小学五年级奥数复习：倍数整除

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小学奥数关于数的整除规律

数的整除规律1、一个数的个位上是2、4、6、8、0的数都能被2整除。

2、一个数的数字之和能被3或9整除，这个数就能被3或9整除。

3、这一个数的末两位如果能被4或者25整除，这个数就能被4或者25整除。

4、个位上是0或5的数都能被5整除。

5.这个数的末位数与末三位以前的数字所组成的数之差能被7,11或13整除，则原数能被7,11或13整除。

6.这个数的末三位如果能被8或者125整除，这个数就一定能被8或者125整除。

7.若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。

能被2、3、4、5、6、7、8、9等数整除的数的特征性质1：如果数a、b都能被c整除，那么它们的和（a+b）或差(a－b)也能被c整除。

性质2：几个数相乘，如果其中有一个因数能被某一个数整除，那么它们的积也能被这个数整除。

能被2整除的数，个位上的数能被2整除（偶数都能被2整除），那么这个数能被2整除能被3整除的数，各个数位上的数字和能被3整除，那么这个数能被3整除能被4整除的数，个位和十位所组成的两位数能被4整除，那么这个数能被4整除能被5整除的数，个位上为0或5的数都能被5整除，那么这个数能被5整除能被6整除的数，各数位上的数字和能被3整除的偶数，如果一个数既能被2整除又能被3整除，那么这个数能被6整除能被7整除的数，若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。

如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。

能被8整除的数，一个整数的末3位若能被8整除，则该数一定能被8整除。

五年级上册秋季奥数培优讲义——5-03-倍数因数4-讲义-教师

第3讲倍数和因数【学习目标】1、掌握三类数字整除特征；2、掌握公因数、公倍数和其实际应用。

【知识梳理】1、如果整数a能被整数b(b≠0)整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数（或a的约数）。

2、一些特殊的数的倍数的特征：（1）尾数系：2、5 / 4、25 / 8、125①末一位：个位上是0，2，4，6，8的数是2的倍数；个位上是0或5的数是5的倍数；②末两位：末两位组成的数是4或者25的倍数；③末三位：末三位组成的数是8是125的倍数。

（2）和系：3、9①看数字之和是否为3或9的倍数；②划数法：弃3、弃9。

（3）差系：7、11、13①把这个数的末三位与末三位之前的数作差(大减小)，看这个差是否为7、11、13的倍数；②11：从右边开始，奇数位数字和与偶数位数字和的差值，能否被11整除。

3、公因数：就是几个数公共的约数，其中最大的一个称为最大公因数；4、公倍数：就是几个数公共的倍数，其中最小的一个称为最小公倍数.5、记法：两个数A、B的最因大公因数记做(A、B)；两个数A、B的最小公倍数记做[A、B]。

6、结论：A×B＝最大公因数×最小公倍数。

【典例精析】【例1】下面6个自然数:136、990、522、6375、9063、1125中:（1）哪些能被2整除? 哪些能被4整除? 哪些能被8整除?（2）哪些能被5整除?哪些能被25整除整除? 哪些能被125整除整除?（3）哪些能被3整除? 哪些能被9整除?（1）2：136、990、522；4：136；8：136（2）5：990、6375、1125；25：6375、1125；125：6375、1125（3）3：990、522、6375、9063、11259：990、522、9063、1125【趁热打铁-1】下面五个自然数：238224、95147、75163哪些能被7整除? 哪些能被11整除? 哪些能被13整除?7：23822411：7516313：95147【例2】从0、5、6、7四个数中任意选出三个数，组成一个是3的倍数的三位数。

小学五年级奥数解析01-2：数的整除问题

解：把3546725分为3546和725两个数.因为3546-725=2821.再把2821分为2和821两个数，因为8 21—2＝819，又13｜819，所以13｜2821，进而13｜3546725.二、例题解：∵45=5×9，∴根据整除“性质2”可知∴y可取0或5。

∴满足条件的六位数是519930或919935。

例2 李老师为学校一共买了28支价格相同的钢笔，共付人民币9□.2□元.已知□处数字相同，请问每支钢笔多少元？解：∵9□.2□元=9□2□分28＝4×7，∴根据整除“性质2”可知4和7均能整除9□2□。

4｜2□可知□处能填0或4或8。

因为79020，79424，所以□处不能填0和4；因为7｜9828，所叫□处应该填8。

又∵9828分=98.28元98.28÷28＝3.51（元）答：每支钢笔3.51元。

个条件的整数。

∴根据能被11整除的数的特征可知：1+2+3+4+5的和与5a之差应是11的倍数，即11｜（15—5a）.或11｜（5a—15）。

但是15—5a=5（3—a），5a—15=5（a—3），又（5，11）=1，因此111（3—a）或11｜（a—3）。

又∵a是数位上的数字。

∴a只能取0～9。

所以只有a=3才能满足11｜（3—a）或11｜（a—3），即当a=3时，11｜15—5a。

符合题意的整数只有1323334353。

解：∵91=7×13，且（7，13）＝1。

根据一个数能被7或13整除的特征可知：因为（7，10）=1，（13，10）＝1，所以7，13也就是7因此，用一次性质（特征），就去掉了两组；反复使用性质996次，最后转化成：原数能被7以及13整除，当且仅当能被7以及13整除。

