最新-2018届高考数学空间向量在立体几何中的应用1试题汇编新人教A版 精品

空间向量在立体几何中的应用题组一一、填空题1．（北京五中2018届高三上学期期中考试试题理）一个正方体形状的无盖铁桶1111D C B A ABCD -的容积是V ，里面装有体积为V 32的水，放在水平的地面上（如图所示）. 现以顶点A 为支撑点，将铁桶倾斜，当铁桶中的水刚好要从顶点1A 处流出时， 棱1AA 与地面所成角的余弦值为答案11222. （福建省厦门双十中学2018届高三12月月考题理）平面内有两定点A ，B ，且|AB|=4，动点P 满足4||=+，则点P 的轨迹 是 . 答案：以AB 为直径的圆； 二、简答题3．（福建省厦门双十中学2018届高三12月月考题理）（本小题满分12分）如图，已知四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，A 1D ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱AA 1=2。

（I ）求证：C 1D//平面ABB 1A 1；（II ）求直线BD 1与平面A 1C 1D 所成角的正弦值； （Ⅲ）求二面角D —A 1C 1—A 的余弦值。

答案 （I ）证明：四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，BB 1//CC 1，又⊄1CC 面ABB 1A 1，所以CC 1//平面ABB 1A 1，…………2分ABCD 是正方形，所以CD//AB ，又CD ⊄面ABB 1A 1，AB ⊂面ABB 1A 1，所以CD//平面ABB 1A 1，…………3分 所以平面CDD 1C1//平面ABB 1A 1， 所以C 1D//平面ABB 1A 1 …………4分（II ）解：ABCD 是正方形，AD ⊥CD因为A 1D ⊥平面ABCD ， 所以A 1D ⊥AD ，A 1D ⊥CD ，如图，以D 为原点建立空间直角坐标系D —xyz ，…………5分在1ADA ∆中，由已知可得,31=D A所以)3,1,1(),0,0,1(),3,0,0(),0,0,0(11-C A A D ，),0,1,1(),3,0,1(),3,1,0(11B D B -),3,1,2(1--=BD …………6分因为A 1D ⊥平面ABCD ， 所以A 1D ⊥平面A 1B 1C 1D 1 A 1D ⊥B 1D 1。

又B 1D 1⊥A 1C 1，所以B 1D 1⊥平面A 1C 1D ，…………7分 所以平面A 1C 1D 的一个法向量为n=（1，1，0） …………8分设1BD 与n 所成的角为β， 则,43823||||cos 11-=-==BD n β所以直线BD 1与平面A 1C 1D 所成角的正弦值为.43…………9分（III ）解：平面A 1C 1A 的法向量为),,(c b a m =则,0,0111=⋅=⋅A m C A m 所以03,0=-=+-c a b a令,3=c 可得)3,3,3(=m …………11分 则.7422126||||,cos ==⋅>=<n m n m n m所以二面角A C A D --11的余弦值为.742…………12分4．（北京五中2018届高三上学期期中考试试题理）如图①，正三角形ABC 边长2，CD为AB 边上的高，E 、F 分别为AC 、BC 中点，现将ABC ∆沿CD 翻折成直二面角B DC A --，如图②(1)判断翻折后直线AB 与面DEF 的位置关系，并说明理由 (2)求二面角D AC B --的余弦值 (3)求点C 到面DEF 的距离图 ① 图 ②答案 解：（1）平行（证明略）（2）取AE 中点M,角BMD 即所求,余弦值为721（３）CDF E DEF C V V --=，可得点C 到面DEF 的距离为721 5．（福建省惠安荷山中学2018届高三第三次月考理科试卷） （本题满分13分）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝CC 1＝2，AC ⊥BC ，D 为AB 的中点.（1）求异面直线1AC 与1B B 所成的角的余弦值； （2）求证：11//AC B CD 面； （3）求证：11A B B CD ⊥面答案 5. 解：（1）在直三棱柱111ABC A B C -中 11//BB CC1AC C ∴∠是11AC BB 与所成的角（或其补角）………………………2分 在1Rt ACC 中，12AC CC ==1cos AC C ∴∠=…………………………………………4分 （2）连结1BC 交1B C 于O ，连结OD 。

