第四章目标规划

min Ζ=P1(d1++d2+)+P2d3 ¯ +P3d4++P4d5+ s.t. 4x1+5x2+d1 ¯ -d1+=80 G1 4x 1+2x2+d2 ¯ -d2+=48 G2 80x 1+100x 2+d3 ¯ -d3+=800 G3 x 1 +d 4 ¯ -d4+=6 G4 x 1+x2+d5 ¯ -d5+=7 G5 x 1,x2≥0,di ¯,di+≥0 (i=1,…Fra Baidu bibliotek5) 解 X *= （ 0 ， 8 ）
s.t
2x 1+x2 ≤11 max Z 8 x1 10 x2 x 1-x2+d1 ¯ -d1+=0 2 x1 x2 11 x 1+2x2+d2 ¯ -d2+=10 s.t. x1 2 x2 10 ¯ + 8x 1 +10 x 2 +d3 -d3 =56 x1 , x2 0 x 1,x2≥0,d i ¯,di+≥0 (i=1,2,3)
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决策者在原材料供应受严格限制的基础上 考虑： P1:产品 B的产量应尽量不低于产品 A的产 量； P2:尽量充分利用设备有效台时，不宜加班； P3:利润额应尽量不小于 56元。 问题：如何建立该问题的目标规划模型以 确定生产量？
1.决策变量与正负偏差变量 di+,di ¯ (i=1,…,m) 对每个目标函数引入正负偏差变量 di+,di ¯, di+,di ¯ ≥0 (i = 1, 2,…,m) ， + di 表示第 i个目标中实际超出期望值的数值 di ¯表示第 i个目标中未达到期望值的数值
(2). 若某个目标允许超过期望值，但 希望尽可能不低于期望值。
Min z=f (d i ¯ )
(3). 若某个目标允许低于期望值， 但尽量不超过期望值。 Min z=f (d i+ )
例1 某工厂生产 A,B两种产品
A 2 原材料 1 设备 利润元 /件 8 B 1 2 10 拥有量 11 10
工厂在作决策时要考虑到市场等一系列其他条件。 （1）根据市场信息产品 A销量有下降的趋势，故 考虑产品 A的产量应尽量不大于 B。 （2）超过计划供应的原材料时，需要高价采购， 这就使成本增加，所以原材料有严格限制。 （3）应该尽可能的充分利用设备台时，但不希 望加班。 （4）应尽可能达到并超过计划利润指标 56元。
l l
4.目标函数（达成函数） 目标接近期望值 构造一个新的目标函数，以求得有关偏差变 量的最小值 。 单一的综合性目标
Min z= f (d i+，di ¯)
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在达成函数中，根据对各个目标的不同 要求，一般采用三种形式 : (1). 若要求尽可能地实现某个目标 (第i个 目标 )的期望值，则希望相应的正、负偏差变 量di+,di-尽可能地小。 Min z=f (d i++di ¯)
di+×di ¯ =0
应尽可能达到并超过 利润指标 56元。
2.绝对约束和目标约束 绝对约束 ：必须严格满足的等 式和不等式约束 2x1+3x2≤11 —— 硬约束 目标约束：把约束右端看作 要追求的目标，有正负偏差 变量的约束
2 x1 3 x2 d1 d1 11
3. 优先因子 (优先等级 )与权系数
d 5+
R2 d 3+ 6 7 10 12 d 1+ x1
R1 O
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[ 解]1.作目标约束时，先令 di-,di+=0，作相 应的直线 2. 用垂直于各目标直线的箭头反映偏 差变量的增加。 在满足了优先级别 P3后，得 R3，最后一 个优先级别 P4，是通过极小化 d5+而实现。由 于不可能在 R3内使 d5+=0，因此为了保证较高 级别目标不被破坏，我们只能在 R3中选择一 点，使其对应的 d5+的尽可能地小。 这一点为 X*=(0,8) ，在此点 d5+=1。说明 P4级目标不能 完全实现，尚多于目标期望值 1个单位。
线性规划图解法
max S=-x 1+x2 s.t. x 1-2x2≤2 x 1+x2≤5 x 1,x2≥0
最优解 A(0,5)
A x1+x2=5
x1-2x2=2
