f x f x -<--=-所以，解得：. 121112312123x x x x -<-<⎧⎪-<-<⎨⎪-<-⎩1335x <<故不等式的解集为：. 1335x x ⎧⎫<<⎨⎬⎭⎩【小问2详解】由可得，()()0f a f b +=()()()f a f b f b =-=-所以，不妨设，则，=-b a a b >01a <<因为，令，则， 1()421x x g x m m +=+⋅+-122a a t =+522t <<所以，11()()()()421421a a a a g a g b g a g a m m m m +--++=+-=+⋅+-++⋅+-，所以， 211=222222a a a a m m ⎛⎫⎛⎫+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2210t m t =+-≥222t m t ≥-令， ()22211=2222111222t h t t t t t ==-⎛⎫--- ⎪⎝⎭因为，所以， 522t <<21152t <<所以， 2111112222225t ⎛⎫-<--<- ⎪⎝⎭所以，所以 ()25212h t -<<-2512m >-所以实数m 的取值范围为：.25+12∞⎛⎫- ⎪⎝⎭，。
2019-2020年高一下学期开学考试数学试题 含答案
2019-2020年高一下学期开学考试数学试题含答案一、选择题：1.已知集合，集合，则（）A． B． C． D．2.设集合，则（）A． B． C． D．3.已知函数的定义域为，则函数的定义域（）A． B． C． D．5.已知，则的解析式为（）A． B． C．D．6.一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为的正方形，则原平面图形的面积为（）A． B． C． D．7. 为不重合的直线，为不重合的平面，则下列说法正确的是（）A．，则 B．，则C．，则 D．，则8.室内有一直尺，无论怎样放置，在地面上总有这样的直线，它与直尺所在的直线（）A．异面 B．相交 C．平行 D．垂直9.设平面，且相等，则是的（）A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心10.在正方体中，分别是的中点，那么，正方体的过的截面图形是（）A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形11.若直线和是异面直线，在平面内，在平面内，是平面与平面的交线，则下列命题正确的是（）A．至少与，中的一条相交 B．与都相交C．至多与，中的一条相交 D．与都相不交12.垂直于同一平面的两条直线一定（）A ．相交B ．平行C ．异面D ．以上都有可能13.某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积是（ ）A ．B ．C ．D ．14．如果，那么直线不经过的象限是（ ）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限15．动点在圆上移动时，它与定点连线的中点的轨迹方程是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题16.已知{}{}|25,|11,A x x B x m x m B A =-≤≤=-≤≤+⊆，则的取值范围为________．17．函数的值域是,则实数的取值范围是________．18.函数在内单调递减，则的取值范围是________．19.圆锥的侧面展开图为扇形，已知扇形弧长为，半径为，则该圆锥的体积等于________．20.已知实数满足，则的最小值等于________．三、解答题21.已知函数是定义在上的奇函数，且在区间上为减函数，若求实数的取值范围．22.如图，正方形和四边形所在的平面互相垂直，，．（1）求证：平面；（2）求证：平面．23．已知方程22242(3)2(14)1690x y m x m y m +-++-++=表示一个圆．（1）求实数的取值范围；（2）求该圆的半径的取值范围．24．如图，在三棱锥中，平面平面，为等边三角形，且，分别为的中点．（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）求三棱锥的体积．25．已知圆,为坐标原点，动点在圆外，过作圆的切线，设切点为．①若点运动到处，求此时切线的方程；②求满足条件的点的轨迹方程．26．已知函数．（1）当时，求函数的零点；（2）若函数有零点，求实数的取值范围．参考答案BCBCA CDDBD ABCBC21．解：由已知得，由，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分因为奇函数在对称的区间上单调性相同，所以在上单调递减，．．．．．．．．．．．．．．．6分 则有，解得，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分22．证明：（1）设与交于点．∵，∴四边形为平行四边形，所以．∵平面，平面，∴平面． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）连接．∵，且，∴四边形为菱形，∴．∵四边形为正方形，∴．即2244424364326464360m m m m m +++-+-->，整理得，解得，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）r ===∴，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分24．（1）因为分别是的中点，所以．又因为平面，所以平面． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分（2）因为，为的中点，所以，又因为平面平面，且平面，所以平面．所以平面平面． ．．．．．．．．．．．8分（3）在等腰直角三角形中，，所以．所以等边三角形的面积．又因为平面，所以三棱锥的体积等于．又因为三棱锥的体积与三棱锥的体积相等地，所以三棱锥的体积为，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分25．解：（1）当直线的斜率不存在时，此时直线方程为，到直线的距离，满足条件；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分当直线的斜率存在时，设斜率为，得直线的方程为，即，则，解得．所以直线方程，即综上，满足条件的切线方程为或．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分（2）设，则22222(1)(2)4PMPC MC x y =-=++--， ，∵，∴，整理，得，故点的轨迹方程为， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分26．解：（1）时，，令，即，解得或（舍）所以，所以函数的零点为． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）若有零点，则方程有解． 于是221111112()()()424224x x x x x a +⎡⎤==+=+-⎢⎥⎣⎦， 因为，所以，即，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分。
四川省三台中学实验学校2020学年高一数学下学期开学考试试题(含答案)
当 时， ， ……5分
（2） ………6分
又 ，
即 ………………………………8分
设 与 夹角为 ，则
……………………………10分
19.解：（1）∵ ，∴ ，......2分
即 ．.......4分
∴ ．........5分
（2）由（1）可得 ，
即 ...........7分
..........9分
．...........10分
20解：（1）在 中，由 ，所以
∵ ，
∴ ，
∴ ，又∵ ，∴ ...................4分
又∵ ，∴ ，即 为 ...................5分
（2）在 中， ， ，由余弦定理可得
，.............7分
又∵ ，∴ 为等腰直角三角形，
7． 的内角 所对的边分别为 ，
，则
A． B． C． D．
8．如图所示，已知 ， ， ， ，则下列等式中成立的是
A. B.
C. D.
9．在 中，已知 ， ， ，则 等于
A． B． 或 C． D．以上都不对
10．已知 和点 满足 ,若存在实数 使得 成立，则
A． B． C． D．
11．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图①中的 由于这些数能表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，将图②中的 这 样的数称为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是教育精品
∴ ，............9分
∴当 时，四边形 面积有最大值，最大值为 .................10分
四川省三台中学实验学校2020学年高一数学下学期开学考试试题（含答案）
学2019-2020学年高一数学下学期开学考试试题(含解析)_4
学2019-2020学年高一数学下学期开学考试试题（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解不等式确定集合，再由并集定义计算．【详解】由已知，，∴．故选：C．【点睛】本题考查集合的并集运算，解题关键是掌握解一元二次不等式，掌握对数函数的性质．2. 若a，b是任意实数，且a>b，则下列不等式成立的是( )A. a2>b2B.C. lg(a－b)>0D.【答案】D【详解】试题分析：A中不成立，B中不成立，C中不成立，D中由指数函数单调性可知是成立的3. 已知.若与共线，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先由求出坐标表示,再由与共线,即可求出结果.【详解】因为所以,又,与共线,所以,解得.故选:.【点睛】本题主要考查向量的坐标运算,熟记共线向量定理即可,属于基础题型,难度较易.4. 若,则（）A. B. C. D.【答案】A试题分析：，故选A.考点：两角和与差的正切公式．5. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思是有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（）A. 96里B. 48里C. 192里D. 24里【答案】A【解析】【分析】根据题意,此人每天走的路程构成了公比的等比数列,再根据求和公式列式求解即可.【详解】由题意可知,此人每天走的路程构成了公比的等比数列,设该数列为,其前项和为则有,解得,故,故选:A.【点睛】本题考查了等比数列的相关知识,能读懂题识别该模型为等比数列是解题关键.6. 已知，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由可求得的值,由于即可解得所求.【详解】,,即,所以.故选:.【点睛】本题考查了二倍角的余弦公式,三角函数的诱导公式,考查了学生的计算能力,难度较易.7. 一海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处．在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是( ) A. 10海里 B. 10海里 C. 20海里 D. 20海里【答案】B【解析】根据已知条件可知△ABC中，AB＝20，∠BAC＝30°，∠ABC＝105°，所以∠C＝45°，由正弦定理，有，所以10.