山东省菏泽市高一数学上学期期中试卷(a卷)(含解析)

2015-2016学年山东省菏泽市高一（上）期中数学试卷（A卷）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知函数f（x）=的定义域为M，g（x）=的定义域为N，则M∩N=（）
A．{x|x≥﹣1} B．{x|x＜3} C．{x|﹣1＜x＜3} D．{x|﹣1≤x＜3}
2．函数f（x）=+1的图象关于（）
A．y轴对称B．直线y=﹣x对称C．坐标原点对称 D．直线y=x对称
3．已知f（x﹣1）=x2+1，则f（x）的表达式为（）
A．f（x）=x2+1 B．f（x）=（x+1）2+1 C．f（x）=（x﹣1）2+1 D．f（x）=x2
4．下列图象是函数y=的图象的是（）
A．B．C．D．
5．三个数a=0.36，b=60.7，c=log0.5的大小关系为（）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞a＞b
6．若偶函数f（x）在[1，2]上为增函数，且有最小值0，则它在[﹣2，﹣1]上（）A．是减函数，有最小值0 B．是增函数，有最小值0
C．是减函数，有最大值0 D．是增函数，有最大值0
7．函数的零点个数为（）
A．3 B．2 C．1 D．0
8．函数，若实数x0是函数f（x）的零点，且0＜x1＜x0，则f
（x1）的值为（）
A．恒为正B．等于零C．恒为负D．不小于零
9．下列函数中，随x的增大，其增大速度最快的是（）
A．y=0.001e x B．y=1000lnx C．y=x1000D．y=1000•2x
10．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=[x]（[x]表示不大于x的最大整数）可以表示为（）
A．y=[] B．y=[] C．y=[] D．y=[]
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，将答案填在题中的横线上）
11．已知集合A={y|y=log2x，x＞1}，B={y|y=（）x，x＞1}，则A∩B=．
12．已知函数f（x）=x2﹣2kx+8在区间[5，20]上具有单调性，则实数k的取值范围
是．
13．现测得（x，y）的两组对应值分别为（1，2），（2，5），现有两个待选模型，甲：y=x2+1，乙：y=3x﹣1，若又测得（x，y）的一组对应值为（3，10.2），则应选用作为函数模型．
14．已知函数f（x）=a x﹣2﹣2的图象恒过点P，且对数函数y=g（x）的图象过点P，则g（x）= ．
15．已知函数f（x）=，若函数y=f（x）﹣k有两个零点，则实数k的取值范围是．
三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
（2013秋•缙云县校级期末）已知全集U=R，集合A={x|﹣1≤x＜3}，B={x|x﹣k≤0}，（12分）
16．
（1）若k=1，求A∩∁U B
（2）若A∩B≠∅，求k的取值范围．
17．（12分）（2015秋•菏泽期中）已知函数．
（1）在如图给定的直角坐标系内画出f（x）的图象；（直接画图，不需列表）
（2）写出f（x）的单调递增区间及值域．
18．（12分）（2015秋•菏泽期中）不用计算器求下列各式的值．
（1）设=3，求x+x﹣1的值；
（2）若xlog34=1，求4x+4﹣x的值；
（3）[（1﹣log63）2+log62•log618]÷log64
（4）．
19．（12分）（2011•封开县校级模拟）商场销售某一品牌的羊毛衫，购买人数是羊毛衫标价的一次函数，标价越高，购买人数越少．把购买人数为零时的最低标价称为无效价格，已知无效价格为每件300元．现在这种羊毛衫的成本价是100元/件，商场以高于成本价的价格（标价）出售．问：
（1）商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元？
（2）通常情况下，获取最大利润只是一种“理想结果”，如果商场要获得最大利润的75%，那么羊毛衫的标价为每件多少元？
20．（13分）（2015秋•菏泽期中）已知函数f（x）=log a（1+x），g（x）=log a（1﹣x），（a ＞0，a≠1）．
（1）求F（x）=f（x）+g（x）的定义域，
（2）设a=2，函数f（x）的定义域为[3，63]，求f（x）的最值，
（3）求使f（x）﹣g（x）＞0的x的取值范围．
21．（14分）（2009春•通州区期末）已知定义在实数集R上的偶函数f（x）在区间[0，+∞）上是单调增函数．
（1）求证：函数f（x）在区间（﹣∞，0]上是单调减函数
（2）若f（1）＜f（lgx），求x的取值范围．
