【南方凤凰台】(江苏专用)高考数学大一轮复习 第二章 第13课 幂函数、函数与方程要点导学
高考数学一轮复习 幂函数运用知识梳理1 苏教版
幂函数及性质运用一、核心突破：幂函数在《考试说明》中是A 级要求，高考主要考查其概念及简单性质的运用．1．理解幂函数的概念，熟悉幂函数的解析式，会画简单幂函数的图象；2．熟练掌握幂函数y ＝x a(a 为有理数)的性质和图象之间的关系；3．理解当a >0与a <0时幂函数在第一象限的图象和增减性，并运用它进一步分析解决有关幂函数的问题；4．培养学生观察和归纳能力，培养学生数形结合的意识和思想． 一、知识梳理： 1.概念反思：幂函数的定义：一般地，形如 的函数叫做幂函数（其中α是常数）． 2.图像规律：① 定义域判断：m nx =1n nx x -=。
② 奇偶性判断：m n x =,n m 取值的奇偶性。
③ 单调性判断：1α>时； 01α<<时； 0α<时；④ 规律总结： 逆时针α值增大规律。
幂函数的性质：1）所有幂函数在(0,)+∞都有意义，并且图象都通过点 ；2）α>0时，(1)图象都经过点（0，0）和（1，1）；(2)图象在第一象限是增函数； 3）α<0时，(1)图象都经过点（1，1）；(2)图象在第一象限是减函数,且向右无限接近x 轴，向上无限接近y 轴； 4）当α为奇数时，函数为 函数，当α为偶数时，函数为 函数． 经典运用例1：概念类运用:给出下列函数：①y ＝1x3；②y ＝3x －2；③y ＝x 4＋x 2；④y ＝3x 2，其中是幂函数的有 。
分析 幂函数的定义是形式上的，即只有形如y ＝x α(α是常数)的函数才是幂函数，本例中其余选项中的函数只是幂函数类函数． 变式练习：已知幂函数2223(1)mm y m m x --=--，当(0)x ∈+，∞时为减函数，则幂函数y =_______．解：因为2223(1)mm y m m x --=--为幂函数，211m m ∴--=，解得2m =，或1m =-．当2m =时，2233m m --=-，3y x -=在(0)+，∞上为减函数； 当1m =-时，2230m m --=，01(0)y x x ==≠在(0)+，∞上为常函数，不合题意，舍去．故所求幂函数为3y x -=．评注：求幂函数的解析式，一般用待定系数法，理解幂函数的定义是关键． 变式练习：已知幂函数2()m y x m -=∈N 的图象与x y ，轴都无交点，且关于y 轴对称，求m 的值，并画出它的图象．解：图象与x y ，轴都无交点， 2m ∴-≤0，即2m ≤．又m ∈N ，012m ∴=，，． 幂函数图象关于y 轴对称，0m ∴=，或2m =．当0m =时，函数为2y x -=，如图1；当2m =时，函数为01(0)y x x ==≠，图象如图2．变式练习：【南通八重名校内部联考】4．设⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∈3,21,1,1α，则使函数αx y =的定义域为R 且为奇函数的所有α的值为 .变式练习：【涟水中学09-10期中】9、已知11.0,,23α⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，幂函数y mx α=定义域为R ,且在(,0)-∞上为增函数，则m α+= ▲ .变式练习：【启东2010～2011期中】12.当),1(+∞∈x 时，幂函数αx y =的图象恒在直线x y =的下方，则α的取值范围 .例2：图象类运用:1．写出下列函数的定义域，并画出函数图象、指出函数的单调性和奇偶性：12133243252(1)(2)(3)(4)(5)(6)y xy xy x y x y xy x ---= = = = ==强调说明：6342x x ≠2.已知函数2245()44x x f x x x ++=++（1） 求()f x 的单调区间； （2） 比较()f π-与(2f -的大小 解答：（1）方法一：2245()44x x f x x x ++=++=1+2(2)x -+，其图象可由幂函数2y x -=向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到，如图：所以该函数在(2,)-+∞上是减函数，在(,2)-∞-上是增函数。
(江苏专版)高考数学一轮复习第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ第四节二次函数与幂函数实用课件文
[方法技巧] 求二次函数解析式的方法
根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法， 选择规律如下：
第二十四页，共42页。
二次函数的图象 确定二次函数图象的三要点
第二十五页，共42页。
[例 2] 如图是二次函数 y＝ax2＋bx＋c 图象 的一部分，图象过点 A(－3,0)，对称轴为 x＝ －1.给出下面四个结论：
第十四页，共42页。
4.[考点二]若
a＝12
2 3
，b＝15
2 3
，c＝12
1 3
，则
a，b，c
的大小关
系是________．
2
解析：∵y＝x 3
(x＞0)是增函数，∴a＝12
2 3
＞b＝15
2 3
.∵y＝12x
是减函数，∴a＝12
2 3
＜c＝12
1 3
，所以
b＜a＜c.
答案：c＞a＞b
第十五页，共42页。
第四节 二次函 数(hánshù)与幂 本节主要包括 2 个知识点：
1.幂函数；
2.二函次函数数. (hánshù)
第一页，共42页。
突破点(一) 幂函数
0321突破点(二) 二次函数(hánshù)
课时达标(dá biāo)检测
第二页，共42页。
01 突破点（一） 幂函数
第三页，共42页。
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
第十八页，共42页。
2．二次函数的图象和性质
f(x)＝ax2＋bx＋c
a＞0
图象
a＜0
定义域 值域
奇偶性
R
4ac4－a b2，＋∞
－∞，4ac4－a b2
高考数学知识点 幂函数知识点_知识点总结
高考数学知识点幂函数知识点_知识点总结幂函数是高中数学中重要的知识点之一，它在高考数学考试中经常出现。
掌握幂函数的知识点对于顺利解决各类与幂函数相关的数学题目至关重要。
本文将对幂函数的相关知识点进行总结和归纳，帮助同学们理清思路，加强对该知识点的掌握。
一、幂函数的定义幂函数是指函数y = x^n，其中x为自变量，n为常数。
在幂函数中，x的指数是常数，y与x之间存在特定的关系。
二、幂函数的图像特点1. 当n为正整数时，幂函数的图像是以原点为中心的相似变换。
当n为正奇数时，函数具有奇对称性，图像关于坐标原点对称；当n为正偶数时，函数具有偶对称性，图像关于y轴对称，并且右侧都是正数部分；当n为正数时，函数图像都通过第一象限。
2. 当n为负整数时，幂函数的图像将关于x轴对称，并且经过第一象限和第三象限的两点。
3. 当n为0时，幂函数的图像为直线y = 1，是一个常数函数。
三、幂函数的性质1. 定义域：所有实数。
2. 值域：当n为正奇数时，函数的值域为(-∞, +∞)；当n为正偶数时，函数的值域为[0, +∞)；当n为负奇数时，函数的值域为(-∞, 0)；当n为负偶数时，函数的值域为[0, +∞)。
3. 单调性：当n为正数时，幂函数在定义域上是递增函数；当n为负数时，幂函数在定义域上是递减函数。
4. 对称性：当n为正奇数时，幂函数的图像关于原点对称；当n为正偶数时，幂函数的图像关于y轴对称；当n为负整数时，幂函数的图像关于x轴对称。
5. 渐近线：当n为正数时，幂函数的图像与x轴无交点；当n为负整数时，幂函数的图像与y轴无交点。
四、幂函数的应用幂函数广泛应用于数学中的各种实际问题中，比如面积、体积、变量关系等。
在解决这些问题时，我们可以通过列方程、求导等方法将其转化为幂函数的求解过程。
例如，求解一个正方形的面积与边长之间的关系。
我们可以将正方形的面积设为y，边长设为x，那么根据正方形的性质可得 y = x^2，这就是一个幂函数的表达式，通过对该函数进行数学分析，我们可以得出边长与面积之间的关系，并解决相关的数学问题。
2021年高考数学大一轮复习 第二章 第13课 幂函数、函数与方程要点导学
