2018届高考数学二轮复习专题检测(四)不等式理

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2018届高考数学二轮复习第六章不等式专题(共4个专题)

专题1 不等关系与不等式专题[基础达标](15分钟40分)一、选择题(每小题5分，共30分)1a>b成立的充分不必要条件是()A.|a|>|b|B.1a >1bC.a2>b2D.lg a>lg bD【解析】当a=-1，b=0时，满足|a|>|b|，但不满足a>b，所以|a|>|b|不是a>b的充分条件，排除A；当a=2，b=3时，满足1a >1b，但不满足a>b，所以1a>1b不是a>b的充分条件，排除B；当a=-1，b=0时，满足a2>b2，但不满足a>b，所以a2>b2不是a>b的充分条件，排除C；因为lg a>lg b⇔a>b>0，所以lg a>lg b 是a>b成立的充分不必要条件.2.如果a<b<0，那么下列不等式成立的是()A.-1a <-1bB.ab<b2C.-ab<-a2D.|a|<|b|A【解析】利用作差法逐一判断.因为1b −1a=a-bab<0，所以-1a<-1b，A正确；因为ab-b2=b(a-b)>0，所以ab>b2，B错误；因为ab-a2=a(b-a)<0，所以-ab>-a2，C错误；a<b<0，所以|a|>|b|，D错误.3.若0<m<n，则下列结论正确的是()A.2m>2nB.12m<12nC.lo g1m>lo g1nD.log2m>log2nC【解析】函数y=2x和y=log2x均是增函数，又n>m>0，∴2m<2n，log2m<log2n；函数y=lo g12x，y=12x均是减函数，又n>m>0，∴lo g12m>lo g12n，12m>12n.4.命题“∀x∈[1，2]，关于x的不等式x2-a≤0恒成立”为真命题的一个必要不充分条件是() A.a≥4 B.a≤4 C.a≥3 D.a≤3C【解析】不等式x2-a≤0，∀x∈[1，2]恒成立⇔a≥(x2)max=4，x∈[1，2]，所以所求的一个必要不充分条件是a≥3.5.设a>b>1，c<0，给出下列四个结论：①a c>1；②a c<b c；③log b(a-c)>log a(b-c)；④b b-c>a a-c.其中所有的正确结论的序号是() A.①②B.②③C.①②③D.②③④B【解析】因为a>1，所以指数函数y=a x递增，又c<0，所以a c<1，①错误，排除A和C；而B和D中都有②和③，所以只要判断④是否正确.又b b-c<b a-c<a a-c，所以④错误，排除D.6f(x)=ax2+bx，且1≤f(-1)≤2，2≤f(1)≤4，以a为横坐标，b为纵坐标，则f(-2)的取值范围是() A.[5，8] B.[7，10] C.[5，10] D.[5，12]C【解析】由题意可得1≤a-b≤2，2≤a+b≤4，又f(-2)=4a-2b=3(a-b)+(a+b)，由不等式的基本性质可得f(-2)的取值范围是[5，10].二、填空题(每小题5分，共10分)7.已知x∈R，m=(x+1) x2+x2+1，n= x+12(x2+x+1)，则m，n的大小关系为.m>n【解析】因为m-n=(x+1) x2+x2+1− x+1 2(x2+x+1)=x3+12x2+x+x2+x2+1- x3+x2+x+12x2+12x+12=12>0，所以m>n.8.设实数x，y满足3≤xy2≤8，4≤x 2y ≤9，则x3y4的最大值是.27【解析】根据不等式的基本性质求解.x 2y 2∈[16，81]，1xy2∈18，13，则x3 y =x2y2·1xy∈[2，27]，x3y的最大值是27.[高考冲关](15分钟25分)1.(5分p：若a>b，则a2>b2，q：“x≤1”是“x2+2x-3≤0”的必要不充分条件，则下列命题是真命题的是() A.p∧q B.(p)∧qC.(p)∧(q)D.p∧(q)B【解析】取a=-1，b=-2，可知命题p是假命题.x2+2x-3≤0⇔-3≤x≤1，由x≤1不能得知-3≤x≤1；反过来，由-3≤x≤1可得x≤1，因此“x≤1”是“x2+2x-3≤0”的必要不充分条件，命题q是真命题，故(p)∧q是真命题.2.(5分)若a>b>0，则下列不等式中总成立的是()A.a+1b >b+1aB.a+1a>b+1bC.ba >b+1a+1D.2a+ba+2b>abA【解析】a+1b -b-1a=(a-b)+1b-1a=(a-b)+a-bab=(a-b)1+1ab，其中a-b>0，ab>0，故a+1b -b-1a>0，故A正确；令a=2，b=12，则a+1a=b+1b，故B错误；又b a −b+1a+1=b-aa(a+1)<0，所以ba<b+1a+1，故C错误；2a+ba+2b−ab=b2-a2b(a+2b)<0，故D错误.3.(5分y=a x(a>0，a≠1)与y=x b的图象如图，则下列不等式一定成立的是()A.b a>0B.a+b>0C.a b>1D.log a2>bD【解析】由函数图象可知a>1，b<0，所以a b<1，排除C；A，B项中的不等式不一定成立；log a2>0>b，故D项中的不等式一定成立.4.(5分)若a=1816，b=1618，则a，b的大小关系为.a<b【解析】因为ab =181616=9816216=8216，且0<82<1，所以8216<1，又a>0，b>0，则a<b.5.(5分)设a，b为正实数，现有下列命题：①若a2-b2=1，则a-b<1；②若1b −1a=1，则a-b<1；③若|a−|=1，则|a-b|<1；④若|a3-b3|=1，则|a-b|<1.其中的真命题有.(写出所有真命题的编号)①④【解析】由a2-b2=1得(a-b)(a+b)=1，又由已知得a+b>a-b，故a-b<1，所以①是真命题；当a=2，b=23时，有1b−1a=1，此时a-b>1，所以②是假命题；当a=9，b=4时，|a−|=1，|a-b|=5>1，所以③是假命题；对于④，假设|a-b|≥1，不妨设a>b，则a≥b+1，因为|a3-b3|=|a-b|·|a2+ab+b2|，则a2+ab+b2>a2+b2≥(b+1)2+b2>1，则|a3-b3|=|a-b||a2+ab+b2|>1，与已知矛盾，则|a-b|<1，所以④是真命题.专题2 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题专题[基础达标](25分钟50分)一、选择题(每小题5分，共25分)1x，y满足约束条件x-y≥0，x+y-4≤0，y≥1，则z=-2x+y的最大值是() A.-1 B.-2 C.-5 D.1A【解析】约束条件对应的区域是一个三角形，当z=-2x+y经过点(1，1)时取得最大值-1.2x，y满足约束条件x-y+2≥0，y+2≥0，x+y+2≤0，则y+1x-1的取值范围为()A.-13，15B.-13，1C.-∞，-13∪15，+∞D.-∞，-13∪[1，+∞)B【解析】约束条件对应的平面区域是以点(-2，0)，(-4，-2)和(0，-2)为顶点的三角形，当目标函数y+1x-1经过点(-2，0)时取得最小值-13，经过点(0，-2)时取得最大值1，则y+1x-1的取值范围是-13，1.3x，y满足不等式组x+y-6≤0，2x-y-1≤0，3x-y-2≥0，若z=ax+y的最大值为2a+4，最小值为a+1，则实数a的取值范围是() A.[-2，1] B.[-1，2] C.[-3，-2] D.[-3，1]A【解析】不等式组对应的平面区域是以点(1，1)，(2，4)和73，113为顶点的三角形，且目标函数y=-ax+z经过点(2，4)时z取得最大值，经过点(1，1)时z 取得最小值，则-1≤-a≤2，即-2≤a≤1.4.若x，y满足kx+y≤4，2y-x≤4，x≥0，y≥0，且z=5y-x的最小值为-8，则k的值为()A.-12B.12C.-2D.2B【解析】直线kx+y=4恒过定点(0，4)，画图可知k>0，且不等式组对应的平面区域是以点(0，0)，(0，2)，42k+1，4k+42k+1和4k，0为顶点的四边形(包含边界)，z=5y-x在点4k ，0处取得最小值-8，则-4k=-8，解得k=12.5.在平面直角坐标系中，若点P(x，y)满足x-4y+4≤0，2x+y-10≤0，5x-2y+2≥0，则当xy取得最大值时，点P的坐标是()A.(4，2)B.(2，2)C.(2，6)D.52，5D【解析】不等式组对应的平面区域是以点(0，1)，(2，6)和(4，2)为顶点的三角形(包含边界)，当xy取得最大值时，点(x，y)必在线段2x+y-10=0，x∈[2，4]上，所以xy=x(10-2x)=-2x2+10x，x∈[2，4]，当x=52时，xy取得最大值，此时点P52，5.二、填空题(每小题5分，共25分)6y≤x，x+y≤8，y≥a表示的平面区域的面积为25，点P(x，y)在所给平面区域内，则z=2x+y的最大值为.17【解析】不等式组对应的平面区域是以点(a，a)，(8-a，a)，(4，4)(a<4)为顶点的三角形，则该三角形的面积为12(8-2a)·(4-a)=25，解得a=-1(舍去9).目标函数经过点(9，-1)时，z取得最大值17.7.若实数x，y满足x≤2，y≤2，x+y≥2，则目标函数z=yx+1的最大值是.2【解析】不等式组对应的平面区域是以点(2，0)，(0，2)和(2，2)为顶点的三角形(包含边界)，当目标函数z=yx+1经过点(0，2)时取得最大值2.8x，y满足约束条件x≤4-2y，x≥0，y≥0，那么x2+y2-10x-6y的最小值为.-1215【解析】约束条件对应的平面区域是以点(0，0)，(0，2)和(4，0)为顶点的三角形，目标函数可变形为(x-5)2+(y-3)2-34，其中(x-5)2+(y-3)2的几何意义是可行域上的点(x，y)与点(5，3)的距离的平方，最小值为点(5，3)到直线x+2y-4=0的距离的平方，即为52=495，则x2+y2-10x-6y=(x-5)2+(y-3)2-34的最小值为49 5-34=-1215.9.在平面直角坐标系xOy中，记不等式组y-3≥0，2x+y-7≤0，x-2y+6≥0表示的平面区域为D.若对数函数y=log a x(a>1)的图象与D有公共点，则a的取值范围是.(1， 23] 【解析】作出不等式组对应的平面区域，如图阴影部分所示(包含边界)，若a>1，当对数函数图象经过点A 时，满足条件，此时y -3=0，2x +y -7=0，解得 x =2，y =3，即A (2，3)，此时log a 2=3，解得a= 23，∴当1<a< 23时，满足条件.∴实数a 的取值范围是(1， 23].10x ，y 满足 x ≥2，x +y ≤4，2x -y -m ≤0，若目标函数z=3x+y的最大值为10，则z 的最小值为 .-1 【解析】不等式组所表示的平面区域是以点(2，2)，(2，4-m )， m +43，8-m 3 (m>2)为顶点围成的三角形(包括边界)，当目标函数y=-3x+z 经过点 m +43，8-m3时z 取得最大值，则m+4+8-m3=10，解得m=5，则z min =-1.[高考冲关] (15分钟 30分)1.(5分x -y ≥0，2x +y ≤2，y ≥0，x +y ≤a表示的平面区域是一个三角形，则实数a 的取值范围是( )A .a ≥43 B .0<a ≤1 C .1≤a ≤43D .0<a ≤1 或a ≥43D【解析】不等式中前面3个不等式表示的平面区域是以点(0，0)，(1，0)和23，23为顶点的三角形，由图可得当0<a≤1或a≥43时，上述三角形位于直线x+y=a 下方的区域仍然是三角形.2.(5分)已知实系数一元二次方程x2+(1+a)x+a+b+1=0的两个根为x1，x2，且0<x1<1，x2>1，则ba的取值范围是()A.-1，-12B.-1，-12C.-2，-12D.-2，-12D【解析】令f(x)=x2+(1+a)x+a+b+1，则f(0)=a+b+1>0，f(1)=2a+b+3<0，则点P(a，b)对应的平面区域如图阴影部分所示(不含边界)，当(a，b)取点(-2，1)时，ba取得最大值-12，当过原点的直线与2a+b+3=0平行时，不经过可行域上的点，所以-2<ba <-12.3.(5分)若变量x，y满足x+y≤4，2x-y+4≥0，x-2y-4≤0，则xy的取值范围是()A.[-2，16]B.(-∞，-2]∪[16，+∞)C.[16，+∞)D.[-2，0]∪[16，+∞)A【解析】作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示(包含边界)，当z>0时，y=zx与区域有公共点，且与边界x+y=4相切时，z=4，经过点(-4，-4)时，z=16，此时0<z≤16；当z=0时与区域有公共点；当z<0时，与边界2x-y+4=0，x-2y-4=0相切时，z=-2，此时-2≤z<0.综上可得z=xy的取值范围是[-2，16].4.(5分)已知变量x，y满足约束条件x+y≤1，x-y≤1，x≥a，若yx-2≤12恒成立，则实数a的取值范围为.[0，1]【解析】要使不等式组对应的平面区域存在，则a≤1，此时不等式组对应的区域是以点(a，a-1)，(a，1-a)，(1，0)为顶点的三角形(包含边界)，则1-a a-2≤yx-2≤a-1a-2，由yx-2≤12，得a-1a-2≤12，则a≥0，故实数a的取值范围是[0，1].5.(5分m>1，已知在约束条件y≥x，y≤mx，x+y≤1下，目标函数z=x2+y2的最大值为23，则实数m的值为.2+3【解析】m>1，由题意可知，约束条件对应的平面区域是以点(0，0)，1 2，12和11+m，m1+m为顶点的三角形(包含边界)，且当目标函数z=x2+y2经过点11+m ，m1+m时取得最大值23，所以11+m2+m1+m2=23，化简得m2-4m+1=0，m>1，解得m=2+3.6.(5分P(x，y)的坐标满足3x-y<0，x-3y+2<0，y≥0，3x22的取值范围为.-3，3【解析】作出不等式组所表示的平面区域，如图，其中B(-2，0)，C(1，3)，A32，12，设P(x，y)为区域内一个动点，向量OA，OP的夹角为θπ6=∠AOC<θ≤∠AOB=5π6，则cos θ=OA·OP|OA||OP|=32x+12yx2+y2=12×3xx2+y2，又-32≤cosθ<32，则3x22=2cos θ∈[-3，3).专题3 基本不等式及其应用专题[基础达标](20分钟45分)一、选择题(每小题5分，共20分)1.