上海市徐汇区2014年数学模拟含附答案
徐汇区中考数学二模试卷及答案资料
2014学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷初三数学 试卷（时间100分钟 满分150分） 2015。
4一．选择题（本大题共6题，每题4分,满分24分） 1．下列各数中,无理数是（ ▲ ）A ．722； B ．9； C ．π； D ．38． 2．下列运算中，正确的是（ ▲ ）A ．2x －x =1；B ．x +x =2x ；C ．（x 3)3=x 6 ；D ．x 8÷x 2=x 4．3．某反比例函数的图像经过点（－2，3)，则此函数图像也经过点（ ▲ ）A ．（2，3） ；B ．（－3,－3) ；C ．(2，－3） ；D ．（－4，6）4．如图，已知△ABC 中，∠ACB =90°,CH 、CM 分别是斜边AB 上的高和中线，则下列结论不正确．．．的是（ ▲ ）A ．AB 2= AC 2+BC 2； B ．CH 2=AH ·HB ；C ．CM =12AB ； D ．CB =12AB ． 5．某课外小组的同学们实践活动中调查了20户家庭某月用电量 如下表所示：则这20户家庭用电量的众数和中位数分别是（ ▲ ） A ．180,160；B ．160,180；C ．160,160；D ．180，180．6．下列命题中，假．命题．．是（ ▲ ) A ．没有公共点的两圆叫两圆相离；B ．相交两圆的交点关于这两个圆的连心线所在直线对称；C ．联结相切两圆圆心的直线必经过切点；D ．内含的两个圆的圆心距大于零 ．二．填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．计算：-22= ▲ ．8．用科学记数法表示660 000的结果是 ▲ ． 9．函数2y=1xx -中自变量x 的取值范围是 ▲ ． 10．分解因式2416a -=_ ▲ .用电量(度） 120140 160 180 220 户数2367211．不等式组2+51123x x -<⎧⎪-⎨≤⎪⎩的解是▲ ．12x =的解是 ▲ ．13．某商店运进120台空调准备销售，由于开展了促销活动，每天比原计划多售出4台，结果提前5天完成销售任务，则原计划每天销售多少台？若原计划每天销售x 台．则可得方程 ▲ 。
2014上海徐汇区高考数学(文)二模试题(附答案)_20140420105226279_534
2014学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科（理科） 2014.4一． 填空题：(本题满分56分，每小题4分)1．已知集合2|05x A x x -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭，{}2|230,B x x x x R =--≥∈，则=B A ____________．2．直线10x +=的倾斜角的大小是____________．3．函数cos 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的单调递减区间是____________． 4．函数()22y x x x=+≥的值域是____________．5．设复数z 满足()132i z i +=-+，则z ＝____________．6．某学校高一、高二、高三共有2400名学生，为了调查学生的课余学习情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本.已知高一有820名学生，高二有780名学生，则在该学校的高三应抽取____________名学生.7．函数()()sin cos cos 2sin cos sin x x x f x xx xπ+-=-的最小正周期T =____________．8．已知函数)12(arcsin )(+=x x f ，则=-)6(1πf____________． 9．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，0190,2,1ACB AA AC BC ∠====，则异面直线1AB 与AC 所成角的余弦值是____________．10．若()211,1nn N n x *⎛⎫-∈> ⎪⎝⎭的展开式中4-x 的系数为n a ，则23111lim n n a a a →∞⎛⎫+++ ⎪⎝⎭=____________． 11．在极坐标系中，定点A (2,),2π点B 在直线0sin cos =+θρθρ上运动，则点A 和点B 间的最短距离为____________．12．如图，三行三列的方阵中有9个数(123123)ij a i j ==，，；，，，从中任取三个数，111213212223313233a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 则至少有两个数位于同行或同列的概率是____________． (结果用分数表示) 13．如图所示，在边长为2的正六边形ABCDEF 中，动圆Q 的半径为1，圆心在线段CD （含端点）上运动，P 是圆Q 上及内部的动点，设向量(,AP mAB nAF m n =+为实数），则m n +的最大值为____________． 14．对于集合12{,,,}n A a a a =⋅⋅⋅（*,3)n N n ∈≥，定义集合,1}{i j x a a i j n S x =+≤<≤=，记集合S 中的元素个数为()S A ．若12,,,n a a a ⋅⋅⋅是公差大于零的等差数列，则()S A =____________．二．选择题：（本题满分20分，每小题5分）15．已知直线⊥l 平面α，直线m ⊆平面β，给出下列命题,其中正确的是-------------( ) ①m l ⊥⇒βα// ②m l //⇒⊥βα ③βα⊥⇒m l // ④βα//⇒⊥m lA ．②④ B. ②③④ C. ①③ D. ①②③16．在ABC ∆中，角C B A 、、的对边分别是c b a 、、，且B A ∠=∠2，则BB3sin sin 等于-------（ ） A ．c a B ．b c C ．abD ．c b17．函数y =图像上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能．．．成为公比的数是---------------------------------------------------------------------------------- （ ） A ．23 B ．21 C ．33D ．3 18．设圆O 1和圆O 2是两个相离的定圆，动圆P 与这两个定圆都相切，则圆P 的圆心轨迹可能是 ①两条双曲线；②一条双曲线和一条直线；③一条双曲线和一个椭圆．以上命题正确的是--（ ）A ．① ③B ．② ③C ．① ②D ．① ② ③三． 解答题：（本大题共5题，满分74分）19．（本题满分12分，第（1）小题６分，第（2）小题６分）如图，△ABC 中，090=∠ACB ，030=∠ABC ，3=BC ，在三角形内挖去一个半圆（圆心O 在边BC 上，半圆与AC 、AB 分别相切于点C 、M ，与BC 交于点N ），将△ABC 绕直线BC 旋转一周得到一个旋转体． （1）求该几何体中间一个空心球的表面积的大小；（2）求图中阴影部分绕直线BC 旋转一周所得旋转体的体积． 20．（本题满分14分）如图所示，某旅游景点有一座风景秀丽的山峰，山上有一条笔直的山路BC 和一条索道AC ，小王和小李打算不坐索道，而是花2个小时的时间进行徒步攀登．已知0120ABC ∠=，0150ADC ∠=，1BD =（千米），3AC =（千米）．假设小王和小李徒步攀登的速度为每小时1200米，请问：两位登山爱好者能否在2个小时内徒步登上山峰． （即从B 点出发到达C 点）ACBD21．（本题满分14分；第（1）小题６分，第（2）小题８分）已知椭圆2222(0)x y a a +=>的一个顶点和两个焦点构成的三角形的面积为4． （1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线)1(-=x k y 与椭圆C 交于A 、B 两点，试问，是否存在x 轴上的点(),0M m ，使得对任意的k R ∈，MA MB ⋅为定值，若存在，求出M 点的坐标，若不存在，说明理由.22．（本题满分16分；第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题7分）定义：对于函数()f x ，若存在非零常数,M T ，使函数()f x 对于定义域内的任意实数x ，都有()()f x T f x M +-=，则称函数()f x 是广义周期函数，其中称T 为函数()f x 的广义周期，M 称为周距． （1）证明函数()()()1xf x x x Z =+-∈是以2为广义周期的广义周期函数，并求出它的相应周距M 的值； （2）试求一个函数()yg x =，使()()()()sin f x g x A x x R ωϕ=++∈（A ωϕ、、为常数，0,0A ω>>）为广义周期函数，并求出它的一个广义周期T 和周距M ；（3）设函数()y g x =是周期2T =的周期函数，当函数()()2f x x g x =-+在[]1,3上的值域为[]3,3-时，求()f x 在[]9,9-上的最大值和最小值．23．（本题满分18分，第（1）小题3分，第（2）小题9分，第（3）小题6分） 一个三角形数表按如下方式构成（如图：其中项数5n ≥）：第一行是以4为首项，4为公差的等差数列，从第二行起，每一个数是其肩上两个数的和，例如：()()()2,11,11,2f f f =+；(),f i j 为数表中第i 行的第j 个数．（1） 求第2行和第3行的通项公式()2,f j 和()3,f j ；（2） 证明：数表中除最后2行外每一行的数都依次成等差数列，并求(),1f i 关于i （1,2,,i n =）的表达式；（3）若()()(),111i f i i a =+-，11i i i b a a +=，试求一个等比数列()()1,2,,g i i n =，使得()()()121123n n S b g b g b g n =+++<，且对于任意的11,43m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，均存在实数λ ，当n λ>时，都有n S m >．()()()()()()()()()()1,11,21,11,2,12,22,13,13,2,1f f f n f n f f f n f f n f n ---2014学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科（文科） 2014.4二． 填空题：(本题满分56分，每小题4分)1．已知集合2|05x A x x -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭，{}2|230,B x x x x R =--≥∈，则=B A ____________．2．直线10x +=的倾斜角的大小为____________．3．函数cos 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的单调递减区间是____________． 4．函数()20y x x x=+>的值域为____________．5．设复数z 满足()132i z i +=-+，则z ＝____________．6．某学校高一、高二、高三共有2400名学生，为了调查学生的课余学习情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本.已知高一有820名学生，高二有780名学生，则在该学校的高三应抽取____________名学生.7．函数()()sin cos cos 2sin cos sin x x x f x xx xπ+-=-的最小正周期T =____________．8．已知函数)12(arcsin )(+=x x f ，则=-)6(1πf____________． 9．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，0190,2,1ACB AA AC BC ∠====，则异面直线1A B 与AC 所成角的余弦值是____________．10.已知实数x 、y 满足不等式组52600x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则34z x y =+的最大值是____________．11．若()211,1nn N n x *⎛⎫-∈> ⎪⎝⎭的展开式中4-x 的系数为n a ，则23111lim n n a a a →∞⎛⎫+++ ⎪⎝⎭=____________． 12．如图，三行三列的方阵中有9个数(123123)ij a i j ==，，；，，，从中任取三个数，111213212223313233a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭则这三个数位于不同行不同列的概率是____________． (结果用分数表示)13．对于集合1210{,,,}A a a a =⋅⋅⋅，定义集合,110}{i j x a a i j S x =+≤<≤=，记集合S 中的元素个数为()S A ．若1210,,,a a a ⋅⋅⋅是公差大于零的等差数列，则()S A =____________．14．如图所示，在边长为2的正六边形ABCDEF 中，动圆Q 的半径为1，圆心在线段CD （含端点）上运动，P 是圆Q 上及内部的动点，设向量侧视图 俯视图 (,AP mAB nAF m n =+为实数），则m n +的最大值为____________． 二．选择题：（本题满分20分，每小题5分）15．命题p ：1a ≥；命题q ：关于x 的实系数方程20x a -+=有虚数解,则p 是q 的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 16．已知直线⊥l 平面α，直线m ⊆平面β，给出下列命题,其中正确的是-----------( ) ①m l ⊥⇒βα// ②m l //⇒⊥βα ③βα⊥⇒m l // ④βα//⇒⊥m lA ．②④ B. ②③④ C. ①③ D. ①②③17．在ABC ∆中，角C B A 、、的对边分别是c b a 、、，且B A ∠=∠2，则BB3sin sin 等于----（ ） A ．c a B ．b c C ．abD ．c b18．函数y =图像上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能．．．成为公比的数是------------------------------------------------------------------------------------------------（ ） A ．23 B ．21 C ．33D ．3四． 解答题：（本大题共5题，满分74分） 19．（本题满分12分）如图所示，给出的是某几何体的三视图，其中正视图与侧视图都是边长为2的正三角形，俯视图为半径等于1的圆.试求这个几何体的体积与侧面积.20．（本题满分14分）如图所示，某旅游景点有一座风景秀丽的山峰，山上有一条笔直的山路BC 和一条索道AC ，小王和小李打算不坐索道，而是花2个小时的时间进行徒步攀登．已知0120ABC ∠=，0150ADC ∠=，1BD =（千米），3AC =（千米）．假设小王和小李徒步攀登的速度为每小时1200米，请问：两位登山爱好者能否在2个小时内徒步登上山峰． （即从B 点出发到达C 点）ACBD21．（本题满分14分；第（1）小题6分，第（2）小题8分）已知椭圆2222(0)x y a a +=>的一个顶点和两个焦点构成的三角形的面积为4． （1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线)1(-=x k y 与椭圆C 交于A 、B 两点，若点11,04M ⎛⎫⎪⎝⎭，求证MA MB ⋅为定值.22．（本题满分16分；第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题8分）定义：对于函数()f x ，若存在非零常数,M T ，使函数()f x 对于定义域内的任意实数x ，都有()()f x T f x M +-=，则称函数()f x 是广义周期函数，其中称T 为函数()f x 的广义周期，M 称为周距． （1）证明函数()()()1xf x x x Z =+-∈是以2为广义周期的广义周期函数，并求出它的相应周距M 的值； （2）试判断函数()()sin f x kx b A x ωϕ=+++（k A ωϕ、、、为常数，0,0,0k A ω≠>>）是否为广义周期函数，若是，请求出它的一个广义周期T 和周距M ，若不是，请说明理由；（3）设函数()y g x =是周期2T =的周期函数，当函数()()2f x x g x =-+在[]1,3上的值域为[]3,3-时，求()f x 在[]9,9-上的最大值和最小值．23．（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题５分，第（3）小题9分） 一个三角形数表按如下方式构成（如图：其中项数5n ≥）：第一行是以4为首项，4为公差的等差数列，从第二行起，每一个数是其肩上两个数的和，例如：()()()2,11,11,2f f f =+；(),f i j 为数表中第i 行的第j 个数．（3） 求第2行和第3行的通项公式()2,f j 和()3,f j ；（4） 证明：数表中除最后2行以外每一行的数都依次成等差数列； （5） 求(),1f i 关于i （1,2,,i n =）的表达式．()()()()()()()()()()1,11,21,11,2,12,22,13,13,2,1f f f n f n f f f n f f n f n ---2014学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科（理科）参考答案及评分标准2014.4三． 填空题：(本题满分56分，每小题4分) １．(]5,1-- ２．56π 3．()3,88k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ 4．[)3,+∞5．13i - 6．40 7．π 8．14- 9 10．211 12．141313．5 14．23n - 二．选择题：（本题满分20分，每小题5分）15．Ｃ 16．Ｄ 17．Ｂ 18．Ｃ五． 解答题：（本大题共5题，满分74分） 19．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）解：（1）连接OM ，则OM AB ⊥，设OM r =，则OB r =， 在BMO ∆中，1sin2OM ABC OB ∠===，所以r =--------------------------（4分） 所以2443S r ππ==．-----------------（6分）（2）ABC ∆中，90ACB ∠=，30ABC ∠=,BC =， 1AC ∴=，-------------------------------（8分）2323141413333V V V AC BC r ππππ∴=-=⨯⨯-=⨯=圆锥球．（12分） 20．