(江苏专用)2016高考数学二轮复习 专题七 第2讲 矩阵与变换课件 理(选做部分)
高三数学理 江苏专用大二轮专题复习与增分策略专题七 第2讲
第2讲矩阵与变换【高考考情解读】本讲从内容上看，主要考查二阶矩阵的基本运算，考查矩阵的逆运算及利用系数矩阵的逆矩阵求点的坐标或曲线方程等．从形式上看，以解答题为主，本节知识是高考中数学教材和高等数学教材的接轨知识，一般以基础题目为主，难度不大．又经常与其他知识结合，在考查基础知识的同时，考查转化与化归等数学思想，以及分析问题、解决问题的能力．分值为10分．1．矩阵乘法的定义一般地，我们规定行矩阵[a11，a12]与列矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤b11b21的乘法规则为[a11，a12]⎣⎢⎡⎦⎥⎤b11b21＝[a11b11＋a12b21]，二阶矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤a bc d与列矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy的乘法规则为⎣⎢⎡⎦⎥⎤a bc d⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ax＋bycx＋dy.说明：矩阵乘法MN的几何意义为对向量的连续实施的两次几何变换(先T N后T M)的复合变换．一般地，对于平面上的任意一个点(向量)(x，y)，若按照对应法则T，总能对应惟一的一个平面点(向量)(x′，y′)，则称T为一个变换，简记为T：(x，y)→(x′，y′)或T：⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy→⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′.2．几种常见的平面变换(1)恒等变换；(2)伸缩变换；(3)反射变换；(4)旋转变换；(5)投影变换；(6)切变变换．3．矩阵的逆矩阵(1)逆矩阵的有关概念对于二阶矩阵A，B，若有AB＝BA＝E，则称A是可逆的，B称为A的逆矩阵．若二阶矩阵A存在逆矩阵B，则逆矩阵是唯一的，通常记A的逆矩阵为A－1，A－1＝B.(2)逆矩阵的求法一般地，对于二阶可逆矩阵A＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a bc d(ad－bc≠0)，它的逆矩阵为A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤dad－bc－bad－bc－cad－bcaad－bc.(3)逆矩阵的简单性质①若二阶矩阵A ，B 均存在逆矩阵，则AB 也存在逆矩阵，且(AB )－1＝B －1A －1. ②已知A ，B ，C 为二阶矩阵，且AB ＝AC ，若矩阵A 存在逆矩阵，则B ＝C . (4)逆矩阵与二元一次方程组对于二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝m ，cx ＋dy ＝n(ad －bc ≠0)，若将X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 看成是原先的向量，而将B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m n 看成是经过系数矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d (ad －bc ≠0)对应变换作用后得到的向量，则可记为矩阵方程AX ＝B ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m n ，则X ＝A －1B ，其中A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d ad －bc －b ad －bc －c ad －bc a ad －bc .4． 二阶矩阵的特征值和特征向量(1)特征值与特征向量的概念设A 是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使得Aα＝λα，那么λ称为A 的一个特征值，而α称为A 的一个属于特征值λ的一个特征向量． (2)特征向量的几何意义特征向量的方向经过变换矩阵A 的作用后，保持在同一条直线上，这时特征向量或者方向不变(λ>0)，或者方向相反(λ<0)，特别地，当λ＝0时，特征向量就被变成了零向量． (3)特征多项式 设λ是二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d 的一个特征值，它的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 满足二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ ax ＋by ＝λx ，cx ＋dy ＝λy ，故⎩⎪⎨⎪⎧(λ－a )x －by ＝0，－cx ＋(λ－d )y ＝0.(*)由特征向量的定义知α≠0，因此x ，y 不全为0，此时D x ＝0，D y ＝0，因此，若要上述二元一次方程组有不全为0的解，则必须有D ＝0，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝0.定义：设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd 是一个二阶矩阵，λ∈R ，我们把行列式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝λ2－(a ＋d )λ＋ad －bc . 称为A 的特征多项式． (4)求矩阵的特征值与特征向量如果λ是二阶矩阵A 的特征值，则λ一定是二阶矩阵A 的特征多项式的一个根，它满足f (λ)＝0.此时，将λ代入二元一次方程组(*)，就可以得到一组非零解⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，于是，非零向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤x0y0即为A的属于λ的一个特征向量.考点一常见矩阵变换的应用例1已知矩阵A＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1011，B＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0232.(1)求满足条件AM＝B的矩阵M；(2)矩阵M对应的变换将曲线C：x2＋y2＝1变换为曲线C′，求曲线C′的方程．解(1)设M＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a bc d，AM＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1011⎣⎢⎡⎦⎥⎤a bc d＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ba＋c b＋d＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0232，得⎩⎪⎨⎪⎧a＝0，a＋c＝3，b＝2，b＋d＝2，∴a＝0，b＝2，c＝3，d＝0.∴M＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0230.(2)设曲线C上任意一点P(x，y)在矩阵M对应的变换作用下变为点P′(x′，y′)，则M⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0230⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2y3x＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′，∴⎩⎪⎨⎪⎧2y＝x′，3x＝y′，即⎩⎨⎧y＝x′2，x＝y′3，代入曲线C：x2＋y2＝1，得(x′2)2＋(y′3)2＝1.∴曲线C′的方程是x24＋y29＝1.求曲线经过二阶矩阵变换的方法步骤曲线f(x，y)＝0经过二阶矩阵变换，得曲线g(x，y)＝0，求曲线g(x，y)的一般步骤为：(1)取曲线f (x ，y )＝0上的任意一点A (x ，y )； (2)A (x ，y )通过二阶矩阵变换得A ′(x ′，y ′)；(3)用x 表示x ′，y 表示y ′代入f (x ，y )＝0，得g (x ′，y ′)＝0； (4)g (x ′，y ′)＝0用x 代替x ′，y 代替y ′，得g (x ，y )＝0，即为所求．(2013·福建)已知直线l ：ax ＋y ＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 1对应的变换作用下变为直线l ′：x ＋by ＝1. (1)求实数a ，b 的值；(2)若点P (x 0，y 0)在直线l 上，且A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，求点P 的坐标． 解 (1)设直线l ：ax ＋y ＝1上任意点M (x ，y )在矩阵A 对应的变换作用下的象是M ′(x ′，y ′)．由⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋2y y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ＋2y ，y ′＝y . 又点M ′(x ′，y ′)在l ′上，所以x ′＋by ′＝1，即x ＋(b ＋2)y ＝1，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＋2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1.(2)由A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 0＋2y 0，y 0＝y 0，解得y 0＝0. 又点P (x 0，y 0)在直线l 上，所以x 0＝1. 故点P 的坐标为(1,0)． 考点二 求二阶矩阵的逆矩阵 例2 设矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 00b (其中a >0，b >0)．(1)若a ＝2，b ＝3，求矩阵M 的逆矩阵M －1； (2)若曲线C ：x 2＋y 2＝1在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到曲线C ′：x 24＋y 2＝1，求a ，b 的值．解 (1)设矩阵M 的逆矩阵M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1 y 1x 2 y 2，则MM －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1. 又M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 3，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1 y 1x 2 y 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1. 所以2x 1＝1,2y 1＝0,3x 2＝0,3y 2＝1， 即x 1＝12，y 1＝0，x 2＝0，y 2＝13，故所求的逆矩阵M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 0 0 13.(2)设曲线C 上任意一点P (x ，y )，它在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到点P ′(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 00 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，即⎩⎪⎨⎪⎧ax ＝x ′，by ＝y ′. 又点P ′(x ′，y ′)在曲线C ′上，所以x ′24＋y ′2＝1.则a 2x 24＋b 2y 2＝1为曲线C 的方程．又已知曲线C 的方程为x 2＋y 2＝1，故⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.又a >0，b >0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.求逆矩阵的常见方法(1)待定系数法设A 是一个二阶可逆矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，AB ＝BA ＝E ；(2)公式法|A |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，有A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d |A |－b |A |－c |A | a |A |， 当且仅当|A |≠0；(3)利用逆矩阵的性质(AB )－1＝B －1A －1.(2013·江苏)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10 0 2，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤120 6，求矩阵A －1B .