已知a，b∈R*且a+b=1，则ab的最大值等于()A.1B.14C.12D.22B【解析】由于a，b∈R*，则1=a+b≥2ab，得ab≤14，当且仅当a=b=12时等号成立.2.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a<b)，其全程的平均时速为v，则() A.a<v<ab B.v=abC.<v<a+b2D.v=a+b2A【解析】设甲、乙两地相距S，则平均速度v=2S S+S =2aba+b，又∵a<b，∴v=2aba+b >2abb+b=a.∵a+b>2ab，∴2aba+b−2ab<0，即v<ab，∴a<v<ab.3mx+ny+2=0(m>0，n>0)截得圆(x+3)2+(y+1)2=1的弦长为2，则1m +3n的最小值为()A. 4B. 12C. 16D. 6D【解析】直线mx+ny+2=0(m>0，n>0)截得圆(x+3)2+(y+1)2=1的弦长为2，则直线过圆心，即3m+n=2，则1 m +3n=1m+3n3m2+n2=3+n2m+9m2n≥3+2n2m·9m2n=6，当且仅当n2m=9m2n，m=13，n=1时取等号，则1m +3n的最小值为6.4x，y满足x+4y=4，则x+28y+4xy的最小值为()A.852B.24C.20D.18D【解析】由题意可得x=4-4y>0，y>0，则0<y<1.令2+6y=t，t∈(2，8)，则y=t-26，所以x+28y+4xy=8+24y(4-4y)y=2+6y(1-y)y=t8-t6×t-26=36t10t-t-16=3610- t+16t≥3610-8=18，当且仅当t=4时取等号，则x+28y+4xy的最小值为18.二、填空题(每小题5分，共25分)5.当x>1时，函数y=x+1x-1的最小值是.3【解析】因为x>1，y=x+1x-1=(x-1)+1x-1+1≥2(x-1)·1x-1+1=3，当且仅当x-1=1x-1，且x>1，即x=2时等号成立，故函数y的最小值为3.6.实数x，y满足x+2y=2，则3x+9y的最小值是.6【解析】利用基本不等式可得3x+9y=3x+32y≥23x·32y=23x+2y，∵x+2y=2，∴3x+9y≥2x+2y=22=6，当且仅当3x=32y，即x=1，y=12时，取等号，即3x+9y 的最小值为6.7P，Q分别是曲线y=x+4x与直线4x+y=0上的动点，则线段PQ长的最小值为.717 17【解析】由y=x+4x可得y=1+4x，若PQ长取最小值，则点P在与直线4x+y=0平行的切线上，且PQ垂直于直线4x+y=0，由y'=-4x=-4，解得x=1或-1.当x=1时，点P(1，5)，则点P到直线4x+y=0的距离为17=91717，即此时PQ=91717；当x=-1时，P(-1，-3)，则点P到直线4x+y=0的距离为17=71717，即此时PQ=71717<91717，则线段PQ长的最小值为71717.8(a，b)在直线2x+3y-1=0上，则代数式2a +3b的最小值为.25【解析】由题意可得2a+3b=1，a>0，b>0，则2a +3b=2a+3b(2a+3b)=13+6ba+6a b ≥13+26ba·6ab=25，当且仅当a=b=15时取等号，所以代数式2a+3b的最小值为25.9.若不等式1x +41-x≥a对任意的x∈(0，1)恒成立，则a的最大值是.9【解析】由x∈(0，1)，得1-x>0，1x +41-x=x+1-xx+4(x+1-x)1-x=5+1-xx+4x 1-x ≥5+21-xx×4x1-x=5+4=9，当且仅当1-xx=4x1-x，即x=13时，取等号，所以1x+41-x的最小值为9，所以a≤9，所以a的最大值为9.[高考冲关](15分钟30分)1.(5分f(x)≤M成立的所有常数M中，我们把M的最小值叫做f(x)的“上确界”，若a，b∈R*且a+b=1，则-12a −2b的“上确界”为()A.-92B.92C.14D.-4A【解析】因为12a +2b=12a+2b(a+b)=52+b2a+2ab≥52+2b2a·2ab=92，当且仅当b=2a=23时取等号，所以-12a−2b≤-92，即-12a−2b的“上确界”为-92.2.(5分S n为正项等比数列{a n}的前n项和，若S12-S6 S6-7·S6-S3S3-8=0，且正整数m，n满足a1a m a2n=2a53，则1m+8n的最小值是()A.75B.53C.95D.157B【解析】设等比数列{a n}的公比为q(q>0)，则S12-S6S6=q6，S6-S3S3=q3，q6-7q3-8=0，解得q=2(舍负)，则a1a m a2n=a13×2m+ 2n-2=2a53=a13×213，化简得m+2n=15，则1 m +8n=1151m+8n(m+2n)=11517+2nm+8mn≥11517+22nm·8mn=53，当且仅当m=3，n=6时取等号，所以1m +8n的最小值是53.3.(5分)若a>0，b>0，且1a +1b=ab，则a3+b3的最小值为.42【解析】因为a>0，b>0，所以1a +1b=ab≥ab，则ab≥2，所以a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)≥2ab·(2ab-ab)=2(ab)3≥2(2)3=42，当且仅当a=b 时取等号，即a3+b3的最小值为42.4.(5分)已知△ABC的面积S和三边a，b，c满足：S=a2-(b-c)2，b+c=6，则△ABC 面积S的最大值为.36 17【解析】由S=a2-(b-c)2得b2+c2-a2+S=2bc，则2bc cos A+12bc sin A=2bc，所以cos A=1-14sin A，代入cos2A+sin2A=1中解得sin A=817.又b+c=6≥2bc，则bc≤9，当且仅当b=c=3时取等号，所以△ABC面积S的最大值为12bc sin A≤12×9×817=3617.5.(5分x，y均为正数，且方程(x2+xy+y2)·a=x2-xy+y2成立，则a的取值范围是.1 3，1【解析】由(x2+xy+y2)·a=x2-xy+y2可得a=x2-xy+y2x+xy+y=1-2xyx+xy+y=1-2x+1+y，又x，y均为正数，所以xy +yx+1≥2+1=3，0<2xy+yx+1≤23，13≤1-2xy+yx+1<1，则a的取值范围是13，1.6.(5分2ax+by-1=0(a>-1，b>0)经过曲线y=cosπx+1(0<x<1)的对称中心，则1a+1+2b的最小值为.3+222【解析】曲线y=cos πx+1(0<x<1)的对称中心12，1在直线2ax+by-1=0上，则a+b=1，1a+1+2b=121a+1+2b[(a+1)+b]=123+ba+1+2(a+1)b≥1 23+2ba+1·2(a+1)b=3+222，当且仅当ba+1=2(a+1)b时取等号，则1a+1+2b的最小值为3+222.专题4 一元二次不等式及其解法专题[基础达标](25分钟50分)一、选择题(每小题5分，共20分)1.若不等式x2+px+4≤0恰好有一个解，则实数p的值为()A.4B.-4C.±4D.以上都不对C【解析】由已知可得方程x2+px+4=0有两个相等的实数根，所以Δ=p2-16=0，解得p=±4.2.若不等式2kx2+kx-38<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为() A.(-3，0) B.[-3，0) C.[-3，0] D.(-3，0]D【解析】当k=0时，显然成立；当k≠0时，即一元二次不等式2kx2+kx-38<0对一切实数x都成立，则k<0，k2-4×2k×-38<0，解得-3<k<0.综上，满足不等式2kx2+kx-38<0对一切实数x都成立的k的取值范围是(-3，0].3x的不等式x2+ax-2>0在区间[1，5]上有解，则实数a的取值范围为()A.-235，+∞B.-235，1C.(1+∞)D.(-∞，-1)A【解析】令f(x)=x2+ax-2，则f(0)=-2.①若顶点横坐标x=-a2≤0，要使关于x的不等式x2+ax-2>0在区间[1，5]上有解，则应满足f(5)>0，解得a>-235，即此时a≥0；②若顶点横坐标x=-a2>0，要使关于x的不等式x2+ax-2>0在区间[1，5]上有解，也应满足f(5)>0，解得a>-235，即此时-235<a<0.综上可知，实数a的取值范围是-235，+∞.4p：∃x∈R，(m+1)(x2+1)≤0，命题q：∀x∈R，x2+mx+1>0恒成立.若p∧q为假命题，则实数m应满足()A.m≥2B.m≤-2或m>-1C.m≤-2或m≥2D.-1<m≤2B【解析】若命题p：∃x∈R，(m+1)(x2+1)≤0是真命题，则m+1≤0，m≤-1；若命题q：∀x∈R，x2+mx+1>0恒成立是真命题，则Δ=m2-4<0，即-2<m<2，所以若p∧q为真命题，则-2<m≤-1，所以p∧q为假命题时实数m应满足m≤-2或m>-1.二、填空题(每小题5分，共20分)5x的不等式x2-ax-4>0在x∈[-2，1]时无解，则实数a 的取值范围是.[-3，0]【解析】不等式x2-ax-4>0，x∈[-2，1]无解，即x2-ax-4≤0，x∈[-2，1]恒成立，则4+2a-4≤0，1-a-4≤0，解得-3≤a≤0.6.已知不等式组x2-4x+3<0，x2-6x+8<0的解集是不等式2x2-9x+a<0的解集的子集，则实数a的取值范围是.(-∞，9]【解析】不等式组x2-4x+3<0，x2-6x+8<0的解集是{x|2<x<3}，设f(x)=2x2-9x+a，则由题意得f(2)≤0，f(3)≤0，解得a≤9.7.若关于x的不等式a≤34x2-3x+4≤b的解集恰好是[a，b]，则a+b=.4【解析】二次函数y=34x2-3x+4的顶点坐标为(2，1)，开口向上.若a>1，则由图象可知原不等式的解集是两个区间的并集，不合题意，故a≤1，此时a≤34x2-3x+4的解集为R，所以原不等式的解集即为34x2-3x+4≤b的解集，所以a，b为方程34x2-3x+4=b的两个不同根，则a+b=4.8.若对任意实数p∈[-1，1]，不等式px2+(p-3)x-3>0成立，则实数x的取值范围为.(-3，-1)【解析】不等式可变形为(x2+x)p-3x-3>0，令f(p)=(x2+x)p-3x-3，p∈[-1，1].原不等式成立等价于f(p)>0，p∈[-1，1]，即f(-1)>0，f(1)>0，即-x2-x-3x-3>0，x2+x-3x-3>0，解得-3<x<-1.三、解答题(共10分)9.(10分)若不等式ax2+5x-2>0的解集是 x|12<x<2.(1)求实数a的值；(2)求不等式ax2-5x+a2-1>0的解集.【解析】(1)由题意知a<0，且方程ax2+5x-2=0的两个根为12，2，则-5a=12+2，解得a=-2.(2)由(1)知a=-2，则ax2-5x+a2-1>0即为-2x2-5x+3>0，即为2x2+5x-3<0，解得-3<x<12，即不等式ax2-5x+a2-1>0的解集为-3，12.[高考冲关](15分钟30分)1.(5分f(x)=x2+2x(x<0)，-x2(x≥0)，若f(f(a))≤3，则实数a的取值范围是()A.(-∞，-3]B.[-3，+∞)C.[-3，3]D.(-∞，3]D【解析】令f(a)=t，则f(t)≤3⇔t<0，t2+2t≤3或t≥0，-t2≤3，解得t≥-3，则f(a)≥-3⇔a<0，a2+2a≥-3或a≥0，-a2≥-3，解得a<0或0≤a≤3，则实数a的取值范围是(-∞，3].2.(5分a>0，b>0，函数f(x)=ax2+b满足：对任意实数x，y，有f(xy)+f(x+y)≥f(x)f(y)，则实数a的取值范围是() A. (0，1] B. (0，1) C. (0，2) D. (0，2]B【解析】令y=0，得f(0)+f(x)≥f(x)f(0)，即a(1-b)x2+2b-b2≥0对任意实数x恒成立，所以有b=1或1-b>0，2b-b2≥0，所以b的范围是(0，1].再令y=-x，得f(-x2)+f(0)≥f(x)f(-x)，即为a(a-1)x4+2abx2+b2-2b≤0对任意实数x恒成立，当a=1时，x2≤2-b2不恒成立，所以a(a-1)<0，解得0<a<1.3.(5分x的不等式a cos 2x+cos x≥-1恒成立，则实数a 的取值范围是.0，2+24【解析】原不等式即为a(2cos2x-1)+cos x≥-1，令cos x=t，t∈[-1，1]，则2at2+t+1-a≥0，t∈[-1，1]恒成立.令f(t)=2at2+t+1-a，t∈[-1，1]，由f(-1)=2a-1+1-a=a≥0，当a=0时，f(t)=t+1≥0，t∈[-1，1]恒成立，则a=0适合.当a>0时，对称轴t=-14a <0，当t=-14a≤-1，即0<a≤14时，f(t)min=f(-1)=a≥0，所以0<a≤14；当-1<-14a<0，即a>14时，f(t)min=f-14a=-18a+1-a≥0，解得2-24≤a≤2+24，所以14<a≤2+24.综上可得实数a的取值范围是0，2+24.4.(5分f(x)=ax2+x-b(a，b均为正数)，不等式f(x)>0的解集记为P，集合Q={x|-2-t<x<-2+t}.若对于任意正数t，P∩Q≠⌀，则1a −1b的最大值是.12【解析】因为集合Q实质上是包含-2的一个区间，在该区间上存在实数满足f(x)>0，则f(-2)=4a-2-b≥0，0<b≤4a-2 a>12.所以1a−1b≤1a−14a-2a>12，令g(a)=1a −14a-2a>12，则g'(a)=-4(a-1)(3a-1)a2(4a-2)2，由g'(a)=0得a=1舍去13，且a∈1 2，1时，g'(a)>0，g(a)递增，a∈(1，+∞)时，g'(a)<0，g(a)递减，则g(a)≤g(1)=12，故1a −1b≤12，即1a−1b的最大值是12.5.(10分)若不等式mx2-2x+1-m<0对满足-2≤m≤2的所有m都成立，求实数x的取值范围.【解析】已知不等式可以化为(x2-1)m+1-2x<0.设f(m)=(x2-1)m+1-2x，这是一个关于m的一次函数(或常数函数)，要使f(m)<0在-2≤m≤2时恒成立，其等价条件是f(2)=2(x2-1)+1-2x<0，f(-2)=-2(x2-1)+1-2x<0，整理得2x2-2x-1<0，2x2+2x-3>0，解得-1+72<x<1+32，所以实数x的取值范围是-1+72，1+32.。