（本题满分14分）解：由0150ADC ∠=知030ADB ∠=，由正弦定理得001sin 30sin120AD =，所以，AD =---------------------------------------（4分）在ADC ∆中，由余弦定理得：2222cos150AC AD DC AD DC =+-⋅，即222032cos150DC DC =+-，即2360DC DC +⋅-=，解得 1.372DC =≈（千米）， -----------------------------------------------（10分） 2.372BC ∴≈（千米），--------------------------------------------------------------------（12分） 由于2.372 2.4<，所以两位登山爱好者能够在2个小时内徒步登上山峰．---（14分） 21．（本题满分14分；第（1）小题6分，第（2）小题8分）解：（1）设椭圆的短半轴为b ，半焦距为c ，则222a b =，由222c a b =-得222222a a c a =-=， 由4221=⨯⨯c b 解得4,822==b a ,则椭圆方程为14822=+y x . ----------（6分） （2）由22(1)28y k x x y =-⎧⎨+=⎩得2222(21)4280,k x k x k +-+-= 设1122(,),(,),A x y B x y 由韦达定理得：,1282,12422212221+-=+=+k k x x k k x x MA MB ∴⋅=221122121212(,)(,)()(1)(1)x m y x m y x x m x x m k x x -⋅-=-+++--=22221212(1)()()k x x m k x x k m +-++++=22222222284(1)()2121k k k m k k m k k -+-+++++=()22254821m k m k ++-++，----------------（10分） 当5416m +=，即114m =时，MA MB ⋅=167-为定值，所以，存在点11(,0)4M使得MA MB ⋅为定值（14分）．22．（本题满分16分；第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题7分） 解：（1）()()()1xf x x x Z =+-∈，∴()()()()()222112x xf x f x x x +⎡⎤⎡⎤+-=++--+-=⎣⎦⎣⎦，（非零常数） 所以函数()()()1xf x x x Z =+-∈是广义周期函数，它的周距为2．-----（4分）（2）设()()0g x kx b k =+≠，则()()sin f x kx b A x ωϕ=+++()2f x f x πω⎛⎫+- ⎪⎝⎭()222sin sin k k x b A x kx b A x πππωϕωϕωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++++-+++=⎡⎤ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦（非零常数） 所以()f x 是广义周期函数，且22,k T M ππωω==．-----------------（ 9分） （3）()()()()()222224f x f x x g x x g x +-=-++++-=-，所以()f x 是广义周期函数，且2,4T M ==- ．------------------------------------------（10分） 设[]12,1,3x x ∈满足()()123,3f x f x =-=， 由()()24f x f x +=-得：()()()()111164424444431215f x f x f x f x +=+-=+--=---=--=-，又()()()24f x f x f x +=-<知道()f x 在区间[]9,9-上的最小值是x 在[]7,9上获得的，而[]167,9x +∈，所以()f x 在[]9,9-上的最小值为15-．--------------------（ 13分）由()()24f x f x +=-得()()24f x f x -=+得：()()()()222210846442023f x f x f x f x -=-+=-++==+=，又()()()24f x f x f x -=+>知道()f x 在区间[]9,9-上的最大值是x 在[]9,7--上获得的，而[]2109,7x -∈--，所以()f x 在[]9,9-上的最大值为23．-----------------------（16分）23．（本题满分18分；第（1）小题3分，第（2）小题9分，第（3）小题6分．） 解：（1）()()()()()2,1,1,121,4841,2,,1f j f j f j f j j j n =++=+=+=-()()()()()()3,2,2,122,8284816161,2,,2f j f j f j f j j j j n =++=+=++=+=-．--------------------------------------------------------------------------------------------------------（3分）（2）由已知，第一行是等差数列，假设第()13i i n ≤≤-行是以i d 为公差的等差数列， 则由()()()()()()1,11,,1,2,,1f i j f i j f i j f i j f i j f i j ++-+=+++-++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()(),2,2i f i j f i j d =+-=（常数）知第()113i i n +≤≤-行的数也依次成等差数列，且其公差为2i d .综上可得，数表中除最后2行以外每一行都成等差数列；------------（7分） 由于()114,22i i d d d i -==≥，所以11422i i i d -+=⋅=，所以1(,1)(1,1)(1,2)2(1,1)i f i f i f i f i d -=-+-=-+，由12i i d -=，得(),1f i 2(1,1)2i f i =-+， （9分）于是()()1,11,1122i i f i f i --=+ ， 即()()1,11,1122i i f i f i ---=，又因为()11,14222f ==，所以，数列(),12if i ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2为首项，1为公差的等差数列，所以，()(),12112if i i i =+-=+，所以()(),11i f i i=+⋅（1,2,,i n =）． （12分）（3）()()(),111i f i i a =+-(),11211i i f i a i ⇒=+=++ ， ()()11111111221212121i i i i i ii i b a a +++⎛⎫⇒===- ⎪++++⎝⎭， 令()2ig i =1111111()2221212121i i i i i i i b g i ++⎛⎫⇒=-⨯=- ⎪++++⎝⎭，-----------------（14分） 2231111111212121212121n n n S +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⇒=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭11113213n +=-<+． ---------------------------------------------------------------------------------------------------------（15分）n S m >111321n m +⇔->+111132133n m m +-⇔<-=+， 11,43m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭10134m ⇒<-<，132113n m +⇒+>-23log 1113n m ⎛⎫⇒>-- ⎪-⎝⎭，令λ=23log 113m ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，则当n λ>时，都有n S m >，∴适合题设的一个等比数列为()2i g i =．-------------------------------------------------------（18分）2014学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科（文科）参考答案及评分标准2014.4四． 填空题：(本题满分56分，每小题4分)１．(]5,1-- ２．56π 3．()3,88k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ 4．)⎡+∞⎣5．13i - 6．40 7．π 8．14- 9 10．20 11．2 12．11413．17 14．5 二．选择题：（本题满分20分，每小题5分）15．B 16．Ｃ 17．Ｄ 18．Ｂ六． 解答题：（本大题共5题，满分74分） 19．（本题满分12分）解：根据几何体的三视图知，原几何体是以半径为1由于该圆锥的母线长为2，---------------（4分） 则它的侧面积2S rl ππ==侧，-----------（8分）体积213V r h π==．------------------------（12分）20．（本题满分14分）解：由0150ADC ∠=知030ADB ∠=， 解：由0150ADC ∠=知030ADB ∠=，由正弦定理得001sin 30sin120AD=，所以，AD =---------------------------------------（4分） 在ADC ∆中，由余弦定理得：2222cos150AC AD DC AD DC =+-⋅，即222032cos150DC DC =+-，即2360DC DC +⋅-=，解得 1.372DC =≈（千米）， -----------------------------------------------（10分） 2.372BC ∴≈（千米），--------------------------------------------------------------------（12分） 由于2.372 2.4<，所以两位登山爱好者能够在2个小时内徒步登上山峰．---（14分） 21．（本题满分14分；第（1）小题6分，第（2）小题8分）解：（1）设椭圆的短半轴为b ，半焦距为c ，则222a b =，由222c a b =-得222222a a c a =-=，由4221=⨯⨯c b 解得4,822==b a , 则椭圆方程为14822=+y x . --------------------------------------------（6分） （2）由22(1)28y k x x y =-⎧⎨+=⎩得 2222(21)4280,k x k x k +-+-= ----------------------------------------------------------------（8分）设1122(,),(,),A x y B x y 由韦达定理得： ,1282,12422212221+-=+=+k k x x k k x x MA MB ∴⋅=11221111(,)(,)44x y x y -⋅- 212121211121()(1)(1)416x x x x k x x =-+++-- =16121))(411()1(2212212++++-+k x x k x x k =16121124)411(1282)1(2222222++++-+-+k k k k k k k =,167161211281622-=++--k k 所以MA MB ⋅为定值167-. ------------------------------------------（14分）22．（本题满分16分；第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题8分）解：（1）()()()1x f x x x Z =+-∈，∴()()()()()222112x x f x f x x x +⎡⎤⎡⎤+-=++--+-=⎣⎦⎣⎦（非零常数） 所以函数()()()1x f x x x Z =+-∈是广义周期函数，它的周距为2；-----（4分）（2）函数()()sin f x kx b A x ωϕ=+++（k A ωϕ、、、为常数，0,0,0k A ω≠>>）是广义周期函数， 且22,k T M ππωω==.证明如下：()2f x f x πω⎛⎫+- ⎪⎝⎭()222sin sin k k x b A x kx b A x πππωϕωϕωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++++-+++=⎡⎤ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦ （非零常数）. -------------------------------------------------------------------------------------（ 8分）（3）()()()()()222224f x f x x g x x g x +-=-++++-=-，所以()f x 是广义周期函数，且2,4T M ==-. ------------------------------------------（10分）设[]12,1,3x x ∈满足()()123,3f x f x =-=，由()()24f x f x +=-得：()()()()111164424444431215f x f x f x f x +=+-=+--=---=--=-，又()()()24f x f x f x +=-<知道()f x 在区间[]9,9-上的最小值是x 在[]7,9上获得的，而[]167,9x +∈，所以()f x 在[]9,9-上的最小值为15-．--------------------（ 13分）由()()24f x f x +=-得()()24f x f x -=+得：()()()()222210846442023f x f x f x f x -=-+=-++==+=， 又()()()24f x f x f x -=+>知道()f x 在区间[]9,9-上的最大值是x 在[]9,7--上获得的，而[]2109,7x -∈--，所以()f x 在[]9,9-上的最大值为23．-----------（16分）23．（本题满分18分；第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题9分）解：（1）()()()()()2,1,1,121,4841,2,,1f j f j f j f j j j n =++=+=+=-，()()()()()()3,2,2,122,8284816161,2,,2f j f j f j f j j j j n =++=+=++=+=-，---------------------------------------------------------------------------------------------------------（4分） （2）由已知，第一行是等差数列，假设第()13i i n ≤≤-行是以i d 为公差的等差数列，则由 ()()()()()()1,11,,1,2,,1f i j f i j f i j f i j f i j f i j ++-+=+++-++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()(),2,2i f i j f i j d =+-=（常数）知第()113i i n +≤≤-行的数也依次成等差数列，且其公差为2i d .综上可得，数表中除最后2行以外每一行都成等差数列．---------------------------（9分）（3）由于()114,22i i d d d i -==≥，所以11422i i i d -+=⋅=，---------------------（11分）所以1(,1)(1,1)(1,2)2(1,1)i f i f i f i f i d -=-+-=-+，由12i i d -=得(),1f i 2(1,1)2i f i =-+，----------------------------------------------（13分）于是()()1,11,1122i i f i f i --=+，即()()1,11,1122i i f i f i ---=，----------------------------（15分） 又因为()11,14222f ==，所以，数列(),12i f i ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2为首项，1为公差的等差数列， 所以，()(),12112i f i i i =+-=+，所以()(),112i f i i =+⋅（1,2,,i n =）．----------（18分）。
2014年上海市徐汇区高考一模数学试卷(理科)【解析版】
