关于圆的内接四边形课件

可能在⊙O的外部．
的内角”矛盾，故点D不可
D
E
能在⊙O的内部．
A
综上所述， 点D只能在圆 A
D
E
周上，即A、
O
B、C、D四
O
B
C 点共圆．
B
C
3 四边形存在外接圆的判定定理
说明：在此判定定理的证明中，用到了分类讨论的思想和 反证法．又当问题的结论存在多种情形时，通过对每一种 情形分别讨论，最后获得结论的方法，称为穷举法．于是
在一个圆上,那么这个多边形叫做圆内
O
接多边形,这个圆叫做多边形的外接圆.
B
C
D
A
O
B
C
A
F
B
O·
E
C
D
思考:
（1 ） 任意三角形都有外接圆吗？ （2）一般地,任意四边形都有外接圆吗? （3）任意矩形是否有外接圆?
那么任意四边形有外接圆吗?
探究：观察下图，这组图中的四边形都内接于圆． 你能发现这些四边形的共同特征吗？ 特殊到一般的方法!
A
3、如图，四边形ABCD内接于⊙O，
∠DCE=75º，则∠BOD= 例1：如图⊙O1与⊙O2都经过A、B两点.经过点 A的直线CD与⊙O1交于点C,与⊙O2交于点D.经 过点B的直线EF与⊙O1交于点E,与⊙O2交于点F. 求证：CE∥DF. 分析：只要证明同旁内角互补即可！
证明：连接AB． 并利用圆内接四边形的性质定理．
点，连接EC，则有
部．显然AD的延长线必定与
∠AEC+∠B=180°.由题设 圆相交，设交点为E，连接
∠B+∠D=180°,可得
EC，则有∠E+∠B=180°.由
∠D=∠AEC ．这与“三角 题设∠B+∠ADC=180°,可
形的外角大于任一不相邻
得∠E=∠ADC ．这与“三
的内角”矛盾，故点D不
角形的外角大于任一不相邻
A D 的度数与B C 的度数和的一半等于∠APD的度数．
分析：由于∠APD既不是圆心角，
D
也不是圆周角，为此我们需要构造
B
一个与∠APD相等的圆心角或圆周
角，以便利用定理． A
证明：如图，过点C作CE//AB交
P C
圆于E，则有∠APD ＝∠C.
E
一 定理的探究
A
１．定义：如果多边形的所有顶点都
D
A
O
B
C
O
B
D
C
E
二 定理的应用
练习 ：
A
1、如图，四边形ABCD为⊙O的 内接四边形，已知∠BOD=100°,
O
B
D
则∠BAD= 50º,∠BCD= 130º.
C
2、圆内接四边形ABCD中,∠A:∠B:∠C=2:3:4,
则∠A=60º ∠B=90º ∠C= 120º∠D= 90º
设A=2x,则C=4x. ∵A+C=180º, ∴x=30º.
3 四边形存在外接圆的判定定理
圆内接四边形的性质定理１： 圆的内接四边形的对角互补．
DE
A
圆内接四边形的性质定理2：
圆内接四边形的外角等于 它的内角的对角．
O
B
C
3 四边形存在外接圆的判定定理
已知：四边形ABCD中，∠B+∠D=180°,
求证：A、B、C、D在同一圆周上（简称四点共圆）.
分析：不在同一直线上的三点确定一个圆．经过A、B、C三点 作⊙O，如果能够由条件得到⊙O过点D，那么就证明了命题．
证明：连接PQ．在四边形QFPC中， ∵ FP⊥BC,FQ⊥AC ，∴∠FQA＝∠FPC．
∴Q、F、P、C四点共圆．
∴∠QFC＝∠QPC．
又∵CF⊥AB，
C
∴∠QFC＋∠QFA＝90°．
而∠A＋∠QFA＝90°．
∴∠QFC＝∠A．
Q
∴∠QPC＝∠A．
∴A、B、P、Q四点共圆．
AF
P B
练习2：
1、(1)圆内接平行四边形一定是 矩 形.
(2)圆内接梯形一定是等腰梯形.
(3)圆内接菱形一定是 正方 形.
2.如果四边形一边上的两个顶点的视角 D
C
相等，那么四边形的四个顶点共圆．
已知：如图，四边形ABCD中，
∠ADB=∠ACB.
A
B
求证: A、B、C、D四点共圆．
∵四边形ABEC是⊙O1的内接四边形，∴ ∠BAD＝∠E．
又∵四边形ABFD是⊙O2的内接四边形，
D
∴ ∠BAD+∠F=180º．
A
∴ ∠E+∠F=180º． ∴ CE//DF．
C
O１
E
B
O2
F
变式1：如图，⊙O1和⊙O2都经过A、B两点．过A点的
直线CD与⊙O1交于点C，与⊙O2交于点D．过B点的直线 EF与⊙O1交于点E，与⊙O2交于点F．求证：CE//DF.
2 圆内接四边形的性质定理
1.如图：圆内接四边形ABCD中，
∵ 弧BCD和弧BAD所对的 圆心角的和是周角.
∴∠A＋∠C＝ 180°
A
同理∠B＋∠D＝180°
圆内接四边形的性质定理１：
B
圆的内接四边形的对角互补．
D O
C
D
2.圆内接四边形的性质定理
A O.
B
CE
圆内接四边形的性质定理2： 圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．
圆内接四边形判定定理：如果一个四边形的对角互补，那 么这个四边形的四个顶点共圆．
应用格式：在四边形ABCD中，∵A+C=180°,∴四点A,B,C,D共圆．
圆内接四边形判定定理的推论：如果四边形的一个外角等 于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．
应用格式：在四边形ABCD中，∵∠A=∠DCE,∴四A 点A,B,C,D共圆．
关于圆的内接四边 形
圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对 的圆心角的一半．
圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数．
推论１：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周 角相等；反之，相等的圆周角所对的弧也相等．
推论２：半圆（或直径）所对的圆周角是直角； 反之，９０°的圆周角所对的弦是直径．
例2． 如图，AB与CD相交于圆内一点P．求证：
显然， ⊙O与点D有且只有三种位置关系:
(1)点D在圆外；(2)点D在圆内；(3)点D在圆上．分类讨论思想
只要证明在假设条件下只有(3)成立，也就证明了命题．反证法
D
D
D
A
A
A
O
B
C
O
O
B
C
B
C
(1) 如果点D在⊙O的外 证明：(分类讨论思想及反证法)
部．设E是AD与圆周的交
（2）如果点D在⊙O的内
D
A
D
EO
O
C1
2
B
A
C
O1
O2
F
F
B
E
变式2:如图,⊙O1和⊙O2有两个公共点A﹑B．由例1可知:CE//DF,
过A﹑B两点的直线分别交⊙O1于C 、E,
又∵CD//EF, ∴DCEF为平行四边
交⊙O2于D 、F，且CD∥EF．求证：CE=DF．形． ∴CE=DF.
例２. 如图,CF是△ABC的AB边上的高,FP⊥BC,FQ⊥AC. 求证: A、B、P、Q四点共圆．