(新课标版)备战2018高考数学二轮复习专题1.4数列、不等式教学案文

①如果数列 { an} 是等差数列 m n p q am an a p aq（ m, n, p, q N ），特别地，当 n 为奇数时， a1 an a2 an 1 …… =2 a中 . ②等差数列 { an} 的前 n 项和为 Sn，则 Sm， S2m－ Sm， S3m－ S2 m，…成等差数列 .
5
通项公式；二是转化为 Sn 的递推关系，先求出 Sn 与 n 之间的关系，再求 an.
5．数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在曲线上给出
Sn
的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将
条件进行准确的转化．数列与不等式的综合问题一般以数列为载体，考查最值问题，不等关系或恒成立问
③等差数列 { an} ，{ bn} 的前 n 项和为 An，Bn，则 an bn
A2n 1 . ④等差数列 { an} 的前 n 项和为 Sn，则数列 { Sn } 仍
B2n 1
n
是等差数列 .
（ 6）等差数列的单调性：设等差数列 { an} 的公差为 d ，当 d 0 时，数列 { an} 为递增数列；当 d 0 时，
二次项系数化为正数；第二步，解对应的一元二次方程；第三步，若有两个不相等的实根，则利用“大于
在两边，小于夹中间”得不等式的解集．含参数的不等式的求解，要对参数进行分类讨论．
一．基础知识整合基础知识：一．基础知识整合 1. 等差数列知识要点：
（ 1）通项公式要点：
an a1 (n 1)d an am (n m) d (m, n N * , m n) .
3. 在处理一般数列求和时，一定要注意使用转化思想．把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进

2018年高考数学(理)二轮复习讲练测专题1.4数列与不等式(测)含解析

2018年高考数学（理）二轮复习讲练测专题四数列与不等式总分 _______ 时间 _______ 班级 _______ 学号 _______ 得分_______一、选择题（12*5=60分）一、单选题1．【2018届四川省成都外国语学校高三11月月考】已知全集为R ,集合2{|0.51},{|680}xA xB x x x =≤=-+≤,则C A B ⋂=RA. (],0∞-B. []2,4C. [)()0,24,∞⋃+D. ][()0,24,∞⋃+ 【答案】C2．在等比数列{}n a 中, 151,4a a =-=-,则3a = A. 2± B. 2± C. 2 D. 2- 【答案】D【解析】由等比数列的性质可得23154a a a ==,因为151,4a a =-=-,所以3 2.a =-选D.3．【2018届天津市滨海新区大港油田第一中学高三上期中】若a 、b 、c∈R，则下列命题中正确的是（） A. 若ac>bc ，则a>b B. 若a 2>b 2，则a>b C. 若11a b<，则a>b D. a b >a>b 【答案】D【解析】若ac>bc ，则c>0时 a>b ；若2a >2b ，则|a|>|b|；若11a b<，则a>b 或a<0<b;>a>b ，所以选D.4．【2018届山东省枣庄市第三中学高三一调】已知均为正实数，且，则的最小值为（）A.B.C.D.【答案】C5．【2018届北京丰台二中高三上期中】若n S 是数列{}2n 的前n 项和，则83S S -=（）． A. 504 B. 500 C. 498 D. 496 【答案】D 【解析】83S S -45678a a a a a =++++458222=+++163264128256=++++ 496=．故选D ．6．关于x y 、的不等式组360,{20, 40,x y x y x y +-≥--≤+-≤则2z x y =+的最大值是（）A. 3B. 5C. 7D. 9 【答案】C【解析】作可行域，如图，则直线2z x y =+过点A （1,3）取最大值7,选C.7．【2018届广西壮族自治区贺州市桂梧高中高三上第五次联考】在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若5114a a =，6128a a =，则89a a =（）A. 12B. 32C. 62D. 42【答案】D8．已知等比数列{}n a 满足： 23428a a a ++=，且32a +是24,a a 的等差中项.则q =（） A. 2-或12 B. 12- C. 2或12D. 2- 【答案】C 【解析】由题意得()23432428{22a a a a a a ++=+=+，即()231112311128{ 22a q a q a q a q a q a q ++=+=+，消去1a 整理得22520q q -+=，解得2q =或12q =．选C ． 9．在等比数列{}n a 中， 166n a a +=， 2132256n n a a a a --+=，且前n 项和126n S =，则n =（）A. 2B. 4C. 6D. 8 【答案】C【解析】∵2132112256n n n a a a a a a --++==， ∴1128n a a =，由11128{66n n a a a a =+=，解得12{64n a a ==或164{2n a a ==①当12{64n a a ==时， ()111264126111nnn a q a a q q S q qq---====---，解得2q =，∴6n =．②当164{2n a a ==时， ()111642126111nnn a q a a q q S qq q ---====---，解得12q =，∴6n =．综上6n =．选C ．10．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且51050,200S S ==，则1011a a +的值为（） A. 20 B. 40 C. 60 D. 80 【答案】D11．【2018届安徽省六安市第一中学高三上第五次月考】己知121,,,4a a 成等差数列， 1231,,,,4b b b 成等比数列，122a ab +则的值是（） A.52或52- B. 52- C. 52 D. 12【答案】C【解析】由题意得21225,4a a b +==，又2b 与第一项的符号相同，故22b =．所以12252a ab +=．选C ． 12．【2018届黑龙江省牡丹江市第一高级中学高三10月月考】已知数列{}n a 为等差数列,若11101a a <-,且其前n 项和n S 有最大值,则使得0n S >的最大值n 为 A. 11 B. 19 C. 20 D. 21 【答案】B二、填空题（4*5=20分）13.【2018届上海市十二校高三联考】若等差数列{}n a 的前5项和为25，则3a =________ 【答案】5【解析】由等差数列前n 项和公式结合等差数列的性质可得：153533255525,522a a aS a a +=⨯=⨯==∴=. 14．【2018届安徽省淮南市第二中学、宿城第一中学高三第四次考试】若241ab+=，则2a b +的最大值为__________．【答案】-2【解析】24ab+= 222212212222224aba ba ba b+++=≥⋅=≤ 1422log 2a b ∴+≤=- 当11,2a b =-=- 时取等号故答案为-2.15．【2018届江苏省兴化市三校高三12月联考】已知实数,x y 满足220{40 10x y x y y --≥+-≤-≥，则yx的最小值为__________．【答案】13【解析】联立220{40x y x y --=+-= 得交点A ()2,2 ，联立220{10x y y --=-=得交点B 3,12⎛⎫⎪⎝⎭，联立40{10x y y +-=-= 得交点C ()3,1 即可行域是由ABC 三点围成的三角形及其内部，令z yx= 表示点(),x y 与()0,0 连线的斜率，故最小值为13OC k = 故答案为1316．在圆x 2＋y 2＝5x 内，过点53,22⎛⎫⎪⎝⎭有n 条弦的长度成等差数列，最短弦长为数列的首项a 1，最长弦长为a n ，若公差11,63d ⎛⎤∈⎥⎝⎦，那么n 的取值集合为________. 【答案】{}4,5,6 【解析】由已知52x ⎛⎫-⎪⎝⎭2＋y 2＝254，圆心为5,02⎛⎫⎪⎝⎭，半径为52，得a 14，a n ＝2×52＝5，由a n ＝a 1＋(n －1)d ⇔n ＝1d＋1，又16<d≤13，所以4≤n<7，则n 的取值集合为{4,5,6}．三、解答题（共6道小题，共70分）17.【2018届全国名校高三第三次联考】某市垃圾处理站每月的垃圾处理成本y （元）与月垃圾处理量x （吨）之间的函数关系可近似地表示为21200800002y x x =-+，求该站每月垃圾处理量为多少吨时，才能使每吨垃圾的平均处理成本最低？最低平均处理成本是多少？【答案】该站垃圾处理量为400吨时，才能使每吨垃圾的平均处理成本最低，最低成本为200元18．已知正项等比数列{}n b （*n N ∈）中，公比1q >，且3540b b +=， 35·256b b =， 2log 2n n a b =+. （1）求证：数列{}n a 是等差数列. （2）若11·n n n c a a -=，求数列{}n c 的前n 项和n S .【答案】（1）见解析；（2）39nn +. 【解析】试题分析：（1）由3540b b +=， 35·256b b =可知3b ， 5b 是方程2402560x x -+=的两根，再根据公比1q >，求出3b ,5b ，即可求出数列{}n b 的通项公式，结合2log 2n n a b =+，以及等差数列的定义即可证明数列{}n a 是等差数列；（2）由（1）可求出数列{}n c 的通项公式，结合数列特点，根据裂项法求和，即可求出数列{}n c 的前n 项和n S . 试题解析：（1）由353540{·256b b b b +==，，知3b ,5b 是方程2402560x x -+=的两根，注意到1n n b b +>，得38b =， 532b =，因为2534b q b ==，所以2q =或2q =-（不可题意，舍去）. 所以312824b b q ===，所以212n nn b b q -==， 22log 2log 222n n n a b n =+=+=+. 因为()][11221n n a a n n -⎡⎤-=++-+=⎣⎦，所以数列{}n a 是首项为3，公差为1的等差数列. （2）因为()3112n a n n =+-⨯=+，所以()()123n c n n =++，所以()()111344523n S n n =+++⨯⨯++111111344523n n =-+-++-++ 39nn =+. 19．设数列{a n }的前n 项和为S n .已知2S n ＝3n＋3. (1)求{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足a n b n ＝log 3a n ，求{b n }的前n 项和T n . 【答案】(1) 13,1{3,1n n n a x -==>；(2) 13631243n nn T +=-⨯. 【解析】试题分析：(1)由递推关系可得a 1＝3，利用通项公式与前n 项和的关系可知：当n>1时，2a n ＝2S n －2S n －1＝3n －3n －1＝2×3n －1，则a n ＝3n －1，综上可得： 13,1{3,1n n n a x -==>；(2)结合(1)中求得的通项公式错位相减可得{b n }的前n 项和13631243n nn T +=-⨯. 试题解析：(1)因为2S n ＝3n ＋3，所以2a 1＝3＋3，故a 1＝3，当n>1时，2S n －1＝3n －1＋3，此时2a n ＝2S n －2S n －1＝3n －3n －1＝2×3n －1，即a n ＝3n －1，显然a 1不满足a n ＝3n －1，所以a n ＝(2)因为a n b n ＝log 3a n ，所以b 1＝，当n>1时，b n ＝31－n log 33n －1＝(n －1)·31－n ，所以T 1＝b 1＝.当n>1时，T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝＋[1×3－1＋2×3－2＋3×3－3＋…＋(n －1)×31－n ]，所以3T n ＝1＋[1×30＋2×3－1＋3×3－2＋…＋(n －1)×32－n ]，两式相减，得2T n ＝＋(30＋3－1＋3－2＋3－3＋…＋32－n )－(n －1)×31－n ＝＋－(n －1)×31－n ＝－，所以T n ＝－.经检验，n ＝1时也适合．综上可得T n ＝－.20．数列{}n a 的前n 项和记为n S ， 11a =，点()1,n n S a +在直线31y x =+上， *N n ∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设41log n n b a +=， n n n c a b =+， n T 是数列{}n c 的前n 项和，求n T ．【答案】（1）14n n a -=；（2）2111143223n n n ⋅++-. 【解析】试题分析：（1）由()1,n n S a +在直线31y x =+上可得， 131n n a S +=+，所以()1312n n a S n -=+≥，两式相减得{}n a 为等比数列，从而得出{}n a 的通项公式；（2）求出4log 4nn b n ==，利用分组求和法以及等差数列的求和公式与等比数列的求和公式可得出n T .试题解析：（1）由题知131n n a S +=+，所以()1312n n a S n -=+≥，两式相减得()132n n n a a a n +-=≥，又21314a a =+=，所以{}n a 是以1为首项，4为公比的等比数列．14n n a -=（2）4log 4n n b n ==， 14n n c n -=+，所以()1141142n n n n T +-=⋅+=- 2111143223n n n ⋅++-. 21．【2018届上海市十二校高三联考】设{}n a 是首项为1a ，公比为q 的等比数列， n S 为数列{}n a 的前n 项和. （1）已知22a =，且3a 是13,S S 的等差中项，求数列{}n a 的通项公式；（2）当11,2a q ==时，令()4log 1n n b S =+，求证：数列{}n b 是等差数列.【答案】（1）12n n a -=或()21nn a =⋅-（2）见解析.试题解析：（1）由题意23132{2a a S S ==+，122111112{2a q a q a a a q a q =⇒=+++ 12{ 1q a =⇒=或11{ 2q a =-=-所以12n n a -=或()21nn a =⋅-（2）由题意得21nn S =-()412n n nb log S ⇒=+=2n ≥时，因为111222n n n n b b ---=-=所以数列{}n b 是公差为12的等差数列.22．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意正整数n ，满足2n n S a =-. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2n n b na =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，是否存在正整数n ，使53n T <? 若存在，求出符合条件的所有n 的值构成的集合A ；若不存在，请说明理由.【答案】(1) 112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭；(2) {}1,2A =.【解析】试题分析：（1）由和项与通项关系可得项之间递推关系，再根据等比数列定义可得数列{}n a 的通项公式；（2）由错位相减法可得n T ，再化简不等式得1434n n -<+，根据指数函数与一次函数图像可得n 的值（2）由（1）知， 214n n n n b na -==，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，则22123114444n n n n n T ---=+++++，① 3231442444n n n n n T ---=+++++，② ②-①得321111354444n n n n n T ---=++++-， 11634334n n -+=-⨯，所以，数列{}n b 的前n 项和为11634994n n n T -+=-⨯. 要使53n T <，即1163459943n n -+-<⨯，所以11134,434994n n n n --+<<+⨯. 当1n =时， 17<，当2n =时， 410<，当3n =时， 1613>，结合函数14x y -=与34y x =+的图象可知，当3n >时都有1434n n ->+，所以 {}1,2A =.。