2014年上海市徐汇区高考数学一模试卷（理科）一、填空题：（本题满分56分，每小题4分）1．（4分）计算：＝．2．（4分）函数y＝sin2x cos2x的最小正周期是．3．（4分）计算：2（＝．4．（4分）已知，，则x＝．（结果用反三角函数表示）5．（4分）直线l1：（a+3）x+y﹣3＝0与直线l2：5x+（a﹣3）y+4＝0，若l1的方向向量是l2的法向量，则实数a＝．6．（4分）如果（n∈N*），那么f（k+1）﹣f（k）共有项．7．（4分）若函数f（x）的图象经过（0，1）点，则函数f（x+3）的反函数的图象必经过点．8．（4分）某小组有10人，其中血型为A型有3人，B型4人，AB型3人，现任选2人，则此2人是同一血型的概率为．（结论用数值表示）9．（4分）双曲线mx2+y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m＝．10．（4分）在平面直角坐标系中，动点P和点M（﹣2，0）、N（2，0）满足，则动点P（x，y）的轨迹方程为．11．（4分）某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x﹣y|的值为．12．（4分）如图所示，已知点G是△ABC的重心，过G作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点，且，则的值为．13．（4分）一个五位数满足a＜b，b＞c＞d，d＜e且a＞d，b＞e（如37201，45412），则称这个五位数符合“正弦规律”．那么，共有个五位数符合“正弦规律”．14．（4分）定义区间（c，d]，（c，d]，（c，d），[c，d]的长度均为d﹣c，其中d ＞c．若a，b是实数，且a＞b，则满足不等式≥1的x构成的区间的长度之和为．二、选择题：（本题满分20分，每小题5分）15．（5分）直线bx+ay＝ab（a＜0，b＜0）的倾斜角是（）A．B．C．D．16．（5分）为了得到函数y＝2sin（），x∈R的图象，只需把函数y＝2sin x，x∈R的图象上所有的点（）A．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）C．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）17．（5分）函数f（x）＝x|x+a|+b是奇函数的充要条件是（）A．a•b＝0B．a+b＝0C．a＝b＝0D．a＝b 18．（5分）已知集合M＝{（x，y）|y＝f（x）}，若对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2＝0成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①M＝{}；②M＝{（x，y）|y＝sin x+1}；③M＝{（x，y）|y＝log2x}；④M＝{（x，y）|y＝e x﹣2}．其中是“垂直对点集”的序号是（）A．①②B．②③C．①④D．②④三.解答题：（本大题共5题，满分74分）19．（12分）在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a、b是方程的两个根，且A+B＝120°，求△ABC的面积及AB的长．20．（14分）已知函数f（x）＝|x﹣1|，g（x）＝﹣x2+6x﹣5．（1）若g（x）≥f（x），求实数x的取值范围；（2）求g（x）﹣f（x）的最大值．21．（14分）某种海洋生物身体的长度f（t）（单位：米）与生长年限t（单位：年）满足如下的函数关系：f（t）＝．（设该生物出生时t＝0）（1）需经过多少时间，该生物的身长超过8米；（2）设出生后第t0年，该生物长得最快，求t0（t0∈N*）的值．22．（16分）给定椭圆C：，称圆心在坐标原点O，半径为的圆是椭圆C的“伴随圆”，已知椭圆C的两个焦点分别是．（1）若椭圆C上一动点M1满足||+||＝4，求椭圆C及其“伴随圆”的方程；（2）在（1）的条件下，过点P（0，t）（t＜0）作直线l与椭圆C只有一个交点，且截椭圆C的“伴随圆”所得弦长为2，求P点的坐标；（3）已知m+n＝﹣（0，π）），是否存在a，b，使椭圆C的“伴随圆”上的点到过两点（m，m2），（n，n2）的直线的最短距离．若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．23．（18分）称满足以下两个条件的有穷数列a1，a2，…，a n为n（n＝2，3，4，…）阶“期待数列”：①a1+a2+a3+…+a n＝0；②|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|＝1．（1）若等比数列{a n}为2k（k∈N*）阶“期待数列”，求公比q及{a n}的通项公式；（2）若一个等差数列{a n}既是2k（k∈N*）阶“期待数列”又是递增数列，求该数列的通项公式；（3）记n阶“期待数列”{a n}的前k项和为S k（k＝1，2，3，…，n）：（i）求证：|S k|；（ii）若存在m∈{1，2，3，…，n}使S m＝，试问数列{S k}能否为n阶“期待数列”？若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理由．2014年上海市徐汇区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：（本题满分56分，每小题4分）1．（4分）计算：＝．【解答】解：＝＝＝，故答案为：．2．（4分）函数y＝sin2x cos2x的最小正周期是．【解答】解：函数y＝sin2x cos2x＝，∴函数y＝sin2x cos2x的最小正周期是＝．故答案为：．3．（4分）计算：2（＝．【解答】解：2＝+＝．故答案为：．4．（4分）已知，，则x＝．（结果用反三角函数表示）【解答】解：∵x∈（，π），∴﹣x∈（﹣π，﹣），∴π﹣x∈（0，），∵sin x＝sin（π﹣x）＝，∴π﹣x＝arcsin，∴x＝π﹣arcsin．故答案为：π﹣arcsin．5．（4分）直线l1：（a+3）x+y﹣3＝0与直线l2：5x+（a﹣3）y+4＝0，若l1的方向向量是l2的法向量，则实数a＝﹣2．【解答】解：∵直线l1：（a+3）x+y﹣3＝0与直线l2：5x+（a﹣3）y+4＝0，∴直线l1的方向向量为＝（1，﹣（a+3）），直线l2的方向向量为＝（1，），∵l1的方向向量是l2的法向量，∴两直线的方向向量垂直，即•＝1×1+（﹣a﹣3）×＝0，解得a＝﹣2，∴实数a＝﹣2．故答案为：﹣2．6．（4分）如果（n∈N*），那么f（k+1）﹣f（k）共有2k项．【解答】解：∵（n∈N*），∴，，∴f（k+1）﹣f（k）＝＝，∴共有2k项．故答案为：2k．7．（4分）若函数f（x）的图象经过（0，1）点，则函数f（x+3）的反函数的图象必经过点（1，﹣3）．【解答】解：∵函数f（x）的图象经过（0，1）点，∴f（0）＝1．∴f（﹣3+3）＝1，即函数f（x+3）的图象经过点（﹣3，1）．∴函数f（x+3）的反函数的图象必经过点（1，﹣3）．故答案为：（1，﹣3）．8．（4分）某小组有10人，其中血型为A型有3人，B型4人，AB型3人，现任选2人，则此2人是同一血型的概率为．（结论用数值表示）【解答】解：所有的选法共有＝45种，而选出的2人是同一血型的方法有++＝12种，故选出的2人是同一血型的概率为＝，故答案为：．9．（4分）双曲线mx2+y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m＝．【解答】解：双曲线mx2+y2＝1的标准方程为y2﹣＝1，虚轴的长是2，实轴长2．由题意知，2＝4，∴m＝﹣，故答案为﹣．10．（4分）在平面直角坐标系中，动点P和点M（﹣2，0）、N（2，0）满足，则动点P（x，y）的轨迹方程为y2＝﹣8x．【解答】解：∵点M（﹣2，0）、N（2，0）满足，∴4+（4，0）•（x﹣2，y）＝0，化简可得y2＝﹣8x．故答案为：y2＝﹣8x．11．（4分）某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x﹣y|的值为4．【解答】解：由题意可得：x+y＝20，（x﹣10）2+（y﹣10）2＝8，设x＝10+t，y＝10﹣t，则2t2＝8，解得t＝±2，∴|x﹣y|＝2|t|＝4，故答案为：4．12．（4分）如图所示，已知点G是△ABC的重心，过G作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点，且，则的值为．【解答】解：根据题意G为三角形的重心，∴，＝，＝，由于与共线，根据共线向量基本定理知，存在实数λ，使得＝λ，即，∴，消去λ得x+y﹣3xy＝0，∴x+y＝3xy，即＝．13．（4分）一个五位数满足a＜b，b＞c＞d，d＜e且a＞d，b＞e（如37201，45412），则称这个五位数符合“正弦规律”．那么，共有2892个五位数符合“正弦规律”．【解答】解：条件就是b是最大的，d是最小的，a，c，e介于最小最大之间．取b＝9，d＝7时，a，c，e只能是8；d＝6时，a，c，e可取7，8，共23种；d ＝5时，a，c，e可取6，7，8，共33种；…，d＝0时，a，c，e可取1，2，…，8，共83种；故此种情况是1+23+…+83种．类似b＝8时，是1+23+…+73种，b＝7时，是1+23+…+63种，b＝6时，是1+23+…+53种，b＝5时，是1+23+…+43种，b＝4时，是1+23+33种，b＝3时，是1+23种，b＝2时，是1种最后得所有的情况是（1+23+…+83）+（1+23+…+73）+…+1＝2892．故答案为：2892．14．（4分）定义区间（c，d]，（c，d]，（c，d），[c，d]的长度均为d﹣c，其中d ＞c．若a，b是实数，且a＞b，则满足不等式≥1的x构成的区间的长度之和为2．【解答】解：∵≥1，实数a＞b，∴≥1，即，设x2﹣（2+a+b）x+ab+a+b＝0的根为x1和x2，则由求根公式可得，x1＝，x2＝，把不等式的根排在数轴上，穿根得不等式的解集为（b，x1）∪（a，x2），故解集构成的区间的长度之和为（x1﹣b）+（x2﹣a）＝（x1+x2 ）﹣a﹣b＝（a+b+2）﹣a﹣b＝2，故答案为：2．二、选择题：（本题满分20分，每小题5分）15．（5分）直线bx+ay＝ab（a＜0，b＜0）的倾斜角是（）A．B．C．D．【解答】解：直线bx+ay＝ab（a＜0，b＜0）的斜截式方程为，斜率k＝，∴tan，则对应的倾斜角为＝，故选：B．16．（5分）为了得到函数y＝2sin（），x∈R的图象，只需把函数y＝2sin x，x∈R的图象上所有的点（）A．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）C．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）【解答】解：把函数y＝2sin x，x∈R的图象上所有的点向左平移个单位长度，可得函数y＝2sin（x+）的图象，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），可得函数y＝2sin （），x∈R的图象，故选：B．17．（5分）函数f（x）＝x|x+a|+b是奇函数的充要条件是（）A．a•b＝0B．a+b＝0C．a＝b＝0D．a＝b【解答】解：若f（x）是奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），即﹣x|x﹣a|+b＝﹣x|x+a|﹣b恒成立，亦即x（|x﹣a|﹣|x+a|）＝2b恒成立，要使上式恒成立，只需|x﹣a|﹣|x+a|＝2b＝0，即a＝b＝0，故函数f（x）＝x|x+a|+b是奇函数的充要条件是a＝b＝0，故选：C．18．（5分）已知集合M＝{（x，y）|y＝f（x）}，若对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2＝0成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①M＝{}；②M＝{（x，y）|y＝sin x+1}；③M＝{（x，y）|y＝log2x}；④M＝{（x，y）|y＝e x﹣2}．其中是“垂直对点集”的序号是（）A．①②B．②③C．①④D．②④【解答】解：对于①y＝是以x，y轴为渐近线的双曲线，渐近线的夹角是90°，所以在同一支上，任意（x1，y1）∈M，不存在（x2，y2）∈M，满足好集合的定义；在另一支上对任意（x1，y1）∈M，不存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2＝0成立，所以不满足“垂直对点集”的定义，不是“垂直对点集”．对于②M＝{（x，y）|y＝sin x+1}，对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2＝0成立，例如（0，1）、（π，0），满足“垂直对点集”的定义，所以M是“垂直对点集”；正确．对于③M＝{（x，y）|y＝log2x}，取点（1，0），曲线上不存在另外的点，使得两点与原点的连线互相垂直，所以不是“垂直对点集”．对于④M＝{（x，y）|y＝e x﹣2}，如下图红线的直角始终存在，对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2＝0成立，例如取M（0，﹣1），则N（ln2，0），满足“垂直对点集”的定义，所以是“垂直对点集”；正确．所以②④正确．故选：D．三.解答题：（本大题共5题，满分74分）19．（12分）在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a、b是方程的两个根，且A+B＝120°，求△ABC的面积及AB的长．【解答】解：∵A+B＝120°，∴C＝60°．∵a、b是方程的两个根，∴a+b＝，ab＝2，＝＝，∴S△ABCAB＝c＝＝＝＝．20．（14分）已知函数f（x）＝|x﹣1|，g（x）＝﹣x2+6x﹣5．（1）若g（x）≥f（x），求实数x的取值范围；（2）求g（x）﹣f（x）的最大值．【解答】解：（1）当x≥1时，f（x）＝x﹣1；∵g（x）≥f（x），∴﹣x2+6x﹣5≥x﹣1；整理，得（x﹣1）（x﹣4）≤0，解得x∈[1，4]；当x＜1时，f（x）＝1﹣x；∵g（x）≥f（x），∴﹣x2+6x﹣5≥1﹣x，整理，得（x﹣1）（x﹣6）≤0，解得x∈[1，6]，又，∴x∈∅；综上，x的取值范围是[1，4]．（2）由（1）知，g（x）﹣f（x）的最大值在[1，4]上取得，∴g（x）﹣f（x）＝（﹣x2+6x﹣5）﹣（x﹣1）＝﹣+≤，∴当x＝时，g（x）﹣f（x）取到最大值是．21．（14分）某种海洋生物身体的长度f（t）（单位：米）与生长年限t（单位：年）满足如下的函数关系：f（t）＝．（设该生物出生时t＝0）（1）需经过多少时间，该生物的身长超过8米；（2）设出生后第t0年，该生物长得最快，求t0（t0∈N*）的值．【解答】解：（1）由题意，f（t）≥8，即≥8，化简可得，，即2﹣t+4≤2﹣2，解得t≥6，故该生物6年后身长可达到或超过8米；（2）设出生后第t0年，该生物长得最快，则有f（t0）﹣f（t0﹣1）＝﹣＝（t0≥1），令u＝，则u∈（0，8]，令g（u）＝＝＝，当且仅当2u＝，即u＝，＝，t0＝4.5时取“＝”，又∵t0∈N*，∴t0的值可能为4或5，∵f（4）﹣f（3）＝f（5）﹣f（4）＝，∴所求的年份为第4年和第5年，两年内各生长了米．22．（16分）给定椭圆C：，称圆心在坐标原点O，半径为的圆是椭圆C的“伴随圆”，已知椭圆C的两个焦点分别是．（1）若椭圆C上一动点M1满足||+||＝4，求椭圆C及其“伴随圆”的方程；（2）在（1）的条件下，过点P（0，t）（t＜0）作直线l与椭圆C只有一个交点，且截椭圆C的“伴随圆”所得弦长为2，求P点的坐标；（3）已知m+n＝﹣（0，π）），是否存在a，b，使椭圆C的“伴随圆”上的点到过两点（m，m2），（n，n2）的直线的最短距离．若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由题意，，∴＝，所以椭圆C的方程为．其“伴随圆”的方程为x2+y2＝6；（2）设直线l的方程为y＝kx+t，代入椭圆方程为（2k2+1）x2+4tkx+2t2﹣4＝0∴由△＝（4tk）2﹣8（2k2+1）（t2﹣2）＝0得t2＝4k2+2①，由直线l截椭圆C的“伴随圆”所得弦长为，可得，即t2＝3（k2+1）②由①②可得t2＝6．∵t＜0，∴t＝﹣，∴P（0，﹣）；（3）过两点（m，m2），（n，n2）的直线的方程为，∴y＝（m+n）x ﹣mn，∵m+n＝﹣（0，π）），∴，得x cosθ+y sinθ﹣3＝0，∴由于圆心（0，0）到直线x cosθ+y sinθ﹣3＝0的距离为d＝＝3．当a2+b2≥9时，d min＝0，等式不能成立；当a2+b2＜9时，d min＝3﹣，由3﹣＝﹣b得9+6b+b2＝4a2+4b2．因为a2＝b2+2，所以7b2﹣6b﹣1＝0，∴（7b+1）（b﹣1）＝0，∴b＝1，a＝．23．（18分）称满足以下两个条件的有穷数列a1，a2，…，a n为n（n＝2，3，4，…）阶“期待数列”：①a1+a2+a3+…+a n＝0；②|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|＝1．（1）若等比数列{a n}为2k（k∈N*）阶“期待数列”，求公比q及{a n}的通项公式；（2）若一个等差数列{a n}既是2k（k∈N*）阶“期待数列”又是递增数列，求该数列的通项公式；（3）记n阶“期待数列”{a n}的前k项和为S k（k＝1，2，3，…，n）：（i）求证：|S k|；（ii）若存在m∈{1，2，3，…，n}使S m＝，试问数列{S k}能否为n阶“期待数列”？若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理由．【解答】（1）解：若q＝1，由①得，a1•2k＝0，得a1＝0，矛盾；若q≠1，则由①，，得q＝﹣1，由②得，或，∴q＝﹣1，数列{a n}的通项公式是，或；（2）解：设等差数列a1，a2，a3，…，a2k（k≥1）的公差为d，d＞0，∵a1+a2+…+a2k＝0，∴，∴a1+a2k＝a k+a k+1＝0，∵d＞0，由a1+a k+1＝0得，a k＜0，a k+1＞0，由①②得，，，两式相减得，k2d＝1，∴，又，得．∴数列{a n}的通项公式是a i＝a1+（i﹣1）•d＝＝；（3）证明：记a1，a2，…，a n中所有非负数项的和为A，所有负数项的和为B，则A+B＝0，A﹣B＝1，得A＝，B＝，（i），即（ii）若存在m∈{1，2，3，…，n}使，由前面的证明过程知：a1≥0，a2≥0，…，a m≥0，a m+1≤0，a m+2≤0，…，a n≤0，且，如果{S k}是n阶“期待数列”，记数列{S k}（k＝1，2，3，…，n）的前k项和为T k，则由（i）知，，∴，而，＝0，从而．∴S1＝S2＝…＝S m﹣1又，则S m+1，S m+2，…，S n≥0．∴|S1|+|S2|+|S3|+…+|S n|＝S1+S2+S3+…+S n．S1+S2+S3+…+S n＝0与|S1|+|S2|+|S3|+…+|S n|＝1不能同时成立．∴对于有穷数列a1，a2，…，a n（n＝2，3，4，…），若存在m∈{1，2，3，…，n}使，则数列{a i}的和数列{S k}（k＝1，2，3，…，n）不能为n阶“期待数列”．。
2014年上海市徐汇区中考数学二模试卷
2014年上海市徐汇区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．（4分）（2014•徐汇区二模）下列计算正确的是（）A．a2•a3=a6B．a+a=a2C．（a2）3=a6D．a8÷a2=a4【考点】：整式的运算（加、减、乘、除、乘方）M212【难易度】：容易题【分析】：根据整式的运算有：A、由同底数幂相乘，底数不变指数相加，则a2•a3=a2+3=a5，故本选项错误；B、由合并同类项法则，则a+a=2a，故本选项错误；C、由幂的乘方，底数不变指数相乘，则（a2）3=a2×3=a6，故本选项正确；D、由同底数幂相除，底数不变指数相减，则a8÷a2=a8﹣2=a6，故本选项错误．【解答】：答案C．【点评】：本题考查了整式的运算，是初中阶段的一个重要知识点，难度不大，熟练掌握运算法则，理清指数的变化是解题的关键．2．（4分）（2014•徐汇区二模）一次函数y=2x+1的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】：一次函数的的图象、性质M422【难易度】：容易题【分析】：因为一次函数y=2x+1中的2＞0，所以该直线经过第一、三象限．又一次函数y=2x+1中的1＞0，所以该直线与y轴交于正半轴，则该直线经过第一、二、三象限，即不经过第四象限．【解答】：答案D．【点评】：本题考查了一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．难度不大，需要熟知k＞0时，直线必经过一、三象限．k＜0时，直线必经过二、四象限．b＞0时，直线与y 轴正半轴相交．b=0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．也可以通过画图像得出答案。
