10章4课时空间中的平行关系

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考点二 平面与平面平行的判定
(1)利用定义 常用反证法 ． 利用定义(常用反证法 利用定义 常用反证法)． (2)利用判定定理：转化为判定 利用判定定理： 利用判定定理 一个平面内的两条相交直线分别平 行于另一个平面．客观题中， 行于另一个平面．客观题中，也可 直接利用一个平面内的两条相交线 分别平行于另一个平面内的两条相 交线来证明两平面平行． 交线来证明两平面平行．
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证明：如图所示，连结 证明：如图所示，连结A1C交AC1 交 于点E， 于点 ， 四边形A 是平行四边形， ∵四边形 1ACC1是平行四边形， 的中点， ∴E是A1C的中点，连结 ， 是 的中点 连结ED，
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∵A1B∥平面 1D，平面 1BC∩ ∥平面AC ，平面A 平面AC 平面 1D=ED，∴A1B∥ED， ， ∥ ， 的中点， ∵E是A1C的中点， 是 的中点 ∴D是BC的中点， 是 的中点， 的中点 的中点， 又∵D1是B1C1的中点， ∴BD1∥C1D，A1D1∥AD， ， ， 又A1D1∩BD1=D1，∴平面 平面AC A1BD1∥平面 1D.
三基能力强化
2．已知直线a、b和平面 、β，则 ．已知直线 、 和平面 和平面α、 ， 在下列命题中，真命题为( ) 在下列命题中，真命题为 A．若a∥β，α∥β，则a∥α ． ∥ ， ∥ ， ∥ B．若α∥β，a⊂α，则a∥β ． ∥ ， ⊂ ， ∥ C．若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b ． ∥ ， ⊂ ， ⊂ ， ∥ D．若a∥β，b∥α，α∥β，则a∥b ． ∥ ， ∥ ， ∥ ， ∥ 答案： 答案：B
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又∵M是PC的中点， 是 的中点， 的中点 ∴MO∥PA. ∥ 又∵MO⊂平面 ⊂平面BDM， ， PA⊄平面 ⊄平面BDM，∴PA∥平面 ， ∥ BDM. 又经过PA与点 的平面 又经过 与点G的平面 与点 交平面BDM于GH， 交平面 于 ， ∴AP∥GH. ∥
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【名师点评】 利用线面平行的性 名师点评】 质定理证明线线平行，关键是找出过已 质定理证明线线平行， 知直线的平面与已知平面的交线． 知直线的平面与已知平面的交线．
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考点一 直线与平面平行的判定
判定直线与平面平行， 判定直线与平面平行，主要有 三种方法： 三种方法： (1)利用定义 常用反证法)． 利用定义(常用反证法 ． 利用定义 常用反证法 (2)利用判定定理：关键是找平 利用判定定理： 利用判定定理 面内与已知直线平行的直线． 面内与已知直线平行的直线．可先 直观判断平面内是否已有， 直观判断平面内是否已有，若没 有，则需作出该直线，常考虑三角 则需作出该直线， 形的中位线、 形的中位线、平行四边形的对边或 过已知直线作一平面找其交线． 过已知直线作一平面找其交线．
第4课时
空间中的平行关系
基础知识梳理
1．直线与平面平行的判定与性质 ． (1)判定定理： 判定定理： 判定定理 平面外一条直线与 此平面内的一条直线 平 行，则该直线与此平面平行． 则该直线与此平面平行． (2)性质定理： 性质定理： 性质定理 一条直线与一个平面平行， 一条直线与一个平面平行，则过这条直线 的任一平面与此平面的交线与该直线 平行 ．
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【思路点拨】 要证 ∥GH， 思路点拨】 要证AP∥ ， 只需证PA∥ 只需证 ∥面BDM. 证明】 如图，连结AC， 【证明】 如图，连结 ，设 AC交BD于O，连结MO. 交 于 ，连结 四边形ABCD是平行四边形， 是平行四边形， ∵四边形 是平行四边形 的中点． ∴O是AC的中点． 是 的中点
PM PE QN QB ∴ ＝ ， ＝ ， AB AE DC BD
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∴PM綊QN， 綊 ， 即四边形PMNQ为平行四边形， 为平行四边形， 即四边形 为平行四边形 又MN⊂平面 ⊂平面BCE， ， PQ⊄平面BCE， ⊄平面 ， ∴PQ∥平面 ∥平面BCE.
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法二：如图所示，连结AQ， 法二：如图所示，连结 ，并延 长交BC于 ，连结EK. 长交 于K，连结 ∵AE＝BD，AP＝DQ， ＝ ， ＝ ， ∴PE＝BQ， ＝ ，
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考点三 直线与平面平行的性质
利用线面平行的性质， 利用线面平行的性质，可以实 现由线面平行到线线平行的转 在平时的解题过程中， 化．在平时的解题过程中，若遇到 线面平行这一条件， 线面平行这一条件，就需在图中找 (或作 过已知直线与已知平面相交的 或作)过已知直线与已知平面相交的 或作 平面． 平面．这样就可以由性质定理实现 平行转化． 平行转化．
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为平行四边形． ∴四边形A1FCG为平行四边形． 四边形 为平行四边形 ∴A1F∥GC. ∥ 又∵A1F⊄平面 ⊄平面BCGH，CG⊂平面 ， ⊂ BCGH， ， ∴A1F∥平面 ∥平面BCGH. 又∵A1F∩EF＝F， ＝ ， 平面A ∴平面 1EF∥平面 ∥平面BCGH.