又∵91的倍数中小于1000的只有91×4=364的百位数字是3，∴=364例5 在865后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，且使这个数值尽可能的小。

五年级奥数数的整除全国通用

6和、可在能那算是式么91的a1b1倍cda或ebX2c倍3d，=ea即b=c和de是11中90或不01同08。0的0字母+表x示，不同ab的c数d字e，l1相=同1字0母x表+示1相，同的可数字得，求到abc方de。程:
2、有一个四位数7A2B能被2、3、5整除，这个四位数是多少?
五位数A691B能被55整除，符合要求的五位数有哪些? ( 100000 +x) x3=10x+ 1
答:符合要求的五位数是96910和46915。
1、四位数3AA1能被9整除，求A的值。
四位数3AA1要是9的倍数，它的各个数位之和就必须是9的倍数，3 +A+A+1的和可能是9或18 当3 +A+A+1 =9时，A=2.5，2.5不是自然数，不符合题目要求。当3+A+A+1=18时，A=7，符合题目要求
300000 +3x= 10x + 1
( 100000 +x) x3=10x+ 1
=abc x1001 性质1:如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被 c整除。 5不是自然数，不符合题目要求。本讲内容较为抽象，同学们可以通过型例题的学习和练习的变式训练提高数感，做到有条理、有根据地思考。性质3:如果b、c都能整除a,且b与c互质，那么b与c的积也能整除a。 1、四位数3AA1能被9整除，求A的值。解题时应掌握以下整除的性质和特征
这个五位数是46915。
1047、1074、1407、1470、1700. 这样的四位数有7020、7320、7620、7920。
7x = 299999
7x = 299999 用逐步推理的方法，利用末位数字的特点得出结论。

五年级上册奥数专题系列-整数与整除,因数倍数,素数合数,最大公因数与最小公倍数沪教版(2015秋)

例如：三个连续自然数的乘积是不是素数，所以我们只要拿所有小于p的素数去除p就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的p，我们可以先找一个大于且接近p的平方数2K，再列出所有不大于K的素数，用这些素数去除p，如没有能够除尽的那么p就为素数.例如：149很接近1441212=⨯，根据整除的性素149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是素数.四、最大公约数1、公约数思考：六一儿童节这天，老师带着24名女生和32名男生做游戏，要求把这些学生分成人数相等的若干组，每小组中男生和女生人数都相同，最多可分成几组？上面中间数字1、2、4、8就是这两部分共有的因数，我们就叫做公因数，其中8是最大的因数，就叫做最大公因数。

2、最大公约数几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。

3、求最大公因数的方法（1）短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘．例如：2181239632，所以(12,18)236=⨯=；（2）辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数．用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止．那么，最后一个除数就是所求的最大公约数．(如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质的)．例如，求600和1515的最大公约数：151********÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅；6003151285÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅；315285130÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅；28530915÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅；301520÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅；所以1515和600的最大公约数是15．五、最小公倍数1、公倍数思考：在上海南站，地铁1号线每隔3分钟发车，轨道交通3号线每隔4分钟发车，早上6：00同时发车，那么至少再过多少时间它们又同时发车？像上面12、24等就是3和4的公倍数，其中12是最小的，就叫做最小公倍数。

五年级奥数第二讲：整除的进阶

第二讲：整除问题进阶上讲我们学习了一些常用的整除判断方法，本讲我们再学习一些新的判断方法。

一、截断作和。

能被99整除的数的特征：从个位开始每两位一截，得到的所有两位数（最前面的可以是一位数，在前面加个0相当于是两位数）之和能被99整除。

举个例子：9912875643是不是99的倍数？方法1：99 12 87 56 43-------99 + 12 + 87 + 56 + 43=99×3=297，和是99的倍数，所以这个数就是99的倍数。

还可以怎么做？方法2：99=9×11，是9的倍数也是11的倍数。

是9的倍数，数字和是9的倍数。

9+9+1+2+8+7+5+6+4+3=54，54÷9=6，所以这个数是9的倍数；是11的倍数，奇偶位和差分析法。

奇数位的和：3+6+7+2+9=27偶数位的和：4+5+8+1+9=27差是：27-27=0 0÷11=0，所以这个多位数是11的也是9的即99的倍数。

1、六位数（）2008（）能同时被9和11整除。

这个六位数是多少？分析：是9的倍数也是11的倍数即是：9×11=99的倍数。

设六位数是BA2008。

两位一截。

共3个两位数。

+=+≤A+BA+B2=891818922008和应该是99的倍数，所以只能是99×1=99成立，99×2=198不成立。

=99，所以A=1,B=7，所以这个六位数是：120087。

答：120087。

2、已知九位数1234（）（）789能被99整除。

这个九位数是多少？分析：设1234（A ）（B）789，从个位开始，两位一截，得到：1、23、4（A ）、（B）7 、89，和是：01+23+两位数4A+两位数B7+89=113+40+A+B×10+7=160+A+10×B=99的倍数。