2015-2016学年山东省菏泽市高一（上）期中数学试卷（A卷）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知函数f（x）=的定义域为M，g（x）=的定义域为N，则M∩N=（）
A．{x|x≥﹣1} B．{x|x＜3} C．{x|﹣1＜x＜3} D．{x|﹣1≤x＜3}
【考点】函数的定义域及其求法；交集及其运算．
【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用；集合．
【分析】分别求解两函数的定义域得到M，N，取交集得答案．
【解答】解：由3﹣x＞0，得x＜3，∴M=（﹣∞，﹣3）；
由x+1≥0，得x≥﹣1，∴N=[﹣1，+∞）．
∴M∩N=[﹣1，3）．
故选：D．
【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础的计算题．
2．函数f（x）=+1的图象关于（）
A．y轴对称B．直线y=﹣x对称C．坐标原点对称 D．直线y=x对称
【考点】奇偶函数图象的对称性．
【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】由函数f（x）=+1，观察知该函数是一个偶函数，解答本题要先证明其是偶函
数再由偶函数的性质得出其对称轴是y轴．
【解答】解：函数的定义域是R．
∵f（﹣x）=+1=+1=f（x）
∴f（x）=+1是一个偶函数
由偶函数的性质知函数f（x）=+1的图象关于y轴对称．
故选：A．
【点评】本题考点是奇偶函数图象的对称性，考查了偶函数的证明以及偶函数的性质，属于一道基本题．
3．已知f（x﹣1）=x2+1，则f（x）的表达式为（）
A．f（x）=x2+1 B．f（x）=（x+1）2+1 C．f（x）=（x﹣1）2+1 D．f（x）=x2
【考点】函数解析式的求解及常用方法．
【专题】转化思想；换元法；函数的性质及应用．
【分析】利用换元法进行求解即可．
【解答】解：设x﹣1=t，则x=1+t，
则函数f（x﹣1）=x2+1等价为f（t）=（t+1）2+1，
即f（x）=（x+1）2+1，
故选：B．
【点评】本题主要考查函数解析式的求解，利用换元法是解决本题的关键．
4．下列图象是函数y=的图象的是（）
A．B．C．D．
【考点】函数的图象．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】从单调性上分段判断函数图象，
【解答】解：当x＜0时，y=x2，为二次函数，对称轴为x=0，故y=x2在（﹣∞，0）上是减函数，
当x≥0时，y=x﹣1，为一次函数，且是增函数，f（0）=﹣1，
故选：C．
【点评】本题考查了分段函数的图象，基本初等函数的图象与性质，是基础题．
5．三个数a=0.36，b=60.7，c=log0.5的大小关系为（）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞a＞b
【考点】对数值大小的比较．
【专题】数形结合；转化思想；函数的性质及应用．
【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．
【解答】解：∵0＜a=0.36＜1，b=60.7＞1，c=log0.5＜0，
∴b＞a＞c，
故选：C．
【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
6．若偶函数f（x）在[1，2]上为增函数，且有最小值0，则它在[﹣2，﹣1]上（）A．是减函数，有最小值0 B．是增函数，有最小值0
C．是减函数，有最大值0 D．是增函数，有最大值0
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【专题】计算题；转化思想；综合法．
【分析】根据偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反，可知f（x）在区间1，2]上的单调性，再由所给最小值为0，可求f（x）在[﹣2，﹣1]上的最值．
【解答】解：因为f（x）在[1，2]上为增函数，且有最小值0，所以f（1）=0，
又f（x）为偶函数，所以f（x）在[﹣2，﹣1]上单调递减，f（x）≥f（﹣1）=f（1）=0．
即f（x）在区间[﹣2，﹣1]上的最小值为0，
综上，f（x）在区间[﹣2，﹣1]上单调递减，且最小值为0．
故选：A．
【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性及其应用，属基础题．
7．函数的零点个数为（）
A．3 B．2 C．1 D．0
【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法．
【分析】分段解方程，直接求出该函数的所有零点．由所得的个数选出正确选项．