解 设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1， 即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a －b 2c 2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1 故a ＝－1，b ＝0，c ＝0，d ＝12，从而A 的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 12， 所以A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 6＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 －2 0 3.考点三 求矩阵的特征值与特征向量例3 已知二阶矩阵M 有特征值λ＝8及对应的一个特征向量e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，并且矩阵M 对应的变换将点(－1,2)变换成(－2,4)． (1)求矩阵M ；(2)求矩阵M 的另一个特征值，及对应的一个特征向量e 2的坐标之间的关系； (3)求直线l ：x －y ＋1＝0在矩阵M 的作用下的直线l ′的方程． 解 (1)设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝8⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤88，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝8，c ＋d ＝8.⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 4，故⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2b ＝－2，－c ＋2d ＝4.联立以上两方程组解得a ＝6，b ＝2，c ＝4，d ＝4， 故M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤6 24 4.(2)由(1)知，矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－6 －2 －4 λ－4＝(λ－6)(λ－4)－8＝λ2－10λ＋16，故其另一个特征值为λ＝2.设矩阵M 的另一个特征向量是e 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则Me 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤6x ＋2y 4x ＋4y ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，解得2x ＋y ＝0. (3)设点(x ，y )是直线l 上的任一点，其在矩阵M 的变换下对应的点的坐标为(x ′，y ′)， 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤6 24 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，即x ＝14x ′－18y ′，y ＝－14x ′＋38y ′，代入直线l 的方程后并化简得x ′－y ′＋2＝0，即x －y ＋2＝0.求特征值和特征向量的方法(1)矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 的特征值λ满足(λ－a )(λ－d )－bc ＝0，属于λ的特征向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 满足M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y .(2)求特征向量和特征值的步骤：①解f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝0得特征值； ②解⎩⎪⎨⎪⎧(λ－a )x －by ＝0，－cx ＋(λ－d )y ＝0⇔(λ－a )x －by ＝0，取x ＝1或y ＝1，写出相应的向量．求矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3652的特征值与属于每个特征值的一个特征向量．解 矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－3 －6－5 λ－2， 令f (λ)＝0得，λ2－5λ－24＝0，∴λ1＝8，λ2＝－3为矩阵A 的两个特征值．①当λ1＝8时，解相应线性方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x －6y ＝0，－5x ＋6y ＝0，可任取一解如⎣⎢⎡⎦⎥⎤65，得λ＝8的特征向量ξ1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤65.②当λ2＝－3时，解相应线性方程组⎩⎪⎨⎪⎧－6x －6y ＝0，－5x －5y ＝0.可任取一解⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1，得λ＝－3的特征向量ξ2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1.1． 在解决通过矩阵进行平面曲线的变换问题时，变换矩阵可以通过待定系数法解决，在变换时一定要把变换前后的变量区别清楚，防止混淆．2． 对于二阶矩阵，要能够熟练地根据常见的几种变换的坐标形式和矩阵形式相互转化的规则，直接指明对应的变换．3． 对于常见的变换，要能够根据前后的图形中的点的坐标变换规律准确写出变换矩阵． 4． 对于二阶矩阵A 而言，至多有两个特征值，将特征值λ代入Aα＝λα，即可求得对应的特征向量α.5． 关于特征值与特征向量的讨论与矩阵变换性质、矩阵的乘积、行列式以及线性方程组的解等有密切的联系，或说是所学知识的一个综合运用.1． 已知点A 在变换T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋2y y 作用后，再绕原点逆时针旋转90°，得到点B .若点B 的坐标为(－3,4)，求点A 的坐标． 解 变换T 对应的矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 1，∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 2. 设A (a ，b )，由题意得⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 4，即⎩⎪⎨⎪⎧ －b ＝－3，a ＋2b ＝4.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝3，即A (－2,3)． 2． 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 －3－1 －1，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 1.(1)求(AB )－1.(2)求直线2x ＋y －5＝0在(AB )－1对应变换作用下的直线方程．解 (1)AB ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1 －3－1 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －1－1 －3， 又|AB |＝－3－1＝－4，∴(AB )－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤34 －14－14－14. (2)设P (x 0，y 0)是直线2x ＋y －5＝0上任一点，P ′(x ，y )是在变换作用下点P 的象，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝(AB )－1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤34 －14－14 －14⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0.∴⎩⎨⎧x ＝34x 0－14y 0，y ＝－14x 0－14y 0.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x －y ，y 0＝－x －3y .代入直线方程2x＋y－5＝0，得2(x－y)－(x＋3y)－5＝0，即x－5y－5＝0，即为所求的直线方程．(推荐时间：60分钟)1．求满足X⎣⎢⎡⎦⎥⎤2312＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32－11的二阶矩阵X.解设X＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a bc d，由于⎣⎢⎡⎦⎥⎤a bc d⎣⎢⎡⎦⎥⎤2312＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2a＋b3a＋2b2c＋d3c＋2d＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32－11，则⎩⎪⎨⎪⎧2a＋b＝3，3a＋2b＝2，2c＋d＝－1，3c＋2d＝1得a＝4，b＝－5，c＝－3，d＝5，故X＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4－5－35.2．双曲线x25－y24＝1的右焦点为F，矩阵A＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0210，B＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1003，求点F在矩阵BA对应的变换作用下的象F′.解BA＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1003⎣⎢⎡⎦⎥⎤0210＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0230，∴(BA)⎣⎢⎡⎦⎥⎤3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0230⎣⎢⎡⎦⎥⎤3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤09.即F′的坐标为(0,9)．3．求函数y＝x2在矩阵M＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 014变换作用下的结果．解任选曲线y＝x2上一点(x，y)，它在变换T M作用下变为(x′，y′)，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1014⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x14y＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′⇒x ＝x ′， y ＝4y ′，代入y ＝x 2，得y ′＝14x ′2，即y ＝14x 2. 4． (2012·江苏)已知矩阵A 的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14 3412 －12，求矩阵A 的特征值． 解 因为A －1A ＝E ，所以A ＝(A －1)－1.因为A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14 3412 －12，所以A ＝(A －1)－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 32 1， 于是矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 －3－2 λ－1＝λ2－3λ－4. 令f (λ)＝0，解得A 的特征值λ1＝－1，λ2＝4.5． 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 1，向量β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12.求向量α，使得A 2α＝β. 解 A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 24 3. 设α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，由A 2α＝β，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 24 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12， 从而⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋2y ＝1，4x ＋3y ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝2.所以α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2. 6． 已知变换S 把平面上的点A (3,0)，B (2,1)分别变换为点A ′(0，3)，B ′(1，－1)，试求变换S 对应的矩阵T .