160+A+10×B的最小值：160+0+10×0=160（A和B在中间可以最小是0 。

小学五年级奥数天天练及答案：整除问题

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小学五年级奥数天天练及答案：整除问题
1.难度：★★
在两位数中，能被其各位数字之和整除，而且除得的商恰好是4的有几个?
【分析】题目条件涉及到两位数及其各位数字之和，这就提示我们设两位数的十位数字和个位数字分别为a和b，根据题目条件，我们有：(10a+b)=(a+b)×4。

即10a+b=4a+4b,亦即b=2a.注意到a和b都是0到9的整数且a不能为0，因此a只能为1、2、3或4，相应地b的取值为2、4、6、8.综上分析，满足题目条件的两位数共有4个，它们是12、24、36和48.
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五年级奥数专题-数的整除

五年级奥数专题-数的整除如果整除a 除以不为零数b,所得的商为整数而余数为0,我们就说a 能被b 整除,或叫b 能整除a.如果a 能被b 整除,那么,b 叫做a 的约数,a 叫做b 的倍数.数的整除的特征：（1）能被2整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是2、4、6、8、0,那么这个整数一定能被2整除.（2）能被3（或9）整除的数的特征：如果一个整数的各个数字之和能被3（或9）整除,那么这个整数一定能被3（或9）整除.（3）能被4（或25）整除的数的特征：如果一个整数的末两位数能被4（或25）整除,那么这个数就一定能被4（或25）整除.（4）能被5整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是0或5,那么这个整数一定能被5整除.（5）能被6整除的数的特征：如果一个整数能被2整除,又能被3整除,那么这个数就一定能被6整除.（6）能被7（或11或13）整除的数的特征：一个整数分成两个数,末三位为一个数,其余各位为另一个数,如果这两个数之差是0或是7（或11或13）的倍数,这个数就能被7（或11或13）整除.（7）能被8（或125）整除的数的特征：如果一个整数的末三位数能被8（或125）整除,那么这个数就一定能被8（或125）整除.（8）能被11整除的数的特征：如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差（大减小）能被11整除,那么它必能被11整除.一、例题与方法指导例1. 一个六位数23□56□是88的倍数,这个数除以88所得的商是_____或_____.思路导航：一个数如果是88的倍数,这个数必然既是8的倍数,又是11的倍数.根据8的倍数,它的末三位数肯定也是8的倍数,从而可知这个六位数个位上的数是0或8.而11的倍数奇偶位上数字和的差应是0或11的倍数,从已知的四个数看,这个六位数奇偶位上数字的和是相等的,要使奇偶位上数字和差为0,两个方框内填入的数字是相同的,因此这个六位数有两种可能或又 23056088=2620238568÷88=2711所以,本题的答案是2620或2711.例2. 123456789□□,这个十一位数能被36整除,那么这个数的个位上的数最小是_____.思路导航：因为36=9⨯4,所以这个十一位数既能被9整除,又能被4整除.因为1+2+…+9=45,由能被9整除的数的特征,（可知□+□之和是0（0+0）、9（1+8,8+1,2+7,7+2,3+6,6+3,4+5,5+4）和18（9+9）.再由能被4整除的数的特征:这个数的末尾两位数是4的倍数,可知□□是00,04,…,36,…,72,…96.这样,这个十一位数个位上有0,2,6三种可能性.所以,这个数的个位上的数最小是0.例3. 下面一个1983位数33…3□…4中间漏写了一个数字(方框),已 991个 991个知这个多位数被7整除,那么中间方框内的数字是_____.思路导航：33...3□44 (4)991个个=33...3⨯10993+3□4⨯10990+44 (4)990个 990个因为111111能被7整除,所以33…3和44…4都能被7整除,所以只要990个 990个3□4能被7整除,原数即可被7整除.故得中间方框内的数字是6.例4. 有三个连续的两位数,它们的和也是两位数,并且是11的倍数.这三个数是_____.思路导航：三个连续的两位数其和必是3的倍数,已知其和是11的倍数,而3与11互质,所以和是33的倍数,能被33整除的两位数只有3个,它们是33、66、99.