2020届华大新高考联盟原创冲刺模拟试卷(十八)理科数学
2020届华大新高考联盟名校高三押题考试数学(理)试题(解析版)
2020届华大新高考联盟名校高三押题考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合(){}2ln 23A x y x x ==--，集合{}23B x x =-<，则AB =（ ）A ．{}1x x <- B ．{}3x x >C ．{}13x x -<<D ．{}35x x <<【答案】D【解析】本题首先可以通过计算得出集合{3A x x =>或}1x <-以及集合{}15B x x =-<<，然后通过交集的相关性质即可得出结果.【详解】因为2230x x -->，即()214x ->，解得3x >或1x <-， 所以集合{3A x x =>或}1x <-， 因为23x -<，解得15x -<<， 所以集合{}15B x x =-<<， 故{}35A B x x ⋂=<<， 故选：D. 【点睛】本题考查集合的运算，主要考查交集的相关性质，考查对数函数的定义域以及绝对值不等式的解法，考查计算能力，体现了基础性与综合性，是简单题. 2．已知复数z 满足()()()13i 1i 3i z -=++，则z 的共轭复数为（ ） A ．1i -- B ．1i +C ．1i -+D ．1i -【答案】A【解析】转化()()()13i 1i 3i z -=++为()()1i 3i 13iz ++=-，再利用复数的乘除法运算计算即可. 【详解】解：由题知()()()()()()1i 3i 2413241010===113i 13131310i i i i z i i i i +++++-+==-+---+， 所以z 的共轭复数为1i --.故选：A.【点睛】本题考查复数的乘除法运算，共轭复数的概念，是考查数学运算能力，是基础题. 3．随着电商行业的蓬勃发展，快递行业近几年也保持着增长的态势，我国已经成为快递大国，快递业已成为人民群众生活的“必需品”.下图是2015年—2019年，我国对快递行业发展的统计图.下面描述错误的是（）A．从2015到2019年，我国快递业务量保持逐年增长的趋势B．2016年，快递业务量增长速度最快C．从2016到2019年，快递业务量增长速度连续上升D．从2016到2019年，快递业务量增长速度逐年放缓【答案】C【解析】本题首先可以结合图像判断出A正确，然后求出从2016到2019年每一年的快递业务量增长率，即可得出结果.【详解】结合图像易知，我国快递业务量保持逐年增长的趋势，A正确，2016年，快递业务量增长率为312.8206.710051206.7％％；2017年，快递业务量增长率为400.6312.810028312.8％％；2018年，快递业务量增长率为507.1400.610027400.6％％；2019年，快递业务量增长率为635.2507.110025507.1％％；故2016年的快递业务量增长速度最快，B正确，从2016到2019年，快递业务量增长速度逐年放缓，C错误，D正确，故选：C.【点睛】本题主要考查学生对增长率的理解，能否从题意中找出需要的信息是解决本题的关键，考查计算能力，是简单题.4．设2log 3a =，4log 6b =，8log 9c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b c a << B ．c b a <<C ．a c b <<D ．c a b <<【答案】B【解析】利用对数运算，化为同底的对数，再利用对数函数单调性比较大小即可. 【详解】解：∵ 2422221log 6log 6log 6log 6log 32b a ====<=， ∴ a b > ∵ 33822221log 9log 9log 9log 9lo 3g 6c b ====<=，∴ b c > 综上a b c >>. 故选：B. 【点睛】本题考查了对数的运算，对数函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．5．函数()1cos 1x x e f x x e +=⋅-的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】首先根据()f x 奇函数，排除A 、D ，再根据02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π，()10f >，排除C ，即可得到答案。
2020年湖北省华大新高考联盟名校高考数学模拟试卷(理科)(5月份)
2020年湖北省华大新高考联盟名校高考数学模拟试卷（理科）（5月份）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合{}|13,|2A x x B x y x ⎧=<<==⎨⎬-⎩⎭，则(A B =U ) A ．{|12}x x <„B ．{|23}x x <<C ．{|23}x x <„D ．{|1}x x >2．（5分）如图来自中国古代的木纹饰图．若大正方形的边长为6个单位长度，每个小正方形的边长均为1个单位长度，则在大正方形内随机取一点，此点取自图形中小正方形内的概率是( )A ．136B ．19C ．16D ．293．（5分）设有下面两个命题：那么下列命题中，真命题是( ) 1p ：复数z R ∈的充要条件是z z =； 2p ：若复数z 所对应的点在第一象限，则复数zi所对应的点在第四象限， A ．12p p ∧ B ．12()p p ⌝∧ C ．12()p p ∧⌝ D ．12()()p p ⌝∧⌝4．（5分）已知数列{}n a 为等差数列，若2533a a a +=，且4a 与72a 的等差中项为6，则5(a =)A ．0B ．1C ．2D ．35．（5分）已知定义在R 上的函数()3sin 21f x x x =-+，则()f x 的最大值与最小值之和等于( )A ．0B ．1C ．2D ．36．（5分）41(1)(2)x x x-++g 的展开式中x 的系数是( ) A ．10B ．2C ．14-D ．347．（5分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形．记该几何体的外接球的体积为1V ，该几何体的体积为2V ，则1V 与2V 的比值为( )A ．94π B ．98π C ．109πD ．329π8．（5分）如图所示的程序框图是为了求出满足1352020n +++⋯+…的最大正奇数的值，那么在框中，可以填( )A ．“输出4i -”B ．“输出2i -”C ．“输出1i -”D ．“输出i ”9．（5分）已知函数()32cos 2f x x x =-在区间[0,]2π上当x θ=时取得最大值，将()f x 的图象向左平移θ个单位得到函数()g x 的图象，则( ) A ．()2cos2g x x = B ．.()2cos2g x x =- C ．()32cos 2g x x x =+D ．.()32cos 2g x x x =--10．（5分）已知双曲线22143x y -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线与双曲线的左支交于A 、B 两点，若260AF B ∠=︒，则△2AF B 的内切圆半径为( )A ．43B ．23C ．23D ．211．（5分）数学上有很多著名的猜想，角谷猜想就是其中之一，它是指对于任意一个正整数，如果是奇数，则乘3加1．如果是偶数，则除以2，得到的结果再按照上述规则重复处理，最终总能够得到1．对任意正整数0a ，记按照上述规则实施第n 次运算的结果为()n a n N ∈，则使71a =的0a 所有可能取值的个数为( ) A ．3B ．4C ．5D ．612．（5分）已知实数a 、b 满足23log log a b =，给出五个关系式：其中不可能成立的关系式有( ) ①b a a b <； ②a b a b =； ③b a a b >； ④b a a a <； ⑤b a b b <． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）如图所示，A 、B 是圆O 上的两点，若2AB AO =u u u r u u u r g ，则弦AB 长为14．（5分）已知实数x 、y 满足2122x x y y x ⎧⎪+⎨⎪-⎩„…„，则2z x y =+的最小值为 ． 15．（5分）已知抛物线2x y =的焦点为F ，过F 作两条夹角为30︒的直线m 、n ，直线m 与抛物线交于点P 、Q ，直线n 与抛物线交于点M 、N ，则11||||PQ MN +的最小值为 ． 16．（5分）在四楼锥P ABCD -中，四边形ABCD 是边长为2的菱形，60DAB ∠=︒，PA PD =，90APD ∠=︒，平面PAD ⊥平面ABCD ，Q 点是PBC ∆内的一个动点（含边界），且满足DQ AC ⊥，则Q 点所形成的轨迹长度是 ．三、解答题：共70分．解箐应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作簀．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）设ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，满足1sin cos sin cos 2a B C c B Ab +=且a b >．（1）求角B 的大小；（2）若1b =，BC 边上的中线AM 的长为12a ，求ABC ∆的面积．18．（12分）在四棱锥P ABCD -中，23BC BD DC ===，2AD AB PD PB ====，2PA =． （1）求证：平面PBD ⊥平面ABCD ； （2）求二面角C PD B --的余弦值．19．（12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>3．点2)在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点(0,2)P -任作椭圆C 的两条相互垂直的弦AB 、CD ，设M 、N 分别是AB 、CD 的中点，则直线MN 是否过定点？若过，求出该定点坐标；若不过，请说明理由． 20．（12分）近年来．我国肥胖人群的规模急速增长，肥胖人群有很大的心血管安全隐患．目前，国际上常用身体质量指数(,)BodyMassIndex BMI 来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是()()22::kg BMI m=体重单位身高单位中国成人的BMI 数值标准为：18.4BMI …为偏瘦；18.523.9BMI 剟为正常；2427.9BMI 剟为偏胖；28BMI >为肥胖．为了解某公司员工的身体质量指数，研究人员从公司员工体检数据中，抽取了8名员工（编号1~8)的身高()x cm 和体重()y kg 数据，并计算得到他们的BMI 值（精确到0.1)如表： 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 身高()cm 164 176 165 163 170 172 168 182 体重()kg60727754●●7255。
华大新高考联盟名校2020年5月高考预测考试 理科数学答案
【解析】巾a2+a5=3a3 可知a3 +a4=3a3 ，所以a4=2a3 ；又a4 与2a7的等差中项为6，所以a4 +2a7=12,
即2a3+2a7=12，而2a5=a3 +a7=6，故a5=3，故选D.
5.【答案】C
【解析】因为xER，令g(x) =3sinx — 2x，则g（— x) =3sin ( — x) — 2X ( — x) ＝— 3sinx十2x=—g(x)'
综上，满足 条件的ao的值共有6个，故选D.
12.【答案】B
【解析】由log2a=log少知l<a<b或a=b=l或O<h<a<l;当a=b=l时，＠成立， 其他四个不成立； 当O<h<a<I时，有 ab>h'a ab>a'a hb>h"，即＠成立，＠＠不成立；当I<a<h，取a= 2 ,b= 3 满足题 设条件，此时ab= 2 3=8 <9= 32=b勹也成立，ab>矿，bb>片，＠＠不成立．综上，只有＠＠不可能成立，
9.【答案】A
t) 【解析】卢）—点sin2x-cos2x—2sin(2x— ； 当xE[ o 分］时，2x-fE[— 飞早］，
故当2x 卫6 —卫2 即x—互3 时，f(x) 取得最大值 ，所以0—卫3 ；
理科数学参考答案和评分标准 第1 页（共6页）
仁 从而g(x)= f(x+f) = 2sin (x+f) — � ] = 2sin(zx+f) = 2 cos2x，故选A.
