矩阵论及其应用_黄有度习题2解答
矩阵论简明教程习题答案
1 p1 = 4 , 0
1 p 2 = 0 4
=－1 所对应的方程组 (I+A)x=0 有解向量 1 p 3 = 0 0
令
7．
3 0 1 1 1 0 1 1 P=(p 1 , p 2, p 3 )= 4 0 0 , 则 P = 4 1 4 . 于是有 12 0 4 1 16 4 4 2100 4 2100 2100 1 2100 1 1 2100 0 3 2100 0 A 100 =P P 1 = . 3 100 100 100 1 2 1 4 2 1 4 4 2 2 (1) I A = ( 1) =D 3 ( ), I－A 有 2 阶子式
1 3 2 3 2 T ) . 3
2 1 2 2 1 2 4 ～ 0 0 0 2 4 2 4 4 0 0 0
当 =1 时, 对应的齐次线性方程组 (I－A)x=0 的系数矩阵
由此求出特征向量 p 2 =(－2, 1, 0) T , p 3 =(2, 0, 1) T . 单位化后得
是
d1 1, d 2 1,
d 3 ( 1)( 2)
1 A～J= 1 2
因为 A 可对角化，可分别求出特征值－1，2 所对应的三个线性无关 的特征向量： 当 =－1 时，解方程组 ( I A) x 0, 求得两个线性无关的特征向量
矩阵分析引论第四版课后练习题含答案
矩阵分析引论第四版课后练习题含答案简介《矩阵分析引论》是矩阵分析领域的经典教材之一，已经发行了四个版本。
该书主要以线性代数、矩阵理论和应用为主要内容，重点介绍了矩阵分析的基本概念、原理和应用。
本文主要介绍该书第四版中的课后练习题及其答案。
提供的资料本文为矩阵分析引论第四版课后练习题及其答案，包含了第一章到第五章的所有习题和答案。
其中，习题从简单到复杂，大部分习题都有详细的解答过程和答案。
内容概述第一章引言第一章主要介绍了矩阵分析的历史和基本概念、性质、符号等。
本章习题主要涉及了矩阵、向量、矩阵运算等基本概念和性质。
第二章基本概念和变换第二章主要介绍了线性变换的基本概念和性质，以及线性代数中的一些重要定理和定理的证明。
本章习题主要涉及了线性变换、矩阵的秩和标准型、特征值和特征向量等内容。
第三章矩阵运算第三章主要介绍了矩阵运算的基本概念和性质，包括矩阵乘法、逆矩阵、行列式等。
本章习题主要涉及矩阵运算的基本操作和应用。
第四章矩阵分解第四章主要介绍了矩阵分解的基本概念和应用，包括特征值分解、奇异值分解、QR分解等。
本章习题主要涉及了矩阵特征值和特征向量、矩阵的奇异值分解等内容。
第五章线性方程组和特征值问题第五章主要介绍了解线性方程组和求特征值的方法，包括高斯消元法、LU分解、带状矩阵、雅可比迭代等。
本章习题主要涉及了线性方程组的解法、矩阵的特征值问题等内容。
结语本文介绍了矩阵分析引论第四版课后练习题及其答案。
对于学习矩阵分析的同学，课后习题是一个非常重要的练习和提升自己能力的途径。
本文所提供的习题和答案可以帮助读者巩固和提高自己的矩阵分析能力。
同时，本文也希望能够帮助更多的人学习矩阵分析，并成为矩阵分析领域的专家。
《矩阵论》习题答案,清华大学出版社,研究生教材习题 2.2
= k1 1 ( 1 , ) k 2 2 ( 2 , ) = k1 H 1 k 2 H 2 故 是线性变换.又因为
( H , H ) ( ( , ) , ( , ) ) ( , ) ( , ) 2 ( 2 2 )
, (i 1, , n 2) .如此
又因为各行与第 n 1 行正交，故 ai ,n1 0 由下往上逐行递推，即得结果.
8
17. 证：因为
( A S )( A S ) ( A S ) ( A S ) ( A S )
1 T 1 T T
5. 证：由 ( ( ( 得
cos , ( , )
( ), ( ), (β),
(β))= ( , β) ( ))=( , ) (β))= (β, β)
. ( ), (β))／｜ ( ), (β)＞ ( ) ｜｜ (β)) ｜
= (
= cos＜
1
1
，使
1
( 1 ) 1 . 令
1
( j ) j ( j 2,3, , n) ，如果 j j , j 2,3, , n ，则
2
=
，结论
成立.否则可设 2 2 ，再作镜面反射
2
：
2 2 2 2
( ) 2( , ) ,
于是
2
( 2 ) 2 ，且可验算有
2
(1 ) 1 .