【解答】解：当x≤0时，令x2+2x﹣3=0解得x=﹣3；
当x＞0时，令﹣2+lnx=0解得x=100，所以已知函数有两个零点，
故选：B．
【点评】本题考查函数零点的概念，以及数形结合解决问题的方法，只要画出该函数的图象不难解答此题．
8．函数，若实数x0是函数f（x）的零点，且0＜x1＜x0，则f
（x1）的值为（）
A．恒为正B．等于零C．恒为负D．不小于零
【考点】函数的零点．
【专题】计算题；函数思想；数学模型法；函数的性质及应用．
【分析】易知函数在（0，+∞）上是增函数且连续，再由f（x0）=0且0＜x1＜x0判断即可．
【解答】解：易知函数在（0，+∞）上是增函数且连续，
∵实数x0是函数f（x）的零点，
∴f（x0）=0，
∵0＜x1＜x0，
∴f（x1）＜f（x0）=0，
故选：C．
【点评】本题考查了函数的单调性的判断与函数的连续性的判断，同时考查了函数的零点的应用．
9．下列函数中，随x的增大，其增大速度最快的是（）
A．y=0.001e x B．y=1000lnx C．y=x1000D．y=1000•2x
【考点】对数函数、指数函数与幂函数的增长差异．
【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用．
【分析】在对数函数，幂函数，指数函数中，指数函数的增长速度最快；在指数函数中，底数越大，增长速度越快．
【解答】解：在对数函数，幂函数，指数函数中，
指数函数的增长速度最快，
故排除B，C；
指数函数中，底数越大，增长速度越快，
故选：A．
【点评】本题考查了对数函数，幂函数，指数函数的增大速度的差异．
10．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=[x]（[x]表示不大于x的最大整数）可以表示为（）
A．y=[] B．y=[] C．y=[] D．y=[]
【考点】函数解析式的求解及常用方法．
【专题】压轴题．
【分析】根据规定10推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增加一名代表，即余数分别为7，8，9时可以增选一名代表，也就是x要进一位，所以最小应该加3．进而得到解析式．
代入特殊值56、57验证即可得到答案．
【解答】解：根据规定10推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增加一名代表，即余数分别为7，8，9时可以增选一名代表，也就是x要进一位，所以最小应该加3．因
此利用取整函数可表示为y=[]
也可以用特殊取值法
若x=56，y=5，排除C、D，若x=57，y=6，排除A；
故选：B．
【点评】本题主要考查给定条件求函数解析式的问题，这里主要是要读懂题意，再根据数学知识即可得到答案．对于选择题要会选择最恰当的方法．
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，将答案填在题中的横线上）11．已知集合A={y|y=log2x，x＞1}，B={y|y=（）x，x＞1}，则A∩B=．
【考点】对数函数的值域与最值；交集及其运算．
【专题】规律型；函数的性质及应用．
【分析】先求出集合A，B，利用集合的基本运算求A∩B．
【解答】解：∵A={y|y=log2x，x＞1}={y|y＞0}，
B={y|y=（）x，x＞1}={y|0}，
∴A∩B={y|y＞0}∩{y|0}={y|0}，
故答案为：
【点评】本题主要考查指数函数和对数函数的性质以及集合的基本运算，比较基础．
12．已知函数f（x）=x2﹣2kx+8在区间[5，20]上具有单调性，则实数k的取值范围是（﹣∞，5]∪[20，+∞）．
【考点】二次函数的性质．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】令对称轴不在区间[5，20]上即可．
【解答】解：f（x）的对称轴为x=k，∵f（x）=x2﹣2kx+8在区间[5，20]上具有单调性，∴k≤5或k≥20．
故答案为（﹣∞，5]∪[20，+∞）．
【点评】本题考查了二次函数的单调性与对称轴的关系，属于基础题．
13．现测得（x，y）的两组对应值分别为（1，2），（2，5），现有两个待选模型，甲：y=x2+1，乙：y=3x﹣1，若又测得（x，y）的一组对应值为（3，10.2），则应选用甲作为函数模型．
【考点】根据实际问题选择函数类型．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】将点的坐标代入验证，即可得到结论．
【解答】解：甲：y=x2+1，（1，2），（2，5）代入验证满足，x=3时，y=10；
乙：y=3x﹣1，（1，2），（2，5）代入验证满足，x=3时，y=8