……………………………5分 则O 为1BC 的中点 又D 为AB 的中点1//OD AC ∴ ……………………………………………7分 111,OD B CD AC B CD ⊂⊄面面11//AC B CD ∴面 ………………………………9分 （3）在直三棱柱111ABC A B C -中 1,A A ABC CD ABC ⊥⊂面面1A A CD ∴⊥…………………………10分 ,Ac BC D AB =是中点 CD AB ∴⊥11CD ABB A ∴⊥面…………………………11分 1CD A B ∴⊥…………………………12分 同理：11B C A B ⊥11A B B CD ∴⊥面…………………………13分6．（宁夏银川一中2018届高三第五次月考试题全解全析理）（本小题满分12分）如图,矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直，BE//CF ，∠BCF=∠CEF=︒90,AD=3,EF=2．（1）求证：AE//平面DCF ；（2）当AB 的长为何值时,二面角A-EF-C 的大小为︒60．【分析】（1）只要过点E 作BC 的平行线即可；（2）由于点B 是点A 在平面BEFC 内的射影，只要过点B 作EF 的垂线即可很容易地作出二面角A EF C --的平面角，剩下的就是具体的计算问题。

或者建立空间直角坐标系，使用法向量的方法求解。

【解析】 方法一：（Ⅰ）证明：过点E 作EG CF ⊥交CF 于G ，连结DG ， 可得四边形BCGE 为矩形，又ABCD 为矩形，所以AD EG∥，从而四边形ADGE 为平行四边形，故AE DG ∥．因为AE ⊄平面DCF ，DG ⊂平面DCF ，所以AE ∥平面DCF ．………6分（Ⅱ）解：过点B 作BH EF ⊥交FE 的延长线于H ，连结AH ． 由平面ABCD ⊥平面BEFC ，AB BC ⊥，得AB ⊥平面BEFC ， 从而AH EF ⊥．所以AHB ∠为二面角A EF C --的平面角．在Rt EFG △中，因为EG AD ==2EF =，所以60CFE ∠=，1FG =．又因为CE EF ⊥，所以4CF =，从而3BE CG ==，于是sin BH BE BEH =∠=，DA B EFCHG因为tan AB BH AHB =∠所以当AB 为92时， 二面角A EF C --的大小为60………12分方法二：如图，以点C 为坐标原点，以CB CF ，和CD 分别作为x 轴，y 轴和z 轴，建立空间直角坐标系C xyz -．设AB a BE b CF c ===，，，则(000)C ，，，(30)A a ，，，300)B ，，，0)E b ，，(00)F c ，，． （Ⅰ）证明：(0)AE b a =-，，，(30)CB =，，，(00)BE b =，，， 所以0CB CE=，0CB BE =，从而CB AE ⊥，CB BE ⊥， 所以CB ⊥平面ABE ．因为CB ⊥平面DCF ，所以平面ABE ∥平面故AE ∥平面DCF ．………6分（Ⅱ）解：因为(0)EF c b =-，，(30)CE b =，，，所以0EF CE =，||2EF =，从而3()02b c b -+-=⎧=，，解得34b c ==，．所以0)E ，，(040)F ，，．设(1)n y z =，，与平面AEF 垂直， 则0n AE =，0n EF =，解得n =．又因为BA ⊥平面BEFC ，(00)BA a =，，，所以||1|cos |2||||4BA n n BA BA n a <>===，，得到92a =．所以当AB 为92时，二面角A EF C --的大小为60．………12分【考点】空间点、线、面位置关系，空间向量与立体几何。