0在线段SD上，连接OA．设外接球半径为r，则有（点
r)
2+1
华大新高考联盟名校2020年5月份理科数学试题答案
机密★启用前华大新高考联盟名校2020年5月高考预测考试理科数学本试题卷共4页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★视考试顺利★注意事项：1．答题前.先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号、条形码贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答；每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．填空題和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷，草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．选考题的作答，先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区城内。
写在试题卷.草稿纸和答题卡上的非答题区城均无效。
5．考试结束后，请将答题卡上交。
一 .选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}13A x x =<<，=2B x y x ⎧=⎨⎬-⎩⎭则A B ⋃=（ ） A ．{}12x x <≤B ．{}3|2x x <<C ．3|}2{x x ≤<D ．{}1|x x >2．右图来自中国古代的木纹饰图.若大正方形的边长为6个单位长度，每个小正方形的边长均为1个单位长度，则在大正方形内随机取一点，此点取自图形中小正方形内的概率是（ ）A ．136B ．19C ．16D ．293．设有下面两个命题：1p ：复数z R ∈的充要条件是z z =；2p ：若复数z 所对应的点在第一象限，则复数zi所对应的点在第四象限，那么下列命题中，真命题是（ ） A ．12p p ∧B ．()12p p ⌝∧C ．()12p p ∧⌝D ．()()12p p ⌝∧⌝4．已知数列{}n a 为等差数列，若2533a a a +=，且4a 与72a 的等差中项为6.则5a =（ ） A ．0B ．1C ．2D ．35．已知定义在R 上的函数()3sin 21f x x x =-+，则()f x 的最大值与最小值之和等于（ ）A ．0B ．1C ．2D ．36．()4112x x x ⎛⎫-⋅++ ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数是（ ）A 10 B.2 C ．-14 D ．347．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形.记该几何体的外接球的体积为1V ，该几何体的体积为2V ，则1V 与2V 的比值为（ ）A ．94π B ．98π C ．109πD ．329π8．如图所示的程序框图是为了求出满足1352020n +++⋅⋅⋅+≤的最大正奇数的值，那么在框中，可以填（ ）A ．“输出4i -B ．“输出2i -C ．“输出1i -D ．“输出i9．已知函数()3sin 2cos2f x x x -在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上当x θ=时取得最大值，将()f x 的图象向左平移θ个单位得到函数()g x 的图象，则（ ） A ()2cos2g x x =B ．()2cos2g x x =-C ()3sin 2cos2g x x x +D ．()3sin 2cos2g x x x =--10．已知双曲线221 43xy-=的左右焦点分别为1F、2F，过1F的直线与双曲线的左支交于A、B两点，若260AF B∠=︒，则2AF B△的内切圆半径为（）A433B233C．23D．211．数学上有很多著名的猜想，角谷猜想就是其中之一，它是指对于任意一个正整数，如果是奇数，则乘3加1.如果是偶数，则除以2，得到的结果再按照上述规则重复处理，最终总能够得到1.对任意正整数a，记按照上述规则实施第n次运算的结果为()na n N∈，则使71a=的a所有可能取值的个数为（）A．3 B．4 C．5 D．612．已知实数a、b满足23log loga b=，给出五个关系式：①b aa b<；②a ba b=；③b aa b>；④b aa a<；⑤b ab b<其中不可能成立的关系式有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
华大新高考联盟2020届高三4月教学质量测评数学(理)试题及答案
机密★启用前华大新高考联盟2020届高三4月教学质量测评理科数学本试题卷共4页.23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝#试顺利★注意事项：1 .答短前.先将fl己的姓名■准考iE弓域可在答距长上.并将准琴江号条形研财在答恩K上的指定位2.逸押IS的作答：侦小应燃目的答案愫勺涂黑・耳在试K上的区域均无效.3.填空*和解答题的作答：用签字笔宜接答在容愆卡上酉应的答题IK域内.写在试题尝,草SI纸和答W卡上的菲答题区域均无效.4.选考也的作答■先把所送趣口的醴号在答粗N上指定的位置用2B松宅涂SL答宝珂在答履卞上对应的谷（SH域内" 。
在武!»■・草棉舐和答的|?上的曹咨IS风域均无效.5 .考试培束后.崎将谷曜卡上交.-、选择题：本题共12小越，每小越5分，共60分，在每小题纶出的四个选项中，只有一项是符合题目萋求的。
1.已W?»r»l+4-.则r •iA.OB.1C.72D.22.设«^A-{xlx＞3}-B-Ullog＞（x-a»0|.Wa=3 是8UA 的A .充分不必要条件 B.2要不充分条件C充妾条件 D.既不充分又K必要条件3.i殳等是数列修」的前〃顼和为S..已知七5s,+., 30.岫S«A.85B.97C.100D.1754.槐晋时期的数学家弟薇首创常剧术.为计算圈周率建星『严密的戒论即完脊的算法.所时割倒术.就是以间内按正多边形的而枳.来无限逼近同血枳.对澈形容他的利同术说,•割之弥细.所失弥少.割之又割.以至丁木讨刮.则勺网合体.而尤所失矣...比；I企一1盘内■一内按正I二边形•将loottSTM机撤入间盘内.发现只右I粒豆子不在正十.边形内.据此实羚估计网周宇的近似值为A-T R 16r22C T n T5.已tU^=lg2.>»-ln3.c ~ log,3•则A.《rVz VyB.Vy<rC.x<y<t\lz<T<y6 .执行如图所示程序也图.设输出教据构成集合人•从集合人中任取一个兀素m,则事件“函敢fM）=/+”rr在［0・+c＞上是增雨数”的借率为理科教学忒题第1页（共4贞〉7 .设/(x).g(r)分别为定义在-5 I的奇函牧和偶函数.日/(”+g(«r) = 2e，cgr(e为自然对数的底j = /(x)-«(x)的图象大致为&某病。
华大新高考联盟2020届高三4月教学质量测评数学(理)试卷含答案
机密★启用前华大新高考联盟2020届高三4月教学质量测评理科数学本试题卷共4页,23题(含选考题) . 全卷满分150分. 考试用时120分钟.★祝考试顺利★注意事项:1．答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置.2．选择题的作答:每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．填空题和解答题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内. 写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4．选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑. 答案写在答题卡上对应的答题区域内. 写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.5．考试结束后,请将答题卡上交.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z ＝1＋1i,则z z⋅=A ．0B ．1CD ．22．设集合A ＝{x | x ＞3} ,B ＝{x | l og3(x －a ) ＞0} ,则a ＝3是B ⊆A 的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3．设等差数列{}n a的前n 项和为S n ,已知a3＝5,a7＋a9＝30,则S10＝A ．85B ．97C ．100D ．1754．魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术, 为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法．所谓割圆术, 就是以圆内接正多边形的面积,来无限逼近圆面积．刘徽形容他的割圆术说: “割之弥细, 所失弥少, 割之又割, 以至于不可割,则与圆合体,而无所失矣．”某学生在一圆盘内画一内接正十二边形, 将100粒豆子随机撒入圆盘内,发现只有4粒豆子不在正十二边形内．据此实验估计圆周率的近似值为A ．10B ．16C ．22D ．255．已知x ＝lg2,y ＝ln3,z ＝log23,则A ．x ＜z ＜yB ．z ＜y ＜xC ．x ＜y ＜zD ．z ＜x ＜y6．执行如图所示程序框图, 设输出数据构成集合A , 从集合A 中任取一个元素m ,则事件“函数f (x ) ＝x2＋mx 在[0, ＋∞ )上是增函数”的概率为A ．14B ．12C ．34D ．357．设f (x ) ,g (x )分别为定义在[－π,π] 上的奇函数和偶函数,且f (x ) ＋g (x ) ＝2e x cosx (e 为自然对数的底数) ,则函数y ＝f (x ) －g (x )的图象大致为8．某病毒研究所为了更好地研究“新冠”病毒,计划改建十个实验室,每个实验室的改建费用分为装修费和设 备费,每个实验室的装修费都一样,设备费从第一到第十实验室依次构成等比数列, 已知第五实验室比第二实验室的改建费用高42万元,第七实验室比第四实验室的改建费用高168万元, 并要求每个实验室改建费用不能超过1700万元．则该研究所改建这十个实验室投入的总费用最多需要A ．3233万元B ．4706万元C ．4709万元D ．4808万元9．设点F 为抛物线y 2＝16x 的焦点,A ,B ,C 三点在抛物线上, 且四边形 ABCF 为平行四边形, 若对角线| BF | ＝5(点B 在第一象限) ,则对角线 AC 所在的直线方程为 A ．8x －2y －11＝0 B ．4x －y －8＝0C ．4x －2y －3＝0D ．2x －y －3＝010．设函数f(x) ＝2|sinx| ＋sinx ＋2cos2,给出下列四个结论: ①f (2) ＞0; ②f (x )在5(3,)2ππ--上单调递增; ③f (x )的值域为[－1＋2cos2,3＋2cos2] ; ④f (x )在[0,2π] 上的所有零点之和为4π．则正确结论的序号为A ．①②B ．③④C ．①②④D ．①③④11．设点F 1,F 2分别为双曲线C : 22221x y a b-= (a ＞0,b ＞0)的左、右焦点,点 A ,B 分别在双曲线C 的左、右支上,若211226,F B F A AF AB AF ==⋅u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r ,且22AF BF >u u u u r u u u u r ,则双曲线C 的离心率为A ．177B ．135C D 12．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中, 点 M , N ,P 分 别 在 A A 1,A 1D 1, D 1C 1上, M 为 A A 1 的 中点,11112A N C P ND PD ==,过点 A 作平面α ,使得BC1⊥α ,若α ∩ 平面 A 1B 1C 1D 1＝m ,α ∩平面 MNP ＝n ,则直线 m 与直 线n 所成的角的正切值为A ．7B ．7C ．7D ．2二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13．在621()2x x -的展开式中,常数项为______(用数字作答) ． 14．在等腰直角△ABC 中, AB ＝2, ∠BAC ＝90° , A D 为斜边BC 的高, 将△ABC 沿A D 折叠, 使二面角B-A D-C 为60° ,则三棱锥A-BCD 的外接球的表面积为________．15．在△ABC 中,AB ＝5,AC ＝4,BC ＝3,已知 MN 为△ABC 内切圆的一条直径, 点P 在△ABC 的外接圆上,则P M→��N→的最大值为___________．16．用符号[x ] 表示不超过x 的最大整数,例如: [0．6] ＝0; [2．3] ＝2; [5] ＝5．设函数f (x ) ＝ax 2－2ln 2(2x )＋(2－ax 2)ln (2x )有三个零点x 1,x 2,x 3(x 1＜x 2＜x 3) , 且[x 1] ＋[x 2] ＋[x 3] ＝3, 则a 的取值范围是_____________。
华大新高考联盟名校2020届高三押题考试理科数学试题
华大新高考联盟名校2020届高三押题考试理科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合(){}2ln 23A x y x x ==--，集合{}23B x x =-<，则AB =（ ）A ．{}1x x <-B ．{}3x x >C ．{}13x x -<<D ．{}35x x <<2．已知复数z 满足()()()13i 1i 3i z -=++，则z 的共轭复数为（ ） A ．1i --B ．1i +C ．1i -+D ．1i -3．随着电商行业的蓬勃发展，快递行业近几年也保持着增长的态势，我国已经成为快递大国，快递业已成为人民群众生活的“必需品”.下图是2021年—2021年，我国对快递行业发展的统计图.下面描述错误的是（ ）A ．从2015到2021年，我国快递业务量保持逐年增长的趋势B ．2021年，快递业务量增长速度最快C ．从2016到2021年，快递业务量增长速度连续上升D ．从2016到2021年，快递业务量增长速度逐年放缓4．设2log 3a =，4log 6b =，8log 9c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b c a <<B ．c b a <<C ．a c b <<D ．c a b <<5．函数()1cos 1x x e f x x e +=⋅-的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．6．2021年湖北抗击新冠肺炎期间，全国各地医护人员主动请缨，支援湖北.某地有3名医生、6名护士来到武汉，他们被随机分到3家医院，每家医院1名医生、2名护士，则医生甲和护士乙分到同一家医院的概率为（ ） A ．16B ．12C ．19D ．137．ABC 中，M 、N 分别是BC 、AC 上的点，且2BM MC =，2AN NC =，AM 与BN 交于点P ，则下列式子正确的是（ ） A ．3142AP AB AC =+ B ．1324AP AB AC =+ C ．1124AP AB AC =+ D ．1142AP AB AC =+ 8．珠穆朗玛峰是印度洋板块和欧亚板块碰撞挤压形成的．这种挤压一直在进行，珠穆朗玛峰的高度也一直在变化．由于地势险峻，气候恶劣，通常采用人工攀登的方式为珠峰“量身高”．攀登者们肩负高精度测量仪器，采用了分段测量的方法，从山脚开始，直到到达山顶，再把所有的高度差累加，就会得到珠峰的高度．2021年5月，中国珠峰高程测量登山队8名队员开始新一轮的珠峰测量工作．在测量过程中，已知竖立在B 点处的测量觇标高10米，攀登者们在A 处测得到觇标底点B 和顶点C 的仰角分别为70°，80°，则A 、B 的高度差约为（ ）A ．10米B ．9.72米C ．9.40米D ．8.62米9．双曲线C 的方程为：22221x y a b-=（0a >，0b >），过右焦点F 作双曲线一条渐近线的平行线，与另一条渐近线交于点P ，与双曲线右支交于点M ，点M 恰好为PF 的中点，则双曲线的离心率为（ ） AB ．2CD ．310．ABC 中，sin 2sin cos 0A B C +=sin B C =，则cos C （ ） A ．12B．2C ．12-D． 11．已知函数()2ln ,043,0x x f x x x x >⎧=⎨++≤⎩，若关于x 的方程()f x a =恰好有4个实根1x ，2x ，3x ，4x ，则1234x x x x 的取值范围是（ ）A ．()2,+∞B ．[)2,+∞C ．()0,2D ．[)0,212．