河南省郑州市2017年高中毕业年级第三次质量预测数学(文)试题

2017年高中毕业年级第三次质量预测文科数学试题卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{}20A x x x =->，()(){}10B x x m x =+->，则“1m >”是“A B ≠∅ ”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.为了解600名学生的视力情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为20的样本，则需要分成几个小组进行抽取（ ） A.20B.30C.40D.503.已知()12z m m i =-++在复平面内对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是（ ） A.()1,2-B.()2,1-C.()1,+∞D.(),2-∞-4.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”.其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表：表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如6613用算筹表示就是：，则5288用算筹式可表示为（ ）A. B.C.D.5.已知1cos 32πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则sin 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值等于（ ）B. C.12D.12-6.已知()'2f x x m =+，且()00f =，函数()f x 的图象在点()()1,1A f 处的切线的斜率为3，数列()1f n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n S ，则2017S 的值为（ ）A.20172018B.20142015C.20152016D.201620177.如图是某个几何体的三视图，则这个几何体体积是（ ）A.22π+B.23π+C.43π+D.42π+8.已知等比数列{}n a ，且684a a +=，则()84682a a a a ++的值为（ ） A.2B.4C.8D.169.若实数a 、b 、0c >，且()()6a c a b +⋅+=-2a b c ++的最小值为（ ）11C.2D.210.椭圆22154x y +=的左焦点为F ，直线x a =与椭圆相交于点M ，N ，当FMN △的周长最大时，FMN △的面积是（ ）11.四面体A BCD -中，10AB CD ==，AC BD ==AD BC ==A BCD -外接球的表面积为（ ）A.50πB.100πC.200πD.300π12.已知函数()())221ln3cos 1x x xf x x ++=+，且()20172016f =，则()2017f -=（ ） A.2014-B.2015-C.2016-D.2017-第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设变量x ，y 满足约束条件：3010230x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则目标函数2z x y =+的最小值为 ．14.已知向量(),3a m =，)b =，若向量a ，b的夹角为30︒，则实数m = ．15.在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知58b a =，2A B ＝，则cos A = ．16.在ABC △中，3A π∠=，O 为平面内一点，且OA OB OC ==，M 为劣弧 BC上一动点，且OM pOB qOC =+，则p q +的取值范围为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知数列{}n a 是等差数列，首项12a =，且3a 是2a 与41a +的等比中项. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()()232n n b n a =++，求数列{}n b 的前n 项和n S .18.按照国家环保部发布的新修订的《环境空气质量标准》，规定：PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米，国家环保部门在2016年10月1日到2017年1月30日这120天对全国的PM2.5平均浓度的监测数据统计如下：（1）在这120天中抽取30天的数据做进一步分析，每一组应抽取多少天？（2）在（1）中所抽取的样本PM2.5的平均浓度超过75（微克/立方米）的若干天中，随机抽取2天，求恰好有一天平均浓度超过115（微克/立方米）的概率.19.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC △是等腰直角三角形，且斜边AB =侧棱12AA =，点D 为AB 的中点，点E 在线段1AA 上，1AE AA λ=（λ为实数）.（1）求证：不论λ取何值时，恒有1CD B E ⊥；（2）当13λ=时，求多面体1C B ECD -的体积.20.已知点P 是圆()221:18F x y -+=上任意一点，点2F 与点1F 关于原点对称，线段2PF 的垂直平分线分别与1PF ，2PF 交于M ，N 两点. （1）求点M 的轨迹C 的方程；（2）过点10,3G ⎛⎫⎪⎝⎭的动直线l 与点M 的轨迹C 交于A ，B 两点，在y 轴上是否存在定点Q ，使以AB 为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由. 21.已知函数()()x h x x a e a =-+.（1）若[]1,1x ∈-，求函数()h x 的最小值；（2）当3a =时，若对[]11,1x ∀∈-，[]21,2x ∃∈，使得()21221522h x x bx ae e ≥--++成立，求b 的范围.22.以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t θθ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，（t 为参数，0θπ<<），曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos 0ραα-=.（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，当θ变化时，求AB 的最小值. 23.已知函数()52f x x x =---.（1）若x R ∃∈，使得()f x m ≤成立，求m 的范围； （2）求不等式()28150x x f x -++≤的解集.2017年高中毕业年级第三次质量预测数学（文科） 参考答案一、选择题AABCD ； AADDC ；CA.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13.4； 14.m = 15.7;2516.1 2.p q ≤+≤三、解答题17.