数学圆与方程【精】大数据精选提升题 5.26
圆与方程测试题及答案
圆与方程测试题及答案一、选择题1. 已知圆心在原点的圆的方程为 \( x^2 + y^2 = r^2 \)，其中\( r \) 为圆的半径。
若圆的半径为5，则圆的方程为：A. \( x^2 + y^2 = 25 \)B. \( x^2 + y^2 = 5 \)C. \( x^2 + y^2 = 10 \)D. \( x^2 + y^2 = 50 \)2. 若圆的方程为 \( (x-3)^2 + (y-4)^2 = 16 \)，该圆的圆心坐标为：A. (3, 4)B. (-3, 4)C. (3, -4)D. (-3, -4)二、填空题3. 圆心在点 \( P(2, -3) \) 上，半径为4的圆的标准方程为：\( (x-2)^2 + (y+3)^2 = \) ________。
4. 若圆的一般方程为 \( x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0 \)，其中\( g \) 和 \( f \) 分别为圆心的 \( x \) 和 \( y \) 坐标，则圆心坐标为：\( (-g, -f) \)。
三、解答题5. 已知圆 \( C \) 的圆心为 \( (2, -1) \)，半径为3，求圆 \( C \) 的方程。
6. 给定圆的一般方程 \( x^2 + y^2 + 6x - 8y + 16 = 0 \)，求圆心坐标和半径。
四、证明题7. 证明：若点 \( P(x_0, y_0) \) 在圆 \( (x-a)^2 + (y-b)^2 =r^2 \) 上，则 \( (x_0-a)^2 + (y_0-b)^2 = r^2 \)。
五、应用题8. 一个圆与 \( x \) 轴相切，圆心在直线 \( y = x \) 上，且圆经过点 \( A(2, 3) \)。
求该圆的方程。
答案：一、选择题1. A2. A二、填空题3. \( 16 \)4. \( (-g, -f) \)三、解答题5. 圆 \( C \) 的方程为 \( (x-2)^2 + (y+1)^2 = 9 \)。
2020-2021学年北师大版高中数学必修二《圆的一般方程》课时提高训练及解析
最新（新课标）北师大版高中数学必修二2.2 圆的一般方程1．圆的一般方程的定义当D 2＋E 2－4F ＞0时，二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示一个圆，这时这个方程叫作圆的一般方程．22二元二次方程Ax 2＋By 2＋Cxy ＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的等价条件是什么？提示：⎩⎨⎧A ＝B ≠0，C ＝0，D 2＋E 2－4AF>0.预习交流2方程x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋2＝0表示什么图形？ 提示：表示点(－1，－1)． 预习交流3圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0具有什么特征？提示：①x 2项和y 2项的系数相等，且不为零； ②是二元二次方程且没有xy 这样的二次项；③参数D ，E ，F 满足D 2＋E 2－4F ＞0. 预习交流4方程x 2＋y 2＋2ax －by ＋c ＝0表示圆心为C(2,3)，半径为3的圆，则a ，b ，c 的值依次为( )．A ．2,6,4B ．－2,6,4C ．2，－6,4D ．2，－6，－4 提示：B1．二元二次方程同圆的关系下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径．(1)x 2＋2y 2－7x ＋5＝0；(2)x 2－xy ＋y 2＋3x ＋5y ＝0；(3)x 2＋y 2－2x －4y ＋10＝0；(4)－2x 2－2y 2＋10y ＝0.思路分析：解答本题的关键是验证二元二次方程是否满足圆的一般式的特征．解：(1)由于x 2，y 2的系数不相等，故不表示圆．(2)由于该方程中含有xy 这样的二次项，故不表示圆．(3)方程x 2＋y 2－2x －4y ＋10＝0可化为(x －1)2＋(y －2)2＋5＝0，显然不表示圆．(4)方程－2x 2－2y 2＋10y ＝0可化为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －522＝254，所以其可以表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52为圆心，以52为半径的圆．1．判断方程x 2＋y 2－4mx ＋2my ＋20m －20＝0能否表示圆，若能表示圆，求出圆心和半径．解：方法一：由方程x 2＋y 2－4mx ＋2my ＋20m －20＝0， 可知D ＝－4m ，E ＝2m ，F ＝20m －20，∴D 2＋E 2－4F ＝16m 2＋4m 2－80m ＋80＝20(m －2)2， 因此，当m ＝2时，它表示一个点， 当m ≠2时，原方程表示圆的方程， 此时，圆的圆心为(2m ，－m)，半径为r ＝12D 2＋E 2－4F ＝5|m －2|.方法二：原方程可化为(x －2m)2＋(y ＋m)2＝5(m －2)2， 因此，当m ＝2时，它表示一个点， 当m ≠2时，表示圆的方程．此时，圆的圆心为(2m ，－m)，半径为r ＝5|m －2|.2．若方程x 2＋y 2＋2mx －2y ＋m 2＋5m ＝0表示圆，求 (1)实数m 的取值范围； (2)圆心坐标和半径．解：(1)根据题意知D 2＋E 2－4F ＝(2m 2)＋(－2)2－4(m 2＋5m)＞0，即4m 2＋4－4m 2－20m ＞0， 解得m ＜15，故m 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，15.(2)将方程x 2＋y 2＋2mx －2y ＋m 2＋5m ＝0写成标准方程为(x ＋m)2＋(y －1)2＝1－5m ， 故圆心坐标为(－m,1)，半径r ＝1－5m.解决这种类型的题目，一般先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，即(1)x 2与y 2的系数是否相等，(2)是否含xy 的项；当它具有圆的一般方程的特征时，再看它能否表示圆，也可以通过配方化成“标准”形式后，观察是否表示圆．2．利用待定系数法求圆的一般方程已知一圆过P(4，－2)，Q(－1,3)两点，且在x 轴上截得的线段长为43，求圆的方程． 思路分析：解答本题的关键是应用条件“在x 轴上截得的线段长为43”，常见思路是设圆的方程的一般式x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，令y ＝0利用|x 1－x 2|＝43及P ，Q 两点满足圆的方程求解参数D ，E ，F.解：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，① 将点P ，Q 的坐标分别代入①得：⎩⎨⎧ 4D －2E ＋F ＝－20，D －3E －F ＝10，②③令y ＝0，由①得x 2＋Dx ＋F ＝0，④由已知|x 1－x 2|＝43，其中x 1，x 2是方程④的两根，所以(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝D 2－4F ＝48，⑤解②，③，⑤组成的方程组得 D ＝－4，E ＝－2，F ＝－8.故所求圆的方程为x 2＋y 2－4x －2y －8＝0.1．建立适当的直角坐标系，求长为8，宽为6的长方形ABCD 的外接圆P 的方程． 解：以A 为原点，以线段AB 所在直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系．设△ABD 的外接圆的一般方程为x 2＋y 2＋Mx ＋Ey ＋F ＝0.将A(0,0)，B(8，0)，D(0,6)三点代入，得⎩⎨⎧F ＝0，64＋8M ＋F ＝0，36＋6E ＋F ＝0，解得⎩⎨⎧M ＝－8，E ＝－6，F ＝0，故所求圆的方程为x 2＋y 2－8x －6y ＝0.2．圆心在直线2x －y －7＝0上的圆C 与y 轴交于A(0，－4)，B(0，－2)两点，求圆C 的方程．解：设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，则圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2在直线2x －y －7＝0上，∴2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－E 2－7＝0，即D －E 2＋7＝0.①又∵A(0，－4)，B(0，－2)在圆上，∴⎩⎨⎧ (－4)2－4E ＋F ＝0，(－2)2－2E ＋F ＝0.②③由①②③解得D ＝－4，E ＝6，F ＝8，∴圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋6y ＋8＝0.用待定系数法求圆的一般方程分三步：(1)设出一般方程；(2)根据题意，列出关于D ，E ，F 的方程组；(3)解出D ，E ，F 代入一般方程．3．求动点的轨迹方程(或轨迹)已知动点M 到点A(2,0)的距离是它到点B(8,0)的距离的一半． (1)求动点M 的轨迹方程；(2)若N 为线段AM 的中点，试求点N 的轨迹．思路分析：(1)已知动点M 到两定点的距离满足特定关系，求动点的轨迹方程，可以设出点M 的坐标，然后根据条件列出方程，化简可得轨迹方程．(2)N 点随M 点运动而运动，设出点N 的坐标，将M 点坐标用A ，N 两点坐标表示，再将M 点坐标代入(1)中的轨迹方程，即得N 的轨迹方程，从而得点N 的轨迹．解：(1)设动点M(x ，y)为轨迹上任意一点，则点M 的轨迹就是集合P ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫M ⎪⎪⎪|MA|＝12|MB|. 由两点距离公式，点M 适合的条件可表示为 (x －2)2＋y 2＝12(x －8)2＋y 2，平方后再整理，得x 2＋y 2＝16.可以验证，这就是动点M 的轨迹方程．(2)设动点N 的坐标为(x ，y)，M 的坐标是(x 1，y 1)．由于A(2,0)，且N 为线段AM 的中点，所以x ＝2＋x 12，y ＝0＋y 12，所以有x 1＝2x －2，y 1＝2y ，①由(1)知，M 是圆x 2＋y 2＝16上的点，所以点M 坐标(x 1，y 1)满足：x 21＋y 21＝16，②将①代入②整理，得(x －1)2＋y 2＝4.所以N 的轨迹是以(1,0)为圆心，2为半径的圆．1．已知定点A(2,0)，圆x 2＋y 2＝1上有一动点Q ，若AQ 的中点为P ，求动点P 的轨迹．解：如图，设动点P 的坐标为(x ，y)，Q 点的坐标为(x 1，y 1)，利用中点坐标公式有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋x 12，y ＝y 12，即⎩⎨⎧x 1＝2x －2，y 1＝2y ，因为x 21＋y 21＝1，所以(2x －2)2＋(2y)2＝1. 