常微分方程总复习2012

二、需要掌握的初等解法
1.变量分离的微分方程
dy f ( x) g ( y ) dx
dy f ( x)dx ( g ( y ) 0) g ( y)
g ( y ) 0 的常数解
2.齐次方程
+
dy g ( y) f ( x)dx C
dy y f( ) dx x dy
若存在某二元函数 u ( x, y ) ，使得上式左端恰 为其全微分形式
du( x , y ) P ( x , y )dx Q( x , y )dy
二元函数 u ( x, y ) 称为微分式的原函数。 6.全微分方程的判别法则：
P Q 全微分方程 y x
（充分必要条件）
7.积分因子:
.
当b1 0时, a1与b中必至少有一个为零.
dy ax c f( ) 若 b 0, 可分离变量的微分方程 dx a1 x c1
dy 1 dz 若 b 0, a1 0, 令 z ax by, ( a ), dx b dx 1 dz zc ( a) f ( ) 可分离变量的微分方程 b dx c1 . a1 b1 ab1 a1b 0, 当b1 0时, 令 , a b
( x, y ) 0连续可微函数，使方程
( x , y ) P ( x , y )dx ( x , y )Q( x , y )dy 0成为全微
分方程.
8. 存在一条特殊的积分曲线，它不属于方程的 积分曲线族。但是，该积分曲线上的每一点处， 都有积分曲线族中的一条曲线和它在此点相切。 在几何学上，该特殊曲线称为包络，微分方程 里称为奇解。
7.积分因子法：
求积分因子的公式法：
a . 当只与x有关时;
f ( x ) dx ( x) e .
1 P Q f ( x) ( ) Q y x
1 Q P ) b. 当只与y有关时; g ( y) ( P x y
g ( y ) dy ( y) e .
dy P ( x ) y Q( x ) y n dx
( n 0,1)
解法: 经过变量代换化为线性微分方程. dz 1 n 令z y , 则 (1 n) P ( x ) z (1 n)Q( x ), dx
1 n z y 求出通解后，将 代入即得。
6.微分形式的一阶方程
xdy ydx y d 2 x x
xdy ydx d ln xy xy
xdx ydy 1 2 2 d ln( x y ) 2 2 x y 2
xdy ydx 1 x y d ln 2 2 x y 2 x y
6.常系数线性微分方程:微分方程中的每一个微分 方程都是常系数线性微分方程叫做常系数线性微 分方程．
第二章 一阶微分方程的初等解法
一、基本概念
1. 变量分离方程:对于一个一阶微分方程，如果 是变量分离方程，那么它的右端函数是两个因式 的乘积，一个仅含x，另一个仅含y。 dy f ( x) ( y ) dx
P ( x , y )dx Q( x , y )dy 0
利用公式法求解的一般步骤： P Q . 验证是否全微分方程： y x u u 利用全微分公式： P, Q. x y 积分第一式：u ( x, y)

P( x, y)dx ( y)
将该曲线方程表示成另一种等价的参数方程形式
x (t ), (t为参数) p (t ).
dy (t ) (t )dt
dy p dy pdx dx
y (t ) (t )dt C , C为任意常数.
原方程的参数形式的通解为
x (t ), (C为任意常数) (t )dt C , y ( t ) dy 4). 形如 F ( y, )=0的方程的解法. dx dy 令 p ，则有 F ( y, p) 0 dx 可将该曲线表示成另一种适当的参数形式
y (t ), (t为参数) p (t ). dy (t ) p dx dt dx (t )
(t ) x dt C (t )
方程的参数形式的通解为
(t ) dt C , x (t ) y (t ),
总复习
北京理工大学
第一章 绪论
一、基本概念
1. 微分方程:含有未知函数的导数或微分的方程.
常微分方程：自变量的个数只有一个；
偏微分方程：自变量的个数为两个或以上。 2. 微分方程的阶: 微分方程中出现的未知函数 的最高阶导数的阶数.