∵测得（x，y）的一组对应值为（3，10.2），
∴选甲．
故答案为：甲
【点评】本题考查函数模型的选择，考查学生的计算能力，属于基础题．
14．已知函数f（x）=a x﹣2﹣2的图象恒过点P，且对数函数y=g（x）的图象过点P，则g（x）= log x ．
【考点】指数函数的单调性与特殊点．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】令x﹣2=0求出P点坐标，使用待定系数法求出g（x）．
【解答】解：令x﹣2=0得x=2，∴f（x）恒过点（2，﹣1）．设g（x）=log a x，则log a2=﹣1．解得a=．
∴g（x）=log x．
故答案为：．
【点评】本题考查了指数函数的性质及待定系数法求函数的解析式．是基础题．
15．已知函数f（x）=，若函数y=f（x）﹣k有两个零点，则实数k的取
值范围是（0，1）．
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【专题】计算题；数形结合；数形结合法；函数的性质及应用．
【分析】作函数f（x）=与y=k的图象，从而可知当k∈（0，1）时，函数f（x）=与y=k的图象有两个交点；从而解得．
【解答】解：作函数f（x）=与y=k的图象如下，
，
结合图象可知，
当k∈（0，1）时，
函数f（x）=与y=k的图象有两个交点，
故答案为；（0，1）．
【点评】本题考查了数形结合的思想应用及函数的零点与函数的图象的交点的关系应用．
三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
（2013秋•缙云县校级期末）已知全集U=R，集合A={x|﹣1≤x＜3}，B={x|x﹣k≤0}，（12分）
16．
（1）若k=1，求A∩∁U B
（2）若A∩B≠∅，求k的取值范围．
【考点】交集及其运算；交、并、补集的混合运算．
【专题】集合．
【分析】（1）把k=1代入B中求出解集确定出B，进而确定出B的补集，找出A与B补集的交集即可；
（2）由A与B的交集不为空集，求出k的范围即可．
【解答】解：（1）把k=1代入B得：B={x|x≤1}，
∵全集U=R，
∴∁U B={x|x＞1}，
∵A={x|﹣1≤x＜3}，
∴A∩∁U B={x|1＜x＜3}；
（2）∵A={x|﹣1≤x＜3}，B={x|x﹣k≤0}={x|x≤k}，且A∩B≠∅，
∴k≥﹣1．
【点评】此题考查了交集及其运算，以及交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
17．（12分）（2015秋•菏泽期中）已知函数．
（1）在如图给定的直角坐标系内画出f（x）的图象；（直接画图，不需列表）
（2）写出f（x）的单调递增区间及值域．
【考点】函数图象的作法；函数的值域；函数单调性的判断与证明．
【专题】计算题；作图题．
【分析】（1）利用函数的解析式直接求出函数的图象；
（2）通过函数的图象直接写出函数的单调区间以及函数的值域．
【解答】解：（1）图象如下图所示；…（5分）
（2）由图可知f（x）的单调递增区间[﹣1，0]，[2，5]， (8)
值域为[﹣1，3]；…（12分）
【点评】本题考查函数的图象的作法，函数的值域以及函数的单调区间，考查基本知识的应用．
18．（12分）（2015秋•菏泽期中）不用计算器求下列各式的值．
（1）设=3，求x+x﹣1的值；
（2）若xlog34=1，求4x+4﹣x的值；
（3）[（1﹣log63）2+log62•log618]÷log64
（4）．
【考点】对数的运算性质．
【专题】计算题；方程思想；转化法；函数的性质及应用．
【分析】（1）通过平方化简求解即可．
（2）利用对数运算法则化简求解即可．
（3）利用对数运算法则化简求解即可．
（4）利用有理指数幂的运算法则化简求解即可．
【解答】解：（1）设=3，平方可得x+x﹣1+2=9，∴x+x﹣1=7，
（2）xlog34=1，x=log43，4x+4﹣x=+==，
（3）[（1﹣log63）2+log62•lo g618]÷log64
=
=
==1．
（4）=﹣1++e=．（每
个结果3分）
【点评】本题考查对数运算法则以及有理指数幂的运算法则的应用，考查计算能力．
19．（12分）（2011•封开县校级模拟）商场销售某一品牌的羊毛衫，购买人数是羊毛衫标价的一次函数，标价越高，购买人数越少．把购买人数为零时的最低标价称为无效价格，已知无效价格为每件300元．现在这种羊毛衫的成本价是100元/件，商场以高于成本价的价格（标价）出售．问：
（1）商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元？
（2）通常情况下，获取最大利润只是一种“理想结果”，如果商场要获得最大利润的75%，那么羊毛衫的标价为每件多少元？
