高中数学(北师大版,选修11)：第三章+变化率与导数(课件+同步练习+章末归纳总结+综合检测,8份)

第三章 §1
一、选择题
1．函数y ＝f (x )的自变量x 由x 0改变到x 0＋Δx 时，函数值的改变量Δy 等于( )
A ．f (x 0＋Δx )
B ．f (x 0)＋Δx
C ．f (x 0)·Δx
D ．f (x 0＋Δx )－f (x 0)
[答案] D
[解析] 写出自变量x 0和x 0＋Δx 对应的函数值f (x 0)和f (x 0＋Δx )，两式相减，就得到了函数值的改变量．
2．f (x )＝3x 在x 从1变到3时的平均变化率等于( )
A ．12
B ．24
C ．2
D ．－12 [答案] A
[解析] Δy ＝f (3)－f (1)＝33－3＝24，
∴Δy Δx ＝243－1
＝12.故选A. 3．在x ＝1附近，取Δx ＝0.3，在四个函数①y ＝x ；②y ＝x 2；③y ＝x 3；④y ＝1x
中．平均变化率最大的是( )
A ．④
B ．③
C ．②
D ．① [答案] B
[解析] ①的平均变化率为1，②的平均变化率为2.3，③的平均变化率为3.99，④的平均变化率为－0.77.
4．已知函数y ＝2x
，当x 由2变为1.5时，函数的增量为( ) A ．1
B ．2 C.13
D.32 [答案] C
[解析] Δy ＝21.5－22＝13
. 5．若函数f (x )＝2x 2－1的图像上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy )，则Δy Δx
等于( ) A ．4 B ．4x
C ．4＋2Δx
D ．4＋2(Δx )2
[答案] C [解析] Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2－1－2＋1＝4Δx ＋2Δx 2，∴Δy Δx
＝4＋2Δx . 6．一质点运动的方程为s ＝5－3t 2，则在一段时间[1,1＋Δt ]内相应的平均速度为( )
A ．3Δt ＋6
B ．－3Δt ＋6
C ．3Δt －6
D ．－3Δt －6
[答案] D
[解析] 平均速度为5－3(1＋Δt )2－(5－3×12)1＋Δt －1
＝－3Δt 2－6Δt Δt
＝－3Δt －6， 故选D.
二、填空题
7．y ＝x 2－2x ＋3在x ＝2附近的平均变化率是________．
[答案] 2＋Δx
[解析] Δy ＝(2＋Δx )2－2(2＋Δx )＋3－(22－2×2＋3)＝(Δx )2＋2Δx .
∴Δy Δx ＝(Δx )2＋2Δx Δx ＝Δx ＋2. 8．物体的运动方程是s (t )＝4t －0.3t 2，则从t ＝2到t ＝4的平均速度是________．
[答案] 2.2
[解析] 由题意，可得Δt ＝4－2＝2，Δs ＝(4×4－0.3×42)－(4×2－0.3×22)＝11.2－6.8＝4.4，
∴平均速度为Δs Δt ＝4.42
＝2.2，故填2.2. 9．一个做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的函数关系是s ＝3t －t 2，则此物体在t ＝2时的瞬时速度为____________．
[答案] －1
[解析] 因为Δs ＝3(2＋Δt )－(2＋Δt )2－(3×2－22)
＝6＋3Δt －4－4Δt －(Δt )2－6＋4
＝－Δt －(Δt )2
所以Δs Δt ＝－Δt －(Δt )2Δt ＝－1－Δt ，当Δt 趋于0时，Δs Δt 趋于－1， 故物体在t ＝2时的瞬时速度为－1.
三、解答题
10．已知函数f (x )＝x 2＋x ，分别计算f (x )在自变量x 从1变到3和从1变到2时的平均变化率．
[答案] 5和4
[解析] 自变量x 从1变到3时，函数f (x )的平均变化率为f (3)－f (1)3－1
＝32＋3－(12＋1)2＝5， 自变量x 从1变到2时，函数f (x )的平均变化率为f (2)－f (1)2－1
＝22＋2－(12＋1)1＝4.