所以有当和为33时,三个数是10,11,12；当和为66时,三个数是21,22,23；当和为99时,三个数是32,33,34.所以,答案为 10,11,12或21,22,23或32,33,34.[注]“三个连续自然数的和必能被3整除”可证明如下：设三个连续自然数为n,n+1,n+2,则n+(n+1)+(n+2)=3n+3=3(n+1)所以,)2+nn+n能被3整除.(+)1(+二、巩固训练1.有这样的两位数,它的两个数字之和能被4整除,而且比这个两位数大1的数,它的两个数字之和也能被4整除.所有这样的两位数的和是____.2.一个小于200的自然数,它的每位数字都是奇数,并且它是两个两位数的乘积,那么这个自然数是_____.3.任取一个四位数乘3456,用A表示其积的各位数字之和,用B表示A的各位数字之和,C表示B的各位数字之和,那么C是_____.4.有0、1、4、7、9五个数字,从中选出四个数字组成不同的四位数,如果把其中能被3整除的四位数从小到大排列起来,第五个数的末位数字是_____.1. 118符合条件的两位数的两个数字之和能被4整除,而且比这个两位数大1的数,如果十位数不变,则个位增加1,其和便不能整除4,因此个位数一定是9,这种两位数有:39、79.所以,所求的和是39+79=118.2． 195因为这个数可以分解为两个两位数的积,而且15⨯15=225>200,所以其中至少有1个因数小于15,而且这些因数均需是奇数,但11不可能符合条件,因为对于小于200的自然数凡11的倍数,具有隔位数字之和相等的特点,个位百位若是奇数,十位必是偶数.所以只需检查13的倍数中小于200的三位数13⨯13=169不合要求,13⨯15=195适合要求.所以,答案应是195.3. 9根据题意,两个四位数相乘其积的位数是七位数或八位数两种可能.因为3456=384⨯9,所以任何一个四位数乘3456,其积一定能被9整除,根据能被9整除的数的特征,可知其积的各位数字之和A也能被9整除,所以A有以下八种可能取值:9,18,27,36,45,54,63,72.从而A的各位数字之和B总是9,B的各位数字之和C也总是9.4. 9∵0+1+4+7+9=21能被3整除,∴从中去掉0或9选出的两组四个数字组成的四位数能被3整除.即有0,1,4,7或1,4,7,9两种选择组成四位数,由小到大排列为:1047,1074,1407,1470,1479,1497….所以第五个数的末位数字是9.三、拓展提升1. 找出四个互不相同的自然数,使得对于其中任何两个数,它们的和总可以被它们的差整除,如果要求这四个数中最大的数与最小的数的和尽可能的小,那么这四个数里中间两个数的和是多少？2．只修改21475的某一位数字,就可知使修改后的数能被225整除,怎样修改？3． 500名士兵排成一列横队.第一次从左到右1、2、3、4、5（1至5）名报数；第二次反过来从右到左1、2、3、4、5、6（1至6）报数,既报1又报6的士兵有多少名？4. 试问,能否将由1至100这100个自然数排列在圆周上,使得在任何5个相连的数中,都至少有两个数可被3整除？如果回答：“可以”,则只要举出一种排法；如果回答：“不能”,则需给出说明.答案1. 如果最小的数是1,则和1一起能符合“和被差整除”这一要求的数只有2和3两数,因此最小的数必须大于或等于2.我们先考察2、3、4、5这四个数,仍不符合要求,因为5+2=7,不能被5-2=3整除.再往下就是2、3、4、6,经试算,这四个数符合要求.所以,本题的答案是(3+4)=7.2. 因为225=25 9,要使修改后的数能被25整除,就要既能被25整除,又能被9整除,被25整除不成问题,末两位数75不必修改,只要看前三个数字即可,根据某数的各位数字之和是9的倍数,则这个数能被9整除的特征,因为2+1+4+7+5=19,19=18+1,19=27-8,所以不难排出以下四种改法:把1改为0；把4改为3；把1改为9；把2改为1.3. 若将这500名士兵从右到左依次编号,则第一次报数时,编号能被5整除的士兵报1；第二次报数时,编号能被6整除的士兵报6,所以既报1又报6的士兵的编号既能被5整除又能被6整除,即能被30整除,在1至500这500个自然数中能被30整除的数共有16个,所以既报1又报6的士兵共有16名.4. 不能.假设能够按照题目要求在圆周上排列所述的100个数,我们来按所排列顺序将它们每5个分为一组,可得20组,其中每两组都没有共同的数,于是,在每一组的5个数中都至少有两个数是3 的倍数.从而一共有不少于40个数是3 的倍数.但事实上,在1至100的自然数中有33个数是3的倍数,导致矛盾.。

