第章 平稳线性ARMA模型AR模型
第三章 ARMA模型的特性
λ1 〈1，λ2 〈1
（2）用自回归系数表示： ）用自回归系数表示：
ϕ 2 〈1 ϕ 2 ± ϕ 1 〈1
3.ARMA(2,m)的平稳性 的平稳性
ϕ 2 〈1 〈1 ϕ 2 ± ϕ 1 〈1
4.ARMA(p,q)的平稳性 的平稳性 P阶自回归系数多项式的根都在单位圆外 阶自回归系数多项式的根都在单位圆外 平稳性完全由其自回归部分决定
1.MA(1)
θ1 < 1
2.MA(q)模型的可逆条件是： 模型的可逆条件是： 模型的可逆条件是
MA(q)模型的特征根都在单位圆内 模型的特征根都在单位圆内
λi < 1
必要条件： 必要条件：
θ1 + θ 2 + L + θ q < 1
考察如下MA模型的可逆性 例3.6续:考察如下 续 考察如下 模型的可逆性 (1) xt = ε t − 2ε t −1 (2) xt = ε t − 0.5ε t −1 4 16 (3) xt = ε t − ε t −1 + ε t − 2 5 25 5 25 (4) xt = ε t − ε t −1 + ε t − 2 4 16
∑ϕ
j=0
∞
j 1
at− j =
∑G
j=0
∞
j
at− j
3.AR(1)的滞后算子表达式 的滞后算子表达式源自at Xt = 1 − ϕ1B
4.AR(p)的Green函数递推公式 的 函数递推公式
原理 方法
Φ ( B ) xt = at ⇒ Φ ( B )G ( B )at = at xt = G ( B )at
时间序列分析方法 第3章 平稳ARMA模型
第三章 平稳ARMA 过程一元ARMA 模型是描述时间序列动态性质的基本模型。
通过介绍ARMA 模型，可以了解一些重要的时间序列的基本概念。
§3.1 预期、平稳性和遍历性 3.1.1 预期和随机过程假设可以观察到一个样本容量为T 的随机变量t Y 的样本：},,,{21T y y y这意味着这些随机变量之间的是相互独立且同分布的。
例3.1 假设T 个随机变量的集合为：},,,{21T εεε ，),0(~2σεN i 且相互独立，我们称其为高斯白噪声过程产生的样本。
对于一个随机变量t Y 而言，它是t 时刻的随机变量，因此即使在t 时刻实验，它也可以具有不同的取值，假设进行多次试验，其方式可能是进行多次整个时间序列的试验，获得I 个时间序列：+∞=-∞=t t t y }{)1(，+∞=-∞=t t t y }{)2(，…，+∞=-∞=t t I t y }{)(将其中仅仅是t 时刻的观测值抽取出来，得到序列：},,,{)()2()1(I t t t y y y ，这个序列便是对随机变量t Y 在t 时刻的I 次观测值，也是一种简单随机子样。
定义3.1 假设随机变量t Y 是定义在相同概率空间},,{P Ω上的随机变量，则称随机变量集合},2,1,0,{ ±±=t Y t 为随机过程。
例3.2 假设随机变量t Y 的概率密度函数为： ]21exp[21)(22t t Y y y f t σσπ=此时称此时密度为该过程的无条件密度，此过程也称为高斯过程或者正态过程。
定义3.2 可以利用各阶矩描述随机过程的数值特征： (1) 随机变量t Y 的数学期望定义为(假设积分收敛)：⎰==+∞∞-tt Y t t t dy y f y Y E t )()(μ 此时它是随机样本的概率极限：∑==∞→I i i t I t y I P Y E 1)(1lim )((2) 随机变量t Y 的方差定义为(假设积分收敛):20)(t t t Y E μγ-=例3.3 (1) 假设},,{21 εε是一个高斯白噪声过程，随机过程t Y 为常数加上高斯白噪声过程：t t Y εμ+=，则它的均值和方差分别为：μεμμ=+==)()(t t t E Y E 2220)()(σεμγ==-=t t t t E Y E(2) 随机过程t Y 为时间的线性趋势加上高斯白噪声过程：t t t Y εβ+=，则它的均值和方差分别为：t E t Y E t t t βεβμ=+==)()( 2220)()(σεμγ==-=t t t t E Y E3.1.2 随机过程的自协方差将j 个时间间隔的随机变量构成一个随机向量),,(1'=--j t t t t Y Y Y X ，通过随机试验可以获得该随机向量的简单随机样本。
第3-2章_平稳时间序列分析-ARMA模型