故选B.8. 函数的函数值恒小于零，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】当即时，恒成立，所以符合题意；当即时，因为函数值恒小于零，所以二次函数的图像开口向下，且和轴没交点，所以，解得．综上所述，．所以选C．【点睛】二次项系数含字母，而题中没说是二次函数，故对二次项系数是否为零讨论．是二次函数时，应结合二次函数的图像抛物线与轴的位置关系解决本题．二次不等式恒成立问题，注意三个二次的运用．9. 已知函数，下面结论错误的是（）A. 函数的最小正周期为B. 函数在区间上是增函数C. 函数的图象关于直线对称D. 函数是偶函数【答案】B【解析】【分析】函数分别求出的周期、奇偶性、对称轴，可得A、C、D都正确．【详解】对于函数，它的周期等于，故正确．令，则，则是的对称轴，故正确．由于，故函数是偶函数，故D正确．利用排除法可得B错误；故选：B．【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律，复合三角函数的周期性、单调性的应用，属于中档题．10. 若函数最大值是8，则（）A. 3B. 13C. 3或D. 或13【答案】C【解析】【分析】利用辅助角公式化简，根据正弦的值域，分类讨论函数最大值即可.【详解】，,当时，,解得，当时，，解得，故选：C【点睛】本题主要考查了三角函数的辅助角公式，正弦函数的值域，分类讨论，属于中档题.11. 已知函数的图象过点，令.记数列的前n项和为，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知条件推导出，．由此利用裂项求和法能求出．【详解】解：由，可得，解得，则.∴，故选：【点睛】本题考查了函数的性质、数列的“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12. 已知定义在上的函数满足，且在上是增函数，不等式对于恒成立，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】根据奇偶性定义和性质可判断出函数为偶函数且在上是减函数，由此可将不等式化为；利用分离变量法可得，求得的最大值和的最小值即可得到结果.【详解】为定义在上的偶函数，图象关于轴对称又在上是增函数在上是减函数，即对于恒成立在上恒成立，即的取值范围为：本题正确选项：【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和单调性求解函数不等式的问题，涉及到恒成立问题的求解；解题关键是能够利用函数单调性将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，从而利用分离变量法来处理恒成立问题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知向量，，则向量在方向上的投影为_______．【答案】-3【解析】根据向量的坐标运算求得向量的模和向量的数量积，由投影计算公式可得答案.【详解】因为，，所以，，，所以向量在方向上的投影为，故答案为：-3.【点睛】本题考查向量的坐标运算，向量的数量积的几何意义，属于基础题.14. 已知等差数列的前n项和为，且，则使取得最大值的n为_______.【答案】6【解析】【分析】由，根据等差数列的前n项和公式，看出第七项小于0，第六项和第七项的和大于0，得到第六项大于0，这样前6项的和最大．【详解】因为等差数列中，，所以，，，∴Sn达到最大值时对应的项数n的值为6．故答案为：6【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，等差数列的前n项和，属于容易题．15. 已知则的最小值是 .【答案】4【解析】lg 2x＋lg 8y＝xlg2＋3ylg 2＝lg 2，∴x＋3y＝1，∴＝·(x＋3y)＝2＋≥4，当且仅当x＝，y＝时取等号．16. 设，则________.【答案】【解析】【分析】根据为定值，即采用分组求和方式求解.【详解】，.故答案为：【点睛】本题主要考查了函数求值，分组求和，属于容易题.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．其中第17题10分，第18-22题12分．17. 已知是等差数列，是等比数列，且，，，．（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前n项和．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，运用通项公式，可得，进而得到所求通项公式；（2）由（1）求得，运用等差数列和等比数列的求和公式，即可得到数列和．【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，因为，可得，所以，又由，所以，所以数列的通项公式为．（2）由题意知，则数列的前项和为．【点睛】本题主要考查了等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的分组求和，其中解答中熟记等差、等比数列的通项公式和前n项和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．18. 设函数，其中.已知.（Ⅰ）求；（Ⅱ）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值.【答案】(Ⅰ).(Ⅱ).【解析】试题分析：（Ⅰ）利用两角和与差的三角函数化简得到由题设知及可得.（Ⅱ）由（Ⅰ）得从而.根据得到，进一步求最小值.试题解析：（Ⅰ）因为，所以由题设知，所以，.故，，又，所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）得所以因为，所以，当，即时，取得最小值.【名师点睛】此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，本题易错点在于一是图象的变换与解析式的对应，二是忽视设定角的范围.难度不大，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.19. 已知向量，不共线，且满足，，，.（1）若，求实数的值；（2）若.①求向量和夹角的余弦值；②当时，求实数的值．【答案】（1）；（2）①，②【解析】【分析】（1）两向量平行即共线，利用共线向量定理可求.（2）①利用向量夹角公式可得，②利用向量垂直定理可得.【详解】（1），且.令，即，又，不共线，所以，所以.（2）①设与夹角为，又，②，，又，，..【点睛】考查向量的共线，垂直和夹角公式.共线向量定理：对空间任意两个向量，∥，存在实数使．夹角公式：.向量垂直：.20. 在中，，，分别是，，所对的边，且．（1）求角的大小；（2）若，，求的值．【答案】（1）；（2）5．【解析】【分析】（1）由已知结合正弦定理可得，，而，代入后利用两角和的正弦公式展开可求，进而可求（2）由已知结合三角形的面积公式可求，然后由余弦定理及完全平方公式计算可得.【详解】解：（1）由正弦定理，得，又因为，所以，可得，即，又，所以．（2）因为，所以，所以，由余弦定理可知，所以，即．【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理及和差角公式及三角形的面积公式等在求解三角形中的应用，解题的关键是熟练掌握基本公式，属于基础题.21. 已知数列的前n项和为,且,,数列满足，.(1)求和的通项公式；(2)求数列{}的前n项和 .【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）求数列的通项公式主要利用求解，分情况求解后要验证是否满足的通项公式，将求得的代入整理即可得到的通项公式；（2）整理数列的通项公式得，依据特点采用错位相减法求和试题解析：（1）∵，∴当时，.当时，.∵时，满足上式，∴.又∵，∴，解得：.故，，.（2）∵，，∴①②由①-②得：∴，.考点：1.数列通项公式求解；2.错位相减法求和【方法点睛】求数列的通项公式主要利用，分情况求解后，验证的值是否满足关系式，解决非等差等比数列求和问题，主要有两种思路：其一，转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解（即分组求和）或错位相减来完成，其二，不能转化为等差等比数列的，往往通过裂项相消法，倒序相加法来求和，本题中，根据特点采用错位相减法求和22. 已知函数，，且函数是偶函数.（1）求的解析式；（2）若函数恰好有三个零点，求的值及该函数的零点.【答案】（1）；（2），零点为.【解析】【分析】（1）由函数是偶函数,得出关于直线对称，求出，即可求出的解析式；（2）为偶函数，恰好有三个零点，可得为其零点，代入求出的值，令进而求出该函数的零点.【详解】（1）函数是偶函数，所以关于关于直线对称，，；（2）设偶函数，恰好有三个零点，故必有一个零点为0，，，令整理得，，解得或，得，；，即，所求函数零点为.【点睛】本题考查函数的对称性、函数解析式，以及利用函数的性质求零点问题，考查计算能力，是一道较为综合的题.学2019-2020学年高一数学下学期开学考试试题（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解不等式确定集合，再由并集定义计算．【详解】由已知，，∴．故选：C．【点睛】本题考查集合的并集运算，解题关键是掌握解一元二次不等式，掌握对数函数的性质．2. 若a，b是任意实数，且a>b，则下列不等式成立的是( )A. a2>b2B.C. lg(a－b)>0D.【答案】D【解析】【详解】试题分析：A中不成立，B中不成立，C中不成立，D中由指数函数单调性可知是成立的3. 已知.若与共线，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先由求出坐标表示,再由与共线,即可求出结果.【详解】因为所以,又,与共线,所以,解得.故选:.【点睛】本题主要考查向量的坐标运算,熟记共线向量定理即可,属于基础题型,难度较易.4. 若,则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：，故选A.考点：两角和与差的正切公式．5. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思是有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（）A. 96里B. 48里C. 192里D. 24里【答案】A【解析】【分析】根据题意,此人每天走的路程构成了公比的等比数列,再根据求和公式列式求解即可.【详解】由题意可知,此人每天走的路程构成了公比的等比数列,设该数列为,其前项和为则有,解得,故,故选:A.【点睛】本题考查了等比数列的相关知识,能读懂题识别该模型为等比数列是解题关键.6. 已知，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由可求得的值,由于即可解得所求.【详解】,,即,所以.故选:.【点睛】本题考查了二倍角的余弦公式,三角函数的诱导公式,考查了学生的计算能力,难度较易.7. 一海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处．在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是( )A. 10海里B. 10海里C. 20海里D. 20海里【答案】B【解析】根据已知条件可知△ABC中，AB＝20，∠BAC＝30°，∠ABC＝105°，所以∠C＝45°，由正弦定理，有，所以10.