4.1平面系统的初等奇点
平面上的动力系统奇点与极限环
时， 则情0 形相反，故
t
奇点
是不稳(0定, 0的) 。在这两种情形下，奇点
称为星形(0,结0)点（或临界
结点）。
7
稳定的星形结点（ 0 ） 7
不稳定的星形结点（ 0 ）
3.1.1 以点(0,0)为奇点的线性系统
1B. , 0
即矩阵 A 有两个同号但不相同的特征值。当 0时，沿每根轨
lim y 0,
x0
d y , for 0
lim x0 d x
,
for
0
10
3.1.1 以点(0,0)为奇点的线性系统
因此解族(3.5) 中每条曲线都在原点与 y 轴相切，称 (0, 0为) 系统的单向结点
（或退化结点）。图3.4给出了稳定或不稳定单向结点的相图。
稳定的单向结点
不稳定的单向结点
线 lim (x(t), y(t)) (0，, 0从) 而是渐近稳定的；当
时0，则情形相反，故
t
奇点
是(0不, 0稳) 定的。由于所有轨线都是沿两个方向进入（或离开）奇点，所
以称为两向结点（或简称结点）。
稳定的两向结点
8
不稳定的两向结点
3.1.1 以点(0,0)为奇点的线性系统
1C. 0
初等奇点都是孤立奇点（无穷小邻域内没有其他的奇点）。
作线性变换
x y
T
则方程(3.3) 化成
d dt
T
1
AT
假定这里 T 1AT已是若当标准型，并具有下列形式之一∶
0
0
,
1
0
,
5
3.1.1 以点(0,0)为奇点的线性系统
这里 , , 均为非零实数， 为实数。
4.1常微分方程的定性与稳定性
8
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四、初等奇点及其分类
1、线性系统
x a1 x a2 y
y
b1
x
b2
y
(5)
假设 f ( x, y)， g( x, y)关于( x, y)有一阶连续偏导
数，对方程组(3)而言，只要( x0 , y0 )不是(3)的奇点，
即，( x0 , y0 )不同时 满足 f ( x, y) 0， g( x, y) 0，则
在( x0 , y0 )附近可将(3)改写为
7
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是稳定焦点；
当 1 2 i ， 0, 0，即 p 0，q 0，p2 4q时， 是不稳定焦点；
当 1 2 i ， 0即 p 0，q 0时，是中心。
11
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q p2 4q
不
稳
稳
中
定
不 稳 定 结
定
心
焦
焦
区
点
点
区
区
稳 定 结
点
点
区
区
O
p
鞍点区
12
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2、非线性系统
定义 2 设 x* ( x1*,, xn*)T 是方程 组(1)的平 衡点，x x(t) ( x1(t),, xn (t))T 是方程组(1)的任一 解 ， 如果存在 x * 的某邻域 U( x*) ，使得当
x(t0 ) U ( x*)时，必有
lim
t
x
平面自治系统奇点类型判断及应用_高崚嶒
惟一奇点 Ｏ（０， ０）， 称为初等奇点。方程（２）的根即为
% & ａ ｂ
矩阵 Ａ＝
的特征根。
ｃｄ
ａｂ
定理 １ 对于系 统 （１）， 当 ｑ＝
＝ａｄ－
ｃｄ
ｂｃ≠０ 时， Ｏ（０， ０）是它的惟一初等奇点， !１， !２ 为
% & ａ ｂ
矩阵 Ａ＝
的不为零的特征根， 则可以根据
ｃｄ
特征根的不同情况将奇点分为以下类型：
!#ｄｄｘｔ ＝ａｘ＋ｂｙ
"
（１）
#ｄｙ＝ｃｘ＋ｄｙ
$ｄｔ
% & ａ ｂ
它的系数矩阵 Ａ＝
的特征方程是
ｃｄ
!－ ａ － ｂ ＝!２－ （ ａ＋ｄ）!＋（ａｄ－ ｂｃ）＝０，
－ ｃ !－ ｄ
将特征方程改写为
!２－ ｐ!＋ｑ＝０
（ ２）
其中 ｐ＝－ （ａ＋ｄ）， ｑ＝ａｄ－ ｂｃ。当 Ａ 非奇异时， 系统（１）有
（ １） !１≠!２ 都是实数， 且 !１， !２ ＞０（ ｑ＞０， △＞０） ． ① !１＜０， !２＜０， Ｏ（０， ０）为稳定结点。（ ｐ＞０ ） ② !１＞０， !２ ＞０， Ｏ（０， ０）为不稳定结点。（ ｐ＜０ ）
（ ２） !１≠!２ 都是实数， 且 !１， !２ ＜ ０， Ｏ（ ０， ０ ）为鞍 点。 （ ｑ＜０， △＞０）
（ ２） － １＜ｘ≤０ 时，
"ｄｘ $ｄｔ
＝４（ｘ）＋ｙ
#
$ｄｙ＝－ ２ｘ
%ｄｔ
ｐ＝－ ４， ｑ＝２， △＝８， 此时奇点 Ｏ（０，０）为不稳定结点。
（ ３） ｘ ≤－ １ 时，
"ｄｘ $ｄｔ
＝－
ｘ＋ｙ－
《常微分方程》课程大纲
《常微分方程》课程大纲一、课程简介课程名称：常微分方程学时/学分：3/54先修课程：数学分析，高等代数,空间解析几何，或线性代数（行列式，矩阵与线性方程组，线性空间F n，欧氏空间R n，特征值与矩阵的对角化）, 高等数学（多元微积分，无穷级数）。
面向对象：本科二年级或以上学生教学目标：围绕基本概念与基本理论、具体求解和实际应用三条主线开展教学活动，通过该课程的教学，希望学生正确理解常微分方程的基本概念，掌握基本理论和主要方法，具有一定的解题能力和处理相关应用问题的思维方式，如定性分析解的性态和定量近似求解等思想，并希望学生初步了解常微分方程的近代发展，为学习动力系统学科的近代内容和后续课程打下基础。
二、教学内容和要求常微分方程的教学内容分为七部分，对不同的内容提出不同的教学要求。
(数字表示供参考的相应的学时数，第一个数为课堂教学时数，第二个数为习题课时数)第一章基本概念（2，0）（一）本章教学目的与要求：要求学生正确掌握微分方程，通解，线性与非线性，积分曲线，线素场（方向场），定解问题等基本概念。
本章教学重点解释常微分方程解的几何意义。
（二）教学内容：1．由实际问题：质点运动即距离与时间关系（牛顿第二运动定律），放射性元素衰变过程，人口总数发展趋势估计等，通过建立数学模型，导出微分方程。