奥数整除知识点总结

奥数整除知识点总结整除是关于数学中的一种基本概念，是指一个数能够被另一个数整除，也就是能够被另一个数整数倍的数。

在奥数学习中，整除是一个非常重要的知识点，对于学生来说，掌握整除的相关知识是非常重要的。

本文将对奥数整除知识点进行详细的总结，希望能帮助学生更好地掌握整除的相关知识。

一、整数的概念在奥数学习中，整数是一个非常基本的概念。

整数包括正整数、负整数和零。

正整数是大于零的整数，负整数是小于零的整数，零是不大于也不小于零的整数。

在奥数整除的相关题目中，通常涉及到正整数的整除，因此在奥数学习中，学生需要了解和掌握正整数的相关概念。

二、整除的概念整除是指一个数能够被另一个数整除，也就是能够被另一个数整数倍的数。

在奥数学习中，整除是一个非常基础的概念，掌握整除的相关知识对学生来说是非常重要的。

当一个数a能够被另一个数b整除时，我们通常用"a能被b整除"表示，也可以用数学符号"a|b"表示。

对于两个整数a和b，如果存在另一个整数c，使得b=ac，那么我们就说a能被b整除。

三、整数的性质在奥数整除的相关题目中，通常会涉及到整数的一些基本性质，学生需要了解和掌握整数的一些基本性质。

下面我们将介绍整数的一些基本性质：1. 整数的加法性质：对于任意两个整数a和b，它们的和a+b也是一个整数。

2. 整数的减法性质：对于任意两个整数a和b，它们的差a-b也是一个整数。

3. 整数的乘法性质：对于任意两个整数a和b，它们的积ab也是一个整数。

4. 整数的除法性质：对于任意两个整数a和b，当a能够被b整除时，它们的商a/b也是一个整数。

四、整除的性质在奥数整除的相关题目中，通常会涉及到整除的一些基本性质，学生需要了解和掌握整除的一些基本性质。

下面我们将介绍整除的一些基本性质：1. 整除的传递性：如果a能被b整除，b能被c整除，那么a能被c整除。

2. 整除的继承性：如果a能被b整除，b能被c整除，那么a能被c整除。

苏教版五年级数学下册奥数培优第4讲因数与倍数(数的整除)

第4讲简易方程（列方程解决问题）知识概述整除是指整数a除以整数b(0除外)除得的商正好是整数而余数是零，我们就说a能被b整除(或说b能整除a)，记作b|a，读作“b整除a”或“a能被b整除”。

它与除尽既有区別又有联系。

除尽是指数a除以数b(b≠0)所得的商是整数或有限小数而余数是零时，我们就说a 能被b除尽(或说b能除尽a)。

因此整除与除尽的区別是:整除是指被除数、除数以及商都是整数，而余数是零;除尽并不局限于整数范围内，被除数、除数以及商可以是整数，也可以是有限小数，只要余数是零就可以了。

它们之间的联系就是整除是除尽的特殊情况。

整除的一些性质为：(1)如果a与b都能被c整除，那么a+b与a-b也能被c整除。

(2)如果a能被b整除，c是任意整数，那么积ac也能被b整除。

(3)如果a同时被b与c整除，并且b与c互质，那么a一定能被积bc整除。

反过来也成立。

有关数的整除特征：(1)能被2整除的数的特征是:个位数字为0，2，4，6，8的整数。

(2)能被5整除的数的特征是:个位数字为0，5的整数(3)能被2，5整除的数的特征是:个位数字为0的整数。

(4)能被3(或9)整除的数的特征是:各个数位上的数字之和是3(或9)的倍数的整数。

(5)能被2，3，5整除的数的特征是:个位数字为0，且各个数位上的数字之和是3的倍数的整数。

(6)能被4，25整除的数的特征是:末两位能被4，25整除的整数。

如2168，因为68能被4整除(或者说68是4的倍数)，我们就说2168能被4整除，但不能被25整除。

而如2175就能被25整除，但不能被4整除。

而2100既能被25整除，也能被4整除。

(7)能被8，125整除的数的特征是:末三位能被8，125整除的整数。

如23625，因为625是125的倍数，不是8的倍数，所以23625能被125整除，而不能被8整除。

(8)能被11整除的数的特征是:这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差(大减小)是11的倍数。

小学五年奥数-数的整除

数的整除【知能大展台】1．整除的概念对于整数a和不为零的整数b，如果数a除以数b的商是整数且没有余数，我们就说a能被b整除，b能整除a,记作b|a;a叫做b的倍数，b叫做a 的约数。

2．数的整除性质①如果数a能被数c整除，数b也能被数c 整除，那么它们的和（a+b）或差(a-b)也能被c整除c|a,c|b，则c|a±b。

②几个整数相乘，如果其中有一个因数能被某一个数整除，则这几个数的积也能被这个数整除。

③数a能被数b整除，数a也能被数c整除，如果b,c互质，那么数a能被b与c的积整除。

3．数的整除特征①一个整数的末一位数能被2或5整除，那么这个数就能被2或5整除②一个整数的末两位数能被4或25整除，那么这个数就能被4或25整除③一个整数的末三位数能被8或125整除，那么这个是就能被8或125整除④一个整数的各数位上数字的和能被3或9整除，那么这个数就能被3或9整除⑤一个整数的奇数位（指个位，百位，万位……）上的数字之和与偶数位（指十位，千位，十万位……）上的数字之和的差能被11整除，那么这个数就能被11整除⑥一个整数的末三位数与末三位数以前的数字组成的数的差能被7，11或13整除，那么这个数就能被7，11或13整除【试金石】例1.小马虎在一张纸上写了一个无重复数字的五位数；3□6□5，其中十位数字和千位数字看不清楚了，但是已知这个数是75的倍数，那么满足上述条件的五位数中，最大的一个是多少？【分析】因为五位数3□6□5能被75整除，而75=3×25，3与25互质。