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，点E ，F 分别在棱1C C ，11D C 上，且12C E EC =，112D F FC =，下列命题：①异面直线BE ，CF 所成角的余弦值为310；②过点B ，E ，F 的平面截正方体，截面为等腰梯形；③三棱锥1B BEF -的体积为32；④过1B 作平面α，使得AE α⊥，则平面α有真命题的序号为（ ） A ．①④ B ．①②③C ．①③④D ．①②③④二、填空题13．已知实数x ，y 满足约束条件01010y x x y y -≤⎧⎪+-≤⎨⎪+≥⎩，则31z x y =++的最大值为______．14．函数()()2e xf x x =-在点()()22f ,处的切线方程为______．15．过抛物线2:C x y =的焦点F 作两条互相垂直的弦AC ，BD ，则四边形ABCD 面积的最小值为______．三、双空题16．如图有标号为1，2，3的三根柱子，在1号柱子上套有n 个金属圆片，从下到上圆片依次减小.按下列规则，把金属圆片从1号柱子全部移到3号柱子，要求：①每次只能移动一个金属圆片；②较大的金属圆片不能在较小的金属圆片上面．（1）若3n =时，至少需要移动______次；（2）将n 个金属圆片全部移到3号柱子，至少需要移动______次．四、解答题17．已知函数()()2sin 22cos 06f x x x πωωω⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭的周期为π． （1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）若()12f x ≥，求x 的取值范围． 18．如图，ABC ，ACD △，ABE △均为正三角形，2AB =，AB 中点为O ，将ABE △沿AB 翻折，使得点E 折到点P 的位置．（1）证明：CD ⊥平面POC ；（2）当PC =B PCD --的余弦值．19．在平面直角坐标系中，已知点()2,0A -，()2,0B ，动点P 满足34PA PB k k =-． （1）求点P 的轨迹方程C ；（2）过()1,0F 的直线交曲线C 于M ，N 两点，MN 的中点为Q ，O 为坐标原点，直线OQ 交直线4x =于点E ，求EFMN的最小值．20．某县自启动精准扶贫工作以来，将伦晩脐橙种植作为帮助农民脱贫致富的主导产业.今年5月，伦晩脐橙喜获丰收.现从已采摘的伦晩中随机抽取1000个，测量这些果实的横径，得到如图所示的频率分布直方图．（1）已知这1000个伦晩脐橙横径的平均数72.5x =，求这些伦晩脐橙横径方差2s ． （2）根据频率分布直方图，可以认为全县丰收的伦晚横径值X 近似服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s ．（ⅰ）若规定横径为66.4~84.7mm 的为一级果，则从全县丰收的果实中任取一个，求恰好为一级果的概率；（ⅱ）若规定横径为84.7mm 以上的为特级果，现从全县丰收果实中任取一个进行进一步分析，如果取到的不是特级果，则继续抽取下一个，直到取到特级果为止，但抽取的总次数不超过n ，如果抽取次数ξ的期望值不超过8，求n 的最大值．5.9=6.1=，70.9750.838=，80.9750.817=，90.9750.796=， 若()2~,X Nμσ，则()0.68P X μσμσ-<<+=，()220.95P X μσμσ-<<+=）21．已知函数()1esin xf x x -=．（1）求()f x 在()0,2π上的单调区间； （2）证明：对任意的11,2x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，不等式()()()1122e cos sin 10xf x f x x x -'⎡⎤----+<⎣⎦恒成立．22．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1122:1x t C y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），224:4x m C y m ⎧=⎨=⎩（m 为参数）（1）将1C 、2C 的参数方程化为普通方程；（2）曲线1C 与2C 交于A 、B 两点，点()2,1P ，求11PA PB-的值． 23．已知函数()|4||1|f x x x =-+-，x ∈R . （1）解不等式：()5f x ≤；（2）记()f x 的最小值为M ，若实数a ，b 满足22a b M +=，试证明：22112213a b +≥++.参考答案1．D 【分析】本题首先可以通过计算得出集合{3A x x =>或}1x <-以及集合{}15B x x =-<<，然后通过交集的相关性质即可得出结果. 【详解】因为2230x x -->，即()214x ->，解得3x >或1x <-， 所以集合{3A x x =>或}1x <-， 因为23x -<，解得15x -<<， 所以集合{}15B x x =-<<， 故{}35A B x x ⋂=<<， 故选：D. 【点睛】本题考查集合的运算，主要考查交集的相关性质，考查对数函数的定义域以及绝对值不等式的解法，考查计算能力，体现了基础性与综合性，是简单题. 2．A 【分析】转化()()()13i 1i 3i z -=++为()()1i 3i 13iz ++=-，再利用复数的乘除法运算计算即可.【详解】 解：由题知()()()()()()1i 3i 2413241010===113i 13131310i i i i z ii i i +++++-+==-+---+，所以z 的共轭复数为1i --. 故选：A . 【点睛】本题考查复数的乘除法运算，共轭复数的概念，是考查数学运算能力，是基础题. 3．C 【分析】本题首先可以结合图像判断出A 正确，然后求出从2016到2021年每一年的快递业务量增长率，即可得出结果. 【详解】结合图像易知，我国快递业务量保持逐年增长的趋势，A 正确，2021年，快递业务量增长率为312.8206.710051206.7％％； 2021年，快递业务量增长率为400.6312.810028312.8％％； 2021年，快递业务量增长率为507.1400.610027400.6％％； 2021年，快递业务量增长率为635.2507.110025507.1％％；故2021年的快递业务量增长速度最快，B 正确，从2016到2021年，快递业务量增长速度逐年放缓，C 错误，D 正确， 故选：C. 【点睛】本题主要考查学生对增长率的理解，能否从题意中找出需要的信息是解决本题的关键，考查计算能力，是简单题. 4．B 【分析】利用对数运算，化为同底的对数，再利用对数函数单调性比较大小即可. 【详解】解：∵ 2422221log 6log 6log 6log log 32b a ====<=， ∴ a b >∵ 3822221log 9log 9log 9log lo 3g c b ====<=，∴ b c > 综上a b c >>. 故选：B. 【点睛】本题考查了对数的运算，对数函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题． 5．B 【分析】首先根据()f x 奇函数，排除A 、D ，再根据02f ⎛⎫=⎪⎝⎭π，()10f >，排除C ，即可得到答案。
华大新高考联盟名校(2020年05月份高考预测考试 数学(理)含答案
华大新高考联盟名校2020年5月高考预测考试理科数学参考答案和评分标准一、选择题1.【答案】D 扫码关注查询成绩【解析】由x —2>0得x>2,则B ={x x>2}; 又A ={x l<x<3}, 则AUB ={xlx>l},故选D .2.【答案】D8 2 【解析】在大正方形内随机取一点，则此点取自图形中小正方形的概率为＝—，故选D .6X 6 9 3.【答案】A 【解析】设z =a+bi,a,bER, 则zER号=O已z =乏,P 1为真命题；若在复平面内复数z 所对应的点在第一z a+bi 象限，则a>趴b>O,而----:-=. =b —ai, 故三所对应的点(b,—a)在第四象限，P z 为真命题，所以P 1/\仇为真命题，故选A .生【答案】D 【解析】巾a 2+a 5=3a 3可知a 3+a 4 =3a 3, 所以a 4=2a 3; 又a 4与2a 7的等差中项为6'所以a 4+2a 7=12,即2a 3+2a 7 = 12, 而2a 5=a 3 +a 7 =6, 故a 5=3,故选D .5.【答案】C 【解析】因为xER,令g(x)=3sinx —2x,则g(—x)= 3sin (—x)—2X (—x)=—3sinx十2x =—g(x)'故g(x)为奇函数，g(x)的最大值和最小值的和为O;又g(x) = f(x)—1, [g (x ) J max + [g (x) l run = [f (x) J max —1 +[J(x)J min —l =O, 所以[f(x)]max +[J(x)匕=2,故选C.6.【答案】C【解析】因为(1—x)•(x+』+2)= (1—x)• (石＋—r ) ;(石＋上)8的展开式的通项公式为T =x 石户1c;c石）8—侵）r =C�x 4—r '所以(1—x)•(x+ l +2 的展开式中x 的系数为C尸c:=—14,故选C.X f 7.【答案】D 【解析】由三视图还原为空间几何体，如图所示，取AB 的中点D ,连接SD ,易知球心0在线段S D 上，连接OA .设外接球半径为r,则有（点r)2+1—r z '解得r —2屈3 4 3 32点1 1 J3故V 1——订—3 27 穴，而该几何体体积为V 2——X —X2X l X岛—3 2 3 ，则V 1与32 忆的比值为—穴，故选D .9 8.【答案】A 【解析】由千满足1+3+5+…+n>2020后，此时1值比程序要求的1值多2,又执行了一次i =i+2,故输出的应为1—4,故选A .9.【答案】A s【解析】卢）—点sin2xcos2x —2sin(2x —t ); 当xE [ o 分］时，2x f E [—飞早］，故当2x 卫—卫即x —互时，f(x)取得最大值，所以0—卫；6 2 3 3 理科数学参考答案和评分标准第1页（共6页）。
2020届华大新高考联盟原创精准预测考试(十八)理科数学
2020届华大新高考联盟原创精准预测考试（十八）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷 客观题 (共60分)一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1．已知集合M ＝｛x |20(1)x x ≥-｝，N ＝｛y |y ＝3x 2＋1，x ∈R ｝，则M ⋂N ＝ （ ） A ．∅ B ．{x |x ≥1} C ．｛x |x >1｝ D ．{x | x ≥0}2.已知0:≥x p ，x x q ≤2:，则p 是q 的（ ）A ．充分而不必要条件B ．既不充分也不必要条件C ．充要条件D ．必要而不充分条件3．命题“存在实数x 0,使x 0>1”的否定是( )A.对任意实数x,都有x>1B.不存在实数x 0,使x 0≤1C.对任意实数x,都有x ≤1D.存在实数x 0,使x 0≤14．函数2132y x x =--的定义域为（ ）A.()1,3- B .[]3,1 C.[]1,3- D.[]1,05． 下列四组函数中,表示同一函数的是（ ）A ．2(),()f x x g x x ==B ．2(),()()f x x g x x ==C ．21(),()11x f x g x x x -==+- D ．2()11,()1f x x x g x x =+⋅-=- 6.函数y=log 4(x 2－4x+3)的单调减区间是( )Ａ (－∞，２) Ｂ(－∞，１) Ｃ（１，３） Ｄ（３，＋∞）7、函数()3x f x =的图像是（ ）8.方程3log 3=+x x 的解所在的区间是（ ）A 、(0,1)B 、(1,2)C 、(2,3) D(3,+∞)9.已知0.1 1.32log 0.3,2,0.2a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．b c a <<10. 已知函数()f x 在1x =处的导数为1，则 0(1)(1)3lim x f x f x→--= ( ) A ．13- B ．3 C ． 13 D ．32- 11.已知偶函数f(x)在()+∞,0上单调递增，则不等式()⎪⎭⎫ ⎝⎛<-3112f x f 的解集为（ ） A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛32,31 B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-32, C ． ⎪⎭⎫ ⎝⎛32,21 D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,21 12.已知是定义域为的奇函数，满足．若，则( ) A.B. 0C. 2D. 50第Ⅱ卷 主观题（共90分）二、填空题（每小题5分共20分）13.已知f x ()32-的定义域为[]x ∈-12，，则函数f x ()的定义域为_________ 14.已知()221f x x +=+，则 ()f x = 15.已知⎩⎨⎧≥<+-=1,log 1,4)13()(x x x a x a x f a 是R 上的减函数，那么a 的取值范围是_________ 16.已知函数f （x ）=2log (0)3(0)x x x x >≤⎧⎨⎩，则f ［f （14）］的值是 三、简答题:（共70分）17．（ 12分）已知集合{}{}210,,1,2,A x x ax x R B =∣++=∈=且A B A ⋂=，求实数a 的取值范围.18．（12分）已知).1,0(11log )(≠>-+=a a xx x f a （Ⅰ）求)(x f 的定义域;（Ⅱ）判断)(x f 的奇偶性并予以证明;（Ⅲ）求使)(x f ＞0的x 取值范围.19.（12分） 设函数f (x )＝ax 3＋bx ＋c (a ≠0)为奇函数，其图象在点(1，f (1))处的切线与直线x －6y －7＝0垂直，导函数f ′(x )的最小值为－12.(1)求a ，b ，c 的值；(2)求函数f (x )的单调递增区间，并求函数f (x )在[－1,3]上的最大值和最小 值．20.（12分）已知定义在R 上的函数)3()(2-=ax x x f ，其中a 为常数．（1）若1=x 是函数)(x f 的一个极值点，求a 的值．（2）若函数)(x f 在区间)0,1(-上是增函数，求a 的取值范围．21.（12分）设()()256ln f x a x x =-+,其中a R ∈,曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与y 轴相交于点()0,6.(1)确定a 的值; (2)求函数()f x 的单调区间与极值.22.（10分）设函数2()mx f x e x mx =+-．(1)证明：()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增；（2）若对于任意12,[1,1]x x ∈-，都有12()()1f x f x e -≤-，求m 的取值范围．参 考 答 案.一、选择题:1-5CDCAA 6-10BBCCA 11-12AC二、填空题：13.[]5,1- 14.()()()21222≥+-=x x x f 15.⎪⎭⎫⎢⎣⎡31,71 16.91 三解答题：17、答案：22<≤-a18. (1)()1,1- (2)奇函数（3）()()0,1,101,0,1-<<>a a19、解 (1)∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )即－ax 3－bx ＋c ＝－ax 3－bx －c ，∴c ＝0，∵f ′(x )＝3ax 2＋b 的最小值为－12，∴b ＝－12，又直线x －6y －7＝0的斜率为16， 因此，f ′(1)＝3a ＋b ＝－6，∴a ＝2，b ＝－12，c ＝0.(2)单调递增区间是(－∞，－2)和(2，＋∞)．f (x )在[－1,3]上的最大值是18，最小值是－8 2.20. 解：（1） )3()(2-=ax x x f ，)2(363)(2'-=-=ax x x ax x f ．∵1=x 是)(x f 的一个极值点, ∴0)1('=f , ∴2=a ． ………5分（2）①当0=a 时，23)(x x f -=在区间)0,1(-上是增函数，∴0=a 符合题意． ………7分②当0≠a 时，)2(3)('a x ax x f -=,令0)('=x f 得ax x 2,021== 当0>a 时，对任意)0,1(-∈x ，恒有0)('>x f ，∴0>a 符合题意;当0<a 时，当)0,2(a x ∈时，0)('>x f ,∴12-≤a∴02<≤-a 符合题意． 