2．基本概念（常微分方程，偏微分方程，阶，线性，非线性，解，定解问题，特解，通解等）。
3．一阶微分方程组的几何定义，线素场（方向场），积分曲线。
4．常微分方程所讨论的基本问题。
第二章初等积分法（4，2）（一）本章教学目的与要求：要求学生熟练掌握分离变量法，常数变易法，初等变换法，积分因子法等初等解法。
本章教学重点对经典的几类方程介绍基本解法，勾通初等积分法与微积分学基本定理的关系。
并通过习题课进行初步解题训练，提高解题技巧。
（二）教学内容：１. 恰当方程（积分因子法）; ２. 分离变量法３. 一阶线性微分方程（常数变易法）４. 初等变换法（齐次方程，伯努利方程，黎卡提方程）5．应用举例第三章常微分方程基本定理（10，2）（一）本章教学目的与要求：要求学生正确掌握存在和唯一性定理及解的延伸的含义，熟记初值问题的解存在唯一性条件，正确理解解对初值和参数的连续依赖性和可微性的几何含意。
常微分方程期末复习提要
常微分方程期末复习提要中央电大 顾静相常微分方程是广播电视大学本科开放教育数学与应用数学专业的统设必修课程．本课程的主要任务是要使学生掌握常微分方程的基本理论和方法，增强运用数学手段解决实际问题的能力．本课程计划学时为54，3学分，主要讲授初等积分法、基本定理、线性微分方程组、线性微分方程、定性理论简介等内容。
本课程的文字教材是由潘家齐教授主编、中央电大出版社出版的主辅合一型教材《常微分方程》．现已编制了28学时的IP 课件供学生在网上学习．一、复习要求和重点 第一章 初等积分法1．了解常微分方程、常微分方程的解的概念，掌握常微分方程类型的判别方法．常微分方程与解的基本概念主要有：常微分方程，方程的阶，线性方程与非线性方程，解，通解，特解，初值问题。
2．了解变量分离方程的类型，熟练掌握变量分离方程解法． （1）显式变量可分离方程为： )()(d d y g x f xy = ；当0≠g 时，通过积分⎰⎰+=C x x f y g y d )()(d 求出通解。
（2）微分形式变量可分离方程为： y y N x M x y N x M d )()(d )()(2211=； 当0)()(21≠x M y N 时，通过积分 ⎰⎰+=C x x Mx M y y N y N d )()(d )()(2112求出通解。
3．了解齐次方程的类型，熟练掌握齐次方程（即第一类可化为变量可分离的方程）的解法．第一类可化为变量可分离方程的一阶齐次微分方程为： )(d d xy g xy = ；令xy u =，代入方程得xuu g xu -=)(d d ，当0)(≠-u u g 时，分离变量并积分，得⎰=-uu g ux C )(d 1e，即)(eu C x ϕ=，用xy u =回代，得通解)(e x y C x ϕ=.4．了解一阶线性方程的类型，熟练掌握常数变易法，掌握伯努利方程的解法． （1）一阶线性齐次微分方程为：0)(d d =+y x p xy通解为：⎰=-xx p C y d )(e 。
平面奇点的定性理论
平面非线性系统的奇点分析（数学与应用数学）学生：张西 指导老师：杜正东摘 要: 本文主要讨论了平面非线性常微分方程组的奇点的定性性质，包括其类型和稳定性，以及系统的相图在奇点附近的拓扑结构。
总结了平面非线性系统奇点分析的一些方法和结果。
并将上述结果应用到了三次约化Kukles 系统。
关键词：奇点，鞍点，焦点，结点。
§1引言由常微分方程本身的结构来直接研究和判断解的性质，这是常微分方程定性理论的基本思想。
众所周知，常微分方程（组）大量存在于描述自然现象的数学模型中，它已成为自然科学和尖端技术，包括自动控制理论，航天技术生物技术，经济学等的研究中不可缺少的数学工具。
常微分方程的定性研究的目的是要搞清楚系统在相空间的轨道分布状况。
相对与高维系统来说，二维自治系统的情况更单纯，因为在平面上有Jordan 闭曲线定理即：任何R 2上的单闭曲线L 将R 2分成两部分——D 1和D 2,自D 1内任何一点到D 2内任何一点的连续路径必定与L 相交。
只有对奇点的性质的研究透彻，才能更好的对其他问题进行研究。
对于平面非线性系统的的定性分析，最重要的是研究一些特殊的轨道，如奇点（即平衡点）。
周期轨等，只要我们把一个系统在这些特殊轨道附近的状况分析清楚了，该系统的整体相图结构也就大致清楚了。
因此作为平面非线性分析的第一步，奇点分析是最简单，也是最基本的工作。
本文则主要讨论了平面非线性微分方程组的奇点的定型性质。
总结了平面非线性系统奇点分析的一些方法和结果。
§2平面线性系统的奇点分析定义：[奇点]设()dx F x dt= 若x 0∈R n 满足F(x 0)＝0，则x=x 0叫做方程的一个奇点。
给定一个平面非线性系统：(,)dx P x y dt =，(,)dy Q x y dt = 当（0,0）为奇点时，若P,Q 均二阶可微，则在（0,0）附近总可以用Taylor 展式展开表示为： 12()()dx ax by R xy dt dy cx dy R xy dt⎧=++⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩ 的形式，其中R 1(x,y),R 2(x,y)为高阶项，即:22(,)(0,0)(,)lim0()i x y R x y x y →=+ (1,2)i = , 自然想到在原点（0,0）附近的轨道分布是否和它的第一近似方程组:dx ax by dt dy cx dy dt⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ （2.1） 的相似，其中a,b,c,d 是实数，首先我们必须把平面线性系统在奇点附近的状况搞清楚。
平面自治系统奇点类型判断及应用_高崚嶒
例 ３ 讨论非线性系统的奇点 Ｏ（０，０）的类型。
"ｄｘ $ｄｔ
＝－
２ｘ－
ｙ－
ｘ（ｘ２＋ｙ２）
#
（ ７）
$ｄｙ＝ｘ－ ｙ＋ｙ（ｘ２＋ｙ２）
%ｄｔ
分析： 非线性系统的奇点类型判断常常要用
到定理 ２ 和定理 ３， 通常最终归结到线性系统的
奇点类型判断。