2018大二轮高考总复习理数文档：解答题6 选修4-5不等式选讲含解析精品

第一单元高考中档大题突破解答题06：选修4－5(不等式选讲)基本考点——绝对值不等式1．含有绝对值的不等式的解法 (1)|f (x )|>a (a >0)⇔f (x )>a 或f (x )<－a ； (2)|f (x )|<a (a >0)⇔－a <f (x )<a ；(3)对形如|x －a |＋|x －b |≤c ，|x －a |＋|x －b |≥c 的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解．2．用零点分段法解绝对值不等式的步骤 (1)求零点．(2)划区间、去绝对值号．(3)分别解去掉绝对值的不等式(组)．(4)取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值． 3．图象法求解绝对值不等式用图象法，数形结合可以求解含有绝对值的不等式，可在直角坐标系中作出不等式所对应函数的图象，利用函数图象求解．1．(2016·全国乙卷)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|． (1)画出y ＝f (x )的图象；(2)求不等式|f (x )|>1的解集．解：(1)由题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≤－1，3x －2，－1<x ≤32，－x ＋4，x >32.故y ＝f (x )的图象如图所示．(2)由f (x )的函数表达式及图象可知，当f (x )＝1时，可得x ＝1或x ＝3；当f (x )＝－1时，可得x ＝13或x ＝5．故f (x )>1的解集为{x |1<x <3}， f (x )<－1的解集为{x |x <13或x >5}．所以|f (x )|>1的解集为{x |x <13或1<x <3或x >5}．2．(2017·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋4，g (x )＝|x ＋1|＋|x －1|． (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥g (x )的解集；(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，不等式f (x )≥g (x )等价于 x 2－x ＋|x ＋1|＋|x －1|－4≤0.①当x ＜－1时，①式化为x 2－3x －4≤0，无解；当－1≤x ≤1时，①式化为x 2－x －2≤0，从而－1≤x ≤1；当x ＞1时，①式化为x 2＋x －4≤0，从而1＜x ≤－1＋172．所以f (x )≥g (x )的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1≤x ≤－1＋172．(2)当x ∈[－1,1]时，g (x )＝2，所以f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]等价于当x ∈[－1,1]时，f (x )≥2．又f (x )在[－1,1]的最小值必为f (－1)与f (1)之一，所以f (－1)≥2且f (1)≥2，得－1≤a ≤1．所以a 的取值范围为[－1,1]．常考热点——证明不等式1．含有绝对值的不等式的性质 |a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |． 2．算术—几何平均不等式定理1：设a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab .当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理2：如果a 、b 为正数，则a ＋b 2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理3：如果a 、b 、c 为正数，则a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a n n≥na 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立．3．证明不等式的3种基本方法(1)比较法有作差比较法和作商比较法两种．(2)用综合法证明不等式时，主要是运用基本不等式证明，一方面要注意基本不等式成立的条件，另一方面要善于对式子进行恰当的转化、变形．(3)如果已知条件与待证明的结论直接联系不明显，可考虑用分析法．1．(2017·全国卷Ⅱ)已知a >0，b >0，a 3＋b 3＝2.证明： (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)≥4； (2)a ＋b ≤2．证明：(1)(a ＋b )(a 5＋b 5)＝a 6＋ab 5＋a 5b ＋b 6＝(a 3＋b 3)2－2a 3b 3＋ab (a 4＋b 4)＝4＋ab (a 2－b 2)2≥4．(2)因为(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3＝2＋3ab (a ＋b )≤2＋3(a ＋b )24(a ＋b )＝2＋3(a ＋b )34，所以(a ＋b )3≤8，因此a ＋b ≤2．2．(2016·全国甲卷)已知函数f (x )＝|x －12|＋|x ＋12|，M 为不等式f (x )<2的解集．(1)求M ；(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |<|1＋ab |．(1)解：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ≤－12，1，－12<x <12，2x ，x ≥12.当x ≤－12时，由f (x )<2得－2x <2，解得x >－1；当－12<x <12时，f (x )<2恒成立；当x ≥12时，由f (x )<2得2x <2，解得x <1．所以f (x )<2的解集M ＝{x |－1<x <1}．(2)证明：由(1)知，当a ，b ∈M 时，－1<a <1，－1<b <1，从而(a ＋b )2－(1＋ab )2＝a 2＋b 2－a 2b 2－1＝(a 2－1)·(1－b 2)<0．因此|a ＋b |<|1＋ab |．1．(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|x －2|． (1)求不等式f (x )≥1的解集；(2)若不等式f (x )≥x 2－x ＋m 的解集非空，求m 的取值范围．解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ＜－1，2x －1，－1≤x ≤2，3，x ＞2.当x ＜－1时，f (x )≥1无解；当－1≤x ≤2时，由f (x )≥1，得2x －1≥1，解得1≤x ≤2；当x ＞2时，由f (x )≥1，解得x ＞2．所以f (x )≥1的解集为{x |x ≥1}． (2)由f (x )≥x 2－x ＋m ，得 m ≤|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ．而|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ≤|x |＋1＋|x |－2－x 2＋|x | ＝－⎝⎛⎭⎫|x |－322＋54≤54，且当x ＝32时，|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ＝54，故m 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，54． 2．(2017·莆田一模)已知函数f (x )＝|x －4|＋|x －2|． (1)求不等式f (x )＞2的解集；(2)设f (x )的最小值为M ，若2x ＋a ≥M 的解集包含[0,1]，求a 的取值范围．解：(1)f (x )＝|x －4|＋|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧6－2x ，x ≤22，2＜x ＜4.2x －6，x ≥4∴当x ≤2时，f (x )＞2,6－2x ＞2，解得x ＜2；当2＜x ＜4时，f (x )＞2得2＞2，无解；当x ≥4时，f (x )＞2得2x －6＞2，解得x ＞4．所以不等式f (x )＞2的解集为(－∞，2)∪(4，＋∞)． (2)∵|x －4|＋|x －2|≥2，∴M ＝2， ∵2x ＋a ≥M 的解集包含[0,1]， ∴20＋a ≥2,21＋a ≥2，∴a ≥1．故a 的取值范围为[1，＋∞)．3．(2017·濮阳一模)已知函数f (x )＝|x －1|，不等式f (x ＋5)≤3m (m ＞0)的解集为[－7，－1](1)求m 的值；(2)已知a ＞0，b ＞0，且2a 2＋b 2＝3m ，求2a 1＋b 2的最大值．解：(1)函数f (x )＝|x －1|，不等式f (x ＋5)≤3m (m ＞0)，即|x ＋4|≤3m ，即－3m ≤x ＋4≤3m ，即－4－3m ≤x ≤3m －4，即不等式的解集为[－4－3m,3m －4]．再根据它的解集为[－7，－1]，可得⎩⎪⎨⎪⎧－4－3m ＝－73m －4＝－1，∴m ＝1．(2)已知a ＞0，b ＞0，且2a 2＋b 2＝3m ＝3，∴2a 1＋b 2＝2·2a ·1＋b 2≤2·2a 2＋1＋b 22＝22，当且仅当2a ＝1＋b 2时，即a ＝b ＝1时，等号成立，故2a 1＋b 2的最大值为22．4．(2017·清远一模)已知不等式|x ＋3|－2x －1＜0的解集为(x 0，＋∞)． (1)求x 0的值；(2)若函数f (x )＝|x －m |＋|x ＋1m|－x 0(m ＞0)有零点，求实数m 的值．解：(1)不等式转化为⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－3－(x ＋3)－2x －1＜0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞－3x ＋3－2x －1＜0，解得x ＞2，∴x 0＝2．(2)由题意f (x )＝|x －m |＋⎪⎪⎪⎪x ＋1m －x 0(m ＞0)有零点，等价于|x －m |＋|x ＋1m |＝2(m ＞0)有解，∵|x －m |＋|x ＋1m |≥m ＋1m ，当且仅当(x －m )(x ＋1m )≤0时取等号，∵|x －m |＋|x ＋1m |＝2(m ＞0)有解，∴m ＋1m ≤2，∵m ＋1m ≥2，∴m ＋1m＝2，∴m ＝15．(2017·汕头一模)已知函数f (x )＝|x －2|＋|2x ＋a |，a ∈R ． (1)当a ＝1时，解不等式f (x )≥5；(2)若存在x 0满足f (x 0)＋|x 0－2|＞3，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝|x －2|＋|2x ＋1|，由f (x )≥5得|x －2|＋|2x ＋1|≥5．当x ≥2时，不等式等价于x －2＋2x ＋1≥5，解得x ≥2，所以x ≥2;当－12＜x ＜2时，不等式等价于2－x ＋2x ＋1≥5，即x ≥2，所以此时不等式无解；当x ≤－12时，不等式等价于2－x －2x －1≥5，解得x ≤－43，所以x ≤－43．所以原不等式的解集为⎝⎛⎦⎤－∞，－43∪[2，＋∞)． (2)f (x 0)＋|x 0－2|＝2|x 0－2|＋|2x 0＋a |＝|2x 0－4|＋|2x 0＋a |≥|2x 0＋a －(2x 0－4)|＝|a ＋4|，因为原命题等价于(f (x 0)＋|x 0－2|)min ＞3，所以|a ＋4|＞3，所以a 的取值范围为a ＜－7或a ＞－1． 6．(2017·梅州一模)设函数f (x )＝|x ＋8m |＋|x －2m |(m ＞0)．(1)求证：f (x )≥8恒成立；(2)求使得不等式f (1)＞10成立的实数m 的取值范围． (1)证明：函数f (x )＝|x ＋8m|＋|x －2m |(m ＞0)，∴f (x )＝|x ＋8m |＋|x －2m |≥|x ＋8m －(x －2m )|＝|8m ＋2m |＝8m ＋2m ≥28m·2m ＝8，当且仅当m ＝2时，取等号，故f (x )≥8恒成立．(2)解：f (1)＝|1＋8m |＋|1－2m |，当m ＞12时，f (1)＝1＋8m －(1－2m )，不等式即8m＋2m ＞10，化简为m 2－5m ＋4＞0，求得m ＜1或m ＞4，故此时m 的范围为⎝⎛⎭⎫12，1∪(4，＋∞)．当0＜m ≤12时，f (1)＝1＋8m ＋(1－2m )＝2＋8m －2m 关于变量m 单调递减，故当m ＝12时，f (1)取得最小值为17，故不等式f (1)＞10恒成立．综上可得，m 的范围为(0,1)∪(4，＋∞)．。

【高三数学试题精选】2018高考数学集合、不等式、复数等二轮专题复习题(有答案)

2018高考数学集合、不等式、复数等二轮专题复习题（有
答案）
5 专题升级训练集合与常用逻辑用语
(时间60分钟满分100分)
一、选择题(本大题共6小题,每小题6分,共36分)
1(x)},则图中阴影部分表示的集合为( )
A{x|x≥1}B{x|1≤x 2}
c{x|0 x≤1}D{x|x≤1}
3(1
D对任意x∈,使sin x x
二、填空题(本大题共3小题,每小题6分,共18分)
7已知集合A={3,2}, B={-1,3,2-1}若A B,则实数的值为
8若命题“ x∈R,ax2-ax-2≤0”是真命题,则a的取值范围是
9已知下列命题
①命题“ x∈R,x2+1 3x”的否定是“ x∈R,x2+1
②已知p,q为两个命题,若“p∨q”为假命题,则“(􀱑p)∧(􀱑q)”为真命题;
③ “a 2”是“a 5”的充分不必要条;
④“若x=0,则x=0且=0”的逆否命题为真命题
其中所有真命题的序号是
三、解答题(本大题共3小题,共46分解答应写出必要的字说明、证明过程或演算步骤)
10(本小题满分15分)已知集合A={x|3≤x 7},B={x|2 x 10},c={x|x a},全集为实数集R
(1)求A∪B;
(2)( RA)∩B;
(3)如果A∩c≠ ,求a的取值范围。