如此继续下去，设经 s 次正交变换
1 , 2 , n , 1 , 2 , , n
1 , 2 , 3, , n 1 , 2 , , n
矩阵论往年部分真题讲解题(含解答)
2011年《矩阵论》习题解答一、 掌握线性空间的定义及判断是否为线性空间。
二、 在4R 中有两组基，()()()()12341,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1αααα====()()()()12342,1,1,1,0,3,1,0,5,3,2,1,6,6,1,3ββββ=-=== 求 （1）由基1234,,,αααα到基1234,,,ββββ的过渡矩阵；（2）向量()1234,,,x ξξξξ=在基1234,,,ββββ之下的坐标； （3）在两组基下有相同坐标的非零向量。
解：(1)因为 ()()()12341234123420561336,,,,,,,,,11211013C ββββαααααααα⎛⎫ ⎪⎪== ⎪- ⎪⎝⎭所以由基1234,,,αααα到基1234,,,ββββ的过渡矩阵2056133611211013C ⎛⎫⎪⎪= ⎪- ⎪⎝⎭(2) ()()()112211234123412343344,,,,,,,,,x C ξξξξξξξξααααββββξξξξ-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以向量()1,0,1,0在基1234,,,ββββ之下的坐标为12134C ξξξξ-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 或解 非齐次线性方程组的解 11223344k k C k k ξξξξ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（3）由 （2）式有112213344C ξξξξξξξξ-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则有()12340C E ξξξξ⎛⎫ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭，该方程组的通解为()1,1,1,1T k -,对两个基有相同坐标的非零向量为()1234k x x x x ++-，k 非零常数。
二、已知线性空间V 是矩阵空间22R ⨯, (1) 证明：123410010000,,00001001E E E E ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦是V 的一组基；(2) 求向量1223A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦在基1234,,,E E E E 下的坐标。
矩阵论第二章答案
n
n
(α, β ) = ∑ iξiηi ∑ = iηiξi =（ β ,α ）
i =1
i =1
n
n
n
(α, β + γ ) = ∑iξiηi (ηi + Ci ) = ∑ iξiηi ∑ + iξiηiCi = (α, β ) + (α,γ )
i =1
i =1
i =1
1
当α = θ 时， (α,α ) = 0 ；当α ≠ 0 ，存在 i0 使得ζ i0≠ ≠ 0 ，从而
k1(xi , x1) + k2 (xi , x2 ) + L + km (xi , xm ) = 0 ,
i = 1,2,L, m
由于上述方程组仅有零解 k1 = k2 = L = km = 0 (意味着 x1, x2 ,L, xm 线性无关)
的充要条件是系数行列式 det△ ≠ 0 ，从而得证.
10. 证： 设基（I）与基（II）的度量矩阵分别为 A 与 B，向量
)T
A(CY2
)
( ) =
X
T 2
C T AC Y2
=
X
T 2
BY2
11. 解： (1) ⇒ u= a v , θ = cos−1((u,v)) = cos−1( a(v,v)) = cos−11 =0
uv
avv
3
⇐ 由 cos−1 ((u, v)) = 0 , u 与 v 必共线，
uv
即成比例 u= a v ,且 a f 0 ;
(2) ⇒ u= a v ( a p 0), θ = cos−1 ((u, v)) = cos−1 ( a(v, v)) = cos−1 (−1) =π
研究生 矩阵论 课后答案
|
xk
|2
)
1 2
是范数.
k =1
(2)证明函数 || x ||∞ = max{| x1 |,| x2 |,...,| xn |}是范数.
2.设
x∈R2,
A=
⎛4 ⎜⎝1
1⎞ 4⎟⎠
,请画出由不等式||
x
||
A
≤
1决定的x的全
体所对应的几何图形.
3.在平面 R2中将一个棍子的一端放在原点,另一端放
生成子空间V,求V的正交补空间V ⊥.
15.(MATLAB)将以下向量组正交化.