解 设T ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a c b d ， 则S ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤30→⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a c b d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤30 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3a 3b ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤03，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ＝1；S ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤21→⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a c b d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2a ＋c 2b ＋d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1d ＝－3，综上可知，T ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 －3. 7． 已知曲线C ：xy ＝1，将曲线C 绕坐标原点逆时针旋转45°后，求得到的曲线C ′的方程．解 设P (x 0，y 0)是曲线C ：xy ＝1上的任一点，点P (x 0，y 0)在旋转变换后对应的点为P ′(x ′0，y ′0)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0′y 0′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 45° －sin 45°sin 45° cos 45°⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22－222222⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22x 0－22y 022x 0＋22y 0 ∴⎩⎨⎧ x ′0＝22x 0－22y 0，y ′0＝22x 0＋22y 0，∴⎩⎨⎧ x 0＝22(x ′0＋y ′0)，y 0＝22(y ′0－x ′0).又x 0y 0＝1，∴22(y ′0＋x ′0)×22(y ′0－x ′0)＝1. ∴y ′20－x ′20＝2，即曲线C ：xy ＝1旋转后所得到的曲线C ′的方程为：y 2－x 2＝2.8． 在直角坐标系中，已知△ABC 的顶点坐标为A (0,0)、B (1,1)、C (0,2)，求△ABC 在矩阵MN 作用下变换所得到的图形的面积，其中M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤011 0，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0. 解 由在矩阵线性变换下的几何意义可知，在矩阵N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0作用下，一个图形变换为其绕原点逆时针旋转90°得到的图形；在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0作用下，一个图形变换为与之关于直线y ＝x 对称的图形，因此，△ABC 在矩阵MN 作用下变换所得到的图形与△ABC 全等，从而其面积等于△ABC 的面积，即为1.9． 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1a 1，其中a ∈R ，若点P (1,1)在矩阵A 的变换下得到点P ′(0，－3)． (1)求实数a 的值；(2)求矩阵A 的特征值及特征向量．解 (1)由题意得⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－3， 所以a ＋1＝－3，所以a ＝－4.(2)由(1)知A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －1－4 1， 令f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 1 4 λ－1＝(λ－1)2－4＝0. 解得A 的特征值为λ＝－1或3.当λ＝－1时，由⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋y ＝04x －2y ＝0得矩阵A 的属于特征值－1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12， 当λ＝3时，由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＝04x ＋2y ＝0得矩阵A 的属于特征值3的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－2. 10．(2012·福建)设曲线2x 2＋2xy ＋y 2＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 0b 1(a >0)对应的变换作用下得到的曲线为x 2＋y 2＝1.(1)求实数a ，b 的值；(2)求A 2的逆矩阵．解 (1)设曲线2x 2＋2xy ＋y 2＝1上任意点P (x ，y )在矩阵A 对应的变换作用下的象是P ′(x ′，y ′)． 由⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 0b 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ ax bx ＋y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝ax ，y ′＝bx ＋y .又点P ′(x ′，y ′)在x 2＋y 2＝1上，所以x ′2＋y ′2＝1， 即a 2x 2＋(bx ＋y )2＝1，整理得(a 2＋b 2)x 2＋2bxy ＋y 2＝1.依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝2，2b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1. 因为a >0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝1.(2)由(1)知，A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 1，A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 02 1. 所以|A2|＝1，(A 2)－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 0－2 1.。
【步步高】江苏专用高考数学二轮复习 专题七第2讲矩阵与变换课件 理 苏教
求 k 的值． 解 由题设得 MN＝0k 01 01 10＝10 0k. 由10 0k 00＝00，10 0k －02＝－02， 10 0k －12＝－k2， 可知 A1(0,0)，B1(0，－2)，C1(k，－2)． 计算得△ABC 的面积是 1，△A1B1C1 的面积是|k|， 由题设知|k|＝2×1＝2，所以 k 的值为－2 或 2.
变式训练 2 已知矩阵 M＝21 － －31所对应的线性交 换把点 A(x，y)变成点 A′(13,5)，试求 M 的逆矩阵 及点 A 的坐标．
解 依题意得
由 M＝21
从而由21 xy＝－ －11
－ －31，得|M|＝1，故 M－1＝－ －11 32.
－3 －1
xy＝153得：
3 2
153＝－－11××1133＋＋32××55＝－23.
0 1
故32xx＋＋2z＝z＝01，， 且32yy＋ ＋2ωω＝＝10，，
解得x＝－1，z＝2，y＝2，ω＝－3，
从而A的逆矩阵A－1＝－ 2 1－23.
探究提高 对于二阶矩阵，若有 AB＝BA＝E，则称 B 为 A 的逆矩阵．因而求一个二阶矩阵的逆矩阵，可用 待定系数法求解．
•1、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 •2、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。 •3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 •4、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。 •5、诚实比一切智谋更好，而且它是智谋的基本条件。 •6、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。2022年1月2022/1/102022/1/102022/1/101/10/2022 •7、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。2022/1/102022/1/10January 10, 2022 •8、教育者，非为已往，非为现在，而专为将来。2022/1/102022/1/102022/1/102022/1/10
初等变换与初等矩阵课件
0 0 0
3 0 0
2 0 0
1
0
0
1 0 0 0
c2
1 3
c3 2c2
c4 c2
0 0
1 0
0 0
0 0
I2 O
O O
，
0 0 0 0
最后一个分块矩阵称为矩阵C1的等价标准形矩阵， 简称标准形，分块矩阵的左上角的单位阵的阶数恰9
好等于行阶梯形（或行最简形）矩阵中非零行的行
1 0 2 0 0 1
0 2 3 1 0 1
1 0 2 0 0 1
1 0 2 0 0 1
r2 3r3
r1 r3
0
1
6
0
1
3
r3 2r2
0
1
6
0
1
3
0 2 3 1 0 1
0 0 9 1 2 5
1
r3
1 9
r2 6r3
0
r1 2r3
0
0 1 0
0 0 1
2
9 2 3 1 9
如果A是可逆矩阵，我们可以用初等行变换的方法
求A1B：
A1 A, B I, A1B ,
32
或用初等列变换的方法求BA1：
A
B
A1
I BA1
.
例2.27 求矩阵X，使AX B，其中
1 2 3 2 5
A
2
3
2 4
1 3
,
B
3 4
1 3
.
解 对分块矩阵 A, B施行初等行变换：
B
1 4 3
1 6
6
2 2
9
1 2
7
4 94
1 1 2
高中数学选修42矩阵与变换知识点复习课课件苏教
坐标变换：通过矩阵运算实 现图形的平移、旋转、缩放 等变换
动画制作：通过矩阵运算实 现图形的动画效果，如变形、
运动等
矩阵在其他领域中的应用
物理：在力学、电磁学、量子力学等领域，矩阵被用来描述物理系统的状态和变化
计算机科学：在计算机图形学、人工智能、数据挖掘等领域，矩阵被用来处理和表示数据
高中数学选修4-2矩阵 与变换知识点复习课 课件
,
汇报人：
目录
CONTENTS
01 添加目录标题 02 矩阵与变换概述 03 矩阵的逆与行列式 04 矩阵的秩与特征值 05 矩阵的几何意义与线性变换的矩阵表示
06 矩阵的应用举例
单击添加章节标题
第一章
矩阵与变换概述
第二章
矩阵的定义与性质
矩阵的定义：由m行n列的数组 成的m*n个数阵
矩阵与线性变换的关系
矩阵是线性变换的一种表示方法 线性变换可以通过矩阵乘法来实现 矩阵的逆矩阵表示线性变换的逆操作 矩阵的秩表示线性变换的维数
矩阵的逆与行列式
第三章
矩阵的逆
逆矩阵的定义：满足AB=BA=I的矩阵B称为矩阵A的逆矩阵 逆矩阵的性质：逆矩阵的唯一性、逆矩阵的线性性、逆矩阵的乘法性质 逆矩阵的求法：利用初等行变换求逆矩阵、利用伴随矩阵求逆矩阵 逆矩阵的应用：求解线性方程组、求解矩阵方程、求解线性规划问题
行列式的定义与性质
行列式的定义： 矩阵中主对角线 元素的乘积
行列式的性质： 行列式等于其转 置行列式的值
行列式的计算方 法：利用行列式 的性质进行计算
行列式的应用： 求解线性方程组、 判断矩阵是否可 逆等
行列式的计算方法
初等变换法：通过行变换或列变换 将矩阵化为行阶梯形或列阶梯形， 然后计算行列式
矩阵的初等变换课件
0 0 0ห้องสมุดไป่ตู้1 3
0 0 0 1 3
0 0 0 02 06
00 000
行阶梯形矩阵
行最简形矩阵
11
生物医学工程学院
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
行阶梯矩阵特点： 1 可划出一条 阶梯线，线的下方 全为零； 2 每个台阶 只有一行，台阶 数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第 一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元 ．
①2②
①2②
显然 把B的第2行乘以(2)加到第1行即得B3
7
生物医学工程学院
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
❖方程组的同解变换与增广矩阵的关系
同解变换有 交换两个方程的位置 把某个方程乘以一个 非零数 某个方程的非零倍加到另一个方程上
线性方程组与其增广矩阵相互对应 对方程组的变换 完全可以转换为对方程组的增广矩阵的变换
21
• 理解线性方程组无解、有惟一解或有无限多个解 的充要条件
• 熟练掌握用矩阵的初等行变换求解线性方程组的 方法
2
生物医学工程学院
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
本章先讨论矩阵的初等变换，建立矩 阵的秩的概念,并提出求秩的有效方法． 再利用矩阵的秩反过来研究齐次线性方程 组有非零解的充分必要条件和非齐次线性 方程组有解的充分必要条件，并介绍用初 等变换解线性方程组的方法．内容丰富， 难度较大.