2018届高考数学(理)二轮专题复习：第一部分专题四数列 1-4-2 含答案

限时规范训练十一数列求和及综合应用限时45分钟，实际用时分值81分，实际得分一、选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分)1．数列{a n }中，a 1＝1，对所有n ∈N *都有a 1·a 2·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5＝( ) A.6116 B.259 C.2516D.3115解析：选A.当n ≥1时，a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2；当n ≥2时，a 1·a 2·a 3·…·a n －1＝(n －1)2.两式相除，得a n ＝⎝⎛⎭⎪⎫n n －12.∴a 3＝94，a 5＝2516，∴a 3＋a 5＝6116，故选A.2．已知S n 表示数列{a n }的前n 项和，若对任意n ∈N *满足a n ＋1＝a n ＋a 2，且a 3＝2，则S 2 019＝( ) A ．1 008×2 020 B ．1 008×2 019 C ．1 009×2 019D ．1 009×2 020解析：选C.在a n ＋1＝a n ＋a 2中，令n ＝1，得a 2＝a 1＋a 2，a 1＝0；令n ＝2，得a 3＝2＝2a 2，a 2＝1，于是a n ＋1－a n ＝1，故数列{a n }是首项为0，公差为1的等差数列，S 2 019＝2 019×2 0182＝1009×2 019.3．已知数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 1a 2a 3＝15，且3S 1S 3＋15S 3S 5＋5S 5S 1＝35，则a 2等于( )A ．2 B.12 C ．3D.13解析：选C.∵S 1＝a 1，S 3＝3a 2，S 5＝5a 3， ∴35＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋1a 1a 3， ∵a 1a 2a 3＝15.∴35＝a 315＋a 115＋a 215＝a 25，即a 2＝3. 4．数列{a n }的通项公式是a n ＝1n ＋n ＋1，若前n 项和为10，则项数n 为( ) A ．120 B ．99 C ．11 D ．121解析：选A.a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－nn ＋1＋n n ＋1－n＝n ＋1－n ，所以a 1＋a 2＋…＋a n ＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(n ＋1－n ) ＝n ＋1－1＝10.即n ＋1＝11，所以n ＋1＝121，n ＝120. 5.122－1＋132－1＋142－1＋…＋1n ＋12－1的值为( )A.n ＋12n ＋2B.34－n ＋12n ＋2C.34－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2D.32－1n ＋1＋1n ＋2解析：选C.∵1n ＋12－1＝1n 2＋2n ＝1nn ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2. ∴122－1＋132－1＋142－1＋…＋1n ＋12－1＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1n ＋1－1n ＋2＝34－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2.6．定义np 1＋p 2＋…＋p n为n 个正数p 1，p 2，…，p n 的“均倒数”．若已知正项数列{a n }的前n项的“均倒数”为12n ＋1，又b n ＝a n ＋14，则1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b 10b 11＝( )A.111 B.112 C.1011D.1112解析：选C.设数列{a n }的前n 项和为S n ，由na 1＋a 2＋…＋a n ＝12n ＋1得S n ＝n (2n ＋1)，∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4n －1，∴b n ＝4n －1＋14＝n ，则1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b 10b 11＝11×2＋12×3＋…＋110×11＝⎝⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫110－111＝1－111＝1011.故选C.二、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)7．在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＋1＋(－1)na n ＝cos(n ＋1)π，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2 019＝________.解析：∵a n ＋1＋(－1)n a n ＝cos(n ＋1)π＝(－1)n ＋1，∴当n ＝2k 时，a 2k ＋1＋a 2k ＝－1，k ∈N *，∴S 2 019＝a 1＋(a 2＋a 3)＋…＋(a 2 018＋a 2 019)＝1＋(－1)×1 009＝－ 1008.答案：－1 0088．若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式a n ＝________.解析：当n ＝1时，由已知S n ＝23a n ＋13，得a 1＝23a 1＋13，即a 1＝1；当n ≥2时，由已知得到S n－1＝23a n －1＋13，所以a n ＝S n －S n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23a n ＋13－⎝ ⎛⎭⎪⎫23a n －1＋13＝23a n －23a n －1，所以a n ＝－2a n －1，所以数列{a n }为以1为首项，－2为公比的等比数列，所以a n ＝(－2)n －1.答案：(－2)n －19．在等比数列{a n }中，0＜a 1＜a 4＝1，则能使不等式⎝⎛⎭⎪⎫a 1－1a 1＋⎝⎛⎭⎪⎫a 2－1a 2＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫a n －1an≤0成立的最大正整数n 是________．解析：设等比数列的公比为q ，由已知得a 1q 3＝1，且q ＞1，⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－1a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－1a 2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －1a n ＝(a 1＋a 2＋…＋a n )－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝a 11－q n 1－q －1a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1q n 1－1q≤0，化简得q －3≤q4－n，则－3≤4－n ，n ≤7. 答案：7三、解答题(本题共3小题，每小题12分，共36分) 10．等差数列{a n }中，a 2＝4，a 4＋a 7＝15. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n －2＋n ，求b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10的值．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d .由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝4，a 1＋3d ＋a 1＋6d ＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝1.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ＋2. (2)由(1)可得b n ＝2n＋n . 所以b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(210＋10) ＝(2＋22＋23＋…＋210)＋(1＋2＋3＋ (10)＝21－2101－2＋1＋10×102＝(211－2)＋55 ＝211＋53＝2 101.11．已知正项数列{a n }的前n 项和S n 满足：4S n ＝(a n －1)(a n ＋3)(n ∈N *)． (1)求a n ；(2)若b n ＝2n·a n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)∵4S n ＝(a n －1)(a n ＋3)＝a 2n ＋2a n －3， ∴当n ≥2时，4S n －1＝a 2n －1＋2a n －1－3，两式相减得，4a n ＝a 2n －a 2n －1＋2a n －2a n －1，化简得，(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0， ∵{a n }是正项数列，∴a n ＋a n －1≠0，∴a n －a n －1－2＝0，对任意n ≥2，n ∈N *都有a n －a n －1＝2，又由4S 1＝a 21＋2a 1－3得，a 21－2a 1－3＝0，解得a 1＝3或a 1＝－1(舍去)，∴{a n }是首项为3，公差为2的等差数列， ∴a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1. (2)由已知及(1)知，b n ＝(2n ＋1)·2n ，T n ＝3·21＋5·22＋7·23＋…＋(2n －1)·2n －1＋(2n ＋1)·2n ，①2T n ＝3·22＋5·23＋7·24＋…＋(2n －1)·2n ＋(2n ＋1)·2n ＋1，②②－①得，T n ＝－3×21－2(22＋23＋24＋…＋2n )＋(2n ＋1)·2n ＋1＝－6－2×41－2n －11－2＋(2n ＋1)·2n ＋1＝2＋(2n －1)·2n ＋1.12．若数列{a n }的前n 项和为S n ，点(a n ，S n )在y ＝16－13x 的图象上(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若c 1＝0，且对任意正整数n 都有c n ＋1－c n ＝log 12a n .求证：对任意正整数n ≥2，总有13≤1c 2＋1c 3＋1c 4＋…＋1c n ＜34.解：(1)∵S n ＝16－13a n ，∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝13a n －1－13a n ，∴a n ＝14a n －1.又∵S 1＝16－13a 1，∴a 1＝18，∴a n ＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122n ＋1.(2)证明：由c n ＋1－c n ＝log 12a n ＝2n ＋1，得当n ≥2时，c n ＝c 1＋(c 2－c 1)＋(c 3－c 2)＋…＋(c n －c n －1)＝0＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2－1＝(n ＋1)(n －1)．∴1c 2＋1c 3＋1c 4＋…＋1c n ＝122－1＋132－1＋142－1＋…＋1n 2－1 ＝12×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1 ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1n ＋1＝34－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1n ＋1＜34. 又∵1c 2＋1c 3＋1c 4＋…＋1c n ≥1c 2＝13，∴原式得证．。

【高三数学试题精选】2018高考数学(理)二轮复习不等式配套试题

2018高考数学(理)二轮复习不等式配套试题
5 c 精品题库试题
理数
1 (1,代入验证得A、B、c均错,只有D正确
2(2018东,5,5分)已知实数x,满足ax a(0 a 1),则下列关系式恒成立的是( )
A
Bl n(x2+1) ln(2+1)
csin x sin Dx3 3
[答案] 2D
[解析] 2∵ax a,0 a 1,∴x ,∴x3 3
3(2018重庆七校联盟, 2) 已知，那么下列不等式成立的是（）[答案] 3 D
[解析] 3 ，，，又，
4(2018重庆市高三九校一月联合诊断考试，4,5分) 下列不等式中正确的是（）
A． B． c． D．
[答案] 4A
[解析] 4 解法一 A中，，所以，所以A正确；B中，，所以，所以B不正确；c中，，所以，所以c不正确；D中，，所以，所以D不正确解法二由于取，所以，，，B、c、D均不成立，排除B、c、D，故选A
5（201 3年四川成都市高新区高三4月月考，2,5分）已知命题p“若直线与直线垂直，则” ；命题q“ ” 是” ”的充要条，则( )
A p真，q假
B “ ” 真c “ ” 真D “ ” 假
[答案] 5D
[ 解析] 5若直线与直线垂直，则，解得故命题是假命题；。

专题04 数列与不等式理-2018年高考题和高考模拟题数学(理)分项版汇编含解析

4、数列与不等式1、【2018年浙江卷】已知成等比数列，且、若，则A. B. C. D.【答案】B【解析】分析:先证不等式，再确定公比取值范围，进而作出判断.点睛：构造函数对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围，是一个有效方法.如2、【2018年理新课标I卷】设为等差数列前项和，若，，则A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：首先设出等差数列公差为，利用等差数列求和公式，得到公差所满足等量关系式，从而求得结果，之后应用等差数列通项公式求得，从而求得正确结果.详解：设该等差数列公差为，根据题中条件可得，整理解得，所以，故选B.点睛：该题考查是有关等差数列求和公式和通项公式应用，在解题过程中，需要利用题中条件，结合等差数列求和公式，得到公差值，之后利用等差数列通项公式得到与关系，从而求得结果.3、【2018年理北京卷】设是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则通项公式为__________、【答案】点睛：在解决等差、等比数列运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为首项与公差（公比）问题,虽有一定量运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列性质,性质是两种数列基本规律深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便工具，应有意识地去应用.4、【2018年浙江卷】已知集合，、将所有元素从小到大依次排列构成一个数列、记为数列前n项和，则使得成立n最小值为________、【答案】27【解析】分析：先根据等差数列以及等比数列求和公式确定满足条件项数取值范围，再列不等式求满足条件项数最小值.详解：设，则，由得，所以只需研究是否有满足条件解，此时，，为等差数列项数，且.由得满足条件最小值为.点睛：本题采用分组转化法求和，将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列和.分组转化法求和常见类型主要有分段型（如），符号型（如），周期型（如）.5、【2018年理新课标I卷】记为数列前项和，若，则_____________、【答案】详解：根据，可得，两式相减得，即，当时，，解得，所以数列是以-1为首项，以2为公布等比数列，所以，故答案是.点睛：该题考查是有关数列求和问题，在求解过程中，需要先利用题中条件，类比着往后写一个式子，之后两式相减，得到相邻两项之间关系，从而确定出该数列是等比数列，之后令，求得数列首项，最后应用等比数列求和公式求解即可，只要明确对既有项又有和式子变形方向即可得结果.6、【2018年浙江卷】已知等比数列{a n}公比q>1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5等差中项、数列{b n}满足b1=1，数列{（b n+1−b n）a n}前n项和为2n2+n、（Ⅰ）求q值；（Ⅱ）求数列{b n}通项公式、【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】分析:（Ⅰ）根据条件、等差数列性质及等比数列通项公式即可求解公比，（Ⅱ）先根据数列前n项和求通项，解得，再通过叠加法以及错位相减法求.详解：（Ⅰ）由是等差中项得，所以，解得.由得，因为，所以.（Ⅱ）设，数列前n项和为.由解得.由（Ⅰ）可知，所以，故，.设，所以，因此，又，所以.点睛：用错位相减法求和应注意问题：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数情形；(2)在写出“”与“”表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.7、【2018年理数天津卷】设是等比数列，公比大于0，其前n项和为，是等差数列.已知，，，.（I）求和通项公式；（II）设数列前n项和为，（i）求；（ii）证明.【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)（i）.（ii）证明见解析.详解：（I）设等比数列公比为q.由可得.因为，可得，故.设等差数列公差为d，由，可得由，可得从而故所以数列通项公式为，数列通项公式为（II）（i）由（I），有，故. （ii）因为，所以.点睛：本题主要考查数列通项公式求解，数列求和方法，数列中指数裂项方法等知识，意在考查学生转化能力和计算求解能力.8、【2018年江苏卷】设，对1，2，···，n一个排列，如果当s<t时，有，则称是排列一个逆序，排列所有逆序总个数称为其逆序数、例如：对1，2，3一个排列231，只有两个逆序(2，1)，(3，1)，则排列231逆序数为2、记为1，2，···，n所有排列中逆序数为k全部排列个数、（1）求值；（2）求表达式(用n表示)、【答案】（1）2 5 2）n≥5时，【解析】分析：（1）先根据定义利用枚举法确定含三个元素集合中逆序数为2个数，再利用枚举法确定含四个元素集合中逆序数为2个数；（2）先寻求含n个元素集合中逆序数为2与含n+1个元素集合中逆序数为2个数之间关系，再根据叠加法求得结果.详解：解：（1）记为排列abc逆序数，对1，2，3所有排列，有，所以、对1，2，3，4排列，利用已有1，2，3排列，将数字4添加进去，4在新排列中位置只能是最后三个位置、因此，、点睛：探求数列通项公式方法有观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见数列)等方法.寻求相邻项之间递推关系，是求数列通项公式一个有效方法.9、【2018年江苏卷】设是首项为，公差为d等差数列，是首项为，公比为q等比数列、（1）设，若对均成立，求d取值范围；（2）若，证明：存在，使得对均成立，并求取值范围（用表示）、【答案】（1）d取值范围为、（2）d取值范围为，证明见解析。