2021年高考数学大一轮复习第二章第13课幂函数、函数与方程要点导学幂函数的图象与性质(xx·上海卷)若f(x)=-,则满足f(x)<0的x取值范围是.[答案](0,1)[解析]根据幂函数的性质,由于<,所以当0<x<1时<;当x>1时,>,因此f(x)的解集为(0,1).(xx·临沂模拟)若幂函数f(x)=xα的图象过点(2,4),则函数f(x)的单调增区间是.[答案][0,+∞)[解析]因为函数过点(2,4),所以4=2α,α=2,故函数解析式为y=x2,单调增区间为[0,+∞).求函数的零点(xx·湖北卷)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2-3x,那么函数g(x)=f(x)-x+3的零点的集合为.[答案]{-2-,1,3}[解析]因为f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2-3x,所以f(x)=故g(x)=由解得x=1或3.由解得x=-2-.所以函数g(x)=f(x)-x+3的零点的集合为{-2-,1,3}.根据表格中的数据,可以判定方程e x-x-2=0的一个零点所在的区间为(k,k+1)(k∈N),则k的值为.[思维引导]根据零点存在性定理:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续的曲线,且有f(a)·f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间[a,b]内有零点.[答案]1[解析]设由f(x)=e x-x-2,由表格可知f(1)<0,f(2)>0,所以k的值为1.函数零点的应用若函数y=ax2-x-1只有一个零点,求实数a的取值范围.[思维引导]由分类讨论思想,分a=0和a≠0两种情况,分别对应一次函数、二次函数加以判断.[解答]①若a=0,则f(x)=-x-1,显然函数f(x)=-x-1只有一个零点-1;②若a≠0,则y=ax2-x-1是二次函数,若函数只有一个零点,即方程ax2-x-1=0仅有一个实根,故Δ=1+4a=0,得a=-.综上所述,当a=0或a=-时,函数y=ax2-x-1只有一个零点.(xx·阜宁模拟)设函数y=x3与y=的图象的交点为(x0,y0),且x0∈(m,m+1),m∈Z,则m=.[答案]1[解析]令f(x)=x3-,易知函数y=x3在R上单调递增,y=在R上单调递减,所以y=-在R上单调递增,所以f(x)在R上单调递增.又函数y=x3与y=的图象的交点为(x0,y0),所以f(x0)=0,即x0为f(x)的零点.又f(1)=1-=-1<0,f(2)=8-=7>0,f(x)在R上单调递增,所以x0∈(1,2),所以m=1.函数与方程的关系已知关于x的一元二次方程(x-1)(3-x)=a-x(a∈R),请你不用方程的判别式而利用函数的图象讨论方程的根的情况.[思维引导]方程f(x)=0的根就是函数f(x)的零点,据此,方程f(x)=g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标.[解答]原方程可化为-x2+5x-3=a.作出函数f(x)=-x2+5x-3的图象,再作出函数g(x)=a的图象(如图所示).由图象可知:①当a=时,方程有两个相等的实数根;②当a<时,方程有两个不相等的实数根;③当a>时,方程没有实数根.(例5)[精要点评]将方程问题转化为函数问题,利用数形结合的思想求解.设函数f(x)=若f(-4)=f(0),f(-2)=-2,求关于x的方程y=x的解的个数.[解答]所以f(x)=这个函数的图象如图所示.(变式)可知直线y=x与f(x)的图象有3个交点,所以关于x的方程y=x的解的个数为3.已知函数f(x)=ax2+4x+b(a<0,且a,b∈R).设关于x的不等式f(x)>0 的解集为(x1,x2),且方程f(x)=x的两实根为α,β.(1) 若|α-β|=1,求a,b之间的函数关系式;(2) 若α<1<β<2,求证:(x1+1)(x2+1)<7.[规范答题](1) 由f(x)=x,得ax2+3x+b=0.由已知,得9-4ab>0,α+β=-,αβ=.所以|α-β|==1,所以-=1.所以a2+4ab=9,所以a,b的函数关系式为a2+4ab=9.(6分)(2) 令g(x)=ax2+3x+b,又a<0,α<1<β<2,所以即又x1,x2是方程ax2+4x+b=0的两个根,所以x1+x2=-,x1x2=,所以(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=-+1=+1. (10分)由线性约束条件画图可知,的取值范围为(-4,6), (12分)所以-3<+1<6+1=7,所以(x1+1)(x2+1)<7. (14分)1. 对于函数y=x2,y=,有下列说法:①两个函数都是幂函数;②两个函数在(0,+∞)上都单调递增;③它们的图象关于直线y=x对称;④两个函数都是偶函数.其中正确的说法有.(填序号)[答案]①②[解析]根据幂函数的图象和性质.2. 已知幂函数f(x)=k·xα的图象过点,那么k+α=.[答案][解析]由函数f(x)=k·xα为幂函数,得k=1.又其图象过点,所以α=.所以k+α=.3. 在下列区间中,函数f(x)=e x+4x-3的零点所在的区间是.(填序号)①; ②; ③; ④.[答案]②[解析]因为f(0)=-2<0,f=-2<0,f=-1>0,所以f(x)=0的零点在区间内.4. (xx·温州十校联考)设f(x)=lnx+x-2,若函数f(x)的零点所在的区间是(k,k+1),则k的值为.(第4题)[答案]1[解析]转化为函数g(x)=lnx,h(x)=-x+2图象交点的横坐标所在的范围.作出两函数的图象如图所示,由图象可知f(x)的零点所在的区间为(1,2),从而k=1.[温馨提醒]趁热打铁,事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习(第25-26页).20822 5156 兖 •32515 7F03 缃1)39575 9A97 骗QoRi21268 5314 匔n20375 4F97 侗。
高考数学知识点幂函数知识点知识点总结
高考数学知识点幂函数知识点知识点总结幂函数知识点总结幂函数是数学中重要的函数之一，也是高考数学中的考点内容。
本文将对幂函数的相关知识点进行总结，包括定义、性质、图像和应用等内容。
一、定义幂函数是指函数y = ax^n，其中a和n均为常数，且a ≠ 0，n为正整数。
其中，a称为幂函数的底数，n称为幂函数的指数。
幂函数的定义域为全体实数，值域根据指数的奇偶性而定。
当指数n为奇数时，值域为全体实数；当指数n为偶数时，值域为非负实数。
二、性质1. 当底数a大于1时，幂函数的图像随着自变量x的增大而增大；当底数a介于0和1之间时，幂函数的图像随着自变量x的增大而减小。
2. 当指数n为正整数时，幂函数的图像在第一象限上且经过点(1,a)。
3. 当指数n为奇数时，幂函数的图像关于y轴对称；当指数n为偶数时，幂函数的图像关于原点对称。
三、图像根据幂函数的性质，我们可以画出幂函数的大致图像。
以y = 2x^2为例，我们可以按照以下步骤绘制图像：1. 计算出若干个点的坐标，取x的值为-2，-1，0，1，2，3等，并计算出对应的y值。
2. 将这些点连接起来，形成平滑的曲线。
3. 注意幂函数的对称性，根据对称轴上的点可以在其他位置上找到对应的点。
四、应用幂函数在实际问题中有广泛的应用，其中一些典型的应用包括：1. 复利计算：由于幂函数的特性，它可以很好地描述复利增长的情况。
例如，存款的本金在每年按一定的比例增长，这就可以用幂函数来表示。
2. 科学实验：在某些科学实验中，现象的变化与自变量并非线性关系，而是呈现幂函数的规律。
通过研究幂函数的图像和性质，可以更好地理解实验结果。
3. 经济增长：幂函数也可以描述经济增长的规律。
例如，某地区的GDP每年按一定的比例增长，可以用幂函数来表示。
总结：幂函数是高考数学中的重要知识点，掌握了幂函数的定义、性质、图像和应用，能够解决与幂函数相关的各种问题。
在学习过程中，我们还可以通过练习题加深对幂函数的理解和应用能力。
最新高中数学 苏教版必修一 幂函数课件ppt.ppt
本 课
2．幂函数的性质：(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并
时 栏
且图象都过定点_(_1_,_1_) ___．
目 开
(2)α>0 ， 幂 函 数 的 图 象 都 通 过 原 点 ， 并 且 在 [0 ， ＋ ∞) 上 是
关 __增__函__数____，特别地，当 α>1 时，x∈(0,1)，y＝xα 的图象都在
五个具体幂函数认识幂函数的图象与性质．体会幂函数的变化
规律及蕴含其中的对称性，体验由特殊到一般、由具体到抽象
的学习方法，进一步渗透数形结合与类比的思想方法.
填一填·知识要点、记下疑难点
1．幂函数的定义：一般地，我们把形如___y＝__x__α _的函数称为幂函
数，其中 x 为___自__变__量_____，α 为__常__数____．
答 导引中涉及到的函数，都是形如：y＝xα，其中 x 是自变
量，α 是常数．
本 课
小结 幂函数定义：一般地，函数 y＝xα 叫做幂函数，其中 x
时 栏
是自变量，α 是常数．
目
开
关
研一研•问题探究、课堂更高效
问题 3 判断一个函数是不是幂函数的标准是什么？
答 只有满足函数解析式右边的系数为 1，底数为自变量
答 共同点：均是幂的形式．
本
课 不同点：
时
数是自变量．
关
研一研•问题探究、课堂更高效
例 1 写出下列函数的定义域，并分别指出它们的奇偶性：
1
(1)y＝x3；(2)y＝ x 2 ；(3)y＝x－2.