综上所述，2-≥a ………12分21、解：(1)因f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ，故f ′(x )＝2a (x －5)＋6x. 令x ＝1，得f (1)＝16a ，f ′(1)＝6－8a ，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －16a ＝(6－8a )(x －1)，由点(0，6)在切线上可得6－16a ＝8a －6，故a ＝12. (2)由(1)知，f (x )＝12(x －5)2＋6ln x (x ＞0)， f ′(x )＝x －5＋6x ＝（x －2）（x －3）x， 令f ′(x )＝0，解得x 1＝2，x 2＝3.当0＜x ＜2或x ＞3时，f ′(x )＞0，故f (x )在(0，2)，(3，＋∞)上为增函数；当2＜x ＜3时，f ′(x )＜0，故f (x )在(2，3)上为减函数．由此可知，f (x )在x ＝2处取得极大值f (2)＝92＋6ln 2，在x ＝3处取得极小值f (3)＝2＋6ln 3.22.解:(1)'()(1)2mx f x m e x =-+．若0m ≥，则当(,0)x ∈-∞时，10mx e -≤，'()0f x <；当(0,)x ∈+∞时，10mx e -≥，'()0f x >． 若0m <，则当(,0)x ∈-∞时，10mx e ->，'()0f x <；当(0,)x ∈+∞时，10mx e -<，'()0f x >． 所以，()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增．（2）由(1)知，对任意的m ，()f x 在[1,0]-单调递减，在[0,1]单调递增，故()f x 在0x =处取得最小值．所以对于任意12,[1,1]x x ∈-，12()()1f x f x e -≤-的充要条件是：(1)(0)1,(1)(0)1,f f e f f e -≤-⎧⎨--≤-⎩即1,1,m m e m e e m e -⎧-≤-⎪⎨+≤-⎪⎩①，设函数()1t g t e t e =--+，则'()1t g t e =-．当0t <时，'()0g t <；当0t >时，'()0g t >．故()g t 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增．又(1)0g =，1(1)20g e e --=+-<，故当[1,1]t ∈-时，()0g t ≤．当[1,1]m ∈-时，()0g m ≤，()0g m -≤，即①式成立．当1m >时，由()g t 的单调性，()0g m >，即1m e m e ->-；当1m <-时，()0g m ->，即1m e m e -+>-．综上，m 的取值范围是[1,1]-．。
华大新高考联盟高三理科数学试卷(含答案)
机密＊启用前华大新高考联盟2020届高三1月教学质址测评理科数学命题：华中师范大学考试研究院本试题卷共4页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
＊祝考试顺利＊注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均尤效。
3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均尤效。
4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、印稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5.考试结束后，请将答题卡上交。
－选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
L 已知集合M —{yl —l<y<3},N —{x I x(Zx —7)冬O},则M UN —A. [ 0 , 3)B. (0 ,t ] C. (—1,f]z.设复数z满足巨—31=Z,z在复平面内对应的点为M (a ,b ),则M不可能为A.Cz , 点）B. (3 , 2)C. C 5 , o )3. 已知a =沉，b =l o g十五,c =(3)'则D.0D .(4,1) A. a >b>c B. a >c>bC. b >c>aD. c >a>b4.2019年10月1日，为了庆祝中华人民共和国成立70周年，小明、小红、小金三人以国庆为主题各自独立完成一幅十字绣赠送给当地的村委会，这三幅十字绣分别命名为＂鸿福齐天”、“国富民强”、“兴国之路”，为了弄清“国富民强”这一作品是谁制作的，村支书对三人进行了问话，得到回复如下：小明说：＂鸿福齐天”是我制作的；小红说：“国富民强”不是小明制作的，就是我制作的；小金说：＂兴国之路”不是我制作的．若三人的说法有且仅有一人是正确的，则＂鸿福齐天”的制作者是A. 小明sin x x 2c o s x 5. 函数f(x )=+ X 20 B. 小红 C. 小金在[2穴，0)LJ (0,2式上的图像大致为理科数学试题第1页（共4页）D. 小金或小明版权声明：本试题卷为华中师范大学出版社正式出版物，版权所有，盗版必究。
2020届湖北省华大新高考联盟名校高三(5月份)高考模拟数学(理)试题(解析版)
2020届湖北省华大新高考联盟名校高三（5月份）高考模拟数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}|13,|2A x x B x y x ⎧=<<==⎨⎬-⎩⎭，则A B =（ ） A ．{|12}x x <≤ B ．{|23}x x <<C ．{|23}x x ≤<D ．{|1}x x >【答案】D【解析】首先求出集合B ，然后进行并集的运算即可． 【详解】{|13}A x x =<<，{|2}B x x ，{}|1A B x x ∴=>．故选：D 【点评】本题主要考查了函数的定义域，同时考查了并集的运算，考查了计算能力，属于基础题． 2．如图来自中国古代的木纹饰图．若大正方形的边长为6个单位长度，每个小正方形的边长均为1个单位长度，则在大正方形内随机取一点，此点取自图形中小正方形内的概率是（ ）A ．136B ．19C ．16D ．29【答案】D【解析】分别求出各自对应的面积即可求解结论． 【详解】解：因为大正方形的面积为：6636⨯=； 而小正方的面积为：111⨯=；故在大正方形内随机取一点，大正方形内部有6个小正方形，此点取自图形中小正方形内的概率是：812369⨯=． 故选：D ．【点评】本题主要考查几何概型的求解，属于基础题目．3．设有下面两个命题：那么下列命题中，真命题是（ ）1p ：复数z R ∈的充要条件是z z =；2p ：若复数z 所对应的点在第一象限，则复数zi所对应的点在第四象限，A ．12p p ∧B ．12()p p ⌝∧C ．12()p p ∧⌝D ．12()()p p ⌝∧⌝【答案】A【解析】设(,)z a bi a b R =+∈，由复数z R ∈得z z =，则1p 为真命题；再判断2p 为真命题．然后由复合命题的真假判断得答案． 【详解】解：设(,)z a bi a b R =+∈，则0z R b z z ∈⇔=⇔=，则1p 为真命题； 若复数z 所对应的点在第一象限，则0a >，0b >， 而z a bi b ai i i+==-，故复数z i 所对应的点(,)b a -在第四象限，2p 为真命题．12p p ∴∧为真命题．故选：A ． 【点睛】本题考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复合命题的真假判断，是基础题．4．已知数列{}n a 为等差数列，若2533a a a +=，且4a 与72a 的等差中项为6，则5a =（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】设{}n a 的公差为d ，由题设可得关于1,a d 的方程组，求出其解后可得5a 的值. 【详解】设{}n a 的公差为d .数列{}n a 为等差数列，2533a a a +=，且4a 与72a 的等差中项为6，∴1111143(2)32(6)12a d a d a d a d a d +++=+⎧⎨+++=⎩，解得11a =-，1d =，5143a ∴=-+=． 故选：D ． 【点睛】等差数列或等比数列的处理有两类基本方法：（1）利用基本量即把数学问题转化为关于基本量的方程或方程组，再运用基本量解决与数列相关的问题；（2）利用数列的性质求解即通过观察下标的特征和数列和式的特征选择合适的数列性质处理数学问题． 5．已知定义在R 上的函数()3sin 21f x x x =-+，则在[]5,5-上()f x 的最大值与最小值之和等于（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】根据题意，设()()13sin 2g x f x x x =-=-，[]5,5x ∈-，分析可得()y g x =为奇函数，由奇函数的性质可得()()max min 0g x g x +=，进而可得()()max max f x f x +的值. 【详解】根据题意，设()()13sin 2g x f x x x =-=-，[]5,5x ∈-， 有()()()()()3sin 23sin 2g x x x x x g x -=---=--=-，即函数()y g x =为奇函数，其图象关于原点对称，则()()max min 0g x g x +=， 则有()()()()max min max min 1120f x f x f x f x ⎡⎤⎡⎤-+-=+-=⎣⎦⎣⎦，变形可得()()max max 2f x f x +=，所以，当[]5,5x ∈-时，函数()y f x =的最大值与最小值之和等于2. 故选：C ． 【点评】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，注意构造新函数()()1g x f x =-，属于中等题．6．()4112x x x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数是（ ）A ．10B ．2C ．14-D ．34【答案】C【解析】原式可化为()()488311xx xx-++，进而结合()81x+二项展开式的通项公式，可求得()()488311xx xx-++的展开式中x的系数.【详解】由题意，()()()()4842411112121x xx xx x xx x x-++⎛⎫=+⎛⎫-++=-⎪⎝⎭⎪⎝⎭()()483811xx xx=-++，又()81x+的展开式的通项公式为818r rrT C x-+=，所以()841xx+的展开式中含x的项为353884C xC xx=，()381xx-+的展开式中含x的项为444883C xC xx-=-，所以()4112x xx⎛⎫-++⎪⎝⎭的展开式中x的系数是348814C C-=-.故选：C．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，考查二项展开式的通项公式的应用，属于中档题．7．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形．记该几何体的外接球的体积为1V，该几何体的体积为2V，则1V与2V的比值为（）A．94πB．98πC．109πD．329π【答案】D【解析】首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的体积和外接球的体积． 【详解】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为三棱锥体． 如图所示：取AB 的中点D ，连接SD ，易知球心O 在线段SD 上，连接AO ，设外接球的半径为r ，则：2223)1r r +=，解得23r =． 所以31423323··)3V ππ==该几何体的体积2113213323V =⨯⨯⨯=． 则：12329V V π=． 故选：D ． 【点睛】本题考查的知识要点：三视图和直观图形之间的转换，几何体的体积和表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．8．如图所示的程序框图是为了求出满足1352020n +++⋯+的最大正奇数的值，那么在框中，可以填（ ）A ．“输出4i -”B ．“输出2i -”C ．“输出1i -”D ．“输出i ”【答案】A【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算s 的值并输出符合题意的i 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【详解】解：由于满足1352020n +++⋯+>后，此时i 值比程序要求的i 的值多2，又执行了一次2i i =+， 故输出的应为4i -． 故选：A ． 【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题． 9．已知函数()32cos 2f x x x =-在区间[0,]2π上当x θ=时取得最大值，将()f x 的图像向左平移θ个单位得到函数()g x 的图像，则（ ） A ．()2cos2g x x = B ．()2cos2g x x =- C ．()32cos 2g x x x =+D ．()32cos 2g x x x =--【答案】A【解析】本题首先可以利用两角差的正弦公式求出函数解析式()2sin(2)6f x x π=-，然后利用正弦函数的性质可得当3x π=时()f x 取得最大值，即3πθ=，最后利用三角函数图像变换即可求得函数()g x 的解析式． 【详解】()2cos 22sin(2)6f x x x x π=-=-，当[0,]2x π∈时，52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 故当226x ππ-=，即3x π=时，()f x 取得最大值，3πθ=， 从而()()2sin[2()]2sin(2)2cos 23362g x f x x x x ππππ=+=+-=+=．故选：A ． 【点睛】本题主要考查了两角差的正弦公式、正弦函数的性质、诱导公式以及三角函数的图像变换，考查的公式有sin cos cos sin sin()A B A B A B -=-、sin()cos 2x x π+=，考查化归与转化思想，考查计算能力，是中档题.10．已知双曲线22143x y -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线与双曲线的左支交于A 、B 两点，若260AF B ∠=︒，则2AF B 的内切圆半径为（ ）A ．B C ．23D ．2【答案】A【解析】设内切圆的圆心M ，设2AF B 三边与内切圆的切点，连接切点与圆心M 的线段，由内切圆的性质可得22AF AQ BF BQ -=-，再由双曲线定义可知：21212AF AF BF BF a -=-=，可得Q ，1F 重合，再由260AF B ∠=︒可得内切圆的半径的值． 【详解】设内切圆的圆心为(,)M x y ，设圆M 与三角形的边分别切于T ，Q ，S ， 如图所示：连接MS ，MT ，MQ ，由内切圆的性质可得：22F T F S =，AT AQ =，BS BQ =， 所以222AF AQ AF AT F T -=-=，222BF BQ BF BS F S -=-=，所以22AF AQ BF BQ -=-，由双曲线的定义可知：21212AF AF BF BF a -=-=， 所以可得Q ，1F 重合， 所以224TF a ==， 所以2243tan 23AF B r MT TF ∠===. 故选：A ． 【点睛】本题考查双曲线的定义及内切圆的性质.属于中档题．11．数学上有很多著名的猜想，角谷猜想就是其中之一，它是指对于任意一个正整数，如果是奇数，则乘3加1．如果是偶数，则除以2，得到的结果再按照上述规则重复处理，最终总能够得到1．对任意正整数0a ，记按照上述规则实施第n 次运算的结果为()n a n N ∈，则使71a =的0a 所有可能取值的个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】D【解析】推导出*n N ∀∈，111131,,2n n n n n a a a a a ----+⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，由71a =，得62a =，从而54a =，进而41a =或48a =．由此利用分类讨论思想和递推思想能求出满足条件的0a的值的个数． 【详解】解：由题意知*n N ∀∈，111131,,2n n n n n a a a a a ----+⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，由71a =，得62a =，54a ∴=，41a ∴=或48a =．