12
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第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
行阶梯形矩阵：
•各非零行首非零元素分布在不同列 •当有零行时，零行在矩阵的最下端
13
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第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
行最简阶梯形矩阵：
高二数学选修4-2矩阵与变换课件 苏教版
2.在本章中点和向量不加区分.如:
x （0， 0）为起点， y 既可以表示点（x, y），也可以表示以O uuu r 以（ P x, y）为终点的向量OP。
2.1 二阶矩阵与平面向量
3.矩阵的概念——从表、网络图、坐标平面上的点（向 量）、生活实例等引出. 即在大量举例的基础上引出矩 阵的概念和表示方法.如: 某公司负责从两个矿区向三个城市送煤： 从甲矿区向城市A,B,C送煤的量分别是200万吨、240 万吨、160万吨； 从乙矿区向城市A,B,C送煤的量分别是400万吨、360 万吨、820万吨。 城市A 城市B 城市C 甲矿区 乙矿区
a11 a12 x0 a11 x0 a12 y0 a21 a22 y0 a21 x0 a22 y0
2.1 二阶矩阵与平面向量
7.强化学生对二阶矩阵与平面列向量乘法的几何意义 理解.使他们认识并理解矩阵是向量集合到向量集合 的映射,为后面学习几种常见的几何变换打下基础.
200 240 160 400 360 820
2.1 二阶矩阵与平面向量
4.矩阵通常用大写黑体字母表示.如;矩阵A, 行矩阵和列 矩阵通常用希腊字母α 、β 等表示. 5.两个矩阵的行数与列数分别相等,并且对应位置的 元素也分别相等时两矩阵相等. 6.二阶矩阵与列向量的乘法法则为:
难点
切变变换，逆变换(矩阵)，特征值与特征向 量。
主要数学思想
（1）数学化思想； （2）数学建模； （3）数形结合的思想；（4）算法思想。
主线
本专题的教学思路
通过几何变换对几何图形的作用，直观认识矩 阵的意义和作用。
教学要点
从具体实例入手，突出矩阵的几何意义，遵循
高中数学选修矩阵与变换知识点复习课苏教PPT课件
规定：
行矩阵 a11
a12
与列矩阵
b11 b21
的乘法法则为
a11
a12
b11 b21
＝
a11 b11
a12
b21
,
二阶矩阵
a11 b21
a12 b22
与列向量
x0 y0
的乘法规则为
a11 b21
a12 b22
x0
y0
＝
a11 b21
x0 x0
a12 b22
T： xy
x
y
ax cx
by dy
,
坐标变换的形式
那么，根据二阶矩阵与向量的乘法规则可以改写为
T： xy
x y
a c
b
d
x
y
矩阵乘法的形式
的矩阵形式，反之亦然（a,b, c, d R).
两种形式形异而质同
第6页/共31页
由矩阵M 确定的变换T，通常记为TM . 根据变换的定义，它是平面内的点集到其自身 的一个映射.
是一个数值（或多项式），记为
det(A)= a
b ad bc
cd
第24页/共31页
用逆矩阵的知识理解二元一次方程组的求解过程。
ax by m
cx
dy
n
记：X
yx，B
m
n
,
A
a
c
b d
则
左乘A-1
AX B
得到X A1B
d
其中A1
ad
bc
-c
ad bc
-b
ad
bc
当
x y
表示某个平面图形F上的任意点时，
这些点就组成了图形F，它在TM的作用下，将得到
高考数学(理)二轮复习专题突破课件：选修4-2 矩阵与变换
主干知识研讨
命题角度聚焦
阅卷现场体验
矩阵变换与逆矩阵交汇创新 矩阵的逆矩阵、特征值与特征向量的求法是高考的热点内容， 其中矩阵的逆矩阵常和矩阵变换结合在一起考查，难度不大， 属中低档题，在解答过程中应注意步骤的规范化．
主干知识研讨
命题角度聚焦
阅卷现场体验
【典例】(满分 7 分)设曲线 2x2＋2xy＋y2＝1 在矩阵 A＝ab 01(a>0) 对应的变换作用下得到的曲线为 x2＋y2＝1. (1)求实数 a，b 的值； (2)求 A2 的逆矩阵．
主干知识研讨
命题角度聚焦
阅卷现场体验
考向二 二阶矩阵的逆矩阵与逆变换 常考查：①求二阶矩阵的逆矩阵；②直线在线性变换下求参数 的取值．
主干知识研讨
命题角度聚焦
阅卷现场体验
【例 2】 已知矩阵 A＝13 (1)求逆矩阵 A－1；
－ －27.
(2)若二阶矩阵 X 满足 AX＝31 05，试求矩阵 X.
提示：对应的矩阵为k01 k02.
主干知识研讨
命题角度聚焦
阅卷现场体验
[思考 3] 对于二阶矩阵 A＝ac bd(ad≠bc)，你能写出它的逆矩阵 吗？
[思考4] 请叙述什么是二阶矩阵的特征值和特征向量？ 提示：(1)设 λ 是二阶矩阵 M＝ac bd的一个特征值，它的一个 特征向量为 α＝yx， 则有 Myx＝λxy.
阅卷现场体验
[探究提升] 1.二阶矩阵与线性变换的题目往往和矩阵的基本运算 相结合命题．包括二阶矩阵的乘法，矩阵与向量的乘法等． 2．(1)二阶矩阵与线性变换涉及变换矩阵、变换前的曲线方程、 变换后的曲线方程三个要素，知其二可求第三个．(2)在解决通 过矩阵进行平面曲线的变换问题时，要把变换前后的变量区别 清楚，防止混淆．
高中数学二轮复习 矩阵与变换 课件(全国通用)
2b .在曲线 C1 上任意选一点 0
P(x0，y0)，设它在矩阵 BA 对应的变换作用下变为 P′(x′，y′)，
0 则有 1
x0 x′ 2by0 x′ 2b ＝ ，即 ＝ . 0 y0 y′ x0 y′
b11 b12 a11b11 a12b12 a11b12 a12b22 b b = 21 22 a21b11 a22b21 a21b12 a22b22
(2)若二阶矩阵 A， B 满足 AB＝BA＝E(E 为二阶单位矩 阵)，则称 A 是可逆矩阵，B 为 A 的逆矩阵，记为 B＝ A－1.
2.矩阵对应的变换
矩阵
x 足 y
a b 对应的变换 M＝ c d
T：(x，y)→(x′，y′)满
a b x ax＋by x′ ＝ ＝ c d y . cx＋dy y′
1 ∴AB＝ 0
2.(2015· 江苏卷)已知 x，y∈R，向量
x ＝ y
1 α＝ －1是矩阵
A
1 的属于特征值－2 的一个特征向量，求矩阵 A 0
以及它的另一个特征值.