解 (1)函数 y＝x3 的定义域是 R，它是奇函数．
1
(2)函数 y＝ x 2 即 y＝ x，其定义域是[0，＋∞)，它既不是奇
【南方凤凰台】(江苏专用)高考数学大一轮复习 综合模拟卷二
2016高考综合模拟卷(2)数 学一、 填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分) 1. 设集合M={-1,0,1},N={x|x 2≤x},则M ∩N= .2. 某市高三数学抽样考试中,对90分以上(含90分)的成绩进行统计,其频率分布图如图所示,若130~140分数段的人数为90,则90~100分数段的人数为.(第2题)3. 一个质地均匀的正四面体(侧棱长与底面边长相等的正三棱锥)玩具的四个面上分别标有1,2,3,4这四个数字.若连续两次抛掷这个玩具,则两次朝下的面上的数字之积为奇数的概率是 .4. 等比数列x,3x+3,6x+6,…的第4项是 .5. “x>y>0”是“xy >1”的 条件.(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”)6. 已知变量x,y 满足约束条件x 0,y 1,x y,≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩那么z=4x ·2y的最大值为 .7. 给出下列四个命题:①平行于同一平面的两个不重合的平面平行;②平行于同一直线的两个不重合的平面平行;③垂直于同一平面的两个不重合的平面平行;④垂直于同一直线的两个不重合的平面平行; 其中为真命题的是.(填序号)8. 设某流程图如图所示,该程序运行后输出的k的值是.(第8题)9. 在平面直角坐标系xOy中,直线3x+4y-5=0与圆x2+y2=4相交于A,B两点,则弦AB的长为.10. 已知函数πx-12⎛⎫⎪⎝⎭,x∈R.若cos θ=35,θ∈3π,2π2⎛⎫⎪⎝⎭,则fπ2θ3⎛⎫+⎪⎝⎭= .11. 设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0,则当zxy取得最大值时,x+2y-z的最大值为.12. 若对任意的k∈R,|BA-k BC|≥|CA|恒成立,则△ABC的形状一定是.13. 已知椭圆C:22xa+22yb=1(a>b>0)的左焦点为F,椭圆C与过原点的直线相交于A,B两点,连接AF,BF,若AB=10,AF=6,cos∠ABF=45,则椭圆C的离心率e= .14. 若不等式(mx-1)[3m 2-(x+1)m-1]≥0对任意的m ∈(0,+∞)恒成立,则实数x 的值为 .二、 解答题(本大题共6小题,共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15. (本小题满分14分)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别是a,b,c,已知sin C+cos C=1-sin C2.(1) 求sin C 的值;(2) 若a 2+b 2=4(a+b)-8,求边c.16. (本小题满分14分)如图,AB 为圆O 的直径,点E,F 在圆上,四边形ABCD 为矩形,AB ∥EF,∠BAF=π3,M 为BD 的中点,平面ABCD ⊥平面ABEF.(1) 求证:BF ⊥平面DAF; (2) 求证:ME ∥平面DAF.(第16题)17. (本小题满分14分)如图,某园林单位准备绿化一块直径为BC 的半圆形空地,△ABC 外的地方种草,△ABC 的内接正方形PQRS 为一水池,其余的地方种花,若BC=a,∠ABC=θ,设△ABC 的面积为S 1,正方形的PQRS 面积为S 2. (1) 用a,θ表示S 1和S 2;(2) 当a 固定,θ变化时,求12S S 的最小值.(第17题)18. (本小题满分16分)如图,已知椭圆C 1:22y a +22x b =1(a>b>0)的短轴长为4,离心率为,其一个焦点在抛物线C 2:x 2=2py(p>0)的准线上,过点M(0,1)的直线交椭圆C 1于C,D 两点,交抛物线C 2于A,B 两点,分别过点A,B 作抛物线C 2的切线,两切线交于点Q. (1) 求C 1,C 2的方程; (2) 求△QCD 面积的最小值.(第18题)19. (本小题满分16分)已知数列{a n }的前三项分别为a 1=5,a 2=6,a 3=8,且数列{a n }的前n 项和S n 满足S n+m =12(S 2n +S 2m )-(n-m)2,其中m,n 为任意正整数.(1) 求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n ;(2) 求满足2nS-32a n +33=k 2的所有正整数k,n.20. (本小题满分16分)设函数f n (x)=x n +bx+c(n ∈N *,b,c ∈R ).(1) 当n=2,b=1,c=-1时,求函数f n (x)在区间1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭内的零点; (2) 设n ≥2,b=1,c=-1,求证:f n (x)在区间1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭内存在唯一的零点; (3) 设n=2,若对任意的x 1,x 2∈[-1,1],有2122f (x )-f (x )≤4,求b 的取值范围.2016届高考综合模拟卷(2)1. {0,1} 【解析】因为N={x|x2≤x}={x|0≤x≤1},所以M∩N={0,1}.2. 810 【解析】高三年级总人数为900.05=1 800;90~100分数段的人数的频率为0.45;90~100分数段的人数为1 800×0.45=810.3. 14【解析】共有16种等可能情况:(1,1),(1,2),(1,3)(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3)(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4).两次朝下的面上的数字之积为奇数共有4种情况,所以所求概率为1 4.4. -24 【解析】由题意,(3x+3)2=x(6x+6),解得x=-1或x=-3.当x=-1时,3x+3=0,故舍去;所以x=-3.则等比数列前3项为-3,-6,-12,故第4项为-24.5. 充分不必要【解析】当x>y>0时,xy>1成立,反之不成立,例如x<y<0时也可得到xy>1.6. 8 【解析】如图,约束条件表示的是以(0,0),(0,1),(1,1)为顶点的三角形及其内部区域,目标函数z=4x·2y=22x+y,在顶点(1,1)处2x+y取得最大值3,目标函数取得最大值23=8.(第6题)7. ①④【解析】若α∥β,α∥γ,则β∥γ,即平行于同一平面的两个不重合的平面平行,故①正确;若a∥α,a∥β,则α与β平行或相交,故②错误;若α⊥γ,β⊥γ,则平面α与β平行或相交,故③错误;若a⊥α,a⊥β,则α与β平行,故④正确.8. 5 【解析】 阅读流程图知:运算规则是S=S ×k 2. 第一次循环:k=3,S=1×32=9; 第二次循环:k=5,S=9×52=225>100. 退出循环,其输出结果k=5.【解析】 圆x 2+y 2=4的圆心O(0,0)到直线3x+4y-5=0的距离d=|-5|5=1,则10. 1725 【解析】 f π2θ3⎛⎫+ ⎪⎝⎭ππ2θ-312⎛⎫+ ⎪⎝⎭·cos π2θ4⎛⎫+ ⎪⎝⎭=cos 2θ-sin 2θ,因为cos θ=35,θ∈3π,2π2⎛⎫ ⎪⎝⎭,所以sin θ=-45,所以sin 2θ=2sin θcos θ=-2425,cos 2θ=cos 2θ-sin 2θ=-725,所以f π2θ3⎛⎫+ ⎪⎝⎭=cos 2θ-sin 2θ=-725-24-25⎛⎫ ⎪⎝⎭=1725.11. 2 【解析】 由题意得z=x 2-3xy+4y 2,所以z xy =22x -3xy 4y xy +=x y +4y x -3≥当且仅当x y =4yx ,即x=2y 时,等号成立,所以x+2y-z=2y+2y-(4y 2-6y 2+4y 2)=-2(y-1)2+2≤2.12. 直角三角形 【解析】 对任意的k ∈R ,|BA -k BC |≥|CA |恒成立可以转化为:对任意的k ∈R ,k 2|BC |2-2k BA ·BC +2BA -2CA ≥0,所以(BA ·BC )2-BC 2(2BA -2CA )≤0,所以a 2c 2cos 2B-a 2(c 2-b 2)≤0,所以c 2cos 2B-c 2+b 2≤0,由正弦定理得sin 2C ≥1,所以C=π2.13. 57 【解析】由余弦定理得62=BF 2+102-2·10·BF ·45,解得BF=8,所以点A 到右焦点的距离也是8.由椭圆定义有2a=6+8=14,又2c=10,所以e=1014=57.14. 1 【解析】方法一:显然x>0,若x ≤0,则mx-1<0,而当m 充分大时,3m 2-(x+1)m-1>0,与题设矛盾.而当x>0时,要使(mx-1)[3m 2-(x+1)m-1]≥0,对任意的m ∈(0,+∞)恒成立.则关于m 的方程mx-1=0与3m 2-(x+1)m-1=0在(0,+∞)内有相同的根.所以321x ⎛⎫ ⎪⎝⎭-(x+1)1x -1=0,解得x=1,x=-32(舍去).(第14题)方法二:设函数y 1=mx-1,y 2=3m 2-(x+1)m-1,要使不等式(mx-1)[3m 2-(x+1)m-1]≥0对任意的m ∈(0,+∞)恒成立,则必有x>0,作出两个函数图象如图所示,则有两个函数图象交于点1,0x ⎛⎫ ⎪⎝⎭,即m=1x 是方程3m 2-(x+1)m-1=0的根,则有213x ⎛⎫ ⎪⎝⎭-(x+1)1x -1=0,解得x=1,x=-32(舍去).15. (1) 由已知得2sin C 2cos C 2+1-2sin 2C2=1-sin C2, 即sin C C C 2cos -2sin 1222⎛⎫+ ⎪⎝⎭=0, 由sin C 2≠0得2cos C 2-2sin C2+1=0, 即sin C 2-cos C 2=12,两边平方得sin C=34.7分(2) 由sin C 2-cos C 2=12>0知sin C 2>cos C 2,则π4<C 2<π2,即π2<C<π,则由sin C=34得cos.