①当41a =时，32a =，24a ∴=，11a ∴=或18a =，02a ∴=或016a =． ②若48a =，则316a =，25a ∴=或232a =， 当25a =时，110a =，此时，03a =或020a =， 当232a =时，164a =，此时，021a =或0128a =， 综上，满足条件的0a 的值共有6个． 故选：D ． 【点睛】本题考查数列中项的可能取值的个数的求法，考查递推公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12．已知实数a 、b 满足23log log a b =，给出五个关系式：其中不可能成立的关系式有（ ） ①b a a b <； ②a b a b =； ③b a a b >； ④b a a a <； ⑤a b b b <． A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】由23log log a b =，知1a b << 或1a b == 或01b a <<<，然后分情况验证个关系式即可． 【详解】由23log log a b =，知1a b << 或1a b == 或01b a <<<，当1a b ==时，②成立，其他的不成立；当01b a <<<时，b a a b >，a b a a >，b a b b >，③成立，④⑤不成立；当1a b <<时，取2a =，3b =，则322893b a a b ==<==，①成立，a b a a >，b a b b >，④⑤不成立，综上，只有④⑤不可能成立． 故选：B 【点睛】本题考查了不等式的基本性质，考查了分类讨论思想，属中档题．二、填空题13．如图所示，A 、B 是圆O 上的两点，若2AB AO ⋅=，则弦AB 长为______.【答案】2【解析】过作⊥OD AB 于D ，根据垂径定理有1cos 2AO OAD AD AB ∠==，代入2AB AO ⋅=中即可求解. 【详解】过O 作⊥OD AB 于D ，则1cos 2AO OAD AD AB ∠==，2AB AO ⋅=，cos 2AB AO OAD ⋅∠=，所以212,22AB AB ==, 故答案为：2 【点睛】考查向量数量积的定义和垂径定理，基础题.14．已知实数x 、y 满足2122x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤-⎩，则2z x y =+的最小值为__．【答案】0【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案． 【详解】解：由实数x 、y 满足2122x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤-⎩，画出可行域如图，化2z x y =+为1122y x z =-+， 由图可知，当直线1122y x z =-+过A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值，由21x x y =⎧⎨+=⎩，解得(2,1)A -，最小值22(1)0z =+⨯-=． 故答案为：0．【点睛】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15．已知抛物线2x y =的焦点为F ，过F 作两条夹角为30的直线m 、n ，直线m 与抛物线交于点P 、Q ，直线n 与抛物线交于点M 、N ，则11||||PQ MN +的最小值为__． 【答案】312-【解析】求得抛物线的焦点F 的坐标，设直线m 的倾斜角为α，求得直线m 的参数方程，联立抛物线的方程，运用韦达定理和参数的几何意义，可得||PQ ，再将α换为30α+︒，可得||MN ，再由三角函数的二倍角的余弦公式、和差化积公式，结合余弦函数的值域，即可得到所求最小值． 【详解】解：抛物线2x y =的焦点为1(0,)4F ，设直线m 的倾斜角为α，可得直线m 的参数方程为cos (1sin 4x t t y t αα=⎧⎪⎨=+⎪⎩为参数）， 设P ，Q 对应的参数分别为1t ，2t ，联立抛物线的方程2x y =，可得221cos sin 04t t αα--=， 即有122sin t t cos αα+=，12214t t cos α=-，则12PQ t t =-==21cos α==， 即有21PQ cos α=，将α换为30α+︒， 同理可得21(30)MN cos α=+︒，则2211cos cos (30)PQ MNαα+=++︒ 1cos21cos2(30)22αα+++︒=+11[cos2cos(260)]2αα=+++︒131(cos22)22αα=+-130)α=++︒，当cos(230)1α+︒=-，即75α=︒时，11||||PQ MN +的最小值为312-． 故答案为：312-． 【点睛】本题考查抛物线的方程和性质，注意运用直线的参数方程和参数的几何意义，考查三角函数的恒等变换和余弦函数的值域，主要考查化简运算能力和推理能力，属于中档题． 16．在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是边长为2的菱形，60DAB ∠=︒，PA PD =，90APD ∠=︒，平面PAD ⊥平面ABCD ，Q 点是PBC 内的一个动点（含边界），且满足DQ AC ⊥，则Q 点所形成的轨迹长度是__．【答案】25【解析】利用已知条件，通过直线与平面垂直，推出Q 的轨迹，利用转化思想，求解距离即可． 【详解】根据题意，连接AC ，BD ，两直线交于点O ，取PC 上一点M ，连接MB ，MD ，如图：若满足题意DQ AC ⊥，又AC BD ⊥，故AC ⊥平面DBQ ，则点Q 只要在平面DBQ 与平面PBC 的交线上即可，假设如图所示，平面DBM 与平面DBQ 是同一个平面， 则Q 点的轨迹就是线段BM ，根据假设，此时直线AC ⊥平面DBM ，则AC MO ⊥， 又三角形PAD 是等腰直角三角形，设N 为AC 的中点，三角形BAD 是等边三角形，所以,,PN AD BN AD PN BN N ⊥⊥=，所以AD ⊥平面PNB ，所以AD PB ⊥，又因为//BC AD ，故BC PB ⊥，故三角形PBC 为直角三角形，故PC ==，在三角形PAC中，PA =，AC ==PC由余弦定理可得：cos 8PCA ∠== 在菱形ABCD中，OC =MOC中，cos OC MC PCA ===∠在三角形BCM 中，45PCB ∠=︒，故22222202cos 2229BM BC CM BC CM PCB =+-⨯⨯∠=+-⨯=，故得BM ==【点睛】本题考查空间图形的应用，涉及直线与平面的位置关系，轨迹长度的求解，是难题．三、解答题17．设ABC 的内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，满足1sin cos sin cos 2a B C c B Ab +=且a b >．（1）求角B 的大小；（2）若1b =，BC 边上的中线AM 的长为12a ，求ABC 的面积． 【答案】（1）6B π=；（2【解析】（1）由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简即可求解B ；（2）由已知条件得2AM AB AC =+，可得出()224AM AB AC=+，然后利用平面向量数量积的运算性质和定义以及余弦定理可求得BAC ∠的值，进而可求得c 的值，然后利用三角形的面积公式可求得ABC 的面积． 【详解】（1）因为1sin cos sin cos 2a B C c B Ab +=， 由正弦定理可得，1sin sin cos sin sin cos sin 2A B C C B A B +=， 因为sin 0B ≠，所以()1sin cos sin cos sin sin 2A C C A A CB +=+==， 因为a b >，所以B 为锐角，故6B π=；（2）由题意可知，2AM AB AC =+，12AM a =， 所以，()222242AM AB ACAB AC AB AC =+=++⋅，即2222cos a b c bc BAC =++∠，又由余弦定理可得，2222cos a b c bc BAC =+-∠， 故cos 0BAC ∠=，因为()0,BAC π∠∈，所以2BAC π∠=，1b =，所以tan bc B==12ABCS bc ==． 【点评】本题主要考查了正弦定理、余弦定理、和差角公式、向量数量积的性质以及三角形面积公式的综合应用，属于中档试题．18．在四棱锥P ABCD -中，BC BD DC ===2AD AB PD PB ====，PA =（1）求证：平面PBD ⊥平面ABCD ； （2）求二面角C PD B --的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）1313． 【解析】（1）连结AC ，交BD 于O ，连结PO ，推导出PO OA ⊥，PO BD ⊥，从而PO ⊥平面ABCD ，由此能证明平面PBD ⊥平面ABCD ．（2）以O 为原点，OC 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C PD B --的余弦值． 【详解】（1）证明：连结AC ，交BD 于O ，连结PO ， 由对称性知O 为BD 中点，且AC BD ⊥，PO BD ⊥， 又PBD ABD ≅，AO BD ⊥，从而1PO AO ==，又2PA =222PO OA PA +=，PO OA ∴⊥，PO BD ⊥，OA BD O ⋂=，PO ∴⊥平面ABCD ，PO ⊂平面PBD ，∴平面PBD ⊥平面ABCD ．（2）解：由（1）知，PO ，BD ，AC 两两垂直，以O 为原点，OC 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则(0D ，3，0)，(0P ，0，1)，在等腰BCD 中，3CO =，则(3C ，0，0)，(3DC →=30)，(0DP →=31)，平面PBD 的法向量(1n =，0，0)， 设平面PCD 的法向量(m x =，y ，)z ，则·330·30m DC x m DP y z ⎧=+=⎪⎨=+=⎪⎩，取1x =，得(1m =，33)，设二面角C PD B --的平面角为θ，·13cos ·m n m nθ∴==． ∴二面角C PD B --的余弦值为13．【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>32)在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点(0,2)P -任作椭圆C 的两条相互垂直的弦AB 、CD ，设M 、N 分别是AB 、CD 的中点，则直线MN 是否过定点？若过，求出该定点坐标；若不过，请说明理由．【答案】（1）221123x y +=；（2）直线MN 过定点2(0,)5-． 【解析】（1）根据椭圆离心率公式，结合点在椭圆上的性质、椭圆,,a b c 之间的关系，得到方程组，解方程组求出2a ，2b 的值，进而可得椭圆C 的方程．（2）设直线AB 的方程，联立直线AB 与椭圆方程，消去一未知数，得到一个一元二次方程，结合韦达定理、中点坐标公式、直线斜率公式，可得到直线MN 斜率，直线MN 方程，令0x =，即可得出答案． 【详解】（1）由已知得22222421c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得212a =，23b =，所以椭圆C 的方程为221123x y +=； （2）由题意知直线AB ，CD 的斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为：11222(0),(,),(,)y kx k A x y B x y =-≠，由2221123y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(14)1640k x kx +-+=，由2221(16)44(14)012k k k ∆=--⨯⋅+>⇒>，且1221614k x x k +=+，所以1228214M x x k x k +==+，22214M M y kx k=-=-+， 即28(14k M k +，22)14k -+，同理28(4k N k -+，222)4k k -+，所以222222221144885144MNk k k k k k k k k k -+-++==+++， 所以直线MN 的方程为222218()14514k ky x k k k -+=-++，由对称性可知定点必在y 轴上，令0x =，得2221822(0)514145k k y k k k -=--=-++， 所以直线MN 过定点2(0,)5-． 【点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的相交问题，属于中档题．20．近年来．我国肥胖人群的规模急速增长，肥胖人群有很大的心血管安全隐患．目前，国际上常用身体质量指数()BodyMessIndex,BMI 来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是()()22kg BMI m=体重单位：身高单位：.中国成人的BMI 数值标准为：BMI 18.4≤为偏瘦；18.5BMI 23.9≤≤为正常；24BMI 27.9≤≤为偏胖；BMI 28≥为肥胖．为了解某公司员工的身体质量指数，研究人员从公司员工体检数据中，抽取了8名员工（编号1~8)的身高()cm x 和体重()kg y 数据，并计算得到他们的BMI 值（精确到0.1)如表：（1）现从这8名员工中选取2人进行复检，记抽取到BMI 值为“正常”员工的人数为X ．求X 的分布列及数学期望．（2）某调查机构分析发现公司员工的身高()cm x 和体重()kg y 之间有较强的线性相关关系，在编号为6的体检数据丢失之前调查员甲已进行相关的数据分析，并计算得出该组数据的线性回归方程为0.5ˆˆyx a =+，且根据回归方程预估一名身高为180cm 的员工体重为71kg ．计算得到的其他数据如下170,x =．189920ni ii x y==∑（i ）求ˆa的值及表格中8名员工体重的平均值y ； （ii ）在数据处理时，调查员乙发现编号为8的员工体重数据有误，应为63kg ，身高数据无误．请你根据调查员乙更正的数据重新计算线性回归方程，并据此预估一名身高为180cm 的员工的体重．（附：对于一组数据()1,x y ，2(x ，2)y ，(n x ⋯，)n y ，其回归直线ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：1221ˆni ii nii x y nxybxnx ==-=-∑∑，)ˆˆay bx =-．【答案】（1）分布列见解析，数学期望为54；（2）（i ）ˆ19a =-；66y =；（ii ）更正后的线性回归方程为0.869ˆyx =-；重新预估一名身高为180cm 的员工的体重约为75kg ．【解析】（1）由题得X 的可能取值为0，1，2，3，再利用古典概型求出对应的概率，再写出分布列和期望得解；（2）①先求出19=-a ，再求出表格中8名员工体重的平均值y ；②求出0.8b =，69a =-，求出更正后该组数据的线性回归方程为0.869y x =-，再预估一名身高为180cm 的员工的体重. 【详解】解：（1）8名员工BMI 数值为“正常”的员工有5人，记抽到BMI 值为“正常”的人数为X ，则X 的可能取值为0，1，2，3，则0353381(0)56C C P X C ===， 12533815(1)56C C P X C === ， 2153383015(2)5628C C P X C ====， 305338105(3)5628C C P X C ====. 故X 的分布列为则()1515510515123562828568E X =⨯+⨯+⨯==. （2）① 调查员甲由线性回归方程0.5y x a =+预估一名身高为180cm 的员工的体重为71kg ，由此计算711800.519a =-⨯=-，故0.51701966ˆˆy bx a =+=⨯-=.② 由①知更正前的数据170x =，66=y .由81822180.58i ii ii x y x yb xx==-==-∑∑得88221182(8)2(89920817066)320i i i i i xx x y x y ==-=⨯-=⨯-⨯⨯=∑∑， 更正后的数据170'==x x ，6688678⨯+'==y ， 888811181828i i i i i i i i i x y x y x x y ===''=+⨯=+⨯∑∑∑，888(1)88170x y x y x y x y '''⋅=⋅=+=+⨯， 所以8811882222118(1828)(88170)960.50.832088i i i ii i i i i i x y x y x y x y b x x x x ====''''-+⨯-+⨯===+=''--∑∑∑∑. 故670.817069a y bx ''=-=-⨯=-.更正后该组数据的线性回归方程为0.869y x =-.