§9-5-2 简单常用的旋转体

面为等腰直角三角形的截面，最大值为 1 l 2
2 8、设圆锥母线长为4，高为2，过圆锥的两条母线作一个 截面，则截面面积的最大值为——
1.2简单多面体
我们把 若干个平面多边形围成的几何体 叫多面体。 其中棱柱、棱锥、棱台是简单多面体
几何体的分类
柱体
锥体
台体
球
多面体
旋转体
各个简单旋转体的轴截面：
2、圆台问题恢复成圆锥图形在圆 锥中解决圆台问题，注意相似比.
小结：1、弄清楚柱、锥、台的侧面展 开图的形状是关键； 2、对应的面积公式
1 S三 棱 锥 ＝ ch' 2
C’=0
S圆锥侧= πrl r1=0
1 S正 棱 台 ＝ （c＋c' )h' 2
C’=C
S圆台侧=π（r1+r2)l r1=r2
S圆柱侧= 2πrl
Si
O
Vi
Vi 设“小锥体”的体积为： 则球的体积为： V = V1 V2 V3 ... Vn
第二步：求近似和
Si
hi
O O
Vi
1 Vi S i hi 3
由第一步得： V = V1 V2 V3 ... Vn
1 1 1 1 V S1h1 S 2 h2 S3h3 ... S n hn 3 3 3 3
A、当圆锥的轴截面的顶角a为锐角或直角时， 过顶点的所有截面中面积最大的为轴截面，最 6.圆柱的轴截面（经过圆柱的轴所作的截面）是边长为 5cm的正方形 大值为 1 2 ABCD，则圆柱侧面上从A到C的最短距离
为—— 2 l sin a, (l为母线长) 7.用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上 下底面半径的比是1:4，截去的圆锥的母线长是 3cm,求 B、当圆锥的轴截面的顶角 a为钝角时，过顶点 圆台的母线长—— 的所有截面中面积最大不是轴截面，而是使截
2πrl
思考：把圆柱、圆锥、圆台的侧面分别沿着一条母线 展开，分别得到什么图形?展开的图形与原图 有什么关系？
r
l
长方形
长＝ 2r
宽＝ l
S圆柱侧 = S长方形 ＝2rl
r O
l
O
2 r
S表面积 = S侧 2S底
S = 2 r 2 rl = 2 r (r l )
2
圆柱的侧面展开图是矩形
3．下列说法正确的是【 】 A. 平行于圆锥某一母线的截面是等腰三角形 B. 平行于圆台某一母线的截面是等腰梯形 C. 过圆锥顶点的截面是等腰三角形 D. 过圆台上底面中心的截面是等腰梯形
4.已知圆柱的底面半径为3cm,,轴截面面积为 24cm,则圆柱的母线长为—— 5、已知圆锥的轴截面等腰三角形的腰长为 5cm, 面积为12,求圆锥的底面半径——
S直棱柱 ＝ch' = ch
例1：一个正三棱柱的底面是边长为5的 正三角形，侧棱长为4，则其侧面积为 ______;
答：60 例2：正四棱锥底面边长为6 ,高是4，中 截面把棱锥截成一个小棱锥和一个棱台， 求棱台的侧面积
答： 9 7
例3 已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面 体S-ABC，求它的表面积 ． 分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形 组成． S 解：先求 ABC的面积，过点S作 SD BC，
V三棱锥 1 = sh 3
注意：三棱锥的顶点和底面可以根据需要变换，四 面体的每一个面都可以作为底面，可以用来求点到 面的距离
定理︰如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面 积是Ｓ，高是ｈ，那么它的体积是：
Ｖ锥体＝
推论：如果圆锥的底面半径是ｒ，高是ｈ， 那么它的体积是： 1 Ｖ圆锥＝ 3 πｒ２ｈ
h h
1 Ｓｈ 3
C
r
θ
A θ B
R
说明： 小圆半径r与球半 径R及纬度的关系
O
r =R × cosθ
例1. 在半径是13cm的球面上有A,B,C三点, AB=BC=CA=12cm,求球心到经过这 三点的截面的距离.