(1) x1 = (1,1,1)T , x2 = (1,1, 0)T , x3 = (1, −1, 2);T
(2) f (t) = 1, g(t) = t, h(t) = t2是[0,1]上的多项式空间
的基,并且定义(
f
9.把下面矩阵A对应的λ -矩阵化为Smith标准形,并且写
出与A相似的Jordan标准形.
⎛1 −1 2 ⎞
(1)
⎜ ⎜
3
−3
6
⎟ ⎟
⎜⎝ 2 − 2 4⎟⎠
⎛ −4 2 10⎞
(2)
⎜ ⎜⎜⎝
−4 −3
3 1
7 7
⎟ ⎟⎟⎠
⎧ dx1
⎪ ⎪
dt
=
3x1
+ 8x3
10.(MATLAB)求解微分方程:
α3 = (0,1,1)T 的矩阵为: ⎡ 1
A=⎢ 1 ⎢⎣−1
0 1⎤ 1 0⎥ 2 1⎥⎦
求在基e1 = (1,0,0)T ,e2 = (0,1,0)T ,e3 = (0,0,1)T下的矩阵.
10.设S = {ε1,ε2 ,ε3,ε4}是四维线性空间V的一个基,已知
矩阵论课后习题答案
第一章 线性空间与线性映射 习题一 (43-45)1、（1）对于V y x ∈∀,，x y x y x y x y y x y x y x y x +=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+112211112211；（2）对于V z y x ∈∀,,，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=++))()(1111112221111112112211121112211z y z x y x z y x z y x y x z z y x y x z y x z z y x y x y x z y x ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=++))()(1111112221111111122211111221121z y z x y x z y x z y x z y x z y z y x z y x z y z y z y x x z y x ，即)()(z y x z y x ++=++。
（3）对于⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00θ和V x ∈∀，显然x x x x x x x =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=+21121000θ； （4）对于V x ∈∀，令⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=2211x x x y ， 则θ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+0021221211221121x x x x x x x x x x x y x ，即x y -=。
（5）对于R ∈∀μλ,和V x ∈∀，有x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x )()()]()[(21)()()2(21)()()]1()1([21)1(21)1(2121212212122212121221121212121μλμλμλμλμλμλμλμλμλμλμλλμμμλλμλμλμμμμλλλλμλ+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+++=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+（6）对于R ∈∀λ和V y x ∈∀,，有⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+211112211112211))(1(21)()()(y x y x y x y x y x y x y x y x λλλλλλ， ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-++-++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-++=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+211112211112212211122111122122121121212121))(1(21)()()1(21)1(21)()1(21)1(21)1(21)1(21y x y x y x y x y x y y x y x y x y x y x y y x x y x y y y x x x y x λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ，即y x y x λλλ+=+)(。
矩阵理论与应用题目和答案
11.设4是宛阶矩阵.对任总O ≠r ∈ F”均HAT≠ x.址明/ 一 A对逆并求其逆.12.设〃阶矩阵/1可逆.R与“足八维列向虽.如果(A + r<∕∙)-1可逆.证明SherUIan-MQrrhoii'5公式:μ÷x∕Γ=.4--±±⅛≤l.'八 1 +旷心Jr(提示；可用上题的结论•)13.设门阶矩昨人可逆.ZrGD分别½∏ X m,m X n.τn × m矩阵•证明=∖A∖∖D-CA^l B∖.15.设炬阵/1与A-BG均可逆，试用A9A^∖β.C^^(Λ-BCΓ∖(提不：研宛廿块矩阵(：的逆矩陈•)30.对工=(zι,x2)τ, y = @1皿几规定(4") = Olly l+ biι y2 + bx2yι + Ci22/2 ・证明S2/)是酬的内积=α > O1αc > b2.31.设U= {αco6f+ bsinf,其中α,b为任意实数}是实二维线性空间.对任意/,g W匕定义(/.<7)= /(OMO)+ /(∣)<7(^).证明(/,g)是V■上的内积,并求仇⑴=3∣cos(f + 7) + 4 Sin (t + 9)的长度•32.设欧氏空间昭刃2中的内枳为1(/,g) = J f(χ)g(χ)dx.-J⑴求棊1・以2的度虽矩阵：(2)用矩阵乘法形式计算/U) = l-ι + F与ff(x)= l-4x-5F的内积.12.