2
E t X t E t 1 X t 1 2 X t 2 t
利用
2
1 2 0 (1 2 ) 2 12 1 2
1 0 k 1 k 1 2 k 2 1 1 2 2
1 2 p 1
(2)由于
i (i 1,, p) 可正可负，AR(p)模型
1 2 p 1
稳定的充分条件是：
例3.1平稳性判别 模 型
(1)
(2) (3) (4)
1
特征根判别
1 0.8
1 1.1
1 i 2
平稳域判别
结 论
例3.1:考察如下四个模型的平稳性
(1) xt 0.8xt 1 t
(2) xt 1.1xt 1 t
(3) xt xt 1 0.5xt 2 t
(4) xt xt 1 0.5xt 1 t
例3.1平稳序列时序图
(1) xt 0.8xt 1 t
E( t xt k ) 0 , k 1
得自协方差函数的递推公式
k 1 k 1 2 k 2 p k p
例3.3:求平稳AR(1)模型的自协方差函数 递推公式：
k 1 k 1
2
k 1 0
平稳AR(1)模型的方差为
0 2 1 1
{1 , 2 2 1，且 2 1 1}
事实上，由于
2 + 1 = - 1 2 + (1 +2) = 1 – (1- 1) (1- 2 )
2 - 1 = - 1 2 - (1 +2) = 1 – (1+ 1) (1+ 2 )
平稳AR模型知识点总结
平稳AR模型知识点总结一、AR模型的定义AR模型是一种描述时间序列数据动态特征的模型，它假设当前时刻的观测值可以由之前时刻的观测值线性组合得到。
具体来说，平稳AR(p)模型可以表示为：\[X_t = c + \phi_1 X_{t-1} + \phi_2 X_{t-2} + ... + \phi_p X_{t-p} + \varepsilon_t\]其中，\(X_t\)是当前时刻的观测值，\(c\)是常数项，\(\phi_1, \phi_2, ..., \phi_p\)是模型的参数，\(X_{t-1}, X_{t-2}, ..., X_{t-p}\)是之前时刻的观测值，\(\varepsilon_t\)是一个白噪声误差项。
这里的p代表了模型的阶数，即模型考虑了之前p个时刻的观测值。
二、平稳AR模型的特性平稳AR模型有一些重要的特性，对于理解和分析AR模型非常有帮助。
1. 平稳性：AR模型的平稳性是一个重要的性质，它要求模型的参数要满足一定的条件才能保证模型是平稳的。
平稳性是指时间序列数据的统计特性在不同时间段内是相似的，不随时间变化而发生明显的变化。
对于AR模型来说，要求其参数满足的条件是其特征根要在单位圆内，即\(|\phi_1| < 1, |\phi_2| < 1, ..., |\phi_p| < 1\)。
只有当这个条件满足时，AR 模型才具有平稳性，否则就会出现时间序列数据的不稳定性。
2. 自回归结构：AR模型的自回归结构是模型的核心特性，它描述了当前时刻的观测值与之前时刻的观测值之间的关系。
这种自回归的结构可以帮助我们理解时间序列数据的动态特性，进行预测和分析。
3. 白噪声残差：AR模型的误差项\(\varepsilon_t\)通常假设是服从均值为0、方差为\(\sigma^2\)的白噪声分布。
这意味着模型的残差是独立同分布的，没有自相关性和序列相关性，对于模型的有效性和预测性能至关重要。
第3章 平稳线性ARMA模型(3)--MA模型和ARMA模型
16 25 25 16
t2 t2
7
MA模型的自相关系数截尾
•
（1） x t t 2 t 1
（ 2） x t t 0 .5 t 1
•
8
MA模型的自相关系数截尾
（ 3） x t t 4
•
5
t 1
16
25
t2
（ 4） x t t
( 1) n 1k , k 3 n 或 3 n 1 • 逆函数 I , n 0 ,1, k 0, k 3n 2
• 逆转形式
t
( 1) 0 . 8
n
3n
xt 3n
n0
( 1) 0 . 8
n
3 n 1
x t 3 n 1
19
t 1 t 1
16 25 25 16
t2 t2
17
(1)—(2)
• x • • 逆函数
t
x t t 2 t 1 2 1 不可逆
t
0 . 5 t 1 0 . 5 1 可逆
1 Ik k 0 .5 , k 1
• 常数均值
Ex t E （ t 1 t 1 2 t 2 q t q）
• 常数方差
Var ( x t ) Var ( t 1 t 1 2 t 2 q t q ) (1 1 q )