所以动点P 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝14.所以点P 的轨迹为以(1,0)为圆心，以12为半径的圆．2．等腰三角形的顶点是A(4,2)，底边的一个端点是B(3，5)，求另一个端点C 的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．解：设另一端点C的坐标为(x，y)．依题意得|AC|＝|AB|.由两点间距离公式，得(x－4)2＋(y－2)2＝(4－3)2＋(2－5)2.整理得(x－4)2＋(y－2)2＝10.这是以点A(4,2)为圆心，以10为半径的圆，如图．又因为点A，B，C为三角形的三个顶点，所以A，B，C三点不共线，且点B，C不能重合．当A，B，C共线时C为(5，－1)，∴C的轨迹方程为(x－4)2＋(y－2)2＝10〔除去(3,5)和(5，－1)两点〕．即点C的轨迹是以A(4,2)为圆心、10为半径的圆，但除去(3,5)和(5，－1)两点．1.求与圆有关的轨迹问题常用的方法．(1)直接法：根据题目的条件，建立适当的平面直角坐标系，设出动点坐标，并找出动点坐标所满足的关系式；(2)定义法：当列出的关系式符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程；(3)相关点法：若动点P(x，y)随着圆上的另一动点Q(x1，y1)运动而运动，且x1，y1可用x，y表示，则可将Q点的坐标代入已知圆的方程，即得动点P的轨迹方程．2．轨迹与轨迹方程的异同.求动点的轨迹与轨迹方程不是一回事，求动点的1．(2011四川高考，文3)圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是( )．A ．(2,3)B ．(－2,3)C ．(－2，－3)D ．(2，－3)解析：将圆化为标准方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝13，故其圆心坐标为(2，－3)．答案：D2．圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋8＝0的周长为( )．B ．2πC ．D ．4π 解析：方程化为(x －1)2＋(y ＋3)2＝2，∴r ，∴周长为2πr ＝.答案：C3．如果方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)所表示的曲线关于y ＝x 对称，则必有( )．A ．D ＝EB ．D ＝FC ．E ＝FD ．D ＝E ＝F 解析：圆心为,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，要使所表示的曲线关于y ＝x 对称，需22D E -=-，∴D ＝E.答案：A4．如果方程x 2＋y 2－2x ＋y ＋k ＝0是圆的方程，则实数k 的取值范围是________．解析：∵x 2＋y 2－2x ＋y ＋k ＝0是圆的方程，∴(－2)2＋12－4k ＞0，解得k ＜54，∴实数k 的取值范围是5,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.答案：5,4⎛⎫-∞⎪⎝⎭5．△ABC的三个顶点坐标分别为A(－1,5)，B(－2，－2)，C(5，5)，求其外接圆的一般方程，并求圆心和半径．解：设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.由题设得方程组5260, 2280, 55500,D E FD E FD E F-+++=⎧⎪--++=⎨⎪+++=⎩解得D＝－4，E＝－2，F＝－20.∴△ABC的外接圆一般方程为x2＋y2－4x－2y－20＝0.圆心坐标为(2,1)，半径r＝2＝5.。
高中数学必修二《圆与方程》基础练习题(含答案解析)
高中数学必修二《圆与方程》基础练习题（含答案解析）1. 已知圆：，为坐标原点，则以为直径的圆的方程A.B.C.D.2. 直线被圆截得的弦长为（）A. B. C. D.3. 已知点，则点关于原点对称的点的坐标为（）A. B.C. D.4. 过点以及圆与圆交点的圆的方程是（）A.B.C.D.5. 圆：，则A.是圆心B.在圆外C.在圆内D.在圆上6. 两个圆与的位置关系是（）A.外切B.内切C.相交D.外离7. 在空间直角坐标系中点到坐标原点的距离为（）A. B. C. D.8. 圆的半径等于（）A. B. C. D.9. 已知，，作直线，使得点，到直线的距离均为，且这样的直线恰有条，则的取值范围是A. B. C. D.10. 圆心坐标为，半径等于的圆的方程是（）A.B.C.D.11. 由动点分别引圆：和圆：的切线和（、为切点），满足，则动点的轨迹方程是________．12. 求过两圆与的交点和点的圆的方程________．13. 到两定点，的距离的比为的点的轨迹方程为________．14. 已知两圆，相交于，两点，则直线的方程为________．15. 若方程为圆，则应满足的条件是________．16. 已知圆与圆：交于，两点，则直线的方程为________．17. 若方程表示圆，则实数的取值范围为________．18. 关于直线对称的圆的方程是________．19. 圆心在轴正半轴上，半径为，且与直线相切的圆的方程为________．20. 圆的半径等于________．21. 将下列圆的方程化为标准方程，并写出圆心和半径．（1）（2）．22. 如图，已知圆和定点，由圆外一点向圆引切线，切点为，且有．求点的轨迹方程；求的最小值；以为圆心作圆，使它与圆有公共点，试在其中求出半径最小的圆的方程．23. 求直线被圆所截得的弦长．24. 设点与，求以为直径的圆的标准方程．25. （1）求过点且与圆同心的圆的方程， 25.（2）求圆过点的切线方程．26. 已知圆的半径为，点为该圆上的三点，且，则的取值范围是________.27. 已知两圆与．（1）判断两圆的位置关系；（2）求两圆的公切线．28. 求直线被圆所截得的弦的长．29. 如图点，在四面体中，平面，，，，，分别是，的中点，求，，，这四点的坐标．30. 已知两圆．．（1）取何值时两圆外切？（2）取何值时两圆内切？（3）当时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．参考答案一、选择题1.C2.C3.D4.A5.C6.C7.D8.B9.B 10.C二、填空题11.12.13.14.15.，且16.17.18.19.20.三、解答题21.解：（1）化为：，圆的圆心，半径为：；（2）．化为：，圆的圆心，半径为：；22.解：连接，，则为直角三角形，又，所以，所以，故．由，得．以为圆心的圆与圆有公共点，半径最小时为与圆相切的情形，而这些半径的最小值为圆到直线的距离减去圆的半径，圆心为过原点且与垂直的直线与的交点，所以，又，联立得．所以所求圆的方程为．23.解：化为标准方程为：，则圆心坐标为，半径，圆心到直线的距离所以，则所以所求弦长为．24.解：由题意可得圆心为的中点，半径为，故要求的圆的方程为．25.解：（1）圆可化为：，∴圆心为，即圆的圆心为；…又∵圆过点，∴圆的半径；…∴所求圆的方程为；…（2）∵在圆上，∴过点的切线有一条；又∵直线的斜率是，∴过点的切线的斜率为，…∴所求的切线方程为，即．…26.解：建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，又，所以，即所以又，所以，又则，所以故答案为：.27.解：（1）两圆与的圆心坐标分别为，，半径分别为，，∵，满足，∴两圆相交；（2）设两圆的公切线方程为，则，解得：或．∴两圆的公切线方程为或．28.解：圆即圆，表示以为圆心、半径等于的圆．圆心到直线的距离，故弦长为．29.解：∵点，∴，又∵平面，，∴，又∵，，∴，∴到轴，轴距离均为：，又由，分别是，的中点，∴点坐标为，点坐标为，点坐标为，点坐标为．30.解：（1）由已知可得两个圆的方程分别为、，两圆的圆心距，两圆的半径之和为，由两圆的半径之和为，可得．（2）由两圆的圆心距等于两圆的半径之差为，即，可得（舍去），或，解得．（3）当时，两圆的方程分别为、，把两个圆的方程相减，可得公共弦所在的直线方程为．第一个圆的圆心到公共弦所在的直线的距离为，可得弦长为．。
(word完整版)高中数学圆的方程经典例题与解析(2021年整理)
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高中数学圆的方程经典例题与解析例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系．分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小,而要判断点P 与圆的位置关系,只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径,则点在圆内．解法一：（待定系数法)设圆的标准方程为222)()(r b y a x =-+-．∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为222)(r y a x =+-．又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点． ∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-22224)3(16)1(ra ra解之得：1-=a ,202=r ．所以所求圆的方程为20)1(22=++y x ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径）因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点,所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为13124-=--=AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(,故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ．又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C∴半径204)11(22=++==AC r ． 故所求圆的方程为20)1(22=++y x ． 又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(22． ∴点P 在圆外．说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系,若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢?例2 已知圆422=+y x O ：，求过点()42，P 与圆O 相切的切线．解：∵点()42，P 不在圆O 上,∴切线PT 的直线方程可设为()42+-=x k y 根据r d = ∴ 21422=++-k k解得43=k 所以()4243+-=x y 即 01043=+-y x 因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在．