因为a 2+b 2=4(a+b)-8,所以a2-4a+4+b2-4b+4=0,(a-2)2+(b-2)2=0, 所以a=2,b=2.由余弦定理得c2=a2+b2所以+1. 14分16. (1) 因为四边形ABCD为矩形,故DA⊥AB. 因为平面ABCD⊥平面ABEF,且DA平面ABCD, 平面ABCD∩平面ABEF=AB,故DA⊥平面ABEF.3分因为BF平面ABEF,故DA⊥BF.4分因为AB为直径,故BF⊥AF.因为DA,AF为平面DAF内的两条相交直线,所以BF⊥平面DAF.7分(2) 因为∠BAF=π3,AB∥EF,所以EF=12AB. 8分取DA的中点N,连接NF,MN,因为M为BD的中点,所以MN∥AB,且MN=12AB,所以四边形MNFE为平行四边形,所以ME∥NF.11分因为NF平面DAF,ME⊄平面DAF,所以ME∥平面DAF.14分注:第(2)问,亦可先证明平面DAF∥平面MOE.17. (1) S1=12asin θ·acos θ=14a2sin 2θ;设正方形的边长为x,则BQ=xtanθ,RC=xtan θ,所以xtanθ+xtan θ+x=a,所以x=a1tan θ1tan θ++=asin2θ2sin2θ+,S 2=2asin2θ2sin2θ⎛⎫ ⎪+⎝⎭=222a sin 2θ4sin 2θ4sin2θ++ . 7分 (2) 当a 固定,θ变化时,12S S =14（4sin2θ+sin 2θ+4）,令sin 2θ=t,则12S S =14t 44t⎛⎫++ ⎪⎝⎭(0<t ≤1),利用单调性求得当t=1时,12min S S ⎛⎫ ⎪⎝⎭=94. 14分18. (1) 因为2b=4,所以b=2.因为e=,所以a 2=8,所以椭圆C 1:2y 8+2x 4=1. 2分因为椭圆C 1的焦点为(0,2),(0,-2),所以p=4, 所以抛物线C 2:x 2=8y.4分(2) 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),C(x 3,y 3),D(x 4,y 4),Q(x 0,y 0).由(1)知C 2:y=2x 8,y'=x4,所以过点A 抛物线C 2的切线方程为y-y 1=1x 4(x-x 1),即y=1xx 4-y 1.同理,过点B 的抛物线C 2的切线方程为y=2xx 4-y 2.又因为这两条直线均过点Q,所以y 0=01x x 4-y 1,y 0=02x x 4-y 2,所以点A,B 均在直线y 0=0x x4-y 上,所以直线AB的方程为y=x x4-y0,又因为直线AB过点M(0,1),所以y0=-1,所以直线AB的方程为y=14x0x+1. 8分方法一:联立方程组22y x1, 841y x x1,4⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得(2x+32)x2+8x0x-7×16=0,x3+x4=2-8xx32+,x3·x4=2-716x32⨯+,3-x4|=0,点Q到直线AB2.所以△QCD的面积S=02=0. 12分令,则t≥.所以S(t)==224-4ttt⎛⎫⎪⎪⎪+⎝⎭,所以当t ∈∞)时,S(t)单调递增.所以S min. 16分方法二:设k=14x 0,联立方程组221,28,y kx y x =+⎧⎨+=⎩ 消去y 得,(2+k 2)x 2+2kx-7=0, 由C(x 3,y 3),D(x 4,y 4),则x 3+x 4=-222k k +,x 3·x 4=2-72k +,·, 8分设Q 到直线的距离为d,则2, 故△QCD 的面积S=.令则m,S(m)=,S(m)==46m-1m m ⎛⎫⎪⎪⎪+⎝⎭, 函数S(m)=m-61m m +在,+∞)上单调递增,所以S min. 14分另法,令S=f(m),f'(m)=4×222222(3m -5)(m 1)-m(m -1)2m (m 1)+⋅+=4×2222(m 4)-16(m 1)++,因为m≥,所以f'(m)>0,函数f(m)在∞)上单调递增.所以S min. 16分19. (1) 在等式S m+n=12(S2n+S2m)-(n-m)2中,分别令m=1,m=2,得S n+1=12(S2n+S2)-(n-1)2, ①S n+2=12(S2n+S4)-(n-2)2, ②②-①,得a n+2=2n-3+42S-S2. 3分在等式S n+m=12(S2n+S2m)-(n-m2)中,令n=1,m=2,得S3=12(S2+S4)-1,由题设知,S2=11,S3=19,故S4=29.所以a n+2=2n+6(n∈N*),即a n=2n+2(n≥3,n∈N*). 又a2=6也适合上式,故a n=5,n1,2n2,n2,=⎧⎨+≥⎩ 5分S n=25,n1,n3n1,n2,=⎧⎨++≥⎩即Sn=n2+3n+1,n∈N*. 6分(2) 记2nS-32an+33=k2,(*)n=1时,无正整数k满足等式(*);n≥2时,等式(*)即为(n2+3n+1)2-3(n-10)=k2.8分①当n=10时,k=131.9分②当n>10时,则k<n2+3n+1,又k2-(n2+3n)2=2n2+3n+31>0,所以k>n2+3n.从而n2+3n<k<n2+3n+1.又因为n,k∈N*,所以k不存在,从而无正整数k满足等式(*).12分③当n<10时,则k>n2+3n+1,因为k∈N*,所以k≥n2+3n+2.从而(n2+3n+1)2-3(n-10)≥(n2+3n+2)2.即2n2+9n-27≤0.因为n∈N*,所以n=1或2.14分当n=1时,k2=52,无正整数解;当n=2时,k2=145,无正整数解.综上所述,满足等式(*)的n,k分别为n=10,k=131.16分20. (1) 当n=2时,b=1,c=-1时,f2(x)=x2+x-1,令f2(x)=0,得x=,所以f2(x)在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭内的零点是x=. 4分(2) 因为f n12⎛⎫⎪⎝⎭<0,fn(1)>0,所以f n12⎛⎫⎪⎝⎭·fn(1)<0,所以f n(x)在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内存在零点.任取x1,x2∈1,12⎛⎫⎪⎝⎭,且x1<x2,则f n(x1)-f n(x2)=(n1x-n2x)+(x1-x2)<0,所以f n(x)在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增,所以fn(x)在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内存在唯一的零点. 10分(3) 当n=2时,f2(x)=x2+bx+c,对任意的x1,x2∈[-1,1].有|f2(x1)-f2(x2)|≤4等价于f2(x)在[-1,1]上的最大值与最小值之差M ≤4.据此分类讨论如下:①当b2>1,即|b|>2时,M=|f2(1)-f2(-1)|=2|b|>4,与题设矛盾.②当-1≤-b2<0,即0<b≤2时,M=f2(1)-f2b-2⎛⎫⎪⎝⎭=2b12⎛⎫+⎪⎝⎭≤4恒成立.③当0≤-b2≤1,即-2≤b≤0时,M=f2(-1)-f2b-2⎛⎫⎪⎝⎭=2b-12⎛⎫⎪⎝⎭≤4恒成立.综上可知,实数b的取值范围为[-2,2]. 注:②③也可合并证明如下:用max{a,b}表示a,b中的较大者.当-1≤-b2≤1,即-2≤b≤2时,M=max{f2(1),f2(-1)}-f2b -2⎛⎫ ⎪⎝⎭=22f(-1)f(1)2++22|f(-1)-f(1)|2-f2（-b2）=1+c+|b|-2b-c4⎛⎫+ ⎪⎝⎭=2|b|12⎛⎫+⎪⎝⎭≤4恒成立. 16分。
2020版高考数学新增分大一轮江苏专用讲义+习题：第二章 函数 2.4 Word版含解析
的大小关系是________．(用“>”连接)
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答案 a>b>c>d
解析 由幂函数的图象可知，在(0,1)上幂函数的指数越大，函数图象越接近 x 轴，由题图知 a>b>c>d.
＋1
＋1
3．若 (a＋ 1) 3 < (3＋ 2a) 3 ，则实数 a 的取值范围是____________．
1
(3)函数 y = 2x 2 是幂函数．( × )
(4)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．( √ ) (5)当 n<0 时，幂函数 y＝xn 是定义域上的减函数．( × )
题组二 教材改编
( )1 2
2．[P89 练习 T3]已知幂函数 f(x)＝k·xα 的图象过点 ， ，则 k＋α＝________. 22
∴－2a≥6，解得 a≤－3.
题组三 易错自纠
4．幂函数 f (x)＋ xa2＋ 10a＋ 23 (a∈Z)为偶函数，且 f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，则 a＝
________. 答案 5 解析 因为 a2－10a＋23＝(a－5)2－2，
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f (x)＋ x(a＋ 5)2＋ 2 (a∈Z)为偶函数，
1
x
1
2
2 f(x) 1
2
答案 [－4,4]
( ) 2 1
1
1
解析 由题意知， ＝ α，∴α＝ ，∴f(x)＝ x 2 ，
22
2
1
1
∴f(|x|)＝ x 2 ，由 x 2 ≤2，得|x|≤4，故－4≤x≤4.