一、选择题
11．质点运动规律为s ＝2t 2＋5，则在时间(3,3＋Δt )中，相应的平均速度等于( )
A ．6＋Δt
B ．12＋Δt ＋9Δt
C ．12＋2Δt
D ．12
[答案] C
[解析] Δs Δt ＝[2(3＋Δt )2＋5]－(2×32＋5)Δt ＝12＋2Δt .
12．一个物体的运动方程是s ＝2t 2＋at ＋1，该物体在t ＝1的瞬时速度为3，则a ＝( )
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．7 [答案] A
[解析] Δs ＝2(1＋Δt )2＋a (1＋Δt )＋1－(2＋a ＋1)＝Δt 2＋(4＋a )Δt ，
由条件知lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0
(Δt ＋4＋a )＝4＋a ＝3， ∴a ＝－1.
13．函数y ＝f (x )＝x 2在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为k 1，在区间[x 0－Δx ，x 0]上的平均变化率为k 2，则k 1与k 2的大小关系为( )
A ．k 1＞k 2
B ．k 1＜k 2
C ．k 1＝k 2
D ．不确定
[答案] A
[解析] k 1＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝(x 0＋Δx )2－x 20Δx
＝2x 0＋Δx ， k 2＝f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx ＝x 20－(x 0－Δx )2Δx ＝2x 0－Δx . 由题意知：Δx >0，∴k 1>k 2，选A.
14．已知函数f (x )＝－x 2＋x 的图像上一点(－1，－2)及邻近一点(－1＋Δx ，－2＋Δy )，则Δy Δx
＝( ) A ．3
B ．3Δx －(Δx )2
C ．3－(Δx )2
D ．3－Δx
[答案] D
[解析] Δy ＝f (－1＋Δx )－f (－1)
＝－(－1＋Δx )2＋(－1＋Δx )－(－2)
＝－(Δx )2＋3Δx .
∴Δy Δx ＝－(Δx )2＋3Δx Δx ＝－Δx ＋3. 15．如果某物体做运动方程为s ＝2(1－t 2)的直线运动(s 的单位为m ，t 的单位为s)，那么其在1.2s 末的瞬时速度为( )
A ．－4.8m/s
B ．－0.88m/s
C ．0.88m/s
D ．4.8m/s
[答案] A
[解析] Δs Δt ＝2[1－(1.2＋Δt )2]－2(1－1.2)2Δt ＝－4.8－2Δt ，
当Δt 趋于0时，Δs Δt
趋于－4.8，故物体在t ＝1.2s 末的瞬时速度为－4.8m/s. 二、填空题
16．球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为____________．
[答案] 28π3
[解析] ∵Δy ＝43π×23－43π×13＝28π3
， ∴Δy Δx ＝28π3
2－1＝28π3
. 17．已知s (t )＝12
gt 2，则t ＝3s 到t ＝3.1s 的平均速度为________．(g 取10m/s 2) [答案] 30.5m/s
[解析] 平均速度为Δs Δt ＝12g (3.12－32)3.1－3
＝30.5(m/s)． 三、解答题
18．已知质点M 按规律s ＝3t 2＋2做直线运动(位移单位：cm ，时间单位：s)．
(1)当t ＝2，Δt ＝0.01时，求Δs Δt
； (2)求质点M 在t ＝2时的瞬时速度．
[答案] (1)12.03cm/s (2)12cm/s
[解析] Δs Δt ＝s (t ＋Δt )－s (t )Δt
＝3(t ＋Δt )2＋2－(3t 2＋2)Δt
＝6t ＋3Δt .
(1)当t ＝2，Δt ＝0.01时，
Δs Δt
＝6×2＋3×0.01＝12.03cm/s. (2)当Δt 趋于0时，6t ＋3Δt 趋于6t ，
∴质点M 在t ＝2时的瞬时速度为12cm/s.
[点评] 本题重点是求质点M 的瞬时速度，瞬时速度是根据一段时间内物体的平均速度的趋近值来定义的，因此只要知道了物体的运动方程，代入公式就可以求出瞬时速度．。