易求另一条切线为2=x ．说明:上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解．本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于0解决(也要注意漏解）．还可以运用200r y y x x =+，求出切点坐标0x 、0y 的值来解决，此时没有漏解． 例3、直线0323=-+y x 截圆422=+y x 得的劣弧所对的圆心角为解：依题意得，弦心距3=d ，故弦长2222=-=d r AB ，从而△OAB 是等边三角形，故截得的劣弧所对的圆心角为3π=∠AOB .例4 圆9)3()3(22=-+-y x 上到直线01143=-+y x 的距离为1的点有几个？分析:借助图形直观求解．或先求出直线1l 、2l 的方程，从代数计算中寻找解答． 解法一：圆9)3()3(22=-+-y x 的圆心为)3,3(1O ，半径3=r ． 设圆心1O 到直线01143=-+y x 的距离为d ，则324311343322<=+-⨯+⨯=d ．如图,在圆心1O 同侧，与直线01143=-+y x 平行且距离为1的直线1l 与圆有两个交点，这两个交点符合题意．又123=-=-d r ．∴与直线01143=-+y x 平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意．∴符合题意的点共有3个．解法二:符合题意的点是平行于直线01143=-+y x ,且与之距离为1的直线和圆的交点．设所求直线为043=++m y x ，则1431122=++=m d ，∴511±=+m ，即6-=m ，或16-=m ,也即06431=-+y x l ：，或016432=-+y x l ：．设圆9)3()3(221=-+-y x O ：的圆心到直线1l 、2l 的距离为1d 、2d ，则 34363433221=+-⨯+⨯=d ,143163433222=+-⨯+⨯=d ．∴1l 与1O 相切，与圆1O 有一个公共点；2l 与圆1O 相交，与圆1O 有两个公共点．即符合题意的点共3个．说明：对于本题,若不留心，则易发生以下误解： 设圆心1O 到直线01143=-+y x 的距离为d ,则324311343322<=+-⨯+⨯=d ．∴圆1O 到01143=-+y x 距离为1的点有两个．显然，上述误解中的d 是圆心到直线01143=-+y x 的距离，r d <，只能说明此直线与圆有两个交点，而不能说明圆上有两点到此直线的距离为1．到一条直线的距离等于定值的点，在与此直线距离为这个定值的两条平行直线上，因此题中所求的点就是这两条平行直线与圆的公共点．求直线与圆的公共点个数，一般根据圆与直线的位置关系来判断，即根据圆心与直线的距离和半径的大小比较来判断． 例5：圆0222=-+x y x 和圆0422=++y y x 的公切线共有 条。
圆解方程练习题
圆解方程练习题在数学中，解方程是一个常见的问题。
而圆解方程则是解决与圆相关的方程。
本文将介绍一些圆解方程的练习题，帮助读者熟悉这一概念并提升解题能力。
1. 练习题一已知一个圆的半径为r，方程为x^2 + y^2 = r^2。
求圆上一点的坐标。
解析：根据方程，我们可以得知圆的所有点都满足这个方程。
因此，我们只需要给定一个具体的半径值r，即可求得圆上的所有点的坐标。
例如，当r=3时，圆上的一些点坐标为(3,0)、(-3,0)、(0,3)、(0,-3)等。
2. 练习题二已知一个圆的直径为d，方程为(x - a)^2 + (y - b)^2 = (d/2)^2。
求圆心坐标。
解析：根据方程，我们可以发现(x-a)^2 + (y-b)^2就是圆心到圆上一点的距离的平方。
而方程右侧等式为(d/2)^2，则表示圆半径的平方。
因此，我们可以得出结论：圆心坐标为(a, b)。
3. 练习题三已知两个圆的方程分别为x^2 + y^2 + 2x + 2y = 0和x^2 + y^2 + 4x + 4y = 0。
求两个圆的交点坐标。
解析：首先，我们可以将两个方程进行整理，得到(x + 1)^2 + (y + 1)^2 = 1和(x + 2)^2 + (y + 2)^2 = 4。
这两个方程表示的是以(-1,-1)为圆心、半径为1的圆和以(-2,-2)为圆心、半径为2的圆。
根据这两个方程，我们可以计算得到两个圆的交点坐标。
4. 练习题四已知一个圆心坐标为(h, k)，半径为r。
给定一个点P(x, y)，判断点P是否在圆上。
解析：根据勾股定理，我们可以用以下关系判断点P是否在圆上：当(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2时，点P在圆上；当(x - h)^2 + (y - k)^2 > r^2时，点P在圆外；当(x - h)^2 + (y - k)^2 < r^2时，点P在圆内。
通过练习题的学习，我们可以更深入地理解圆解方程的概念和应用。
高一数学必修二第四章圆与方程提高练习题及答案
高一数学（必修2）第四章 圆与方程[提高训练]一、选择题1．圆：06422=+-+y x y x 和圆：0622=-+x y x 交于,A B 两点，则AB 的垂直平分线的方程是（ ）A.30x y ++= B ．250x y --=C ．390x y --=D ．4370x y -+=2． 方程1x -= ）A ．一个圆B ．两个半圆C ．两个圆D ．半圆3．已知圆C ：22()(2)4(0)x a y a -+-=>及直线03:=+-y x l ，当直线l 被C 截得的弦长为32时，则a =（ ）A ．2B ．22-C ．12-D ．12+4．圆1)1(22=+-y x 的圆心到直线x y 33=的距离是（ ） A ．21 B ．23 C ．1 D ．35．直线0323=-+y x 截圆422=+y x 得的劣弧所对的圆心角为（ ） A ．030 B ．045C ．060D ．0906．圆122=+y x 上的点到直线02543=-+y x 的距离的最小值是（ ）A ．6B ．4C ．5D ．17．两圆229x y +=和228690x y x y +-++=的位置关系是（ ）A ．相离B ．相交C ．内切D ．外切二、填空题1．若(1,2,1),(2,2,2),A B -点P 在z 轴上，且PA PB =，则点P 的坐标为2．若曲线21x y -=与直线b x y +=始终有交点，则b 的取值范围是___________；若有一个交点，则b 的取值范围是________；若有两个交点，则b 的取值范围是_______；３．把圆的参数方程⎩⎨⎧+-=+=θθsin 23cos 21y x 化成普通方程是______________________．４．已知圆C 的方程为03222=--+y y x ，过点(1,2)P -的直线l 与圆C交于,A B 两点，若使AB 最小，则直线l 的方程是________________。
圆的方程 习题(含答案)
圆的方程习题（含答案）一、单选题1．以点P(2，－3)为圆心，并且与y轴相切的圆的方程是( )A．(x＋2)2＋(y－3)2＝4B．(x＋2)2＋(y－3)2＝9C．(x－2)2＋(y＋3)2＝4D．(x－2)2＋(y＋3)2＝92．当点P在圆x2+y2=1上运动时，连接它与定点Q(3,0)，线段PQ的中点M的轨迹方程是（）A．(x+3)2+y2=1B．(x−3)2+y2=1C．(2x−3)2+4y2=1D．(2x+3)2+4y2=13．圆x2＋y2－(4m＋2)x－2my＋4m2＋4m＋1＝0的圆心在直线x＋y－4＝0上，那么圆的面积为( )A．9πB．πC．2πD．由m的值而定4．圆x2+y2+2√2x=0的半径是（）A．√2B．2C．2√2D．45．已知圆C1:x2+y2−2x−4y−4=0与圆C2:x2+y2+4x−10y+4=0相交于A、B两点，则线段AB的垂直平分线的方程为A．x+y−3=0B．x+y+3=0C．3x−3y+4=0D．7x+ y−9=06．若点P为圆x2+y2=1上的一个动点，点A(−1,0)，B(1,0)为两个定点，则|PA|+|PB|的最大值为（）A．2B．2√2C．4D．4√27．已知直线l：x+ay−1=0(a∈R)是圆C:x2+y2−4x−2y+1=0的对称轴.过点A(−4,a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=（）A．2B．4√2C．6D．2√108．若直线l：ax+by+1=0经过圆M：x2+y2+4x+2y+1=0的圆心则(a−2)2+（b−2）2的最小值为A．√5B．5C．2√5D．109．若x,a,b均为任意实数，且(a+2)2+(b−3)2=1，则(x−a)2+(lnx−b)2的最小值为（ ）A ． 3√2B ． 18C ． 3√2−1D ． 19−6√2二、填空题10．如图，扇形AOB 的圆心角为90°，半径为1，点P 是圆弧AB 上的动点，作点P 关于弦AB 的对称点Q ，则OP⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的取值范围为____．11．已知x ,y 满足x 2－4x －4＋y 2＝0, 则x 2+y 2的最大值为____12．若直线l ：2ax −by +2=0(a >0,b >0)与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于B ，被圆x 2+y 2+2x −4y +1=0截得的弦长为4，则|OA|+|OB|(O 为坐标原点)的最小值为______．13．设直线y =x +2a 与圆C:x 2+y 2−2ay −2=0相交于A,B 两点，若|AB |=2√3，则圆C 的面积为________.14．已知圆的圆心在曲线xy =1（x >0)上，且与直线x +4y +13=0相切，当圆的面积最小时，其标准方程为_______．15．在平面直角坐标系xOy 中，已知过点A(2,−1)的圆C 和直线 x +y =1相切，且圆心在直线 y =−2x 上，则圆C 的标准方程为______．16．已知圆C 的圆心在直线2x −y =0上，且经过A(6,2)，B(4,8)两点，则圆C 的标准方程是__________．17．在平面直角坐标系中，三点O(0,0),A(2,4)，B(6,2)，则三角形OAB 的外接圆方程是__________．18．如图，O 是坐标原点，圆O 的半径为1，点A （-1，0），B （1，0），点P ，Q 分别从点A ，B 同时出发，圆O 上按逆时针方向运动.若点P 的速度大小是点Q 的两倍，则在点P 运动一周的过程中，AP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AQ ⃑⃑⃑⃑⃑ 的最大值是_______.三、解答题19．设抛物线C ： y 2=4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k(k >0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB| =8．（1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．20．已知圆C:x 2+y 2+2x −7=0内一点P(−1,2)，直线l 过点P 且与圆C 交于A ，B 两点. （1）求圆C 的圆心坐标和面积；（2）若直线l 的斜率为√3，求弦AB 的长；（3）若圆上恰有三点到直线l 的距离等于√2，求直线l 的方程．21．已知点M (x 0,y 0)在圆O:x 2+y 2=4上运动，且存在一定点N (6,0)，点P (x,y )为线段MN 的中点.（1）求点P 的轨迹C 的方程；（2）过A (0,1)且斜率为k 的直线l 与点P 的轨迹C 交于不同的两点E,F ，是否存在实数k 使得OE ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OF⃑⃑⃑⃑⃑ =12，并说明理由. 22．已知圆经过()()2,5,2,1-两点，并且圆心在直线 (1)求圆的方程；(2)求圆上的点到直线34230x y -+=的最小距离。