思维升华 (1)幂函数的形式是 y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数 α，因此只需一个条件即可确 定其解析式．
2021年高考数学大一轮复习 第二章 第13课 幂函数、函数与方程自主学习
1.幂函数的定义:一般地,函数式y=xα叫作幂函数,其中x是自变量,α是常数.2. 所有的幂函数y=xα在区间(0,+∞)上都有定义,并且图象都过点(1,1).如果α>0,那么幂函数的图象过原点,并且在区间[0,+∞)上是单调增函数;如果α<0,那么幂函数的图象在区间(0,+∞)上是单调减函数,在第一象限内,当x从右边趋向于原点时,图象在y轴的右边无限地逼近y轴,当x趋向于+∞时,图象在x轴上方无限地逼近x轴.3. 一些常见幂函数的性质,见表1.表14. 对于函数y=f(x),把使方程f(x)=0的实数x称为函数y=f(x)的零点.5. 函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根,也就是函数y=f(x)的图象与x 轴交点的横坐标.因此,函数y=f(x)有零点等价于函数y=f(x)的图象与x轴有交点,也等价于方程f(x)=0有根.6. 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续的曲线,且有f(a)·f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,此时c就是方程f(x)=0的根.但反之,不成立.1. (必修1P73习题5改编)幂函数的图象不过第象限.[答案]四2. (必修1P72定义改编)下列函数中是幂函数的是.(填序号)①y=ax m(a,m为非零常数,且a≠1);②y=+x2;③y=xπ;④y=(x-1)3.[答案]③[解析]根据幂函数的概念.3. (必修1P73习题3改编)已知幂函数y=xα的图象过点,那么它的单调增区间是.[答案](-∞,0)[解析]设f(x)=xα,则3α=,所以α=-2,f(x)=x-2,故f(x)的单调增区间是(-∞,0).4. (必修1P76练习1改编)若函数f(x)=x2-ax-b的两个零点是2和3,则函数g(x)=bx2-ax-1的零点是.[答案]-,-[解析]由得所以g(x)=-6x2-5x-1.令g(x)=0,得x=-或-. 24811 60EB 惫26150 6626 昦h32401 7E91 纑Q24364 5F2C 弬 38290 9592 閒_m21408 53A0 厠 20515 5023 倣36142 8D2E 贮。
2021版【南方凤凰台】数学(江苏专用文科)大一轮复习检测评估：阶段训练一 Word版含答案
阶段训练一【阶段训练】阶段训练一一、填空题1．函数f(x)=的定义域为．2．若函数f(x)=(m2-m-1)x m是幂函数，且在(0，+∞)上为增函数，则实数m= ．3．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)=log2(2-x)，则f(0)+f(2)= ．4．设集合M={1，2}，N={a|a⊆M}，则集合N中的元素个数为．5．函数f(x)=ln-2x xx的图象在点(1，-2)处的切线方程为．6．若曲线C1：y=ax3-6x2+12x与曲线C2：y=e x在x=1处的两条切线相互垂直，则实数a的值为．7．设集合A={x|2a<x<a+2}，B=(-∞，-1)∪(5，+∞)，若A∩B=∅，则实数a的取值范围为．8．已知函数f(x)=4-log020xx xx>⎧⎨≤⎩，，，，那么f(f(-4))+f21log6⎛⎫⎪⎝⎭= ．9．函数y=8-23-x(x≥0)的值域是．10．已知函数f(x)=244-3.x mx x x m≥⎧⎨+<⎩，，，若函数g(x)=f(x)-2x恰有三个不同的零点，则实数m的取值范围是．11．设函数f(x)=2222.x a xx a x⎧+>⎨+≤⎩，，，若f(x)的值域为R，则实数a的取值范围是．12．若定义域为R的函数f(x)满足f(x+1)=2f(x)，且当x∈[0，1]时，f(x)=x2-x，则当x∈[-2，-1]时，f(x)的最小值为．13．当x∈(-∞，-1]时，不等式(m2-m)·4x-2x<0恒成立，则实数m的取值范围是．14．已知函数f(x)=x-1-(e-1)ln x，其中e为自然对数的底数，则满足f(e x)<0的x的取值范围为．二、解答题15．已知集合A={x|ax2+ax+6=0}.(1)若1∈A，求集合A；(2)若集合A⊆{2，3}，求实数a的取值范围.16．已知y=f(x)是定义域为R的奇函数，当x∈[0，+∞)时，f(x)=x2-2x.(1)写出函数y=f(x)的解析式；(2)若方程f(x)=a恰有3个不同的解，求实数a的取值范围.17．已知函数f(x)=ln x，g(x)=12ax+b.(1)若f(x)与g(x)在x=1处相切，求函数g(x)的表达式；(2)若φ(x)=(-1)1m xx+-f(x)在[1，+∞)上是减函数，求实数m的取值范围.18．某公司生产的某批产品的销售量P(单位：万件)(生产量与销售量相等)与促销费用x(单位：万元)满足P=24x+(其中0≤x≤a，a为正常数).已知生产该批产品还需投入成本61PP⎛⎫+⎪⎝⎭万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为204P⎛⎫+⎪⎝⎭元/件.(1)将该产品的利润y(单位：万元)表示为促销费用x(单位：万元)的函数；(2)当促销费用投入多少万元时，该公司的利润最大?19．已知函数f(x)=e x-mx-n.(1)若函数f(x)在x=0处的切线过点(1，0)，求m+n的值；(2)当n=0时，若函数f(x)在(-1，+∞)上没有零点，求实数m的取值范围.20．已知函数f(x)=1e xx+(e为自然对数的底数).(1)求函数f(x)的单调区间；(2)设函数φ(x)=xf(x)+tf'(x)+1e x，存在实数x1，x2∈[0，1]，使得2φ(x1)<φ(x2)成立，求实数t的取值范围.【阶段训练答案】阶段训练一1. [2，+∞)【解析】由2x-4≥0，得x≥2，所以函数的定义域为[2，+∞).2. 2 【解析】若f(x)=(m2-m-1)x m是幂函数，则m2-m-1=1，解得m=-1或m=2.又当x∈(0，+∞)时f(x)是增函数，所以m=2.3. -2 【解析】由于函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)=0.又由于当x<0时，f(x)=log2(2-x)，所以f(2) =-f(-2)=-log2(2+2)=-2，所以f(0)+f(2) =-2.4. 4 【解析】由题可知集合N是由集合M的子集构成的集合，又集合M的子集为∅，{1}，{2}，{1，2}，所以集合N中的元素个数为4.5. x-y-3=0 【解析】函数f(x)的定义域为(0，+∞)，f'(x)=21-ln xx，则f'(1) =1，故函数f(x)在点(1，-2)处的切线方程为y-(-2)=x-1，即x-y-3=0.6. -13e【解析】由于y'=3ax2-12x+12，y'=e x，所以两条曲线在x=1处的切线斜率分别为k1=3a，k2=e，由两条切线相互垂直，得k1·k2=-1，即3ae=-1，所以a=-13e.7.1|-2a a⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭【解析】若A=∅，则2a≥a+2，解得a≥2.若A≠∅，则-1≤2a<a+2≤5，解得-12≤a<2.综上，a≥-12.8. 8 【解析】f(f(-4))=f(24)=log416=2，由于log216<0，所以f21log6⎛⎫⎪⎝⎭=21-log62=2log62=6，即f (f (-4))+f 21log 6⎛⎫ ⎪⎝⎭=2+6=8.9. [0，8) 【解析】由于x ≥0，所以-x ≤0，所以3-x ≤3，所以0<23-x ≤23=8，所以0≤8-23-x <8，所以函数y =8-23-x 的值域为[0，8).10. (1，2] 【解析】问题转化为g (x )=0，即方程f (x )=2x 有三个不同的解，所以有42x m x ≥⎧⎨=⎩，或24-32x m x x x <⎧⎨+=⎩，，解得2x m x ≥⎧⎨=⎩，或1x m x <⎧⎨=⎩，或-3.x m x <⎧⎨=⎩， 由于方程f (x )=2x 有三个不同的解，所以21-3m m m ≥⎧⎪<⎨⎪<⎩，，，解得1<m ≤2.11. (-∞，-1]∪[2，+∞) 【解析】当x >2时，f (x )>a +4；当x ≤2时，f (x )≤a 2+2，所以函数f (x )的值域为(-∞，a 2+2]∪(a +4，+∞).由于函数的值域为R ，所以a 2+2≥a +4，解得a ≥2或a ≤-1.12. -116 【解析】设x ∈[-2，-1]，则x +2∈[0，1]，则f (x +2)=(x +2)2-(x +2).又f (x +2)=f [(x +1)+1]=2f (x +1)=4f (x )，所以f (x )=14(x 2+3x +2)，所以当x =-32时，取得最小值为-116.13. (-1，2) 【解析】原不等式变形为m 2-m <12x ⎛⎫ ⎪⎝⎭.由于函数y =12x⎛⎫⎪⎝⎭在(-∞，-1]上是减函数，所以12x⎛⎫ ⎪⎝⎭≥-112⎛⎫⎪⎝⎭=2.当x ∈(-∞，-1]时，m 2-m <12x⎛⎫ ⎪⎝⎭恒成立等价于m 2-m <2，解得-1<m <2.14. (0，1) 【解析】由题知函数f (x )的定义域为(0，+∞)，令f '(x )=1-e-1x =0，得x =e -1.当x ∈(0，e -1)时，f '(x )<0，函数f (x )单调递减；当x ∈(e -1，+∞)时，函数f (x )单调递增.又f (1) =f (e )=0，1<e -1<e ，所以由f (e x )<0，得1<e x <e ，解得0<x <1.15. (1) 由1∈A可知a +a +6=0，解得a =-3，所以A={x |-3x 2-3x +6=0}={x |x 2+x -2=0}={1，-2}. (2) 若A=∅，当a =0时，满足题意；当a ≠0时，Δ=a 2-24a <0，解得0<a <24. 故当A=∅时，0≤a <24.若集合A 中仅有一个元素，则a ≠0且a 2-24a =0，解得a =24.则集合A={x |24x 2+24x +6=0}={x |4x 2+4x +1=0}=1-2⎧⎫⎨⎬⎩⎭，不满足题意；若集合A 中有两个元素，则42609360a a a a ++=⎧⎨++=⎩，，无解. 