所以3□6□5能同时被3和25整除。

3□6□5能被25整除，由于末尾是5，所以十位数字只能是2或7，即末两位数只能是25或75。

当末两位数是25时，3□625呢功能被3整除，起各位数字之和必须能被3整除，则千位数字只能是2，5，8，而这些五位数中最大的一个是38625，且无重复数字。

同理当末两数是75时，能被3整除的最大五位数是39675，且无重复数字。

小学五年级奥数：数的整除知识点汇总+例题解析

小学五年级奥数：数的整除知识点汇总+例题解析.DOC数的整除问题,内容丰富,思维技巧性强。

它是小学数学中的重要课题,也是小学数学竞赛命题的内容之一。

一、基本概念和知识1.整除——约数和倍数例如：15÷3=5,63÷7=9一般地,如a、b、c为整数,b≠0,且a÷b=c,即整数a除以整除b（b不等于0）,除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0）,我们就说,a能被b整除（或者说b 能整除a）。

记作b｜a.否则,称为a不能被b整除,（或b不能整除a）,记作ba。

如果整数a能被整数b整除,a就叫做b的倍数,b就叫做a的约数。

例如：在上面算式中,15是3的倍数,3是15的约数;63是7的倍数,7是63的约数。

2.数的整除性质性质1：如果a、b都能被c整除,那么它们的和与差也能被c整除。

即：如果c｜a,c｜b,那么c｜（a±b）。

例如：如果2｜10,2｜6,那么2｜（10＋6）,并且2｜（10—6）。

性质2：如果b与c的积能整除a,那么b与c都能整除a.即：如果bc｜a,那么b｜a,c｜a。

性质3：如果b、c都能整除a,且b和c互质,那么b与c的积能整除a。

即：如果b｜a,c｜a,且（b,c）=1,那么bc｜a。

例如：如果2｜28,7｜28,且（2,7）=1,那么（2×7）｜28。

性质4：如果c能整除b,b能整除a,那么c能整除a。

即：如果c｜b,b｜a,那么c｜a。

例如：如果3｜9,9｜27,那么3｜27。

3.数的整除特征①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义：一方面,个位数字是偶数（包括0）的整数,必能被2整除;另一方面,能被2整除的数,其个位数字只能是偶数（包括0）.下面“特征”含义相似。

②能被5整除的数的特征：个位是0或5。

③能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。

④能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。

小学五年级奥数--数的整除特征(1)

4、四位数“3AA1”是9的倍数，那么A=_____
5、在“25□79这个数的□内填上一个数字,使这个数能被11整除, 方格内应填_____。
6、在1992后面补上三个数字，组成一个七位数，使它们分别能被2 3、5、11整除，这个七位数最小值是多少？
应用举例（一）判断一个数能不能被整除
• • • • 例1、 ①判断35112能不能被7、11、13整除 ②33333333468375能不能被125整除 ③1234567891011121314能不能被3和9整除
• ①判断35112能不能被7、11、13整除 • 回忆：能被7、11、13整除的数的特征： • 末三位数字与前面的数字的差（大减小）能被7、11、13整除。 • 解： 112－35＝77 • 因为 7∣77 ， 11∣ 77， 13 77 • 答：35112能被7和11整除，但不能被13整除。
数的整除性质3
• 性质3： • 如果b、c都能整除a，且b和c 互质，那么b、c的积能整除a 。 • 即：如果b︱a ， c︱a 且（b，c）＝1，那么 bc︱a。 • 例如 8︱324685008 ， 9︱324685008 且（8，9）＝1， • 那么 72︱324685008。
数的整除性质4
第一单元数的整除特征
熟记整除的性质，以及能被2、3、 4、5、7、8、9、11、13、25、125整除的数的特征，能应用性质和特征解决简单的数字问题及生活中的问题
（一）整除——约数、倍数
• 像15÷3＝5，63÷7＝9这样， • 一般的，如果a、b、c为整数，b≠0，且 a÷b＝c，即整数a除以整数b所得的商正好等于c且没有余数，我们就说a能被b整除（或者说b能整除a），记作：b︱a， • 否则，称a不能被b整除（或b不能整除a），记作：b a