故选B.8. 函数的函数值恒小于零，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】当即时，恒成立，所以符合题意；当即时，因为函数值恒小于零，所以二次函数的图像开口向下，且和轴没交点，所以，解得．综上所述，．所以选C．【点睛】二次项系数含字母，而题中没说是二次函数，故对二次项系数是否为零讨论．是二次函数时，应结合二次函数的图像抛物线与轴的位置关系解决本题．二次不等式恒成立问题，注意三个二次的运用．9. 已知函数，下面结论错误的是（）A. 函数的最小正周期为B. 函数在区间上是增函数C. 函数的图象关于直线对称D. 函数是偶函数【答案】B【解析】【分析】函数分别求出的周期、奇偶性、对称轴，可得A、C、D都正确．【详解】对于函数，它的周期等于，故正确．令，则，则是的对称轴，故正确．由于，故函数是偶函数，故D正确．利用排除法可得B错误；故选：B．【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律，复合三角函数的周期性、单调性的应用，属于中档题．10. 若函数最大值是8，则（）A. 3B. 13C. 3或D. 或13【答案】C【解析】【分析】利用辅助角公式化简，根据正弦的值域，分类讨论函数最大值即可.【详解】，,当时，,解得，当时，，解得，故选：C【点睛】本题主要考查了三角函数的辅助角公式，正弦函数的值域，分类讨论，属于中档题.11. 已知函数的图象过点，令.记数列的前n项和为，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知条件推导出，．由此利用裂项求和法能求出．【详解】解：由，可得，解得，则.∴，故选：【点睛】本题考查了函数的性质、数列的“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12. 已知定义在上的函数满足，且在上是增函数，不等式对于恒成立，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据奇偶性定义和性质可判断出函数为偶函数且在上是减函数，由此可将不等式化为；利用分离变量法可得，求得的最大值和的最小值即可得到结果.【详解】为定义在上的偶函数，图象关于轴对称又在上是增函数在上是减函数，即对于恒成立在上恒成立，即的取值范围为：本题正确选项：【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和单调性求解函数不等式的问题，涉及到恒成立问题的求解；解题关键是能够利用函数单调性将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，从而利用分离变量法来处理恒成立问题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知向量，，则向量在方向上的投影为_______．【答案】-3【解析】【分析】根据向量的坐标运算求得向量的模和向量的数量积，由投影计算公式可得答案.【详解】因为，，所以，，，所以向量在方向上的投影为，故答案为：-3.【点睛】本题考查向量的坐标运算，向量的数量积的几何意义，属于基础题.14. 已知等差数列的前n项和为，且，则使取得最大值的n为_______.【答案】6【解析】【分析】由，根据等差数列的前n项和公式，看出第七项小于0，第六项和第七项的和大于0，得到第六项大于0，这样前6项的和最大．【详解】因为等差数列中，，所以，，，∴Sn达到最大值时对应的项数n的值为6．故答案为：6【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，等差数列的前n项和，属于容易题．15. 已知则的最小值是 .【答案】4【解析】lg 2x＋lg 8y＝xlg2＋3ylg 2＝lg 2，∴x＋3y＝1，∴＝·(x＋3y)＝2＋≥4，当且仅当x＝，y＝时取等号．16. 设，则________.【答案】【解析】【分析】根据为定值，即采用分组求和方式求解.【详解】，.故答案为：【点睛】本题主要考查了函数求值，分组求和，属于容易题.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．其中第17题10分，第18-22题12分．17. 已知是等差数列，是等比数列，且，，，．（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前n项和．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，运用通项公式，可得，进而得到所求通项公式；（2）由（1）求得，运用等差数列和等比数列的求和公式，即可得到数列和．【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，因为，可得，所以，又由，所以，所以数列的通项公式为．（2）由题意知，则数列的前项和为．【点睛】本题主要考查了等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的分组求和，其中解答中熟记等差、等比数列的通项公式和前n项和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．18. 设函数，其中.已知.（Ⅰ）求；（Ⅱ）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值.【答案】(Ⅰ).(Ⅱ).【解析】试题分析：（Ⅰ）利用两角和与差的三角函数化简得到由题设知及可得.（Ⅱ）由（Ⅰ）得从而.根据得到，进一步求最小值.试题解析：（Ⅰ）因为，所以由题设知，所以，.故，，又，所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）得所以因为，所以，当，即时，取得最小值.【名师点睛】此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，本题易错点在于一是图象的变换与解析式的对应，二是忽视设定角的范围.难度不大，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.19. 已知向量，不共线，且满足，，，.（1）若，求实数的值；（2）若.①求向量和夹角的余弦值；②当时，求实数的值．【答案】（1）；（2）①，②【解析】【分析】（1）两向量平行即共线，利用共线向量定理可求.（2）①利用向量夹角公式可得，②利用向量垂直定理可得.【详解】（1），且.令，即，又，不共线，所以，所以.（2）①设与夹角为，又，②，，又，，..【点睛】考查向量的共线，垂直和夹角公式.共线向量定理：对空间任意两个向量，∥，存在实数使．夹角公式：.向量垂直：.20. 在中，，，分别是，，所对的边，且．（1）求角的大小；（2）若，，求的值．【答案】（1）；（2）5．【解析】【分析】（1）由已知结合正弦定理可得，，而，代入后利用两角和的正弦公式展开可求，进而可求（2）由已知结合三角形的面积公式可求，然后由余弦定理及完全平方公式计算可得.【详解】解：（1）由正弦定理，得，又因为，所以，可得，即，又，所以．（2）因为，所以，所以，由余弦定理可知，所以，即．【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理及和差角公式及三角形的面积公式等在求解三角形中的应用，解题的关键是熟练掌握基本公式，属于基础题.21. 已知数列的前n项和为,且,,数列满足，.(1)求和的通项公式；(2)求数列{}的前n项和 .【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）求数列的通项公式主要利用求解，分情况求解后要验证是否满足的通项公式，将求得的代入整理即可得到的通项公式；（2）整理数列的通项公式得，依据特点采用错位相减法求和试题解析：（1）∵，∴当时，.当时，.∵时，满足上式，∴.又∵，∴，解得：.故，，.（2）∵，，∴①②由①-②得：∴，.考点：1.数列通项公式求解；2.错位相减法求和【方法点睛】求数列的通项公式主要利用，分情况求解后，验证的值是否满足关系式，解决非等差等比数列求和问题，主要有两种思路：其一，转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解（即分组求和）或错位相减来完成，其二，不能转化为等差等比数列的，往往通过裂项相消法，倒序相加法来求和，本题中，根据特点采用错位相减法求和22. 已知函数，，且函数是偶函数.（1）求的解析式；（2）若函数恰好有三个零点，求的值及该函数的零点.【答案】（1）；（2），零点为.【解析】【分析】（1）由函数是偶函数,得出关于直线对称，求出，即可求出的解析式；（2）为偶函数，恰好有三个零点，可得为其零点，代入求出的值，令进而求出该函数的零点.【详解】（1）函数是偶函数，所以关于关于直线对称，，；（2）设偶函数，恰好有三个零点，故必有一个零点为0，，，令整理得，，解得或，得，；，即，所求函数零点为.【点睛】本题考查函数的对称性、函数解析式，以及利用函数的性质求零点问题，考查计算能力，是一道较为综合的题.。
2019-2020学年高一下学期开学考试数学试卷Word版含解析
2019-2020学年高一下学期开学考试数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若sinα=﹣，且α为第四象限角，则tanα的值等于（）A．B．﹣C．﹣D．2．设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p为（）A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n3．经过点（﹣1，2）且与直线3x﹣5y+6=0垂直的直线的方程为（）A．3x﹣5y+13=0 B．5x+3y﹣1=0 C．5x+3y+1=0 D．5x﹣3y+11=04．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．15 B．20 C．30 D．605．要得到函数y=sin（2x﹣）的图象，应该把函数y=sin2x的图象（）A．向左平移B．向右平移C．向左平移D．向右平移6．已知等差数列{an }中a3+a9+a15=9，则数列{an}的前17项和S17=（）A．102 B．36 C．48 D．517．已知双曲线的焦点分别为（0，﹣2）、（0，2），且经过点P（﹣3，2），则双曲线的标准方程是（）A． =1 B． =1 C．y2﹣=1 D． =18．设变量x，y满足约束条件目标函数z=x﹣2y的最大值是（）A．﹣4 B．2 C．D．9．阅读如图所示的程序框图，则输出的S的值是（）A．B．C．D．10．在区间[﹣1，1]上任取两个实数x，y，则满足不等式的概率为（）A．B．C．D．11．已知F1，F2为椭圆的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点，|AB|=8，则|AF2|+|BF2|=（）A．2 B．10 C．12 D．1412．N为圆x2+y2=1上的一个动点，平面内动点M（x0，y）满足|y|≥1且∠OMN=30°（O为坐标原点），则动点M运动的区域面积为（）A．﹣2B．﹣C． +D． +二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上13．若||=2，||=4，且（+）⊥，则与的夹角是．14．设x＞0，y＞0且x+2y=1，求+的最小值．15．直线l：x﹣2y+2=0过椭圆的左焦点F和一个顶点B，该椭圆的离心率为．116．已知△ABC的周长为26且点A，B的坐标分别是（﹣6，0），（6，0），则点C的轨迹方程为．