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【名师点评】 利用面面平行的 名师点评】 判定定理证明两个平面平行是常用的 方法，即若a⊂ ， ⊂ ， ∥ ， 方法，即若 ⊂α，b⊂α，a∥β， b∥β，a∩b＝O，则α∥β. ∥ ， ＝ ， ∥
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互动探究 在本例中， 在本例中，若D是BC上 是 上 一点，且A1B∥平面AC1D， 一点， ∥平面 ， D1是B1C1的中点， 的中点， 求证：平面A 求证：平面 1BD1∥平 面AC1D.
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例3 如图，已知四边形 如图，已知四边形ABCD是平行 是平行 四边形， 是平面ABCD外一点，M 外一点， 四边形，点P是平面 是平面 外一点 的中点， 上取一点G， 是PC的中点，在DM上取一点 ，过 的中点 上取一点 G和AP作平面交平面 作平面交平面BDM于GH.求 和 作平面交平面 于 求 证：AP∥GH. ∥
AP DQ ∴ ＝ . ① PE BQ 又∵ AD∥BK， ∥ ， DQ AQ ∴ ＝ . ② BQ QK AP AQ ①②得 由①② 得 ＝ ， PE QK
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∴PQ∥EK. ∥ EK⊂ 又 PQ⊄平面 BEC， ⊂面 BEC， ⊄ ， ， ∴PQ∥平面 BEC. ∥ 法三：如图所示， 法三：如图所示，作 PH∥EB 交 ∥ AH AP AB 于 H，连结 HQ，则 ＝ ， ， ， HB PE ∵AE＝ BD，AP＝DQ， ＝ ， ＝ ， ∴PE＝ BQ， ＝ ， AH AP DQ ∴ ＝ ＝ ， HB PE BQ
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【思路点拨】 本题证面面平 思路点拨】 可证明平面A 行，可证明平面 1EF内的两条相交直 内的两条相交直 线分别与平面BCGH平行，然后根据 平行， 线分别与平面 平行 面面平行的判定定理即可证明． 面面平行的判定定理即可证明．
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【证明】 △ABC中，E、F分别为 证明】 中 、 分别为 AB、AC的中点， 的中点， 、 的中点 ∴EF∥BC. ∥ 又∵EF⊄平面 ⊄平面BCGH，BC⊂平面 ， ⊂ BCGH， ， ∴EF∥平面 ∥平面BCGH. 分别为A 的中点， 又∵G、F分别为 1C1，AC的中点， 、 分别为 的中点
基础知识梳理
2．平面与平面平行的判定与性质 ． (1)判定定理： 判定定理： 判定定理 一个平面内的两条相交直线 与另 一个平面平行，则这两个平面平行． 一个平面平行，则这两个平面平行． (2)性质定理： 性质定理： 性质定理 如果两个平行平面同时和第三个 平面相交， 平面相交，那么它们的交线平行 ．
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α∥β ∥ ⇒α∥γ. (3)利用面面平行的传递性： 利用面面平行的传递性： 利用面面平行的传递性 ∥ γ∥β ∥ α⊥ α⊥l ⇒α∥β. (4)利用线面垂直的性质： 利用线面垂直的性质： ∥ 利用线面垂直的性质 β⊥l ⊥
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例2 如图所示，正三棱柱 如图所示，正三棱柱ABC－ － A1B1C1各棱长为 ，E、F、G、H分别 各棱长为4， 、 、 、 分别 的中点， 是AB、AC、A1C1、A1B1的中点， 、 、 求证：平面A 求证：平面 1EF∥平面 ∥平面BCGH.
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例1 正方形ABCD与正方形 与正方形ABEF所在 正方形 正方形 所在 平面相交于AB， 平面相交于 ，在AE、BD上各有一 、 上各有一 点P、Q，且AP＝DQ. 、 ， ＝ 求证：PQ∥平面BCE. 求证： ∥平面
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【思路点拨】 思路点拨】
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【证明】 法一：如图所 证明】 法一： 示，作PM∥AB交BE于M，作 ∥ 交 于 ， QN∥AB交BC于N，连结 ∥ 交 于 ，连结MN、 、 PQ. 正方形ABCD和正方形 正方形 和正方形 ABEF有公共边 ABEF有公共边AB，∴AE＝ 有公共边AB， AE＝ BD. 又∵AP＝DQ，∴PE＝QB. ＝ ， ＝ 又∵PM∥AB∥QN， ∥ ∥ ，
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∴HQ∥AD，即HQ∥BC. ∥ ， ∥ 又PH∩HQ＝H，BC∩EB＝B， ＝ ， ＝ ， 平面PHQ∥平面 ∴平面 ∥平面BCE， ， 而PQ⊂平面PHQ， ⊂平面 ， ∴PQ∥平面 ∥平面BCE.
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【名师点评】 法一、法二均是 名师点评】 法一、 依据线面平行的判定定理在平面BCE 依据线面平行的判定定理在平面 内寻找一条直线l，证得它与PQ平 内寻找一条直线 ，证得它与 平 行． 特别注意直线l的寻找往往是通过 特别注意直线 的寻找往往是通过 过直线PQ的平面与平面 的平面与平面BCE相交的交 过直线 的平面与平面 相交的交 线来确定． 线来确定． 法三是利用面面平行的性质， 法三是利用面面平行的性质，即 若平面α∥β，l⊂α，则l∥β. 若平面 ∥ ， ⊂ ， ∥
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(3)利用面面平行的性质定理：当 利用面面平行的性质定理： 利用面面平行的性质定理 两平面平行时， 两平面平行时，其中一个平面内的任 一直线平行于另一平面． 一直线平行于另一平面． 特别提醒： 特别提醒：线面平行关系没有传 递性， 递性，即平行线中的一条平行于一平 另一条不一定平行于该平面． 面，另一条不一定平行于该平面．