解:由题AB=BC=CA=12cm △ABC是正三角形 则截面圆是△ABC的 外接圆,故截面圆半径
r = AB sinBAC 2
A
A 图1
图2
图3
1．下列命题中错误的是（ ） A．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个 B．圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个 C．圆台的所有平行于底面的截面都是圆面 D．圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形 2. 下列命题是真命题的是（ ） A 以直角三角形的一直角边所在的直线为轴旋转所得的 几何体为圆锥； B 以直角梯形的一腰所在的直线为轴旋转所得的旋转体 为圆柱； C 圆柱、圆锥、棱锥的底面都是圆； D 有一个面为多边形，其他各面都是三角形的几何体是 棱锥。
侧面积
与底面面积之和
2、分别作出一个圆柱、圆锥、圆台，并找出旋转轴 A
A
B
A B
C
D
B
C C
D
分别经过旋转轴作一个平面，观察得到的轴截面是 什么形状的图形.
矩 形
等腰三角形
等腰梯形
知识点一：柱、锥、台、球的表面积与侧面积
(1)柱体的侧面积 圆柱：如果圆柱的底面半径为r，母线长 为l，那么 ch S圆柱侧＝ .（类比矩形的面积）
母线：
侧面：
底面：
注意：1、高与母线的不同 2、上面三个旋转体的侧面展开图
A 母线
O B 轴 侧面
侧面展开图矩形
A
O
底面 B
Ｓ侧=底面周长×高 =２∏ｒｈ
Ｓ全=Ｓ侧+２Ｓ底
S 轴 母线 侧面 A O 底面 B
侧面展开图扇形
图 23.3.7
l弧
h l母 r
1 1 = l l母 = 2 rl母 = rl母 2 2 2 S全=S侧+S底 = rl母 r
旋转体
1、旋转面： 一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转 所形成的曲面叫作旋转面 2、旋转体： 封闭的旋转面围成的几何体叫旋转体。
1、.图（1）是由哪个平面图形旋转得到的（
）
二、圆柱、圆锥、圆台
A 母线
O B 轴 侧面
S 轴 母线 侧面 A O 底面 B
侧面 母线 A O 轴 底面 B



表面积：立体图形的所能触摸到的面积之 和叫做它的表面积。（每个面的面积相加 ） 全面积 全面积是立体几何里的概念， 相对于截面积（“截面积”即切面的面积） 来说的，就是表面积总和 侧面积指立体图形的各个侧面的面积之和 （除去底面）
1.几何体的表面积
各面面积
（1 ）圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是 之和 、 形 扇形 、 ；它们的表面积等于 . 扇环形 矩
= R2 - d 2
O
R r
P
d
C
α
O1 O
A
令OA = R, O1 A = r 则OO = R - r
2 1 2 2
球面被经过球心的 平面所截得的圆叫 做大圆
o
球面被不经过球心 的截面所截得的圆 叫做小圆
dO
C
某点纬度— 经过该点的球半径与 赤道面所成的角的度 数等于球半径和纬线 圈所在平面的半径的 夹角。
S = ( r r 2 r ' l rl )
S = 2 r 2 2 rl = 2 r (r l )
例3：圆台的上、下底面半径分别为2 和4，高为 2 3 ，求其侧面展开图扇环 所对的圆心角 答：1800 分析：抓住相似三角形中的相似比是解 题的关键 小结：1、抓住侧面展开图的形状，用好 相应的计算公式，注意逆向用公式；
第三步：转化为球的表面积
hi
Si
如果网格分的越细,则: “小锥体”就越接近小棱锥。
R
O
hi 的值就趋向于球的半径R Vi 1 Vi = S i R 3 1 1 1 1 Si V = Si R S2 R S3 R ... Sn R 3 3 3 3 1 1 = R( S i S 2 S3 ... S n ) = RS 3 3 Vi 4 3 ② 球的体积: V = R 3 由①② 得:
A
O
底面 B
A 母线
O B 轴 侧面
S 轴 母线 侧面 A O 底面 B
侧面 母线 A O 轴 底面 B
A
O
底面 B
圆柱、圆锥、圆台的定义
侧面展开图扇环
分别以 矩形的一边、直角三角形的一条直角边、直角梯形垂直于底边的腰 所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体分 别叫作圆柱、圆锥、圆台。 高：
①
S = 4πR
2
设球的半径为R，则球的体积公式为 V球＝ .