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目标规划的图解法
目标规划图解法是在可行域内， 一.寻找一个使 P1级别的各目标均满足的区域 R1 二.再在 R1中寻找一个使 P2级别的各目标均满足的 区域 R2(R1R2) 三.在R2中寻找一个满足 P3级别各目标的区域 R3(R1R2R3 )； 如此下去直到寻找到一个区域 Rk，满足 Pk级别 各目标，这个 Pk即为我们的解。 称Ri为第 i级的解空间。
确定获利最大的生产方案。
这是一个单目标规划问题，用线性规划表 示如下
max Z 8 x1 10 x2 2 x1 x2 11 s.t. x1 2 x2 10 x , x 0 1 2
最优方案为
x1 4, x2 3
*
*
实际上工厂在作决策时要考虑到市场等一系列其 他条件。 （1）根据市场信息产品 A销量有下降的趋势，故 考虑产品 A的产量应尽量不大于 B。 （2）超过计划供应的原材料时，需要高价采购， 这就使成本增加，所以原材料有严格限制。 （3）应该尽可能的充分利用设备台时，但尽量 不加班。 （4）应尽可能达到并超过计划利润指标 56元。
4.第一个工厂的超过作业时间约束 d1++d11 ¯ -d11+=30 5.目标（达成）函数 min Ζ=P1d3++P2d4-+P3(6d1 ¯ +5d2 ¯) +P 4d11++P5d5达成函数中 P3级目标的权系数是取第一、第 二两工厂设备每小时运转成本的比率 18:15=6:5 。 P4 第一个工厂的超时作业时间全 月份不宜超出 30小时；
设备总工时 运转成本 /台
第二工厂 2800 15元
P4 第一个工厂的超时作业时间全月份不 宜超出 30小时； P5 收音机销售量应完成 1,000 台；
[ 解] 设x1,x2分别表示下月份录音机与收 音机的生产量。 P3 第一，二两工厂的设备应全力运转， di+,di ¯为相应目标与约束的正、负偏差 避免有空闲时间，两厂的单位运转成本当作 变量。 i=1,… 它们间的权系数。 1.第一、二两工厂设备运转时间约束 2x1+4x2+ d1 ¯ -d1+=2400
max S=c 1x1+c2x2 s.t. a 11x1+a12x2≤b1 a 21x1+a22x2≤b2 x 1,x2≥0
例1 某工厂生产 A,B两种产品 目标规划
A 2 原材料 1 设备 利润元 /件 8 B 1 2 10 拥有量 11 10
线性规划 决策目标单一 求最优解 硬约束
多目标最优决策 满意解 软约束
练习图解法 :
min Ζ=P1d1++P2 ( d2 ¯ +d2+ ) +P3 d3 ¯ s.t 2x 1+x2 ≤11 x 1-x2+d1 ¯ -d1+=0 x 1+2x2+d2 ¯ -d2+=10 8x 1 +10 x 2 +d3 ¯ -d3+=56 x 1,x2≥0,d i ¯,di+≥0 (i=1,2,3)
决策者在原材料供应受严格限制的基础上 考虑： P1:产品 B的产量应尽量不低于产品 A的产 量； P2:尽量充分利用设备有效台时，不宜加班； P3:利润额应尽量不小于 56元。 问题：如何建立该问题的目标规划模型以 确定生产量？
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P1产品 B 的产量不应低于产品 A的产量； p3 利润额不应小于 56元 p2充分利用设备有效台时，不宜加班； 例2 min Ζ=P1d1++P2 ( d2 ¯ +d2+ ) +P3 d3 ¯ 例2 某电子公司录音机和收音机两种产品， 它们均需先后经过两个工厂的加工才能成 为成品，数据如下：
试建立这个问题的数学模型。
2.5x1+1.5x 2+d2 ¯ -d2+=2800
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P1 厂内的储存成本不宜超过 23,000 元； 2.厂内储存成本约束 8x1+15x 2+d3 ¯ -d3+=23000 3.销售目标约束 x1 +d 4 ¯ -d4+=1500 x2 +d5 ¯ -d5+=1000 P2 录音机销售量应完成 1,500 台； P5 收音机销售量应完成 1,000 台；