当180x =时，0.81806975y =⨯-=，所以重新预估一名身高为180cm 的员工的体重约75kg.【点睛】本题主要考查随机变量的分布列和期望，考查线性回归方程的计算和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.21．已知函数21(),()(1)ln (0)2f x x axg x a x a =+=+<． （1）若点0(P x ，0)y 为函数()f x 与()g x 图象的唯一公共点，且两曲线存在以点P 为切点的公共切线，求a 的值：（2）若函数()()()h x f x g x =-有两个零点，求实数a 的取值范围．【答案】（1）12a =-；（2）112a -<<-． 【解析】（1）先分别对函数求导，然后结合导数的几何意义即可求解；（2）先对()h x 求导，然后结合导数与单调性关系分析函数的特征性质，然后结合函数性质及零点判定定理可求出符合要求的a 的范围．【详解】（1）由题意可知，()y f x =与()(0)y g x x =>图象的在唯一公共点处的切线相同，又因为()f x x a '=+，1()a g x x+'=， 所以00()()f x g x =，00()()f x g x '='，即2000001(1)21x ax a lnx a x a x ⎧+=+⎪⎪⎨+⎪+=⎪⎩， 由001a x a x ++=可得01x =或01x a =--， 由点P 唯一可得11a --=或10a --，即2a =-或1a -， 由20001(1)2x ax a lnx +=+可得12a =-， 综上可得，12a =-； （2）由21()()()(1)2h x f x g x x ax a lnx =-=+-+，0x >， 则1(1)(1)()a x x a h x x a x x +-++'=+-=， ()i 若10a +>即01a >>-时，()h x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， 因为0x →时，()h x →+∞，且h （2）22(1)2222(1)0a a ln a a =+-+>+-+=， 故要使得()h x 有2个零点，只有h （1）0<即112a -<<-， 当1a =-时，21()2h x x x =-只有一个零点， 故112a -<<- ()ii 若10a +<，即1a <-时，①当2a =-时，()h x 在(0,)+∞上单调递增，不符合题意；②当21a -<<-时，()h x 在(0,1)a --上单调递增，在(1,1)a --上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，且0x →时，()h x →-∞，且h （1）102a =+<，24224211()(1)022h e e ae a lne e ae =+-+>+>， 故要使得()h x 有2个零点，则21(1)(1)(1)(1)(1)02h a a a a a ln a --=+-+-+--=，即1(1)02a ln a ----=， 令m （a ）1(1)2a ln a -=---，21a -<<-， 则113()0212(1)a m a a a +'=--=->++， 故m （a ）在(2,1)--上单调递增，且3(2)02m -=>， 故m （a ）0>在(2,1)--上恒成立，不可能有2个零点，③当2a <-时，()h x 在(0,1)上单调递增，在(1,1)a --上单调递减，在(1,)a --+∞上单调递增，且h （1）102a =+<， 故()h x 不可能有2个零点， 综上112a -<<-． 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用及利用函数的性质与导数求解函数零点个数，体现了分类讨论思想的应用． 22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为(x t y m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数，)m R ∈．以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为223(0)32cos ρθπθ=-． （1）写出曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程：（2）已知m <点P 是曲线2C 上一点，点P 到曲线1C的最大距离为求m 的值．【答案】（1）1:C 0x y m +-=；2:C 221(01)3x y y +=；（2）2m =-． 【解析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． （2）利用点到直线的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换及正弦型函数的性质的应用求出结果．【详解】（1）曲线1C的参数方程为2(x t y m ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数，)m R ∈． 转换为直角坐标法方程为0x y m +-=．曲线C 的极坐标方程为223(0)32cos ρθπθ=-， 根据222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩转换为直角坐标方程为221(01)3x y y +=． （2）设点,sin )P θθ是曲线2C 上一点，则点P 到曲线1C的距离d == 由于0απ，所以sin()[32πα+∈-，则：2sin()[,2]3m m m πα+-∈-．由点P 到曲线1C的最大距离为2cos()6m πα--的最大值为4，由于m <，所以0m ->，则24m -=，即2m =-，故2m =-．【点睛】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23．已知函数()1f x ax =+.（1）当1a =时，求不等式()213f x x +->的解集；（2）设()1g x x =+，若关于x 的不等式()()f x g x ≤的解集为R ，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{}11x x x <->或；（2）[]1,1-.【解析】（1）将1a =代入()1f x ax =+中，然后根据()213f x x +->，利用零点分段法解不等式即可，或构造函数()121h x x x =++-，利用函数图像解不等式； （2）由条件可知11ax x +≤+，然后分0a =和0a ≠两种情况，利用数形结合法得到关于a 的不等式，再求出a 的范围.【详解】（1）当1a =时，有()3,111212,1213,2x x h x x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=++-=-+-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩. 解法一：作出函数()y h x =的图像，它与直线3y =的交点为()1,3A -，()1,3B ，所以原不等式的解集为{}11x x x <->或. 解法二：原不等式133x x <-⎧⇔⎨->⎩或11223x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪-+>⎩或1233x x ⎧>⎪⎨⎪>⎩， 解得1x <-或无解或1x >，所以原不等式的解集为{}11x x x <->或.（2）不等式()()f x g x ≤，即11ax x +≤+.（）当0a =时，（）式11x ⇔≤+，恒成立；当0a ≠时，作出()1f x ax =+与()1g x x =+的图像，如图所示.则有1a ≤，于是11a -≤≤且0a ≠.综上所述，a 的取值范围是[]1,1-.【点睛】此题考查了绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题，考查了分类讨论思想和数形结合思想，属于中档题.。
2020届华大新高考联盟押题模拟考试(十八)理科数学
2020届华大新高考联盟押题模拟考试（十八）数学（理科）★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷（选择题）一、选择题1.已知集合{}1,2A =，{}1,1,1B a =-+且A B ⊆，则a =（ ） A. 1 B. 0C. 1-D. 2【答案】A 【解析】 【分析】由A B ⊆，则2B ∈,则12a +=，得答案. 【详解】由A B ⊆,{}1,2A =，{}1,1,1B a =-+, 则2B ∈,所以1a +=2. 所以1a = 故选：A.【点睛】本题考查集合的包含关系，属于基础题.2.在复平面内，复数(1i)(2i)z =+-对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A 【解析】试题分析：(1)(2)3z i i i =+-=+，∴对应的点为(3,1)，位于第一象限． 考点：复数的乘除和乘方．3.抛物线230x y +=的准线方程为（ ） A. 34x =B. 32x =-C. 34y =D. 32y =-【答案】C 【解析】 【分析】将抛物线230x y +=方程化为标准方程23x y =-，由抛物线的标准方程可得其准线方程. 【详解】由抛物线230x y +=有23x y =-, 根据抛物线的标准方程可得32p =. 则其准线方程为：34y = 故选：C【点睛】本题考查由抛物线的方程求准线方程，属于基础题.4.已知2a b =r r ，()a b a -⊥r r r ，则a r 与b r的夹角是（ ）A. 30°B. 45︒C. 60︒D. 90︒【答案】C 【解析】 【分析】由()a b a -⊥r r r 有()=0a b a -⋅r r r 得2=a b a ⋅r r r，再代入向量夹角公式可求解.【详解】由()a b a -⊥r r r 有()=0a b a -⋅r r r.即2=a b a⋅r r r，又2a b=r r.则221cos,22aa ba ba b a⋅〈〉===⋅rr rr rr r r.由ar与br的夹角在[0,]π内.所以ar与br的夹角为3π.故选：C.【点睛】本题考查向量的夹角，向量的数量积的运算,属于基础题.5.如图所示的程序框图，若输出值1y=，则输入值x的集合是（）A. {}0,1B. {}1,2C. {}0,2 D. {}1【答案】C【解析】【分析】将输出的值1y=，沿着“是”，“否”两条路线反代回去，即可求出x的值.【详解】若输入的1x>，则输出2log1y x==，则2x=.若输入的1x ≤，则输出11()112x y -=-=,则0x =.则输入值x 的集合是: {}0,2 故选：C【点睛】本题考查程序框图，根据输出的结果计算输入的初始值，属于基础题.6.污染防治是全面建成小康社会决胜期必须坚决打好的三大攻坚战之一.凉山州某地区2019年空气质量为“良”的天数共为150天，若要在2021年使空气质量为“良”的天数达到216天，则这个地区空气质量为“良”的天数的年平均增长率应为（ ）（精确到小数点后2位） A. 0.13B. 0.15C. 0.20D. 0.22【答案】C 【解析】 【分析】设空气质量为“良”的天数的年平均增长率为x ，则2021年使空气质量为“良”的天数2216150(1)x =+，然后求解方程得出答案.【详解】设空气质量为“良”的天数的年平均增长率为x ，则2021年使空气质量为“良”的天数2216150(1)x =+即2216(1) 1.44150x +==，解得：0.20x = 故选：C.【点睛】本题主要考查平均变化率，增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量(1⨯+增长率)n,属于基础题.7.函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0A >，2πϕ< ）的图象如图所示，为了得到()sin g x A x ω=的图象，则只要将()f x 的图象（ ）A. 向右平移6π个单位长度 B. 向右平移3π个单位长度 C. 向左平移6π个单位长度 D. 向左平移3π个单位长度【答案】B 【解析】 【分析】根据图像有2A =,724632T πππ=-=,得到函数的最小正周期，根据周期公式可求出ω，然后求出()f x 和()g x 的解析式，再根据相位变换得到答案.【详解】根据图像有2A =,724632T πππ=-=, 所以22||T ππω==,则||=1ω. 不妨取=1ω， 又2=03f π⎛⎫ ⎪⎝⎭有2sin =03πϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 得22,3k k Z πϕππ+=+∈,又2πϕ<.所以=3πϕ，即()sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，()sin g x x = 所以由()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向右平移3π个单位长度可得()sin g x x =的图像. 故选：B【点睛】本题考查三角函数的图像性质，根据图像求解析式，三角函数的图像变换，属于中档题. 8.ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .已知3a =cos sin b A B =，则A =（ ）A.12πB.6π C.4π D.3π 【答案】D 【解析】 【分析】由cos sin b A B =有1sin cos b B A =,再由正弦定理有sin sin a b A B =,1cos A=,可解出答案. 【详解】由cos sin b A B =有1sin cos b B A=,由正弦定理有sin sin a b A B=, 又a =1cos A=.所以tan A =因为A 为ABC V 的内角，则3A π=.故选：D【点睛】本题考查正弦定理的应用，属于中档题.9.已知平面α，β，γ和直线l ，则“αβ∥”的充分不必要条件是（ ） A. α内有无数条直线与β平行 B. l α⊥且l β⊥ C. γα⊥且γβ⊥D. α内的任何直线都与β平行 【答案】B 【解析】 【分析】选择“αβ∥”的充分不必要条件，是分析哪个选项能推出αβ∥，反之不成立. 【详解】A. α内有无数条直线与β平行,则,αβ可能相交或平行，故不能推出αβ∥.B. l α⊥且l β⊥,则αβ∥. 反之不成立，满足条件.C. γα⊥且γβ⊥,则,αβ 可能相交或平行，故不能推出αβ∥.D. α内的任何直线都与β平行是αβ∥的充要条件. 故选：B.【点睛】本题考查充分条件的判断，面面平行的判断，属于基础题.10.函数()22sin 2x x xf x xπ⎛⎫++- ⎪⎝⎭=，其图象的对称中心是（ ） A. ()0,1 B. ()1,1-C. ()1,1D. ()0,1-【答案】D 【解析】 【分析】()22sin 2cos 2=1x x xx f x x x xπ⎛⎫++- ⎪⎝⎭=+-,设2cos g()x x x x=+，则g()x 为奇函数，而()f x 的图像是g()x 的图像向下平移1个单位得到的，从而得到答案.【详解】由()22sin 2cos 2=1x x xx f x x x xπ⎛⎫++- ⎪⎝⎭=+-， 设2cos g()xx x x=+，则g()x 为奇函数,其图像关于原点成中心对称. 所以()()1f x g x =-,()f x 的图像是g()x 的图像向下平移1个单位得到的.所以()f x 的图像关于点(0,1)- 成中心对称. 故选：D【点睛】本题考查函数的奇偶性，考查函数图像的对称性，属于基础题.11.已知点M 为直线30x y +-=上的动点，过点M 引圆221x y +=的两条切线，切点分别为A ，B ，则点()0,1P -到直线AB 的距离的最大值为（ ）A.32B.53C.2D.3【答案】D 【解析】 【分析】设00(,)M x y ，先求出直线AB 的方程001x x y y ⋅+⋅=，由M 点在直线30x y +-=上，得出直线AB 过定点,从而求出答案. 【详解】设00(,)M x y ,过点M 引圆221x y +=的两条切线，切点分别为A ，B .则A ，B 两点在以OM 为直径的圆:22000x x x y y y -⋅+-⋅=上.又A ，B 在圆221x y +=上，所以AB 为两圆的公共弦，将两圆方程联立相减得：001x x y y ⋅+⋅=，即直线AB 的方程001x x y y ⋅+⋅=又点M 在直线30x y +-=上，则003y x =-，代入直线AB 的方程.00(3)1x x y x ⋅+⋅-=,得直线AB 过定点11(,)33N ，所以点()0,1P -到直线AB 的距离：||3d PN ≤==. 故选：D.【点睛】本题考查圆的切线方程，直线过定点问题，点到直线的距离的最值问题,属于难题. 12.