两类E G形图簇的补图的色等价性定理

｝ 及其 度 序 列 为 （ ，ｄ ， ，ｐ ， 们 用 “（ ， ｄ ， … ｄ） 我 ｋ
Ｐ 表示把图 Ｇ的第 ｉ ） 个顶点 （ ≤Ｐ 与星图 １≤ ） ． 的 ｋ 点重迭后 得 到的图 （ 图 １ ｓ 度 如 所示 ）此 时在 ，
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南 昌 大学 学 报 （ 科 版 ） 理
２０ ０ ８年
则 有
（ｉ） （ ｌ ） ＝ｘ （ ）＋ ； ＾ Ｓ＋， ｈＳ， （ ｉ ＾ Ｓ＋，） ＝ ¨ ＋ｎ “ ｉ） （ ｌ ｘ。
设 Ｇ是任 意的 Ｐ阶连和特 征多项式 ¨ 之 间的联 系 。 。
兰 Ｈ。 于 图的色性 研 究始 于 １７ 关 ９８年 ， 此后 人 们 找到了许 多色唯一 图 』１７ ，９８年刘 儒 英提 出了图 的
伴随多项 式 ｈ Ｇ ）和 伴 随唯 一性 的概念 ， 获 （， 并 得 重要进展 ｊ目前色 等价 图的结 构 规律 问题 尚待 ． 解决。 我们利 用 图的伴 随 多项 式 的性 质 ， 明了两 类 证
引理 ３ 设 “ （ ） ｕ 不属 于 图 Ｇ的任 ∈ Ｇ 且
支都是完 全 图 ， 则称 Ｇ 是 Ｇ的理 想子 图。 ６（ ） 。 用 Ｇ 表
示 图 Ｇ的具有 Ｐ—ｉ 个分支 的理想子 图的个数 （ ０≤ ｉ
何三角形 ， 则有
ｈ Ｇ， （ ）＝＾ Ｃ—ｕ ，）＋ｘ （ （ ｈ ｃ一｛ ， ｝ ｕ” ， ） 引理 ４ … 设 图 Ｇ具有 个 分支 Ｇ ， … ， ＾ ｌＧ ， Ｇ ，
定义 ２ 称两个图 Ｇ与 日是伴随等价的， 若 ｈ Ｇ， ＝ｈ 日， ； 图 Ｇ是伴 随 唯 一 的 ， 能 从 （ ） （ ） 称 若
＾ Ｈ， ． （ ， （ ） ＝＾ Ｇ ）可以推 出 Ｈ 兰 Ｇ 。
比较 （ ）和 （ ）两式 ， １ ２ 我们 容 易证 明如 下 的引
理
“ 图的伴随多项式 的因式 分解定 理 ， 形 进而 证 明 了
（ １≤ ｉ ） 给出了图 ， 。 ，） ≤ｐ ， ‘ （ ｐ 与星图 ｓ 组 合而成的两类 。 图簇 ， 形 并通过研究这些图簇的伴随 多项式的因 式分解 ， 进而证明了它们 的补图的色等价性定理。 关键词 ： 色多项式 ； 伴随多项式 ； 因式分解 ； 色等价图
中 图分 类 号 ： ｌ５ Ｏ ７ 文 献标 识 码 ： Ａ
我们仅 考虑简单 图 ， Ｖ Ｇ 和 Ｅ Ｇ 分别表 示 用 （） （）
图 Ｇ的顶点集 和边集 ， Ｇ表示 图 Ｇ的补 图 ， Ｊ Ｇ ｔ Ｈ表 ＿
示 图 Ｇ和 Ｈ的点不重并 ，Ｇ表 示 ｎ 图 Ｇ的点不 重 ｎ 个
称为 图 Ｇ的伴 随多项式 ， 有时简记 为 ｈ Ｇ 。 （ ） 图 Ｇ的一个 匹配是 图 Ｇ的每个 分 支或是 Ｋ． 或
ｈ Ｇｕ ｎ １ （ Ｋ ， ）： ｈ Ｇ ） Ｋ ， ＝ｘｈ Ｇ （ ， ｈ（ ． ） ＂（ ，