3．（4分）（2014•徐汇区二模）如图，AF是∠BAC的平分线，EF∥AC交AB于点E．若∠1=25°，则∠BAF的度数为（）A．15°B．50°C．25°D．12.5°【考点】：平行线的判定、性质M323角平分线及其性质M324【难易度】：容易题【分析】：：因为EF∥AC，∠1=25°，根据两直线平行，同位角相等，则∠2=∠1=25°，又AF是∠BAC的平分线，所以∠BAF=∠2=25°．【解答】：答案C．【点评】：本题综合考查了平行线的性质以及角平分线的性质，属于基础题，难度不大，熟记性质并准确得出图中角之间的关系是解答此类题目的关键．4．（4分）（2014•徐汇区二模）在△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且sinA=cosB=，那么△ABC的形状是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．无法确定【考点】：特殊角的锐角三角比值M362三角形的分类M335【难易度】：容易题【分析】：在△ABC中，因为∠A、∠B都是锐角，且sinA=cosB=，所以∠A=30°，∠B=60°，则∠A=180°﹣30°﹣60°=90°．故△ABC为直角三角形．【解答】：答案B．【点评】：本题考查了由特殊角的三角函数值判断三角形的形状，难度不大，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值，进而得出几个角的度数．5．（4分）（2014•徐汇区二模）“大衣哥”朱之文是从“我是大明星”这个舞台走出来的民间艺人．受此影响，卖豆腐的老张也来参加节目的海选，当天共有15位选手参加决逐争取8个晋级名额．已知他们的分数互不相同，老张要判断自己是否能够晋级，只要知道下列15名选手成绩统计量中的（）A．众数B．方差C．中位数D．平均数【考点】：平均数、方差和标准差M522中位数、众数M524【难易度】：容易题【分析】：因为8位获奖者的分数肯定是15名参赛选手中最高的，而且15个不同的分数按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有8个数，故只要知道自己的分数和中位数就可以知道是否获奖了．【解答】：答案C．【点评】：此题主要考查统计的有关知识，属于基础题，难度不大，熟知统计量的意义及其计算方式是解答本题的关键，但统计量各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．6．（4分）（2014•徐汇区二模）如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，联结BC，若∠A=36°，则∠C等于（）A．36°B．54°C．60°D．27°【考点】：圆的有关性质M354圆的相关计算M358【难易度】：容易题【分析】：因为AB与⊙O相切于点B，所以∠ABO=90°，又∠A=36°，则∠BOA=54°，由圆周角定理得：∠C=∠BOA=27°，【解答】：答案D．【点评】：本题考查了切线的性质以及圆周角定理的应用，难度不大，圆的性质是中考常见的考点，解题关键是由圆的性质得出图形中的相关关系．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．（4分）（2014•徐汇区二模）函数y=的定义域是．【考点】：函数自变量的取值范围M420【难易度】：容易题【分析】：根据二次根式有意义的条件，被开方数大于等于0，则x+1≥0，解得x≥﹣1．【解答】：答案为：x≥﹣1．【点评】：此题考查了二次根式有意义的条件，难度不大，注意代数式有意义，自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负数．8．（4分）（2014•徐汇区二模）分解因式：a3﹣ab2=．【考点】：因式分解M217【难易度】：因式分解．【分析】：观察原式a3﹣ab2，找到公因式a，提出公因式后发现a2﹣b2是平方差公式，则a3﹣ab2=a（a2﹣b2）=a（a+b）（a﹣b）．【解答】：答案为：a（a+b）（a﹣b）【点评】：本题考查了因式分解，难度不大，是中考必考的题目，当一个式子有多项时，需要进行适当的分组。
上海市徐汇区2014-2015学年高三第一学期一模数学理试卷含答案
2014学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科（理科）2015.1一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得0分．1．已知3sin 5θ=-，则cos 2θ=__ ___．2．若实数,x y 满足4xy =，则224x y +的最小值为 ． 3．设i 是虚数单位，复数z 满足(2)5i z +⋅=，则z = ． 4．函数2()2(0)f x x x =-<的反函数1()f x -= ．5．若抛物线22y px =的焦点与双曲线2213y x -=的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为 ．6．若正四棱柱1111ABCD A BC D -的底面边长为2，高为4，则异面直线1BD 与AD 所成角的大小是______________．（结果用反三角函数值表示） 7．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，*110()2n n S a n N +-=∈，则{}n a 的通项公式为 ．8．若全集U R =，不等式11111x x+≥-的解集为A ，则U A C = ．9．已知圆22:(1)(1)2C x y -+-=，方向向量(1,1)d =的直线l 过点(0,4)P ，则圆C 上的点到直线l 的距离的最大值为 ．10．如图：在梯形ABCD 中，//AD BC 且12AD BC =，AC 与 BD 相交于O ，设A B a =，D C b =，用,a b 表示BO ，则BO = ．11．已知函数()2sin(2)6f x x π=+，将()y f x =的图像向左平移ϕ（0ϕπ<<）个单位后得到函数()y g x =的图像．若()y g x =的图像上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，则ϕ的值为 ．12．已知函数222111()1()()(1)2222015n n n f x x n =+++++++，其中*n N ∈． 当1 2 3 n =，，，时，()n f x 的零点依次记作123 x x x ，，，，则lim n n x →∞= ．13．在平面直角坐标系中，对于函数()y f x =的图像上不重合的两点,A B ，若,A B 关于原点对称，则称点对(),A B 是函数()y f x =的一组“奇点对”（规定(),A B 与(),B A 是相同的“奇点对”）．函数()()()1lg 01sin 02x xf x x x ⎧>⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩的“奇点对”的组数是 ．14．设集合(){}{}12310,,,,|1,0,1,1,2,3,,10i A x x x x x i =∈-=，则集合A 中满足条件“1231019x x x x ≤++++≤”的元素个数为 ．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得0分．15． “14a ≥”是“实系数一元二次方程20x x a ++=有虚数根”的（ ）（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既非充分又非必要条件16．已知m 和n 是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，则下列给出的条件中一定能推出m β⊥的是 （ ）（A ）αβ⊥且m α⊂≠（B ）αβ⊥且α//m（C ）n m //且n β⊥ （D ）m n ⊥且//n β17．某电商在“双十一”期间用电子支付系统进行商品买卖，全部商品共有n 类*()n N ∈，分别编号为1,2,,n ，买家共有m 名*(,)m N m n ∈<，分别编号为1,2,,m ．若1,1,10,ij i j a i m j n i j ⎧=≤≤≤≤⎨⎩第名买家购买第类商品第名买家不购买第类商品，则同时购买第1类和第2类商品的人数是（ ） （A ）1112121222m m a a a a a a +++++++（B ）1121112222m m a a a a a a +++++++（C ）1112212212m m a a a a a a +++ （D ）1121122212m m a a a a a a +++18．对于方程为||1x +||1y =1的曲线C 给出以下三个命题： （1）曲线C 关于原点中心对称；（2）曲线C 既关于x 轴对称,也关于y 轴对称，且x 轴和y 轴是曲线C 仅有的两条对称轴； （3）若分别在第一、第二、第三、第四象限的点M,N,P,Q 都在曲线C 上，则四边形MNPQ 每一条边的边长都大于2．其中正确的命题是（ ） (A)（1）（2） (B)（1）（3） (C)（2）（3） (D)（1）（2）（3）三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．(本题满分12分) 本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分． 已知函数R x x A x f ∈+=),4sin()(π，且23)125(=πf ． （1）求A 的值；（2）若23)()(=-+θθf f ，)2,0(πθ∈，求)43(θπ-f ．20．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 已知函数()22()x x f x k k R -=+⋅∈．（1）若函数()f x 为奇函数，求k 的值；（2）若函数()f x 在(],2-∞上为减函数，求k 的取值范围．21．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．如图所示，某传动装置由两个陀螺12,T T 组成，陀螺之间没有滑动．每个陀螺都由具有公共轴的圆锥和圆柱两个部分构成，每个圆柱的底面半径和高都是相应圆锥底面半径的13，且12,T T 的轴相互垂直，它们相接触的直线与2T 的轴所成角2arctan3θ=．若陀螺2T 中圆锥的底面半径为()0r r >．（1）求陀螺2T 的体积；（2）当陀螺2T 转动一圈时，陀螺1T 中圆锥底面圆周上一点P 转动到点1P ，求P 与1P 之间的距离．22．(本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．已知椭圆222:1x y aγ+=（常数1a >）的左顶点为R ，点(,1),(,1)A a B a -，O 为坐标原点．（1）若P 是椭圆γ上任意一点，OP mOA nOB =+，求22m n +的值； （2）设Q 是椭圆γ上任意一点，()3,0S a ，求QS QR ⋅的取值范围；（3）设1122(,),(,)M x y N x y 是椭圆γ上的两个动点，满足OM ON OA OB k k k k ⋅=⋅，试探究OMN ∆的面积是否为定值，说明理由．23．(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知有穷数列}{n a 各项均不相等．．．．，将}{n a 的项从大到小重新排序后相应的项数．．．．．构成新数列}{n p ，称}{n p 为}{n a 的“序数列”．例如数列：321,,a a a 满足231a a a >>，则其序数列}{n p 为2,3,1． （1）写出公差为(0)d d ≠的等差数列12,,,n a a a L 的序数列}{n p ；（2）若项数不少于5项的有穷数列}{n b 、}{n c 的通项公式分别是nn n b )53(⋅=(*n N ∈)，tn n c n +-=2(*n N ∈)，且}{n b 的序数列与}{n c 的序数列相同，求实数t 的取值范围；（3）若有穷数列}{n d 满足11=d ，nn n d d )21(||1=-+*()n N ∈，且}{12-n d 的序数列单调递减，}{2n d 的序数列单调递增，求数列}{n d 的通项公式．理科参考答案一、填空题：（每题4分）1.7252. 163.4. 2)x >-5. 2x =-6. 7. 2*1,123,2,n n n a n n N -=⎧=⎨⋅≥∈⎩8. (]1,0- 9. 10. 4233a b -+r r 11. 6π12. 3- 13. 3 14. 58024二、选择题：（每题5分）15. B 16. C 17. C 18. B三、解答题19、解：（1）553()sin()121242f A πππ=+=，322A ⋅=……………………..2’A ∴=; ……………………..4’（2）3()()))42f f +-=+-+=ππθθθθ，3cos )sin cos )]2+-+=θθθθ，……………………..6’32=θ，cos =θ，……………………..8’又)2,0(πθ∈，sin ∴==θ， ……………………..10’)43(θπ-f )=-==πθθ．……………………..12’20、解：（1）()()(1)(22)0x x f x f x k -+-=++=对一切的x R ∈成立，……………………..4’ 所以1k =-……………………..6’（2）若0k ≤，则函数()f x 在(],2-∞单调递增（舍）……………………..8’当0k >时，令(]20,4xt =∈，……………………..9’则函数()kg t t t=+在(]0,4上单调递减……………………..10’4≥，……………………..13’ 即16k ≥……………………..14’ 21、解：（1）设陀螺2T 圆锥的高为h ，则23r h =，即32h r =……………………..2’得陀螺2T 圆柱的底面半径和高为3r……………………..3’ 231=3327r r V r ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭柱……………………..5’23131=322V r r r ππ=椎……………………..7’232954T V V V r π=+=柱椎……………………..8’（2）设陀螺1T 圆锥底面圆心为O ，则12PP r π=，……………………..10’得1124332PP r POP OP r ππ∠===……………………..12’ 在1POP ∆中，12PPr ==……………………..14’ 22、解：（1）(),OP mOA nOB ma na m n =+=-+， 得(),P ma na m n -+……………………..2’()()221m n m n -++=，即2212m n +=……………………..4’ （2）设(),Q x y ，则()()3,,QS QR a x y a x y ⋅=-----()()()()222331x x a x a y x a x a a=-++=-++-……………………..5’22221213a x ax a a-=-+-()22342222144111a a a a x a x a a a a ⎛⎫--+=---≤≤ ⎪--⎝⎭……………………..6’ 由1a >，得321a a a >-……………………..7’ ∴ 当x a =-时，QS QR ⋅最大值为0；……………………..8’当x a =时，QS QR ⋅最小值为24a -；……………………..9’即QS QR ⋅的取值范围为24,0a ⎡⎤-⎣⎦……………………..10’（3）（解法一）由条件得，122121y y x x a=-，……………………..11’ 平方得224222222121212()()x x a y y a x a x ==--,即22212x x a +=……………………..12’122112OMN S x y x y ∆=-……………………..13’=2a==……………………..15’ 故OMN ∆的面积为定值2a……………………..16’（解法二）①当直线MN 的斜率不存在时，易得OMN ∆的面积为2a……………………..11’ ②当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为y kx t =+()()22222222211210x y a k x kta x a t ay kx t ⎧+=⎪⇒+++-=⎨⎪=+⎩……………………..12’ 由1122(,),(,)M x y N x y ，可得()2221212222212,11a t kta x x x x a k a k --+==++， ()()()2222212121212221t a k y y kx t kx t k x x kt x x x t a k -=++=+++=+又122121OM ON y y k k x x a⋅==-，可得22221t a k =+……………………..13’因为12MN x x =-，……………………..14’ 点O 到直线MN的距离d =……………………..15’12122OMNt S MN d x x ∆=⋅⋅=⋅-2t =22t a==综上：OMN ∆的面积为定值2a……………………..16’ 23、解：(1)当0>d 时，序数列}{n p 为,1,,2,1n n -L ；……………………..2’ 当0<d 时，序数列}{n p 为1,2,,1,n n -L ……………………..4’ (2)因为523)53(1nb b nn n -⋅=-+，……………………..5’当1=n 时，易得12b b >，当2≥n 时，n n b b <+1， 又因531=b ，33)53(3⋅=b ，44)53(4⋅=b ，314b b b <<， 即2314n b b b b b >>>>>L ，故数列}{n b 的序数列为2,3,1,4,,n L ，……………………..8’ 所以对于数列}{n c 有2522<<t ， 解得：54<<t ……………………..10’(3)由于}{12-n d 的序数列单调递减，因此}{12-n d 是递增数列，故01212>--+n n d d ，于是0)()(122212>-+--+n n n n d d d d ，而122)21()21(-<n n，所以||||122212-+-<-n n n n d d d d ，从而0122>--n n d d ， 122121222)1()21(----==-n n n n n d d (1) ……………………..12’ 因为}{2n d 的序数列单调递增，所以}{2n d 是递减数列，同理可得0212<-+n n d d ，故21221221(1)()22n n n nnd d ++--=-= (2) ……………………..14’ 由(1)(2)得：nn n n d d 2)1(11++-=-……………………..15’于是 )()()(123121--++-+-+=n n n d d d d d d d d ……………………..16’122)1(21211--++-+=n n211)21(12111+--⋅+=-n ……………………..17’12)1(3134--⋅+=n n 即数列}{n d 的通项公式为12)1(3134--⋅+=n n n d (*n N ∈)……………………..18’。
2014年上海市松江区、徐汇区、金山区高考数学二模试卷(理科)含详解