圆的一般方程提升训练北师大版必修
圆的一般方程提升训练（北师大版必修2）课下能力提升(二十一)圆的一般方程一、选择题1．若圆x2＋y2－2x－4y＝0的圆心到直线x－y＋a＝0的距离为22，则a的值为()A．－2或2B.12或32C．2或0D．－2或02．已知圆C的半径长为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C的方程为()A．x2＋y2－2x－3＝0B．x2＋y2＋4x＝0C．x2＋y2＋2x－3＝0D．x2＋y2－4x＝03．圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的点到直线x－y＝2的距离的最大值是()A．2B．1＋2C．2＋22D．1＋224．已知圆C：x2＋y2＋mx－4＝0上存在两点关于直线x－y＋3＝0对称，则实数m等于()A．8B．－4C．6D．无法确定5．圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，当圆面积最大时，圆心坐标为()A．(－1,1)B．(1，－1)C．(－1,0)D．(0，－1)二、填空题6．过点(－3，－2)的直线l经过圆x2＋y2－2y＝0的圆心，则直线l的倾斜角大小为________．7．若直线3x－4y＋12＝0与两坐标轴交点为A，B，则以线段AB为直径的圆的一般方程为________．8．若点(a＋1，a－1)在圆x2＋y2－2ay－4＝0的内部(不包括边界)，则a的取值范围是________．三、解答题9．若点A(1，－1)，B(1,4)，C(4，－2)，D(a,1)共圆，求a的值．10．求经过A(4,2)、B(－1,3)两点，且在两坐标轴上的四个截距之和是2的圆的方程．答案1．解析：选C由圆的方程得圆心坐标为(1,2)．再由点到直线的距离公式得|1－2＋a|2＝22，解得a＝2或a＝0.2．解析：选D设圆心为(a,0)，且a＞0，则(a,0)到直线3x＋4y＋4＝0的距离为2，即|3×a＋4×0＋4|32＋42＝2⇒3a＋4＝±10⇒a＝2或a＝－143(舍去)，则圆的方程为(x－2)2＋(y－0)2＝22，即x2＋y2－4x＝0.3．解析：选B圆的方程变为(x－1)2＋(y－1)2＝1，∴圆心为(1,1)，半径为1，圆心到直线的距离d＝|1－1－2|12＋－12＝2，∴所求的最大值为1＋2.4．解析：选C因为圆上两点A，B关于直线x－y＋3＝0对称，所以直线x－y＋3＝0过圆心－m2，0，从而－m2＋3＝0，即m＝6.5．解析：选D方程变形为x＋k22＋(y＋1)2＝1－34k2，∴r2＝1－34k2，当k＝0时，r有最大值．∴圆心坐标为(0，－1)．6．解析：由x2＋y2－2y＝0，得x2＋(y－1)2＝1，∴圆心为(0,1)，∴k＝1－－20－－3＝33＝3.∴直线的倾斜角为60°.答案：60°7．解析：依题意A(－4,0)，B(0,3)，∴AB中点C的坐标为－2，32，半径r＝|AC|＝－2＋42＋322＝52，∴圆的方程为(x＋2)2＋y－322＝522，即x2＋y2＋4x－3y＝0.答案：x2＋y2＋4x－3y＝08．解析：∵点(a＋1，a－1)在圆x2＋y2－2ay－4＝0内部，∴a＋12＋a－12－2aa－1－4＜0，－2a2－4×－4＞0，即2a＜2，a＜1.答案：(－∞，1)9．解：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将A，B，C三点坐标代入，整理得方程组D－E＋F＝－2，D＋4E＋F＝－17，4D－2E＋F＝－20，解得D＝－7，E＝－3，F＝2.∴圆的方程为x2＋y2－7x－3y＋2＝0.又∵点D在圆上，∴a2＋1－7a－3＋2＝0.∴a＝0或a＝7.10．解：设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，令y＝0得x2＋Dx＋F＝0，∴圆在x轴上的截距之和为x1＋x2＝－D.令x＝0得y2＋Ey＋F＝0，∴圆在y轴的截距之和为y1＋y2＝－E.由题设x1＋x2＋y1＋y2＝－(D＋E)＝2.∴D＋E＝－2.①又A(4,2)，B(－1,3)在圆上，∴16＋4＋4D＋2E＋F＝0，②1＋9－D＋3E＋F＝0.③由①②③解得D＝－2，E＝0，F＝－12. 故所求圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0.。
高中数学必修2圆的方程练习题
高中数学必修2圆的方程练习题第四章圆与方程一、选择题1.圆C1：x2+y2+2x+8y-8=0，圆C2：x2+y2-4x+4y-2=0的位置关系是()．A。
相交 B。
外切 C。
内切 D。
相离答案：A解析：将两个圆的方程化简，得到它们的圆心分别为(-1,-4)和(2,-2)，半径分别为√21和√5，两圆相交。
2.两圆x2+y2-4x+2y+1=0和x2+y2+4x-4y-1=0的公共切线有()．A。
1条 B。
2条 C。
3条 D。
4条答案：B解析：将两个圆的方程化简，得到它们的圆心分别为(2,-1)和(-2,1)，半径分别为√2和√2，两圆相交，故公共切线有两条。
3.若圆C与圆(x+2)2+(y-1)2=1关于原点对称，则圆C的方程是()．A。
(x-2)2+(y+1)2=1 B。
(x-2)2+(y-1)2=1C。
(x-1)2+(y+2)2=1 D。
(x+1)2+(y-2)2=1答案：B解析：圆C关于原点对称，则圆心必在直线y=x上，设圆C的圆心为(x0,x0)，则(x0+2)2+(x0-1)2=1，解得x0=1或x0=2，但由于圆C与圆(x+2)2+(y-1)2=1关于原点对称，故圆心在第二象限，因此x0=2，圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=1.4.与直线l:y=2x+3平行，且与圆x2+y2-2x-4y+4=0相切的直线方程是()．A。
x-y±5=0 B。
2x-y±5=0C。
2x-y-5=0 D。
2x-y+5=0答案：D解析：将圆的方程化简，得到它的圆心为(1,2)，半径为√2，故直线l与圆的切点为(1+√2,2+2√2)和(1-√2,2-2√2)，l的斜率为2，故l的方程为y=2x+b，将圆心代入该方程得到b=-1，故直线方程为y=2x-1，与圆x2+y2-2x-4y+4=0相切的直线方程为2x-y+5=0.5.直线x-y+4=0被圆x2+y2+4x-4y+6=0截得的弦长等于()．A。
圆解方程练习题带答案
圆解方程练习题带答案解方程是数学中重要的内容之一，帮助我们理解数学概念并解决实际问题。
在解方程的学习过程中，练习题是不可或缺的一部分。
本文将提供一些圆解方程的练习题及其答案，帮助读者加深对圆解方程的理解。
练习题1：已知圆的半径为3，求圆的面积。
解答：圆的面积公式为：S = π * r^2将半径r代入公式中，得到：S = π * 3^2S = π * 9S = 9π练习题2：已知圆心坐标为(2, 4)，半径为5，求圆的方程。
解答：圆的方程为：(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2其中，(a, b)为圆心坐标，r为半径。
将已知数据代入方程中，得到：(x - 2)^2 + (y - 4)^2 = 5^2x^2 - 4x + 4 + y^2 - 8y + 16 = 25x^2 + y^2 - 4x - 8y - 5 = 0练习题3：已知圆心坐标为(-1, 2)，过点(4, 1)的直线与圆交于两个点，求这两个点的坐标。
解答：设圆心为C(-1, 2)，过点(4, 1)的直线为l。
首先求直线l的方程：设直线l的斜率为k。
k = (1 - 2) / (4 - (-1)) = -1/5直线l的方程为：y = -1/5 * x + b将过圆心C的直线l带入圆的方程中，求得交点：(-1)^2 + (2 - (-1)/5 * x + b)^2 = r^2x^2 - 2/5x + 2 - 2/5b + b^2 = r^2将直线l的方程代入上式中，得到：x^2 - 2/5x + 2 - 2/5(-1/5 * x + b) + b^2 = r^2x^2 - 2/5x + 2 + 2/25x - 2/25b + b^2 = r^2整理得：(1 + 2/25)x^2 + (-2/5 + 2/25b - 2/25x)x + (2 + b^2) - r^2 = 0令A = 1 + 2/25，B = -2/5 + 2/25b - 2/25x，C = 2 + b^2 - r^2则上式可化为：Ax^2 + Bx + C = 0由已知直线l与圆交于两个点可得到两个解，即求二次方程Ax^2 + Bx + C = 0的解。
高中数学-圆与方程试题含答案
高中数学-圆与方程试题含答案1.圆(x+2)^2+y=5关于原点P(0,0)对称的圆的方程为()A。
(x-2)^2+y=5B。
x+(y-2)^2=5C。
(x+2)^2+(y+2)^2=5D。
x+(y+2)^2=52.若P(2,-1)为圆(x-1)^2+y=25的弦AB的中点，则直线AB的方程是（）A。
x-y-3=0B。
2x+y-3=0C。
x+y-1=0D。
2x-y-5=03.圆x+y-2x-2y+1=1的点到直线x-y=2的距离最大值是（）A。
2B。
1+√2C。
1+2√2D。
1+24.将直线2x-y+λ=0，沿x轴向左平移1个单位，所得直线与圆x^2+y^2+2x-4y=0相切，则实数λ的值为（）A。
-3或7B。
-2或8C。
0或10D。
1或115.在坐标平面内，与点A(1,2)距离为1，且与点B(3,1)距离为2的直线共有（）A。
1条B。
2条C。
3条D。
4条6.圆x+y-4x=0在点P(1,3)处的切线方程为（）A。
x+3y-2=0B。
x+3y-4=0C。
x-3y+4=0D。