解
x 即 y
由已知，得 Aα＝－2α，
1 1 x－1 －2 ＝ ＝ ， 0 －1 y 2
第 2讲
矩阵与变换
高考定位
高考对本内容的考查主要有：(1)常见的平
面变换与矩阵的乘法运算；(2)二阶矩阵的逆矩阵及其
求法；(3)矩阵的特征值与特征向量的求法.本内容考查 主要属B级要求.
真题感悟
1.(2016· 江苏卷)已知矩阵 1 －1 矩阵 B ＝ 0
江苏理数 选修4-2 矩阵与变换 第二节 逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量
b ，α 是矩阵 A 的属于特征值 λ 的任 d
意一个特征向量，则 Anα＝____ λnα (n∈N*)． (2)设 λ1，λ2 是二阶矩阵 A 的两个不同特征值， α，β 是矩阵 A 的分别属于特征值 λ1，λ2 的特征向量，对于平面上任意一个 非零向量 γ，设 γ＝t1α＋t2β(其中 t1，t2 为实数)，则 Anγ＝
所以 a＋λ＝－3－2＝－5. 答案：－5
考点一
求逆矩阵与逆变换
[典例引领] 已知矩阵
－1 A＝ 0 1 0 ， B ＝ 0 2
2 －1 ，求矩阵 A B. 6
解：设矩阵 A 的逆矩阵为
－1 则 0 0 a b 1 c d ＝0 2
矩阵 A 的属于 λ 的一个特征向量，则 a＋λ＝_____.
解析：因为
1 Aα＝λα，所以 a 2 2 2 ＝ λ －3 －3， －4
2－6＝2λ， 即 2a＋12＝－3λ，
a＝－3， 解得 λ＝－2，
－
－3 6 －2 1 － 3 － 3 且 A－1＝ ＝ . 5 2 －5 2 － 3 3 －3 －3 －2 答案： 5 3 1 2 － 3
2． 已知矩阵
1 A＝ a
2 2 的一个特征值为 λ ， 向量 α ＝ －3是 －4
0 ，因为 1×0－0×0＝0，找不到二阶 0
1 A ＝ 0
0 矩阵 B，使得 BA＝AB＝E 成立，故 不可逆． 0 2．如果向量 α 是属于 λ 的特征向量，将它乘非零实数 t 后所得 的新向量 tα 与向量 α 共线，故 tα 也是属于 λ 的特征向量， 因此，一个特征值对应多个特征向量，显然，只要有了特征 值的一个特征向量，就可以表示出属于这个特征值的共线的 所有特征向量了．
高考数学(理)一轮复习课件选修系列第二节 矩阵与变换(苏教版江苏专用
令 β＝ mα1＋ nα2， 将具体数据代入有 m＝ 4， n＝－ 3， M4β＝ M4(4α1－ 3α2) ＝ 4(M4α1)－ 3(M4α2) ＝ 4(λ41α1)－ 3(λ42α2) 1 1 4 4 ＝ 4× 3 － 3×(－ 1) 1 －1 321 ＝ . 327
3．逆变换与逆矩阵 (1)设TM是一个线性变换，如果存在线性变换TN， 使得TMTN＝TNTM＝I，则称变换TM________ 可逆 ，并且称 逆变换 ． TN是TM的________ (2)设A是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵B，使 可逆 ，或称矩阵A是 得AB＝BA＝E，则称A______ 可逆矩阵 ，并且称B是A的_______ 逆矩阵 ．若二阶矩阵 _________ 惟一的 ．通常记A的 A存在逆矩阵B，则逆矩阵是_______ 逆矩阵为A－1.一般地，对于二阶可逆矩阵A＝ (ad－bc≠0)，它的逆矩阵为A－1＝ .
1 2 1 3．已知 M＝ ，β＝ ，求 M4β. 2 1 7
λ－1 －2 解：矩阵 M 的特征多项式为 f(λ)＝ ＝ －2 λ－1
λ －2λ－3＝0，所以 λ1＝3，λ2＝－1， 1 1 对应的一个特征向量分别为 α1 ＝ ， α 2＝ ， 1 －1
(4)若二阶矩阵A、B均存在逆矩阵，则 也存在逆矩阵 ，且(AB)－1＝B－1A－1. AB________________ 二阶矩阵 a b A＝ 可逆，当且仅当 detA＝ad－ bc≠ 0. c d a b － 1 当矩阵 A＝ 可 逆 时 ， A ＝ c d －b d detA detA . －c a detA detA
(5)如果关于变量 x，y 的二元一次方程组 (线性方
高考数学一轮总复习 15.2 矩阵与变换课件 理 苏教版
解这个关于 λ 的二元一次方程，得 λ＝λ1、λ2，将 λ＝λ1、λ2 分别
代入方程组(*)，分别求出它们的一个非零解
x＝x1， y＝y1，
x＝x2， y＝y2，
记 ξ1＝xy11，ξ2＝xy22.
第九页，共34页。
则 Aξ1＝λ1ξ1、Aξ2＝λ2ξ2，因此 λ1、λ2 是矩阵 A＝ac db的特征值， ξ1＝yx11，ξ2＝xy22为矩阵 A 的分别属于特征值 λ1、λ2 的一个特征 向量．
【例 2】已知矩阵 M＝21 － －31所对应的线性变换把点 A(x， y)变成点 A′(13,5)，试求 M 的逆矩阵及点 A 的坐标．
解 依题意得由 M＝21 － －31，得|M|＝1， 故 M－1＝－ －11 32. 从而由21 － －31xy＝153得xy＝－ －11 32153＝－ －11× ×1133＋ ＋32× ×55＝
记A－1A＝的ad逆－－矩bcc 阵ad为－abc
.
•
A－ad1－，bcA－ad－1＝bcB.
第五页，共34页。
(3)逆矩阵与二元一次方程组：如果关于变量 x，y 的二元一次方
程组acxx＋＋dbyy＝＝nm， 的系数矩阵 A＝ac db可逆，那么该方程组
有唯一解xy＝ac db－1mn ，
d
－b
【训练 1】 (2013·南京金陵中学月考)求曲线 2x2－2xy＋1＝0 在矩 阵 MN 对应的变换作用下得到的曲线方程，其中 M＝10 02， N＝－11 10.
第十六页，共34页。
解
MN＝10
0 1 2－1
01＝－12
02 .