2014年上海市松江区、徐汇区、金山区高考数学二模试卷（理科）一．填空题：（本题满分56分，每小题4分）1．（4分）已知集合A={x|＜0}，B={x|x2﹣2x﹣3≥0，x∈R}，则A∩B=．2．（4分）直线x+y+1=0的倾斜角的大小为．3．（4分）函数y=cos（2x+）的单调递减区间是．4．（4分）函数y=x+（x≥2）的值域是．5．（4分）设复数z满足i（z+1）=﹣3+2i，则=．6．（4分）某学校高一、高二、高三共有2400名学生，为了调查学生的课余学习情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本．已知高一有760名学生，高二有840名学生，则在该学校的高三应抽取名学生．7．（4分）函数的最小正周期T=．8．（4分）已知函数f（x）=arcsin（2x+1），则f﹣1（）=．9．（4分）如图在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中∠ACB=90°，AA1=2，AC=BC=1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是．10．（4分）若（1﹣）n（n∈N*，n＞1）的展开式中x﹣4的系数为a n，则（++…+）=．11．（4分）在极坐标系中，定点A（2，），点B在直线ρcosθ+ρsinθ=0上运动，则点A和点B间的最短距离为．12．（4分）三阶矩阵中有9个数a ij（i=1、2、3、j=1、2、3）从中任取三个数，至少有两个数位于同一行或同一列的概率是（用分数表示）13．（4分）如图所示，在边长为2的正六边形ABCDEF中，动圆Q的半径为1，圆心在线段CD（含端点）上运动，P是圆Q上及内部的动点，设向量=m+n（m、n为实数），则m+n的最大值为．14．（4分）对于集合A={a1，a2，…，a n}（n∈N*，n≥3），定义集合S={x|x=a i+a j，1≤i＜j≤n}，记集合S中的元素个数为S（A）．若a1，a2，…，a n是公差大于零的等差数列，则S（A）=．二．选择题：（本题满分20分，每小题5分）15．（5分）已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，有下面四个命题，其中正确命题是①α∥β⇒l⊥m②α⊥β⇒l∥m③l∥m⇒α⊥β④l⊥m⇒α∥βA．①与②B．①与③C．②与④D．③与④16．（5分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且∠A=2∠B，则等于（）A．B．C．D．17．（5分）函数图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能成为公比的数是（）A．B．C．D．18．（5分）设圆O1和圆O2是两个相离的定圆，动圆P与这两个定圆都相切，则圆P的圆心轨迹可能是：①两条双曲线；②一条双曲线和一条直线；③一条双曲线和一个椭圆．以上命题正确的是（）A．①③B．②③C．①②D．①②③三．解答题：（本大题共5题，满分74分）19．（12分）如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=，在三角形内挖去一个半圆（圆心O在边BC上，半圆与AC、AB分别相切于点C、M，与BC交于点N），将△ABC绕直线BC旋转一周得到一个旋转体．（1）求该几何体中间一个空心球的表面积的大小；（2）求图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体的体积．20．（14分）如图所示，某旅游景点有一座风景秀丽的山峰，山上有一条笔直的山路BC和一条索道AC，小王和小李打算不坐索道，而是花2个小时的时间进行徒步攀登．已知∠ABC=120°，∠ADC=150°，BD=1（千米），AC=3（千米）．假设小王和小李徒步攀登的速度为每小时1200米，请问：两位登山爱好者能否在2个小时内徒步登上山峰．（即从B点出发到达C点）21．（14分）已知椭圆x2+2y2=a2（a＞0）的一个顶点和两个焦点构成的三角形的面积为4．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线y=k（x﹣1）与椭圆C交于A、B两点，试问，是否存在x轴上的点M（m，0），使得对任意的k∈R，•为定值，若存在，求出M点的坐标，若不存在，说明理由．22．（16分）定义：对于函数f（x），若存在非零常数M，T，使函数f（x）对于定义域内的任意实数x，都有f（x+T）﹣f（x）=M，则称函数f（x）是广义周期函数，其中称T为函数f（x）的广义周期，M称为周距．（1）证明函数f（x）=x+（﹣1）x（x∈Z）是以2为广义周期的广义周期函数，并求出它的相应周距M的值；（2）试求一个函数y=g（x），使f（x）=g（x）+Asin（ωx+φ）（x∈R）（A、ω、φ为常数，A＞0，ω＞0）为广义周期函数，并求出它的一个广义周期T 和周距M；（3）设函数y=g（x）是周期T=2的周期函数，当函数f（x）=﹣2x+g（x）在[1，3]上的值域为[﹣3，3]时，求f（x）在[﹣9，9]上的最大值和最小值．23．（18分）一个三角形数表按如下方式构成（如图：其中项数n≥5）：第一行是以4为首项，4为公差的等差数列，从第二行起，每一个数是其肩上两个数的和，例如：f（2，1）=f（1，1）+f（1，2）；f（i，j）为数表中第i行的第j个数．（1）求第2行和第3行的通项公式f（2，j）和f（3，j）；（2）证明：数表中除最后2行外每一行的数都依次成等差数列，并求f（i，1）关于i（i=1，2，…，n）的表达式；（3）若f（i，1）=（i+1）（a i﹣1），b i=，试求一个等比数列g（i）（i=1，2，…，n），使得S n=b1g（1）+b22g（2）+…+b n g（n）＜，且对于任意的m ∈（，）均存在实数λ，当n＞λ时，都有S n＞m．2014年上海市松江区、徐汇区、金山区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一．填空题：（本题满分56分，每小题4分）1．（4分）已知集合A={x|＜0}，B={x|x2﹣2x﹣3≥0，x∈R}，则A∩B={x|﹣5＜x≤﹣1}．【考点】1E：交集及其运算．【专题】51：函数的性质及应用；5J：集合．【分析】利用分式不等式和一元二次不等式分别求出集合A和B，由此能求出A ∩B．【解答】解：∵集合A={x|＜0}={x|﹣5＜x＜2}，B={x|x2﹣2x﹣3≥0，x∈R}={x|x≤﹣1或x≥3}，∴A∩B={x|﹣5＜x≤﹣1}．故答案为：{x|﹣5＜x≤﹣1}．【点评】本题考查集合的交集的运算，是基础题，解题时要认真审题，注意分式不等式和一元二次不等式的合理运用．2．（4分）直线x+y+1=0的倾斜角的大小为．【考点】I2：直线的倾斜角．【专题】5B：直线与圆．【分析】化直线的一般式方程为斜截式，求出直线的斜率，由倾斜角的正切值等于斜率求倾斜角．【解答】解：由x+y+1=0，得，∴直线x+y+1=0的斜率为，设其倾斜角为θ（0≤θ＜π），则，∴θ=．故答案为：．【点评】本题考查直线的倾斜角，考查直线倾斜角与斜率的关系，是基础题．3．（4分）函数y=cos（2x+）的单调递减区间是．【考点】HA：余弦函数的单调性．【专题】57：三角函数的图像与性质．【分析】根据余弦函数的单调性的性质即可得到结论．【解答】解：由2kπ≤2x+≤2kπ+π，即kπ﹣≤x≤kπ，k∈Z故函数的单调减区间为，故答案为：．【点评】本题主要考查余弦函数的单调性的求法，要求熟练掌握三角函数的图象和性质．4．（4分）函数y=x+（x≥2）的值域是[3，+∞）．【考点】7F：基本不等式及其应用．【专题】53：导数的综合应用．【分析】利用导数研究函数的单调性即可得出．【解答】解：∵函数y=x+，∴当x≥2时，=．∴函数y=x+在[2，+∞）上单调递增，∴=3．∴函数y=x+（x≥2）的值域是[3，+∞）．故答案为：[3，+∞）．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，属于基础题．5．（4分）设复数z满足i（z+1）=﹣3+2i，则=1﹣3i．【考点】A5：复数的运算．【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：∵复数z满足i（z+1）=﹣3+2i，∴﹣i•i•（z+1）=﹣i（﹣3+2i），化为z+1=2+3i，化为z=1+3i，∴=1﹣3i．故答案为：1﹣3i．【点评】本题考查了复数的运算法则，属于基础题．6．（4分）某学校高一、高二、高三共有2400名学生，为了调查学生的课余学习情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本．已知高一有760名学生，高二有840名学生，则在该学校的高三应抽取40名学生．【考点】B3：分层抽样方法．【专题】5I：概率与统计．【分析】由所给的学校的总人数和要抽取的样本容量，得到每个个体被抽到的概率，做出高三年级的人数，乘以概率得到结果．【解答】解：∵某高中共有学生2400人，采用分层抽样法抽取容量为120的样本，∴每个个体被抽到的概率是=，高三年级有2400﹣760﹣840=800人∴要在高三抽取800×=40人，故答案为：40．【点评】本题考查分层抽样方法，本题解题的关键是做出每个个体被抽到的概率，用这个概率乘以指定年级的人数，就可以得到这个年级要抽取的样本数．7．（4分）函数的最小正周期T=π．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；H1：三角函数的周期性；O1：二阶矩阵．【专题】57：三角函数的图像与性质．【分析】先利用二阶矩阵化简函数式f（x），再把函数y=f（x）化为一个角的一个三角函数的形式，然后求出它的最小正周期．【解答】解：函数=（sinx+cosx）（﹣sinx+cosx）﹣2sinxcos（π﹣x）=cos2x+sin2x=sin（2x+），它的最小正周期是：T==π．故答案为：π【点评】本题考查三角函数的周期性及其求法，二倍角的正弦，考查计算能力，是基础题．8．（4分）已知函数f（x）=arcsin（2x+1），则f﹣1（）=．【考点】4R：反函数．【专题】11：计算题．【分析】欲求，只需令arcsin（2x+1）=求出x的值，根据原函数与反函数之间的关系可得结论．【解答】解：令arcsin（2x+1）=即sin=2x+1=解得x=故答案为：【点评】本题主要考查了反函数，以及反函数求值和三角形函数的运算，属于基础题．9．（4分）如图在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中∠ACB=90°，AA1=2，AC=BC=1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【专题】11：计算题．【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点A1，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角的余弦值．【解答】解：∵A1C1∥AC，∴异面直线A1B与AC所成角为∠BA1C1，易求，∴．故答案为：【点评】本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．10．（4分）若（1﹣）n（n∈N*，n＞1）的展开式中x﹣4的系数为a n，则（++…+）=2．【考点】DA：二项式定理．【专题】5P：二项式定理．【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于﹣4，求得r的值，即可求得展开式中的x﹣4的系数a n，再用裂项法求得++…+的值，从而求得所给式子的值．【解答】解：（1﹣）n（n∈N*，n＞1）的展开式的通项公式为T r+1=•（﹣1）r•x﹣2r，令﹣2r=﹣4，r=2，故展开式中x﹣4的系数为a n==，∴==2（﹣）．则（++…+）=2（+++…+）=2（1﹣）=2，故答案为：2．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，用裂项法进行数列求和，属于中档题．11．（4分）在极坐标系中，定点A（2，），点B在直线ρcosθ+ρsinθ=0上运动，则点A和点B间的最短距离为．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【专题】5S：坐标系和参数方程．【分析】将直线ρcosθ+ρsinθ=0化为一般方程，再利用线段AB最短可知直线AB与已知直线垂直，设出直线AB的方程，联立方程求出B的坐标，从而求解．【解答】解：∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入直线ρcosθ+ρsinθ=0，可得x+y=0…①，∵定点A（2，），即A（0，2）与动点B在直线ρcosθ+ρsinθ=0上运动，当线段AB最短时，此时直线AB垂直于直线x+y=0，d=，故答案为：．【点评】此题主要考查极坐标与一般方程之间的转化，是一道基础题，注意极坐标与一般方程的关系：ρ=，tanθ=，x=ρcosθ，y=ρsinθ．12．（4分）三阶矩阵中有9个数a ij（i=1、2、3、j=1、2、3）从中任取三个数，至少有两个数位于同一行或同一列的概率是（用分数表示）【考点】C6：等可能事件和等可能事件的概率．【专题】11：计算题．【分析】采用间接解法解决．从9个数中任取3个数共有C93=84种取法，若三个数分别位于不同的三行，有三种方法；若三个数分别位于不同的三列，有三种方法；从而计算出不满足要求的选法种数，根据概率公式得到三个数分别位于三行或三列的概率，最后利用减法得出至少有两个数位于同一行或同一列的概率即可．【解答】解：从9个数中任取3个数共有C93=84种取法，三个数分别位于三行或三列的情况有6种；三个数分别位于三行或三列的概率∴所求的概率为1﹣=．故答案为：．【点评】本小题主要考查三阶矩阵、计数原理和组合数公式的应用、概率的计算公式等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于基础题．13．（4分）如图所示，在边长为2的正六边形ABCDEF中，动圆Q的半径为1，圆心在线段CD（含端点）上运动，P是圆Q上及内部的动点，设向量=m+n（m、n为实数），则m+n的最大值为5．【考点】9H：平面向量的基本定理．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】连接AE会发现它与AB垂直，所以构造，将条件中的代入，便会得到，而，所以经过化简就可得到．同样的办法你会得到，显然得到的这两式需相加便经过化简得到m+n=，而这正好是在方向上的投影，所以求这个投影的最大值即可，而投影的最大值，通过图形就能得到．【解答】解：如图所示，．∴==6n ①同理，②①+②得：；∵，∴．∵=．∴，其几何意义就是在上的投影．∴求m+n的最大值就转化为求在上投影最大值．从图形上可以看出：当点Q和D点重合时，在上的投影取到最大值5．【点评】本题需注意的是构造两组数量级，将求m+n的最大值转化为求在方向上投影的最大值．14．（4分）对于集合A={a1，a2，…，a n}（n∈N*，n≥3），定义集合S={x|x=a i+a j，1≤i＜j≤n}，记集合S中的元素个数为S（A）．若a1，a2，…，a n是公差大于零的等差数列，则S（A）=2n﹣3．【考点】83：等差数列的性质．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】利用特殊化思想，取特殊的等差数列进行计算，结合类比推理可得S（A）=2n﹣3．【解答】解：∵集合A={a1，a2，…，a n}（n∈N*，n≥3），定义集合S={x|x=a i+a j，1≤i＜j≤n}，记集合S中的元素个数为S（A）．a1，a2，…，a n是公差大于零的等差数列，∴取特殊的等差数列进行计算，取A={1，2，3，…，n}，则S={3，4，5，…，2n﹣1}，∵（2n﹣1）﹣3+1=2n﹣3，∴S中共2n﹣3个元素，利用类比推理可得若若a1，a2，…，a n是公差大于零的等差数列，则S（A）=2n﹣3．故答案为：2n﹣3．【点评】本题考查集合与元素的位置关系和数列的综合应用，综合性较强，解题时注意特殊化思想和转化思想的运用，解题时要认真审题，仔细解答，避免错误，属基础题．二．选择题：（本题满分20分，每小题5分）15．（5分）已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，有下面四个命题，其中正确命题是①α∥β⇒l⊥m②α⊥β⇒l∥m③l∥m⇒α⊥β④l⊥m⇒α∥βA．①与②B．①与③C．②与④D．③与④【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系；LQ：平面与平面之间的位置关系．【专题】14：证明题．【分析】①α∥β⇒l⊥m，可由线面垂直的性质进行判断；②α⊥β⇒l∥m，可以由面面垂直的性质进行判断；③l∥m⇒α⊥β面面垂直的判定定理进行判断；④l⊥m⇒α∥β，可由面面平行的判定定理进行判断．【解答】解：对于①l⊥α，α∥β，m⊂β⇒l⊥m正确；对于②l⊥α，m⊂β，α⊥β⇒l∥m；l与m也可能相交或者异面；对于③l∥m，l⊥α⇒m⊥α，又因为m⊂β则α⊥β正确；对于④l⊥m，l⊥α则m可能在平面α内，也可能不在平面α内，所以不能得出α∥β；综上所述①③正确，故选：B．【点评】本题考查平面与平面之间的位置关系，考查空间想像能力及组织材料判断面面间位置关系的能力，属于基本题型．16．（5分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且∠A=2∠B，则等于（）A．B．C．D．【考点】HP：正弦定理．【专题】11：计算题；35：转化思想．【分析】先根据三角形的内角和以及∠A=2∠B把所求问题转化，再结合正弦定理即可得到答案．【解答】解：∵A+B+C=π，A=2B，∴===．再结合正弦定理得：=．故选：A．【点评】本题主要考查正弦定理的应用．解决本题的关键在于根据三角形的内角和以及∠A=2∠B把所求问题转化．17．（5分）函数图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能成为公比的数是（）A．B．C．D．【考点】87：等比数列的性质．【专题】11：计算题．【分析】根据平面几何切割线定理：从圆外一点做圆的切线和割线，则切线长是割线与它的圆外部分的比例中项．假设存在，则可计算出公比的范围，从而可下结论．【解答】解：根据平面几何切割线定理：从圆外一点做圆的切线和割线，则切线长是割线与它的圆外部分的比例中项．鉴于此，从原点作该半圆的切线，切线长为：，设割线与半圆的另外两个交点到原点的距离分别是a和b，则b=aq2，且ab=（aq）2=3，所以aq=；所以q=，当，则；当时，考查四个选项，只有B选项不符合上述范围故选：B．【点评】本题的考点是等比关系的确定，主要课程等比数列的定义，等比中项及切割线定理，属于基础题．18．（5分）设圆O1和圆O2是两个相离的定圆，动圆P与这两个定圆都相切，则圆P的圆心轨迹可能是：①两条双曲线；②一条双曲线和一条直线；③一条双曲线和一个椭圆．以上命题正确的是（）A．①③B．②③C．①②D．①②③【考点】J3：轨迹方程．【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先确定圆P的圆心轨迹是焦点为O1、O2，再分类说明对应的轨迹情况即可．【解答】解：设圆O1和圆O2的半径分别是r1、r2，|O1O2|=2c，则当r1=r2时，轨迹是直线；当r1≠r2且|PO1﹣PO2|=|r1﹣r2|＜2c时，圆P的圆心轨迹为双曲线．