x-3y+2=0二、填空题1.若经过点P(-1,0)的直线与圆x^2+y^2+4x-2y+3=0相切，则此直线在y轴上的截距是 _________.2.由动点P向圆x^2+y^2=1引两条切线PA,PB，切点分别为A,B，∠APB=60，则动点P的轨迹方程为 _________.3.圆心在直线2x-y-7=0上的圆C与y轴交于两点A(0,-4),B(0,-2)，则圆C的方程为 _________.4.已知圆(x-3)^2+y^2=4和过原点的直线y=kx的交点为P,Q，则OP·OQ的值为 _________.5.已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA,PB是圆x^2+y^2-2x-2y+1=0的切线，A,B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值是 _________.三、解答题1.点P(a,b)在直线x+y+1=0上，求a^2+b^2-2a-2b+2的最小值。
高中数学必修2圆与方程典型例题
．
7．以点 C( － 2，3) 为圆心且与 y 轴相切的圆的方程是
．
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8．求过原点，在 x 轴， y 轴上截距分别为 a， b 的圆的方程 ( ab≠ 0) ．
9．求经过 A( 4， 2) ， B( － 1，3) 两点，且在两坐标轴上的四个截距之和是
2 的圆的方程．
10．求经过点 ( 8， 3) ，并且和直线 x＝ 6 与 x＝ 10 都相切的圆的方程．
第二节：圆与圆的方程典型例题
一、圆的定义： 二、圆的方程
（ 1）标准方程
平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。
2
xa
2
yb
r 2 ，圆心 a, b ，半径为 r ；
点 M ( x0 , y0 ) 与圆 (x a)2 ( y b)2 r 2 的位置关系：
当 ( x0 a )2 ( y0 b)2 > r 2 ，点在圆外
７．圆 x2＋ y2－ 2x－2y＋ 1＝ 0 上的动点 Q 到直线 3x＋4y＋ 8＝ 0 距离的最小值为
．
８．圆心为 C( 3，－ 5) ，并且与直线 x－ 7y＋ 2＝ 0 相切的圆的方程为
．
９．求圆心在原点，且圆周被直线 3x＋ 4y＋ 15＝ 0 分成 1∶ 2 两部分的圆的方程．
径，求解 k，得到方程【一定两解】
(3)
过
圆
上
一
点
的
切
线
方
程
：
圆
2
(x-a) +(y-b)
2
=r
2
，
圆
上
一
点
为
(x0
， y0)
新教材2022版数学苏教版选择性必修第一册提升训练：第2章 圆与方程本章复习提升Word版含解析
本章复习提升易混易错练易错点1无视圆的一般方程表示圆的条件致错1.()假设圆C:x2+y2-2(m-1)x+2(m-1)y+2m2-6m+4=0过坐标原点,那么实数m的值为()A.2或1B.-2或-1C.2D.12.(2021辽宁六校协作体高二上联考,)圆x2+y2+2k2x+2y+4k=0关于直线y=x对称,那么k的值为()A.1B.-1C.-1或1D.03.()定点A(1,2)在圆x2+y2+kx+2y+k2-15=0的外部,求k的取值范围.易错点2无视特殊点、特殊直线致错4.(2021江苏淮安清江中学高二阶段测试,)从点A(1,1)作圆(x-2)2+(y-3)2=1的切线l,求切线l的方程.5.(2021江苏扬州中学高二期中,)等腰三角形ABC的顶点是A(4,2),底边的一个端点是B(3,5),求另一个端点C的轨迹方程,并描述它的轨迹.6.()圆C:x2+y2-4x+3=0.(1)求过点M(3,2)的圆的切线方程;(2)直线l过点N(32,12)且被圆C截得的弦长为m,求m的取值范围;(3)圆E的圆心在x轴上,与圆C相交所得的弦长为√3,且与圆x2+y2=16内切,求圆E 的标准方程. 易错点3无视隐含条件致错7.(2021江苏常州横林高级中学高二期中,)圆心在直线y =13x 上的圆C 与y 轴的正半轴相切,圆C 截x 轴所得的弦长为4√2,那么圆C 的标准方程为() A.(x -3)2+(y -1)2=9 B.(x +3)2+(y +1)2=9 C.(x -4)2+(y -43)2=16D.(x -6)2+(y -2)2=98.(2021江苏南通启东汇龙中学高二月考,)方程√4-x 2=k (x -2)+3有两个不等实根,那么k 的取值范围是() A.(0,512)B.(13,34]C.(512,+∞)D.(512,34] 9.(2021江苏如皋搬经中学高二月考,)假设直线y =x +b 与曲线y =√4-x 2有公共点,求b 的取值范围.思想方法练一、数形结合思想在圆的方程中的应用 1.()假设直线y =kx +1与圆x 2+y 2=1交于P 、Q 两点,且∠POQ =120°,其中O 为原点,那么k 的值为() A.±√3B.√3 C.±√2D.√22.(2021江苏南京大厂高级中学高二期中,)实数x ,y 满足方程x2+y2-4x+1=0,求x2+(y-2)2的最大值和最小值.二、函数与方程思想在圆的方程中的应用3.(2021江苏常州溧阳高级中学高二期中,)直线l经过点P(5,5),且和圆C:x2+y2=25交于A,B两点,假设直线l被圆C截得的弦长为4√5,那么直线l的方程为()A.x-2y+5=0B.2x-y-5=0C.x-2y+5=0或2x-y-5=0D.2x-y+5=04.()圆C:x2+y2=1与直线l:√3x-y+m=0交于不同的两点A、B.(1)求实数m的取值范围;(2)假设AB=√3,求实数m的值.5.()圆M:x2+(y-6)2=16,点P是直线l:x-2y=0上的一个动点,过点P 作圆M的切线PA,PB,切点分别为A,B.(1)当切线PA的长度为4√3时,求线段PM的长度;(2)假设△PAM的外接圆为圆N,试问:当点P在直线l上运动时,圆N 是否过定点?假设过,求出所有定点的坐标;假设不过,请说明理由;(3)求线段AB的长度的最小值.三、分类讨论思想在圆的方程中的应用6.(2021江苏南通如东高二期中,)假设圆C 1:(x-1)2+y2=1与圆C2:x2+y2-8x+8y+m=0相切,那么m的值为()A.16B.7C.16或-4D.-7 7.()圆C 的圆心在直线2x -y -1=0上,且经过点A (4,2),B (0,2).(1)求圆C 的标准方程;(2)直线l 过点P (1,1)且与圆C 相交,所得弦长为4,求直线l 的方程. 四、转化与化归思想在圆的方程中的应用 8.(2021山东淄博桓台第一中学高二期中,)O 为坐标原点,直线l :y =kx +√3,圆C :x 2+(y -2√3)2=4.假设直线l 与圆C 交于A ,B 两点,那么△OAB 面积的最大值为() A.4B.2√3C.2D.√39.(2021江苏泰州泰兴中学高二期中,)在△ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边,假设a =6,b =8,c =10,点P 是△ABC 内切圆上任意一点,求点P 到顶点A ,B ,C 的距离的平方和S 的最大值与最小值.答案全解全析 根底过关练易混易错练1.C∵x 2+y 2-2(m -1)x +2(m -1)y +2m 2-6m +4=0表示圆,∴[-2(m -1)]2+[2(m -1)]2-4(2m 2-6m +4)>0,∴m >1.又圆C 过原点,∴2m 2-6m +4=0,解得m =2或m =1(舍去),∴m =2.2.B 圆的方程可化为(x +k 2)2+(y +1)2=k 4-4k +1.依题意得{-1=-k 2,k 4-4k +1>0,解得k =-1,应选B .易错警示关于圆的一般方程问题,解题时易无视D 2+E 2-4F >0,从而导致错误,如此题易无视k 4-4k +1>0. 3.解析由题意得{k 2+22-4(k 2-15)>0,12+22+k +4+k 2-15>0,解得-8√33<k <-3或2<k <8√33. 4.解析(1)当切线l 垂直于x 轴时,切线l :x =1与圆相切,符合题意.(2)当切线l 不垂直于x 轴时,可设切线l 的方程为y -1=k (x -1),即kx -y +1-k =0.因为切线l 与圆相切,所以圆心(2,3)到切线l 的距离等于圆的半径,即√k 2+1=1,解得k =34,此时切线l 的方程是3x -4y +1=0.综上所述,所求切线l 的方程为x =1或3x -4y +1=0.5.解析设另一个端点C 的坐标为(x ,y ),依题意得AC =AB ,即√(x -4)2+(y -2)2=√(3-4)2+(5-2)2,化简得(x -4)2+(y -2)2=10.因为C 是三角形ABC 的顶点,A 、B 、C 三点不共线,所以B 、C 不能为圆A 的直径的两端点,故点C 的轨迹方程为(x -4)2+(y -2)2=10(x ≠3,x ≠5),其轨迹是以点A (4,2)为圆心,√10为半径的圆,但去掉(3,5)和(5,-1)两点.6.解析(1)圆C :x 2+y 2-4x +3=0,即(x -2)2+y 2=1,其圆心为(2,0),半径为1. 当切线的斜率不存在时,切线方程为x =3,符合题意.当切线的斜率存在时,设切线斜率为k ,那么切线方程为 y -2=k (x -3),即kx -y -3k +2=0,由圆心到切线的距离等于半径,得√k 2+1=1,解得k =34,此时切线方程为3x -4y -1=0.综上可得,圆的切线方程为x =3或3x -4y -1=0.(2)当直线l ⊥CN 时,弦长m 最短,此时直线l 的方程为x -y -1=0, 所以m min =2√1-12=√2;当直线l 经过圆心时,弦长最长,m max =2.所以m ∈[√2,2].(3)设圆E :(x -a )2+y 2=r 2(r >0),与圆C 相交于A ,B 两点(A 在第一象限),∵AB =√3,∴A ,B 两点的纵坐标分别为√32,-√32,将y 2=34代入圆C 的方程,得x 2+34-4x +3=0,解得x =32或x =52,∴(32,±√32)或(52,±√32)在圆E 上.∵圆E 内切于圆x 2+y 2=16,∴圆E 经过点(4,0)或(-4,0). 假设圆E 经过(32,±√32)和(4,0),那么其标准方程为(x -135)2+y 2=4925; 假设圆E 经过(52,±√32)和(4,0),那么其标准方程为(x -3)2+y 2=1; 假设圆E 经过(32,±√32)和(-4,0),那么其标准方程为(x +1311)2+y 2=961121; 假设圆E 经过(52,±√32)和(-4,0),那么其标准方程为(x +913)2+y 2=1 849169.易错警示对于切线问题,不要忽略了斜率不存在的情况.当直线l 垂直于x 轴时,也可能成为一条切线.而对于圆的方程的求解,求得的结论要注意检验正确性,要关注一些特殊点是否符合. 7.A 由题意可设圆心为(3t ,t ),半径r =|3t |, ∵圆C 截x 轴所得的弦长为4√2, ∴t 2+8=9t 2,∴t =±1.∵圆C 与y 轴的正半轴相切, ∴t =-1不符合题意,舍去,∴t =1,∴3t =3,∴圆C 的标准方程为(x -3)2+(y -1)2=9.8.D 由题意知,等式左边是一段圆弧,其方程为x 2+y 2=4(y ≥0), 右边是直线y =kx +3-2k ,直线恒过定点(2,3),∵圆心到直线的距离小于半径时,直线和圆弧所在的圆有两个交点, ∴k >512.当直线过点(-2,0)时,k =34,所以方程√4-x 2=k (x -2)+3有两个不等实根时,512<k ≤34.9.