设 P(x′，y′)是曲线 2x2－2xy＋1＝0 上任意一点，点 P 在矩阵
高考江苏数学大一轮精准复习课件矩阵与变换
旋转变换
利用三维旋转矩阵，可将 空间图形绕某一轴旋转一 定角度。
缩放变换
通过三维缩放矩阵，可将 空间图形沿某一方向进行 缩放。
利用矩阵求解几何问题举例
点线距离问题
01
通过构造点线距离的矩阵表达式，可快速求解点到直线的距离
。
点面距离问题
02
利用点面距离的矩阵表达式，可便捷地求解点到平面的距离。
直线与直线、直线与平面的位置关系问题
克拉默法则应用条件
系数矩阵A的行列式D≠0，即A满秩。若D=0，则克拉默法则不适用，需采用其他方法 求解。
03
特征值与特征向量
特征值与特征向量定义及性质
特征值定义
设A是n阶方阵，如果存在数λ和非零n维 列向量x，使得Ax=λx成立，则称λ是A的 特征值，x是A的对应于特征值λ的特征向 量。
VS
特征向量性质
矩阵数乘与乘法运算
矩阵数乘
一个数与矩阵中的每一个元素相乘，得到的结果按照原矩阵的形状排列，即为该数与该矩阵的数乘。
矩阵乘法
设A为$m times p$的矩阵，B为$p times n$的矩阵，那么称$m times n$的矩阵C为矩阵A与B的乘 积，记作C=AB。其中，矩阵C中的第i行第j列元素可以表示为A的第i行元素与B的第j列对应元素乘积 之和。需要注意的是，两个矩阵相乘时，第一个矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数。
03
矩阵表示方法：矩阵通常用大写的英文字母表示，如A、B 、C等。矩阵的维度用“行×列”表示，如$3 times 3$矩 阵表示该矩阵有3行3列。
矩阵相等与加减法运算
矩阵相等
两个矩阵的行数相等、列数相等且对应位置上的元素相等，则称这两个矩阵相 等。
第一章 第二讲 矩阵及矩阵初等变换2
第二讲 矩阵及初等变换（4节）在上一讲中，我们简单介绍了n 元线性方程组的求解过程是如何用数表的形式来表达的思想，这种既能简化求解方程组的过程又使得求解形式简单明了的数表，我们称之为矩阵。
矩阵是线性代数中重要的概念之一，它的理论与方法在数学、经济、工程技术等方面都有较广泛的应用。
著名的列昂节夫投入—产出模型就是利用矩阵这一数学工具建立起来的。
因此掌握矩阵这一数学工具是非常必要的。
本讲的主要内容就是给出矩阵的概念及运算性质，为下一步更好地利用矩阵理论与方法讨论线性方程组提供有力的理论支撑。
1.2.1矩阵的概念定义2.1 由m n ⨯个数i j a （=1,2,,i m ；=1,2,j n ）排成了m 行n 列的矩形数表111212122212n n m m m na a a a a a a a a称其为m 行n 列矩阵，记作111212122212n nm m m n m na a a a a a a a a ⨯⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭。
其中称ij a 是矩阵的第i 行第j 列元素。
矩阵常用大写字母m n A ⨯，m n B ⨯… ...表示，或简记m n A ⨯=()ij m n a ⨯，m n B ⨯=()ij m n b ⨯… … 等.注意：矩阵的行数m 与列数n 可以不相等，行列相同的矩阵称为方阵. 例如 2行3列矩阵 232310-2=25-3A ⨯⨯⎛⎫⎪⎝⎭ ， 2行2列矩阵 222221=16B ⨯⨯⎛⎫⎪-⎝⎭。
例2.1例：给个具体的矩阵表示实例1.2.2矩阵的运算矩阵也有加、减、数乘、乘法等基本运算法则，以及转置运算等.由于矩阵是个数表，所以它的运算法则与数之间的运算法则有本质上的区别。
下面我们先给出矩阵的基本的运算.定义2.2 若两个行列相同的矩阵()(),ij ij m nm nA aB b ⨯⨯==其对应元素相等，即()ijm na ⨯=()ij m nb ⨯则称矩阵A 与B 相等，记作A B =。
高考数学(江苏省专用)复习专题测试课件：第二十三章 选修系列 23.2 矩阵与变换
1 2 1 x
因此曲线C1在矩阵AB对应的变换作用下得到曲线C2:x2+y2=8.
1 12 -1 1 2.(2016江苏,21B,10分)已知矩阵A= 0 2 ,矩阵B的逆矩阵B = 2 ,求矩阵AB. 2 0
解析 设B= ,
1 1 a b 1 0 = , 则B B= 2 c d 0 1 2 0 1 1 a 2 c b 2 d 1 0 即 , = 0 2 c 2 d 1
(1)因为A= ,B= ,
(2)设Q(x0,y0)为曲线C1上的任意一点,它在矩阵AB对应的变换作用下变为P(x,y),
x0 y, 2 y0 x, 0 2 x0 x 则 = , 即 所以 x y0 . 1 0 y0 y x0 y, 2 2 2 x0 + y0 =1, 因为点Q(x0,y0)在曲线C1上,则 8 2 2 2 y + x =1,即x2+y2=8. 从而 8 8
0
x0 x0
0
解析 (1)设直线l:ax+y=1上任意点M(x,y)在矩阵A对应的变换作用下的像是M'(x',y').
高考数学
(江苏省专用)
§23.2 矩阵与变换
五年高考
A组 自主命题·江苏卷题组
1.(2017江苏,21B,10分)[选修4—2:矩阵与变换] 已知矩阵A= ,B= . (1)求AB;
(江苏专版)高考数学二轮专题复习与策略第1部分专题7选修系列第24讲矩阵与变换课件理
y′). 5分
第十六页，共24页。
1 则2
0
02xy＝xy′ ′，
所以x′＝12x，y′＝2y，且x＝2x′，y＝12y′， 8分
代入y＝sin x，得12y′＝sin 2x′，即y′＝2sin 2x′.
即曲线y＝sin x在矩阵MN变换下的曲线方程为y＝2sin 2x. 10分
第十七页，共24页。
第二十四页，共24页。
y的值． [解] Aα＝22y＋－xy2，Bα＝24＋ －yy， 5分
由Aα＝Bα得22＋y－xy2＝＝42－＋yy，， 解得x＝－12，y＝4. 10分
第六页，共24页。
2．(2016·苏州期中)设曲线2x2＋2xy＋y2＝1在矩阵A＝
a b
0 1
(a＞0)对应的变换
作用下得到的曲线为x2＋y2＝1.求实数a，b的值．
第十三页，共24页。
[解] (1)Mab＝－ a b，
即aacsions
α－bsin α＋bcos
αα＝－ a b，
所以acos asin
α－bsin α＋bcos
α＝－b， α＝a，
得cos sin
α＝0， α＝1.