若函数()21ln 2f x x ax b x =-+在区间()1,2上有两个极值点，则b 的可能取值为（ ） A. 3 B. 4C. 5D. 6【答案】A【解析】 【分析】函数()f x 的导函数为()2=b x ax bf x x ax x -+'-+=，函数()f x 在区间()1,2上有两个极值点，即方程20x ax b -+=在()1,2内有两个不等实数根，根据二次方程根的分布找出条件，从而达到答案.【详解】()2=b x ax bf x x a x x-+'-+=,函数()21ln 2f x x ax b x =-+在区间()1,2上有两个极值点, 即方程20x ax b -+=在()1,2内有两个不等实数根.所以2=4012210420a b a a b a b ⎧->⎪⎪<<⎪⎨⎪-+>⎪-+>⎪⎩V 以为b 纵坐标，a 为横坐标画出不等式满足的平面区域.曲线214b a =与直线1b a =-相切于点(2,1)， 曲线214b a =与直线24b a =-相切于点(4,4).根据选项，则b 的可能取值在选项中只能为3. 故选：A.【点睛】本题考查极值存在的条件，考查线性规划解决问题，是导数的综合应用，属于难题.第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题13.5321x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为______.（用数字作答） 【答案】10 【解析】 【分析】5321x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为3515515521()()r r r r r r T C x C x x --+==,求常数项即令15150r -=，解得3r = ，然后可得答案.【详解】5321x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为3515515521()()r r r r rr T C x C x x --+==.则5321x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项，令15150r -=,解得3r =，即常数项为345=10T C =故答案为：10.【点睛】本题考查二项式定理中的指定项，考查二项式的通项公式，属于基础题. 14.已知02πα<<，4tan 3α=，则sin cos αα+=______. 【答案】75【解析】 【分析】 由4tan 3α=,则4sin cos 3αα=,由同角三角函数的关系可得sin cos αα，的值，从而可得答案. 【详解】由4tan 3α=，即sin 4cos 3αα=，则4sin cos 3αα=. 由22sin +cos 1αα=有： 2216cos +cos 19αα=. 则29cos 25α=，又02πα<<.所以3cos5α=，44sin cos=35αα=.所以7 sin cos5αα+=.故答案为：7 5【点睛】本题考查同角三角函数关系，注意角的范围，开方符号的选择，属于基础题.15.，则小球体积的最大值为______.【答案】6π【解析】【分析】设长方体的由共一顶点出发的三条棱的长分别为,,a b c，，可得ab bc ac===，从而可解得,,a b c的值，可求得小球半径的最大值，从而得到其体积. 【详解】设长方体的由共一顶点出发的三条棱的长分别为,,a b c，则由条件有ab bc ac===.解得:=1,a b c因为小球在长方体内，则小球的直径的最大值为b边长.所以半径的最大值为12r=，则小球的体积的最大值为：33441()3326rπππ==.故答案为：6π.【点睛】本题考查长方体的内切球，根据长方体的表面的面积求棱长,考查方程思想，属于中档题.16.如图，直线PT和AB分别是函数()33f x x x=-过点()2,2P的切线（切点为T）和割线，则切线PT 的方程为______；若()(),A a f a，()()(),2B b f b b a<<，则a b+=______.【答案】 (1). 2y = (2). 2- 【解析】 【分析】设切点00(,)T x y ，由2()33f x x '=-，得切线的斜率为2033k x =-，求出在点T 处的切线方程，然后将点()2,2P 代入，解出切点的坐标，从而得到切线方程. 再写出直线AB 的方程与()33f x x x =-联立，则,,2a b 为方程的根，应用因式分解和韦达定理可得+a b 的值.【详解】设切点00(,)T x y ,又2()33f x x '=-，则在点T 处的切线的斜率为：2033k x =-.则在点T 处的切线方程为：320000(3)(33)()y x x x x x -+=--， 又点()2,2P 在切线上，则3200002(3)(33)(2)x x x x -+=--， 即3200340x x -+=，解得01x =-或02x =(舍).则(1,2)T -，0k =，所以切线PT 的方程为：2y =. 根据题意直线AB 的斜率一定存在， 设直线AB 的方程为：(2)2y k x =-+ ，由3(2)23y k x y x x=-+⎧⎨=-⎩ 有332(2)x x k x --=- 所以3(4)(2)(2)x x x k x -+-=-， 即2(2)(21)(2)x x x k x -++=- (*)由直线AB 交曲线()33f x x x =-于三点,,A B P所以,,2a b 为方程(*)的根.即,a b 为方程221x x k ++=的两个实数根； 由韦达定理有：2a b +=-. 故答案为：2y = ；2- .【点睛】本题考查曲线的切线，导数的几何意义，考查曲线与方程，直线与曲线的关系,属于难题.三、解答题17.n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，11a =，39S =. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设212n n n b a a -=+，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）21n a n =-（2）24n T n =【解析】 【分析】(1)由条件有131133a S a d=⎧⎨=+⎩，可求出1,a d ，即得到答案. (2)由212n n n b a a -=+，由（1）有21284n n n b a a n -=+=-，则{}n b 为等差数列，可求和. 【详解】解：（1）{}n a Q 为等差数列，设公差为d由131133a S a d=⎧⎨=+⎩ 即111933a a d =⎧⎨=+⎩得：112a d =⎧⎨=⎩ 21n a n ∴=-（2）由（1）可知()21221143n a n n -=--=-, ()222141n a n n =-=-,21284n n n b a a n -=+=-法一：()()21812348442n n n T n n n n +=+++⋅⋅⋅-=⨯-={}n b ∴的前n 项和24n T n =法二：14b =，()1848148n n b b n n --=---+=，{}n b ∴是以首项14b =，公差为8的等差数列()248842n n n T n +-∴=={}n b ∴的前n 项和24n T n =【点睛】本题考查等差数列求通项公式，数列求和，属于中档题.18.在某次数学考试中，从甲乙两个班各抽取10名学生的数学成绩进行统计分析，两个班样本成绩的茎叶图如图所示.（1）用样本估计总体，若根据茎叶图计算得甲乙两个班级的平均分相同，求()10,x x n N <∈的值； （2）从样本中任意抽取3名学生的成绩，若至少有两名学生的成绩相同的概率大于15，则该班成绩判断为可疑.试判断甲班的成绩是否可疑？并说明理由. 【答案】（1）7（2）甲班的成绩可疑，见解析 【解析】 【分析】(1)求出甲、乙两班的平均成绩分别为89,x =甲 则89x =乙可求出x 的值.(2)求出甲班至少有两名学生的成绩相同的概率为321213372831021960C C C C C C ++=，然后根据条件作出判断. 【详解】解：（1）设样本中甲、乙两班的平均成绩分别为x 甲 、x 乙，则 7038039021002533768910x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯==甲70280390410082321245910x x ⨯+⨯+⨯++⨯+⨯++++++=乙43 8410x+ =+x x=Q甲乙43848910x+∴+=7x∴=（2）甲班的成绩可以，理由如下：甲班成绩相同的有：87分3人、75分2人、97分2人∴从样本中任意抽取3名学生的成绩中至少有两名学生成绩相同的概率为：32121337283102191605C C C C CpC++==>∴甲班的成绩可疑【点睛】本题考查茎叶图，平均值，等可能事件的概率，属于基础题.19.在ABCV中（图1），5AB=，7AC=，D为线段AC上的点，且4BD CD==.以BD为折线，把BDCV翻折，得到如图2所示的图形，M为BC的中点，且AM BC⊥，连接AC.（1）求证：AB CD⊥；（2）求二面角B AC D--的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）33434【解析】【分析】(1)根据条件先证明CD⊥平面ABD，然后结论可证.(2)以D为原点，BD、AD、CD所在的直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求二面角的余弦值.【详解】（1）证明：在图1中有：7AC=，4BD CD==，所以3AD=∴在ABD ∆中，5AB =，3AD =，4BD =222AD BD AB ∴+=，所以BD CD ⊥在图2中有：在ABC ∆中，AM BC ⊥，M 为BC 的中点5AB AC ∴==，在ABD ∆中，5AC =，4CD =，3AD =222AC CD AD ∴=+，所以CD AD ⊥翻折后仍有BD CD ⊥又AD 、BD ⊂平面ABD ，AD BD D =I ，CD \^平面ABD AB ⊂Q 平面ABD ，所以CD AB ⊥（2）解：由（1）可知CD 、BD 、AD 两两互相垂直.以D 为原点，BD 、AD 、CD 所在的直线分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,3,0A ，()4,0,0B ，()0,0,4C()4,3,0AB ∴=-u u u r ，()0,3,4AC =-u u u r设平面ABC 的法向量为(),,m x y z =u r，则 430340x y y z -=⎧⎨-+=⎩，令3x =，则4y =，3z =， ()3,4,3m ∴=u rQ 平面ACD 的法向量为()1,0,0n =r334cos ,m n m n m n⋅∴==u r ru r r u r r∴二面角B AC D --【点睛】本题考查线面垂直，线线垂直，二面角，立体几何中求角或距离常用向量法，属于中档题.20.已知函数()xae f x x=（ 2.71828e =⋅⋅⋅为自然对数的底数）.（1）若0a ≠，试讨论()f x 的单调性；（2）对任意()0,x ∈+∞均有()23210xx e ax x ax +---≥，求a 的取值范围.【答案】（1）见解析 （2）1,2e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【解析】 【分析】(1)由()()21x ae x f x x-'=，定义域为{}0x x ≠，对参数a 的符号进行分类讨论. (2)由条件分离参数有()223211x x xe x e x a x xx x +-≤=-++，设()()201xe x g x x x x =->+，则()min a g x ≤,即求()g x 的最小值.【详解】解：（1）()f x 的定义域为{}0x x ≠()()221xx x ae x axe ae f x x x--'== 当0a >时，令()0f x '>，则1x >；()0f x '<，1x <且0x ≠ 当0a <时，令()0f x '>，则1x <且0x ≠；()0f x '<时1x >∴当0a >时，()f x 在()1,+∞单调递增，在()(),00,1-∞ 单调递减；当0a <时，()f x 在()1,+∞单调递减，在()(),00,1-∞单调递增. （2）()30,0x x x ∈+∞∴+>Q()223211x x x e x e x a x xx x +-∴≤=-++在()0,∞+恒成立设()()201x e xg x x x x =->+，则()min a g x ≤法一：()()()()()2222222111111x x e x x e x g x x x x x x ⎡⎤--+⎢⎥'=-=-+⎢⎥++⎣⎦()()01g x x g x '=∴=∴在()0,1为减函数，在()1,+∞为增函数()()min 112g x g e ∴==-12a e ∴≤-，即a 的取值范围为1,2e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦法二：由（1）可知，1a =时，()xe f x x=在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增()f x ∴在1x =处有最小值()1f e =又211112x x x x=<++Q，当且仅当1x x=，即1x =时，()2max 112x x ⎛⎫= ⎪+⎝⎭()g x ∴在1x =处取得最小值12e -12a e ∴≤-，即a 的取值范围为1,2e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【点睛】本题考查讨论函数的单调性，不等式恒成立求参数的问题，考查分离参数的方法，函数的最值，属难题.21.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，且与双曲线2212x y -=有相同的焦点.（1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，点M 满足AM MB =u u u u r u u u r，点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，若直线MP 斜率为32，求ABP △面积的最大值及此时直线l 的方程.【答案】（1）22143x y +=（2）()max 92S ∆=，直线的方程为1:12l y x =--【解析】【分析】(1)有题意有112c c a =⎧⎪⎨=⎪⎩可求解.(2)先讨论特特殊情况, M 是否为原点，然后当AB 的斜率存在时, 设AB 的斜率为k ,表示出||AB 的长度，进一步表示出ABP △的面积,然后求最值.