解析如图,在平面直角坐标系内作出曲线y =√4-x 2, 设直线l 1:y =x -2,l 2:y =x +2√2,作出直线l 1,l 2.当直线l :y =x +b 夹在l 1与l 2之间(包括l 1,l 2)时,l 与曲线y =√4-x 2有公共点,所以b 的取值范围为[-2,2√2]. 易错警示审题不严,对题中的隐含条件处理不当,常会造成解题错误,如直线与圆相交时,要在有交点的情况下研究其他问题,圆与圆只有一个交点时,要考虑两圆是内切还是外切等.思想方法练1.A 根据直线方程的特征,可知直线y =kx +1过定点P (0,1)且P 在圆上.(因为直线过定点P (0,1),且点P 在圆上,所以可以考虑通过数形结合,作出符合题意的图形,得到相关角之间的关系)∵∠POQ =120°,∴∠OPQ =30°, ∴∠1=120°,∠2=60°,∴k =±√3.应选A.2.解析方程x 2+y 2-4x +1=0可化为(x -2)2+y 2=3,它表示以(2,0)为圆心,√3为半径的圆.(直接对式子x 2+(y -2)2求解比拟棘手,思路也不容易找到,而利用其几何意义,根据两点间距离公式进行变式,作出图形辅助求解,那么比拟简单易行,表达了数形结合思想)x 2+(y -2)2可看作圆上一点与点(0,2)的距离的平方,由图可知,此式在点(0,2)与圆心(2,0)的连线与圆的两个交点B 、A 处分别取得最大值与最小值, 又圆心到点(0,2)的距离为√22+(-2)2=2√2,所以[x 2+(y -2)2]max =(2√2+√3)2=11+4√6, [x 2+(y -2)2]min =(2√2-√3)2=11-4√6. 思想总结“数形结合〞是把代数中的“数〞与几何中的“形〞结合起来认识问题、理解问题并解决问题的思维方法.与圆有关的最值问题、直线与圆的交点问题、圆与圆的位置关系等都可能用到数形结合思想.利用数形结合解决问题,比传统的解法更形象、更巧妙,并且计算量小. 3.C 假设直线l 的斜率不存在,那么l :x =5与圆C 相切,不符合题意, 那么直线l 的斜率存在.设直线l 的方程为y -5=k (x -5),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2). 由{y -5=k (x -5),x 2+y 2=25,消去y ,得(k 2+1)x 2+10k (1-k )x +25k (k -2)=0,(根据题意,求直线和圆相交的弦长时,可以利用代数法,联立直线与圆的方程,并消元,通过根与系数的关系以及两点间的距离公式求解) Δ=[10k (1-k )]2-4(k 2+1)·25k (k -2)>0,解得k >0.x 1+x 2=-10k (1-k )k 2+1,x 1x 2=25k (k -2)k 2+1,所以AB =√(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2=√(1+k 2)(x 1-x 2)2=√(1+k 2)[(x 1+x 2)2-4x 1x 2]=4√5, 两边平方,整理得2k 2-5k +2=0, 解得k =12或k =2,均符合题意,所以直线l 的方程为x -2y +5=0或2x -y -5=0.4.解析(1)(因为圆C :x 2+y 2=1与直线l :√3x -y +m =0交于不同的两点A 、B ,所以可以考虑联立方程组消去y ,得到关于x 的一元二次方程,利用根与系数的关系求解) 由{x 2+y 2=1,√3x -y +m =0,消去y ,得4x 2+2√3mx +m 2-1=0, 由得,Δ=(2√3m )2-16(m 2-1)>0, 解得-2<m <2,故实数m 的取值范围是(-2,2).(2)因为圆心C (0,0)到直线l :√3x -y +m =0的距离d =√3+1=|m |2,所以AB =2√1-(|m |2)2=√4-m 2,由得√4-m 2=√3, 解得m =±1.5.解析(1)由题意知,圆M 的半径r =AM =4,圆心M (0,6), ∵直线PA 是圆M 的一条切线,∴∠MAP =90°,∴PM =2+PA 2=8. (2)圆N 过定点.设P (2a ,a ),∵∠MAP =90°,∴经过A ,P ,M 三点的圆N 以MP 为直径, ∴其圆心为N (a ,a+62),半径为PM 2=√5a 2-12a+362,∴圆N 的方程为(x -a )2+(y -a+62)2=5a 2-12a+364,即x 2+y 2-6y +a (-2x -y +6)=0,(根据二元二次方程的特点,分别令x 2+y 2-6y =0,-2x -y +6=0,可得直线恒过的定点坐标) 令{-2x -y +6=0,x 2+y 2-6y =0,解得{x =0,y =6或{x =125,y =65,∴圆N 过定点(0,6)和(125,65).(3)由(2)知,圆N 的方程为(x -a )2+(y -a+62)2=5a 2-12a+364,即x 2+y 2-2ax -ay -6y +6a =0,①圆M :x 2+(y -6)2=16,即x 2+y 2-12y +20=0,②②-①得2ax +(a -6)y +20-6a =0, 此方程即为直线AB 的方程. 又圆心M (0,6)到直线AB 的距离d =√(2a )+(a -6)=2,∴AB =2√16-d 2=8√1-165(a -65)2+1445,(把AB 的长度表示为a 的函数,利用二次函数的最值可得AB 长度的最小值) ∴当a =65时,线段AB 的长度取得最小值,最小值为163.思想总结函数思想就是用联系与变化的观点提出数学对象,抽象其数学特征,建立函数关系,并利用函数的特质来研究、解决问题的一种数学思想方法.函数与方程思想是分析和解决解析几何问题的一种非常重要的数学思想.求圆的方程、直线与圆的交点及个数判断、弦长的求解、圆与圆的交点等都需要用到函数与方程思想.6.C 圆C 2的方程可化为(x -4)2+(y +4)2=32-m (m <32),所以圆C 2的圆心为C 2(4,-4),半径r 2=√32-m (m <32), 圆C 1的圆心为C 1(1,0),半径r 1=1,(因为题目中没有明确说明两个圆相切的类型,所以需要分两圆内切和外切两种情况进行讨论并求解)C 1C 2=√(1-4)2+[0-(-4)]2=5,由两圆相切,可得1+√32-m =5或|1-√32-m |=5, 解得m =16或m =-4.应选C.7.解析(1)易知点C 在线段AB 的中垂线上,其方程为x =2, 由{x =2,2x -y -1=0,解得{x =2,y =3,即圆心C 的坐标为(2,3), 又半径CA =√(4-2)2+(2-3)2=√5, 所以圆C 的标准方程为(x -2)2+(y -3)2=5.(2)点P (1,1)在圆上,且弦长4<2√5,故有两条直线符合题意, 此时圆心到直线l 的距离d =√5-4=1.(因为不清楚直线l 的斜率是否存在,所以需要分类讨论)①当直线l 的斜率不存在时,直线l 的方程为x =1,此时圆心到直线l 的距离为1,符合题意.②当直线l 的斜率存在时,设其斜率为k ,那么直线l 的方程为y -1=k (x -1), 整理得kx -y -k +1=0,那么圆心到直线l 的距离d =√k 2+1=1,解得k =34,所以直线l 的方程为3x -4y +1=0.综上,直线l 的方程为x =1或3x -4y +1=0. 思想总结分类讨论又称逻辑划分,分类讨论的关键是逻辑划分标准确实定,从而对问题依次分类求解(或证明).本章中,在直线和圆的位置关系的判断中需要对直线斜率是否存在、圆与圆的位置关系的判断中两圆心的距离和半径之间的大小关系以及圆心的位置等进行分类讨论. 8.C 由圆的方程x 2+(y -2√3)2=4可知其圆心为C (0,2√3),半径r =2,由直线y =kx +√3,可知直线过定点(0,√3),设D (0,√3),即点D 为线段OC 的中点, 所以S △OAB =S △ABC ,设∠ACB =θ,又CA =CB =r =2,(利用三角形的面积公式转化为求正弦函数的最值问题,利用正弦函数的性质来解决) 所以S △ABC =12CA ·CB ·sin θ=12×2×2sin θ=2sin θ,当k =0时,直线为y =√3,此时θ最小,为π3,那么θ∈[π3,π). 当θ=π2时,S △ABC =2sin θ取得最大值,最大值为2.应选C.9.解析由题意知,△ABC 是直角三角形,设△ABC 的内切圆圆心为O',切点分别为D ,E ,F , 那么AD +DB +EC =12×(10+8+6)=12,又AD +DB =c =10,所以内切圆半径r =EC =2.(分析题意,考虑以C 为坐标原点,CA ,CB 所在直线分别为x 轴,y 轴,建立平面直角坐标系,设出动点坐标,建立函数关系求解)如图,建立平面直角坐标系,那么内切圆方程为(x -2)2+(y -2)2=4. 设圆上动点P 的坐标为(x ,y ),那么S =|PA |2+|PB |2+|PC |2=(x -8)2+y 2+x 2+(y -6)2+x 2+y 2=3x 2+3y 2-16x -12y +100=3[(x -2)2+(y -2)2]-4x +76 =3×4-4x +76=88-4x.(将问题转化为函数的最值问题来处理) 因为点P 在内切圆上,所以0≤x ≤4, 故S 最大值=88-0=88, S 最小值=88-16=72. 思想总结转化思想是包含在化归思想中的一种比拟具体的数学思想,即以充要条件为根底,把同一种数学意义的内容从一种数学语言形式等价转化为另一种数学语言形式,从而使复杂问题简单化、具体化.本章主要表达在圆上的点到直线的距离的最值问题、直线与圆构成的三角形面积的范围问题等.。
圆与方程(提升题)