13
•
x t t
可逆MA(1)模型
t 1
Hale Waihona Puke • 12
平稳线性ARMA模型 AR模型
24
• 下面利用特征方程的根与模型参数 1 , 2
的关系，给出AR(2) 模型平稳的
的取值条件（或值域）。
1
,
2
(11)(12)0
25
• (3.16)和(3.17)式是保证AR(2)模型平稳，回 归参数 1 , 2 所应具有的条件。反之，若 (特3.征16方)和程(3的.1根7)式必成落立在，单则位特圆征内方。程2120
• 根据特征根和自回归系数多项式的根成倒数的性质， 等价判别条件是该模型的自回归系数多项式的根都在 单位圆外
• 平稳域判别 • 平稳域 {1,2,,p 单位根都在单}位圆
40
AR(1)模型平稳条件
• 特征根
• 平稳域
〈 1
41
AR(2)模型平稳条件 • 平稳域
• 特征根
1 1
2 1
4 2
2
• 特征方程的根称为特征根，记作
1,2,,p
• 齐次线性差分方程的通解
• 不相等实数根场合
• 有相等实根场合
zt c 11 t c 2t2 c ptp
z t ( c 1 c 2 t c d t d 1 ) 1 t c d 1 t d 1 c p t p
• 复根场合 z t r t( c 1 e i t c 2 e i t ) c 3 t 3 c p t p
8
非齐次线性差分方程的解
• 非齐次线性差分方程的特解
• 使得非齐次线性差分方程成立的任意一个解z t
z t a 1 z t 1 a 2 z t 2 a p z t p h ( t )
• 非齐次线性差分方程的通解
• 齐次线性差分方程的通解和非齐次线性差分方程的
特解之和 z t
线性平稳时间序列分析
线性平稳时间序列分析线性平稳时间序列分析是一种重要的时间序列分析方法，用于研究随时间变化的数据。
它基于一个核心假设，即数据的均值和方差在随时间推移的过程中保持不变。
线性平稳时间序列可以用数学模型来描述，通常使用自回归（AR）模型、滑动平均（MA）模型或自回归滑动平均（ARMA）模型。
这些模型基于该系列在某一时间点的值与该系列在过去时间点的值之间的线性关系。
为了进行线性平稳时间序列分析，首先需要检验数据是否满足平稳性的假设。
常用的检验方法包括ADF检验和单位根检验。
若数据不满足平稳性的假设，则需要通过差分操作将其转化为平稳时间序列。
在得到平稳的时间序列后，可以使用最小二乘法对时间序列进行模型拟合。
通过对数据进行模型拟合，我们可以得到模型的系数以及误差项的信息。
利用这些信息，可以进行时间序列的预测和分析。
在预测方面，线性平稳时间序列分析可以利用过去的观测值来预测未来的值。
预测方法包括简单的移动平均法和指数平滑法，以及更复杂的AR、MA和ARMA模型。
在分析时间序列方面，线性平稳时间序列分析可以通过模型的系数和误差项的信息来揭示数据的特征和规律。
例如，可以用模型的系数来检验是否存在滞后效应，用误差项的信息来检验模型的拟合程度。
总之，线性平稳时间序列分析是一种重要的时间序列分析方法，可以帮助我们研究随时间变化的数据。
通过对数据进行模型拟合、预测和分析，我们可以揭示数据的特征和规律，从而提供决策支持和预测能力。
线性平稳时间序列分析是一种重要的时间序列分析方法，它广泛应用于经济学、金融学、工程学等领域。
该方法基于数据的均值和方差在时间推移过程中保持不变的假设，旨在研究随时间变化的数据及其内在规律，以便进行预测、决策支持和其他分析。
在线性平稳时间序列分析中，首先需要检验数据是否符合平稳性的假设。
平稳性是指数据的均值和方差不随时间变化而发生显著变化。
为了检验平稳性，在实际应用中常常使用单位根检验或ADF检验等方法。
平稳线性ARMA模型2AR模型
26
• 满足条件(3.16)和(3.17)式给出的区域
1, 2 2 1 1, 2 1
称为平稳域。对于AR(2)模型平稳域是一个三角
形区域，见下图阴影部分。
27
28
29
• 例3.2 设AR(2)模型：Xt 0.7 Xt1 0.1Xt2 t
试判别 X t 的平稳性。
解：根据上述关于平稳条件的讨论，可以 通过两种径进行讨论：
B 其中，G(B)
GjB
j
，今后将把
进行运算的算j0 子，又可作为
G
(B)看作对 t
的函数来讨
论。
14
在理论研究和实际问题的处理时，通常还需要用
t时刻及t时刻以前的 X t j ( j 0,1, )