如果某一个 Ri已退化为一点，则计算亦应终 止，这一点亦即为最优解，它只能满足 P1,P2,…,P i 级目标，而无法进一步改进；以满足 Pi+1, Pi+2, …, Pk各级目标。
x2 24
d 2+
d4
+
例
用图解法解下列目标规划模型
16 8 7 R3
min Ζ=P1(d1++d2+)+P2d3 ¯ +P3d4++P4d5+ s.t. 4x1+5x2+d1 ¯ -d1+=80 G1 4x 1+2x2+d2 ¯ -d2+=48 G2 ¯ + 80x 1+100x 2+d3 -d3 =800 G3 ¯ + x 1 +d 4 -d4 =6 G4 x 1+x2+d5 ¯ -d5+=7 G5 x 1,x2≥0,d i ¯,di+≥0 (i=1,…,5)
这个问题的目标规划模型为： min Ζ=P1d3++P2d4 ¯ +P3(6d1 ¯ +5d2 ¯) +P 4d11++P5d5 s.t 2x 1+4x2+d1 ¯ -d1+=2400 2.5x 1+1.5x 2+d2 ¯ -d2+=2800 8x 1+15x 2+d3 ¯ -d3+=23000 x 1 +d 4 ¯ -d4+=1500 x 2 +d5 ¯ -d5+=1000 P3 第一，二两工厂的设备应全力运转 d 1++d11 ¯ -d11+=30 避免有空闲时间，两厂的单位运转成本当 ， P4录音机销售量应完成 第一个工厂的超时作业时间全月份不宜 x 1,x2≥0,d i ¯,di+≥0 (i=1,2,3,4,5,11) P1 23,000 P2 厂内的储存成本不宜超过 1,500 台；元； P5 30 收音机销售量应完成 1,000 台； 作它们间的权系数。 超出 小时；
优先因子： 目标的重要程度 首先达到的目标赋予优先因子 P1，次位的目 标赋于优先因子 P2,…,并规定 Pk>>Pk+1 k=1,…,K ， 权系数：
—— 软约束
相同的优先级，各目标的重要程度 j
决策者在原材料供应受严格限制的基础上考虑： P1:产品 B的产量应尽量不低于产品 A的产量； l P2:尽量充分利用设备有效台时，不宜加班； l P3:利润额应尽量不小于 56元。
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§1.目标规划的数学模型 §2.目标规划的图解法 §3.目标规划单纯形法
l l l l
目标规划是在线性规划的基础上适应各种复杂的 多目标最优决策的需要而逐步的发展起来的； 对众多的目标分别确定一个希望实现的目标值； 按目标的重要级别依次进行考虑与计算； 求得最接近实现各个目标预定的数值方案 如果某些目标由于种种原因而不能完全实现，它 也能指出目标值不能实现的程度和原因。
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x2 11
min Ζ=P1d1++P2 ( d2 ¯ +d2+ ) +P3 d3 ¯ s.t
d 1+
2x 1+x2
≤11
§3.解目标规划的单纯形法 目标规划模型如下： min Ζ=P1d1 ¯ +P2d11 ++P3(5d2 ¯ +3d3 ¯)+P4d1+ s.t. x 1+x2+d1 ¯ -d1+=80 x1 +d2 ¯ =70 x2 +d3 ¯ =45 d1++d11 ¯ –d11+=10 x1,x2,di ¯,di+≥0 (i=1,2,3,11)
决策者在原材料供应受严格限制
录音机 资源1：加工 （第一工厂） 2小时 资源2 ：装配试验 （第二工厂） 2.5小时 20元/台 利润 1,500 台 预计销量 8元 月储存成本 第一工厂 2400 18元
收音机 4小时 1.5小时 23元/台 1,000 台 15元
该公司依下列次序为目标的优先 次序，以实现次月的生产与销售目标。 P1 厂内的储存成本不宜超过 23,000 元； P2 录音机销售量应完成 1,500 台； P3 第一，二两工厂的设备应全力运转， 避免有空闲时间，两厂的单位运转成本当作 它们间的权系数。
min Ζ=ΣPl[Σ(ωlk+dk++ωlk ¯dk ¯)]
l=1 n n k=1
L
K
Σ c x +dk ¯ -dk+=gk j=1 kj j Σ a x ≤(=,≥)b i j=1 ij j x j≥0 d k ¯,dk+≥0
k=1,2,…,k i=1,2,…,m j=1,2,…,n k=1,2,…K