设线性空间V = R2是欧氏空间(未必是逋常的欧氏空间)∙‰1 = (l,l)τ,α2 = (1,-1)T与內=(0,2)Γ,A¾ = (6,12)r½V的两纽疥.设術巧与仇的内积分别为(αiw4ι) = 1. (a\.02)= 15. (az.βι) = -1∙(Q2.旳)=3∙(L)求阴组丛的度呈屯阵：(2)求U的一个标准IE交基.44・设A是反对称实矩阵(即ST = -A),证明；(1)A的特征值为0或纯虚数；(2)设α + 0i是4的属于一个非零特征值的特征向量，其中α,&均为实向量，则a与0正交.&设2是所竹次数小于71的实系数多项式爼成的实块性空间.U= {∕(r) ∈ V 1/(1) = 0}∙证明UiLV的子空间，并求V的一个补空间・9.设(/ = [(1,2,X6)τ. (4, -L3,6)τ, (5∙ L 6.12)T b W = [(1.-LLI)T,(2∙-13,5)τ]足R4的恃个子空何.(1)求UnW的基；(2)扩充U∩ IV的菇，使其成为D的基；(3)扩ftu∩ Vr的施，便其成为W的皐；(4)求U + W的基.Io-设U = {(τ,ι∕7 2. w) ∣τ + y + 2 + w = 0}1Ir = {(ι∙7y, 2τ w) |r —y÷2-tr = O}.求U ∩ W z, U + W 的维数与基•12.设/1是“阶方阵.证用(1)4∏f以唯4⅛衣乐成个对称炉阵和个反对称炉PnrJ和.试用f z空何的直和分鮒理论斛种这菇果(2)∙2J以唯一地农加成一个HCnnltC矩障和一个反HcrmItc舱阵的和.比用于空间的自和分鮮埋论解释这一(3)解释定义域为R的任盘实函敢可以咁•地衣示成个偶函数与•个奇函数的和；(4)请举一个类似于上曲(1)-(3)的例子并解释之・27. (1)求例2222屮的幕零变换丁的幕零指数及其在标准基下的矩阵；(2)设ST∈ EIKl”分别是线性空何"的同构变换和峯零变换，证∏JJσ÷ T&V的同构变换;(3)设AD是可逆矩阵，£,C是導零矩阵，证明分块矩阵(2 可逆.29.设V r = K3. σ(τ. t/, Z)=(工 + 2y -Z, # + z, @ + M — 2z)・求(1)。
黄有度-矩阵理论及其应用习题答案
习题18.在4R 中，求由基n x x x ,,,21⋯到基n y y y ,,,21⋯的过渡矩阵A ，并求向量a 在指定基下的坐标，设（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−−=−=−=−=T T T T x x x x )1,0,1,1()1,1,2,1()1,1,1,1()0,1,2,1(4321⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=−===T T T T y y y y )2,1,3,1()2,1,1,2()2,2,1,0()1,0,1,2(4321下的坐标在基4321,,,)0,0,0,1(x x x x a T =.（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−−=−−=−−==T T T T x x x x )1,1,1,1()1,1,1,1()1,1,1,1()1,1,1,1(4321⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−−====T T T T y y y y )1,1,1,0()0,0,1,1()1,3,1,2()1,0,1,1(4321下的坐标在基4321,,,)1,0,0,1(y y y y a T −=.解：（1）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−•⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−−=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−•⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−=−0100111010*********11120311112028723143243155623131222111203111120211100111121211111A TT x x x x a ）下的坐标为（在基设43214321,,,,,,)0,0,0,1(µµµµ=,则有：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡•⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−000111100111121211114321µµµµ解方程得：133,132,135,1334321−=−===µµµµTT y y y y a 133,132,135,133(:,,,)1,0,0,1(4321−−−=下的坐标为在基（2）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−−=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−•⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−−=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−•⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−−=−1011103112111273411011103011110121111111111111111141101110301111012111111111111111111A TT y y y y a ）下的坐标为（在基设43214321,,,,,,)1,0,0,1(µµµµ−=,则有：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡•⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−100110111030111101214321µµµµ解方程得：23,4,21,24321−==−=−=µµµµTT y y y y a 23,4,21,2(:,,,)1,0,0,1(4321−−−−=下的坐标为在基9.设{}3322131233,0)(a a a a R a A M ij ==+∈==×，（1）验证M 是33×R 的一个子空间；（2）求M 的维数和一组基；（3）求⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−−=315034221A 在所求出的基下的坐标。