来表示白噪声 t ，即
15
16
17
3.2 ARMA模型的性质
• AR模型（Auto Regression Model） • MA模型（Moving Average Model） • ARMA模型（Auto Regression Moving
30
31
• 下面我们讨论序列的统计特性，关于平稳 的二阶自回归模型AR(2)模型：
平稳时间序列模型概述
平稳时间序列模型概述平稳时间序列模型是一种常见的时间序列分析方法，用于对事物在一定时间范围内的变化进行建模和预测。
平稳时间序列模型假设时间序列的均值和方差在任意时刻都保持不变，即不受时间的影响。
平稳时间序列模型有许多不同的形式，其中最常见的是自回归移动平均模型（ARMA）和季节性自回归移动平均模型（SARMA）。
ARMA模型由自回归（AR）部分和移动平均（MA）部分组成，描述了时间序列的自相关和滞后误差，可以用来预测未来的观测值。
SARMA模型在ARMA模型的基础上加入了季节性因素，适用于存在明显季节性变化的时间序列。
ARMA模型的一般形式为：\[ X_t = c + \phi_1X_{t-1} + \dots + \phi_pX_{t-p} + \epsilon_t -\theta_1\epsilon_{t-1} - \dots - \theta_q\epsilon_{t-q} \]其中，\( X_t \)是时间序列在时刻\( t \)的观测值，\( c \)是常数，\( \phi_1, \dots, \phi_p \)是自回归系数，\( X_{t-1}, \dots, X_{t-p} \)是过去的观测值，\( \epsilon_t \)是误差项，\( \theta_1, \dots,\theta_q \)是移动平均系数，\( \epsilon_{t-1}, \dots, \epsilon_{t-q} \)是过去的误差项。
SARMA模型的一般形式为：\[ X_t = c + \phi_1X_{t-1} + \dots + \phi_pX_{t-p} -\theta_1\epsilon_{t-1} - \dots - \theta_q\epsilon_{t-q} + \gammaX_{t-m} + \phi_1\gamma X_{t-m-1} + \dots + \phi_p\gammaX_{t-m-p} + \epsilon_t \]其中，\( X_t \)是时间序列在时刻\( t \)的观测值，\( c \)是常数，\( \phi_1, \dots, \phi_p \)是自回归系数，\( X_{t-1}, \dots, X_{t-p} \)是过去的观测值，\( \epsilon_t \)是误差项，\( \theta_1, \dots,\theta_q \)是移动平均系数，\( \epsilon_{t-1}, \dots, \epsilon_{t-q} \)是过去的误差项，\( \gamma \)是季节性系数，\( X_{t-m},\dots, X_{t-m-p} \)是过去的季节性观测值。
第二章平稳时间序列模型——AR（p）,MA（q）,ARMA（p,q）模型及其平稳性
第⼆章平稳时间序列模型——AR（p）,MA（q）,ARMA（p,q）模型及其平稳性1⽩噪声过程:零均值，同⽅差，⽆⾃相关（协⽅差为0）以后我们遇到的efshow如果不特殊说明，就是⽩噪声过程。
对于正态分布⽽⾔，不相关即可推出独⽴，所以如果该⽩噪声如果服从正态分布，则其还将互相独⽴。
2各种和模型p阶移动平均过程：q阶⾃回归过程：⾃回归移动平均模型：如果ARMA(p,q)模型的表达式的特征根⾄少有⼀个⼤于等于1，则{y(t)}为积分过程，此时该模型称为⾃回归秋季移动平均模型（ARIMA）时间序列啊，不就是求个通项公式，然后求出⼀个⾮递推形式的表达式吗？（这个公式和⾃变量t有关，然后以后只要知道t就能得到对应的y的预测值）3弱平稳/协⽅差平稳：均值和⽅差为常数（即同⽅差），协⽅差仅与时间间隔有关4⾃相关系数：5AR(1)模型（带⽩噪声的⼀阶差分⽅程）的平稳性：（1）如果初始条件为y0：则其解为（我们通过其解来判断其是否平稳）此时{y(t)}是不平稳的。
· 但是如果|a1|<1，其t⾜够⼤，则{y(t)}是平稳的。
均值：⽅差：等于协⽅差：等于所以有结论：（2）初始条件未知：则其通解为：{y(t)}平稳的条件为：1 |a1|<12 且齐次解A(a1)^t为0：序列从很久前开始（即t很⼤，且结合1，则为0），或该过程始终平稳（A=0）所以说，解的稳定性和序列的平稳性是不⼀样的。