三、解答题：本大题共5小题，共52分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17．已知，求实数m的取值范围．18．如图，矩形草坪AMPN中，点C在对角线MN上．CD垂直于AN于点D，CB垂直于AM于点B，|CD|=|AB|=3米，|AD|=|BC|=2米，设|DN|=x米，|BM|=y米．求这块矩形草坪AMPN面积的最小值．19．设a是实数，函数f（x）=a﹣（x∈R），（1）若已知（1，2）为该函数图象上一点，求a的值．（2）证明：对于任意a，f（x）在R上为增函数．20．已知函数f（x）=x2﹣2ax+a．（1）若对任意的实数x都有f（1+x）=f（1﹣x）成立，求实数a的值；（2）若f（x）在区间[1，+∞）上为单调增函数，求实数a的取值范围；（3）当x∈[﹣1，1]时，求函数f（x）的最大值．21．在区间D上，如果函数f（x）为减函数，而xf（x）为增函数，则称f（x）为D上的弱减函数．若f（x）=（1）判断f（x）在区间[0，+∞）上是否为弱减函数；（2）当x∈[1，3]时，不等式恒成立，求实数a的取值范围；（3）若函数g（x）=f（x）+k|x|﹣1在[0，3]上有两个不同的零点，求实数k的取值范围．2019-2020学年高一下学期开学考试数学试卷答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若sinα=﹣，且α为第四象限角，则tanα的值等于（）A．B．﹣C．﹣D．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】根据同角三角函数的基本关系以及三角函数在各个象限中的符号，求得cosα的值，可得tanα的值．【解答】解：∵sinα=﹣，且α为第四象限角，∴cosα==，则tanα==﹣，故选：C．2．设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p为（）A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n【考点】命题的否定．【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．【解答】解：命题的否定是：∀n∈N，n2≤2n，故选：C．3．经过点（﹣1，2）且与直线3x﹣5y+6=0垂直的直线的方程为（）A．3x﹣5y+13=0 B．5x+3y﹣1=0 C．5x+3y+1=0 D．5x﹣3y+11=0【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】设与直线3x﹣5y+6=0垂直的直线的方程为5x+3y+m=0，把（﹣1，2）代入即可得出．【解答】解：设与直线3x﹣5y+6=0垂直的直线的方程为5x+3y+m=0，把（﹣1，2）代入可得：﹣5+6+m=0，解得m=﹣1．∴要求的直线方程为：5x+3y﹣1=0．故选：B．4．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．15 B．20 C．30 D．60【考点】由三视图求面积、体积．【分析】三视图可知该几何体是一个直三棱柱：底面是一个直角边长分别为3，4的直角三角形，高为5．据此可计算出答案．【解答】解：由三视图可知该几何体是一个直三棱柱：底面是一个直角边长分别为3，4的直角三角形，高为5．∴==30．故选C．5．要得到函数y=sin（2x﹣）的图象，应该把函数y=sin2x的图象（）A．向左平移B．向右平移C．向左平移D．向右平移【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】化简函数表达式，由左加右减上加下减的原则判断函数的平移的方向．【解答】解：要得到函数y=sin（2x﹣）=sin[2（x﹣）]的图象，需要将函数y=sin2x 的图象，向右平移单位即可．故选：D．6．已知等差数列{an }中a3+a9+a15=9，则数列{an}的前17项和S17=（）A．102 B．36 C．48 D．51【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和求解．【解答】解：∵等差数列{an }中a3+a9+a15=9，∴3a9=9．解得a9=3，∴数列{an }的前17项和S17==17a9=51．故选：D．7．已知双曲线的焦点分别为（0，﹣2）、（0，2），且经过点P（﹣3，2），则双曲线的标准方程是（）A． =1 B． =1 C．y2﹣=1 D． =1【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据题意，可以确定双曲线的焦点在y轴上，且c=2，进而可以设其标准方程为：﹣=1，分析可得a2+b2=4，①以及﹣=1②；联立解可得a2、b2的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，由于双曲线的焦点分别为（0，﹣2）、（0，2），则其焦点在y轴上，且c=2，可以设其标准方程为：﹣=1，且a2+b2=4，①又由其经过点P（﹣3，2），则有﹣=1，②联立①②解可得a2=1，b2=3，则其标准方程为：y2﹣=1．故选：C．8．设变量x，y满足约束条件目标函数z=x﹣2y的最大值是（）A．﹣4 B．2 C．D．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数z=x﹣2y中，z的几何意义，通过直线平移即可得到z的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x﹣2y，得y=，平移直线y=，当直线y=经过点A时，直线的在y轴上的截距最小，此时z最大，由，解得，即A（2，0），此时z的最大值为z=2﹣2×0=2．故选：B．9．阅读如图所示的程序框图，则输出的S的值是（）A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：s=0，n=2，第一次循环，i=1≤8，s=，n=3，i=2；第二次循环，i=2≤8，s=，n=4，i=3；第三次循环，i=3≤8，s=，n=5，i=4；…，第八次循环，i=8≤8，s=，n=9，i=9＞8，输出s=，故选：A．10．在区间[﹣1，1]上任取两个实数x，y，则满足不等式的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】由题意可知不等式的区域为边长为2的正方形，面积为4，的区域是圆的外面的区域，面积S=4﹣，代入概率公式即可求解【解答】解：由题意可得，的区域为边长为2的正方形，面积为4∵的区域是圆的外面的阴影区域，其面积S=4﹣P==1﹣故选D11．已知F1，F2为椭圆的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点，|AB|=8，则|AF2|+|BF2|=（）A．2 B．10 C．12 D．14【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据已知条件，由椭圆定义知：|AB|+|AF2|+|BF2|=4a，由此能求出结果．【解答】解：椭圆中，a=5，∵F1，F2为椭圆的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点，∴由椭圆定义知：|AB|+|AF2|+|BF2|=4a=20，∵|AB|=8，∴|AF2|+|BF2|=20﹣8=12．故选：C．12．N为圆x2+y2=1上的一个动点，平面内动点M（x0，y）满足|y|≥1且∠OMN=30°（O为坐标原点），则动点M运动的区域面积为（）A．﹣2B．﹣C． +D． +【考点】轨迹方程．【分析】由题意，过M作⊙O切线交⊙O于T，可得∠OMT≥30°．由此可得|OM|≤2．得到动点M运动的区域满足（|y|≥1）．画出图形，利用扇形面积减去三角形面积求得动点M运动的区域面积．【解答】解：如图，过M作⊙O切线交⊙O于T，根据圆的切线性质，有∠OMT≥∠OMN=30°．反过来，如果∠OMT≥30°，则⊙O上存在一点N使得∠OMN=30°．∴若圆C上存在点N，使∠OMN=30°，则∠OMT≥30°．∵|OT|=1，∴|OM|≤2．即（|y|≥1）．把y=1代入，求得A（），B（），∴，∴动点M运动的区域面积为2×（）=．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上13．若||=2，||=4，且（+）⊥，则与的夹角是．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】利用两个向量垂直，它们的数量积等于0，即（+）•=+=0，求得 cos＜，＞=﹣，故＜，＞=．【解答】解：由题意得（+）•=+=4+2×4 cos＜，＞=0，∴cos＜，＞=﹣，∴＜，＞=，故答案为．14．设x＞0，y＞0且x+2y=1，求+的最小值3+2．【考点】基本不等式．【分析】根据题意，x+2y=1，对于可变形为（x+2y）•（），相乘计算可得，3+，由基本不等式的性质，可得答案．【解答】解：根据题意，x+2y=1，则=（x+2y）•（）=3+≥3+2=3+2，故答案为3+2．和一个顶点B，该椭圆的离心率为．15．直线l：x﹣2y+2=0过椭圆的左焦点F1【考点】椭圆的简单性质．的坐标【分析】根据题意，由直线的方程可得其与坐标轴交点的坐标，即可得椭圆中焦点F1和顶点B的坐标，即可得c、b的值，由椭圆的几何性质可得a的值，由离心率公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，直线l的方程为x﹣2y+2=0，与x轴交点坐标为（﹣2，0），与y轴交点坐标为（0，1）；和一个顶点B，又有直线l：x﹣2y+2=0过椭圆的左焦点F1的坐标（﹣2，0），顶点B的坐标为（0，1），则有F1则有c=2，b=1，a==，故其离心率e==；故答案为：．16．已知△ABC的周长为26且点A，B的坐标分别是（﹣6，0），（6，0），则点C的轨迹方程为=1（x≠±7）．【考点】轨迹方程．【分析】由题意可得|BC|+|AC|=14＞AB，故顶点A的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，除去与x 轴的交点，利用椭圆的定义和简单性质求出a、b 的值，即得顶点C的轨迹方程．【解答】解：由题意可得|BC|+|AC|=14＞AB，故顶点A的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，除去与x轴的交点．∴2a=14，c=6，∴b=，故顶点C的轨迹方程为=1（x≠±7）．故答案为=1（x≠±7）．三、解答题：本大题共5小题，共52分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17．已知，求实数m的取值范围．【考点】幂函数的性质．【分析】根据函数的单调性得到关于m的不等式，解出即可．【解答】解：（1）设函数，函数为R上的单调递增函数…得，m2+m≤﹣m+3…即，m2+2m﹣3≤0…得，（m﹣1）（m+3）≤0所以，m的取值范围为：m∈[﹣3，1]…18．如图，矩形草坪AMPN中，点C在对角线MN上．CD垂直于AN于点D，CB垂直于AM于点B，|CD|=|AB|=3米，|AD|=|BC|=2米，设|DN|=x米，|BM|=y米．求这块矩形草坪AMPN面积的最小值．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】由题意，表示出矩形的面积，利用基本不等式，即可求得结论．【解答】解：由题意…．SAMPN=（x+2）（y+3）=xy+3x+2y+6=12+3x+2y…．…．