）
这 里Ｐ：ｌ （ ） ， Ａ ＝Ａ（ Ｇ ｆ（ ） Ｖ Ａ一１ （ ２ … （ ） Ａ一 ＞ Ａ一
定义 １
设 Ｇ是 Ｐ阶 图， 多项式 则
ｐ一１
＾Ｇ ）＝∑ｂ ｃｘ （， ｉ） （
（） ２
引理 ６
设 Ｓ 表示 １＋１ ｎ≥ １ 阶星 图 ， ７ （ ， ）
收 稿 Ｅ期 ：０ ８— ４— ９ ｔ ２０ ０ ２ 基 金项 目 ： 国家 自然科 学基 金 资 助项 目（０ ６０ ８ １７ １０ ）
作者简介 ： 张秉儒 （９９一） 男 ． １４ ， 教授 ．
・
是 的生成子 图 ， 一个 一匹配 就是含有 条边 的 匹配 ， ｂ（ ）的定义 即得如下 的引理 由 Ｇ 引理 １８ 若 Ｇ是无 的 图 ， ｂ（ ） 【 则 Ｇ 等于 图
Ｇ的 ｉ ～匹配的数 目。
并 ， 加 说 明 的 术 语 和 记 号 均 来 自文 ［ 未 １—２ 。 ］ 设
Ｐ Ｇ ，） 图 Ｇ的色多项式 ， 两个 图 Ｇ与 是色 等 （， 是 ： １ 称 价 的 ， Ｐ（ Ａ）＝Ｐ Ｈ， ） 称 图 Ｇ是色 唯一 的 ， 若 Ｇ， （ Ａ ； 若 能从 Ｐ Ｈ， （ Ａ）＝Ｐ Ｇ Ａ 推 出图 Ｈ与 Ｇ同构 ， 为 Ｇ （ ，） 记
引理 １给 出了无 的图 的伴 随多 项式 与其 匹
Ａｕ ２ ０８ ｇ． ０
文章 编 号 ：０６一 ４４ ２０ ）４— ３３— ５ １０ ｏ ６ （０ ８ ０ ０ ４ ０
两类 Ｅ Ｇ形 图簇 的补 图的 色等价 性定 理
张 秉儒 ， 芦殿 军
（ 青海师范大学 数 学系， 青海 西宁 摘 ８００ ） １０ ３
要： 设 是任 意的Ｊ阶连通图 ， 口 用 “ （ ，） 七ｐ 表示把 图 Ｇ的第 ｉ 个顶点 与星图 ＋ 的 度点重迭后得到的图
这两类 图的补图 的色等价 图的结 构特性 。
引理 ２ 图 Ｇ与 日是伴 随等 价 的当且 仅 当Ｇ和
Ｈ是色 等价 的 ； Ｇ 图 是伴 随唯一 的当且仅 当Ｇ 色唯 是
一
１ 预 备 知识
设 Ｇ是 Ｐ阶 图 ， 若图 Ｇ的生成 子图 Ｇ 的每个 分 。
的。
图的伴 随多项 式具有 如下 的性质
≤Ｐ—ｉ， 由文 ［ ］中的定理 ｌ ， 易证 明如 下的 ）则 ７ ５容 公式
ｐ 一１
．
尸 ＧＡ （ ，）＝∑６ Ｇ （） ）Ａ （
后 ＋ １）
Ｇ ）＝ｎ ｃ （ ） ， （） 则有 （， １
由引理 ４可推 知如下 的引理 引理 ５ 设 Ｇ是任意 图 ， 表示孤 立点 ， ， 则有
第３ ２卷第 ４期
２０ ０ ８年 ８月
南 昌大 学 学报 （ 科 版 ） 理 Ｊ ｕ ａ ｏ ａ ｃ ａ ｇＵ ｉ ｒ ｔ （ ａ ｒ ｃ ｎ ｅ ｏ ｒ ｌ ｆ ｎ ｈ ｎ ｎ ｅｓ ｙ Ｎ ｔ ａ Ｓ ｉ ｃ ） ｎ Ｎ ｖ ｉ ｕｌ ｅ
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