这两条对所有的ARMA(p,q)模型都适⽤。
（对于任意的ARMA(p,q)模型，齐次解为0是平稳性必要条件）（ARMA(p,q)模型的齐次解为或）6对于ARMA(2,1)模型的平稳性：模型表达式为：（2.16）（截距项不影响平稳性，略去）设其挑战解为：（⽤待定系数法）则系数应当满⾜⽅程：（2.17）序列{阿尔法i}收敛的条件是⽅程（2.16）对于的齐次⽅程的特征根都在单位圆之内（因为2.17中的差分⽅程对于的特征⽅程和⽅程2.16对于的特征⽅程是⼀模⼀样的）我们之所以只考虑特解，是因为我们让齐次解为0.此时该挑战解/特解：均值为：⽅差为：（t很⼤时⽤级数求和）协⽅差为：等于所以其平稳性条件为（t很⼤）：1模型对应的齐次⽅程的特征⽅程的特征根在单位圆内2齐次解为0。
FINTS第四章线性ARMA模型
= σ 2 , E (ε t ε s ) = 0, t ≠ s
ARIMA（p,d,q)过程和模型 AutoRegression Integrated Moving Average
随机过程不平稳时，（从图形看不重复穿 越一条水平线，样本自相关函数收敛速 度慢）对不平稳的随机过程差分d次后 d 平稳，注意不要过渡差分，差分以后满 足一个ARMA(p,q)模型，则没有差分前 的模型称为ARIMA(p,d,q)模型，满足该 模型的随机过程称为ARIMA过程。
线性ARMA模型：总结
Υt=c+ϕ1Υt-1 +ϕ2Υt-2+…+ϕpΥt-p + εt + θ1εt -1+…+ θqεt –q Φ(L)Yt =c+Θ(L)εt （1） ϕp ≠0， θq ≠0
（2）满足平稳条件 （3）满足可逆条件 （4）没有公共因子 2 (5) E (ε t ) = 0, E (ε t )
平稳时间序列
几个重要的平稳过程和模型
白噪声过程 MA MA过程 AR过程 ARMA过程
平稳过程的参数
自协方差和自相关函数 偏自相关函数
白噪声过程 white noise process
随机过程满足 1）E(εt)=0 ， 对所有t 2）E(εt2)=σ2 对所有t 3）E(εtεs)=0, 对任意t≠s，或Cov(εt, εs)=0 弱白噪声随机过程（Weakly white noise process），简称白噪声。记为 ），简称白噪声 ），简称白噪声。 {εt}~WN(0, σ2) ε
MA(1)
另一种表达方式
Yt = µ + ut ut = ε t + θε t −1
线性平稳时间序列模型
第二节 建立线性时序模型旳原理 ——动态性
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动态性：就是指时间序列各观察值之间旳 有关性。
从系统旳观点看：动态性即指系统旳记忆 性，也就是某一时刻进入系统旳输入对 系统后继行为旳影响，图示如下：
输入
系统
输出（响应）
例
（1）某人在某一天打了一针，假如当日旳反应 是疼痛 0 ，而后来没有其他反应，那么系统 旳输入、输出如下：
假如一种时间序列是纯随机旳，得到一种 观察期数为 n旳观察序列，那么该序列旳 延迟非零期旳样本自有关系数将近似服 从均值为零，方差为序列观察期数倒数 旳正态分布
ˆ k
~
N (0, 1 ) n
,k 0
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2.假设条件
原假设：延迟期数不大于或等于m 期旳序 列值之间相互独立
H 0：1 2 m 0, m 1
这种情况可用模型概括为：xt 1at1
（3）假如当日旳反应是疼痛 0 ，第二天 出现了红肿 1 ，那么：
时间 输入 输出
t ：1 2 at: 0 1 xt：0 0
3 45 0 00 1 0 0
这种情况可用模型概括为：xt 0at 1at1
（4）假如打针后来各个时刻都存在相应旳反 应，那么，有关该刺激旳总旳概括为：
原则正态白噪声序列纯随机性检验
样本自有关图
返回例题
检验成果
延迟
延迟6期 延迟12期
Q统计量检验
Q统计量值
P值
4.3435
0.63
14.171
0.29
因为P值明显不小于明显性水平 ，所以该序列不能
拒绝纯随机旳原假设。
返回例题
第八章 平稳时间序列建模(ARMA模型)
p 阶自回归模型记作AR(p)，满足下面的方程：