解 将系统（ ７） 写成
"ｄｘ $ｄｔ
＝－
２ｘ－
ｙ＋!（
故 Ｏ（０， ０） 为非线性系统的惟一奇点— ——鞍点， 由
推论 ２ 可知， 系统（ １１） 无闭轨， 更不存在极限环。
例 ６ 证明下列系统不存在极限环。
!#ｄｄｘｔ ＝ｘ－ （ ｙ－ １）
"
（ １３）
#ｄｙ＝ｘ＋ｙ－ ２ｙ２
$ｄｔ
证明 ｘ＝０ 是系统 的轨线， 闭轨 若存在， 则 其 只
能在 ｘ＞０ 半平面中包围一个奇点（ １， １） 。
ｘ，ｙ）
$
（ ３）
%ｄｙ＝ｃｘ＋ｄｙ＋#（ ｘ，ｙ）
&ｄｔ
的奇点与对应的线性系统 （ １） 的奇点关系可由
下面两个定理得到。
定理 ２ （Ｐｅｒ ｒ ｏｎ 第一定理） 设系统（ ３） 中的 "（ ｘ，ｙ） 与 #（ ｘ，ｙ） 满足条件： （ ｉ） 在 奇 点 Ｏ（０， ０） 的 邻 域 内 有 连 续 的 一 阶 偏导数；
Ｄｕｌａｃ 判别 法 时 函 数 Ｂ（ｘ， ｙ）不 容 易 构 造 ， 相 比 较
而言有时用奇点有关理论来判断极限环不存在
要更简单一点。
参考文献： ［１］ 蔡燧林，钱祥征．常微分方程定性理论引论［Ｍ］．北京： 高等教育出版社， １９９４． ［２］ 张锦炎， 冯贝叶．常微分方程几何理论与分支问题（第二次修订本）［Ｍ］．北京： 北京大学出版社， ２００５． ［３］ 马知恩， 周义仓．常微分方程定性与稳定性方法［Ｍ］．北京： 科学出版社， ２００１． ［４］ 庄万．常微分方程习题解［Ｍ］．济南： 山东科学技术出版社， ２００３． ［５］ 周义仓， 靳祯， 秦军林．常微分方程及其应用［Ｍ］．北京： 科学出版社， ２００４．
第4讲 结构稳定与分支(岔)现象
当 mgl 2ka 2时，只有一个平衡点
如果m 选作为参量，平衡位置的 x 值记为 ，则临界参量为 2 m* 图4.5a 。2ka /( gl )
) 4.5b。 如果选 k 作为参量，则临界的参量为 k mgl /(2a ，图
* 2
图4.5参量变化与平 衡点∶a. 参量为 m； b. 参量为 k 。
1 x e 2 t 1 x
e 2 t 1 t x e2t 1 tht = th 2 1 2 t y x sech 2 2
4.1 一个大范围的结构稳定性定理
此时 ；当 t , y 0, x ；当 H1 1 4
t , y 0, x。这样的分型 1
方程(a)的首次积分为
x x H x
1 2 2 1 2 2 1 4
4
(c)
对应平衡点的首次积分值为 当
H1 0, H2,3 1 4
(d)
时，方程(a)的解可写为 H1 4 x asn(t , m)
4.1 一个大范围的结构稳定性定理
这里
2 2 2 2 2 ， 1 1 a , m a /(2 a ) 2
考虑下列的扰动系统
dx dy (4.2) x, y2 dt dt 0 其中 是实参数。当 0 时没有奇点；当 时，奇点为 (0,0)； 时，奇点 0 ) 为 (0, ), (0, 。这说明无论 多么小，系统 (4.2) 和对应的未扰动系统
则平衡点和其稳定性如图4.7所示。
图 4.6 例 4.4 装置
图 4.7 参量 变化与平衡点的稳定性
4.3
Hopf分支
我们考虑定理4.1中条件A遭到破坏的另一种形式∶系统奇点处的线性部分矩阵的 特征值不为零，但为一对纯虚数(图3.6中的情形)。 例4.5 考虑系统 及其扰动系统
课程教学大纲格式-重庆师范大学-数学学院
课程教学大纲(理论课)课程名称：稳定性理论适用专业：数学与应用数学课程类别：学科知识深化课程制订时间： 2006年8月数学与计算机科学学院制《稳定性理论》课程教学大纲（2002年制订，2006年修订）一、课程代码：0501142013二、课程类别：学科知识深化课程(选修)三、预修课程：数学分析、高等代数、常微分方程、矩阵论四、学分：3学分五、学时：54学时（其中实验部分8学时）六、课程概述：稳定性理论是数学与应用数学专业及信息与计算科学选修课程。
该理论由法国数学家H.poincave和俄国数学家A.M.Liapunov所共同开创。
其基本思想是放弃传统意义下的求解企图，直接根据微分方程本身的结构去探求解的性态。
它在工程技术、自动控制和卫星通讯等尖端领域以及现代物理、生物、化学、西方经济学等领域中有着广泛而重要的应用，是数学联系实际的一个重要分支。
本课程是不通过求解而直接从微分方程来研究其解的某些重要性态和轨线的全局结构。
它与数值求解法互有优势，相辅相成，也是进一步研究分支、浑沌等微分动力系统的基础，在非线性振动、控制、生命科学等领域中有着广泛的应用。
在定性分析部分将着重于平面系统的研究，通过奇点性态、极限环等学习，了解方程轨线的全局结构；稳定性部分主要介绍确定各种稳定性的一次近似系统法和Liapuov函数法。
利用李亚普诺夫第二方法判定简单方程组零解的稳定性等，则要求必须较好的掌握。
七、教学目的：通过本课程的学习，使学生了解和掌握常微稳定性理论和定性理论的基本思想，了解这一理论中最基本的概念、问题和方法，获取解决一些实际问题的必要的数学知识，为进一步学习和阅读该方向现代文献打下一定的入门基础。
八、学时分配表九、教学基本内容：第一章基本定理教学要求：一、理解常微分方程组的解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，并将该证明方法与picard迭代序列的逐次逼近法进行对比学习。
二、掌握解的延拓定理及延拓条件。
微分方程第5章.3 奇点
c 2 ( )t lim e 0 t c 1
即切线切
c 2 ( )t e 当 时 lim t c 1 即切线切 Y 轴趋于 (0, 0) 点。
X 轴趋于 (0, 0) 点。
且由于(5.3.)知此时原点 (0, 0) 是渐近稳定的， 所以系统在原点及附近的相图如下页图所示： 我们把这样的奇点称为稳定结点。
当
c1 , c2 0 时候，再分两种情况讨论： （1） , 同号且均为负数 ( p 0)
dy c 2 ( ) t e 当 t 时由 dx c1
当
（5.3.10） 这时消去 得 y cx 所以轨线均为以 (0, 0) 顶点的抛物线，且
