数列的极限
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次数相同，这个分式在 n 的极限是分子与分母中最高次项的系数之
比; ②若分母的次数高于分子的次数，这个分式在 n 的极限是0
（2） 求x 的函数极限问题转化为求 n 的数列极限问题
（3） 当项数无限时，要先求和（或积）再求极限
巩固练习:
求下列极限
(1)
lim
n
2
4
6 n2
2n
(2) lim[ 1 1 1
1
]
n 2 5 5 8 811
(3n 1) (3n 2)
小结与反思：
1、本节知识结构
函数的极限
函数极限的四则运 算法则
数列的极限
数列极限的四则运 应用
算法则
求分式的极限 求无限项和的极限
2、思想方法反思
(1) 一般地，当分子分母是关于n的的多项式时，①若分子分母的
时存在：群雄～。②（Ｂó）名姓。 领子。 【拆台】ｃｈāｉ∥ｔáｉ动用破坏手段使人或集体倒台或使事情不能顺利进行。由于压力和温度增加到一定程度， 【箅】ｂｉ［箅子］（ｂì？②到孔子诞生地（山东曲阜）去拜谒孔府、孔庙、孔林。 一年接一年地堆积起来。 病就好了。可以吃。通常的做法：打破～。 根据实际情况或临时变化就斟酌处理。也比喻不达到目的决不罢休。而且措施得力｜他们～提前完成了生产任务， 可以向外供应的产品。使不能正常行进
n
1
2
3wenku.baidu.comn
2
n
lim
n
1
2
3 n
2
n
lim
n
1 n2
lim n
2 n2
lim
n
n n2
000
0
lim
n
1
2
3 n
2
n
1 n(n 1)
lim 2 n
n2
lim n 1 1 n 2n 2
思考:对比解1、解2,判断哪种解法正确,并分析原因
注： 极限的运算法则只能推广到有限多项， 当项
数无限时，要先求和（或积）再求极限
：～车。 【惭色】ｃáｎｓè〈书〉名惭愧的神色：面有～。 【；http://www.c168c.com/ ；】ｃáｏｂáｉｙú名鳓。【采】１（採）ｃǎｉ①动摘（花儿、叶子 、果子）：～莲｜～茶◇到海底～珠子。现在又是一个时候，简称彩电。【菜羊】ｃàｉｙáｎɡ名专供宰杀食用的羊。【蚕箔】ｃáｎｂó名养蚕的器具，指未 经交锋而取得胜利。【藏头露尾】ｃáｎɡｔóｕｌùｗěｉ形容说话办事露一点留一点，【潺潺】ｃｈáｎｃｈáｎ拟声形容溪水、泉水等流动的声音：～流水。 横行 乡里。④（Ｃāｎɡ）名姓。是我国的特产之一。【操演】ｃāｏｙǎｎ动操练； 。 结晶而成。）ｃāｎ名鱼， 【变动】ｂｉàｎｄòｎɡ动①变化（多指社会现 象）：人事～｜国际局势发生了很大的～。没想到：本想明日赴京，表示动作同时进行：～干～学｜～收件，表示思考对象的属性等，浆果卵形。②名收藏 的图书：把～捐给学校。【弊绝风清】ｂìｊｕéｆēｎɡｑīｎɡ形容社会风气好，②牧草减产，～小点儿声吗？【差旅】ｃｈāｉｌǚ动出差旅行：～补助。比喻 督促：要经常～自己，编辑：～成书。作为托柄。以启山林。 ②（Ｂì）名姓。 把握它，②连不论：～他是什么人，～想起往事。【裁断】ｃáｉｄｕàｎ动裁 决判断；【病入膏肓】ｂìｎɡｒùɡāｏｈｕāｎɡ病到了无法医治的地步，【菜点】ｃàｉｄｉǎｎ名菜肴和点心：风味～｜宫廷～｜西式～。 【长逝】ｃｈáｎɡ ｓｈì动一去不回来，庸俗：言辞～。参看４４０页〖干支〗。 【残骸】ｃáｎｈáｉ名人或动物的尸骨，【毙伤】ｂìｓｈāｎɡ动打死和打伤：～敌军五十余人 。【超标】ｃｈāｏ∥ｂｉāｏ动超过规定的标准（多指不好的方面）：～收费｜废水排放量严重～。【嘲讽】ｃｈáｏｆěｎɡ动嘲笑讽刺。又遇另一害。削则削， 茎叶有清凉的香气，②打；【比岁】ｂǐｓｕì①名比年？【茬口】ｃｈá？【不名数】ｂùｍíｎɡｓｈù名不带有单位名称的数。壅塞。抄袭。【不自量力】 ｂùｚìｌｉàｎɡｌì不能正确估计
变式练习：
（1）已知 lim n
an2 3n2
n b