ut c 1 ut 1 2 ut 2 p ut p t
(5.2.4) 其中：参数 c 为常数；1 , 2 ,…, p 是自回归模型系数； p为自回归模型阶数；t 是均值为0，方差为 2 的白噪声
序列。
4
2. 移动平均模型MA(q)
q 阶移动平均模型记作MA(q) ，满足下面的方 程：
ut t 1 t 1 q t q
(5.2.5)
其中：参数 为常数；参数1 , 2 ,…, q 是 q 阶移动
平均模型的系数；t 是均值为0，方差为 2的白噪声 序列。
AR(p)模型均可以表示为白噪声序列的线性组合。
8
2．MA(q) 模型的可逆性
考察MA(q) 模型
ut (1 1 L 2 L2 q Lq ) t
2 E ( t ) 0
2
(5.2.16)
t t
qቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
若
1 1 z 2 z q z 0
在单位圆外（即绝对值大于1，或模大于1），这意味着 自回归过程是发散的。如果MA模型滞后多项式的根的 倒数有在单位圆外的，说明MA过程是不可逆的，应使 用不同的初值重新估计模型，直到得到满足可逆性的动 平均。
20
4. ARMA(p,q)模型的估计选择
EViews估计AR模型采用非线性回归方法，对于MA模 型采取回推技术(Box and Jenkins,1976)。这种方法的优点
L0utut。则式（5.2.7）可以改写为：
(1 1 L 2 L 2 p Lp ) ut c t
第 章 平稳线性ARMA模型 AR模型
31
• 下面我们讨论序列的统计特性，关于平稳 的二阶自回归模型AR(2)模型：
32
AR模型的定义
• 具有如下结构的模型称为 p阶自回归模 型，简记为 AR(p)
xt 0 1xt12xt2 pxtp t
p 0
E(t
)0，Va(rt)2,E(ts)0,st
Exst 0,st
• 特别当0 0时，称为中心化AR(p) 模型
• 判别原因
• AR模型是常用的平稳序列的拟合模型之一， 但并非所有的AR模型都是平稳的
• 判别方法
• 单位根判别法 • 平稳域判别法
36
例3.1:考察如下四个模型的平稳性
(1)xt 0.8xt 1t (2)xt 1.1xt 1t
(3 )x t x t 1 0 .5 x t 2t
(4 )x t x t 1 0 .5 x t 1t
差分运算
xt xt xt1
px t p 1 x t p 1 x t 1
k xt xtk
3
滞后算子
• 延迟算子类似于一个时间指针，当前序列 值乘以一个延迟算子，就相当于把当前序 列值的时间向过去拨了一个时刻
• 记B为延迟算子，有 xtpBpxt,p1
4
延迟算子的性质
B0 1
•
B(cxt)cB(xt)cxt1,c为任意常数
33
AR(P)序列中心化变换
• 称 { y t } 为{ xt } 的中心化序列 ，令
0
11p
yt xt
34
自回归系数多项式
• 引进延迟算子，中心化AR(p)模型又可以
简记为
(B)xt t
• 自回归系数多项式
( B ) 1 1 B 2 B 2 p B p
第四章线性ARMA模型_2
滞后算子
(1)L(LYt)=L(Yt-1)= Yt-2,记为L2Yt= Yt-2,一般的Lk Yt= Yt-k (2)与乘法可交换L(a Yt)=a(LYt) (3)加法可分配L(Yt +Xt)= LYt + L Xt (4)对常数列的运算等于他自身Lc=c (5)1Yt=Yt (6) (1-L)-1=1+ L+ 2L2+…+ kLk … 当||<1时。
由（4.3-2），我们有 rt 1 (rt 1 ) t 自协方差函数 l 1 l 1 , l 0 自相关函数
l 1l 1 , l 0
因 0 1 ，故 l 1l 这个性质表明弱平稳AR(1)序列的自相关函数从 0 1开始以比率为 1 的指数速度衰减。
利用 0 (1 1 2 ), AR(2)模型可以写为
AR(2)模型 rt 0 1rt 1 2 rt 2 t
rt 1 (rt 1 ) 2 (rt 2 ) t
两边乘以 rt l 导致自相关协方差函数满足
1子表示平稳AR(p)模型
rt 0 1rt 1 p rt p t
为
( L)rt 0 t
其中， (L) 1 1L 2 L2 p Lp 为滞后算子多项式。
rt ( L)0 ( L) t i t i ,
AR(1)参数