3分
即M＝01 －10，
由M－1M＝10 01得M－1＝0－1 10. 5分
第十四页，共24页。
第二十二页，共24页。
2．(2015·江苏高考)已知x，y∈R，向量α＝
1 －1
是矩阵A＝
x y
1 0
的属于特征
值－2的一个特征向量，求矩阵A以及它的另一个特征值．
第二十三页，共24页。
[解] 由已知，得Aα＝－2α， 即xy 10－11＝x－y1＝－22，3分 则yx＝－21，＝－2， 即yx＝＝2－，1， 所以矩阵A＝－ 2 1 10. 7分 从而矩阵A的特征多项式f(λ)＝(λ＋2)(λ－1)， 所以矩阵A的另一个特征值为1. 10分
江苏高考理科数学二轮讲义：专题七第7讲 矩阵与变换 Word版含解析
第7讲矩阵与变换[考向导航]考点扫描三年考情考向预测1．矩阵变换B题江苏高考对本讲的命题方向：常见的平面变换与矩阵的乘法运算；二阶矩阵的逆矩阵及其求法；矩阵的特征值与特征向量的求法．试题基础，处于“送分题”位置．2．逆矩阵与矩阵运算B题3．矩阵的特征值与特征向量A题1．矩阵的乘法与逆矩阵(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤a11a12a21a22⎣⎢⎡⎦⎥⎤b11b12b21b22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a11b11＋a12b21a11b12＋a12b22a21b11＋a22b21a21b12＋a22b22．(2)若二阶矩阵A，B满足AB＝BA＝E(E为二阶单位矩阵)，则称A是可逆矩阵，B为A 的逆矩阵，记为B＝A－1．2．矩阵对应的变换矩阵M＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a bc d对应的变换T：(x，y)→(x′，y′)满足⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy→⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a bc d⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ax＋bycx＋dy．3．二阶矩阵的特征值和特征向量(1)设λ是二阶矩阵M＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a bc d的一个特征值，它的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy，则有M⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy．(2)f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a－b－cλ－d＝λ2－(a＋d)λ＋ad－bc为矩阵M＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a bc d的特征多项式．(3)如果λ是二阶矩阵M的特征值，则λ是M的特征多项式的一个根，它满足f(λ)＝0，此时将λ代入⎩⎪⎨⎪⎧ax＋by＝λx，cx＋dy＝λy可得到一组非零解⎣⎢⎡⎦⎥⎤x0y0，它即为M的属于λ的一个特征向量．矩阵变换 [典型例题](·姜堰中学期中检测)在平面直角坐标系xOy 中，设曲线C ：xy ＝1在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos θ sin θ－sin θ cos θ⎝⎛⎭⎫0≤θ＜π2对应的变换作用下得到曲线F ，且F 的方程为x 2－y 2＝a 2(a ＞0)，求θ和a 的值．【解】 设P (x 0，y 0)是曲线C 上任意一点，P (x 0，y 0)在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos θ sin θ－sin θ cos θ对应的变换下变为：P ′(x ′0，y ′0)；则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos θ sin θ－sin θ cos θ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′0y ′0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ′0＝x 0cos θ＋y 0sin θy ′0＝－x 0sin θ＋y 0cos θ，代入到x 2－y 2＝a 2中，有：(x 0cos θ＋y 0sin θ)2－(－x 0sin θ＋y 0cos θ)2＝a 2，且x 0y 0＝1，化简得：(x 20－y 20)(cos 2θ－sin 2θ)＋4x 0y 0sin θcos θ＝a 2即 (x 20－y 20)(cos 2θ－sin 2θ)＋4sin θcos θ＝a 2；所以cos 2θ－sin 2θ＝0且a 2＝4sin θcos θ，而θ∈⎣⎡⎭⎫0，π2，a ＞0；所以θ＝π4，a ＝2．解决这类问题一般是设变换T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，求出原曲线在T 的变换下得到的曲线，再根据条件求相应的系数值．[对点训练]1．变换T 1是逆时针旋转π2的旋转变换，对应的变换矩阵是M 1；变换T 2对应的变换矩阵是M 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 101．(1)求点P (2，1)在T 1作用下的点P ′的坐标；(2)求函数y ＝x 2的图象依次在T 1，T 2变换的作用下所得曲线的方程．[解] (1)M 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，M 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2，所以点P (2，1)在T 1作用下的P ′点的坐标是P ′(－1，2)．(2)M ＝M 2M 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －11 0，设⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 是变换后图象上任一点，与之对应的变换前的点是⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，则M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，也就是⎩⎪⎨⎪⎧x 0－y 0＝x x 0＝y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y y 0＝y －x，所以所求曲线的方程是y －x ＝y 2．逆矩阵与矩阵运算[典型例题](·高考江苏卷)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 312．(1)求A 的逆矩阵A －1；(2)若点P 在矩阵A 对应的变换作用下得到点P ′(3，1)，求点P 的坐标． 【解】 (1)因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 31 2，det(A )＝2×2－1×3＝1≠0， 所以A 可逆，从而A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 －3－1 2． (2)设P (x ，y )，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 31 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤31，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝A －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤31＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－1， 因此，点P 的坐标为(3，－1)．正确进行矩阵变换，注意变换的先后顺序，记住求逆矩阵的过程是解题的关键．[对点训练]2．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 110，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2．(1) 求AB ；(2)若曲线C 1：x 28＋y 22＝1在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线C 2 ，求C 2的方程．[解] (1)因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2， 所以AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 21 0． (2)设Q (x 0，y 0)为曲线C 1上的任意一点， 它在矩阵AB 对应的变换作用下变为P (x ，y )，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 21 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧2y 0＝x ，x 0＝y ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y ，y 0＝x 2．因为点Q (x 0，y 0)在曲线C 1上，则x 208＋y 22＝1，从而y 28＋x 28＝1，即x 2＋y 2＝8．因此曲线C 1在矩阵AB 对应的变换作用下得到曲线C 2：x 2＋y 2＝8．矩阵的特征值与特征向量[典型例题](·高考江苏卷)已知矩阵 A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 12 2．(1)求A 2；(2)求矩阵A 的特征值． 【解】 (1)因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 12 2．所以A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 12 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 12 2 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3×3＋1×2 3×1＋1×22×3＋2×2 2×1＋2×2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11 510 6．(2)矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－3 －1－2 λ－2＝λ2－5λ＋4． 令f (λ)＝0，解得A 的特征值λ1＝1，λ2＝4．在求矩阵变换的特征值与特征向量时，要利用定义建立关系．[对点训练]3．(·镇江市高三调研)求矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 113的特征值及对应的特征向量．[解] 由题意得矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 11 3的特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－3 －1－1 λ－3＝(λ－3)2－1＝λ2－6λ＋8， 由f (λ)＝0，解得λ1＝2，λ2＝4．设α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1为λ1＝2对应的特征向量，则⎩⎪⎨⎪⎧－x 1－y 1＝0－x 1－y 1＝0，即x 1＋y 1＝0，故可取⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1为属于特征值λ1＝2的一个特征向量．同理，设α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2y 2为λ2＝4对应的特征向量，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝0－x 2＋y 2＝0，即x 2－y 2＝0，故可取⎣⎢⎡⎦⎥⎤11为属于特征值λ2＝4的一个特征向量．综上所述，矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 11 3有两个特征值λ1＝2，λ2＝4，属于λ1＝2的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1，属于λ2＝4的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤11．1．(·南师附中、淮阴、海门、天一开学联考)二阶矩阵A 有特征值λ＝6，其对应的一个特征向量为e ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，并且矩阵A 对应的变换将点(1，2)变换成点(8，4)，求矩阵A ．[解] 设所求二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎩⎪⎨⎪⎧Ae ＝6e A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤84，所以⎩⎪⎨⎪⎧⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a ＋b c ＋d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤66⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a ＋2b c ＋2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤84，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝6c ＋d ＝6a ＋2b ＝8c ＋2d ＝4，解方程组得A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 28 －2．2．(·南京、盐城模拟)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 02 a ，A 的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13 0 b 1． (1)求a ，b 的值； (2)求A 的特征值．[解] (1)因为AA －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 02 a ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13 0 b 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 023＋ab a ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1． 所以 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，23＋ab ＝0．解得a ＝1，b ＝－23．(2)由(1)得A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 02 1，则A 的特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－3 0－2 λ－1＝(λ－3)( λ－1)． 令f (λ)＝0，解得A 的特征值λ1＝1，λ2＝3．3．(·南通市高三模拟)在平面直角坐标系xOy 中，设点A (－1，2)在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1001对应的变换作用下得到点A ′，将点B (3，4)绕点A ′逆时针旋转90°得到点B ′，求点B ′的坐标．[解] 设B ′(x ，y )，依题意，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 00 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，得A ′(1，2)．则A ′B →＝(2，2)，A ′B ′→＝(x －1，y －2)．记旋转矩阵N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤22＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x －1y －2， 即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x －1y －2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝4．所以点B ′的坐标为(－1，4)． 4．(·江苏四星级学校联考)设矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，已知矩阵A 的特征值λ1＝－1的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1，特征值λ2＝4的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，求ad －bc 的值． [解] 由特征值、特征向量的定义可知A α1＝λ1α1，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝－1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1， 可得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1c －d ＝1，①同理可得⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＝4×⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 8，即⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b ＝123c ＋2d ＝8，② 由①②解得a ＝2，b ＝3，c ＝2，d ＝1， 因此ad －bc ＝2－6＝－4．。
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3.二阶矩阵的特征值和特征向量 (1)设 λ 是二阶矩阵 量为
x α ＝ y)，则有 a M＝ c
b 的一个特征值， 它的一个特征向 d
x x M )＝λ ). y y
λ -a (2)f(λ)＝ -c
a -b 2 ＝ λ － ( a ＋ d ) λ ＋ ad － bc 为矩阵 M ＝ c λ -d
a c x （λ－a）x－by＝0， b x ＝λ ⇔ d y y －cx＋（λ－d）y＝0.