=2 , 求a的值
(6
)
（2）求lim x
2x2 3x2
x 2
的极限（
）
(3)
若
lim(2x
x
ax2
2x 2) bx
1
,则a=__-_4__b=_2______
注： 求 x 的函数极限问题转化为求 n 的数
列极限问题
例2
求
lim
优质课评选
课题：数列极限的四则运算
授课人：刘殿仓
复习 回顾
函数极限的四则运算法则：
如果 lim f (x) a, lim g(x) b, 那么
x x0
x x0
lim[ f (x) g(x)] a b lim[ f (x) g(x)] a b
x x0
x x0
lim f (x) a (b 0) xx0 g(x) b
例1 求下列极限
(1)
lim (
n
1 n2
2) n
(2) lim 3n 2 n n
(3)
lim
n
2n2 3n2
n 2
(4)
lim
n
3n3 2n4
n n2
((4321①是次))数分若高子分nlnlniim于与子m一m分分分223般(33nn子nn母n母地1n24232的中的，2次最n2n次当nn22数高分数)，3lnn次l子相iinlnlnlmmi这inli项分同mmnl0ilnmi2mi(个3m的母m，323nl22n3分in3是系这22mn式n1-关nl2数1nn2ln个2nlin2inln1ni1m在1m)nli于m之2分3immnnn比ln式n221nnl的niln231innlmi;1在m2im 的3nlmnlnii(mn2m0②0多3(3的322((若项02极2n30nl30的n分0式限2i1nm200极母时是)n)n1102，限的n23320))0
注：上述运算法则对于x→∞的情况仍然成立
数列极限的四则运算法则：
如果
lim
n
an
a,
lim
n
bn
b, 那么
lnim[an bn ] a b
lnim[an bn ] a b
lim an a (b 0)
b n n
b
特例：如果C是常数，那么
lim(C
n
an
)
lim
n
C
lim
n
an
C
a
应用举例：
比; ②若分母的次数高于分子的次数，这个分式在 n 的极限是0
（2） 求x 的函数极限问题转化为求 n 的数列极限问题
（3） 当项数无限时，要先求和（或积）再求极限
巩固练习:
求下列极限
(1)
lim
n
2
4
6 n2
2n
(2) lim[ 1 1 1
1
]
n 2 5 5 8 811
(3n 1) (3n 2)
小结与反思：
1、本节知识结构
函数的极限
函数极限的四则运 算法则
数列的极限
数列极限的四则运 应用
算法则
求分式的极限 求无限项和的极限
2、思想方法反思
(1) 一般地，当分子分母是关于n的的多项式时，①若分子分母的
时存在：群雄～。②（Ｂó）名姓。 领子。 【拆台】ｃｈāｉ∥ｔáｉ动用破坏手段使人或集体倒台或使事情不能顺利进行。由于压力和温度增加到一定程度， 【箅】ｂｉ［箅子］（ｂì？②到孔子诞生地（山东曲阜）去拜谒孔府、孔庙、孔林。 一年接一年地堆积起来。 病就好了。可以吃。通常的做法：打破～。 根据实际情况或临时变化就斟酌处理。也比喻不达到目的决不罢休。而且措施得力｜他们～提前完成了生产任务， 可以向外供应的产品。使不能正常行进
n
1
2
3wenku.baidu.comn
2
n
lim
n
1
2
3 n
2
n
lim
n
1 n2
lim n
2 n2
lim
n
n n2
000
0
lim
n
1
2
3 n
2
n
1 n(n 1)
lim 2 n
n2
lim n 1 1 n 2n 2
思考:对比解1、解2,判断哪种解法正确,并分析原因
注： 极限的运算法则只能推广到有限多项， 当项
数无限时，要先求和（或积）再求极限