当且仅当3x=2y，即x=2，y=3时取得等号．…．面积的最小值为24平方米．…．19．设a是实数，函数f（x）=a﹣（x∈R），（1）若已知（1，2）为该函数图象上一点，求a的值．（2）证明：对于任意a，f（x）在R上为增函数．【考点】函数的图象．【分析】（1）代值计算即可求出a（2）运用函数的定义判断证明函数的单调性，先在取两个值x1，x2后进行作差变形，确定符号，最后下结论即可．【解答】解：（1）．（2）证明：设任意x1，x2∈R，x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）===，由于指数函数y=2x在R上是增函数，且x1＜x2，所以即，又由2x＞0，得，，∴f（x1）﹣f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2），所以，对于任意a，f（x）在R上为增函数．20．已知函数f（x）=x2﹣2ax+a．（1）若对任意的实数x都有f（1+x）=f（1﹣x）成立，求实数a的值；（2）若f（x）在区间[1，+∞）上为单调增函数，求实数a的取值范围；（3）当x∈[﹣1，1]时，求函数f（x）的最大值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）由对任意的实数x都有f（1+x）=f（1﹣x）成立，可知：函数f（x）的对称轴为x=1，即可得出a．（2）函数f（x）=x2﹣2ax+a的图象的对称轴为直线x=a．根据y=f（x）在区间[1，+∞）上为单调递增函数，得a≤1．（3）函数图象开口向上，对称轴x=a，对a分类讨论即可得出．【解答】解：（1）由对任意的实数x都有f（1+x）=f（1﹣x）成立，可知：函数f（x）的对称轴为x=1，即a=1．（2）函数f（x）=x2﹣2ax+a的图象的对称轴为直线x=a．y=f（x）在区间[1，+∞）上为单调递增函数，得，a≤1．（3）函数图象开口向上，对称轴x=a，当a＜0时，x=1时，函数取得最大值为：f（x）max=1﹣a．当a＞0时，x=﹣1时，函数取得最大值为：f（x）max=1+3a．当a=0时，x=±1时，函数取得最大值为：f（x）max=1．21．在区间D上，如果函数f（x）为减函数，而xf（x）为增函数，则称f（x）为D上的弱减函数．若f（x）=（1）判断f（x）在区间[0，+∞）上是否为弱减函数；（2）当x∈[1，3]时，不等式恒成立，求实数a的取值范围；（3）若函数g（x）=f（x）+k|x|﹣1在[0，3]上有两个不同的零点，求实数k的取值范围．【考点】函数单调性的性质．【分析】（1）利用初等函数的性质、弱减函数的定义，判断是[0，+∞）上的弱减函数．（2）根据题意可得，再利用函数的单调性求得函数的最值，可得a的范围．（3）根据题意，当x∈（0，3]时，方程只有一解，分离参数k，换元利用二次函数的性质，求得k的范围．【解答】解：（1）由初等函数性质知，在[0，+∞）上单调递减，而在[0，+∞）上单调递增，所以是[0，+∞）上的弱减函数．（2）不等式化为在x∈[1，3]上恒成立，则，而在[1，3]单调递增，∴的最小值为，的最大值为，∴，∴a∈[﹣1，]．（3）由题意知方程在[0，3]上有两个不同根，①当x=0时，上式恒成立；②当x∈（0，3]时，则由题意可得方程只有一解，根据，令，则t∈（1，2]，方程化为在t∈（1，2]上只有一解，所以．。
四川省三台中学实验学校2019-2020学年高一数学6月月考(期末适应性)试题【含答案】
四川省三台中学实验学校2019-2020学年高一数学6月月考（期末适应性）试题本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷由第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）组成，共4页；答题卡共4页．满分100分，考试时间100分钟．第Ⅰ卷（选择题，共48分）一．选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1.向量=()()121a b x a bx=-=⊥，，，，若，则A ．2B ．C ．1D ．2-1-2.在等比数列中，若，则等于{}n a 1238a a a =-2a A ．B ．-2C ．D ．±283-83±3.下列命题中，正确的是A. 若，，则B. 若，则b a >d c >b c d a +>+bc ac >b a >C. 若，则 D. 若，，则22a bc c <b a <b a >dc >bd ac >4.若实数x ，y 满足约束条件，则的最大值等于001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩3z x y =+A ．3B ．2C ．1D ．125.以下命题（其中，表示直线，表示平面）中，正确的命题是a b αA ．若，，则B ．若，，则//a b b α⊂//a α//a α//b α//a b C ．若，，则D ．若，，则//a b b α⊥a α⊥//a αb α⊂//a b6.如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AB ＝2，AD ＝1，E ，F ，G 分别是DD 1，AB ，CC 1的中点，则异面直线A 1E 与GF 所成角为 A.B ．C．D ．7.如图为某几何体的三视图，图中的三个正方形的边长均为2，则该几何体的体积为A ．B ．C ．D ．163283π-323283π+8.数列，，，，前项的和为1124128131614n A. B. 2122n n n ++21122n n n+-++ C. D.2122n n n +-+21122n n n +--+9.古希腊数学家阿基米德是世界上公认的三位最伟大的数学家之一，其墓碑上刻着他认为最满意的一个数学发现，如图，一个“圆柱容球”的几何图形，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地，四周碰边，在该图中，球的体积是圆柱体积的，并且球的表面积也是圆柱表23面积的， 若圆柱的表面积是,236π现在向圆柱和球的缝隙里注水，则最多可以注入的水的体积为A ．B ．C ．D ．π32π3π4π310.在关于的不等式的解集中至多包含个整数，则的取值范围是x 2(1)0x a x a -++<2a A ．B ．C ．D ．(3,5)-(2,4)-[3,5]-[2,4]-11.在中,角A,B,C,所对的边分别为a ,b ,c ,若，则当取ABC ∆0cos sin 2sin =+C A B B cos 最小值时，=acA. B.C. D.2333212.设，过作直线分别交（不与端点重合）于，若)(31+=G l ,AB AC ,P Q ，，若与的面积之比为，则AP AB λ= AQ AC μ= PAG ∆QAG ∆23μ=A ．B ．C ．D ．13233456第Ⅱ卷（非选择题，共52分）二．填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分．把答案直接填在答题卡中的横线上．13．数列为等差数列，已知公差，，则_______；}{n a 2-=d 011=a =1a 14.点在线段上，且，则______；C AB →→=AB AC 32=→AC →BC15.如图，测量河对岸的旗杆AB 高时，选与旗杆底B 在同一水平面内的两个测点C 与D.测得,，,75︒=∠BCD ︒=∠60BDC a CD =并在点C 测得旗杆顶A 的仰角为，则旗杆高AB 为_________；︒6016.已知正四面体的棱长为，如果一个高为的长方体能在该正四面体内任意转ABC S -163动，则该长方体的长和宽形成的长方形的面积的最大值为________.三．解答题：本大题共4小题，每小题10分，共40分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．17.已知，(1,0)a = (2,1)=b （1）当k 为何值时，与平行：ka b - 3a b +（2）若，求的值.()b a tb⊥+ a tb+ 18.在中，角所对的边分别为，设为的面积，满足ABC ∆,,A B C ,,a b c S ABC ∆)2224S a b c =+-（1）求角的大小；C （2）若边长，求的周长的最大值．2c =ABC ∆19．已知数列的前项和为，，.{}n a n n S 112a =()1102n n n n S S S S n ---+=≥（1）求证：数列是等差数列；1n S⎧⎫⎨⎬⎩⎭（2）若，设数列的前项和为，求.1,32,nn n S n C n n -⎧⎪=+⎨⎪⎩为为为为为为{}n C n nT2n T 20．如图，在四棱锥中，四边形为平行四ABCD P -ABCD 边形，，为中点.90=∠=∠CDP BAP E PC （1）求证：；EBD AP 平面//（2）若是正三角形，且. PAD ∆AB PA =（Ⅰ）当点在线段上什么位置时，有M PAPAB DM 平面⊥（Ⅱ）在(Ⅰ)的条件下，点在线段上什么位置时，有平面平面？N PB ⊥DMNPBC三台中学实验学校高一下期数学适应性考试答案1-6 A B C A C D 7-12 B B B D A D 13.20 14. 15.16.2-a22324117.（1），，，(1,0)a = (2,1)= b (2,1)ka b k -=--，..................................2分3(7,3)a b +=与平行，ka b - 3a b +；.........................5分13(2)70,3k k ∴-+==-（2），..7分()()2,250b a tb b a tb b a tb t ⊥+∴⋅+=⋅+=+= ，...........................8分(2,12,555a tb t ∴=-+=- (10)分||a tb ∴+==(1)由题意可知，，2221,22a b c S absinC cosC ab +-==absinC ＝·2abcosC ，所以tanC ＝，.........................3分因为0<C <π，所以C ＝..........................................................5分（2）解法一：由上知，C ＝，所以，所以，...6分221422a b ab +-=224a b ab +-=所以，，................................................................()243a b ab+-=............................7分由于，所以，22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭()22432a b a b +⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭................................................9分解得当且仅当取等号，所以△ABC 的周长的最大值为6 ..........10分4,a b +≤2a b ==解法二：由正弦定理得到：， (6)分23a b c sinA sinB sinC sin π====所以，， (8)分)2436a b sinA sinB sinA sin A sin A ππ⎤⎛⎫⎛⎫+=+=+-=+ ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦所以，当时，最大值为4，所以△ABC 的周长的最大值为6..........10分3A π=a b +19.