2018届高考数学二轮不等式专题卷(全国通用)

不等式0221、已知集合{}|1A x x a =-≤，{}2540B x x x =-+≥。

若A B =∅ ，则实数a 的取值范围是。

)3,2(22、不等式3)61(log 2≤++xx 的解集为。

答案：{}(331x ∈---+⋃。

23、不等式0212<---x x 的解集为。

答案：{|11}x x -<<。

24、不等式x x >-|23|的解集是。

答案：),1()21,(+∞⋃-∞。

25、若实数,x y 满足2045x y x y +-≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩，则s y x =-的最小值为。

答案：6-。

26、,0<∃x ，使得不等式t x x --<22成立，则实数t 的取值范围是。

答案：⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,49 27、若关于x 的不等式62<+ax 的解集为()2,1-，则实数a 的值等于。

答案：—4。

28、如果关于x 的不等式34x x a ---<的解集不是空集，则实数a 的取值范围是。

答案：()+∞-,129、若不等式aa x x 4|3||1|+≥-++对任意的实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是。

答案：}2{)0,(⋃-∞。

30、若关于x 的不等式12a x x ≥++-存在实数解，则实数a 的取值范围是。

解析：因为12|12|3x x x x ++-≥+-+=，所以12a x x ≥++-存在实数解，有3a ≥，(,3][3,)-∞-+∞ 。

31、当(12)x ∈，时，不等式240x mx ++<恒成立，则m 的取值范围是。

答案：]5,(-∞。

32、若不等式2229tt a t t +≤≤+在]2,0(∈t 上恒成立，则实数a 的取值范围是。

答案：]1,132[。

33、设m 为实数，若22250(,)30{(,)|25}0x y x y x x y x y mx y ⎧⎫-+≥⎧⎪⎪⎪-≥⊆+≤⎨⎨⎬⎪⎪⎪+≥⎩⎩⎭，则m 的取值范围是。

2018届高考数学(理)二轮专题复习：第一部分专题二函数、不等式、导数 1-2-4

限时规范训练七导数的综合应用限时45分钟，实际用时分值81分，实际得分一、选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分)1．如果函数y ＝f (x )的导函数的图象如图所示，给出下列判断：①函数y ＝f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫－3，－12内单调递增； ②函数y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3内单调递减；③函数y ＝f (x )在区间(4,5)内单调递增； ④当x ＝2时，函数y ＝f (x )取极小值； ⑤当x ＝－12时，函数y ＝f (x )取极大值．则上述判断中正确的是( ) A ．①② B ．②③ C ．③④⑤D ．③解析：选D.当x ∈(－3，－2)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，①错；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，当x ∈(2,3)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，②错；当x ＝2时，函数y ＝f (x )取极大值，④错；当x ＝－12时，函数y ＝f (x )无极值，⑤错．故选D.2．若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．[1,2)C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2 解析：选C.f ′(x )＝4x －1x ＝2x －12x ＋1x，∵x ＞0，由f ′(x )＝0得x ＝12.∴令f ′(x )＞0，得x ＞12；令f ′(x )＜0，得0＜x ＜12.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧k －1≥0，k －1＜12＜k ＋1⇒1≤k ＜32.故C 正确．3．已知函数f (x )(x ∈R )满足f ′(x )＞f (x )，则( ) A ．f (2)＜e 2f (0) B ．f (2)≤e 2f (0) C ．f (2)＝e 2f (0)D ．f (2)＞e 2f (0)解析：选D.由题意构造函数g (x )＝f xex，则g ′(x )＝f ′x －f xex＞0，则g (x )＝f xex在R 上单调递增，则有g (2)＞g (0)，故f (2)＞e 2f (0)．4．不等式e x－x ＞ax 的解集为P ，且[0,2]⊆P ，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，e －1) B ．(e －1，＋∞) C ．(－∞，e ＋1)D ．(e ＋1，＋∞)解析：选A.由题意知不等式e x－x ＞ax 在区间[0,2]上恒成立，当x ＝0时，不等式显然成立，当x ≠0时，只需a ＜e xx －1恒成立，令f (x )＝e xx－1，f ′(x )＝e xx －1x 2，显然函数在区间(0,1]上单调递减，在区间[1,2]上单调递增，所以当x ＝1时，f (x )取得最小值e －1，则a ＜e －1，故选A.5．设函数f (x )＝ln x ，g (x )＝ax ＋b x，它们的图象在x 轴上的公共点处有公切线，则当x ＞1时，f (x )与g (x )的大小关系是( )A ．f (x )＞g (x )B ．f (x )＜g (x )C ．f (x )＝g (x )D ．f (x )与g (x )的大小关系不确定解析：选B.由题意得f (x )与x 轴的交点(1,0)在g (x )上，所以a ＋b ＝0，因为函数f (x )，g (x )的图象在此公共点处有公切线，所以f (x )，g (x )在此公共点处的导数相等，f ′(x )＝1x，g ′(x )＝a －b x 2，以上两式在x ＝1时相等，即1＝a －b ，又a ＋b ＝0，所以a ＝12，b ＝－12，即g (x )＝x 2－12x ，f (x )＝ln x ，令h (x )＝f (x )－g (x )＝ln x －x 2＋12x ，则h ′(x )＝1x －12－12x 2＝2x －x 2－12x2＝－x －122x2，因为x ＞1，所以h ′(x )＜0，所以h (x )在(1，＋∞)上单调递减，所以h (x )＜h (1)＝0，所以f (x )＜g (x )．故选B.6．设函数f (x )＝ax 3－x ＋1(x ∈R )，若对于任意x ∈[－1,1]都有f (x )≥0，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，2]B ．[0，＋∞)C ．[0,2]D ．[1,2]解析：选C.∵f (x )＝ax 3－x ＋1，∴f ′(x )＝3ax 2－1，当a ＜0时，f ′(x )＝3ax 2－1＜0，f (x )在[－1,1]上单调递减，f (x )min ＝f (1)＝a ＜0，不符合题意．当a ＝0时，f (x )＝－x ＋1，f (x )在[－1,1]上单调递减，f (x )min ＝f (1)＝0，符合题意．当a ＞0时，由f ′(x )＝3ax 2－1≥0，得x ≥13a 或x ≤－13a ，当0＜13a ＜1，即a ＞13时，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－13a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－13a，13a 上单调递减，在⎝⎛⎦⎥⎤13a ，1上单调递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧f －1＝－a ＋1＋1＝2－a ≥0f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫13a 3－13a ＋1≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2a ≥427a ＞13，∴13＜a ≤2；当13a ≥1，即0＜a ≤13时，f (x )在[－1,1]上单调递减， f (x )min ＝f (1)＝a ＞0，符合题意．综上可得，0≤a ≤2.二、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)7．已知y ＝f (x )为R 上的连续可导函数，且xf ′(x )＋f (x )＞0，则函数g (x )＝xf (x )＋1(x ＞0)的零点个数为________．解析：因为g (x )＝xf (x )＋1(x ＞0)，g ′(x )＝xf ′(x )＋f (x )＞0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增，又g (0)＝1，y ＝f (x )为R 上的连续可导函数，所以g (x )为(0，＋∞)上的连续可导函数，又g (x )＞g (0)＝1，所以g (x )在(0，＋∞)上无零点．答案：08．在函数f (x )＝a ln x ＋(x ＋1)2(x ＞0)的图象上任取两个不同点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，总能使得f (x 1)－f (x 2)≥4(x 1－x 2)，则实数a 的取值范围为________．解析：不妨设x 1＞x 2，则x 1－x 2＞0，∵f (x 1)－f (x 2)≥4(x 1－x 2)，∴f x 1－f x 2x 1－x 2≥4，∵f (x )＝a ln x ＋(x ＋1)2(x ＞0)∴f ′(x )＝a x ＋2(x ＋1)，∴a x ＋2(x ＋1)≥4，∴a ≥－2x 2＋2x ，又－2x 2＋2x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋12≤12，∴a ≥12. 答案：a ≥129．设函数y ＝f (x )图象上任意一点(x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝(3x 20－6x 0)(x －x 0)，且f (3)＝0，则不等式x －1f x≥0的解集为________．解析：∵函数y ＝f (x )图象上任意一点(x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝(3x 20－6x 0)(x －x 0)，∴f ′(x 0)＝3x 20－6x 0，∴f ′(x )＝3x 2－6x ，设f (x )＝x 3－3x 2＋c ，又f (3)＝0，∴33－3×32＋c ＝0，解得c ＝0，∴f (x )＝x 3－3x 2，∴x －1f x ≥0可化为x －1x 3－3x 2≥0，解得0＜x ≤1或x ＜0或x ＞3. 答案：(－∞，0)∪(0,1]∪(3，＋∞)三、解答题(本题共3小题，每小题12分，共36分) 10．(2017·高考全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝x －1－a ln x . (1)若f (x )≥0，求a 的值；(2)设m 为整数，且对于任意正整数n ，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n <m ，求m 的最小值．解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，①若a ≤0，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－12＋a ln 2<0，所以不满足题意．②若a >0，由f ′(x )＝1－a x ＝x －ax知，当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0. 所以f (x )在(0，a )单调递减，在(a ，＋∞)单调递增．故x ＝a 是f (x )在(0，＋∞)的唯一最小值点．因为f (1)＝0，所以当且仅当a ＝1时，f (x )≥0，故a ＝1.(2)由(1)知当x ∈(1，＋∞)时，x －1－ln x >0. 令x ＝1＋12n ，得ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n <12n ，从而ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122＋…＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n <12＋122＋…＋12n ＝1－12n <1.故⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n <e.而⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋123>2，所以m 的最小值为3. 11．设函数f (x )＝e mx＋x 2－mx .(1)证明：f (x )在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增；(2)若对于任意x 1，x 2∈[－1,1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤e －1，求m 的取值范围．解：(1)证明：f ′(x )＝m (e mx－1)＋2x .若m ≥0，则当x ∈(－∞，0)时，e mx－1≤0，f ′(x )＜0；当x ∈(0，＋∞)时，e mx－1≥0，f ′(x )＞0.若m ＜0，则当x ∈(－∞，0)时，e mx－1＞0，f ′(x )＜0；当x ∈(0，＋∞)时，e mx－1＜0，f ′(x )＞0.所以，f (x )在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增．(2)由(1)知，对任意的m ，f (x )在[－1,0]单调递减，在[0,1]单调递增，故f (x )在x ＝0处取得最小值．所以对于任意x 1，x 2∈[－1,1]，|f (x 1)－f (x 2)|≤e －1的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧f 1－f 0≤e－1，f－1－f0≤e－1，即⎩⎪⎨⎪⎧e m－m ≤e－1，e －m＋m ≤e－1.①设函数g (t )＝e t－t －e ＋1，则g ′(t )＝e t－1. 当t ＜0时，g ′(t )＜0；当t ＞0时，g ′(t )＞0. 故g (t )在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增．又g (1)＝0，g (－1)＝e －1＋2－e ＜0，故当t ∈[－1,1]时，g (t )≤0. 当m ∈[－1,1]时，g (m )≤0，g (－m )≤0，即①式成立；当m ＞1时，由g (t )的单调性，g (m )＞0，即e m－m ＞e －1；当m ＜－1时，g (－m )＞0，即e －m＋m ＞e －1. 综上，m 的取值范围是[－1,1]．12．已知函数f (x )＝mx 4x 2＋16，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －m |，其中m ∈R 且m ≠0. (1)判断函数f (x )的单调性；(2)当m ＜－2时，求函数F (x )＝f (x )＋g (x )在区间[－2,2]上的最值；(3)设函数h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧fx ，x ≥2，g x ，x ＜2，当m ≥2时，若对于任意的x 1∈[2，＋∞)，总存在唯一的x 2∈(－∞，2)，使得h (x 1)＝h (x 2)成立，试求m 的取值范围．解：(1)依题意，f ′(x )＝m 4－x 24x 2＋42＝m 2－x 2＋x4x 2＋42， ①当m ≥0时，解f ′(x )≥0得－2≤x ≤2，解f ′(x )＜0得x ＜－2或x ＞2；所以f (x )在[－2,2]上单调递增，在(－∞，－2)，(2，＋∞)上单调递减． ②当m ＜0时，解f ′(x )≤0得－2≤x ≤2，f ′(x )＞0得x ＜－2或x ＞2；所以f (x )在[－2,2]上单调递减；在(－∞，－2)，(2，＋∞)上单调递增． (2)当m ＜－2，－2≤x ≤2时，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －m |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －m ＝2m ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在[－2,2]上单调递减，由(1)知，f (x )在[－2,2]上单调递减，所以F (x )＝f (x )＋g (x )＝mx 4x 2＋16＋2m ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在[－2,2]上单调递减；∴F (x )max ＝F (－2)＝4×2m－m16＝2m ＋2－m16；F (x )min ＝F (2)＝2m －2＋m16.(3)当m ≥2，x 1∈[2，＋∞)时，h (x 1)＝f (x 1)＝mx 14x 21＋16，由(1)知h (x 1)在[2，＋∞)上单调递减，从而h (x 1)∈(0，f (2)]，即h (x 1)∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，m 16；当m ≥2，x 2＜2时，h (x 2)＝g (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x 2－m |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12m －x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12m ·2x 2在(－∞，2)上单调递增，从而h (x 2)∈(0，g (2))，即h (x 2)∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12m －2；对于任意的x 1∈[2，＋∞)，总存在唯一的x 2∈(－∞，2)，使得h (x 1)＝h (x 2)成立，只需m16＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12m －2，即m 16－⎝ ⎛⎭⎪⎫12m －2＜0成立即可．记函数H (m )＝m16－⎝ ⎛⎭⎪⎫12m －2，易知H (m )＝m16－⎝ ⎛⎭⎪⎫12m －2在[2，＋∞)上单调递增，且H (4)＝0. 所以m 的取值范围为[2,4)．。