解：(I)设数列{}n a 的公差为d ，由21=a ，且3a 是2a 与14+a 的等比中项得：2(22)(2)(33),d d d +=++2=∴d 或1,d =-02213=+=-=d a d 时，当与3a 是2a 与14+a 的等比中项矛盾，舍去. n n d n a a n 2)1(22)1(1=-+=-+=∴，即数列{}n a 的通项公式为n a n 2=.(II)221111(),(3)(2)(3)(22)(3)(1)213n n b n a n n n n n n ====-++++++++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+++-+-+-=++++=∴)3111()6141()5131()4121(21321n n b b b b S n n )31213121(21+-+-+=n n 525.122(2)(3)n n n +=-++ 18.解：（Ⅰ）这120天中抽取30天，应采取分层抽样， 第一组抽取81203032=⨯天；第二组抽取161203064=⨯天； 第三组抽取41203016=⨯天；第四组抽取2120308=⨯天. （Ⅱ）设PM2.5的平均浓度在(]75,115内的4天记为4321,,,A A A A ，PM2.5的平均浓度在115以上的两天记为21,B B .所以6天任取2天的情况有：,21A A ,31A A ,41A A ,11B A ,21B A ,32A A ,42A A ,12B A ,22B A ,43A A ,13B A ,23B A ,14B A ,24B A 21B B 共15种．记“恰好有一天平均浓度超过115（微克/立方米）”为事件A ，其中符合条件的有：,11B A ,21B A ,12B A ,22B A ,13B A ,23B A ,14B A 24B A 共8种，所求事件A 的概率：().158=A P19(I)证明：ABC ∆ 是等腰直角三角形，点D 为AB 的中点，.CD AB ∴⊥1,,AA ABC CD ABC ⊥⊂ 平面平面1.AA CD ∴⊥A 1C 1B 1EDCBA又111111,,,AA ABB A AB ABB A AA AB A ⊂⊂= 平面平面11.CD ABB A ∴⊥平面 又111,B E ABB A ⊂ 平面1.CD B E ∴⊥(II) ABC ∆是等腰直角三角形，且斜边AB 1.AC BC ∴==1111111112,3323C CBE E C BC C BC V V AC S --∆===⨯⨯⨯⨯= 11112111,3322318D BEC E CDB DBC V V AE S --∆===⨯⨯⨯⨯⨯= 117.31818V ∴=+=20.解：(I)由题意得1211122,MF MF MF MP F P F F +=+=== ∴点M 的轨迹C 为以21,F F 为焦点的椭圆22,a c == ∴点M 的轨迹C 的方程为22 1.2x y +=(II)直线l 的方程可设为31+=kx y ，设1122(,),(,),A x y B x y联立221,31,2y kx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩可得229(12)12160.k x kx ++-=由求根公式化简整理得121222416,,3(12)9(12)k x x x x k k +=-=-++ 假设在y 轴上是否存在定点),0(m Q ，使以AB 为直径的圆恒过这个点，则BQ AQ ⊥∴即0.AQ BQ ⋅=1122(,),(,),AQ x m y BQ x m y =--=--)31)(31())((21212121----+=--+=⋅kx m kx m x x y m y m x x9132))(31()1(221212+-++-++=m m x x m k x x k 9132)21(9)31(12)21(9)1(1622222+-++--++-=m m k m k k k 2222(1818)(9615)0.9(12)m k m m k -+--==+ 2218180,96150,m m m ⎧-=⎪∴⎨--=⎪⎩ 求得 1.m =- 因此，在y 轴上存在定点)1,0(-Q ，使以AB 为直径的圆恒过这个点.21.解:(I)xe a x x h )1()(+-='，令0)(='x h 得1-=a x .当11-≤-a 即0≤a 时，在]1,1[-上0)(≥'x h ，)(x h 递增，)(x h 的最小值为eaa h +-=-1)1(. 当111<-<-a 即20<<a 时，在]1,1[--∈a x 上0)(≤'x h ，)(x h 为减函数，在]1,1[-∈a x 上0)(≥'x h ，)(x h 为增函数. ∴)(x h 的最小值为a e a h a +-=--1)1(.当11≥-a 即2≥a 时，在]1,1[-上0)(≤'x h ，)(x h 递减，)(x h 的最小值为a e a h +-=)1()1(.综上所述，当0a ≤时)(x h 的最小值为eaa +-1，当2≥a 时)(x h 的最小值为a e a +-)1(,当20<<a 时，)(x h 最小值为a e a +--1. (II)令215()2,2f x x bx ae e =--++由题可知“对[]11,1x ∀∈-，[]21,2x ∃∈，使得2152)(2221++--≥e ae bx x x h 成立” 等价于“()f x 在[]1,2上的最小值不大于()h x 在[]1,1-上的最小值”.即min min ()().h x f x ≥由(I)可知，当3a =时，32)1()1()(min +-=+-==e a e a h x h .当3a =时，2152)(21522)(222+---=+--=e b b x e bx x x f ，[]1,2,x ∈ ①当1≤b 时，min 17()(1)22,2f x f b e ==--+ 由2172232+--≥+-e b e 得411≥b ，与1≤b 矛盾，舍去.②当21<<b 时，2min 15()()2,2f x f b b e ==--+由2152322+--≥+-e b e 得292≥b ，与21<<b 矛盾，舍去.③当2≥b 时，min 23()(2)42,2f x f b e ==--+ 由2232432+--≥+-e b e 得17.8b ≥综上，b 的取值范围是17,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 22.解：（I ）由2sin 2cos 0ραα-=由，得22sin 2cos .ραρα=∴曲线C 的直角坐标方程为x y 22=（II ）将直线l 的参数方程代入x y 22=，得22sin 2cos 10.t t θθ--=设,A B 两点对应的参数分别为12,t t 则1222cos sin t t θθ+=，1221sin t t θ⋅=-，12AB t t =-==22.sin θ= 当2πθ=时，AB 的最小值为2.23.解：（I ）3,2,()|5||2|72,25,3, 5.x f x x x x x x ≤⎧⎪=---=-<<⎨⎪-≥⎩当25,372 3.x x <<-<-<时 所以3() 3.f x -≤≤ ∴3m ≥- （II ）即()f x -≥2815x x -+由（I ）可知， 当22,()815x f x x x ≤-≥-+时的解集为空集；当52<<x 时，158)(2+-≥-x x x f 即022102≤+-x x ，535<≤-∴x ； 当5≥x 时，158)(2+-≥-x x x f 即01282≤+-x x ，65≤≤∴x ；综上，原不等式的解集为{}56.x x ≤。