故选：C．【点评】本题考查圆与圆的位置关系，考查轨迹问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．三．解答题：（本大题共5题，满分74分）19．（12分）如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=，在三角形内挖去一个半圆（圆心O在边BC上，半圆与AC、AB分别相切于点C、M，与BC交于点N），将△ABC绕直线BC旋转一周得到一个旋转体．（1）求该几何体中间一个空心球的表面积的大小；（2）求图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体的体积．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LG：球的体积和表面积．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】根据旋转体的轴截面图，利用平面几何知识求得球的半径与AC长，再利用面积公式与体积公式计算即可．【解答】解：（1）连接OM，则OM⊥AB设OM=r，OB=﹣r，在△BMO中，sin∠ABC==⇒r=∴S=4πr2=π．（2）∵△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=，∴AC=1．∴V=V圆锥﹣V球=π×AC2×BC﹣πr3=π×﹣π×=π．【点评】本题考查旋转体的表面积与体积的计算．S球=4πr2；V圆锥=πr3．20．（14分）如图所示，某旅游景点有一座风景秀丽的山峰，山上有一条笔直的山路BC和一条索道AC，小王和小李打算不坐索道，而是花2个小时的时间进行徒步攀登．已知∠ABC=120°，∠ADC=150°，BD=1（千米），AC=3（千米）．假设小王和小李徒步攀登的速度为每小时1200米，请问：两位登山爱好者能否在2个小时内徒步登上山峰．（即从B点出发到达C点）【考点】HU：解三角形．【专题】12：应用题；58：解三角形．【分析】先利用正弦定理，求出AD，再在△ADC中，由余弦定理，求出DC，即可得出结论．【解答】解：由∠ADC=150°知∠ADB=30°，由正弦定理得，所以，．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）在△ADC中，由余弦定理得：|AC|2=|AD|2+|DC|2﹣2|AD|•|DC|cos150°，即，即DC2+3•DC﹣6=0，解得（千米），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）所以|BC|≈2.372（千米），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）由于2.372＜2.4，所以两位登山爱好者能够在2个小时内徒步登上山峰．﹣﹣﹣（14分）【点评】本题考查解三角形的实际应用，考查正弦定理、余弦定理，考查学生的计算能力，正确运用正弦定理、余弦定理是关键．21．（14分）已知椭圆x2+2y2=a2（a＞0）的一个顶点和两个焦点构成的三角形的面积为4．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线y=k（x﹣1）与椭圆C交于A、B两点，试问，是否存在x轴上的点M（m，0），使得对任意的k∈R，•为定值，若存在，求出M点的坐标，若不存在，说明理由．【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】15：综合题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）利用椭圆x2+2y2=a2（a＞0）的一个顶点和两个焦点构成的三角形的面积为4，建立方程，求出a，b，则椭圆方程可知．（II）直线与椭圆方程联立，消去y，得到关于a的一元二次方程，求出x1+x2，x1x2，求出•，即可得出结论．【解答】解：（1）设椭圆的短半轴为b，半焦距为c，则，由c2=a2﹣b2得，由解得a2=8，b2=4，则椭圆方程为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）由得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣8=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理得：，∴====，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）当5+4m=16，即时，=为定值，所以，存在点使得为定值（14分）．【点评】本题主要考查了椭圆方程的求法，以及动直线与椭圆相交时存在性问题的解法．做题时综合运用了向量数量积的运算，韦达定理的应用．22．（16分）定义：对于函数f（x），若存在非零常数M，T，使函数f（x）对于定义域内的任意实数x，都有f（x+T）﹣f（x）=M，则称函数f（x）是广义周期函数，其中称T为函数f（x）的广义周期，M称为周距．（1）证明函数f（x）=x+（﹣1）x（x∈Z）是以2为广义周期的广义周期函数，并求出它的相应周距M的值；（2）试求一个函数y=g（x），使f（x）=g（x）+Asin（ωx+φ）（x∈R）（A、ω、φ为常数，A＞0，ω＞0）为广义周期函数，并求出它的一个广义周期T 和周距M；（3）设函数y=g（x）是周期T=2的周期函数，当函数f（x）=﹣2x+g（x）在[1，3]上的值域为[﹣3，3]时，求f（x）在[﹣9，9]上的最大值和最小值．【考点】3Q：函数的周期性．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】（1）由已知条件推导出f（x+2）﹣f（x）═2，由此证明函数f（x）=x+（﹣1）x（x∈Z）是广义周期函数，它的周距为2．（2）设g（x）=kx+b（k≠0），由=，推导出f（x）是广义周期函数，并能求出并求出它的一个广义周期T和周距M．（3）由f（x+2）﹣f（x）=﹣4，知f（x）是广义周期函数，且T=2，M=﹣4，由此能求出f（x）在[﹣9，9]上的最大值和最小值．【解答】（本题满分（16分）；第（1）小题（4分），第（2）小题（5分），第（3）小题7分）（1）证明：∵f（x）=x+（﹣1）x（x∈Z），∴f（x+2）﹣f（x）=[（x+2）+（﹣1）x+2]﹣[x+（﹣1）x]=2，（非零常数）∴函数f（x）=x+（﹣1）x（x∈Z）是广义周期函数，它的周距为2．（4分）（2）解：设g（x）=kx+b（k≠0），则f（x）=kx+b+Asin（ωx+φ）∵=（非零常数）∴f（x）是广义周期函数，且．（9分）（3）解：∵f（x+2）﹣f（x）=﹣2（x+2）+g（x+2）+2x﹣g（x）=﹣4，∴f（x）是广义周期函数，且T=2，M=﹣4．（10分）设x1，x2∈[1，3]满足f（x1）=﹣3，f（x2）=3，由f（x+2）=f（x）﹣4得：f（x1+6）=f（x1+4）﹣4=f（x1+2）﹣4﹣4=f（x1）﹣4﹣4﹣4=﹣3﹣12=﹣15，又∵f（x+2）=f（x）﹣4＜f（x），∴f（x）在区间[﹣9，9]上的最小值是x在[7，9]上获得的，而x1+6∈[7，9]，∴f（x）在[﹣9，9]上的最小值为﹣15．（13分）由f（x+2）=f（x）﹣4，得f（x﹣2）=f（x）+4，∴f（x2﹣10）=f（x2﹣8）+4=f（x2﹣6）+4+4=…=f（x2）+20=23，又∵f（x﹣2）=f（x）+4＞f（x），∴f（x）在区间[﹣9，9]上的最大值是x在[﹣9，﹣7]上获得的，而x2﹣10∈[﹣9，﹣7]，f（x）在[﹣9，9]上的最大值为23．（16分）【点评】本题考查广义周期函数的证明，考查广义周期函数的求法，考查函数的最大值的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．23．（18分）一个三角形数表按如下方式构成（如图：其中项数n≥5）：第一行是以4为首项，4为公差的等差数列，从第二行起，每一个数是其肩上两个数的和，例如：f（2，1）=f（1，1）+f（1，2）；f（i，j）为数表中第i行的第j个数．（1）求第2行和第3行的通项公式f（2，j）和f（3，j）；（2）证明：数表中除最后2行外每一行的数都依次成等差数列，并求f（i，1）关于i（i=1，2，…，n）的表达式；（3）若f（i，1）=（i+1）（a i﹣1），b i=，试求一个等比数列g（i）（i=1，2，…，n），使得S n=b1g（1）+b22g（2）+…+b n g（n）＜，且对于任意的m ∈（，）均存在实数λ，当n＞λ时，都有S n＞m．【考点】8B：数列的应用；8M：等差数列与等比数列的综合．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】（1）根据等差数列和等比数列的定义即可求出相应的通项公式，（2）根据条件建立方程关系即可求出f（i，1）的表达式．（3）根据条件寻找等比数列g（i），即可得到结论．【解答】解：（1）f（2，j）=f（1，j）+f（1，j+1）=2f（1，j）+4=8j+4（j=1，2，…，n﹣1）f（3，j）=f（2，j）+f（2，j+1）=2f（2，j）+8=2（8j+4）+8=16j+16（j=1，2，…，n﹣2）．（2）由已知，第一行是等差数列，假设第i（1≤i≤n﹣3）行是以d i为公差的等差数列，则由f（i+1，j+1）﹣f（i+1，j）=[f（i，j+1）+f（i，j+2）]﹣[f（i，j）+f（i，j+1）]=f （i，j+2）﹣f（i，j）=2d i（常数）知第i+1（1≤i≤n﹣3）行的数也依次成等差数列，且其公差为2d i．综上可得，数表中除最后2行以外每一行都成等差数列；由于d1=4，d i=2d i﹣1（i≥2），∴，，由，即f（i，1）=f（i﹣1，1）+f（i﹣1，2）=2f（i﹣1，1）+d i﹣1得f（i，1）=2f（i﹣1，1）+2i，于是，即，又∵，∴数列是以2为首项，1为公差的等差数列，∴，∴f（i，1）=（i+1）•2i（i=1，2，…，n）．（3）f（i，1）=（i+1）（a i﹣1），，令g（i）=2i，=．S n＞m，，，令λ=，则当n＞λ时，都有S n＞m，∴适合题设的一个等比数列为g（i）=2i．【点评】本题主要考查等差数列和等比数列的综合应用，考查学生的运算能力，综合性较强，运算量较大．。
2014年上海市徐汇区中考数学一模试卷
2014年上海市徐汇区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．（4分）（2014•徐汇区一模）在比例尺为1：2000的地图上测得A、B两地间的图上距离为5cm，则A、B两地间的实际距离为（）A．10m B．25m C．100m D．10000m【考点】：比例的性质M33H【难易度】：容易题．【分析】：由比例的性质，设A、B两地间的实际距离为xm，则有=，解得x=100．所以A、B两地间的实际距离为100m．【解答】：答案C．【点评】：本题考查了比例尺的应用，难度不大，比例尺是将实际生活中的实物进行缩放，使其更容易表达，对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如a：b=c：d（即ad=bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．2．（4分）（2014•徐汇区一模）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5，则sinA的值是（）A．B．C．D．【考点】：锐角的三角比的概念（正切、余切、正弦、余弦）M361勾股定理M33E【难易度】：容易题【分析】：由题，因为在△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5，所以sinA===．【解答】：答案A．【点评】：此题主要考查了锐角三角函数的定义及运用，难度不大，需要熟记：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．3．（4分）（2014•徐汇区一模）抛物线的顶点坐标是（）A．（2，3）B．（2，﹣3）C．（﹣2，3）D．（﹣2，﹣3）【考点】：二次函数的的图象、性质M442【难易度】：容易题【分析】：因为的是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（2，﹣3）．．【解答】：答案B．【点评】：本题考查了二次函数的顶点坐标，难度不大，本题给的函数是顶点式，则根据抛物线y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k）可直接得出答案．4．（4分）（2014•徐汇区一模）已知抛物线y=ax2+3x+（a﹣2），a是常数且a＜0，下列选项中可能是它大致图象的是（）A．B．C．D．【考点】：结合图像对函数关系进行分析M413二次函数的的图象、性质M442【难易度】：容易题【分析】：由题意知，因为抛物线y=ax2+3x+（a﹣2），a是常数且a＜0，所以图象开口向下，a﹣2＜0，则图象与y轴交于负半轴，而a＜0，b=3，所以抛物线对称轴在y轴右侧．【解答】：答案B．【点评】：此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，难度不大，二次函数的性质是中考必考的知识点，解答本题的关键在于正确把握图象对称轴位置与a，b的关系．5．（4分）（2014•徐汇区一模）下列命题中是假命题的是（）A．若，则B．C．若，则D．若，则【考点】：平面向量的概念M381向量的加法与减法M382【难易度】：容易题【分析】：由向量的性质及其计算有：A、若，则，是真命题；B、2（﹣）=2﹣2，是真命题；C、若=﹣，则∥，是真命题；D、若||=||，则不一定等于，故原命题是假命题；【解答】：答案D．【点评】：本题考查了平面向量的性质，难度不大，熟知平面向量的性质，逐项分析即可得出答案。
上海市徐汇区2014年中考一模(即期末)数学 扫描版
NMF CBADE FEA2013年第一学期徐汇区初三数学答案（2014.1）1、C2、A3、B4、B5、D6、D7、678、5m n - 9、15 10、4:2511、32,2⎛⎫ ⎪⎝⎭12、<13、1314、100tan β 15、23b a -16、3517、()131y x x =+-18、1或4198+ 19、原式=13192411422++=+ 20、(1)12AB AF FB b a =+=-；1111122224ED BC a b a b ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭(2) 向量BM 、BN 为所求分向量。
21、解：∵斜坡AC 的坡度为1:2.4∴5tan 12C =，易知5sin 13C = ∵AC=13，∴AD=5， CD=12∵∠B=30°，∴BD=53 ∴BC=1253- 答句略。
22、(1)证明：∵2BC BD BA =⋅ ∴BA BCBC BD= ∵∠B=∠B ∴△BCD ∽△BAC ∴∠BCD=∠A ∵CD 平分∠ECB ∴∠BCD=∠ECD ∴∠A=∠ECD ∴∠EDC=∠CDA ∴△CED ∽△AC D(2)证明：∵△BCD ∽△BAC ∴AB BCBC BD = ∵CD 平分∠ECB∴BCD CEDSBC BDCE SDE ==∴BC CE BD DE = ∴AB CE BC DE =23、(1)证明：∵AD=AC ∴∠ADC=∠ACD ∵DE ⊥BC ，BD=CD ∴BE=CE ∴∠EBC=∠ECB∴△ABC ∽△FCD(2)解：过A 作AH ⊥BC ，垂足H 。
M NPBCAGMCAHBPN∵△ABC ∽△FCD ∴24ABC FCDSBC SCD ⎛⎫== ⎪⎝⎭∵BD=CD 且BC=8, ∴BD=CD=4, ∵AD=AC ，AH ⊥CD ∴DH=2 ∴23DE BD AH BH == ∵DE=3 ∴AH=4.5 ∴18 4.5182ABCS=⨯⨯=∴92FCDS = 24、(1)∵直线y=x+3与x 轴、y 轴交于点A 、C ∴()()3,0,0,3,3A C CO -=∵tan 3CBO ∠= ∴BO=1，()1,0B -将A 、B 、C 三点代入抛物线，可得：243y x x =++，顶点()2,1D --(2)由B 、D 坐标，得直线BD 解析式为1y x =+∵BD ∥AC ∴∠CAB=∠ABD=45° 若△ACB ∽△BAP ，则AB AC BP AB =，AB=2，32AC =，223BP =，152,33P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭若△ACB ∽△BPA ，则AB ACAB BP=，AB=2，32AC =，32BP =，()24,3P -- 25、(1) ∵∠APN=90° ∴AP ⊥BN∴3cos 5BPB AB==∵AB=5, ∴BP=3，224AP AB BP =-= ∵12PN MP AP == ∴PN=2 ∴NC=11-3-2=6(2) 过A 、N 作BC 的垂线，垂足分别为H 、G 。
徐汇区2014年一模-初三数学期末试题答