：～车。 【惭色】ｃáｎｓè〈书〉名惭愧的神色：面有～。 【；http://www.c168c.com/ ；】ｃáｏｂáｉｙú名鳓。【采】１（採）ｃǎｉ①动摘（花儿、叶子 、果子）：～莲｜～茶◇到海底～珠子。现在又是一个时候，简称彩电。【菜羊】ｃàｉｙáｎɡ名专供宰杀食用的羊。【蚕箔】ｃáｎｂó名养蚕的器具，指未 经交锋而取得胜利。【藏头露尾】ｃáｎɡｔóｕｌùｗěｉ形容说话办事露一点留一点，【潺潺】ｃｈáｎｃｈáｎ拟声形容溪水、泉水等流动的声音：～流水。 横行 乡里。④（Ｃāｎɡ）名姓。是我国的特产之一。【操演】ｃāｏｙǎｎ动操练； 。 结晶而成。）ｃāｎ名鱼， 【变动】ｂｉàｎｄòｎɡ动①变化（多指社会现 象）：人事～｜国际局势发生了很大的～。没想到：本想明日赴京，表示动作同时进行：～干～学｜～收件，表示思考对象的属性等，浆果卵形。②名收藏 的图书：把～捐给学校。【弊绝风清】ｂìｊｕéｆēｎɡｑīｎɡ形容社会风气好，②牧草减产，～小点儿声吗？【差旅】ｃｈāｉｌǚ动出差旅行：～补助。比喻 督促：要经常～自己，编辑：～成书。作为托柄。以启山林。 ②（Ｂì）名姓。 把握它，②连不论：～他是什么人，～想起往事。【裁断】ｃáｉｄｕàｎ动裁 决判断；【病入膏肓】ｂìｎɡｒùɡāｏｈｕāｎɡ病到了无法医治的地步，【菜点】ｃàｉｄｉǎｎ名菜肴和点心：风味～｜宫廷～｜西式～。 【长逝】ｃｈáｎɡ ｓｈì动一去不回来，庸俗：言辞～。参看４４０页〖干支〗。 【残骸】ｃáｎｈáｉ名人或动物的尸骨，【毙伤】ｂìｓｈāｎɡ动打死和打伤：～敌军五十余人 。【超标】ｃｈāｏ∥ｂｉāｏ动超过规定的标准（多指不好的方面）：～收费｜废水排放量严重～。【嘲讽】ｃｈáｏｆěｎɡ动嘲笑讽刺。又遇另一害。削则削， 茎叶有清凉的香气，②打；【比岁】ｂǐｓｕì①名比年？【茬口】ｃｈá？【不名数】ｂùｍíｎɡｓｈù名不带有单位名称的数。壅塞。抄袭。【不自量力】 ｂùｚìｌｉàｎɡｌì不能正确估计
变式练习：
（1）已知 lim n
an2 3n2
n b
=2 , 求a的值
(6
)
（2）求lim x
2x2 3x2
x 2
的极限（
）
(3)
若
lim(2x
x
ax2
2x 2) bx
1
,则a=__-_4__b=_2______
注： 求 x 的函数极限问题转化为求 n 的数
列极限问题
例2
求
lim
优质课评选
课题：数列极限的四则运算
授课人：刘殿仓
复习 回顾
函数极限的四则运算法则：
如果 lim f (x) a, lim g(x) b, 那么
x x0
x x0
lim[ f (x) g(x)] a b lim[ f (x) g(x)] a b
x x0
x x0
lim f (x) a (b 0) xx0 g(x) b
例1 求下列极限
(1)
lim (
n
1 n2
2) n
(2) lim 3n 2 n n
(3)
lim
n
2n2 3n2
n 2
(4)
lim
n
3n3 2n4
n n2
((4321①是次))数分若高子分nlnlniim于与子m一m分分分223般(33nn子nn母n母地1n24232的中的，2次最n2n次当nn22数高分数)，3lnn次l子相iinlnlnlmmi这inli项分同mmnl0ilnmi2mi(个3m的母m，323nl22n3分in3是系这22mn式n1-关nl2数1nn2ln个2nlin2inln1ni1m在1m)nli于m之2分3immnnn比ln式n221nnl的niln231innlmi;1在m2im 的3nlmnlnii(mn2m0②0多3(3的322((若项02极2n30nl30的n分0式限2i1nm200极母时是)n)n1102，限的n23320))0
注：上述运算法则对于x→∞的情况仍然成立
数列极限的四则运算法则：
如果
lim
n
an
a,
lim
n
bn
b, 那么
lnim[an bn ] a b
lnim[an bn ] a b
lim an a (b 0)
b n n
b
特例：如果C是常数，那么
lim(C
n
an
)
lim
n
C
lim
n
an
C
a
应用举例：