t
时
c 不再是轨线 ， 1 0 时消去
dx dt x dy x y dt
(5.3.11)
y cx
x
t
得出： (5.3.13)
ln x
dy 1 y 1 1 x ln x dx x
dy 所以有 lim x 0 dx
化为:
这时系统的标准型为
dr dt r d . dt
(5.3.15)
（1） 0, ( p 0)
r (t ) r0e , (t ) t 0
其中 r0 , 0 是任意常数，消去
t
t得
r ce
t t
(5.3.8)
容易求出其通解为
x(t ) c1e , y (t ) c2e . （5.3.9） c 其中 c1 , c2是任意常数， 1 c2 0 对应于零解，
代数曲线奇点消去
代数曲线奇点消去一、引言在数学中，代数曲线是研究各种形状和形态的基础工具。
然而，这些复杂的图形往往包含一些特殊的点——奇点。
这些奇点可能是理解复杂方程的关键，但它们也可能导致许多问题，如数值不稳定性和几何不连续性等。
因此，消除或处理这些奇点的过程对于理解和应用代数曲线至关重要。
本文将探讨如何进行这种奇点消去的过程。
二、奇点的基本概念与类型首先，我们需要了解什么是代数曲线的奇点。
简单来说，一个点的阶数为零（即，它不是孤立的，而是由一系列其他点和线连接）时，这个点就是所谓的奇点。
常见的奇点包括多重奇点和单重奇点两种类型。
例如，分岔图中的临界点通常是多重奇点；而多项式函数在某些特殊点上的解则可能形成单重奇点。
三、奇点消去的策略与方法为了消除代数曲线上的奇点，我们通常需要找到一种方法来“压缩”或者“变形”曲线上的点，使其变得足够接近其它非奇异点，从而使得原有的奇异性消失。
这通常涉及到对原始的微分方程系统进行适当的变换和处理。
具体的方法可能会根据具体的数学模型和应用场景有所不同。
四、案例分析与应用以著名的费马猜想为例，它是关于一条给定直线与空间中的抛物曲面交于一点的问题。
通过对原问题的转换和处理，我们可以找到一种消除费马奇点的策略和方法。
同样的过程也适用于其他的数学模型和研究领域。
五、未来研究方向随着数学和计算机科学的不断发展，代数曲线奇点消去的研究将会有更多的机会和发展空间。
未来的研究可能集中在更复杂的模型和方法上，如非线性微分方程系统、几何拓扑理论、机器学习算法等。
同时，我们也需要开发更加精确和快捷的计算方法来处理这些问题。
六、应用领域代数曲线的奇点消去不仅在数学理论研究中有重要意义，也在许多实际应用中发挥着关键作用。
例如，在物理学中的粒子模拟、工程设计中的优化问题、计算机视觉中的图像识别等领域，都需要用到代数曲线和其奇点的知识。
通过消除或处理这些奇点，我们可以得到更准确、更有效的解决方案。
七、总结代数曲线上的奇点是理解和应用这些复杂图形的重要挑战之一。
扩充复平面上的奇点类型
扩充复平面上的奇点类型复平面上的奇点是数学中一种重要的概念，它不仅正在成为计算机科学中一种重要的概念，而且已经在自然科学中被普遍使用。
复平面上的奇点是一种特定的奇点，它表示在复平面上的某个点，这里所指的“点”是一个数学特殊函数中的特殊函数的特定的特定的参数值。
复平面上的奇点可以用来建立一些复平面上数学模型，而这些模型能够一定程度上更好地描述物理世界中的问题，以及理解计算机的工作原理。
复平面上的奇点有很多不同的类型，其中一种是“连续奇点”。
连续奇点是指复平面上的特定点，它们满足某种特定的函数方程，并且具有连续性。
连续奇点可以被用来建立复杂的函数模型，并且可以用来解决一些复杂的物理问题，比如力学的问题。
另一种复平面上的奇点类型是“数学奇点”。
数学奇点指的是在复平面上的特殊函数中的特定参数值，它们成为数学奇点，因为它们满足某种特定的特定函数方程，而且具有特殊的函数属性，这种特性使它们可能成为一种更完善的模型。
数学奇点可以用来建立一些复杂的数学模型，其中包括统计模型、分析模型，还有计算模型，并且可以用来解决计算机科学中复杂的问题。
此外，复平面上的奇点有一种叫做“复振荡奇点”的类型。
复振荡奇点是一种特定的复平面上的奇点，它们可以用来建立更为复杂的复振荡函数方程，这种复杂的复振荡函数可以用来描述复杂的物理系统，以及解决一些更复杂的数学问题。
以上三种类型的复平面上的奇点在计算机科学、物理科学和数学中都具有重要意义，它们能够用来建立一些更为复杂的函数模型，而这些模型可以帮助我们更好地理解物理世界中的问题，以及理解计算机的工作原理。
因此，研究如何扩充复平面上的奇点类型，是一项重要的任务。
一个可行的方法是利用混沌系统。
混沌系统是一种非常复杂的系统，它的复杂性使得它可以为复平面上的奇点附加一些新的属性。
例如，可以使用混沌系统来检测复平面上的某个点是否具有混沌性质，从而扩充复平面上的奇点类型。
此外，可以使用非线性动力系统来扩充复平面上的奇点类型。
平面奇点的定性理论
平面非线性系统的奇点分析（数学与应用数学）学生：张西 指导老师：杜正东摘 要: 本文主要讨论了平面非线性常微分方程组的奇点的定性性质，包括其类型和稳定性，以及系统的相图在奇点附近的拓扑结构。
总结了平面非线性系统奇点分析的一些方法和结果。
并将上述结果应用到了三次约化Kukles 系统。
关键词：奇点，鞍点，焦点，结点。
§1引言由常微分方程本身的结构来直接研究和判断解的性质，这是常微分方程定性理论的基本思想。
众所周知，常微分方程（组）大量存在于描述自然现象的数学模型中，它已成为自然科学和尖端技术，包括自动控制理论，航天技术生物技术，经济学等的研究中不可缺少的数学工具。
常微分方程的定性研究的目的是要搞清楚系统在相空间的轨道分布状况。
相对与高维系统来说，二维自治系统的情况更单纯，因为在平面上有Jordan 闭曲线定理即：任何R 2上的单闭曲线L 将R 2分成两部分——D 1和D 2,自D 1内任何一点到D 2内任何一点的连续路径必定与L 相交。
只有对奇点的性质的研究透彻，才能更好的对其他问题进行研究。
对于平面非线性系统的的定性分析，最重要的是研究一些特殊的轨道，如奇点（即平衡点）。