五年级奥数-数的整除问题

五年级奥数-数的整除问题介绍本文档将涵盖五年级奥数中与数的整除问题相关的内容。

数的整除是数学中的一项基本概念，它在解决实际问题和数学推理中起着重要的作用。

数的整除定义两个整数a和b，若存在整数c，使得c * b = a，则称a能被b 整除，记作b|a。

其中a称为被除数，b称为除数，c称为商。

整除的特性1. 如果a能被b整除，那么a的所有倍数也能被b整除。

2. 如果a能被b整除，b能被c整除，那么a也能被c整除。

3. 如果a能被b整除，b能被a整除，那么a和b相等。

判断一个数能否被另一个数整除的方法1. 试除法：从除数的最小可能取值开始逐步增加，直到找到一个能整除被除数的除数或者超过了被除数的一半。

如果找到了能整除的除数，则其为被除数的因数；否则，被除数为质数。

试除法：从除数的最小可能取值开始逐步增加，直到找到一个能整除被除数的除数或者超过了被除数的一半。

如果找到了能整除的除数，则其为被除数的因数；否则，被除数为质数。

2. 质因数分解法：将被除数和除数都进行质因数分解，然后比较它们的质因数是否相同。

如果除法相同，则说明除数能够整除被除数；否则，不可整除。

质因数分解法：将被除数和除数都进行质因数分解，然后比较它们的质因数是否相同。

如果除法相同，则说明除数能够整除被除数；否则，不可整除。

数的整除问题的应用数的整除问题在实际生活和数学中都有广泛的应用，例如：1. 分配问题：将一定数量的物品平均分给每个人，需要确定每个人能够得到多少个物品，就需要解决数的整除问题。