3. 线性微分方程
dny d n 1 y dy a1 ( x) n 1 an1 ( x) an ( x) y f ( x) n dx dx dx
dy 2). 形如 x f ( y, )的方程的解法，这里假设 dx dy 函数 f ( y, )有连续的偏导数。 dx
dy dx 1 令 p ，则有 dy p dx
3). 形如
1 f f dp p y p dy
dy F ( x, )=0的方程的解法. dx
dy 令 p ，则有 F ( x, p) 0 dx
将h,k就取为这一组解，于是原方程就化为下 列关于X,Y的齐次方程
dY aX bY X x h, f( ) 得通解代回 dX a1 X b1Y Y y k， (2) ab1 a1b 0, 未必有解, 上述方法不能用
dy ax by c f( ) dx a1 x b1 y c1
y Y k， dx dX , dy dY
dY aX bY ah bk c f( ) dX a1 X b1Y a1h b1k c1
ah bk c 0, a1h b1k c1 0,
(1)
a b a1 b1
0, 有唯一一组解.
第三章 一阶微分方程的解的存在 定理
一、基本概念
1.存在唯一性定理
定理1 （存在唯一性定理）如果函数 f ( x, y ) 在矩形域
R : x x0 a, y y0 b 上满足如下条件：
① 在R上连续； ② 在R上关于变量y满足利普希茨（Lipschitz）条件， 即存在常数 L 0 ，使对R上任何一对点 ( x, y1 ) 和 ( x, y2 )
常数变易法:把线性齐次方程通解中的常数变易为待定函数 . P ( x ) dx
作变换，设非齐次方程的解为 y C ( x)e
将其代入非齐次方程得到关于待定函数的一阶微 分方程，积分后得到待定函数的形式：
P ( x ) dx C ( x) Q( x)e dx C
5. 伯努力方程的解法
4.微分方程的解:代入微分方程能使方程成为恒等 式的函数. 5.微分方程的解的分类： (1)通解: n阶微分方程的解中含有n个独立的任意 常数,即 y ( x, c1 , c2 ,, cn ). (2)特解: 确定了通解中任意常数以后的解. 初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题. 把满足初值条件的解称为微分方程的特解。
注： （1）利普希茨条件能够用一个较强的，但 却易于验证的条件来代替。
f y( x, y ) L
（2）定理中的两个条件是保证初值问题的 解存在唯一的充分条件，而非必要条件。 故当定理条件不满足时，不能得出解不存 在唯一的结论。
二、需要掌握的计算方法
1. 近似计算和误差估计
Ln h n1 y n ( x) ( x) M (n 1)!
dy y f ( ) 的微分方程. 2.齐次方程:形如 dx x
3.一阶线性微分方程:
dy P ( x ) y Q( x ) dx
当Q( x ) 0, 称为一阶齐次线性微分方程.
当Q( x ) 0, 称为一阶非齐次线性微分方程.
dy dx 2 2 例如 y x , x sin t t , dx dt
一阶非齐次线性方程;
dy n P ( x ) y Q ( x ) y 4. 伯努利方程: dx
( n 0,1)
当n 0,1时， 方程为线性微分方程. 当n 0,1时， 方程为非线性微分方程.
5.全微分方程： 对于微分形式的一阶方程
P ( x , y )dx Q( x , y )dy 0
y( n) p1 ( x) y(n 1) ( x) pn 1 ( x) y pn ( x) y f ( x) 在 [a, b] 上每一点和初始条件 y( x0 ) y0 ( n1) ( n1) y ( x0 ) y0 ,, y ( x0 ) y0 存在唯一解.
满足不等式：
f ( x, y1 ) f ( x, y2 ) L y1 y2
(1.3)
dy f ( x, y ) 在区间 x x0 h 上存在唯一的解 则方程 dx
y ( x) 连续且满足初值条件 ( x0 ) y0 ，其中
h min(a, b ), M max f ( x, y ) . ( x , y )R M
n-阶线性(齐次)微分方程：
y
( n)
p1 ( x) y
( n 1)
( x) pn 1 ( x) y pn ( x) y 0
2. n-阶线性微分方程解的存在唯一性定理 ： 定理1 若 pk ( x) (k 1,2,, n) 以及 f ( x) 在 [a, b]
上连续;则对线性微分方程
观察法:
凭观察凑微分得到 ( x , y )
8.一般隐式微分方程 dy 1). 形如 y f ( x, )的方程的解法，这里假设 dx dy 函数f ( x, )有连续的偏导数。 dx dy f f dp 令 p ，则有 dy f f dp p dx dx x p dx x p dx