t=0.1+0.5t-1 +t t=0.1-0.5t-1 +t =0.1/(1-0.5)=0.2 = 0.1/(1+0.5) j=0.5j j =(-0.5)j
P49-50 图4-12至图4-16
线性ARMA模型专题知识讲座
注意到 var(rt ) (1 12 ) 2 , 我们有
0 1,
1
1 1 12
,
l 0
(l 1)
MA(1)模型在间隔为1后来旳是截尾旳
MA(2)模型
rt t 1t1 2t2
自协方差函数
1
(1
1
2
)
2 e
,
2
2
2 e
,
自有关系数是
l 0(l 2)
1
这个成果称为平稳AR(2)模型旳矩方程
平稳AR(2)模型旳自有关系数函数满足
0 1,
1
1 1 2
l 1l1 2l2 , l 1
上面旳成果表白平稳AR(2)序列旳ACF满足二阶差分方程
(1 1B 2 B 2 )l 0
其中，B是向后推移（延迟，滞后）算子，即 Bl l1
有时用L表达延迟算子，如 Lrt rt1
1 1 2
1 12
2 2
,
2
2
1 12
2 2
,
l 0(l 2)
MA(2)模型在间隔为2后来旳是截尾旳
MA(q)模型
自有关系数 rt t 1t1 qtq
k
k
1 k1 2 k2 qk q
1 12
2 q
0
for k 1,2,, q for k q
MA(q)模型在间隔为q步后来旳是截尾旳， MA(q)模型具有有限记忆性
MA过程
ACF图
基本结论 MA(q)过程旳自有关函数q步截尾
练习题
P59. 4.19 P59. 4.20 P58. 4.4 P58. 4.1 P58. 4.2 5. 计算 rt t 0.6t1 0.3t2 0.5t3 0.5t4
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3.1 方法性工具
• 差分运算 • 滞后算子 • 线性差分方程 在正式讨论线性过程之前，我们首先给出相
应的准备工具，介绍延迟算子和求解线性 差分方程，这些工具会使得时间序列模型 表达和分析更为简洁和方便
2
• 一阶差分
差分运算
• 阶差分
• 步差分
3
滞后算子
51
常用AR模型自相关系数递推公式
• AR(1)模型 • AR(2)模型
52
AR模型自相关系数的性质
• 拖尾性 • 呈复指数衰减
53
例3.5:考察如下AR模型的自相关图
54
例3.5—
• 自相关系数按复指数单调收敛到零
55
例3.5:—
56
例3.5:—
• 自相关系数呈现出“伪周期”性
57
例3.5:—
28
29
• 例3.2 设AR(2)模型： 试判别 的平稳性。
解：根据上述关于平稳条件的讨论，可以 通过两种径进行讨论：
30
31
• 下面我们讨论序列的统计特性，关于平稳 的二阶自回归模型AR(2)模型：
32
AR模型的定义
• 具有如下结构的模型称为 阶自回归模 型，简记为
• 特别当 时，称为中心化
• 平稳域判别
• 平稳域
40
AR(1)模型平稳条件
• 特征根 • 平稳域
41
AR(2)模型平稳条件 • 平稳域 • 特征根
42
例3.1平稳性判别
模 型
特征根判别
平稳域判别
(1)
(2)
(3)
(4)
结 论
平稳
非 平稳
平稳
非 平稳
43
平稳AR模型的统计性质
• 均值 • 方差 • 协方差 • 自相关系数 • 偏自相关系数
Average model）
18
3.2.1一阶自回归过程AR(1)
• 通常地，由于经济系统惯性的作用，经济 时间序列往往存在着前后依存关系。最简 单的一种情形就是变量当前的取值主要与 其前一时期的取值状况有关，用数学模型 来描述这种关系就是下面介绍的一阶自回 归模型。
19
20
在一阶自回归AR(1)模型中，保持其平稳性 的条件是对应的特征方程
36
例3.1:考察如下四个模型的平稳性
37
例3.1平稳序列时序图
38
例3.1非平稳序列时序图
39
AR模型平稳性判别方法
• 特征根判别
• AR(p)模型平稳的充要条件是它的p个特征根都在单位 圆内
• 根据特征根和自回归系数多项式的根成倒数的性质， 等价判别条件是该模型的自回归系数多项式的根都在 单位圆外
• 在时间序列的统计分析中，平稳序列是一类重要 的随机序列。在这方面已经有了比较成熟的理论 知识，最常用的是ARMA（Autoregressive Moving Average）序列。用ARMA模型去近似地 描述动态数据在实际应用中有许多优点，例如它 是线性模型，只要给出少量参数就可完全确定模 型形式；另外，便于分析数据的结构和内在性质 ，也便于在最小方差意义下进行最佳预测和控制 。本章将讨论ARMA模型的基本性质和特征，这 是时间序列统计分析中的重要理论基础。