解：（1）证明：因为，，所以，所以112a =()1102n n n n S S S S n +-+-=≥216a =-，10n n S S -≠所以.1111n n S S --=........................................................................4分所以是以为首项，以为公差的等差数列..........5分1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭112S =1（2）由（1）可得，所以.........6分()1211nn n S =+-=+11n S n =+∴.............................................7分()()()()11132n n n n n c n -⎧⎪++=⎨⎪⎩为奇数为偶数∴..8分()132121111111...22...222446222n n T n n -⎛⎫=-+-++-++++ ⎪+⎝⎭．........10分2121111222512222331244n n n n ++-⎛⎫=-+=-- ⎪++⎝⎭20解1）证明：连接,,=，因为ABCD 是平行四边形，则为中点，连接，又为中点，面，面平面.....3分（2）解(Ⅰ)当点在线段中点时，有平面............................4分取中点，连接，又，又，，平面，又是正三角形，平面. ....................................................6分(Ⅱ)当时，有平面平面. .............................................7分过作于，由(Ⅰ)知，平面，所以平面平面易得. .................................................................................. ..........10分。
四川省三台中学实验学校2019-2020高一下学期开学考试数学试题(wd无答案)
四川省三台中学实验学校2019-2020高一下学期开学考试数学试题(wd无答案)一、单选题(★) 1. 下列命题中正确的是（）A．B．C．D．(★) 2. 数列，，，，的一个通项公式是（）A．B．C．D．(★) 3. 数列，若，，则（）A．9B．13C．10D．11(★★) 4. 在中，内角的对边分别为，若，则的形状一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形(★★) 5. 已知向量与的夹角为30°，且，，则等于（）A．1B．C．13D．(★★★) 6. 若数列为等差数列，，则（）A．7B．8C．10D．11(★★★) 7. 中角的对边分别为,且,则（）A．B．C．D．(★) 8. 如图所示，已知，，，，则下列等式中成立的是（）A．B．C．D．(★★★) 9. 在中，（）A．B．C．或D．以上都不对(★★★) 10. 已知和点M满足.若存在实数m使得成立，则m=A．2B．3C．4D．5(★) 11. 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图①中的由于这些数能表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，将图②中的这样的数称为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )A．189B．1024C．1225D．1378(★★★) 12. 在中，内角所对的边分别为 a、 b、 c，给出下列四个结论：①若，则；②等式一定成立；③；④若，且，则为等边三角形；以上结论正确的个数是（）A．B．C．D．二、填空题(★) 13. 与的等差中项是____________.(★★) 14. 已知锐角△ABC的面积为3 ，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为_______．(★★) 15. 设向量与的夹角为，定义与的“向量积”：是一个向量，它的模，若，，则__________．(★★) 16. 如图，正六边形的边长为，则______三、解答题(★★) 17. 设锐角三角形 ABC的内角 A、 B、 C的对边分别为 a、 b、 c，.（1）求 B的大小．（2）若，，求 b.(★★★) 18. 已知，，是一个平面内的三个向量，其中.（1）若，，求及.（2）若，且与垂直，求与的夹角的余弦值.(★★★) 19. 在等差数列中，，．（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和．(★★★) 20. 如图，在中，角，，的对边分别为，，，且.（1）求的大小；（2）若，点、在的异侧，，，求平面四边形面积的最大值.。
2019-2020年高一下学期开学考试数学试题 含答案(I)
2019-2020年高一下学期开学考试数学试题 含答案(I)一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{1,2}A =，则满足{1,2,3}AB =的集合B 的个数是（ ）A ．1B ．3C ．4D ．82.已知向量,a b 不共线，且AB a b λ=+，AC a b μ=+，则点,,A B C 三点共线应满足（ ）A ．2λμ+=B ．1λμ-=C ．1λμ=-D ．1λμ=4.若(1)f x +的定义域为[0,1]，则函数(22)x f -的定义域为（ ）A ．2[log 3,2]B ．[0,1]C ．5[,1]2-- D ．[0,2] 5.若,A B 是锐角ABC ∆的两个内角，则点(cos sin ,sin cos )P B A B A --在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6.函数212log (56)y x x =-+的单调递增区间为（ ）A ．5(,)2+∞ B ．(3,)+∞ C ．5(,)2-∞ D ．(,2)-∞ 7.已知函数122,0(),0x x f x x x -⎧≤⎪=⎨⎪>⎩，0()1f x >，则0x 的取值范围为（ ）A ．(,1)(1,)-∞-+∞B ．(,2)(2,)-∞-+∞C ．(,0)(1,)-∞+∞D ．(,3)(2,)-∞-+∞8.已知1cos 3α=，1cos()3αβ+=-，且,(0,)2παβ∈，则cos()αβ-=（ ） A ．12- B ．12 C ．13- D ．23279.已知0x 是函数1()21x f x x =+-的一个零点，若10(1,)x x ∈，20(,)x x ∈+∞，则（ ） A ．12()0,()0f x f x << B ．12()0,()0f x f x <> C ．12()0,()0f x f x ><D ．12()0,()0f x f x >>10.定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=-，(4)()f x f x -=且(1,0)x ∈-时，1()25x f x =+，则2(log 20)f =（ ） A ．1 B ．45 C ．-1 D ．45- 11.若,,a b c 均为单位向量，且0a b ∙=，()()0a c b c -∙-≤，则||a b c +-的最大值为（ ）A 1B ．1C ．212.设函数2()43f x x x =-+，20()1,0x g x x x ⎧>⎪=⎨-≤⎪⎩，则关于x 的方程[()]1g f x =的实数根个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.= . 14.若不等式2log 0m x x -<在1(0,)2内恒成立，则实数m 的取值范围为 .15.若函数()cos 2sin f x x a x =+在区间(,)62ππ是减函数，则a 的取值范围是 . 16.已知ABC ∆满足||3AB =，||4AC =，O 是ABC ∆所在平面内一点，满足||||||OA OB OC ==，且1()2AO AB AC R λλλ-=+∈，则cos BAC ∠= . 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）已知函数2(2)23x f x ax =-+（其中a 为常数）.（1）求函数()y f x =的解析式；（2）若函数()y f x =在1[,8]2上的最小值为-1，求a 的值.18. （本小题满分12分） 已知函数2()cos ()12f x x π=+，1()1sin 22g x x =+. （1）设0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，求0()g x 的值；（2）设函数()()()h x f x g x =+，若不等式|()|1h x m -≤在5[,]1212ππ-上恒成立，求实数m 的取值范围.19. （本小题满分12分）如图，现要在一块半径为1m ，圆心角为3π的扇形纸报AOB 上剪出一个平行四边形MNPQ ，使点P 在弧AB 上，点Q 在OA 上，点,M N 在OB 上，设BOP θ∠=，平行四边形MNPQ 的面积为S .（1）求S 关于θ的函数关系式；（2）求S 的最大值及相应的θ角.20. （本小题满分12分）设函数()f x 的定义域是(0,)+∞，对任意正实数,m n 恒有()()()f mn f m f n =+，且当1x >时，()0f x >，(2)1f =.（1）求1()2f 的值；（2）求证：()f x 在(0,)+∞上是增函数；（3）求方程4sin ()x f x =的根的个数.21. （本小题满分12分）如图，梯形ABCD 中，//AD BC ，AD AB ⊥，1AD =，2BC =，3AB =，P 是AB 上的一个动点，CPB α∠=，DPA β∠=.（1）当PD PC ∙最小时，求tan DPC ∠的值；（2）当DPC β∠=时，求PD PC ∙的值.22. （本小题满分12分）定义在D 上的函数()f x ，如果满足：对任意x D ∈，存在常数0M >，都有|()|f x M ≤成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 称为函数()f x 的上界. 已知函数11()1()()24x x f x a =++，221()1mx g x mx-=+. （1）当1a =时，求函数()f x 在(,0]-∞上的值域，并判断函数()f x 在(,0]-∞上是否为有界函数，说明理由；（2）若函数()f x 在[0,)+∞上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围；（3）已知1m >-，函数()g x 在[0,1]上的上界是()T m ，求()T m 的取值范围.。
四川省三台中学实验学校2020学年高一数学下学期入学考试试题(1)
四川省三台中学实验学校 2021学年高一数学下学期入学考试试题考前须知：本试卷分总分值150分．考试时间120分钟。
2.答题前，考生先将自己的准考证号、姓名、座位号用毫米黑色签字笔填写清楚。
选择题使用2B铅笔填涂，非选择题用毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚，按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