矩阵理论试题及其解答
矩阵论试题一．设n x x x ,,,21 是欧氏空间nV 中的一组向量，),(y x 表示x 与y 的内积，令111212122212(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)n n n n n n x x x x x x x x x x x x A x x x x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦试证明0)det(≠A 的充要条件为向量12,,,n x x x 线性无关。
证明：若11220n n l x l x l x +++=，则用(1,2,,)i x i n =依次与此式作内积有：1122(,)(,)(,)0i i n n i l x x l x x l x x +++= (1,2,,)i n =即111221112122221122(,)(,)(,)0(,)(,)(,)0(,)(,)(,)0n n n nn n n n n l x x l x x l x x l x x l x x l x x l x x l x x l x x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 此式仅有零解的充分必要条件为det()0A ≠，故12,,n x x x 线性无关的充分必要条件为det()0A ≠二．设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3112A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∆02.05.00A试估计下述值∞-∞--∆+-111)(AA A A解： 1311125A --⎛⎫= ⎪-⎝⎭ ，145A -∞=， 2 1.51.23A A ⎛⎫+∆= ⎪⎝⎭1553 1.51714() 1.222104.2721A A -⎛⎫-⎪-⎛⎫+∆== ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭- ⎪⎝⎭，1119()70A A A --∞-+∆=， 111()190.3456A A A A----+∆=≈。
三．设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=442101002A ，求tA e 和)(R t e A ∈。
解 3200111(2)(2)044244I A λλλλλλλλ--=-=-=-=----容易验证A 的最小多项式为2()(2)m λλ=-，取2()(2)ϕλλ=-， （1）令()t f e λλ=，设()()()f g a b λϕλλλ=++，则有22(2)(2)t t f e f te ⎧=⎨'=⎩ 即 222tta b e b te⎧+=⎨=⎩ 从而22(12),t t a t e b te =-=，于是22()(12)t tt e te γλλ=-+，故22()()(12)tA t t e f A A t e I te A γ===-+2((12))t t I tA e =-+2100122412t t t t e t t t ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-+⎝⎭（2）2100111243A e e ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭（在（1）的tAe 中令1t =即可）四．设nm C A ⨯∈，试叙述A 的奇异分解指的是什么？并试求矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111001A 的奇异值分解式。
矩阵论课后参考答案(第一二三四
矩阵为 A
1 1
18 22
15 20
，
求
T
在 基 1 (1,2,1) ， 2 (3,1,2)，
1
21,2)下的矩阵。
解：由题可知1,2,3 与1,2,3 时空间 L(F 3) 的两组基，则存在一个
过渡矩阵 C 使得
3 -1 2
2 1 2
1 0 0
0 1 0
0 r 2(2)r1 1
0 r3(1)r10
1
0
3 5 -1
2 5 0
1 2 -1
0 1 0
0 0 1
1r2
5 (1)r 3
1 3 2 1 0
0
1 3 2 1 0 0
r2r30 1 0 1 0 1 r3(1)r20 1 0 1 0 1
2
1 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0
0
0
0
0
，
1
0
0
0
，
0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1
（3）解：同上理，对 AT A 分析可知其为一个上下成负对称的矩阵，
且对角元全为 0，则其维数为
dim(V ) (n 1) (n 2) 1 (n 1)((n 1) 1) n(n 1)
2
2
其基为 n(n 1) 个 n n 阶的矩阵，故基可写为
2
0 1 0 0 0 0 1 0
1 0
0 0
0 0
所以V1 V2 {0} 。
2）明显V1 V2 Fn
矩阵论及其应用_黄有度习题3解答
a a
k 1 m k 1 m
m
1k
xk 2 xk 2
2k
a
k 1
m
mk k 2
x
xkn k 1 m a2 k xkn k 1 m amk xkn k 1
a
m
1k
tr ( X T AX ) ( xl1 alk xk1 ) ( xlj alk xkj ) ( xln alk x kn )
T
证明： （1）设矩阵
( m) Am (aij ) nn , m 1,2,,
则
T Am (a (jim) ) nn , Am (aij( m) ) nn , nn ,
则
AT (a ji ) nn ， A (aij ) nn ,
3t 2et cos t 3 sin t (t cos t sin t ) .