直线和圆∙提升题一、解答题：1、如果圆的方程为x 2＋y 2＋k x ＋2y ＋k 2＝0，那么当圆的面积最大时，圆心坐标为( )A ．(－1,1)B ．(1，－1)C ．(－1,0)D ．(0，－1)2、若直线30x y a ++=始终平分圆22240x y x y ++-=的周长，则a 的值为（ ）A ．1-B ．1C ．3D ．3- 3、点(03)P ，及圆C ：2282120x y x y +--+=，过P 的最短弦所在的直线方程为（ ） A 、x ＋2y ＋3＝0 B 、x －2y ＋3＝0 C 、2x －y ＋3＝0 D 、2x ＋y －3＝0 4、已知直线32:1+=x y l ，直线2l 与1l 关于直线x y -=对称，则2l 的斜率为（ ）A ．12B ．－12C ．2D ．－25、直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝4的位置关系是（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．不确定6、在平面直角坐标系中，点A(1，2)、点B(5，0)到直线l 的距离分别为1和2，则符合条件的直线条数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．17、一束光线从点A (－1,1)发出，并经过x 轴反射，到达圆(x －2)2＋(y －3)2＝1上一点的最短路程是( )A ．4B ．5C ．32－1D ．2 68、当x 、y 满足条件1<+y x 时，变量3-=y x u 的取值范围是( )A ．)3131(，- B ．)3 3(，- C ．]31 31[，- D ．)31 0(0) 31(，， - 9、过点M (1,2)的直线l 与圆C ：(x －2)2＋y 2＝9交于A 、B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程为( )A ．x ＝1B ．y ＝1C ．x －y ＋1＝0D ．x －2y ＋3＝010、设r ＞0，两圆(x －1)2＋(y ＋3)2＝r 2与x 2＋y 2＝16的位置关系不可能是( )A ．相切B ．相交C ．内切和内含D ．外切和外离 11、方程4－x 2＝lg x 的根的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．无法确定12、如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为2的正方体ABCD － A 1B 1C 1D 1，A 1C 的中点E 到AB 的中点F 的距离为 ( )A ．2 2B ． 2C ．2D ．1 二、填空题：13、在空间直角坐标系中，已知点A (1,0,2)，B (1，－3,1)，点M 在y 轴上，且M 到A 与到B 的距离相等，则M 的坐标是___(0，－1,0)_______．14、设点M (43，－4,1)，N 是z 轴上的点，则|MN |的最小值为____8______．15、两圆x 2＋y 2＋2ax ＋2ay ＋2a 2－1＝0和x 2＋y 2＋2bx ＋2by ＋2b 2－2＝0的公共弦中，最长的弦等于_____2_____．16、已知点P(2,1)在圆C ：2220x y ax y b ++-+=上，点P 关于直线10x y +-=的对称点也在圆C 上，则圆C 的圆心坐标为 （0，1） 、半径为r=2 ．17、与直线x ＋y －2＝0和曲线x 2＋y 2－12x －12y ＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是________． (x －2)2＋(y －2)2＝218、当点P 在圆x 2＋y 2＝1上变动时，它与定点Q (3,0)连线段PQ 中点的轨迹方程是____ (2x －3)2＋4y 2＝1 三、解答题：19、已知，圆C ：012822=+-+y y x ，直线l ：02=++a y ax .(1) 当a 为何值时，直线l 与圆C 相切； 43-=a(2) 当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且22=AB 时，求直线l 的方程.0147=+-y x 和02=+-y x20、已知定点)0,2(A ，P 点在圆122=+y x 上运动，AOP ∠的平分线交PA 于Q 点，其中O为坐标原点，求Q 点的轨迹方程． 943222=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x21、已知实数x、y满足方程(x－3)2＋(y－3)2＝6，求x＋y的最大值和最小值．最小值为6－23，最大值为6＋2 3.22、已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，O为坐标原点，动点P在圆C外，过P作圆C 的切线，设切点为M.(1)若点P运动到(1,3)处，求此时切线l的方程；x＝1或3x＋4y－15＝0.(2)求满足条件|PM|＝|PO|的点P的轨迹方程．2x－4y＋1＝0.23、如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，M为BD1的中点，N在A1C1上，且|A1N|＝3|NC1|，试求MN的长．64a.24、已知04,k<<直线1:2280l kx y k--+=和直线222:2440l x k y k+--=与两坐标轴；围成一个四边形，求使得这个四边形面积最小的k值. 1/8。
(完整word)高中圆与方程难题.doc
一、选择题1．圆：x2 y 2 4 x 6 y 0 和圆： x2 y 2 6x 0交于 A, B 两点，则 AB 的垂直平分线的方程是（）A. x y 3 0 B．2x y 5 0C．3x y 9 0 D ．4x 3y 7 0 圆与方2．方程x1 1 ( y 1)2表示的曲线是（）A．一个圆B．两个半圆C．两个圆D．半圆3．已知圆C：( x a)2 ( y 2) 2 4(a 0) 及直线 l : x y 3 0 ，当直线 l 被 C 截得的弦长为 2 3 时，则 a （）A ． 2 B．2 2C． 2 1 D． 2 14．圆( x 1) 2 y2 1 的圆心到直线 y 3 x 的距离是（）31B ．3A ．22C．1 D． 35．直线3x y 2 3 0 截圆 x2 y 2 4得的劣弧所对的圆心角为（A．300 B ． 450C．600 D ． 9006．圆x2 y 2 1上的点到直线 3x 4 y 25 0 的距离的最小值是（A． 6 B ． 4C． 5 D ． 17．两圆x2 y2 9和 x2 y2 8x 6 y 9 0 的位置关系是（）A．相离 B ．相交C．内切 D ．外切程））二、填空题1．若A(1, 2,1), B(2,2,2),点P在z轴上，且PA PB ，则点 P 的坐标为2．若曲线y 1 x2与直线y x b 始终有交点，则 b 的取值范围是___________；b b３．把圆的参数方程x 1 2 cos化成普通方程是 ______________________ ．y 3 2 sin４．已知圆 C 的方程为x2 y 2 2 y 3 0 ，过点 P( 1,2) 的直线l与圆C 交于 A, B 两点，若使AB 最小，则直线l 的方程是________________。
５．如果实数x, y 满足等式( x 2) 2 y2 3，那么y的最大值是 ________。
x6．过圆x2 ( y 2) 2 4 外一点 A(2, 2) ，引圆的两条切线，切点为T1, T2，则直线 T1T2的方程为________。
圆与方程测试题及答案
圆与方程单元练习题一．选择题1．已知A(－4，－5)、B(6，－1)，则以线段AB为直径的圆的方程是( )A．(x＋1)2＋(y－3)2＝29 B．(x－1)2＋(y＋3)2＝29C．(x＋1)2＋(y－3)2＝116 D．(x－1)2＋(y＋3)2＝1162．圆(x－1)2＋y2＝1的圆心到直线y＝x的距离是( )A. B.C．1 D.3．经过圆x2＋2x＋y2＝0的圆心C，且与直线x＋y＝0垂直的直线方程是( )A．x＋y＋1＝0 B．x＋y－1＝0 C．x－y＋1＝0 D．x－y－1＝04．直线x－y－4＝0与圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的位置关系( ) A．相交 B．相切 C．相交且过圆心 D．相离5．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a取值范围是( )A．[－3，－1] B．[－1,3]C．[－3,1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)6．过点P(2,3)引圆x2＋y2－2x＋4y＋4＝0的切线，其方程是( ) A．x＝2 B．12x－5y＋9＝0C．5x－12y＋26＝0 D．x＝2和12x－5y－9＝07．点M在圆(x－5)2＋(y－3)2＝9上，点M到直线3x＋4y－2＝0的最短距离为( )A．9 B．8 C．5 D．28．圆C1：x2＋y2＋4x＋8y－5＝0与圆C2：x2＋y2＋4x＋4y－1＝0的位置关系为( )A．相交 B．外切 C．内切 D．外离9．圆x2＋y2－2x－5＝0和圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A、B，则线段AB的垂直平分线方程为( )A．x＋y－1＝0 B．2x－y＋1＝0 C．x－2y＋1＝0 D．x－y＋1＝010．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－3)2＝25，圆C2与圆C1关于点(2,1)对称，则圆C2的方程是( )A．(x－3)2＋(y－5)2＝25 B．(x－5)2＋(y＋1)2＝25C．(x－1)2＋(y－4)2＝25 D．(x－3)2＋(y＋2)2＝2511．当点P在圆x2＋y2＝1上变动时，它与定点Q(3,0)连线段PQ中点的轨迹方程是( )A．(x＋3)2＋y2＝4 B．(x－3)2＋y2＝1C．(2x－3)2＋4y2＝1 D．(2x＋3)2＋4y2＝112．在平面直角坐标系xOy中，直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则弦AB的长等于( )A．3 B．2 C. D．1二、填空题13．圆x2＋2x＋y2＝0关于y轴对称的圆的一般方程是________．14．已知点A(1,2)在圆x2＋y2＋2x＋3y＋m＝0内，则m的取值范围是________．15．圆：和圆：交于两点，则的垂直平分线的方程是16．两圆和相切，则实数的值为三、解答题17.已知圆以原点为圆心，且与圆外切．（1）求圆的方程； （2）求直线与圆相交所截得的弦长．18．(10分)求经过点P(3,1)且与圆x2＋y2＝9相切的直线方程．19．已知直线l：y＝2x－2，圆C：x2＋y2＋2x＋4y＋1＝0，请判断直线l 与圆C的位置关系，若相交，则求直线l被圆C所截的线段长．20．已知圆C1：x2+y2－2x－4y+m=0，（1）求实数m的取值范围；（2）若直线l：x+2y－4=0与圆C相交于M、N两点，且OM⊥ON，求m的值。
2020-2021学年北师大版高中数学必修二《圆的标准方程》课时提高训练及解析