周期轨等，只要我们把一个系统在这些特殊轨道附近的状况分析清楚了，该系统的整体相图结构也就大致清楚了。
因此作为平面非线性分析的第一步，奇点分析是最简单，也是最基本的工作。
本文则主要讨论了平面非线性微分方程组的奇点的定型性质。
总结了平面非线性系统奇点分析的一些方法和结果。
§2平面线性系统的奇点分析定义：[奇点]设()dx F x dt= 若x 0∈R n 满足F(x 0)＝0，则x=x 0叫做方程的一个奇点。
给定一个平面非线性系统：(,)dx P x y dt =，(,)dy Q x y dt = 当（0,0）为奇点时，若P,Q 均二阶可微，则在（0,0）附近总可以用Taylor 展式展开表示为： 12()()dx ax by R xy dt dy cx dy R xy dt⎧=++⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩ 的形式，其中R 1(x,y),R 2(x,y)为高阶项，即:22(,)(0,0)(,)lim0()i x y R x y x y →=+ (1,2)i = , 自然想到在原点（0,0）附近的轨道分布是否和它的第一近似方程组:dx ax by dt dy cx dy dt⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ （2.1） 的相似，其中a,b,c,d 是实数，首先我们必须把平面线性系统在奇点附近的状况搞清楚。
4.1微分方程的奇点（李家春）
4.1微分⽅程的奇点（李家春）复习奇点函数奇异点与⽅程奇异点不同函数奇点分类极限⾓度级数⾓度解析点&可去奇点例sin(x)xlim级限存在且有限⽆负幂项\sum_{n=0}^{\infty}f_n\cdot(x-x_0)^n极点\frac {1}{{(x-x_0)}^2}\lim_{x \to x_0} f(x)=\infty有限个负幂项\sum_{n=-m}^{\infty}f_n\cdot(x-x_0)^nm阶极点\lim_{x \to x_0} f(x)(x-x_0)^m=A\lim_{x \to x_0} f(x)(x-x_0)^{m-1}=\infty最⼩次幂为-m(x-x_0)^{-m}\sum_{k=0}^{\infty}f_k（x-x_0)^k\sum_{k=0}^{\infty}f_k（x-x_0)^k是解析的why本性奇点x\rightarrow x_0,极限不存在e^{\frac 1 z},z\rightarrow0^+是⽆穷⼤；z\rightarrow0^+是0⽆穷个负项\sum_{-\infty}^{+\infty}f_n(x-x_0)^n枝点:w=\sqrt{z-a}z平⾯内⾛⼀圈，\omega平⾯内也⾛⼀圈z平⾯内绕着a⾛⼀圈，\omega平⾯只⾛半圈因为a是枝点⼀般地说，对于多值函数w=f（z），若在绕某点⼀周，函数值w不复原，⽽在该点各单值分⽀函数值相同，则该为多值函数的⽀点。
若当z绕⽀点n周，函数值w复原，便称该点为多值函数的n-1阶⽀点。
微分⽅程的奇点讨论⼀阶常微分⽅程y'(x) = F(x)y(x)\tag{4.1.1}有通解y = Ce^{\int F(\tau)d\tau}所以⽅程的解的性质被F(\tau)决定若F(x)在x_0的邻域|x-x_0|<R内解析，则有泰勒展开F(x) = \sum\limits_{n=0}^\infty F_n(x-x_0)^n则，解可以写作y = C\exp \left(\sum_{n=0}^\infty \frac{F_n(x-x_0)^{n+1}}{n+1}\right)逐项积分得到它亦是x_0的邻域x_0的邻域|x-x_0|<R内的解析函数，这时，我们称x_0为微分⽅程（4.1.1）的正常点（ordinary point）.若x_0为函数 F（x）的⼀阶极点，即 F（x）在x_0点附近可表达为∶F(x)=\frac{1}{x-x_{0}} \sum_{n=0}^{\infty} F_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n}F(x)展开为洛朗级数\sum_{n=-1}^{\infty}\frac {c_n}{(x-x_0)^n}乘以\frac{x-x_0}{x-x_0}求和号⾥-1项就没了这时，⽅程的解为y=c\left(x-x_{0}\right)^{F_{0}} \exp \left[F_{1}\left(x-x_{0}\right)+\frac{F_{2}}{2}\left(x-x_{0}\right)^{2}+\cdots\right]\begin{align} y&=Ce^{\int F(t)dt} \\&=Ce^{\int{\frac 1 {x-x_0}\sum_{n=0}^{\infty}\quad (x-x_0)^n}d(x-x_0)} \\&=Ce^{[\int \frac{F_0}{x-x_0}+F_1+F_2(x-x_0)^1+\dots] d(x-x_0)} \\&=Ce^{[F_0\ln (x-x_0)+F_1(x-x_0)+\frac 1 2 F_2(x-x_0)^2+\dots]} \\&=Ce^{F_0\ln (x-x_0)}e^{[F_1(x-x_0)+\frac 1 2 F_2(x-x_0)^2+\dots]} \\&=C(x-x_0)^{F_0}e^{[F_1(x-x_0)+\frac 1 2 F_2(x-x_0)^2+\dots]} \end{align}除了F_0为正整数外，x_0点是⽅程（4.1.1）解的极点或⽀点，这时，我们称X_0为微分⽅程（4.1.1）的正则奇点（regular singular point）. 请注意，在正则奇点邻域内依然可以有解析解，譬如F_0为正整数的情形.F_0为负整数，x_0是极点。
常微基地第二十五讲101214