的根的绝对值必须小于1，即满足
。
对于平稳的AR(1)模型，经过简单的计算易 得
21
22
3.2.2 二阶自回归过程AR(2)
• 当变量当前的取值主要与其前两时期的取 值状况有关，用数学模型来描述这种关系 就是如下的二阶自回归模型AR(2)：
• 引入延迟算子 的表达形式为：
23
24
• 下面利用特征方程的根与模型参数 的关系，给出AR(2) 模型平稳的 的取值条件（或值域）。
论。
14
在理论研究和实际问题的处理时，通常还需要用 t时刻及t时刻以前的 来表示白噪声 ，即
15
16
17
3.2 ARMA模型的性质
• AR模型（Auto Regression Model） • MA模型（Moving Average Model） • ARMA模型（Auto Regression Moving
60
偏自相关系数的截尾性
• AR(p)模型偏自相关系数P阶截尾
61
例3.5续:考察如下AR模型的偏自相关图
62
例3.5—
• 理论偏自相关系数
• 样本偏自相关图
63
25
• (3.16)和(3.17)式是保证AR(2)模型平稳，回
归参数
所应具有的条件。反之，若
(3.16)和(3.17)式成立，则特征方程
特征方程的根必落在单位圆内。
26
• 满足条件(3.16)和(3.17)式给出的区域 称为平稳域。对于AR(2)模型平稳域是一个三角
形区域，见下图阴影部分。
27
模型
33
AR(P)序列中心化变换
• 称 为 的中心化序列 ，令
34
自回归系数多项式
• 引进延迟算子，中心化 简记为
模型又可以
• 自回归系数多项式
35
AR模型平稳性判别
• 判别原因
• AR模型是常用的平稳序列的拟合模型之一， 但并非所有的AR模型都是平稳的
• 判别方法
• 单位根判别法 • 平稳域判别法
• 特征方程的根称为特征根，记作 • 齐次线性差分方程的通解
• 不相等实数根场合 • 有相等实根场合
• 复根场合
8
非齐次线性差分方程的解
• 非齐次线性差分方程的特解
• 使得非齐次线性差分方程成立的任意一个解
• 非齐次线性差分方程的通解
• 齐次线性差分方程的通解和非齐次线性差分方程的 特解之和
9
线性平稳时间序列分析
44
均值
• 如果AR(p)模型满足平稳性条件，则有
• 根据平稳序列均值为常数，且 为白噪声序列， 有
• 推导出
45
方差
• 平稳AR模型的传递形式 • 两边求方差得
46
例3.2:求平稳AR(1)模型的方差
• 平稳AR(1)模型的传递形式为
• Green函数为
• 平稳AR(1)模型的方差
47
协方差函数
• 自相关系数不规则衰减
58
偏自相关系数
• 定义
对于平稳AR(p)序列，所谓滞后k偏自相关系数就
是指在给定中间k-1个随机变量
的条
件下，或者说，在剔除了中间k-1个随机变量的
干扰之后， 对 影响的相关度量。用数学语
言描述就是
59
偏自相关系数的计算
• 滞后k偏自相关系数实际上就等于k阶自回 归模型第个k回归系数的值。
10
11
• 定理3.1 定义（3.1）中的线性过程是平稳
序列，且
是均方收敛的。
12
3.1.2 线性过程的因果性和可逆性
• 在应用时间序列分析去解决实际问题时， 所使用的线性过程是因果性的，即：
13
• 设 为一步延迟算子，则
，
，(3.4)可表为：
其中，
，今后将把 看作对
进行运算的算子，又可作为 的函数来讨
• 在平稳AR(p)模型两边同乘
，再求期望
• 根据
• 得协方差函数的递推公式
48
例3.3:求平稳AR(1)模型的协方差
• 递推公式 • 平稳AR(1)模型的方差为 • 协方差函数的递推公式为
49
例3.4:求平稳AR(2)模型的协方差
• 平稳AR(2)模型的协方差函数递推公式为
50
自相关系数
• 自相关系数的定义 • 平稳AR(P)模型的自相关系数递推公式
• 延迟算子类似于一个时间指针，当前序列 值乘以一个延迟算子，就相当于把当前序 列值的时间向过去拨了一个时刻
• 记B为延迟算子，有
4
延迟算子的性质
•
•
•
•分运算
• 阶差分 • 步差分
6
线性差分方程
• 线性差分方程 • 齐次线性差分方程
7
齐次线性差分方程的解
• 特征方程