4∕3πR3 例1．若球O1、O2表面积之比＝4，则 它们的半径之比＝______.
R1 解析：S 球＝4πR ，故 ＝ R2
2
S1 ＝ 4＝2. S2
答案：2
S侧=S扇形
思考3：平行于圆柱底面的截面，经过 圆柱任意两条母线的截面分别是什么图 形？
思考4：经过圆柱的轴的截面称为轴截面， 你能说出圆柱的轴截面有哪些基本特征 吗？
柱、锥、台体的关系
柱
台
锥
体
上底扩大
体
上底缩小
体
理论迁移
例1 将下列平面图形绕直线AB旋转 一周，所得的几何体分别是什么？
B B B A
§1
简单旋转体
观察上面的图片，这些图片中的物体具有什么几 何结构特征？你能对它们进行分类吗？
1.1简单旋转体
一、球 定义： 以半圆的直径所在直线为旋转轴，将半
圆旋转所形成的曲面叫作球面。球面所围成 的几何体叫做球体，简称球.
A O
半 径
B
球心
用一个平面去截一个球,所得截面是什么图形？
圆面
PC = OP 2- OC 2
思考：把圆柱、圆锥、圆台的侧面分别沿着一条母线 展开，分别得到什么图形?展开的图形与原图 有什么关系？
扇形
n l l扇＝ 180
2
R扇＝l
l
r
nl 1 S圆 锥 侧 ＝S扇＝ = l扇l = rl 360 2
2 r
l
r O
圆锥的侧面展开图是扇形
S = r rl = r (r l )
A B D C
3 a 因为BC=a，SD = SB sin 60 = 2

交BC于点D．
S ABC 所以：
1 1 3 3 2 = BC SD = a a= a 2 2 2 4
因此，四面体S-ABC 的表面积．
问题:锥体(棱锥、圆锥）的体积
3.1．锥体（棱锥、圆锥）的体积
（底面积S，高h）
S D C D C
O A
A
B
A
B
B
矩形ABCD
等腰三角形sAB
等腰梯形ABCD
圆O
[知识能否忆起]
一、旋转体的形成 几何体 圆柱 圆锥 圆台 球 旋转图形 矩形 旋转轴
任一边 所在的直线 所在的直线 直角三角形 一条直角边 垂直于底边的腰 所在的直 直角梯形 线 直径 所在的直线 半圆
表面积、全面积和侧面积
1
O
= 4 3 (cm) 则可得
R
d r
B
A
E
C
2 2 = d R r = 11(cm)
课堂练习
用一个平面截半径为25cm的球,截面面积 2 是49πcm ,求球心到截面的距离.
变式 已知球的半径为25cm,被两个平行平 2 面所截,两个截面的面积分别49πcm 2 和225πcm ,求两个截面之间的距离.
2
思考：把圆柱、圆锥、圆台的侧面分别沿着一条母线 展开，分别得到什么图形?展开的图形与原图 有什么关系？
扇环
r1
r2
l
S圆台侧 ＝S扇环＝（r1 r2 )l
圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？
l
r
O
r 'O
’
l
r
O
l
O
'2
r
O
S = r 2 rl = r (r l )
S
S
S
知识点二．柱、锥、球的体积
(1)长方体的体积 Sh V长方体＝abc＝ . (其中a、b、c为长、宽、高， S为底面积，h为高) (2)柱体(圆柱和棱柱)的体积 V柱体＝Sh. 其中，V圆柱＝πr2h(其中r为底 面半径)．
探究
球的体积：
一个半径和高都等于R的圆柱，挖去一个 以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥 后，所得的几何体的体积与一个半径为R的 半球的体积相等。
R
O
R
R R O
1 2 3 1 2 2 V球 = πR R - πR R = πR 2 3 3
4 3 V球 = πR 3
R
OBiblioteka Baidu
R
R R O
知识点三、球的表面积和体积
（
第一步：分割
球面被分割成n个网格， 表面积分别为：
S1，S 2，S3 ...S n
O 则球的表面积：
S = S1 S2 S3 ... Sn