【考点】函数模型的选择与应用；一元二次不等式的应用．
【专题】应用题．
【分析】（1）先设购买人数为n人，羊毛衫的标价为每件x元，利润为y元，列出函数y 的解析式，最后利用二次函数的最值即可求得商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元即可；
（2）由题意得出关于x的方程式，解得x值，从而即可解决商场要获取最大利润的75%，每件标价为多少元．
【解答】解：（1）设购买人数为n人，羊毛衫的标价为每件x元，利润为y元，
则x∈（100，300]n=kx+b（k＜0），
∵0=300k+b，即b=﹣300k，
∴n=k（x﹣300）（3分）
y=（x﹣100）k（x﹣300）
=k（x﹣200）2﹣10000k（x∈（100，300]）（6分）
∵k＜0，
∴x=200时，y max=﹣10000k，
即商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件200元．（8分）
（2）解：由题意得，k（x﹣100）（x﹣300）=﹣10000k•75%
x2﹣400x+37500=0
解得x=250或x=150
所以，商场要获取最大利润的75%，每件标价为250元或150元（16分）
【点评】本小题主要考查函数模型的选择与应用、二次函数的性质及函数的最值，考查运算求解能力与转化思想．属于基础题．
20．（13分）（2015秋•菏泽期中）已知函数f（x）=log a（1+x），g（x）=log a（1﹣x），（a ＞0，a≠1）．
（1）求F（x）=f（x）+g（x）的定义域，
（2）设a=2，函数f（x）的定义域为[3，63]，求f（x）的最值，
（3）求使f（x）﹣g（x）＞0的x的取值范围．
【考点】对数函数图象与性质的综合应用．
【专题】计算题；分类讨论；综合法；函数的性质及应用．
【分析】（1）利用对数函数有意义的条件，求F（x）=f（x）+g（x）的定义域，
（2）当a=2时，f（x）=log a（1+x）在[3，63]上为增函数，即可求f（x）的最值，（3）f（x）﹣g（x）＞0即f（x）＞g（x，分类讨论，即可求使f（x）﹣g（x）＞0的x 的取值范围．
【解答】解：（1）要使F（x）有意义，须，∴﹣1＜x＜1，
∴函数的定义域为（﹣1，1）…（3分）
（2）当a=2时，f（x）=log a（1+x）在[3，63]上为增函数，因此当x=3时，f（x）有最小值为2，当x=63时，f（x）有最大值为6．…（7分）
（3）f（x）﹣g（x）＞0即f（x）＞g（x），
当a＞1时，log a（1+x）＞log a（1﹣x），满足，所以0＜x＜1，
当0＜a＜1时，log a（1+x）＞log a（1﹣x），满足，所以﹣1＜x＜0，
综上，a＞1时，解集为{x|0＜x＜1}，0＜a＜1时，解集为{x|﹣1＜x＜0}．…（13分）【点评】本题考查对数函数的性质，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
21．（14分）（2009春•通州区期末）已知定义在实数集R上的偶函数f（x）在区间[0，+∞）上是单调增函数．
（1）求证：函数f（x）在区间（﹣∞，0]上是单调减函数
（2）若f（1）＜f（lgx），求x的取值范围．
【考点】奇偶性与单调性的综合；对数的运算性质；对数函数的单调性与特殊点．
【专题】计算题；证明题．
【分析】（1）设x1＜x2≤0，则﹣x1＞﹣x2≥0，利用f（x）在区间[0，+∞）上是单调增函数的性质得出不等式，再由偶函数的性质即可得出f（x1）＞f（x2），再由定义即可得出单调性；
（2）由于函数是一个偶函数，故可以分两类来解这个不等式，即lgx＜0与lgx＞0两类来讨论．
【解答】解：（1）证明：设x1＜x2≤0，则﹣x1＞﹣x2≥0
∵f（x）在区间[0，+∞）上是单调增函数．
∴f（﹣x1）＞f（﹣x2）
又定义在实数集R上的偶函数f（x）
∴f（﹣x1）=f（x1），f（﹣x2）=f（x2），f（x1）＞f（x2）
∴函数f（x）在区间（﹣∞，0]上是单调减函数
（2）当0＜x≤1时，lgx＜0
由f（1）＜f（lgx）得f（﹣1）＜f（lgx），函数f（x）在区间（﹣∞，0]上时单调减函数
∴
当x≥1时，lgx＞0
由f（1）＜f（lgx），f（x）在区间[0，+∞）上是单调增函数
∴lgx＞1，x＞10
综上所述，x的取值范围是（0，）∪（10，+∞）．
【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合，求解问题的关键是正确理解函数的性质并能用这些性质进行灵活变形转化证明问题．本题中的函数是抽象函数，故证明问题时要注意依据题设灵活转化．本题中的易错点是第二问求解时易丢掉一部分解，做题时要注意考虑完善．。