综上可知，实数a 的取值范围为[0，24).16. (1) 当x ∈(-∞，0)时，-x ∈(0，+∞). 由于y =f (x )是奇函数，所以f (x )=-f (-x )=-[(-x )2-2(-x )]=-x 2-2x ，所以f (x )=22-20--20.x x x x x x ⎧≥⎨<⎩，，，(2) 当x ∈[0，+∞)时，f (x )=x 2-2x =(x -1)2-1，最小值为-1；当x ∈(-∞，0)时，f (x )=-x 2-2x =1-(x +1)2，最大值为1.据此作出函数y =f (x )的图象如图所示，依据图象可知，若方程f (x )=a 恰有3个不同的解，则实数a 的取值范围是(-1，1).(第16题)17. (1) 由题知f(x)的定义域为(0，+∞)，f'(x)=1x，所以f'(1) =1=12a⇒a=2.又由于f(1)=0，所以g(1) =0=12a+b，所以b=-1，所以g(x)=x-1.(2) 由于φ(x)=(-1)1m xx+-f(x)=(-1)1m xx+-ln x在[1，+∞)上是减函数，所以φ'(x)=22-2-2-1(1)x mx xx x++≤0在[1，+∞)上恒成立.即x2-(2m-2)x+1≥0在[1，+∞)上恒成立，则2m-2≤x+1x，x∈[1，+∞).由于x+1x∈[2，+∞)，所以2m-2≤2，解得m≤2，故实数m的取值范围是(-∞，2].18. (1) 由题意知y=204P⎛⎫+⎪⎝⎭P-x-61PP⎛⎫+⎪⎝⎭，将P=24x+代入，化简得y=19-242x+-32x(0≤x≤a).(2) 由(1)知y=22-316222xx⎛⎫++⎪+⎝⎭≤22，当且仅当162x+=x+2，即x=2时，上式取等号.所以当a≥2时，促销费用投入2万元时，该公司的利润最大；由y=19-242x+-32x，得y'=224(2)x+-32，当x<2时，y'>0，此时函数y在[0，2)上单调递增，所以当a<2时，函数y在[0，a]上单调递增，所以当x=a时，函数有最大值.即促销费用投入a万元时，该公司的利润最大.综上，当a≥2时，促销费用投入2万元，该公司的利润最大；当a<2时，促销费用投入a万元，该公司的利润最大.19. (1) 由题意，得f'(x)=(e x-mx-n)'=e x-m，所以函数f(x)在x=0处的切线斜率k=1-m.又f(0)=1-n，所以函数f(x)在x=0处的切线方程为y-(1-n)=(1-m)x.将点(1，0)代入，得m+n=2.(2) 当n=0，可得f'(x)=(e x-mx)'=e x-m.由于x>-1，所以e x>1e.当m≤1e时，f'(x)=e x-m>0，函数f(x)在(-1，+∞)上单调递增，而f(0)=1，所以只需f(-1)=1e+m≥0，解得m≥-1e，从而-1e≤m≤1e；当m>1e时，由f'(x)=e x-m=0，解得x=ln m∈(-1，+∞).当x∈(-1，ln m)时，f'(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(ln m，+∞)时，f'(x)>0，f(x)单调递增.所以函数f(x)在(-1，+∞)上有最小值为f(ln m)=m-m ln m.令m-m ln m>0，解得m<e，所以1e<m<e.综上所述，m∈1-ee⎡⎫⎪⎢⎣⎭，.20. (1) 由于函数的定义域为R，f'(x)=-e xx，所以当x<0时，f'(x)>0，当x>0时，f'(x)<0，所以f(x)在(-∞，0)上单调递增，在(0，+∞)上单调递减.(2) 假设存在x1，x2∈[0，1]，使得2φ(x1)<φ(x2)成立，则2[φ(x)]min<[φ(x)]max.由于φ(x)=xf(x)+tf'(x)+e-x=2-1e xx x tx++，所以φ'(x)=2--e xx x tx t++=-(-1)(-)e xx x t.①当t≥1时，φ'(x)≤0，φ(x)在[0，1]上单调递减，所以2φ(1) <φ(0)，即t>3-e 2>1.②当t≤0时，φ'(x)≥0，φ(x)在[0，1]上单调递增，所以2φ(0)<φ(1)，即t<3-2e<0.③当0<t<1时，若x∈[0，t)，则φ'(x)<0，φ(x)在[0，t)上单调递减；若x∈(t，1]，则φ'(x)>0，φ(x)在(t，1]上单调递增，所以2φ(t)<max{φ(0)，φ(1)}，即2·1e tt+<max3-1et⎧⎫⎨⎬⎩⎭，.(*)设g(t)=2·1e tt+，由(1)知g(t)=2·1e tt+在[0，1]上单调递减，故4e≤2·1e tt+≤2，又2e≤3-et≤3e，所以不等式(*)无解.综上所述，实数t的取值范围是(-∞，3-2e)∪e3-2∞⎛⎫+⎪⎝⎭，.。
(江苏专版)高考数学一轮复习 第二章 函数 2.5 幂函数、函数与方程讲义-人教版高三全册数学试题
§2.5幂函数、函数与方程考纲解读考点内容解读要求五年高考统计常考题型预测热度2013 2014 2015 2016 20171.二次函数与幂函数1.二次函数的图象与性质2.幂函数的概念B13题5分填空题解答题★★★2.函数的零点与方程的根1.求函数零点2.由函数零点求参数B13题5分填空题解答题★★★分析解读二次函数的图象与性质和函数零点问题是某某高考的热点内容,试题一般难度较大,综合性较强.五年高考考点一二次函数与幂函数1.(2016课标全国Ⅲ理改编,6,5分)已知a=,b=,c=2,则a,b,c的大小关系是(用<连接).答案b<a<c2.(2015某某改编,9,5分)如果函数f(x)=(m-2)x2+(n-8)x+1(m≥0,n≥0)在区间上单调递减,那么mn的最大值为.答案183.(2014某某,16,5分)对于c>0,当非零实数a,b满足4a2-2ab+4b2-c=0且使|2a+b|最大时,-+的最小值为. 答案-24.(2013某某理改编,11,5分)已知函数f(x)=x2-2(a+2)x+a2,g(x)=-x2+2(a-2)x-a2+8.设H1(x)=max{f(x),g(x)},H2(x)=min{f(x),g(x)}(max{p,q}表示p,q中的较大值,min{p,q}表示p,q中的较小值).记H1(x)的最小值为A,H2(x)的最大值为B,则A-B=.答案-165.(2013某某,13,5分)在平面直角坐标系xOy中,设定点A(a,a),P 是函数y=(x>0)图象上一动点.若点P,A之间的最短距离为2,则满足条件的实数a的所有值为.答案-1,教师用书专用(6—7)6.(2014某某改编,7,5分)在同一直角坐标系中,函数f(x)=x a(x>0),g(x)=log a x的图象可能是(填序号).答案④7.(2015某某,18,15分)已知函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R),记M(a,b)是|f(x)|在区间[-1,1]上的最大值.(1)证明:当|a|≥2时,M(a,b)≥2;(2)当a,b满足M(a,b)≤2时,求|a|+|b|的最大值.解析(1)证明:由f(x)=+b-,得f(x)图象的对称轴为直线x=-.由|a|≥2,得≥1,故f(x)在[-1,1]上单调,所以M(a,b)=max{|f(1)|,|f(-1)|}.当a≥2时,由f(1)-f(-1)=2a≥4,得max{f(1),-f(-1)}≥2,即M(a,b)≥2.当a≤-2时,由f(-1)-f(1)=-2a≥4,得max{f(-1),-f(1)}≥2,即M(a,b)≥2.综上,当|a|≥2时,M(a,b)≥2.(2)由M(a,b)≤2得|1+a+b|=|f(1)|≤2,|1-a+b|=|f(-1)|≤2,故|a+b|≤3,|a-b|≤3,由|a|+|b|=得|a|+|b|≤3.当a=2,b=-1时,|a|+|b|=3,且|x2+2x-1|在[-1,1]上的最大值为2,即M(2,-1)=2.所以|a|+|b|的最大值为3.考点二函数的零点与方程的根1.(2017某某理改编,10,5分)已知当x∈[0,1]时,函数y=(mx-1)2的图象与y=+m的图象有且只有一个交点,则正实数m的取值X围是.答案(0,1]∪[3,+∞)2.(2016某某,15,5分)已知函数f(x)=其中m>0.若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则m的取值X围是.答案(3,+∞)3.(2016某某,14,5分)已知函数f(x)=(a>0,且a≠1)在R上单调递减,且关于x的方程|f(x)|=2-恰有两个不相等的实数解,则a的取值X围是.答案4.(2015,14,5分)设函数f(x)=①若a=1,则f(x)的最小值为;②若f(x)恰有2个零点,则实数a的取值X围是.答案①-1 ②∪[2,+∞)5.(2015某某改编,8,5分)已知函数f(x)=函数g(x)=b-f(2-x),其中b∈R.若函数y=f(x)-g(x)恰有4个零点,则b的取值X围是.答案6.(2015某某,15,5分)已知函数f(x)=若存在实数b,使函数g(x)=f(x)-b有两个零点,则a的取值X 围是.答案(-∞,0)∪(1,+∞)7.(2014某某,13,5分)已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数,当x∈[0,3)时, f(x)=.若函数y=f(x)-a在区间[-3,4]上有10个零点(互不相同),则实数a的取值X围是.答案8.(2014某某,14,5分)已知函数f(x)=|x2+3x|,x∈R.若方程f(x)-a|x-1|=0恰有4个互异的实数根,则实数a的取值X围为.答案(0,1)∪(9,+∞)9.(2013某某理改编,10,5分)若函数f(x)=x3+ax2+bx+c有极值点x1,x2,且f(x1)=x1,则关于x的方程3(f(x))2+2af(x)+b=0的不同实根个数是.答案 3教师用书专用(10—11)10.(2017课标全国Ⅲ理改编,11,5分)已知函数f(x)=x2-2x+a(e x-1+e-x+1)有唯一零点,则a=.答案11.(2013某某理,20,13分)设函数f n(x)=-1+x+++…+(x∈R,n∈N*).证明:(1)对每个n∈N*,存在唯一的x n∈,满足f n(x n)=0;(2)对任意p∈N*,由(1)中x n构成的数列{x n}满足0<x n-x n+p<.证明(1)对每个n∈N*,当x>0时, f 'n(x)=1++…+>0,故f n(x)在(0,+∞)内单调递增. 由于f1(1)=0,当n≥2时, f n(1)=++…+>0,故f n(1)≥0.