第十三讲-静不定问题分析(2)-对称与反对称

载荷作用点(或 面)、大小、方 位与指向(或转 向)均对称
载荷作用点(或 面) 、大小与方位 均对称，但指向 (或转向)反对称
对称定律
对称载荷
内力、变形对称 对称结构 反对称载荷 内力、变形反对称 P 对 称 承 载 反 对 称 承 载
对称 的截 面上
F
F
对称面上受力与变形特点——限制条件
第十四章 静不定问题分析
目 录
§1 §2 §3 §4 §5
引言 用力法分析静不定问题
上讲回顾
对称与反对称静不定问题分析
平面刚架空间受力分析 位移法概念
静不定问题概念
静定问题 未知力数＝有效平衡方程数 可求内力
静不定问题 （Statically Indeterminate Problems） （超静定问题）
考察对称面两侧截面的内力与位移 对 称 承 载 反 对 称 承 载 对称或反对称条件 对称定律 牛顿第三定律
内力
互为作用力与反作用力 对称或反对称条件
变形
变形连续条件
对称面上受力与变形特点——特点
对 称 承 载 反 对 称 承 载 仅存在反对称性内力 －剪力 FS 而M=0，FN= 0 横向挠度 f = 0
未知力数 > 有效平衡方程数 内力不可求
二者之差 —— 静不定度
多余未知力 多余约束 外部 内部 混合 三 种 类 型
• 与静定问题的根本区别 • 求解的关键
静不定度判断
一、平面桁架
m: 杆数
n: 节点数
k: 支座约束数
1、对无支座桁架 2、对有支座桁架
内力静不定度 = m - 2n + 3 静不定度 = m + k - 2n
A l
M
B l
解:
一度外力静不定
结构关于BD对称，载荷反对称 沿45度方向切开B截面
D
C M/2
对称面处： F 0
M MB 2
F’
A M/2
F
沿BD方向的线位移为零
构造相当系统：
RA H A M 2l
A
例4：图示桁架，各杆EA相同，求各杆轴力。
P
2
m
1 5 6 4
P
n’ P
解: 结构对称，载荷反对称 对称面m-m’上：
4. 讨论：变形协调条件与单位载荷状态
1
条件一：
C / C 0
1
需求三段内力 单位载荷状态 基本系统 条件二：
1
相当系统
1
条件三：
C / D 0
C / D 0
C 0
C 0
4. 讨论：变形协调条件与单位载荷状态 条件四：
1
C

/A
0
C 0
条件五：
f C / C 0
2. 求解静不定
S,C- / C 0
l 2 l/2 S,C / C M ( x ) M ( x ) d x M ( x ) M ( x ) d x 1 1 1 2 2 0 2 0 EI l M ( x1 ) x1 ，M ( x2 ) 2 M M F l M ( x1 ) e FSC x1 ，M ( x 2 ) e SC 2 2 2 15 M e l2 15 M e 14FSC l 0 得：FSC S,C / C 14l 24 EI
N1 N 3 0
n P
3
对称面n-n’上：
N2 N4 0
N5 P N6 P
m’
例5：已知P、l、E、I，求D端支反力。
P l A B l D C
解: 结构对称，载荷不对称 三度内力静不定 （三度外力静不定）
可否简化？
B P/2 P/2 C P/2
B P/2
C
A
D
A
D
实 验 装 置 示 意 图
内力静不定
在基本系统上加单位力求静不定结构的位移
§3 对称与反对称静不定问题分析
对称结构与对称、反对称载荷
对称定律
对称面上受力与变形特点
对称静不定结构受力分析 反对称静不定结构受力分析 例题
对称结构与对称、反对称载荷
对称结构
对称轴(面)
对称载荷
反对称载荷
结构具有对称 的形状、尺寸、 弹性性能与约 束 条 件
二、平面刚架和曲杆
轴线为单闭合曲线的平面刚架或平面曲杆、且仅在 轴线平面内承受外力时，为 3 度内力静不定问题
静不定度判断
三、混合结构
安装法 拆卸法
小结：
静不定度＝多余约束数 ＝多余约束反力数 ＝补充方程数 多余约束、多余约束反力不唯一
力法小结：
力法求解思路 解除多余约束 静不定 结 构 静定结构 基本系统 结构的应力、位移 利用基本系统 静定分析 多余约束力 多余约束力 原有外载荷
相当系统
受力、变形与 原结构相当的 静定结构 计算多余约 束处的位移 静不定 问题得解
力法要点
多余约束、多余约束力不唯一 基本系统：解除静不定结构中的多余约束后所得静定结构， 也叫静定基； 相当系统：解除多余约束，代之以多余约束反力，受力、 变形与原结构相当的静定结构 基本系统、相当系统不唯一 支座处位移边界条件 补充方程 的形式 结构内部位移连续条件 外力静不定
3. 位移计算
要点：通过相当系统的任一半，例如左半部，计算位移
C
l 1 l/2 M ( x ) M ( x ) d x M ( x ) M ( x ) d x 1 1 1 2 2 0 2 0 EI 9Mel C （Q） 112 EI
例3：图示刚架，EI为常数，求支反力。
仅存在对称性内力－ 弯矩M与轴力FN， 而剪力 FS ＝ 0 轴向位移 Δ= 0 转角 θ= 0
注意：利用问题的对称性，可直接确定对称面上的多余 约束力，从而简化计算分析，但并不降低静不定度
对称静不定结构受力分析
试分析图示刚架的弯矩，EI为常数
1. 问题来自百度文库析
3度内力静不定
上下对称，FN,C FN,C '
C / C
Fx M ( x1 ) 1， M ( x 2 ) 1， M ( x1 ) M C ， M ( x 2 ) M C 2 2 Fa 8 M C Fa a 得： M C / C 0 C 8 EI 3Fa M 3. 画弯矩图 通过相当系统画弯矩图 max 8
FNC FNC F 2
存在AA’与CC’两对称轴－双对称问题
左右对称，FS,C FS,C ' 0
Fx 0, FNC＋FNC F
结论：一个未知多余力－MC
2. 求解静不定
4段对 称
C / C 0
C / C
1 M ( x ) M ( x )dx l EI a 4 a M ( x ) M ( x ) d x M ( x ) M ( x ) d x 1 1 1 2 2 2 0 0 EI
1
1
相当系统
是否可用？
5. 讨论：求载荷作用点处水平方向相对位移Δ A/G 如何选取单位载荷状态?
直接得到 A / G
G
相当系统
1
A/ D
1 2 A/G
反对称静不定结构受力分析
试求图示刚架截面 C 的转角，EI 为常数
1. 问题分析 三度静不定 将 Me 等分为二，分别作用在截面 C 的两侧，得 一反对称静不定问题，MC＝FNC＝0 结论：唯一未知多余力－FSC
桁 架 自 适 应 结 构
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空 间 柔 性 桁 架 自 适 应 结 构 实 验 平 台
自行研制的自适应结构压电主动元件
• 自适应桁架结构，用于航天器振动主动控制
• 若干作动器作用下
• 思考题：已知某一作动器所引起的伸长量，
求桁架上任意节点的位移。