第I卷〔选择题，共60分〕一、选择题：本大题共12小题，每题 5分，总分值60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1.集合A{x N*|x3}，B{1,3}，那么A BA. B.{1} C.{1,2,3} D.{0,1,2,3}函数y42x的定义域为A．(2,)B．,2C．0,2D．1,3.化简→＋→＋→等于AEEB BC→B →C．0D→A．AB．BA．AC4.以下函数中，在(,)上单调递增的是1A.y|x|B.y log2xC.yx3D.y x5.角的终边在直线2xy0上，那么tan1B.2C.2D.1A.2 26.函数y2sin(2x)的图象3A．关于原点对称B．关于点,0对称6C．关于y轴对称D．关于直线x=对称67. 如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，那么以下说法错误的选项是→1个(→A．与AB相等的向量只有不含AB)B．→的相反向量有2个AB→→3倍C.BD的模恰为DA的模的→→D.CB与DA不共线8.要得到函数y cos x4的图象，只需将y sin x的图象22A．向左平移个单位 B.同右平移个单位22C．向左平移个单位 D.向右平移个单位449.函数f(x)＝ax＋b2x＋c的图象如下图，那么以下结论成立的是A．a＞0，b＞0，c＜0B．a ＜0，＞0，c＞0bC．a＜0，b＞0，c＜0D．a＜0，b＜0，c＜0sin110°sin20°10.计算cos2155°－sin2155°的值为1133A．－2B．2C．2D．－211.函数f(x1)是偶函数，当x2x11时，f(x2)f(x1)x2x10恒成立，设af(1),b f(2),cf(3)，那么a,b,c的大小关系为2A．bac B．cbaC．bca2x1,x0 12.函数f(x)的定义域为R，且f(x)1),x0f(x不同实根，那么a的取值范围为．abc，假设方程f(x) x a有两个A．(－∞，1) B．(－∞，1] C ．(0,1) D ．(－∞，＋∞)第二卷〔非选择题共90分〕二、填空题：本大题共4小题，每题5分．→→→→＝5，且∠AOB＝90°，那么|a－b|＝________；13．OA＝a，OB＝b，假设|OA|＝12，|OB|14.a log32，那么log382log36________；〔用a表示〕15.在ABC中，假设tanAtanB tanAtanB1,那么cosC的值为；16.设函数f (x)＝|x＋|，()＝－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)()恒成立，那么a gx x gx实数a的取值范围是________。
四川省三台中学实验学校2019_2020学年高一数学12月月考试题
第5题图四川省三台中学实验学校2019-2020学年高一数学12月月考试题（满分：100分，考试时间：100分钟）一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分.）1. 已知1,,,则A. B. C. 1, D. 1,2,2. 幂函数的图象过点,则A. B. 4 C. D.3. 已知函数,则函数的零点所在区间为A. B. C. D.4. 已知,,,则,,的大小关系为A. B. C. D.5. 如图,在扇形中半径,弦长,则该扇形的面积为A. B. C. D.6. 若,则A. B. C. D.7. 定义在R 上的奇函数在上单调递增,且,则不等式的解集是A. B. C. D.8. 已知满足,,则A. B.C. D.9. 已知函数,则下列说法正确的是A. 的最小正周期为B. 的图象关于直线对称C.的图象关于点对称D. 的图象向左平移个单位长度后得到一个偶函数图象10. 已知定义在上的函数对于任意的实数都满足,且当时,,则A. B. 4 C. D.11. 在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述两颗星的星等与亮度满足,其中星等为的星的亮度为已知太阳的星等是,天狼星的星等是,则太阳与天狼星的亮度的比值为A.B. C. D.12. 已知函数若存在,使成立，则实数的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）13. 在平面直角坐标系中,已知一个角的顶点在坐标原点,始边与轴的非负半轴重合,终边经过点,则 ．14. 函数的定义域是 ．15. 已知函数为定义在R 上的奇函数,且当时,,则等于 ．16. 已知函数则函数的零点个数为 ．三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 设集合，{|+121}B x m x m =≤≤-．（1）当3m =时，求A B I ；（2）若不存在元素x 使x ∈A 与x ∈B 同时成立，求实数m 的取值范围．18. 某市每年春节前后,由于大量的烟花炮竹的燃放,空气污染较为严重该市环保研究所对近年春节前后每天的空气污染情况调查研究后发现,每天空气污染的指数随时刻时变化的规律满足表达式,其中a为空气治理调节参数,且．（1）令,求x的取值范围；（2）若规定每天中的最大值作为当天的空气污染指数,要使该市每天的空气污染指数不超过5,试求调节参数a的取值范围．19. 已知函数, ．（1）求函数的最小正周期；（2）求函数的单调递增区间；（3）若把向右平移个单位得到函数,求在区间上的最小值和最大值．20. 已知奇函数．（1）求实数的值；（2）判断函数在其定义域上的单调性，并用定义证明；（3）若对所有的恒成立，求实数的取值范围.三台中学实验学校2019级高一12月月考数学答案1.【答案】D【解析】解：2, ,1,, 1,2,.故选：D．2. 【答案】B【解析】解：设,的图象过点,,则,则,．故选B．3. 【答案】B【解析】解：函数在上是连续的,且函数在上为增函数,故函数在上至多有一个零点,又由,,故函数的零点所在的区间是,故选：B．4. 【答案】C【解析】解：由于,,, 即,故选：C．5.【答案】B【解析】解：扇形AOB中,半径,弦长,,该扇形的面积为．故选：B．6. 【答案】B【解析】解：,则,故选B．7. 【答案】C【解析】解：根据题意,函数是定义在R上的奇函数,则.由在上单调递增,且,则在上,,在上,,又由函数为奇函数,则在上,,在上,,若,则有或, 即的解集是.故选：C．8. 【答案】D【解析】解：满足,,则,且,则,．故选：D．9. 【答案】B【解析】解：最小正周期为,A错误；由,B正确；由,C错误；,不为偶函数,故D错误．故选B．10.【答案】A【解析】解：定义在R上的函数对于任意的实数都满足,, 当时,,．故选：A．11.【答案】A【解析】解：设太阳的星等是,天狼星的星等是,由题意可得：,,则．故选A．12.【答案】B【解析】解：当时，，当时，若，则恒成立，满足条件；若，则，若存在,使成立，则，即；若，则，满足条件；综上可得：； 故选：B ．13.【答案】【解析】解：一个角的顶点在坐标原点,始边与x 轴的非负半轴重合,终边经过点,,,则.14.【答案】【解答】解：由得, 故定义域为.15.【答案】【解答】解：函数为R 上的奇函数,,.．16. 【答案】4【解析】解：令,当时,,解得,,当时,,解得,综上解得,,,令,作出图象如图所示：当无解,有3个解,有1个解,综上所述函数的零点个数为4.17.【解答】（1）, ——1分当时， ——2分∴. ——3分（2）∵={|25}A x x -≤≤，{|+121}B x m x m =≤≤-，若不存在元素使x ∈A 与x ∈B 同时成立，即.∴当，即，得时，符合题意； ——5分当，即，得时，或解得. ——9分综上，所求的取值范围是． ——10分18.【解答】解：（1）由题意,,则,．故x 的取值范围为． ——3分（2）由（1）知：,可设,,． ——4分则． ——5分根据一次函数的单调性,很明显在上单调递减,在上单调递增．．,,即,解得．——9分的取值范围为：——10分19.【解答】解：（1）. ——3分由，可得的最小正周期为. ——4分（2）令,,得,,可得函数的单调增区间为,；——6分（3）若把函数的图象向右平移个单位得到函数的图象, ——8分,,．故在区间上的最小值为,最大值为1．——10分20.【解答】解：（1）若为奇函数，则,解得. ——1分（2）是R上的增函数．——2分证明：任取,则,,且,,即,函数是R上的增函数．——5分（3）若对所有的恒成立，是奇函数，对所有的恒成立.是R上的增函数，对所有的恒成立. ——7分即对所有的恒成立.方法1：即对所有的恒成立. ——8分.,解得. ——10分方法2：即对所有的恒成立.当时，则，即.当时，则.设,则,则.由得.所以.。
四川省三台中学2019-2020学年高一数学12月月考试
四川省三台中学2019-2020学年高一数学12月月考试题本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷由第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）组成，共4页；答题卡共4页．满分100分，考试时间100分钟．注意事项：1．答题前，考生务必将自己的班级、姓名、考号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚．2．选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再选涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．3．考试结束后将答题卡收回．第Ⅰ卷（选择题，共48分）一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、（ ）=-)330cos(0A.B. C. D.2121-2323-2、已知，，则（ ）{}63|<≤=x x A {}52|<<=x x B =B A C R )(A. B. C. D.Φ{}32|<<x x {}53|<≤x x {}32|≤<x x 3、已知一个扇形的半径为2，圆心角，则其对应的弧长为（ ）060A.120 B.C.60D.32π3π4、下列函数与有相同图象的一个是（ ）y x =A. B.y =2x y x=C.且 D.且log (0,a xy aa =>1)a ≠log (0,x a y a a =>1)a ≠5、下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）A.1y x =+B.C.D.y x x =x y tan =2xy =6、向右图中高为H ，满水量为V 0的水瓶中注水，注满为止，则注水量V 与水深h 的函数大致图象为 （ ）A ．B ．C ．D ．7、设，则（）0.012log 3,a b c ===A. B. C. D.c a b <<a b c <<a c b <<b a c <<8、函数的零点所在的大致区间是（ ）()2ln(1)f x x x=+-A. B. C. D.(0,1)(1,2)()2,3()3,4()()()()3cos 5cos 22tan 3,=cos sin παπααπαπα⎛⎫++- ⎪⎝⎭-=----9、已知则（ ）A.4B. C. D.1-4-3-10、函数在[0，1]上是减函数，则实数的取值范围是（ ）log (2)a y ax =-a A. B. C. D.10<<a 21<<a 1>a 21≤<a 11、已知函数在的图像上恰有一个最大值点和一个最小()()sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭(]0,2值点，且最大值和最小值分别为，则的取值范围是（ ）1-1和ωA. B. C. D.513,1212ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭513,1212ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦713,1212ππ⎛⎤⎥⎝⎦713,1212ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭12、已知函数(x ∈R )满足，且当时，，函)(x f y =)(1)1(x f x f =+]11[，-∈x ||)(x x f =数则函数在区间上的零点的个数⎪⎩⎪⎨⎧<-≥=，，，，010)sin()(x x x x x g π)()()(x g x f x h -=]55[，-为（ ）A.8B.9C.10D.11第Ⅱ卷（非选择题，共52分）二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分．