.数列与不等式(练)-2018年高考数学(理)二轮复习讲练测含解析

2018高三二轮复习之讲练测之练案【新课标版理科数学】专题四数列与不等式1。

练高考1。

【2017浙江，6】已知等差数列{a n｝的公差为d，前n项和为S n，则“d〉0”是“S4 + S6〉2S5"的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C2。

【2017课标II,理5】设x，y满足约束条件2330233030x yx yy+-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y=+的最小值是（）A．15-B．9-C．1 D．9【答案】A【解析】3。

【2017课标1，理12】几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动。

这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1，2，1，2，4，1，2,4，8，1，2，4,8,16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推。

求满足如下条件的最小整数N：N〉100且该数列的前N项和为2的整数幂。

那么该款软件的激活码是（）A．440 B．330 C．220 D．110【答案】A4.【2017课标II ，理15】等差数列{}n a 的前n 项和为nS ,33a=,410S =,则11nk kS ==∑ 。

【答案】21nn + 【解析】5。

【2017课标3，文17】设数列{}n a 满足123(21)2n a an a n +++-=。

（1)求{}n a 的通项公式; （2)求数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和。

【答案】（1)122-=n a n;（2）122+n n【解析】试题分析：（1）先由题意得2≥n 时,)1(2)32(3121-=-+++-n a n a an ,再作差得122-=n a n ，验证1=n 时也满足（2）由于121121)12)(12(212+--=+-=+n n n n n a n ,所以利用裂项相消法求和。

2018届高三数学理高考二轮复习书讲解课件第一部分专题一第四讲不等式精品

C．4
D.92
考点二
试题解析
考点一考点二考点三
由 x＋y＋1x＋1y＝5，得 5＝x＋y＋x＋ xyy，∵x>0，y>0，∴5≥x＋y ＋xx＋＋2 yy2＝x＋y＋x＋4 y，∴(x＋y)2－5(x＋y)＋4≤0，解得 1≤x ＋y≤4，∴x＋y 的最大值是 4.
考点二
试题解析
考点一考点二考点三
(4)a＋1a≥2(a>0)，当且仅当 a＝1 时，等号成立；a＋1a≤－2(a<0)，当
且仅当 a＝－1 时，等号成立．
考点二
试题解析
考点一考点二考点三
[自主突破·提速练]
1．(2016·宜昌模拟)已知 x，y 属于正实数，且 x＋y＋1x＋1y＝5，则
x＋y 的最大值是( C )
A．3
7 B.2
考点一
试题通解优解
考点一考点二考点三
由题知，f(x)>0 的解集为x12<x<3 ，令12<ex<3，得－ln 2<x<ln 3，故选 D.
考点一
考点一考点二考点三
1.二次项系数中含有参数时，参数的符号会影响不等式的解集，讨论时不要忘记二次项系数为零的情况． 2．解决一元二次不等式恒成立问题要注意二次项系数的符号.
试题解析
根据约束条件画出可行域，将 z＝3x＋2y 的最小值转化为在 y 轴上的截距，当直线 z＝3x＋2y 经过点 B 时，z 最小，又 B 点坐标为(1，－2a)，代入 3x＋2y＝1，得 3－4a＝1，得 a＝12，故选 B.
考点三
考点三
试题解析
考点一考点二考点三
x＋y≤4

2018届高考数学二轮复习专题检测四不等式理

专题检测（四）不等式一、选择题1．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( )A ．(－3,1)∪(3，＋∞)B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3)解析：选A 由题意知f (1)＝3，故原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x <0，x ＋6>3或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x 2－4x ＋6>3，解得－3<x <1或x >3，所以原不等式的解集为(－3,1)∪(3，＋∞)．2．若实数a ，b ∈R 且a ＞b ，则下列不等式恒成立的是( ) A ．a 2＞b 2B.ab＞1 C ．2a＞2bD ．lg(a －b )＞0解析：选C 根据函数的图象与不等式的性质可知：当a ＞b 时，2a＞2b，故选C.3．(2017·兰州模拟)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋4y ≤12，则z ＝2x·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y 的最大值为( )A ．16B ．8C ．4D ．3解析：选A 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋4y ≤12表示的平面区域如图中阴影部分所示．又z ＝2x·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ＝2x －y ，令u ＝x －y ，则直线u ＝x －y 在点(4,0)处u 取得最大值，此时z 取得最大值且z max ＝24－0＝16.4．已知a ∈R ，不等式x －3x ＋a≥1的解集为p ，且－2∉p ，则a 的取值范围为( ) A ．(－3，＋∞)B ．(－3,2)C ．(－∞，2)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪[2，＋∞)解析：选D ∵－2∉p ，∴－2－3－2＋a <1或－2＋a ＝0，解得a ≥2或a <－3.5．若对任意正实数x ，不等式1x 2＋1≤a x恒成立，则实数a 的最小值为( )A ．1 B. 2 C.12D.22解析：选C 因为1x 2＋1≤a x ，即a ≥x x 2＋1，而x x 2＋1＝1x ＋1x≤12(当且仅当x ＝1时取等号)，所以a ≥12.6．对于任意实数a ，b ，c ，d ，有以下四个命题： ①若ac 2＞bc 2，则a ＞b ；②若a ＞b ，c ＞d ，则a ＋c ＞b ＋d ； ③若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bd ； ④若a ＞b ，则1a ＞1b.其中正确的命题有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：选B ①由ac 2＞bc 2，得c ≠0，则a ＞b ，①正确； ②由不等式的同向可加性可知②正确； ③错误，当d <c <0时，不等式不成立．④错误，令a ＝－1，b ＝－2，满足－1＞－2，但1－1＜1－2.故正确的命题有2个．7．(2017·成都二诊)若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋2≥0，x ＋y －1≤0，y ≥m ，且x －y 的最大值为5，则实数m 的值为( ) A ．0 B ．－1 C ．－2D ．－5解析：选C 根据不等式组，作出可行域如图中阴影部分所示，令z ＝x －y ，则y ＝x －z ，当直线y ＝x －z 过点B (1－m ，m )时，z 取得最大值5，所以1－m －m ＝5⇒m ＝－2.8．(2018届高三·合肥五校联考)对于函数f (x )，如果存在x 0≠0，使得f (x 0)＝－f (－x 0)，则称(x 0，f (x 0))与(－x 0，f (－x 0))为函数图象的一组奇对称点．若f (x )＝e x －a (e 为自然对数的底数)的图象上存在奇对称点，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(e ，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：选B 因为存在实数x 0(x 0≠0)，使得f (x 0)＝－f (－x 0)，则e x 0－a ＝－e －x 0＋a ，即e x 0＋1e x 0＝2a ，又x 0≠0，所以2a ＝e x 0＋1e x 0>2e x 0· 1e x 0＝2，即a >1.9．(2017·长沙模拟)若1≤log 2(x －y ＋1)≤2，|x －3|≤1，则x －2y 的最大值与最小值之和是( )A ．0B ．－2C ．2D ．6解析：选C 1≤log 2(x －y ＋1)≤2，|x －3|≤1，即变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2≤x －y ＋1≤4，2≤x ≤4，即⎩⎪⎨⎪⎧x －y －3≤0，x －y －1≥0，2≤x ≤4，作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，可得x －2y 在A (2，－1)，C (4,3)处取得最大值、最小值分别为4，－2，其和为2.10.已知函数f (x )(x ∈R)的图象如图所示，f ′(x )是f (x )的导函数，则不等式(x 2－2x －3)f ′(x )>0的解集为( )A ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(1,2)C ．(－∞，－1)∪(－1,0)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)解析：选D 由f (x )的图象可知，在(－∞，－1)，(1，＋∞)上，f ′(x )>0，在(－1,1)上，f ′(x )<0.由(x2－2x －3)·f ′(x )>0，得⎩⎪⎨⎪⎧fx ，x 2－2x －3>0或⎩⎪⎨⎪⎧fx ，x 2－2x －3<0，即⎩⎪⎨⎪⎧x >1或x <－1，x >3或x <－1或⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <1，－1<x <3，所以不等式的解集为(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)．11．(2017·九江模拟)已知点P (x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，过点P 的直线与圆x 2＋y2＝14相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为( )A ．2B ．2 6C ．2 5D ．4解析：选D 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1所表示的平面区域为△CDE 及其内部(如图)，其中C (1,3)，D (2，2)，E (1,1)，且点C ，D ，E 均在圆x 2＋y 2＝14的内部，故要使|AB |最小，则AB ⊥OC ，因为|OC |＝10，所以|AB |＝2×14－10＝4，故选D.12．某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )A ．12万元B ．16万元C ．17万元D ．18万元解析：选D 根据题意，设每天生产甲x 吨，乙y 吨，则⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，目标函数为z ＝3x ＋4y ，作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线3x ＋4y ＝0并平移，易知当直线经过点A (2,3)时，z 取得最大值且z max ＝3×2＋4×3＝18，故该企业每天可获得最大利润为18万元，选D.二、填空题13．(2017·全国卷Ⅰ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤1，2x ＋y ≥－1，x －y ≤0，则z ＝3x －2y 的最小值为________．解析：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤1，2x ＋y ≥－1，x －y ≤0所表示的可行域如图中阴影部分所示，由可行域知，当直线y ＝32x －z2过点A 时，在y轴上的截距最大，此时z 最小，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝1，2x ＋y ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1.∴z min ＝－5. 答案：－514．在R 上定义运算：x *y ＝x (1－y )，若不等式(x －a )*(x ＋a )≤1对任意的x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：由于(x －a )*(x ＋a )＝(x －a )(1－x －a )，则不等式(x －a )*(x ＋a )≤1对任意的x恒成立，即x 2－x －a 2＋a ＋1≥0恒成立，所以a 2－a －1≤x 2－x 恒成立，又x 2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－14≥－14，则a 2－a －1≤－14，解得－12≤a ≤32. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，3215．(2017·湖南五市十校联考)设z ＝kx ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，2x －y －4≤0.若z 的最大值为12，则实数k ＝________.解析：作出可行域，如图中阴影部分所示．由图可知当0≤－k <12时，直线y ＝－kx ＋z 经过点M (4,4)时z 最大，所以4k ＋4＝12，解得k ＝2(舍去)；当－k ≥12时，直线y ＝－kx ＋z 经过点B (0,2)时z 最大，此时z 的最大值为2，不合题意；当－k <0时，直线y ＝－kx ＋z 经过点M (4,4)时z 最大，所以4k ＋4＝12，解得k ＝2，符合．综上可知k ＝2.答案：216．记min{a ，b }为a ，b 两数的最小值．当正数x ，y 变化时，令t ＝min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫2x ＋y ，2y x 2＋2y 2，则t 的最大值为________．解析：因为x ＞0，y ＞0，所以问题转化为t 2≤(2x ＋y )·2y x 2＋2y 2＝4xy ＋2y2x 2＋2y 2≤4·x 2＋y 22＋2y2x 2＋2y 2＝x 2＋2y 2x 2＋2y 2＝2，当且仅当x ＝y 时等号成立，所以0＜t ≤2，所以t的最大值为 2.答案： 2。