第二十五讲 101214主要内容:1． 初等奇点的分类讨论 2． 初等奇点的分类定理 3． 线性化原理的结果1. 初等奇点的分类讨论考虑线性方程组:⎪⎩⎪⎨⎧+=+=22212122121111x a x a dtdxx a x a dt dx (25.1) 注1. 其解结构(积分曲线族已研究清楚) 现研究其局部轨线结构. ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛020121x x e x x t A 对任何矩阵, 存在非异方阵⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=22211211a aa a A P , 使得 . 其中约当矩阵为: J PAP =−1J (1) 单根: ; (2) 重根: ; (3) 复根: . ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=210λλJ ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=λλ10J ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=αββαJ 作可逆线性变换: , 则 ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛ηξP x x 21 ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛ηξηξAP x x A dt dx dt dx dt d dt d P 2121 ⇒ ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛−ηξηξηξJ AP P dt d dt d 1. (25.2) 1) 单根 ⎟⎟: 此时02⎠⎞⎜⎜⎝⎛=210λλJ 1≠⋅λλ (初等奇点: ==A q det )021≠⋅λλ. 则线性方程组(25.2)为:⎪⎩⎪⎨⎧==ηληξλξ21dtd dt d 积分曲线族: ⇒1200()()t tt e t e λλξξηη⎧=⎨=⎩;轨线方程:21d d ληηξλξ=⋅ 轨线族: ⇒21,0c λληξξ=≠; 0ξ=. 讨论:(1) 若12λλ= (相同根), 此时轨线族为射线族: c ηξ=; 图示;注 2. 轨线族走向根据积分曲线或者方程组(25.2)确定, 此类奇点称为星形结点(奇结点, 或临界结点); 120λλ=<, 渐近稳定; 120λλ=>, 不稳定.(2)12λλ≠, 且120λλ⋅> (同号不相等), 此时轨线族: 21,0c c λλαηξξα==>,0ξ≠;0ξ=; 这是以(0为顶点的,0)α次抛物线, 当1α>时, 它们与ξ轴相切; 当1α<时, 它们与η轴相切; 图示; 注3.1α> ⇔2|||1|λλ>; 若 210λλ<<; 或 102λλ<<, 与ξ轴相切, 前者渐近稳定;后者不稳定;1α< ⇔1|||2|λλ>; 若 120λλ<<; 或 201λλ<<, 与 η轴相切, 前者渐近稳定; 后者不稳定, 此类奇点称为双向结点(正常结点).注4. 与ξ轴相切的稳定双向结点的图示; 与 η轴相切的不稳定双向结点的图示. (3)12λλ≠, 且120λλ⋅< (异号特征根), 此时轨线族: 21,0c c λλαηξξα==<,0ξ≠;0ξ=; 这是以(0为顶点的,0)α次双曲线族, 除0ξ=, 0η=为射线外, 其余都是以0ξ=, 0η=为渐近线的α次双曲线族. 此类奇点统称为鞍点.注5. 120,0λλ<>的图示; 120,0λλ><的图示.2) 重根: , 此时 ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=λλ10J 12λλλ==, Jordan 矩阵为2阶, 且0λ≠ (初等奇点: .==A q det 20)λ≠此时线性方程组(25.2)为:d dtd dtξλξηξλη⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩. ⇒ 积分曲线族: 000()()()ttt e t t e λλξξηξη⎧=⎨=+⎩; 轨线方程:1d d ηηξλξ=+ 轨线族: ⇒ln ||,0c ξηξξξλ=+≠; 0ξ=. 其轨线图为: 与 η轴相切, 穿越 ξ轴一次. 0λ<, 渐近稳定; 0λ>, 不稳定.图示:此类奇点称为单向结点(退化结点). 注6. 若Jordan 矩阵 10J λλ⎛⎞=⎜⎝⎠⎟, 则轨线图与 ξ轴相切, 穿越 η轴一次. 0λ<, 渐近稳定; 0λ>, 不稳定. 细节留给同学.3) 复根: ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=αββαJ 0β≠. 则线性方程组(26.2)为:d dtd dtξαξβηηβξαη⎧=+⎪⎪⎨⎪=−+⎪⎩. 引入极坐标 cos sin r r ξθηθ=⎧⎨=⎩, 则 d d dr r dt dt dt ξηξη+=; 2d d d r dt dt dt ηξθξη−=(细节留给同学推导), 于是原方程组(25.2)在极坐标系下为:drr dtd dtαθβ⎧=⎪⎪⎨⎪=−⎪⎩ 积分曲线族: ⇒12()()t r t c e t t c αηβ⎧=⎨=−+⎩10c ≥, ; 轨线方程:dr r d αθβ=− 轨线族: ⇒r ce αθβ−=;讨论:若0α≠, 其轨线图为对数螺旋线; 又分4种小情况:(1) 0,0αβ>>(0α>⇒()0r t ′>⇒()r t 单调增 不稳定; ⇒0β>⇒()0t θ′<⇒()t θ单调减 顺时针方向);⇒(2) 0,0αβ>< (单调增 不稳定; 逆时针方向); ()r t ⇒(3) 0,0αβ<>; (单调减 渐近稳定; 顺时针方向); ()r t ⇒(4) 0,0αβ<<(单调减 渐近稳定; 逆时针方向). ()r t ⇒图示: 注7.α决定轨线稳定性, β决定旋转方式顺时针或者逆时针; 两者决定对数螺旋的螺旋方式.此类奇点称为焦点.若0α=, 属于纯虚根情况. 