13、函数的定义域为 ．()()xx x f 1ln +=14、计算：)2032272521lglg12________83-⎛⎫----= ⎪⎝⎭15、__________θ=16、已知函数既是二次函数又是幂函数，函数是上的奇函数，函数)(x f )(x g R ，则11)()()(++=x f x g x h ()2019(2018)(2017)(1)(0)(1)h h h h h h ++++++-+；()()2017(2018)2019__________h h h +-+-+-=三、解答题：本大题共4小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. （本小题满分10分）设集合}21,2|{≤≤==x y y A x ，B={|}，x 1log 03<<x },21|{R t t x t x C ∈<<+=．（1）求；（2）若，求t 的取值范围A B A C C = 18.暑假期间，某旅行社为吸引游客去某风景区旅游，推出如下收费标准：若旅行团人数不超过30，则每位游客需交费用600元；若旅行团人数超过30，则游客每多1人，每人交费额减少10元，直到达到70人为止.（1）写出旅行团每人需交费用（单位：元）与旅行团人数之间的函数关系式；y x （2）旅行团人数为多少时，旅行社可以从该旅行团获得最大收入？最大收入是多少？19、设函数．))(32sin(2)(R x x x f ∈+=π（1）求的单调递增区间和最小正周期。
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四川省三台中学实验学校2019-2020学年高一数学下学期开学考试试
题
本试卷分试题卷和答题卡两部分，其中试题卷由第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）
组成，共4页；答题卷共4页。
满分100分。
考试结束将答题卡交回。
第Ⅰ卷（共48分）
注意事项：
1．答第I 卷前，考生务必将姓名、准考证号、考试科目填涂在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮
擦干净后，再选涂其它答案，不能将答案答在试题卷上。
一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分,在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1.下列命题中正确的是
A ．OA O
B AB -= B ．=AB BA
C ．00AB ⋅=
D ．AB BC CD AD ++=
2．数列11
11,,,,24816--的一个通项公式是
A ．12
n - B ．(1)2n n - C ．1(1)2n n +- D ．1(1)2n n -- 3．数列{}n a ，若13a =，21=-+n n a a ，则5a =
A ．9 B.13 C.10 D.11
4．在ABC ∆中，内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，若
a
A b
B cos cos =，则AB
C ∆的形状一定是
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形 5．已知向量a 与b 的夹角为30°，且3,2a b ==，则a b -等于
A ．1
B ．13 D
6．若数列{}n a 为等差数列，99198S =，则4849505152a a a a a ++++=
A ．7
B ．8
C ．10
D ．11
7．ABC ∆的内角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，
2aSinA cSinC aSinC +-=bSinB ， 则B ∠= A ． 6π B ． 4π C ．3π D ． 34π 8．如图所示，已知3AC BC =， OA a =， OB b =， OC c =，则下列等式中成立的是 A. 3122
c b a =
- B. 2c b a =- C. 2c a b =- D. 3122c a b =- 9．在ABC ∆中，已知5a =，15b =，030A =，则c 等于 A ．5 B ．5或25 C ．25 D ．以上都不对
10．已知ABC ∆和点M 满足0 =++MC MB MA ,若存在实数m 使得AM m AC AB =+成
立，则m =
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
11．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数， 例如：他们研究过图①中的
1,3,6,10,...,由于这些数能表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，将图②中的
1,4,9,16,...,这样的数称为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是 . . .
16941. . .
10631. . .
9416
31
A ．189
B ．1024
C ．1225
D ．1378 12．在ABC ∆中，内角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，给出下列四个结论，
①若A B C >>，则C B A sin sin sin >>；②等式cos cos c a B b A =+一定成立； ③sin sin sin a b c A B C +=+； ④若(AB AC |AB||AC |+).0BC =，且12
AB AC .|AB||AC |=，则ABC ∆为等边三角形；以上结论正确的个数是
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
第Ⅱ卷（共52分）
注意事项：
1．用钢笔将答案直接写在答题卷上。
2．答卷前将答题卷的密封线内项目填写清楚。
第8题图
二、填空题：本大题共4个小题，每小题3分，共12分,把答案直接填在答题卷的横线上。
13. 21+与21-的等差中项是 . 14．已知ABC ∆的面积为33，4,3BC CA ==，则角C 的大小为 .
15.设向量a 与b 的夹角为θ，定义a 与b 的“向量积”： a b ⨯是一个向量，它的模
sin a b a b θ⨯=.若(3,1)a =--，(1,3)b =，则a b ⨯= .
16．如右图，正六边形ABCDEF 的边长为1，则DB AC ⋅= . 三、解答题：本大题共4个小题，每小题10分，共40分,解答应写出文字说明，证明过程或
演算步骤。
17.（本小题满分10分）
设锐角三角形ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，2sin a b A =.
(1)求B 的大小．
(2)若33a =，5c =，求b .
18.（本小题满分10分）
已知a ，b ，c 是一个平面内的三个向量，其中a =（1，2）
（1）若|c |＝25，c ∥a ，求c 及a ·c
. （2）若|b |＝352
，且a ＋2b 与3a －b 垂直，求a 与b 的夹角的余弦值.
19.（本小题满分10分）
在等差数列{}n a 中，57a =，2612a a +=．
（1）求{}n a 的通项公式；
第16题图
（2）设()()1
11n n n b a a =
-+，求数列{}n b 的前n 项和n S ．
20．（本小题满分10分）
如图，在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()sin cos a c B B =+.
（1）求ACB ∠的大小；
（2）若A ABC CB =∠∠，D 为ABC ∆外一点，2DB =，
1DC =，求四边形ABDC 面积的最大值.
台实2019级高一下入学考试数学答案
一．选择题：1—6DBDAAC 7—12 BABBCD
二．填空题：13. 2 14. 0060120或 15.2
16. 23- 三．解答题：
17.解：（1）由2sin a b A =，得sin 2sin sin A B A =，.........3分
又因B 为锐角，解得6B π=
．...........5分
（2）由题意得22232cos 2725233552457b a c ac B =+-=+-⨯⨯⨯
=-=，........8分 解得7b =
．...........10分
18.解：（1）∵
，设． 又∵||=
， ∴λ2+4λ2=20，解得λ=±2．……………3分 当2=λ时，
，． ……………4分 当2-=λ时，，……5分
（2）0)3()2(=+⋅+b a b a 223520a
a b b ∴+⋅-=………6分
又5||=a ，253||=b 04452553=⨯-⋅+⨯∴b a 即2
3=⋅b a ………………………………8分 设a 与b 夹角为θ，则512
53523||||cos =⋅=⋅⋅=b a b a θ 5
1的夹角的余弦值为与b a ∴ ……………………………10分 19.解：（1）∵2612a a +=，∴46a =，......2分
即54761d a a =-=-=．.......4分
∴2n a n =+．........5分
（2）由（1）可得1(1)(3)
n b n n =++， 即111213n b n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭
...........7分 1111111112243546
13n S n n ⎛⎫=-+-+-++- ⎪++⎝⎭ 1111122323n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭
..........9分 525122(2)(3)
n n n +=-++．...........10分 20解：（1）在ABC ∆中，由A B C π++=，所以()sin sin A B C =+
∵()sin cos a c B B =+，
∴()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+()sin sin cos C B B =+， ∴sin cos sin sin B C C B =，又∵sin 0B ≠，∴cos sin C C =...................4分 又∵()0,C π∈，∴4C π
，即ACB ∠为4
π...................5分 （2）在BCD ∆中，2DB =，1DC =，由余弦定理可得
2222cos 54cos BC BD CD BD CD D D =+-⋅⋅=-，.............7分
又∵4ABC ACB π
∠=∠=，∴ABC ∆为等腰直角三角形，
∴111sin 222ABCD ABC BCD S S S BC BC BD CD D ∆∆=+=⋅+⋅⋅5cos sin 4
D D =-+5
44D π⎛⎫=+- ⎪⎝
⎭，............9分
∴当34D π=时，四边形ABCD 面积有最大值，最大值为54+分。