4．设函数矩阵
e 2 x A( x) e x 3x
计算
xe x 2e 2 x 0
x2 0 ， 0
1
0
A( x)dx 和
d x2 0 A(t )dt . dx
j1 j2 jn
(1)
( j1 j2 jn )
a1 j1 a2 j2 anjn ，
而
Am
j1 j2 jn
(1)
( j1 j2 jn )
) ( m) ( m) a1( m j a 2 j a njn ，
A
故
j1 j2 jn
(1)
( j1 j2 jn )
a1 j1 a 2 j2 a njn ,
矩阵分析课件chapter2 范数理论及其应用例题详解
第2章范数理论及其应用2.1向量范数及l p范数定义：如果V是数域K上的线性空间，且对于V的任一向量x，对应一个实数值||x||，它满足以下三个条件：1)非负性：||x||≥0,且||x||=0⇔ x=0;2)齐次性：||k⋅x||=|k|⋅||x||，k∈K；3)三角不等式：||x+y||≤||x||+||y||.则称||x||为V上向量x的范数，简称为向量范数。
注意：2)中|k|当K为实数时为绝对值，当K为复数域时为复数的模。
虽然向量范数是定义在一般的线性空间上的，但是由于前面的讨论，我们知道任何线性空间在一组基下都代数同构于常用的n维向量空间，因此下面我们仅仅讨论n维向量空间就足够了。
范数首先是一个函数，它将线性空间的任意向量映射为非负实数。
范数与函数性质1. 范数是凸函数。
即|| (1-λ)x+λy||≤(1-λ)||x||+λ||y||其中0≤λ≤ 1。
向量的范数类似于向量长度。
性质2. 若||⋅||为线性空间V上的向量范数，则k||⋅|| 仍然为向量范数, 其中k > 0.性质3. 若||⋅||f和||⋅||g为线性空间V上的两个向量范数，则(1). ||⋅||f+ ||⋅||g为V上向量范数。
(2). max{ ||⋅||f, ||⋅||g } 为V上向量范数。
性质4. 若||⋅||f和||⋅||g分别为线性空间V上两个线性交集为0的子空间V1和V2上的两个向量范数，则对任意x∈V1⊕V2,存在唯一分解x= u+v, 其中u∈V1,v∈V2,定义||x||1=||u||f+ ||v||g ,||x||2=max{||u||f,||v||g}则||x||1和||x||2为V1⊕V2上的向量范数。
性质5. (范数与凸集) 若||⋅||为线性空间V上的向量范数，集合Ω={x: ||x||≤ 1}为V上凸集。
反之，若Ω为V上的均衡闭凸集，即x∈Ω,则λ⋅x∈Ω,其中|λ|≤1.其中Ω含有内点，即包含一个小的单位球。
矩阵理论与应用(张跃辉)(上海交大)第二章参考答案
证明：直接验证可知 U 关于加法与数乘均封闭，故是子空间。dim U = r(A) − r(AB).
(1) 求 U ∩ W 的基; (2) 扩充 U ∩ W 的基, 使其成为 U 的基; (3) 扩充 U ∩ W 的基, 使其成为 W 的基; (4) 求 U + W 的基.
解：（1）(−1, 2, 1, 2)T ; (2) (−1, 2, 1, 2)T , (1, 2, 3, 6)T ; (3) W = [(−1, 2, 1, 2)T , (1, −1, 1, 1)T ]; (4) U + W = [(−1, 2, 1, 2)T , (1, 2, 3, 6)T , (1, −1, 1, 1)T ].
证明：（1）设 dim U = s, dim W = t, dim (U ∩W ) = r. 任取 U ∩W 的一组基 α1, α2, · · · , αr. 由于 U ∩ W 是 U 与 W 的公共子空间, 故 U ∩ W 的基是 U 与 W 的线性无关的向量组, 因此 可以扩充成 U 或 W 的基. 设
再设 α ∈ U + W . 则存在 β ∈ U, γ ∈ W , 使得 α = β + γ. 因为 (1) 和 (2) 分别 是 U 和 W 的基, 因此有系数 k1, k2, ..., kr, br+1, br+2, ..., bs 及 l1, l2, ..., lr, cr+1, cr+2, ..., ct 使
6. 设 V 是线性空间, W1, W2, · · · , Ws 是 V 的真子空间. 证明 W1 ∪ W2 ∪ · · · ∪ Ws = V .(提 示: 利用 Vandermonde 行列式或归纳法.)