2018年高考理科数学通用版三维二轮复习专题检测：(二十)选修4-5不等式选讲有解析

专题检测（二十）选修4-5 不等式选讲1．(2017·沈阳质检)已知函数f (x )＝|x －a |－12x (a >0)． (1)若a ＝3，解关于x 的不等式f (x )<0；(2)若对于任意的实数x ，不等式f (x )－f (x ＋a )<a 2＋a 2恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝3时，f (x )＝|x －3|－12x ，即|x －3|－12x <0，原不等式等价于－12x <x －3<12x ，解得2<x <6，故不等式的解集为{x |2<x <6}．(2)f (x )－f (x ＋a )＝|x －a |－|x |＋a 2，原不等式等价于|x －a |－|x |<a 2，由三角绝对值不等式的性质，得|x －a |－|x |≤|(x －a )－x |＝|a |，原不等式等价于|a |<a 2.又a >0，∴a <a 2，解得a >1.故实数a 的取值范围为(1，＋∞)．2．(2017·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋4，g (x )＝|x ＋1|＋|x －1|.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥g (x )的解集；(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，不等式f (x )≥g (x )等价于x 2－x ＋|x ＋1|＋|x －1|－4≤0. ①当x ＜－1时，①式化为x 2－3x －4≤0，无解；当－1≤x ≤1时，①式化为x 2－x －2≤0，从而－1≤x ≤1；当x ＞1时，①式化为x 2＋x －4≤0，从而1＜x ≤－1＋172. 所以f (x )≥g (x )的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1≤x ≤－1＋172. (2)当x ∈[－1,1]时，g (x )＝2.所以f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]，等价于当x ∈[－1，1]时，f (x )≥2.又f (x )在[－1,1]的最小值必为f (－1)与f (1)之一，所以f (－1)≥2且f (1)≥2，得－1≤a ≤1. 所以a 的取值范围为[－1,1]．3．(2017·石家庄质检)设函数f (x )＝|x －1|－|2x ＋1|的最大值为m .(1)作出函数f (x )的图象；(2)若a 2＋2c 2＋3b 2＝m ，求ab ＋2bc 的最大值．解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2，x ≤－12，－3x ，－12<x <1，－x －2，x ≥1，画出图象如图所示．(2)由(1)知m ＝32. ∵32＝m ＝a 2＋2c 2＋3b 2＝(a 2＋b 2)＋2(c 2＋b 2)≥2ab ＋4bc ， ∴ab ＋2bc ≤34，∴ab ＋2bc 的最大值为34，当且仅当a ＝b ＝c ＝12时，等号成立． 4．(2017·宝鸡质检)已知函数f (x )＝|2x －a |＋|2x ＋3|，g (x )＝|x －1|＋2.(1)解不等式|g (x )|<5；(2)若对任意x 1∈R ，都存在x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，求实数a 的取值范围．解：(1)由||x －1|＋2|<5，得－5<|x －1|＋2<5，∴－7<|x －1|<3，得不等式的解集为{x |－2<x <4}．(2)因为对任意x 1∈R ，都有x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，所以{y |y ＝f (x )}⊆{y |y ＝g (x )}，又f (x )＝|2x －a |＋|2x ＋3|≥|(2x －a )－(2x ＋3)|＝|a ＋3|，g (x )＝|x －1|＋2≥2，所以|a ＋3|≥2，解得a ≥－1或a ≤－5，所以实数a 的取值范围为(－∞，－5]∪[－1，＋∞)．5．(2017·东北四市高考模拟)已知a >0，b >0，函数f (x )＝|x ＋a |＋|2x －b |的最小值为1.(1)证明：2a ＋b ＝2；(2)若a ＋2b ≥tab 恒成立，求实数t 的最大值．解：(1)证明：因为－a <b 2，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x －a ＋b ，x ≤－a ，－x ＋a ＋b ，－a <x <b 2，3x ＋a －b ，x ≥b 2，显然f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，b 2上单调递减，在⎝⎛⎭⎫b 2，＋∞上单调递增，所以f (x )的最小值为f ⎝⎛⎭⎫b 2＝a ＋b 2，所以a ＋b 2＝1，即2a ＋b ＝2. (2)因为a ＋2b ≥tab 恒成立，所以a ＋2b ab≥t 恒成立．因为a ＋2b ab ＝1b ＋2a ＝12⎝⎛⎭⎫1b ＋2a (2a ＋b ) ＝12⎝⎛⎭⎫5＋2a b ＋2b a ≥12⎝⎛⎭⎫5＋22a b ·2b a ＝92. 当且仅当a ＝b ＝23时，a ＋2b ab 取得最小值92，所以t ≤92，即实数t 的最大值为92. 6．(2017·贵州适应性考试)已知函数f (x )＝|x －1|＋|x －5|，g (x )＝1＋x 2.(1)求f (x )的最小值；(2)记f (x )的最小值为m ，已知实数a ，b 满足a 2＋b 2＝6，求证：g (a )＋g (b )≤m . 解：(1)∵f (x )＝|x －1|＋|x －5|≥|x －1－x ＋5|＝4，∴f (x )min ＝4.(2)证明：由(1)知m ＝4.由柯西不等式得[1×g (a )＋1×g (b )]2≤(12＋12)[g 2(a )＋g 2(b )]，即[g (a )＋g (b )]2≤2(a 2＋b 2＋2)，又g (x )＝x 2＋1>0，a 2＋b 2＝6，∴0<g (a )＋g (b )≤4(当且仅当a 2＝b 2＝3时取等号)．即g (a )＋g (b )≤m .7．(2017·太原模拟)已知函数f (x )＝|x －a |＋12a(a ≠0)． (1)若不等式f (x )－f (x ＋m )≤1恒成立，求实数m 的最大值；(2)当a <12时，函数g (x )＝f (x )＋|2x －1|有零点，求实数a 的取值范围．解：(1)∵f (x )＝|x －a |＋12a， ∴f (x ＋m )＝|x ＋m －a |＋12a， ∴f (x )－f (x ＋m )＝|x －a |－|x ＋m －a |≤|x －a －x －m ＋a |＝|m |，∴|m |≤1，即－1≤m ≤1，∴实数m 的最大值为1.(2)当a <12时， g (x )＝f (x )＋|2x －1|＝|x －a |＋|2x －1|＋12a＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋a ＋12a ＋1，x <a ，－x －a ＋12a ＋1，a ≤x ≤12，3x －a ＋12a －1，x >12， ∴g (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，12上单调递减，在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上单调递增．又函数g (x )有零点， ∴g (x )min ＝g ⎝⎛⎭⎫12＝12－a ＋12a ＝－2a 2＋a ＋12a≤0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <12，－2a 2＋a ＋1≤0或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，－2a 2＋a ＋1≥0，解得－12≤a <0， ∴实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－12，0. 8．(2017·成都二诊)已知函数f (x )＝4－|x |－|x －3|.(1)求不等式f ⎝⎛⎭⎫x ＋32≥0的解集； (2)若p ，q ，r 为正实数，且13p ＋12q ＋1r＝4，求3p ＋2q ＋r 的最小值．解：(1)由f ⎝⎛⎭⎫x ＋32＝4－⎪⎪⎪⎪x ＋32－⎪⎪⎪⎪x －32≥0，得⎪⎪⎪⎪x ＋32＋⎪⎪⎪⎪x －32≤4. 当x <－32时，－x －32－x ＋32≤4，解得－2≤x <－32；当－32≤x ≤32时，x ＋32－x ＋32≤4恒成立， ∴－32≤x ≤32；当x >32时，x ＋32＋x －32≤4，解得32<x ≤2. 综上，f ⎝⎛⎭⎫x ＋32≥0的解集为[－2,2]． (2)令a 1＝3p ，a 2＝2q ，a 3＝r .由柯西不等式，得⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1a 12＋⎝⎛⎭⎫1a 22＋⎝⎛⎭⎫1a 32·(a 21＋a 22＋a 23) ≥⎝⎛⎭⎫1a 1·a 1＋1a 2·a 2＋1a 3·a 32＝9，即⎝⎛⎭⎫13p ＋12q ＋1r (3p ＋2q ＋r )≥9.∵13p ＋12q ＋1r ＝4，∴3p ＋2q ＋r ≥94，当且仅当13p ＝12q ＝1r ＝43，即p ＝14，q ＝38，r ＝34时，取等号． ∴3p ＋2q ＋r 的最小值为94.。

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专题检测（四）不等式一、选择题1．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( )A ．(－3,1)∪(3，＋∞)B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3)解析：选A 由题意知f (1)＝3，故原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x <0，x ＋6>3或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x 2－4x ＋6>3，解得－3<x <1或x >3，所以原不等式的解集为(－3,1)∪(3，＋∞)．2．若实数a ，b ∈R 且a ＞b ，则下列不等式恒成立的是( ) A ．a 2＞b 2B.ab＞1 C ．2a＞2bD ．lg(a －b )＞0解析：选C 根据函数的图象与不等式的性质可知：当a ＞b 时，2a＞2b，故选C.3．(2017·兰州模拟)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋4y ≤12，则z ＝2x·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y 的最大值为( )A ．16B ．8C ．4D ．3解析：选A 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋4y ≤12表示的平面区域如图中阴影部分所示．又z ＝2x·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ＝2x －y ，令u ＝x －y ，则直线u ＝x －y 在点(4,0)处u 取得最大值，此时z 取得最大值且z max ＝24－0＝16.4．已知a ∈R ，不等式x －3x ＋a≥1的解集为p ，且－2∉p ，则a 的取值范围为( ) A ．(－3，＋∞)B ．(－3,2)C ．(－∞，2)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪[2，＋∞)解析：选D ∵－2∉p ，∴－2－3－2＋a <1或－2＋a ＝0，解得a ≥2或a <－3.5．若对任意正实数x ，不等式1x 2＋1≤a x恒成立，则实数a 的最小值为( )A ．1 B. 2 C.12D.22解析：选C 因为1x 2＋1≤a x ，即a ≥x x 2＋1，而x x 2＋1＝1x ＋1x≤12(当且仅当x ＝1时取等号)，所以a ≥12.6．对于任意实数a ，b ，c ，d ，有以下四个命题： ①若ac 2＞bc 2，则a ＞b ；②若a ＞b ，c ＞d ，则a ＋c ＞b ＋d ； ③若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bd ； ④若a ＞b ，则1a ＞1b.其中正确的命题有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：选B ①由ac 2＞bc 2，得c ≠0，则a ＞b ，①正确； ②由不等式的同向可加性可知②正确； ③错误，当d <c <0时，不等式不成立．④错误，令a ＝－1，b ＝－2，满足－1＞－2，但1－1＜1－2.故正确的命题有2个．7．(2017·成都二诊)若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋2≥0，x ＋y －1≤0，y ≥m ，且x －y 的最大值为5，则实数m 的值为( ) A ．0 B ．－1 C ．－2D ．－5解析：选C 根据不等式组，作出可行域如图中阴影部分所示，令z ＝x －y ，则y ＝x －z ，当直线y ＝x －z 过点B (1－m ，m )时，z 取得最大值5，所以1－m －m ＝5⇒m ＝－2.8．(2018届高三·合肥五校联考)对于函数f (x )，如果存在x 0≠0，使得f (x 0)＝－f (－x 0)，则称(x 0，f (x 0))与(－x 0，f (－x 0))为函数图象的一组奇对称点．若f (x )＝e x －a (e 为自然对数的底数)的图象上存在奇对称点，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(e ，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：选B 因为存在实数x 0(x 0≠0)，使得f (x 0)＝－f (－x 0)，则e x 0－a ＝－e －x 0＋a ，即e x 0＋1e x 0＝2a ，又x 0≠0，所以2a ＝e x 0＋1e x 0>2e x 0· 1e x 0＝2，即a >1.9．(2017·长沙模拟)若1≤log 2(x －y ＋1)≤2，|x －3|≤1，则x －2y 的最大值与最小值之和是( )A ．0B ．－2C ．2D ．6解析：选C 1≤log 2(x －y ＋1)≤2，|x －3|≤1，即变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2≤x －y ＋1≤4，2≤x ≤4，即⎩⎪⎨⎪⎧x －y －3≤0，x －y －1≥0，2≤x ≤4，作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，可得x －2y 在A (2，－1)，C (4,3)处取得最大值、最小值分别为4，－2，其和为2.10.已知函数f (x )(x ∈R)的图象如图所示，f ′(x )是f (x )的导函数，则不等式(x 2－2x －3)f ′(x )>0的解集为( )A ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(1,2)C ．(－∞，－1)∪(－1,0)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)解析：选D 由f (x )的图象可知，在(－∞，－1)，(1，＋∞)上，f ′(x )>0，在(－1,1)上，f ′(x )<0.由(x2－2x －3)·f ′(x )>0，得⎩⎪⎨⎪⎧f ′ x >0，x 2－2x －3>0或⎩⎪⎨⎪⎧f ′ x <0，x 2－2x －3<0，即⎩⎪⎨⎪⎧x >1或x <－1，x >3或x <－1或⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <1，－1<x <3，所以不等式的解集为(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)．11．(2017·九江模拟)已知点P (x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，过点P 的直线与圆x 2＋y2＝14相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为( )A ．2B ．2 6C ．2 5D ．4解析：选D 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1所表示的平面区域为△CDE 及其内部(如图)，其中C (1,3)，D (2，2)，E (1,1)，且点C ，D ，E 均在圆x 2＋y 2＝14的内部，故要使|AB |最小，则AB ⊥OC ，因为|OC |＝10，所以|AB |＝2×14－10＝4，故选D.12．某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )A ．12万元B ．16万元C ．17万元D ．18万元解析：选D 根据题意，设每天生产甲x 吨，乙y 吨，则⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，目标函数为z ＝3x ＋4y ，作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线3x ＋4y ＝0并平移，易知当直线经过点A (2,3)时，z 取得最大值且z max ＝3×2＋4×3＝18，故该企业每天可获得最大利润为18万元，选D.二、填空题13．(2017·全国卷Ⅰ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤1，2x ＋y ≥－1，x －y ≤0，则z ＝3x －2y 的最小值为________．解析：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤1，2x ＋y ≥－1，x －y ≤0所表示的可行域如图中阴影部分所示，由可行域知，当直线y ＝32x －z2过点A 时，在y轴上的截距最大，此时z 最小，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝1，2x ＋y ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1.∴z min ＝－5. 答案：－514．在R 上定义运算：x *y ＝x (1－y )，若不等式(x －a )*(x ＋a )≤1对任意的x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：由于(x －a )*(x ＋a )＝(x －a )(1－x －a )，则不等式(x －a )*(x ＋a )≤1对任意的x恒成立，即x 2－x －a 2＋a ＋1≥0恒成立，所以a 2－a －1≤x 2－x 恒成立，又x 2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－14≥－14，则a 2－a －1≤－14，解得－12≤a ≤32. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，3215．(2017·湖南五市十校联考)设z ＝kx ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，2x －y －4≤0.若z 的最大值为12，则实数k ＝________.解析：作出可行域，如图中阴影部分所示．由图可知当0≤－k <12时，直线y ＝－kx ＋z 经过点M (4,4)时z 最大，所以4k ＋4＝12，解得k ＝2(舍去)；当－k ≥12时，直线y ＝－kx ＋z 经过点B (0,2)时z 最大，此时z 的最大值为2，不合题意；当－k <0时，直线y ＝－kx ＋z 经过点M (4,4)时z 最大，所以4k ＋4＝12，解得k ＝2，符合．综上可知k ＝2.答案：216．记min{a ，b }为a ，b 两数的最小值．当正数x ，y 变化时，令t ＝min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫2x ＋y ，2y x 2＋2y 2，则t 的最大值为________．解析：因为x ＞0，y ＞0，所以问题转化为t 2≤(2x ＋y )·2y x 2＋2y 2＝4xy ＋2y2x 2＋2y 2≤4·x 2＋y 22＋2y 2x 2＋2y 2＝2 x 2＋2y 2x 2＋2y 2＝2，当且仅当x ＝y 时等号成立，所以0＜t ≤2，所以t的最大值为 2.答案： 2。

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