【详解】解：（1）由题设知112c c a =⎧⎪⎨=⎪⎩2a ∴=，23b =∴椭圆的方程为：22143x y +=（2）法一：AM MB =u u u u r u u u rQ M ∴为AB 的中点 又32MP PO k k == 1）当M 为坐标原点时1︒当AB 的斜率不存在时，此时A 、B 为短轴的两个端点112122ABP P S b x ∆=⋅=⨯=2︒当AB 的斜率存在时，设AB 的斜率为k设()11,A x y ，()22,B x y ，则3:2AB l y kx k ⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭，代入椭圆方程 整理得：()2234120kx+-=120x x +=，1221234x x k⋅=-+AB ∴=== P 到AB的距离d =12ABPS AB d ∆=⋅===解一：令()26123432k g k k k -⎛⎫=≠ ⎪+⎝⎭ ()()()212212343k k g k k +-'=+ 令()0g k '=12k ∴=-或32k =∴函数()g k 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭单调递增，13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减，3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增32k >Q 时，()102g k k <∴=-为()g k 的极大值点，也是最大值点 ()max 132g k g ⎛⎫∴=-= ⎪⎝⎭()max ABP S ∆∴=直线方程为12y x =-解二：设612k t -=，则1212t k =- 226123636144431214412k t k t t t t-∴==+-++-Q 要得ABP S ∆的最大值0t ∴>，14424t t+≥ 26123634312k k -∴≤=+当144t t=，12t =时，即61212k -=，12k =-时等号成立()max ABP S ∆∴=12y x =-2）当M 不为原点时，由32MP OP k k ==，M ∴，O ，P 三点共线32MO k ∴=，设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,M x y ， AB l 的斜率为AB k1202x x x ∴+=，1202y y y +=，0032y x =A Q ，B 在椭圆上，22112222143143x y x y ⎧+=⋅⋅⋅⎪⎪∴⎨⎪+=⋅⋅⋅⎪⎩①②-①②得()()()()12121212043x x x x y y y y +-+-+=121212124103y y y y x x y y +-∴+⋅⋅=++241032AB y k x ∴+⋅⋅=，即431032AB k +⨯⋅=12AB k ∴=- 设直线1:2AB l y x m =-+代入椭圆方程，整理得2230x mx m -+-=()22430m m ∆=-->，22m -<<AB ===P 到直线AB的距离d =12S AB d ∆===令()()()322r m m m =-+，()()()2421r m m m '=--+，22m -<<令()0r m '>，21m -<<-，()0r m '<，12m -<<()r m ∴在()2,1--上单调递增，在()1,2-上单调递减1m ∴=-，()()max 127r m r =-=()max 92S ∆∴=>1:12l y x =--综上所述：()max 92S ∆=，直线的方程为1:12l y x =--解二：设()11,A x y ，()22,B x y ，M 为AB 的中点，P 在椭圆上1︒当直线AB 的斜率不存在时，设:AB l x m =则(),0M m ，33212MP k m ==-， 所以0m = :0AB l x ∴=，则A ，B 为短轴上的两个端点1122122ABP P S b x ∆=⋅⋅=⨯=2︒当直线AB 的斜率k 存在时，设:AB l y kx t =+，()00,M x y22143y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得()2223484120k x ktx t +++-= 122834kt x x k +=-+ , 212241234t x x k-⋅=+ 22430k t ∆=-+>()121226234t y y k x x t k ∴+=++=+ 12024234x x kt x k +∴==-+ ，12023234y y t y k+==+ 由0033212MPy k x -==-得()210t k +=0t ∴=或12k =- 下同解法一【点睛】本题考查椭圆方程，直线与椭圆的位置关系，三角形的面积的最值，利用导数讨论单调性求最值的方法，考查运算能力，属于难题.请考生在第22、23两题中选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.在平面直角坐标系xoy 中，点M 的坐标为()1,0，在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，直线l 的方程为cos sin 10ρθρθ+-=.（1）判断点M 与直线l 的位置关系；（2）设直线l 与曲线2:2x t C t t⎧=⎨=⎩（t 为参数，t R ∈）相交于A ，B 两点，求点M 到A ，B 两点的距离之积.【答案】（1）M 在l 上（2）8【解析】【分析】(1)求出直线l 的平面直角坐标系的方程：10x y +-=，将点()1,0M 代入直线方程，可判断.(2)将曲线C 的方程化为直角坐标系方程，24y x =，将直线的方程化为参数方程形式，联立直线方程与曲线C 的方程，则12AB t t =可解.【详解】（1）l 在平面直角坐标系的方程为：10x y +-=将()1,0M 代入得：1010+-=，故M 在l 上（2）曲线C 的直角坐标系方程为：24y x = 直线l的参数方程为：122x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）将直线l的参数方程代入抛物线方程得：280t +-=，则128t t =即M 到AB 两点得距离之积为8.【点睛】本题考查参数方程，普通方程，极坐标方程的互化，直线参数方程中的参数的几何意义的应用，注意直线的参数方程必须为标准的形式，属于中档题.23.已知()f x x a =+（1）若2a =，求不等式()223f x -<的解集；（2）若()()22f x f x m m +-≥+对任意x ∈R 恒成立，求m 的取值范围. 【答案】（1）33,22⎛⎫- ⎪⎝⎭（2）[]2,1m ∈-【解析】【分析】(1) ()223f x -<，则2223x -+<，即|2|3x <，打开绝对值即可得出答案.(2) ()()22f x f x m m +-≥+对任意x ∈R 恒成立,即()()2min [2]f x f x m m +-≥+,然后用绝对值三角不等式可求.【详解】解:（1）()223f x -<即33222322x x -+<⇔-<< 33,22x ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭（2）()()2222f x f x x a x a x a x a +-=+++-≥+--+=()()22f x f x m m +-≥+对任意x ∈R 恒成立,只需22m m ≥+成立,即21m -≤≤，所以[]2,1m ∈-.所以[]2,1m ∈-.【点睛】本题考查绝对值不等式，不等式恒成立求参数的范围，考查绝对值三角不等式的应用.属于中档题.。
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2020届华大新高考联盟原创冲刺模拟试卷（十八）理科数学★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
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7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第I 卷（共60分）一. 选择题：（本题包括12小题，每小题5分，共60分.每小题只有一个选项符合题意）1.已知集合}082|{2≤--=x x x M ，集合}1|{≥=x x N ，则=N M （ ）A. }42|{≤≤-x xB.}1|{≥x xC.}41|{≤≤x xD.}2|{-≥x x 2.i 为虚数单位，复数21iz i =-在复平面内对应的点所在象限为（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3.设R ∈θ，则“π6θ=”是“21sin =θ”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.在等差数列{}n a 中,已知4826a a +=,则该数列前11项和11S =( ) A.58B.88C.143D.1765.若π1cos()42θ-=,则sin 2θ= ( )A.12-B.C.126.函数)y x ωϕ=+其中(0,0π)ωϕ><<，的图象的一部分如图所示，则( )A. π3π,84ωϕ==B. ππ,84ωϕ==C. ππ,42ωϕ==D.π3π,44ωϕ==7.已知0,0,2a b a b >>+=,则14y a b=+的最小值是( ) A.72 B.4 C.92D.58.我国古代数学名著《九章算术》记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无丈．刍，草也；甍，屋盖也．”翻译为：“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍字面意思为茅草屋顶．”如上图，为一刍甍的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形．则它的体积为（ ）A ．1603B ．160C ．2563D ．649.已知ABC △是边长为2的等边三角形，D 为BC 的中点，且23BP BC =，则AD AP ⋅=( )A.B.1C. D. 310.函数3)y x x =+的图象大致为( )A.B.C.D.11.函数3()log sin πf x x x =-在区间[]2,3-上零点的个数为( ) A.6B.5C.7D.812.若函数1()sin 2sin 4f x x x a x =--在(),-∞+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是( )A ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[]1,1-D ．11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦第II 卷（非选择题 共90分）二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
把答案填写在题中横上）13.观察下列各式：31=1,3321+2=3,33321+2+3=6,333321+2+3+4=10,…,由此推得：33331+2+3+n = ．14.若,x y 满足约束条件40,20,20,x y x x y -+≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩则2z x y =+的最小值为__________．15.已知向量a 与b 的夹角为120°，2||=a ，1||=，则=-|2|b a ________.16. ()f x 是定义在R 上的函数,其导函数为()f x '．若()(),(1)2019f x f x f '>=，则不等式()2019x ef x e > (其中e 为自然对数的底数)的解集为 ．三. 解答题 （本大题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本小题10分）已知ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知2cos (cos cos ).C a B b A c +=(1)求C ;(2)若c ABC △,求ABC △的周长.18.（本小题12分）已知函数2ππ()2sin()cos()22222x x x f x =-++ （1）求()f x 的最小正周期； （2）求函数的单调减区间（3）求()f x 在区间[0,π]上的最大值和最小值．19. （本小题12分）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足: 2n S n =（1）求数列{}n a 的通项公式（2）记11n n n b a a +=⋅,求数列{}n b 的前n 项和n T20. （本小题12分）设数列{}n a 满足：11a =，121n n a a +=+. （1）证明：数列{}1n a +为等比数列，并求出数列{}n a 的通项公式. （2）求数列(){}1n n a ⋅+的前n 项和n T .21. （本小题12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ,PD DC =，E 是PC 的中点，作EF PB ⊥交PB 于点F ．（1）证明 : //PA 平面EDB ； （2）证明:PB ⊥平面EFD.22. （本小题12分）已知函数2()(1)3ln ,R f x x a x a =+-∈．（1）当1a =时，求()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程及函数()f x 的单调区间；（2）若对任意[]1,,()4x e f x ∈≤恒成立，求实数a 的取值范围理科数学参考答案一、选择题1.C2.D3.A4.C 5A 6.B7. C 8.A 9.D 10.B 11.A 12.A二、填空题13.答案：22(1)4n n +14.答案：215.答案：3216.答案： (1,)+∞三、解答题17.答案：(1)由已知及正弦定理得,()2cos sin cos sin cos sin C A B B A C +=, 即()2cos sin sin C A B C +=, 故2sin cos sin C C C =. 可得1cos 2C =, 所以π3C =.(2)由已知1sinC 2ab .又π3C =,所以6ab =.由已知及余弦定理得222cos 7a b ab C +-=, 故2213a b +=,从而()225a b +=.所以ABC △的周长为5.18.答案：1.x x x f sin cos 3)(+=)cos 23sin 21(2x x +=π2sin()3x =+ 所以)(x f 的最小正周期为2π． 2. [0,π]x ∈时，ππ4π[,]333x +∈， 当ππ4π[)323x +∈,，即π[π]6x ∈,时，)(x f 单调减． 当ππ32x +=，即π6x =时，)(x f 最大为2． 解析：解析：19.答案：1.由于2n S n =当1n =时, 111a S ==,当2n ≥时, 121n n n a S S n -=-=-, 且当1n =时上式仍成立,21n a n ∴=-2. 111111()(21)(21)22121n n n b a a n n n n +===-⋅-+-+111111(1)2335212121n n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-= ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎣⎦20.答案：（1）1n =时，1112n a a +=+=， 当1n >时， 因为121n n a a +=+，所以()112221n n n a a a ++=+=+即1121n n a a ++=+， 所以数列{}1n a +是首项为2，公比为2的等比数列； 所以11222n n n a -+=⋅=， 所以21n n a =-.（2）由题意1231222322n n T n =⋅+⋅+⋅++⋅，则234121222322n n T n +=⋅+⋅+⋅++⋅，两式相减得：1231121212122n n n T n +-=⋅+⋅+⋅++⋅-⋅()1212212n n n +-=-⋅-()1212n n +=---⋅，所以()1122n n T n +=-⋅+.解析： 解析：21.答案：1.证明:连结AC ，AC 交BD 于O ．连结EO ． ∵底面ABCD 是正方形∴点O 是AC 的中点．在△PAC 中，EO 是中位线， ∴PA //EO ．而EO ⊂平面EDB ， 且PA ⊄平面EDB ， 所以,PA //平面EDB2.∵PD ⊥底面ABCD ，且BC ⊂底面ABCD ∴PD ⊥BC .∵ 底面ABCD 是正方形，有DC ⊥BC ,PD DC D =I ，PD ⊂平面PDC ，DC ⊂平面PDC ,∴ BC ⊥平面PDC ． 而DE ⊂平面PDC ， ∴DE ⊥BC .又∵PD CD =,E 是PC 的中点，∴DE ⊥PC ，PC BC C =I ，BC ⊂平面PBC ，PC ⊂平面PBC .∴DE ⊥平面PBC ．而PB ⊂平面PBC ，∴DE ⊥PB ．又EF ⊥PB ，且DE EF E =I ，DE ⊂平面EFD ，EF ⊂平面EFD ，所以PB ⊥平面EFD解析： 22.答案：(1) 当1a =时，2()(1)3ln ,(1)4f x x x f =+-= 3()22,(1=1f x x f x''=+-）则切线方程为41(1)y x -=⨯-即3y x =+当()0,x ∈+∞，3()220f x x x '=+->，即x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时，()f x 单调递增；当()0,x ∈+∞，3()220f x x x '=+-<，即x ⎛∈ ⎝⎭时，()f x 单调递减． (2)23223()22(0)a x x af x x x x x+-'=+-=> ．当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在[]1,e 上单调递增． min ()(1)4,()4f x f f x ==≤不恒成立．当0a >时，设2()2+23,0g x x x a x =-> ∵()g x 的对称轴为1,(0)302x g a =-=-<∴()g x 在(0,)+∞上单调递增，且存在唯一0(0,)x -∈+∞使得0()0g x =． ∴当0(0,),()0x x g x ∈<即()0f x '<，()f x 在0(0,)x 上单调递减； 当0(,)x x ∈+∞时，()0g x >，即()0f x '>，()f x 在0(,)x +∞上单调递增． ∴()f x 在[]1,e 上的最大值[]max ()max (1),()f x f f e = ∴(1)4()4f f e ≤⎧⎨≤⎩，得2(1)34e a +-≤， 解得2(1)43e a +-≥.。