【点评】由于理科有空间向量的知识，在解决立体几何试题时就有两套根据可以使用，这为考生选择解题方案提供了方便，但使用空间向量的方法解决立体几何问题也有其相对的缺陷，那就是空间向量的运算问题，空间向量有三个分坐标，在进行运算时极易出现错误，而且空间向量方法证明平行和垂直问题的优势并不明显，所以在复习立体几何时，不要纯粹以空间向量为解题的工具，要注意综合几何法的应用。

7．（北京龙门育才学校2018届高三上学期第三次月考）（本题满分14分）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，AC 与BD 的交点为O ，E 为侧棱SC 上一点． （Ⅰ）当E 为侧棱SC 的中点时，求证：SA ∥平面BDE ； （Ⅱ）求证：平面BDE ⊥平面SAC ；（Ⅲ）（理科做）当二面角E BD C --的大小为45︒时， 试判断点E 在SC 上的位置，并说明理由．答案7. （本题满分14分）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，AC 与BD 的交点为O ，E 为侧棱SC 上一点． （Ⅰ）当E 为侧棱SC 的中点时，求证：SA ∥平面BDE ； （Ⅱ）求证：平面BDE ⊥平面SAC ； （Ⅲ）（理科做）当二面角E BD C --的大小为45︒时， 试判断点E 在SC 上的位置，并说明理由．解法一：证明：（Ⅰ）连接OE ，由条件可得SA ∥OE ． 因为SA Ë平面BDE ，OE Ì平面BDE ，所以SA ∥平面BDE ．（Ⅱ）由已知可得，SB SD =,O 是BD 中点，所以BD SO ^． 又因为四边形ABCD 是正方形，所以BD AC ^因为ACSO O =，所以BD SAC ⊥面．又因为BD BDE ⊂面，所以平面BDE ⊥平 面SAC ．（Ⅲ）解：连接OE ，由（Ⅱ）知BD SAC ⊥面．而OE SAC ⊂面, 所以BD OE ⊥． 又BD AC ⊥．所以EOC ∠是二面角E BD C --的平面角， 即45EOC ∠=︒．设四棱锥S ABCD -的底面边长为2，在SAC ∆中，2SA SC ==, AC =所以SO 又因为12OC AC ==SO OC ⊥,所以SOC ∆是等腰直角三角形．由45EOC ∠=︒可知，点E 是SC 的中点． 解法二：（Ⅰ）同解法一（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知SO ABCD ⊥面，AC BD ⊥． 建立如图所示的空间直角坐标系． 设四棱锥S ABCD -的底面边长为2， 则(0, 0, 0)O，(0, 0,S，) 0, 0A，()0, 0B ，() 0, 0C，()0, 0D ．所以() 0, 0AC =-，()0, 0BD =-． 设CE a =（02a <<），由已知可求得45ECO ∠=︒．所以(, 0, )E a，(, )BE =． 设平面BDE 法向量为(, , )x y z =n ，则0,0BD BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即0, ()0.22y a x az =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 令1z =，得(, 0, 1)2aa=-n ．易知()0, 0BD =-是平面SAC 的法向量．因为(, 0, 1)(0, 0)02aBD a⋅=⋅-=-n ， 所以BD ⊥n ，所以平面BDE ⊥平面SAC ． （Ⅲ）解：设CE a =（02a <<），由（Ⅱ）可知， 平面BDE 法向量为(, 0, 1)2aa=-n ． 因为SO ABCD ⊥底面，所以(0, 0,OS =是平面SAC 的一个法向量． 由已知二面角E BD C --的大小为45︒．所以cos , cos 45OS 〈〉=︒=n ，2=，解得1a=．所以点E是SC的中点．8．（北京四中2018届高三上学期开学测试理科试题）（本小题满分13分）已知：如图，长方体中，、分别是棱,上的点，,.（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）证明平面；（3）求二面角的正弦值.答案解：法一：如图所示，以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系，设,依题意得,,,（1）易得,,于是所以异面直线与所成角的余弦值为（2）已知,,于是·=0，·=0.因此，,,又所以平面（3）设平面的法向量，则,即不妨令X=1,可得。