此时, 轨线族 ()r c θ≡; 其轨线图为同心圆. 又分2种小情况: (1) 0,0αβ=>; 轨线图为同心圆, 顺时针方向. 稳定但不吸引, 即不渐近稳定; (2) 0,0αβ=<; 轨线图为同心圆, 逆时针方向. 稳定但不吸引, 即不渐近稳定. 此类奇点称为中心. 其特征: 中心附近的轨线是闭轨, 但非孤立闭轨.2. 初等奇点的分类定理定理25.1 (按特征根分类) 如果二维线性方程组(25.1)的奇点是初等奇点(), 则 0q ≠1) 若0q <(120λλ⋅<), 则奇点是鞍点, 总是不稳定;2) 若0q > 且0q −>(同号不相等单根); 即1224p Δ=λλ≠, 且120λλ⋅>, 则奇点是双向结点(正常结点). 若特征根小于零, 渐近稳定; 若特征根大于零, 不稳定;3) 若0q > 且0q −=(重根); 即1224p Δ=λλ=, 此时, 如果约当矩阵为一阶0, 则奇点是星形结点; 如果约当矩阵为二阶 ⇔1221a a ==⇔ 120a ≠或210a ≠, 则奇点是单向结点. 若特征根小于零, 渐近稳定; 若特征根大于零, 不稳定; 4) 若0q > 且0q Δ=−<(复根), 此时,24p 1,22pλ=−±如果, 即0p ≠0α≠, 奇点是焦点;若0(0)p α><, 渐近稳定; 若0(0)p α<>, 不稳定; 如果, 即0p =0α=, 奇点是中心; 稳定但不渐近稳定.注8. 112212()(())p trA a a λλ=−=−+=−+12det ()q A ; λλ==⋅.注9 几何图示 (p 平面): 因为q −24p q Δ=−的符号决定特征根的性质, 所以为分界线.24p q Δ=−=02例25.1 判定方程组 11221225x x x x x x ′=+⎧⎨′=−+⎩奇点的类型和相应的稳定性 解: 因为, ,1225A ⎛⎞=⎜⎟−⎝⎠1122()p trA a a =−=−+=−612det 9025q A ===>−, 且 , 所以奇点是星形结点或者单向结点; 又, 故奇点是单向结点. 又24p q Δ=−=061220a =≠2p λ=−=−(重根), 0λ⇒> (亦可利用图),所以奇点是不稳定的单向结点. p q −例25.2 判定方程组 112132x x 2x x x ′=⎧⎨′=+⎩奇点的类型和相应的稳定性 解: 因为, , 所以奇点不稳定; 3021A ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠1122()p trA a a =−=−+=−430det 3021q A ===>, 且 , 所以奇点是不稳定的双向结点.244p q Δ=−=>022例25.3 判定方程组 11213x x x x x x ′=−−⎧⎨′=−⎩奇点的类型和相应的稳定性.解: 因为1113A −−⎛⎞=⎜⎟−⎝⎠, 11det 4013q A −−===>−, 且 24p q 0Δ=−=, 所以奇点是星形结点或者单向结点; 又1210a =−≠, 故奇点是单向结点.1122()24p trA a a 0λ=−=−+=−=>(重根), 0λ⇒<, 所以奇点是稳定的单向结点.3. 线性化原理的结果若原方程组为⎪⎩⎪⎨⎧++=++=),(),(21222212122112121111x x R x a x a dtdxx x R x a x a dt dx (25.3) 其中)0,0(jij i x f a ∂∂=, . 而连续可微, 满足: , 且存在2,1,=j i ),(21x x R i (0,0)0i R =00ε>使得120121(,)(0,0)22212||(,)||lim0()i x x R x x x x ε→+=+. (25.4)其线性化方程组为:⎪⎩⎪⎨⎧+=+=22212122121111x a x a dtdxx a x a dt dx (25.5)补充定理: 在矩阵()j i a A =非奇异情况下, 如果满足上述条件(25.4), 并且线性化方程组(25.5)的特征根没有零实部(即排除中心情况), 则原方程组(25.3)与其线性化方程组(25.5)的奇点类型相同, 并且有相同的稳定性. ),(21x x R i例25.4求方程组 2112222sin 1x 1x x x x x x e ′=++⎧⎨′=−−⎩的奇点, 并确定它的类型和相应的稳定性. 解: (1) 求奇点: 212122sin 010x x x x x e ++=⎧⎨−−=⎩⇒2 唯一奇点. (0,0)(2) 判别奇点类型:其线性化方程组为:112222x x x x x ′=+⎧⎨′=−⎩. 因为 , 所以线性化方程组的奇点是鞍点, 不稳定. det 40q A ==−< 由于120121(,)(0,0)22212|(,)|lim0()i x x R x x x x ε→+=+,其中 2111121(,)(1)(21)!n nn x R x x n +∞==−+∑; 22122(,)!n n x R x x n ∞==∑. 由补充定理知: 原方程组的奇点仍然是鞍点, 它不稳定.(0,0)注10. 有关奇点的初步介绍暂时到此为止. 例如线性化方程组奇点是中心, 加上扰动(25.4)后情况的讨论, 即所谓的中心焦点问题; 高阶奇点等问题都没有涉及. 高维() 相应问题的研究; 分支问题都是当今定性理论研究的热点. 2n >作业 P.136 一.。
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平面线性系统的初等奇点
（4.1.1）
考虑到一般的 平面线性系统
其中 如果 则称
为常数矩阵 。 ，则 是系统
的惟一的奇点，这个奇点称为孤立奇点.而 非为孤立奇点,而非孤立奇点充满一条直线， 这时的奇点称为系统的高阶奇点 系统的高阶奇点。 系统的高阶奇点
下边讨论系统（4.1.1）的初等奇点。 根据线性代数的理论，必定存在非奇异 实矩阵 ，使得 成为 的若当
临界结点（星形结点） 临界结点（星形结点）.