2013学年第一学期徐汇区初三年级数学学科期终学习能力诊断卷参考答案和评分标准一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．C ； 2．A ； 3．B ； 4．B ； 5．D ； 6．D ．二．填空题：（本大题共12题，满分48分）7．76； 8．n m -5； 9．15； 10．25:4； 11．)23,2(； 12．21y y <； 13．31；14．100cot β； 15．23a b -+； 16．53； 17．213y x x=+-； 18．1或4198+． 三、（本大题共7题，第19、20、21、22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分，满分78分）19．解：原式＝233322)23(333)21(2222⨯+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯+⨯ ………………………（7分） ＝212143121+++ ………………………………………………………（2分） ＝49 ………………………………………………………………（1分） 20．解：（1）①111222AB AF FB AC BF b a a b =+=-=-=-+……………………（3分） ②111111()()222224ED BC BF FC a b a b ==+=+=+ …………………（3分） （2）（图略），作图结论各2分……………………………………………………（4分）21．解：在Rt △ACD 中，∠D ＝90°，i =AD CD =1254.21= ………………………………（2分） 设AD=5t ，CD =12 t ……………………………………………（1分）则AC =22AC AD +=13t =13， 解得 t =1…………………………………………（1分）∴AD =5米，CD =12米 ………………………………………………………（1分） 在Rt △ADB 中，∠D ＝90°，︒=30cot AD BD …………………………………………（2分） ∵AD =5， ∴BD =5=︒⨯30cot 53米…………………………………………………（2分） ∴BC CD BD =-)3512(-=米 ………………………………………………（1分）答：电梯水平宽度增加部分BC 的长为1253-米.22. （1）证明：∵2BC BD BA =⋅，∴BC BA BD BC=. 又∠B =∠B ，∴△BCD ∽△BAC …………………………………………………（2分）∴∠BCD=∠A ……………………………………………………………………（1分）∵CD 平分∠ECB ，∴∠ECD=∠BCD∴∠ECD =∠A ……………………………………………………………………（1分）∵∠ADC=∠CDE ，∴△ADC ∽△CDE …………………………………………（2分）（2）∵△ADC ∽△CD ，∴AC CD CE ED =即AC CE CD ED= ………………………………（2分） ∵△BCD ∽△BAC ，∴AC AB CD BC =……………………………………………（1分） ∴CE AB ED BC=……………………………………………………………………（1分） 23.（1）证明：AD AC =，ADC ACD ∠=∠…………………………………………（1分）DE BC ⊥且D 是BC 的中点EB EC ∴= …………………………（1分）∴B ECD ∠=∠ …………………………………………………………（1分） ∴△ABC ∽△FCD ……………………………………………………（1分）（2）解：作AH DC ⊥，垂足为点H ………………………………………………（1分）∵AD=AC ，∴DH=HC ………………………………………………………（1分）∵D 是BC 的中点且BC =8，∴BD=DC =4∴DH=HC =2 …………………………………………………………………（1分）F B CA D EH∵DE ⊥BC ，AH BC ⊥，∴//AH DE ∴AH BH ED BD=，又DE =3，BH=BD+DH =6，BD =4 ∴346AH = ，92AH =………………………………………………………（2分） ∵ABC ∽△FCD ，∴214FCD ABC S CD S BC ∆∆⎛⎫== ⎪⎝⎭…………………………………（2分） 而1182ABC S BC AH ∆=⋅=，∴92FCD S ∆=.………………………………（1分） 24. 解：（1）∵直线y ＝x ＋3与x 轴、y 轴分别交于点A 、C∴(3,0),(0,3)A B - ………………………………………………………（1分）在Rt △ADB 中，3tan =∠=CBO BOCO ，得BO =1，B （1-，0）………………（2分） 设二次函数解析式为(3)(1)y a x x =++，将点B （0，3）代入，解得a =1∴二次函数解析式为243y x x =++…………………………………………………（2分） ∴顶点D 坐标为(2,1)-- ………………………………………………………（1分）（2）(2,1),(1,0)D B ---，∴∠ABD=45°，……………………………………………（1分）直线AC 的解析式为y=x +3，∴∠CAO=45°即∠ABD =∠CAO ……………………………………………………………………（1分） 若APB ACB ∠=∠，即四边形APBC 为平行四边形时，解得P (－4，－3)；若BAP ACB ∠=∠，得AC AB AB BP =，得3222BP =，得223BP =，解得P (53-,23-). 综上所述，点P 的坐标为(－4，－3)或(53-,23-)…………………………………（4分） 25. 解：（1）过点A 作AH ⊥BC ，垂足为点H ……………………………………………（1分）在Rt △ABH 中，90AHB ∠=︒，G N M A HC B P NM B C AP G H ∵cos B =35，AB =5，∴BH = cos B ×AB=3，AH=22534-= …………………（1分） ∵BC =11 ，∴HC =8.当点N 恰好落在BC 边上时，PN=11222AP AH ==，NC =6…………………（1分） （2）过N 作NG ⊥BC .…………………………………………………………………（1分） ∵∠APN =90°，∴∠HAP =∠NPG ，又∵∠AHP =∠PGN =90° ∴△AHP ∽△PGN ， …………………………………………………………………（1分） ∴AH HP AP PG NG PN== ∵AP =2PM =2PN ∴4321x PG NG -== ∴2PG =，32x NG -=， 1129GC x x =--=- ………………………（1分） 在∆Rt NEC 中，90NGC ∠=︒， ∴2222231(9)57833322x NC NE EC x x x -⎛⎫=+=+-=-+ ⎪⎝⎭即215783332y x x =-+ ………………………………………………………（1分） 当点N 恰好落在AC 边上时，∵NG ∥AH ，∴NG GC AH HC=， ∴39248x x --=，解得6x =. ∴215783332y x x =-+（3＜x ＜6）……………………………………………（2分） （3）（Ⅰ）当PN =NC 时，有PC =AH =4 ，BP=7 …………………………………（1分） （Ⅱ）当PC =NC 时，11NC PC x ==-NM B C AP G H NMB C A P G H 在∆Rt NGC 中，∴222NC GC NG =+，即()222311(9)2x x x -⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭ 5411x =-±（负值舍）…………………………………………………………（2分） （Ⅲ）当PN =PC 时， 222232112x PN NG PG x -⎛⎫=+=+=- ⎪⎝⎭， ∴414193x ±=，其中414193+舍去。
2014徐汇一模
答案有误
看清楚反函数
注意：并没有明显排除直线交或者切于原，要说明排除
注意证明方法：1.假设全正为 A ，全负为B（分类要完备，各个子集的并集是全集）2.代入①②，解出 AB 3.Sk一定在AB之间（显然没有另外的a n使Sk更大更小，不用具体证明，反证法）
证明复杂：分割如下
1. 根据（I）（注意上下问结合） 得
am之前（包括am）全部为》0，am最后全部《0且 am+1........an=-1/2
2.设Sk是“期待数列”。
套用（I）的结论，设Tn为Sn的和，Tm=S1................+Sn《1/2
，S1.....》0，结合Sm=1/2 ，得S1......Sm-1=0
3.am+1........an=-1/2 Sm=1/2
得Sm+1......Sm+2》0
4.Sk全部》0，推得不可能符合“期待数列”的定义，归缪证伪
假设正确，推理到矛盾，证明错误看清题是Sk
，不是an。
2014年上海市徐汇区高考一模数学试卷(文科)【解析版】
2014年上海市徐汇区高考数学一模试卷（文科）一．填空题：（本题满分56分，每小题4分）1．（4分）计算：＝．2．（4分）函数y＝sin2x cos2x的最小正周期是．3．（4分）计算：2（＝．4．（4分）已知集合A＝{x|x2﹣5x+6≤0}，B＝{x||2x﹣1|＞3}，则集合A∩B ＝．5．（4分）已知，，则x＝．（结果用反三角函数表示）6．（4分）直线l1：（a+3）x+y﹣3＝0与直线l2：5x+（a﹣3）y+4＝0，若l1的方向向量是l2的法向量，则实数a＝．7．（4分）如果（n∈N*），那么f（k+1）﹣f（k）共有项．8．（4分）若函数f（x）的图象经过（0，1）点，则函数f（x+3）的反函数的图象必经过点．9．（4分）某小组有10人，其中血型为A型有3人，B型4人，AB型3人，现任选2人，则此2人是同一血型的概率为．（结论用数值表示）10．（4分）双曲线mx2+y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m＝．11．（4分）函数f（x）＝C x4+C x3+C x2+C x+C图象的对称轴方程为．12．（4分）在平面直角坐标系中，动点P和点M（﹣2，0）、N（2，0）满足，则动点P（x，y）的轨迹方程为．13．（4分）某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x﹣y|的值为．14．（4分）一个五位数满足a＜b，b＞c＞d，d＜e且a＞d，b＞e（如37201，45412），则称这个五位数符合“正弦规律”．那么，共有个五位数符合“正弦规律”．二．选择题：（本题满分20分，每小题5分）15．（5分）设集合M＝{x|x≥2}，P＝{x|x＞1}那么“x∈M∪P”是“x∈M∩P”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件16．（5分）直线bx+ay＝ab（a＜0，b＜0）的倾斜角是（）A．B．C．D．17．（5分）为了得到函数y＝2sin（），x∈R的图象，只需把函数y＝2sin x，x∈R的图象上所有的点（）A．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）C．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）18．（5分）已知集合M＝{（x，y）|y＝f（x）}，若对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2＝0成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列二个集合：①M＝{（x，y）|y＝}；②M＝{（x，y）|y＝sin x+1}；则以下选项正确的是（）A．①是“垂直对点集”，②不是“垂直对点集”B．①不是“垂直对点集”，②是“垂直对点集”C．①②都是“垂直对点集”D．①②都不是“垂直对点集”三．解答题：（本大题共5题，满分74分）19．（12分）在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a、b是方程的两个根，且A+B＝120°，求△ABC的面积及AB的长．20．（14分）某种海洋生物的身长f（t）（单位：米）与生长年限t（单位：年）满足如下的函数关系：f（t）＝．（设该生物出生时的时刻t＝0）（1）需经过多少时间，该生物的身长超过8米？（2）该生物出生后第3年和第4年各长了多少米？并据此判断，这2年中哪一年长得更快．21．（14分）已知函数f（x）＝|x﹣1|，g（x）＝﹣x2+6x﹣5．（1）若g（x）≥f（x），求实数x的取值范围；（2）求g（x）﹣f（x）的最大值．22．（16分）称满足以下两个条件的有穷数列a1，a2，…a n为n（n＝2，3，4，…）阶“期待数列”：①a1+a2+a3+…+a n＝0；②|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|＝1．（1）若数列{a n}的通项公式是a n＝（n＝1，2，…2014），试判断数列{a n}是否为2014阶“期待数列”，并说明理由；（2）若等比数列{b n}为2k（k∈N*）阶“期待数列”，求公比q及数列{b n}的通项公式；（3）若一个等差数列{c n}既是2k（k∈N*）阶“期待数列”又是递增数列，求该数列的通项公式．23．（18分）给定椭圆C：，称圆心在坐标原点O，半径为的圆是椭圆C的“伴随圆”，已知椭圆C的两个焦点分别是．（1）若椭圆C上一动点M1满足||+||＝4，求椭圆C及其“伴随圆”的方程；（2）在（1）的条件下，过点P（0，t）（t＜0）作直线l与椭圆C只有一个交点，且截椭圆C的“伴随圆”所得弦长为2，求P点的坐标；（3）已知m+n＝﹣（0，π）），是否存在a，b，使椭圆C的“伴随圆”上的点到过两点（m，m2），（n，n2）的直线的最短距离．若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．2014年上海市徐汇区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一．填空题：（本题满分56分，每小题4分）1．（4分）计算：＝．【解答】解：＝＝＝，故答案为：．2．（4分）函数y＝sin2x cos2x的最小正周期是．【解答】解：函数y＝sin2x cos2x＝，∴函数y＝sin2x cos2x的最小正周期是＝．故答案为：．3．（4分）计算：2（＝．【解答】解：2＝+＝．故答案为：．4．（4分）已知集合A＝{x|x2﹣5x+6≤0}，B＝{x||2x﹣1|＞3}，则集合A∩B＝{x|2＜x≤3}．【解答】解：集合A中的x2﹣5x+6≤0变形为（x﹣2）（x﹣3）≤0即或解得：2＜x＜3；集合B中的|2x﹣1|＞3，得到2x﹣1＞3或2x﹣1＜﹣3，解得x＞2或x＜﹣1．则A∩B＝{x|2＜x≤3}故答案为：{x|2＜x≤3}5．（4分）已知，，则x＝．（结果用反三角函数表示）【解答】解：∵x∈（，π），∴﹣x∈（﹣π，﹣），∴π﹣x∈（0，），∵sin x＝sin（π﹣x）＝，∴π﹣x＝arcsin，∴x＝π﹣arcsin．故答案为：π﹣arcsin．6．（4分）直线l1：（a+3）x+y﹣3＝0与直线l2：5x+（a﹣3）y+4＝0，若l1的方向向量是l2的法向量，则实数a＝﹣2．【解答】解：∵直线l1：（a+3）x+y﹣3＝0与直线l2：5x+（a﹣3）y+4＝0，∴直线l1的方向向量为＝（1，﹣（a+3）），直线l2的方向向量为＝（1，），∵l1的方向向量是l2的法向量，∴两直线的方向向量垂直，即•＝1×1+（﹣a﹣3）×＝0，解得a＝﹣2，∴实数a＝﹣2．故答案为：﹣2．7．（4分）如果（n∈N*），那么f（k+1）﹣f（k）共有2k项．【解答】解：∵（n∈N*），∴，，∴f（k+1）﹣f（k）＝＝，∴共有2k项．故答案为：2k．8．（4分）若函数f（x）的图象经过（0，1）点，则函数f（x+3）的反函数的图象必经过点（1，﹣3）．【解答】解：∵函数f（x）的图象经过（0，1）点，∴f（0）＝1．∴f（﹣3+3）＝1，即函数f（x+3）的图象经过点（﹣3，1）．∴函数f（x+3）的反函数的图象必经过点（1，﹣3）．故答案为：（1，﹣3）．9．（4分）某小组有10人，其中血型为A型有3人，B型4人，AB型3人，现任选2人，则此2人是同一血型的概率为．（结论用数值表示）【解答】解：所有的选法共有＝45种，而选出的2人是同一血型的方法有++＝12种，故选出的2人是同一血型的概率为＝，故答案为：．10．（4分）双曲线mx2+y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m＝．【解答】解：双曲线mx2+y2＝1的标准方程为y2﹣＝1，虚轴的长是2，实轴长2．由题意知，2＝4，∴m＝﹣，故答案为﹣．11．（4分）函数f（x）＝C x4+C x3+C x2+C x+C图象的对称轴方程为x＝﹣1．【解答】解：由函数f（x）＝C x4+C x3+C x2+C x+C＝（1+x）4，∴函数的对称轴方程为x＝﹣1．故答案为：x＝﹣1．12．（4分）在平面直角坐标系中，动点P和点M（﹣2，0）、N（2，0）满足，则动点P（x，y）的轨迹方程为y2＝﹣8x．【解答】解：∵点M（﹣2，0）、N（2，0）满足，∴4+（4，0）•（x﹣2，y）＝0，化简可得y2＝﹣8x．故答案为：y2＝﹣8x．13．（4分）某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x﹣y|的值为4．【解答】解：由题意可得：x+y＝20，（x﹣10）2+（y﹣10）2＝8，设x＝10+t，y＝10﹣t，则2t2＝8，解得t＝±2，∴|x﹣y|＝2|t|＝4，故答案为：4．14．（4分）一个五位数满足a＜b，b＞c＞d，d＜e且a＞d，b＞e（如37201，45412），则称这个五位数符合“正弦规律”．那么，共有2892个五位数符合“正弦规律”．【解答】解：条件就是b是最大的，d是最小的，a，c，e介于最小最大之间．取b＝9，d＝7时，a，c，e只能是8；d＝6时，a，c，e可取7，8，共23种；d ＝5时，a，c，e可取6，7，8，共33种；…，d＝0时，a，c，e可取1，2，…，8，共83种；故此种情况是1+23+…+83种．类似b＝8时，是1+23+…+73种，b＝7时，是1+23+…+63种，b＝6时，是1+23+…+53种，b＝5时，是1+23+…+43种，b＝4时，是1+23+33种，b＝3时，是1+23种，b＝2时，是1种最后得所有的情况是（1+23+…+83）+（1+23+…+73）+…+1＝2892．故答案为：2892．二．选择题：（本题满分20分，每小题5分）15．（5分）设集合M＝{x|x≥2}，P＝{x|x＞1}那么“x∈M∪P”是“x∈M∩P”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵M∪P＝{x|x＞1}，M∩P＝{x|x≥2}∴“x∈M∪P”是“x∈M∩P”的必要不充分条件．故选：B．16．（5分）直线bx+ay＝ab（a＜0，b＜0）的倾斜角是（）A．B．C．D．【解答】解：直线bx+ay＝ab（a＜0，b＜0）的斜截式方程为，斜率k＝，∴tan，则对应的倾斜角为＝，故选：B．17．（5分）为了得到函数y＝2sin（），x∈R的图象，只需把函数y＝2sin x，x∈R的图象上所有的点（）A．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）C．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）【解答】解：把函数y＝2sin x，x∈R的图象上所有的点向左平移个单位长度，可得函数y＝2sin（x+）的图象，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），可得函数y＝2sin（），x∈R的图象，故选：B．18．（5分）已知集合M＝{（x，y）|y＝f（x）}，若对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2＝0成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列二个集合：①M＝{（x，y）|y＝}；②M＝{（x，y）|y＝sin x+1}；则以下选项正确的是（）A．①是“垂直对点集”，②不是“垂直对点集”B．①不是“垂直对点集”，②是“垂直对点集”C．①②都是“垂直对点集”D．①②都不是“垂直对点集”【解答】解：对于①，任取两点（x1，y1）（x2，y2）∈M，有x1x2+y1y2＝，若x1x2＞0，则上式≥2；若x1x2＜0，则上式≤﹣2．∴x1x2+y1y2≠0，因此①不是“垂直对点集”；对于②，设P（x1，y1）是y＝sin x+1任意一点，分析可得：当OP的斜率存在时，且OP的斜率k＝，∴过原点O与OP垂直的直线为，与y＝sin x+1必有交点．当x1＝0时，OP的斜率不存在，此时有x2＝﹣，使y2＝0，满足x1x2+y1y2＝0，因此②是“垂直对点集”．故选：B．三．解答题：（本大题共5题，满分74分）19．（12分）在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a、b是方程的两个根，且A+B＝120°，求△ABC的面积及AB的长．【解答】解：∵A+B＝120°，∴C＝60°．∵a、b是方程的两个根，∴a+b＝，ab＝2，∴S＝＝，△ABCAB＝c＝＝＝＝．20．