又f n=-1++≤-+=-+·=-·<0,所以存在唯一的x n∈,满足f n(x n)=0.(2)当x>0时, f n+1(x)=f n(x)+>f n(x),故f n+1(x n)>f n(x n)=f n+1(x n+1)=0.由f n+1(x)在(0,+∞)内单调递增知,x n+1<x n.故{x n}为单调递减数列.从而对任意n,p∈N*,x n+p<x n.对任意p∈N*,由于f n(x n)=-1+x n++…+=0,①f n+p(x n+p)=-1+x n+p++…+++…+=0,②①式减去②式并移项,利用0<x n+p<x n≤1,得x n-x n+p=+≤≤<=-<.因此,对任意p∈N*,都有0<x n-x n+p<.三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一二次函数与幂函数1.(2018某某常熟高三期中调研)已知幂函数y=(m∈N*)在(0,+∞)上是增函数,则实数m的值是.答案 12.(2018某某东台安丰高级中学月考)已知幂函数y=f(x)的图象过点,则log2f(8)=.答案3.(2018某某海安中学阶段测试)若幂函数f(x)=xα的图象经过点,则其单调减区间为.答案(0,+∞)4.(苏教必1,三,3,2,变式)设α∈,则使函数y=xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为.答案1,35.(2016某某某某中学期中)下列幂函数:①y=;②y=x-2;③y=;④y=,其中既是偶函数,又在区间(0,+∞)上单调递增的函数是.(填相应函数的序号)答案③考点二函数的零点与方程的根6.(2018某某金陵中学高三月考)记函数y=ln x+2x-6的零点为x0,若k满足k≤x0且k为整数,则k的最大值为.答案 27.(2018某某姜堰中学高三期中)函数f(x)=log2(3x-1)的零点为.答案8.(2018某某东台安丰高级中学月考)若函数f(x)=在其定义域上恰有两个零点,则正实数a的值为.答案 e9.(2018某某某某中学月考)方程xlg(x+2)=1有个不同的实数根.答案 210.(2018某某天一中学调研)已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-k有三个零点,则k的取值X围是.答案11.(苏教必1,三,4,2,变式)函数f(x)=2x|log0.5 x|-1的零点个数为.答案 212.(苏教必1,三,4,8,变式)若函数f(x)=(m-2)x2+mx+(2m+1)的两个零点分别在区间(-1,0)和区间(1,2)内,则m 的取值X围是.答案13.(2017某某某某期中,9)已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-m有三个零点,则实数m的取值X围是.答案14.(2016某某某某中学质检,10)关于x的一元二次方程x2+2(m+3)x+2m+14=0有两个不同的实根,且一根大于3,一根小于1,则m的取值X围是.答案B组2016—2018年模拟·提升题组(满分:35分时间:20分钟)一、填空题(每小题5分,共20分)1.(2017某某某某学情调研,11)已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)=k(x+1)有两个不同的实数根,则实数k的取值X围是.答案2.(2017某某、某某第二次模拟考试,12)若函数f(x)=x2-mcos x+m2+3m-8有唯一零点,则满足条件的实数m组成的集合为.答案{2}3.(2017某某苏北四市期末,14)已知函数f(x)=若函数f(x)的图象与直线y=x有三个不同的公共点,则实数a的取值X围为.答案{a|-20<a<-16}4.(2016某某某某中学期中,10)已知关于x的一元二次方程x2-2ax+a+2=0的两个实数根是α,β,且有1<α<2<β<3,则实数a的取值X围是.答案二、解答题(共15分)5.(2017某某某某二中期初,20)设函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R).(1)当b=+1时,求函数f(x)在[-1,1]上的最小值g(a)的表达式;(2)已知函数f(x)在[-1,1]上存在零点,0≤b-2a≤1,求b的取值X围.解析(1)当b=+1时,f(x)=+1,图象的对称轴为x=-,当a<-2时,->1,函数f(x)在[-1,1]上递减,则g(a)=f(1)=+a+2;当-2≤a≤2时,-1≤-≤1,g(a)=f=1;当a>2时,-<-1,函数f(x)在[-1,1]上递增,则g(a)=f(-1)=-a+2.综上可得,g(a)=(2)设s,t是方程f(x)=0的解,且-1≤t≤1,则由于0≤b-2a≤1,故≤s≤(-1≤t≤1),当0≤t≤1时,≤st≤.易知-≤≤0,-≤≤9-4,所以-≤b≤9-4;当-1≤t<0时,≤st≤,由于-2≤<0,-3≤<0,所以-3≤b<0,故b的取值X围是[-3,9-4].C组2016—2018年模拟·方法题组方法1 判断函数零点个数的常用方法1.(2016某某某某中学月考)偶函数f(x)满足f(x-1)=f(x+1),且当x∈[0,1]时,f(x)=-x+1,则关于x的方程f(x)=lg(x+1)在x∈[0,9]上解的个数是.答案9方法2 利用函数零点求参数的值或取值X围2.(2018某某某某高三期中)关于x的方程2|x+a|=e x有3个不同的实数解,则实数a的取值X围为.答案(1-ln 2,+∞)3.(2016某某闸北区调研)已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-m有3个零点,则实数m的取值X围是.答案(0,1)D组2016—2018年模拟·突破题组(2016某某某某调研,14)已知函数f(x)=x3+ax+,g(x)=-ln x,设函数h(x)=min{f(x),g(x)}(x>0),若h(x)有3个零点,则实数a的取值X围是.答案。
江苏省高三数学一轮复习学案：幂函数的性质与应用
第14课 幂函数的性质与应用考点解说了解幂函数的概念，会画出幂函数的图象，结合这几个幂函数的图象，了解幂函数的图象变化情况和性质；使学生进一步体会数形结合的思想。
一、基础自测1. 下列函数中，是幂函数的有_____ ___。
（1）2y x =- （2）3-=x y （3）y = （4）3y x x =-2.下列命题中正确的是_____ _ 。
(1)当0=α时函数αx y =的图象是一条直线；(2)幂函数的图象都经过（0， 0）和（1，1）点；(3)若幂函数αx y =是奇函数，则αx y =是定义域上的增函数；(4)幂函数的图象不可能出现在第四象限。
3. 幂函数 ()f x 的图像过点），则()f x = 。
4.函数2-=x y 在区间]2,21[上的最大值是______ __。
5.函数122(224)y x x =+-的单调递减区间是__ _____。
6.函数y x =-32的定义域是 。
7.函数25y x =的单调递增区间为 。
8. 对于幂函数54)(x x f =，若210x x <<，则)2(21x x f +，2)()(21x f x f +大小关系是____ ___。
二、例题讲解例1． 比较下列各式的大小 （１）125.23 ，2124.5 ； （２） 126.0-，127.0-；（3） 30.72-（），375.0）（-； （4） ln 2ln 3ln 5,,235例2．（1）已知1133(3)(12)x x -<+，求实数x 的取值范围。
（2）已知2233(3)(12)x x ---<+，求实数x 的取值范围。
例3．已知幂函数223()m m f x x --=(m ∈Z)为偶函数，且在区间（0，+∞）上是减函数。
（1）求函数()f x ；（2）讨论()()bF x xf x =的奇偶性。
例4．已知当120x x <<时，幂函数)()(322Z p x x f p p∈=++-满足)()(21x f x f <，并且对任意的R x ∈,0)()(=--x f x f 。
特级教师高考数学首轮复习第13讲-幂函数
特级教师高考数学首轮复习第13讲-幂函数来源：591UP一、知识结构二、重点叙述1. 幂函数定义一般地,形如y=xα (x∈R)的函数称为幂函数,其中x是自变量,α是常数。
常见的有:y=x,y=x,y=x2 ,y=x-1 ,y=x3。
注意与指数函数区别,指数函数y=a x(a>0,a≠1)的底是常数,指数是自变量;幂函数y=xα (x∈R)的底是自变量,指数是常数,切不可混摇。
2. 幂函数图象3. 幂函数性质y=x{x|x≥0} 4.应用①幂函数概念②幂函数图象与性质的应用③幂、指、对函数的综合应用三、案例分析案例1：如果函数是幂函数，且在区间上是减函数，求满足条件的实数的集合．答案：{2}分析：按照幂函数的定义，其系数是1，在区间上是减函数，那么它的指数必定为负数。
∵函数是幂函数，且在区间上是减函数，当且仅当即∴m=2。
所以满足条件的实数的集合是。
案例2：比较大小（1）设,,,试比较a，b，c的大小。
（2）当0＜x＜1时，，试比较的大小。
答案：(1)c>b>a;(2)。
分析：(1)把看成幂函数，看成指数函数，利用它们的单调性比较大小；(2)把看成底的指数函数,利用指数函数的单调性比较大小。
(1)∵幂函数在是单调递增，又，∴；∵指数函数在上是单调递减，又，∴；综上所述，a，b，c的大小是。
(2)∵，∴指数函数在R上是减函数，又，∴。
所以的大小是。
案例3：已知幂函数y＝x，(p∈Z)，在(0，＋∞)内，y随x增大而增大，且在定义域内图象关于y轴对称, 求p值及相应的f(x)．答案：p=1,分析：由幂函数y＝x(p∈Z)在(0，＋∞)内随x增大而增大，且在定义域内图象关于y轴对称，可得，且指数为偶数，从而求得的值和相应的函数。
∵幂函数y＝x(p∈Z)在(0，＋∞)内随x增大而增大，且在定义域内图象关于y轴对称，∴由解得，且，∴=0，或1，或2。
由验得。
所以所求的值是，相应的函数。
案例4：已知函数f（x）＝。
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【南方凤凰台】（江苏专用）2016届高考数学大一轮复习第二章第13
课幂函数、函数与方程要点导学
要点导学各个击破
幂函数的图象与性质
(2014·上海卷)若f(x)=
2
3
x-
1
2
x,则满足f(x)<0的x取值范围是.