最新（新课标）北师大版高中数学必修二§2 圆与圆的方程2.1 圆的标准方程问题导学1．直接法求圆的标准方程活动与探究1求满足下列条件的圆的标准方程．(1)圆心为(2，－2)，且过点(6,3)；(2)过点A(－4，－5)，B(6，－1)且以线段AB为直径；(3)圆心在直线x＝2上且与y轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)．迁移与应用求满足下列条件的圆的标准方程．(1)圆心为(3,4)，半径是5；(2)过两点P1(4,7)，P2(2,9)，且以线段P1P2为直径；(3)圆心在x轴上的圆C与x轴交于两点A(1,0)，B(5,0)．1．直接法求圆的标准方程，关键是确定圆心坐标与半径，注意结合圆的几何性质以简化计算过程．2．求圆的标准方程时常用的几何性质：(1)弦的垂直平分线必过圆心；(2)圆的两条不平行的弦的垂直平分线的交点必为圆心；(3)圆心与切点的连线长为半径；(4)圆心与切点的连线垂直于圆的切线；(5)圆的半径r，半弦长d，弦心距h满足r2＝d2＋h2.2．待定系数法求圆的标准方程活动与探究2求圆心在直线5x－3y＝8上，且圆与两坐标轴都相切的圆的方程．迁移与应用求经过点A(2，－3)，B(－2，－5)，且圆心在直线x－2y－3＝0上的圆的方程．待定系数法求圆的标准方程的一般步骤为：(1)设所求的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2；(2)根据题意，建立关于a，b，r的方程组；(3)解方程组，求出a，b，r的值；(4)将a，b，r代入所设的圆的方程中，即得所求．3．点和圆的位置关系活动与探究3(1)圆的直径端点为(2,0)，(2，－2)，求此圆的方程，并判断A(5,4)，B(1,0)是在圆上、圆外，还是在圆内；(2)若点P(－2,4)在圆(x＋1)2＋(y－2)2＝m的外部，求实数m的取值范围．迁移与应用1．点P(m2,5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是( )．A．在圆外B．在圆内C．在圆上D．不确定2．求过点P1(3,8)，P2(5,4)且半径最小的圆的方程，并判断点M(5,3)，N(3,4)，P(3,5)是在此圆上，在圆内，还是在圆外．点与圆的位置关系的判断方法：(1)几何法：根据圆心到该点的距离d与圆的半径r的大小关系；(2)代数法：直接利用下面的不等式判定：①(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2，点在圆外；②(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2，点在圆上；③(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2，点在圆内．当堂检测1．圆心为C(－1，－1)，半径为2的圆的标准方程为( )． A ．(x －1)2＋(y －1)2＝2 B ．(x －1)2＋(y －1)2＝4 C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝42．若圆的方程为(2x －3)2＋(2y ＋4)2＝16，则其圆心C 的坐标和半径r 分别是( )． A ．C(－3,4)，r ＝4 B ．C(3，－4)，r ＝16C ．C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－2，r ＝4D ．C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－2，r ＝23．已知圆C 经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x 轴上，则圆C 的方程为__________． 4．若点(3，a)在圆x 2＋y 2＝16的外部，则a 的取值范围是________．5．已知圆C 与y 轴相切，圆心在直线x －3y ＝0上，且经过点A(6,1)，求圆C 的方程．答案： 课前预习导学 预习导引1．圆心 半径 圆心位置 半径2．(1)(x－a)2＋(y－b)2＝r2(2)x2＋y2＝r2预习交流1 提示：方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2不一定表示圆，当m＝0时，方程表示点(a，b)．要使此方程表示圆，需保证m≠0.圆的标准方程中，r是半径，r＞0.预习交流2 提示：方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2叫做圆的标准方程，其中等式左边是两项平方和的形式，且其中变量x，y的系数均为1.预习交流3 提示：3．d＞r d＝r课堂合作探究问题导学活动与探究1 思路分析：首先确定圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程．解：(1)由两点间距离公式，得圆的半径r＝(6－2)2＋(3＋2)2＝41，∴所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝41.(2)圆心即为线段AB的中点，为(1，－3)．又|AB|＝(－4－6)2＋(－5＋1)2＝229，∴半径r＝29.∴所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋3)2＝29.(3)由于圆与y轴交于A(0，－4)，B(0，－2)，∴圆心在直线y＝－3上．又圆心在直线x＝2上，∴圆心坐标(2，－3)．半径r＝(2－0)2＋(－3＋2)2＝5，∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5.迁移与应用解：(1)圆的标准方程是(x－3)2＋(y－4)2＝5.(2)圆心为(3,8)，半径r＝12|P1P2|＝12(4－2)2＋(7－9)2＝2，∴圆的标准方程为(x－3)2＋(y－8)2＝2.(3)圆心为(3,0)，半径r＝2，∴圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝4.活动与探究2 思路分析：先设出圆的标准方程，由题设列出关于a ，b ，r 的关系式，组成方程组，解方程组求出a ，b ，r 的值代入即得圆的方程．解：设所求圆方程为(x －a)2＋(y －b)2＝r 2.∵圆与坐标轴相切， ∴圆心满足a －b ＝0或a ＋b ＝0. 又圆心在直线5x －3y ＝8上，∴5a －3b ＝8.解方程组⎩⎨⎧ a －b ＝0，5a －3b ＝8或⎩⎨⎧ a ＋b ＝0，5a －3b ＝8，得⎩⎨⎧ a ＝4，b ＝4或⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－1.∴圆心坐标为(4,4)或(1，－1)，∴可得半径r ＝|a|＝4或r ＝|a|＝1.∴所求圆的方程为(x －4)2＋(y －4)2＝16或(x －1)2＋(y ＋1)2＝1.迁移与应用 解：设所求圆的标准方程为(x －a)2＋(y －b)2＝r 2，依题意得222222(2)(3)(2)(5)230.a b r a b r a b ⎧-+--=⎪--+--=⎨⎪--=⎩，，解方程得1,2,a b r ⎧=-⎪=-⎨⎪=⎩所以圆的标准方程是(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.活动与探究3 思路分析：(1)求出圆心坐标和半径可得圆的标准方程．判断点在圆上、圆外、圆内的方法是：根据已知点到圆心的距离与半径的大小关系来判断．(2)利用点在圆的外部建立不等式求m 的取值范围．解：(1)由已知得圆心坐标为C(2，－1)，半径r ＝1.∴圆的方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.∵|AC|＝(5－2)2＋(4＋1)2＝34＞1，|BC|＝(1－2)2＋(－1－0)2＝2＞1，∴A ，B 两点都在圆外．(2)由于点P(－2,4)在圆的外部，∴有(－2＋1)2＋(4－2)2＞m ，解得m ＜5.又方程表示圆，∴有m ＞0，因此实数m 的取值范围是0＜m ＜5. 迁移与应用 1．A解析：∵(m 2)2＋52＝m 4＋25＞24，∴点P(m 2,5)在圆外．2．解：|P 1P 2|＝(5－3)2＋(4－8)2＝25，P 1P 2的中点坐标为(4,6)．依题意，所求圆的圆心为C(4,6)，半径为 5.∴所求圆的方程为(x －4)2＋(y －6)2＝5.∵|MC|＝(5－4)2＋(3－6)2＝10＞5，|NC|＝(3－4)2＋(4－6)2＝5，|PC|＝(3－4)2＋(5－6)2＝2＜5，∴点M在圆外，点N在圆上，点P在圆内．当堂检测1．D 2．D 3．(x－2)2＋y2＝104．(7，＋∞)5．解：∵圆心在直线x－3y＝0上，∴设圆心坐标为(3a，a)．又圆C与y轴相切，∴半径r＝|3a|，圆的标准方程为(x－3a)2＋(y－a)2＝|3a|2.又过点A(6,1)，∴(6－3a)2＋(1－a)2＝9a2，即a2－38a＋37＝0，a＝1或a＝37.∴圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x－111)2＋(y －37)2＝1112.。
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数学练习【2019.5.26】
一填空题
1如图，内接于圆，，直线切圆于点，交于点.若
，则的长为.
2已知,,成等差数列且公差不为零，则直线被圆截得的弦长的最小值为_______．
3已知点P（2，1）在圆C：x2+y2+ax-2y+b=0上，点P关于直线x+y-1=0的对称点也在圆C上，则圆C的圆心坐标为，半径为．4过点P（2，1）能作条直线与圆x2+y2-8x-2y-13=0相切．
5若点P到直线y=-1的距离比它到点（0，3）的距离小2，则点P的轨迹方程为．
6动圆C的方程是（x-a-1）2+（y+2a）2=1，则圆心C的轨迹方程是．
7已知点M（-3，0），N（3，0），圆C：（x-1）2+（y-a）2=a2（a＞0），过M，N与圆C相切的两直线相交于点P，则点P的轨迹方程为．
如图是一个挂在墙壁上时钟的示意图.是其秒针的转动中心，是秒针的另一端，，是过点
的铅直直线.现有一只蚂蚁在秒针上爬行，蚂蚁到点的距离与到的距离始终相等.则分钟的时
间内，蚂蚁被秒针携带的过程中移动的路程(非蚂蚁在秒针上爬行的路程)是.
9已知圆的圆心在直线上并且经过圆与圆的交点，则圆的标准方程为.
已知圆的方程为．
已知点，点是圆上的动点，点是圆上的动点，则的最大值过坐标原点且与圆相切的直线的方程为
两点，且|AB|=，则
的优弧上，
108π；④若棱长为的正四面体的顶点都在同一球面上，则该球
的体积为；
其中，正确命题的序号为
在平面直角坐标系中，设点为圆：上的任意一点，点(2，)()，则线段长度的
若点在圆的外部，则实数的范围为______
过直线上点作圆的两条切线，切点为若为等边三角形，则点的坐标是________
到直线（
在空间直角坐标系中,若点点,则________.
已知直线和圆：
．
①求证：无论取何值，直线与圆都相交；
②求直线被圆截得的弦长的最小值和弦长取得最小值时实数
的值．
的切线，求切线的方程。
过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的
已知
以点为圆心的圆与轴交于点
,与轴交于点，其中为原点.
的面积为定值；
设直线与圆交于点，若
，求圆的方程；
（2）题的条件下，设分别是直线
上的动点，求的最小值及此时点的坐标.
40如图,已知定
圆，定直
，过的一条动直线
,与圆相交于两点，是中点.
（Ⅰ）当与垂直时，求证：
过圆心；
（Ⅱ）当
时，求直线的方程；
（Ⅲ）设,试问是否为定值,
若为定值，请求出的值；若不为定值，
请说明理由.
C：（x+1）2+y2=8．
Q（x，y）是圆C上一点，求x+y的取值范围；
A（1，0），M为圆C上一动点，点P在AM上，
CM上，且满足，求点N的轨
42设动点M（x，y）到直线y=3的距离与它到点
之比为，点M的轨迹为曲线E．
（I）求曲线E的方程：
（II）过点F作直线l与曲线E交于A，B两点，且．2≤λ≤3时，求直线l斜率k的取值范围•F1（-2，0），F2（2，0），点P满足|PF1|-|PF2|=2，记E．
E
的方程；
l
过点F2且与轨迹E交于P、Q两点．
l绕点F2怎样转动，在x轴上总存在定点M（m，0），恒成立，求实数m的值．
P、Q作直线的垂线PA、OB，垂足分别为A、B，记，求λ的取值范围．。