2. 判断质数：质数是只能被1和自身整除的数，通过判断能否被其他数整除，可以检验一个数是否为质数。

3. 数论问题：在数论研究中，数的整除问题是一个重要的主题，涉及到数的性质和结构等方面。

总结数的整除是五年级奥数中的基本概念之一，通过研究整除的定义、特性和判断方法，可以解决实际问题和进行数学推理。

在实际生活和数学领域中，数的整除问题有着广泛的应用，我们应该加强对该概念的理解和掌握。

小学五年级数学学习整除与倍数的概念及其应用

小学五年级数学学习整除与倍数的概念及其应用数学是一门抽象而又实用的学科，它在我们日常生活中无处不在。

而在小学阶段，我们需要掌握一些基本的数学概念和运算规则。

其中，整除与倍数是数学学习的重要内容之一。

本文将介绍小学五年级数学学习整除与倍数的概念及其应用。

一、整除的概念整除是指一个数能够被另一个数整除，即没有余数。

在小学五年级的数学中，我们一般用“能够整除”来表示整除的概念。

例如，当一个数能够被另一个数整除时，我们可以称前一个数为后一个数的倍数。

二、倍数的概念倍数是指某个数的整倍数。

也就是说，一个数的倍数是指它可以被另一个数整除。

在小学五年级的数学中，我们通常会接触到最小公倍数和最大公约数这两个与倍数相关的概念。

1. 最小公倍数最小公倍数是指两个或多个数公有的倍数中最小的一个数。

我们可以通过列举倍数的方法来求解最小公倍数。

例如，求解30和45的最小公倍数，首先列出它们的倍数：30的倍数为30、60、90、120、150，45的倍数为45、90、135、180、225。

我们可以发现，30和45的最小公倍数是90。

最小公倍数的求解在实际中有广泛的应用，例如在求解分数的加减乘除时，需要用到最小公倍数。

2. 最大公约数最大公约数是指两个或多个数公有的约数中最大的一个数。

我们可以使用列举因数的方法来求解最大公约数。

例如，求解16和24的最大公约数，我们可以列出它们的因数：16的因数为1、2、4、8、16，24的因数为1、2、3、4、6、8、12、24。

我们可以发现，16和24的最大公约数是8。

最大公约数的求解在实际中也有着广泛的应用，例如在化简分数、约分等计算中常常需要用到最大公约数。

三、整除与倍数运用实例深入了解整除与倍数的概念后，我们可以看一些运用实例来更好地理解它们的应用。

1. 判断一个数能否被另一个数整除例如，我们要判断36能否被4整除。

只需判断36是否为4的倍数，即判断36能否被4整除。

我们知道，4 ×9 = 36，故36可以被4整除。

小学数学知识归纳数的整除与倍数关系

小学数学知识归纳数的整除与倍数关系整除和倍数是小学数学中的基础概念，掌握它们的关系对于日常生活和学习都有很大帮助。

在这篇文章中，我们将对数的整除和倍数关系进行归纳和总结。

一、整除的概念及性质在介绍整除之前，我们需要了解数的因数的概念。

对于一个数a来说，如果b能够整除a，即a能被b整除，我们就说b是a的因数。

例如，4能被2整除，所以2是4的因数。

根据上述概念，我们可以明确整除的定义：对于两个整数a和b，如果存在一个整数c，使得a = b * c，那么我们就说a能够被b整除，或者说b是a的一个约数。

整除有以下几个重要性质：1. 任何一个整数都能被1整除，即1是任何数的因数。

2. 任何一个整数都能被自身整除，即任何数都是它自己的因数。

3. 偶数能被2整除，奇数除了能被1和自身整除外，没有其他因数。

4. 0除以任何非零整数都等于0，即0是任何非零数的倍数。

二、倍数的概念及性质倍数是整数中的重要概念，与整除密切相关。

一个整数a是另一个整数b的倍数，意味着b能够整除a。

例如，6是3的倍数，因为3能够整除6。

倍数的性质如下：1. 一个数是它自身的倍数。

2. 如果a是b的倍数，而b是c的倍数，那么a也是c的倍数。

这意味着如果一个数是另外两个数的倍数，那么它也是这两个数的公倍数。

3. 任何一个整数都是0的倍数。

三、数的整除与倍数关系数的整除与倍数是密不可分的，它们之间存在以下关系：1. 如果a能够整除b，那么b一定是a的倍数。

举例说明：假设a=3，b=15，我们可以计算出15/3=5，即3能够整除15。

根据整除与倍数的关系，我们可以得出结论：15是3的倍数。

2. 如果a是b的倍数，那么b一定能够整除a。

举例说明：假设a=10，b=5，我们可以计算出10/5=2，即5能够整除10。

根据整除与倍数的关系，我们可以得出结论：10是5的倍数。

通过上述例子，我们可以看到整除和倍数之间的关系是相互转化的。

如果一个数能够整除另一个数，它就是另一个数的倍数；反之，如果一个数是某个数的倍数，那么它能够整除这个数。

小学数学点知识归纳数的整除与倍数关系

小学数学点知识归纳数的整除与倍数关系数学是一门与我们生活息息相关的学科，而在小学阶段，数的整除与倍数关系是我们必须要掌握的一个重要知识点。

通过归纳整理，本文将详细介绍数的整除与倍数关系的概念、性质以及计算方法。

一、数的整除与倍数关系的概念1. 整除关系：当一个数能够被另一个数整除时，我们就称这个数是被除数的整数倍，而这个数则是除数。

例如，8能够被4整除，我们可以说8是4的倍数，4是8的因数。

2. 倍数关系：对于一个数而言，它的倍数就是能够被它整除的数。

例如，8的倍数可以是16、24、32等。

二、数的整除与倍数关系的性质1. 任何一个数都是1的整数倍，也是它本身的整数倍。

任何一个数x，都有x ÷ 1 = x和x ÷ x = 1，这说明任何一个数都是1的整数倍，也是它本身的整数倍。

2. 0是任何一个数的倍数，但0除以任何一个数均不存在整数倍数。

对于任何一个非零数x，都有0 ÷ x = 0，这说明0是任何一个数的倍数。

但是0 ÷ x 并不存在整数倍数，因为0除以任何一个非零数的商都是0，而不是整数。

3. 如果一个数x是另一个数y的倍数，那么y也是x的因数，反之亦然。

如果x是y的倍数，那么y ÷x 的商一定是整数，即x是y的因数。

反过来，如果x是y的因数，那么y ÷ x 的商也是整数，即y是x的倍数。

三、数的整除与倍数关系的计算方法1. 整除的判断：判断一个数x是否能被另一个数y整除，我们可以通过计算x ÷ y的商是否为整数来确定。

如果x ÷ y 的商是整数，即没有余数，那么x能被y整除；如果x ÷y 的商不是整数，即有余数，那么x不能被y整除。

2. 判断一个数的倍数：判断一个数x是否是另一个数y的倍数，我们可以通过计算y ÷ x的商是否为整数来确定。

如果y ÷ x 的商是整数，即没有余数，那么x是y的倍数；如果y ÷x 的商不是整数，即有余数，那么x不是y的倍数。

数的整除问题

五年级数的整除问题基本概念和知识1.整除——约数和倍数例如：15÷3=5，63÷7=9如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。

a能被b整除（或者说b能整除a）。

记作b｜a.否则，称为a不能被b整除，（或b不能整除a），记作b a。

举例2.数的整除性质性质1：如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。

即：如果c｜a，c｜b，那么c｜（a±b）。

例如：如果2｜10，2｜6，那么2｜（10＋6），并且2｜（10—6）。

举例性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a.即：如果bc｜a，那么b｜a，c｜a。

举例性质3：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c的积能整除a。

即：如果b｜a，c｜a，且（b，c）=1，那么bc｜a。

例如：如果2｜28，7｜28，且（2，7）=1,那么（2×7）｜28。

举例性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。

即：如果c｜b，b｜a，那么c｜a。

例如：如果3｜9，9｜27，那么3｜27。

举例3.数的整除特征①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义：一方面，个位数字是偶数（包括0）的整数，必能被2整除；另一方面，能被2整除的数，其个位数字只能是偶数（包括0）.下面“特征”含义相似。

举例②能被5整除的数的特征：个位是0或5。

举例③能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。

举例④能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。

举例⑤能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。

举例⑥能被11整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是11的倍数。

判断123456789这九位数能否被11整除？解：再例如：判断13574是否是11的倍数？解：⑦能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。