(2)若Jordan块为二阶时， (2)若Jordan块为二阶时，标准型为 块为二阶时
(4.1.8) 其通解为 (4.1.9) 仍对应的是零件即奇点 对应的是 不再是轨线 ， 轴为轨线，但是 得出： 轴 时消去
(4.1.10) 由上式知： 又因为 所以有 因此所有轨线均切 称为退化结点 。且当 退化结点 当 轴于 点，这种奇点 时为稳定的退化结点，
设
的特征方程为：
记 则特征方程为 ，特征根为 (4.1.3) 由特征根的不同情况分为四种情况来讨论:
1. 特征根为不相等的同号实根 此时对应的标准型为 (4.1.4) 容易求出其通解为 （4.1.5） 对应于零解， 轴正负半轴是轨线；
其中
是任意常数， 对应的 对应的
轴正负半轴都是轨线；
当
时候，再分两种情况讨论：
（1）， 这时消去
同号且均为负数 得 （4.1.6） 顶点的抛物线，且
所以轨线均为以 当 当 即规线切 当 即轨线切 时 轴趋于 时由 时 轴趋于
点。
点。
且由于(4.1.6)知此时原点
是渐近稳定的，
所以系统在原点及附近的相图如下图所示：
图4.1(a)
图4.1(b)
我们把这样的奇点称为稳定结点 稳定结点。 稳定结点
时为不稳定的退化结点。
退化结点
4. 这时系统的标准型为
(4.1.11)
取极坐标变换
,(4.1.11)即化为:
(4.1.12)
下边分两种情况讨论:
（1） ） 此时解(4.1.12)得出
其中
是任意常数，消去
得
这是一族对数螺线，这样的奇点称为焦点 焦点， 焦点 且当 时是稳定焦点， 时是不稳定焦点，
例 4.1 判断下面系统的奇点类型并作出相图。
dx dt = −2 x − y dy = 4 x − 7 y dt
解:由定义知 p = 9 > 0, q = 18 > 0,△= 9 > 0 ，所以 奇点 (0,0) 稳定结点，为了确定轨线进入原点 的方向，令 K = y ' 为轨线的切线斜率。由方程 知必满足 dy 4 x − 7 y 4 − 7 K y K= = = 当x → 0, y → 0时 → K dx −2 x − y −2 − K x
（Jordan）标准型，且若当标准型的形式由 的特征根的不同情况而具有以下几种形式：
因而对系统（4.1.1）作变换 即 ，其中
是上边所说的实可逆矩阵，则系统 (4.1.1)变为: (4.1.2) 从 而变换的几种形式就能容易的得出
平面系统（4.1.2）的轨线结构，至于 原方程组(4.1.1)的奇点及附近的轨线结构只须 返回到就行了。 用变换 由于变换 不改变奇点的位置与类 型 ，因此我们只对线性系统的标准方程组给出 讨论。
= 4x < 0
在 y 轴的正半轴上
dx dt
x =0 y >0
dy = − y < 0, dt
x =0 y >0
= −7 y < 0
在 y 轴的负半轴上
dx dt
x =0 y <0
dy = − y > 0, dt
x =0 y <0
= −7 y > 0
所以分析得出轨线切 y = x 进入 (0,0) 相图见图4.3。
的
化结点,且 定的；
Hale Waihona Puke 是稳定的，4)当 为稳定的， 5)当 由此知道参数 及曲线 且
时是 时， 平面，被
焦点且 是中心。 轴，正 轴
为不稳定的;
分成了几个区域，分
别对应于系统的鞍点区，焦点区，结点区， 中心区，退化和临界结点区等等， 但是 点。 平面的 轴对应的是系统的高阶奇
奇点类型和稳定性在参数p 奇点类型和稳定性在参数p-q平面的分类示意图
轨线均以
轴
轴为渐近线，系统在原点及
附近的轨线分布如:
图4.2(a)
图4.2(b)
这种奇点称为鞍点 鞍点，它是不稳定奇点。 鞍点
3 .
为重根
这时由Jordan块的不同分为两种： (1) 标准型为 (4.1.7) 且当 时，
即
是渐近稳定的； 时 为不稳定的。此时的
反之，当
奇点称为临界结点 星形结点 临界结点（星形结点 临界结点 星形结点）.
解之得
即轨线切 y = x 或 y = 4 x 进入奇点。 在 x 轴的正半轴上
K 1 = 1, K 2 = 4
，
dx dt
y =0 x >0
dy = −2 x < 0, dt
y =0 x >0
= 4x > 0
在 x 轴的负半轴上
dx dt
y =0 x <0
dy = −2 x > 0, dt
y =0 x <0
的正负决定了 增加时轨线是顺时针还是逆 时针绕原点旋转的。
稳定焦点和不稳定焦点
(2) 这时特征值是一对纯虚数, 于是系统在极坐标下的通 解为：
为任意的常数且
。显然这是一族以原点
为中心的同心圆，这样的奇点称为中心 中心， 中心 中心是稳定奇点但不是渐近稳定的。
归纳上边的讨论得出，系统(4.1.1)的奇点 是初等奇点时候根据它的系数矩阵 特征方程(4.1.3)有如下分类： 1）当 2）当 定的， 3)当 且 时， 且 为鞍点； 时是结点且 不稳定的； 时 是临界结点或退 是不稳 是稳
（2）， 改为
同号均为正数 所以此时的奇点称为不稳定结点，
这时关于(1)的讨论在此适用只需将 轨线分布如图4.1类似，仅是图上的箭头反向。 2. 为异号实根 这时仍有(4.1.5)和(4.1.6)，所以两个坐标轴的 正负半轴仍为轨线，但是由于 的轨线成为双曲型的,且若 则当 若 时， ，则当 时， ，奇点附近
图 4.3
例4.1.6 画出下面的线性系统的奇点附近相图
解: 容易算出
所以
是系统的鞍点。
我们求解如下：
(当 得到
时
)
.同样的可以分析画出奇点附
近的轨线分布如图4.4所表示。
图4.4