热点一 二阶矩阵与平面变换
【例 1】 若直线 y＝kx
0 在矩阵 1
1 对应的变换作用下得到的直线 0
热点二 二阶矩阵的逆矩阵及其求法 【例2】 二阶矩阵M对应的变换TM将曲线x2＋x－y＋1＝0变为曲线
2y2－x＋2＝0，求M－1.
解 设曲线 2y2－x＋2＝0 上一点 P(x， y)在 M－1 对应变化下变成 P(x′， y′)， 设M
－1
a ＝ c
x′＝ax＋by， b 2 ， 代入 x ＋x－y＋1＝0 得，方程(ax＋ d y′＝cx＋dy，
1 的属 0
于特征值－2 的一个特征向量， 求矩阵 A 以及它的另一个特征值. 解 由已知，得 Aα＝－2α，
x 即 y 1 1 x－1 －2 －1＝ ＝ ， 0 y 2 －1 A＝ 2
x，y 为实数.若 Aα＝Bα，求 x＋y 的值.
解 由已知，得
2＋y ＝ . 4－y －1 Aα＝ 1 1 2 2 －2＋2y ＝ ， Bα ＝ 2 x y 2＋xy 1 2 －1 y
第2讲 矩阵与变换
高考定位
高考对本内容的考查主要有： (1)常见的平面
变换与矩阵的乘法运算； (2)二阶矩阵的逆矩阵及其求法； (3)矩阵的特征值与特征向量的求法 .本内容考查主要属B 级要求.
真题感悟
1.(2015· 江苏卷)已知 x，y∈R，向量
1 α＝ －1是矩阵
x A＝ y
b d
的特征多项式. (3)如果 λ 是二阶矩阵 M 的特征值， 则 λ 是 M 的特征多项式的一 个根，它满足 f(λ)＝0，此时将 λ
x0 非零解 y )，它即为 0 ax＋by＝λx， 代入 可得到一组 cx＋dy＝λy
M 的属于 λ 的一个特征向量.
解
1 0
2
2
1 A＝ 0
0 对应 2
0 B＝ 1
b x2 2 对应的变换，得到曲线 C2： ＋y ＝ 4 0
0 BA＝ 1
从曲线 C1 变到曲线 C2 的变换对应的矩阵为
0 0 ＝ 2 1
b 0
2b . 0
1 x＝y′， x y ＝ ，即 代入 0 y x y＝x′，
过点 P(4，1)，求实数 k 的值.
解 设变换
x x′ x′ 0 T： → ，则 ＝ y y′ y′ 1
by)2＋(ax＋by)－(cx＋dy)＋1＝0， x 即 b y ＋(a－c)x＋(b－d)xy＋2abxy＋a x ＋1＝0，与方程 y －2＋1
2 2 2 2 2
1 1 ＝0 比较得，a＝0，b＝1，c＝2，d＝1 或 a＝0，b＝－1，c＝2，d 0 －1 ＝－1.所以 M ＝ 1 2 －1 0 1 －1 ，或 M ＝ －1 2 1 . 1
4.已知曲线 C 的方程，求变换后的曲线 C1 的方程的过程分三步： (1)将目标曲线 C1 上的任意一点的坐标(x，y)用曲线 C 上对应点的 坐标(x′，y′)表示； (2)用 x，y 反表示 x′，y′； (3)将 x′，y′带回曲线 C 的方程，得到 x，y 的等式，该等式即所求 曲线 C1 的方程. 5.记忆特征多项式，和这类问题的求解步骤 理解特征值与特征向量理论
探究提高 求矩阵
a M＝ c
b 就是要求待定的字母，利用条件建立 d
方程组，确立待定的字母的值，从而求出矩阵，待定系数法是求这 类问题的通用方法.
【训练 3】
1 已知矩阵 2
1 2 的属于特征值 b 的一个特征向量为 1， a
求实数 a，b 的值.
解 设
a 又 c
a M＝ c
b －a＋2b＝9， －1 9 ＝ ，故 d 2 15 －c＋2d＝15.
联立以上两方程组解得 a＝－1，b＝4，c＝－3，d＝6， 故
－1 M＝ －3
4 . 6
探究提高
由二阶矩阵与向量的乘法及向量相等建立方程组，常
用于求二阶矩阵，要注意变换的前后顺序.
【训练2】 二阶矩阵M对应的变换将点(1，－1)与(－2，1)分别变 换成点(－1，－1)与(0，－2).求矩阵M的逆矩阵M－1.
解 设矩阵 M 的逆矩阵 M
a 由题意得， c
－1
a ＝ c
2.矩阵对应的变换 矩阵
a ＝ c a M＝ c x x′ b 对应的变换 T ： ( x ， y ) → ( x ′ ， y ′) 满足 ) → y y′) d
x ax＋by b _ ＝ ). d y cx＋dy
y0 ＝ x′ 2 by ＝ x ′ ， 0 2b 故 解得 x0＝y′. 1 x0＝y′.
2
代入曲线 C1 方程得，y′ 即曲线
1 2 ＋2bx′ ＝1.
1 2 2 C2 方程为：2b x ＋y2＝1.
x2 2 与已知的曲线 C2 的方程 ＋y ＝1 比较得(2b)2＝4. 4 所以 b＝± 1.
直线 y＝kx 得，x′＝ky′，将点 P(4，1)代入得，k＝4.
探究提高 解决这类问题一般是设变换
x x′ T： y→y′，求出原曲线在
T 的变换下得到的曲线，再根据条件求相应的系数值.
【训练 1】 已知曲线 C1：x ＋y ＝1，对它先作矩阵 的变换，再作矩阵 1.求实数 b 的值.
热点三 特征值与特征向量
【例 3】 已知二阶矩阵 M 有特征值 λ＝3 及对应的一个特征向量
1 e1＝ 1，并且
M 对应的变换将点(－1,2)变换成(9，15),求矩阵 M.
a b1 1 3 b a＋b＝3， ，则 ＝3 ＝ ，故 d c d 1 1 3 c＋d＝3.
x－1＝－2， x＝－1， 则 即 所以矩阵 y＝2， y＝2，
1 . 0
从而矩阵 A 的特征多项式 f(λ)＝(λ＋2)(λ－1)， 所以矩阵 A 的另一个特征值为 1.
2.(2014· 江苏卷)已知矩阵
－1 A＝ 1
1 2 1 2 ， B ＝ ，向量 α ＝ 2 －1 y ， x
解
1 由二阶矩阵的特征值与特征向量的概念知， 2 1 2 1 ＝ b 1 1， a
b＝3， 所以 解得 b＝a＋2，
a＝1，b＝3.
在曲线 C1 上任意选一点 P(x0，y0)，设它在矩阵 BA 对应的变 换作用下变为 P′(x′，y′)，
0 则有 1
2by0 x′ 2b x0 x′ ＝ ，即 ＝ . 0 y0 y′ x0 y′
b . d
－1 1 a b 0 b －2 ＝ ， ＝ ， d －1 －1 c d －2 1
3 ∴－a－b＝1，－c－d＝－1；－2b＝－2，－2d＝1.b＝1，c＝ ，d 2 －2 1 －1 ＝－2，a＝－2.∴M ＝3 2 1 1. －2
因为
－2＋2y 2＋y Aα＝Bα，所以 ＝ ， 2 ＋ xy 4 － y
x＝－ ， － 2 ＋ 2 y ＝ 2 ＋ y ， 2 所以 故 解得 2＋xy＝4－y. 1 y＝4.
7 x＋y＝ . 2
考点整合 1.矩阵的乘法与逆矩阵 (1) (2) 若二阶矩阵 A ， B 满足 AB ＝ BA ＝ E(E 为二阶单位矩阵 ) ， 则称A是可逆矩阵，B为A的逆矩阵，记为B＝A－1.