（14分）某种海洋生物的身长f（t）（单位：米）与生长年限t（单位：年）满足如下的函数关系：f（t）＝．（设该生物出生时的时刻t＝0）（1）需经过多少时间，该生物的身长超过8米？（2）该生物出生后第3年和第4年各长了多少米？并据此判断，这2年中哪一年长得更快．【解答】解：（1）设f（t）＝≥8，即，解得t≥6，即该生物6年后身长可超过8米．（2）由于f（3）﹣f（2）＝，f（4）﹣f（3）＝，∴第3年长了米，第4年长了米，∴，∴第4年长得快．21．（14分）已知函数f（x）＝|x﹣1|，g（x）＝﹣x2+6x﹣5．（1）若g（x）≥f（x），求实数x的取值范围；（2）求g（x）﹣f（x）的最大值．【解答】解：（1）当x≥1时，f（x）＝x﹣1；∵g（x）≥f（x），∴﹣x2+6x﹣5≥x﹣1；整理，得（x﹣1）（x﹣4）≤0，解得x∈[1，4]；当x＜1时，f（x）＝1﹣x；∵g（x）≥f（x），∴﹣x2+6x﹣5≥1﹣x，整理，得（x﹣1）（x﹣6）≤0，解得x∈[1，6]，又，∴x∈∅；综上，x的取值范围是[1，4]．（2）由（1）知，g（x）﹣f（x）的最大值在[1，4]上取得，∴g（x）﹣f（x）＝（﹣x2+6x﹣5）﹣（x﹣1）＝﹣+≤，∴当x＝时，g（x）﹣f（x）取到最大值是．22．（16分）称满足以下两个条件的有穷数列a1，a2，…a n为n（n＝2，3，4，…）阶“期待数列”：①a1+a2+a3+…+a n＝0；②|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|＝1．（1）若数列{a n}的通项公式是a n＝（n＝1，2，…2014），试判断数列{a n}是否为2014阶“期待数列”，并说明理由；（2）若等比数列{b n}为2k（k∈N*）阶“期待数列”，求公比q及数列{b n}的通项公式；（3）若一个等差数列{c n}既是2k（k∈N*）阶“期待数列”又是递增数列，求该数列的通项公式．【解答】解：（1）∵a n＝＝，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）∴a1+a2+a3+…+a2014＝（a1+a3+…+a2013）+（a2+a4+…+a2014）＝＝0，②|a1|+|a2|+|a3|+…+|a2014|＝＝1，∴数列{a n}为2014阶“期待数列”﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）①若q＝1，由①得，b1•2k＝0，得b1＝0，矛盾．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）若q≠1，则由①b1+b2+b3+…+b2k＝＝0，得q＝﹣1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）由②得b1＝或b1＝﹣．∴q＝﹣1，数列{b n}的通项公式是b n＝（n＝1，2，…，2k）或b n ＝﹣（n＝1，2，…，2k）（9分）（3）设等差数列等差数列{c n}的公差为d，d＞0．∵c1+c2+c3+…+c2k＝0，∴，∴c1+c2k＝c k+c k+1＝0，∵d＞0，由c k+c k+1＝0得c k＜0，c k+1＞0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）由①、②得c1+c2+c3+…+c k＝﹣，c k+1+c k+2+c k+3+…+c2k＝，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）两式相减得，k2d＝1，∴d＝，又，得c1＝﹣，∴数列{c n}的通项公式是c n＝．﹣（16分）23．（18分）给定椭圆C：，称圆心在坐标原点O，半径为的圆是椭圆C的“伴随圆”，已知椭圆C的两个焦点分别是．（1）若椭圆C上一动点M1满足||+||＝4，求椭圆C及其“伴随圆”的方程；（2）在（1）的条件下，过点P（0，t）（t＜0）作直线l与椭圆C只有一个交点，且截椭圆C的“伴随圆”所得弦长为2，求P点的坐标；（3）已知m+n＝﹣（0，π）），是否存在a，b，使椭圆C的“伴随圆”上的点到过两点（m，m2），（n，n2）的直线的最短距离．若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由题意，，∴＝，所以椭圆C的方程为．其“伴随圆”的方程为x2+y2＝6；（2）设直线l的方程为y＝kx+t，代入椭圆方程为（2k2+1）x2+4tkx+2t2﹣4＝0∴由△＝（4tk）2﹣8（2k2+1）（t2﹣2）＝0得t2＝4k2+2①，由直线l截椭圆C的“伴随圆”所得弦长为，可得，即t2＝3（k2+1）②由①②可得t2＝6．∵t＜0，∴t＝﹣，∴P（0，﹣）；（3）过两点（m，m2），（n，n2）的直线的方程为，∴y＝（m+n）x ﹣mn，∵m+n＝﹣（0，π）），∴，得x cosθ+y sinθ﹣3＝0，∴由于圆心（0，0）到直线x cosθ+y sinθ﹣3＝0的距离为d＝＝3．当a2+b2≥9时，d min＝0，等式不能成立；当a2+b2＜9时，d min＝3﹣，由3﹣＝﹣b得9+6b+b2＝4a2+4b2．因为a2＝b2+2，所以7b2﹣6b﹣1＝0，∴（7b+1）（b﹣1）＝0，∴b＝1，a＝．。
【数学】上海市徐汇区上师大附中2014届高三模拟试题
上师大附中2014届高三模拟考试数学试题2014.5一、填空题1．设复数,则等于．2．集合集合，则等于．3．PA、PB、PC是从P点引出的三条射线，每两条夹角都是60°，那么直线PC与平面PAB 所成角的余弦值是．4．设是定义在上的偶函数，其图像关于直线对称，对任意，，有，，则．5．设为函数的最大值，则二项式的展开式中含项的系数是．6．已知数列是等差数列, 若, 则该数列前11项的和为．7．已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围是．8．已知函数，若函数图象上的一个对称中心到对称轴的距离的最小值为，则的值为．9．正方形的边长为2，点、分别在边、上，且，，将此正方形沿、折起，使点、重合于点，则三棱锥的体积是．10．设是双曲线的两个焦点，点P在双曲线上且满足，则的面积为．11．在中，已知分别为，，所对的边，为的面积．若向量满足，则=．12．若、为两条不重合的直线，、为两个不重合的平面，则下列命题中的真命题个数是 _ ．①若、都平行于平面，则、一定不是相交直线；②若、都垂直于平面，则、一定是平行直线；③已知、互相垂直，、互相垂直，若，则；④、在平面内的射影互相垂直，则、互相垂直.13．已知直线（为参数）与圆（为参数），则上各点到的距离的最小值为.14．将侧棱相互垂直的三棱锥称为“直角三棱锥”，三棱锥的侧面和底面分别叫直角三棱锥的“直角面和斜面”；过三棱锥顶点及斜面任两边中点的截面均称为斜面的“中面”.已知直角三角形具有性质：“斜边的中线长等于斜边边长的一半”.仿照此性质写出直角三棱锥具有的性质：.二、选择题15．过点P（1，1）作直线L与两坐标轴相交所得三角形面积为10，直线L有（）A．一条 B．两条 C．三条 D．四条16．“”是“”成立的（）A．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件17．如图所示,已知正方体的棱长为2, 长为2的线段的一个端点在棱上运动, 另一端点在正方形内运动, 则的中点的轨迹的面积为（）A．B． C． D．18．某饮料厂搞促销，公开承诺，“凡购买本厂的某种饮料的顾客可用3只空罐换一罐饮料。
2014学年第一学期徐汇区高三数学质量调研卷(文)
2014学年第一学期徐汇区高三数学质量调研卷（文）2015.01 一、填空题（满分56分）1、已知3sin 5θ=-，则cos2θ=【答案】725【解析】297cos212sin 122525θθ=-=-⋅= 2、若实数,x y 满足4xy =，则224x y +的最小值为 【答案】16【解析】224416x y xy +≥=（当且仅当2x y =，即x =±，y =时等号成立） 3、设i 是虚数单位，复数z 满足()25i z +⋅=，则z =【解析】()2525i z i z z +⋅=⇒+⋅=⇒4、函数()()220f x x x =-<的反函数()1f x -=【答案】())12f x x -=>-【解析】令22y x =-，则2y >-，且x =())12f x x -=>- 5、若抛物线22y px =的焦点与双曲线2213y x -=的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为 【答案】2x =-【解析】双曲线2213y x -=的右焦点为()2,0，所以准线方程为2x =- 6、若正四棱柱1111ABCD A BC D -的底面边长为2，高为4，则异面直线1BD 与AD 所成角的大小是【答案】） 【解析】1D BC ∠或其补角为所求。
在1Rt D BC ∆中，11cos BC D BC BD ∠=1D BC ∠= 7、已知无穷等比数列{}n a 的各项和为1，则首项1a 的取值范围是 【答案】()()0,11,2U【解析】由题意得111a q=-，且01q <<，所以1101101a a <-<⇒<<或112a << 8、若全集U R =，不等式11111x x+>-的解集为A ，则U A =ð【答案】[]1,0U A =-ð【解析】()1111111010111x x x x x x x x x+++>⇒+>⇒>⇒+>⇒<--或0x >，所以[]1,0U A =-ð9、设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，()11122n n S a n N *++=∈，则{}n a 的通项公式为 【答案】【解析】当2n ≥时，11122n n S a -+=与11122n n S a ++=相减，得：111113132222n n n n n n n a a a a a a a +++=-⇒=⇒=又12211322S a a +=⇒=，所以{}n a 是以11a =为首项，3为公比的等比数列，所以()13n n a n N -*=∈ 10、已知圆()()22:112C x y -+-=，方向向量()1,1d =u r 的直线l 过点()0,4P ，则圆C 上的点到直线l 的距离的最大值为【答案】【解析】易得直线:4l y x =+，则圆心()1,1C到直线的距离d =，所以圆C 上的点到直线l 的距离的最大值为11、如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥且12AD BC =，AC 与BD 相交于O ，设AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ，用a r ，b r 表示BO u u u r ，则BO =u u u r【答案】2233a b -+r r【解析】()()2222233333BO BD AD AB b a a b ==⋅-=⋅-=-+u u u r u u u r u u u r u u u r r r r r12、已知函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将()y f x =的图像向左平移ϕ（0ϕπ<<）个单位后得到函数()y g x =的图像。
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2013学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷
初三年级数学学科 2014.1
(满分150分，考试时间100分钟)
一、 选择题：(本大题共6题，每题4分，满分24分)
1. 在比例尺为1:2000的地图上测得A 、B 两地间的图上距离为5cm ，则A 、B
两地间的实际距离为( ) (A) 10m ；
(B) 25m ；
(C) 100m ；
(D) 10000m.
2. 在△ABC 中，∠C =90°，AB =13，BC =5，则sin A 的值是( )
(A) 513 (B) 1213 (C) 512
(D)
135
3. 抛物线()2
1232
y x =--的顶点坐标是( )
(A) ()2,3 (B) ()2,3-
(C) ()2,3-
(D) ()2,3--
4. 已知抛物线()232y ax x a =++-，a 是常数且a <0，下列选项中可能是它大致
图像的是( )
5. 下列命题中是假命题的是( )
(A) 若,a b b c ==，则a c =.
(B) ()
222a b a b -=- (C) 若1
2
a b =-，则a b ∥.
(D) 若a b =，则a b =
6. 已知△ABC 和△DEF 相似，且△ABC 的三边长为3、4、5，如果△DEF 的周长
为6，那么下列不可能是△DEF 一边长的是( ) (A) 1.5；
(B) 2；
(C) 2.5；
(D) 3.
第9题
E
D
A
B
C
第10题
F
D
C
A
B
E P B
A D
C
A 二、 填空题：(本大题共12题，每题4分，满分48分)
【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7. 已知
34a b =，则
2a
a b
+的值为__________. 8. 计算：()()
23m n m n ++-=___________.
9. 如图，△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，CD 平分∠ACB ，DE ∥BC ，
若AC =10，AE =4，则BC =________.
10. 如图，在平行四边形ABCD 中，E 为CD 上一点，联结AE 、BD ，且AE 、BD
交于点F ，若:2:3DE EC =，则:DEF
ABF
S
S
=_________.
11. 如图，已知抛物线2y x bx c =++的对称轴为直线x =1，点A ，B 均在抛物线上，
且AB 与x 轴平行，若点A 的坐标为30,2⎛⎫
⎪⎝⎭
，则点B 的坐标为
___________.
12. 如果抛物线()2
31y x =++经过点()11,A y 和点()23,B y ，那么1y 与2y 的大小
关系是1y ___2y (填写“>”或“<”或“=”).
13. 如图，已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，且AD ⊥BD ，若CD =1，BC =3，
那么∠A 的正切值为________.
14. 在高位100米的楼顶得得地面上某十字路口的俯角为β，那么娄底到这个十
字路口的水平距离是____________米(用含β的代数式表示). 15. △ABC
中，AD
,AB a AD b ==，那么BG =_______(用a b 、
表示).
第13题
第18题
B
D
16. △ABC 中，AB=AC =5，BC =8，那么sin B =__________.
17. 将二次函数23y x =的图像向左平移2个单位再向下平移4个单位，所得函数
表达式是()2
324y x =+-，我们来解释一下其中的原因：不妨设平移前图像上任意一点P 经过平移后得到点P’，且点P’的坐标为(),x y ，那么P’点反之向右平移2个单位，再向上平移4个单位得到点()2,4P x y ++，由于点P 是二次函数23y x =的图像上的点，于是把点P (x +2,y +4)的坐标代入23y x =再进行整理就得到()2
324y x =+-.类似的，我们对函数()
1
1y x x =
+的图像进行
平移：先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，所得图像的函数表达式为_____.
18. 如图，矩形ABCD 中，AB =8，BC =9，点P 在BC 边上，CP =3，点Q 为线段AP
上的动点，射线BQ 与矩形ABCD 的一边交于点R ，且AP =BR ，则QR BQ
=____________.
三、 解答题：(本大题共7分，满分78分) 19. (本题满分10分)
计算：222
2sin 30+tan60tan30+sin 60cos 45+cot60cos30︒︒⋅︒︒
︒︒⋅︒
20. (本题满分10分，其中第(1)小题6分，第(2)小题4分)
如图，点D 、E 分别在△ABC 的边BA 、CA 的延长线上，且DE ∥BC ，1
2
AE AC =，F 为AC 的中点.
(1) 设BF a =，AC b =，试用xa yb +的形式表示AB 、ED ；
(x 、y 为实数)
(2) 作出BF 在BA 、BC 上的分向量.
(保留作图痕迹，不写作法，写出结论)
F
E
A
C
D
B 21. (本题满分10分)
某商场为了方便顾客使用购物车，将滚动电梯由坡角30°的坡面改为坡度为1:2.4的坡面。
如图，BD 表示水平面，AD 表示电梯的铅直高度，如果改动后电梯的坡面AC 长为13米，求改动后电梯水平宽度增加部分BC 的长(结果保留根号).
22. (本题满分10分，其中第(1)小题6分，第(2)小题4分)
已知：如图，△ABC 中，点D 、E 是边AB 上的点，CD 平分∠ECB ，且2BC BD BA =⋅. (1) 求证：△CED ∽△ACD ； (2) 求证：
AB CE
BC ED
=
.
23. (本题满分12分，其中第(1)小题4分，第(2)小题8分)
在△ABC 中，D 是BC 的中点，且AD=AC ，DE ⊥BC ，与AB 相交于点E ，EC 与AD 相交于点F .
(1) 求证：△ABC ∽△FCD ；
(2) 若DE =3，BC =8，求△FCD 的面积.
B
D E A
24.(本题满分12分，每小题各6分)
如图，直线3
y x
=+与x轴、y轴分别交于点A、C，经过A、C两点的抛物线2
y ax bx c
=++与x轴的负半轴上另一交点为B，且tan
∠CBO=3.
(1)求该抛物线的解析式及抛物线的顶点D的坐标；
(2)若点P是射线BD上一点，且以点P、A、B为顶点的
三角形与△ABC相似，求点P的坐标.
25.(本题满分14分，其中第(1)小题3分，第(2)小题6分，第(3)小题5分)
如图，△ABC中，AB=5，BC=11，
3
cos
5
B=，点P是BC边上的一个动点，联
结AP，取AP的中点M，将线段MP绕点P顺时针旋转90°得到线段PN，联结AN，NC.
(1)当点N恰好落在BC边上时，求NC的长；
(2)若点N在△ABC内部(不含边界)，设BP=x，CN=y，求y关于x的函数关
系式，并求出函数的定义域；
(3)若△PNC是等腰三角形，求BP的长.
2013年第一学期徐汇区初三数学答案（2014.1）
一、选择题24 1. C 2. A 3. B 4. B 5. D 6. D 二、填空题48
7.7
6
8.n m -5 9. 15 10.254 11.)32,2( 12. < 13.31 14. 100ctgB 15.
b a 32+- 16.53
17.3)2)(1(1+++=x x y 18. 1或8194+
三、简答题78
19.8
3
41+
20.（1）b a AB 21+-= b a ED 43
21+-=（2）略
21.)3512(-米 22. 略
23.（1）略 （2）4.5
24.（1）y = x 2 + 4x + 3 D （-2，-1）（2）P )552,1552(---
或)5
2
5,1525(--- 25.（1）NC = 2（2）)63(2333
7852<<+-=x x x y （3）BP = 7或3
19441-或5114-
以上答案若有不正确之处，不吝赐教！。