[答案](0,1)
[解析]根据幂函数的性质,由于1
2<
2
3,所以当0<x<1时
2
3
x<
1
2
x;当x>1时,
2
3
x>
1
2
x,因此f(x)的
解集为(0,1).
(2014·临沂模拟)若幂函数f(x)=xα的图象过点(2,4),则函数f(x)的单调增区间是.
[答案][0,+∞)
[解析]因为函数过点(2,4),所以4=2α,α=2,故函数解析式为y=x2,单调增区间为[0,+∞).
求函数的零点
(2014·湖北卷)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2-3x,那么函数g(x)=f(x)-x+3的零点的集合为.
[答案]
[解析]因为f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2-3x,所以f(x)=
2
2
x-3x,x0, -x-3x,x0,⎧≥
⎨
<⎩
故g(x)=
2
2
x-4x3,x0,
-x-4x3,x0.
⎧+≥
⎨
+<
⎩由2
x0,
x-4x30,
≥
⎧
⎨
+=
⎩解得x=1或3.由2
x0,
-x-4x30,
<
⎧
⎨
+=
⎩解得
.所
以函数g(x)=f(x)-x+3的零点的集合为
,1,3}.
根据表格中的数据,可以判定方程e x-x-2=0的一个零点所在的区间为(k,k+1)(k∈N),
则k 的值为 .
[思维引导]根据零点存在性定理:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续的曲线,且有f(a)·f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间[a,b]内有零点.
[答案]1
[解析]设由f(x)=e x
-x-2,由表格可知f(1)<0,f(2)>0,所以k 的值为1.
函数零点的应用
若函数y=ax 2
-x-1只有一个零点,求实数a 的取值范围.
[思维引导]由分类讨论思想,分a=0和a ≠0两种情况,分别对应一次函数、二次函数加以判断.
[解答]①若a=0,则f(x)=-x-1,显然函数f(x)=-x-1只有一个零点-1;
②若a ≠0,则y=ax 2
-x-1是二次函数,若函数只有一个零点,即方程ax 2
-x-1=0仅有一个实根,
故Δ=1+4a=0,得a=-1
4.
综上所述,当a=0或a=-1
4时,函数y=ax 2
-x-1只有一个零点.
(2014·阜宁模拟)设函数y=x 3
与y=x-2
12⎛⎫ ⎪⎝⎭的图象的交点为(x 0,y 0),且x 0∈(m,m+1),m ∈Z ,
则m= .
[答案]1
[解析]令f(x)=x 3-x-212⎛⎫ ⎪⎝⎭,易知函数y=x 3
在R 上单调递增,y=x-2
12⎛⎫ ⎪⎝⎭
在R 上单调递减,所以
y=-x-2
12⎛⎫ ⎪⎝⎭在R 上单调递增,所以f(x)在R 上单调递增.又函数y=x 3与y=x-2
12⎛⎫ ⎪⎝⎭
的图象的交点为
(x0,y0),所以f(x0)=0,即x0为f(x)的零点.又f(1)=1-
1-2
1
2
⎛⎫
⎪
⎝⎭=-1<0,f(2)=8-
2-2
1
2
⎛⎫
⎪
⎝⎭=7>0,f(x)在R
上单调递增,所以x0∈(1,2),所以m=1.
函数与方程的关系
已知关于x的一元二次方程(x-1)(3-x)=a-x(a∈R),请你不用方程的判别式而利用函数的图象讨论方程的根的情况.
[思维引导]方程f(x)=0的根就是函数f(x)的零点,据此,方程f(x)=g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标.
[解答]原方程可化为-x2+5x-3=a.作出函数f(x)=-x2+5x-3的图象,再作出函数g(x)=a的图象(如图所示).由图象可知:
①当a=13
4时,方程有两个相等的实数根;
②当a<13
4时,方程有两个不相等的实数根;
③当a>13
4时,方程没有实数根
.
(例5)
[精要点评]将方程问题转化为函数问题,利用数形结合的思想求解.
设函数f(x)=
2
x bx c,x0,
2,x0.
⎧++≤
⎨
>
⎩若f(-4)=f(0),f(-2)=-2,求关于x的方程y=x的解的个
数.
[解答]
f(-4)f(0),
f(-2)-2
=
⎧
⎨
=
⎩
16-4b c c,
4-2b c-2
+=
⎧
⎨
+=
⎩
b4,
c 2.
=
⎧
⎨
=
⎩
所以f(x)=
2
x4x2,x0,
2,x0.
⎧++≤
⎨
>
⎩这个函数的图象如图所示
.
(变式)
可知直线y=x与f(x)的图象有3个交点,所以关于x的方程y=x的解的个数为3.
已知函数f(x)=ax2+4x+b(a<0,且a,b∈R).设关于x的不等式f(x)>0 的解集为(x1,x2),且方程f(x)=x的两实根为α,β.
(1) 若|α-β|=1,求a,b之间的函数关系式;
(2) 若α<1<β<2,求证:(x1+1)(x2+1)<7.
[规范答题](1) 由f(x)=x,得ax2+3x+b=0.
由已知,得9-4ab>0,α+β=-3
a,αβ=
b
a.
所以|α-β
=1,所以2
9
a-
4b
a=1.
所以a2+4ab=9,所以a,b的函数关系式为a2+4ab=9.(6分) (2) 令g(x)=ax2+3x+b,又a<0,α<1<β<2,
所以
g(1)0,
g(2)0,
>
⎧
⎨
<
⎩即
g(1)a b30,
g(2)4a b60.
=++>
⎧
⎨
=++<
⎩
又x1,x2是方程ax2+4x+b=0的两个根,
所以x1+x2=-4
a,x
1x2=
b
a,
所以(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=b
a-
4
a+1=
b-4
a+1. (10分)
由线性约束条件
a b30,
4a b60,
a0,
++>
⎧
⎪
++<
⎨
⎪<
⎩画图可知,
b-4
a的取值范围为(-4,6), (12分)
所以-3<b-4
a+1<6+1=7,所以(x
1+1)(x2+1)<7. (14分)
1. 对于函数y=x2,y=
1
2
x,有下列说法:
①两个函数都是幂函数;
②两个函数在(0,+∞)上都单调递增;
③它们的图象关于直线y=x对称;
④两个函数都是偶函数.
其中正确的说法有.(填序号) [答案]①②
[解析]根据幂函数的图象和性质.
2. 已知幂函数f(x)=k·xα
的图象过点
1
2
⎛
⎝⎭,那么k+α=.
[答案]3 2
[解析]由函数f(x)=k·xα为幂函数,得k=1.
又其图象过点
1
2
⎛
⎝⎭,所以α=
1
2.所以k+α=
3
2.
3. 在下列区间中,函数f(x)=e x+4x-3的零点所在的区间是.(填序号)
①
1
0,
4
⎛⎫
⎪
⎝⎭; ②
11
,
42
⎛⎫
⎪
⎝⎭; ③
53
,
24
⎛⎫
⎪
⎝⎭; ④
3
,1
4
⎛⎫
⎪
⎝⎭.
[答案]②
[解析]因为f(0)=-2<0,f
1
4
⎛⎫
⎪
⎝⎭=
1
4
e-2<0,f
1
2
⎛⎫
⎪
⎝⎭=
1
2
e-1>0,所以f(x)=0的零点在区间
11
,
42
⎛⎫
⎪
⎝⎭内.
4. (2014·温州十校联考)设f(x)=lnx+x-2,若函数f(x)的零点所在的区间是(k,k+1),则k的值为.
(第4题)
[答案]1
[解析]转化为函数g(x)=lnx,h(x)=-x+2图象交点的横坐标所在的范围.作出两函数的图象如图所示,由图象可知f(x)的零点所在的区间为(1,2),从而k=1.
[温馨提醒]
趁热打铁,事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习(第25-26页).。