学案47 直线及其方程

第九章 解析几何 学案47 直线及其方程导学目标： 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式，了解斜截式与一次函数的关系．自主梳理1．直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角①定义：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴________与直线l________方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为________．②倾斜角的范围为______________． (2)直线的斜率①定义：一条直线的倾斜角α的________叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝________，倾斜角是90°的直线斜率不存在．②过两点的直线的斜率公式： 经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2) (x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝______________________. 2．直线的方向向量经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线的一个方向向量为P 1P 2→，其坐标为________________，当斜率k 存在时，方向向量的坐标可记为(1，k)．3．直线的方程和方程的直线已知二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0 (A 2＋B 2≠0)和坐标平面上的直线l ，如果直线l 上任意一点的坐标都是方程____________的解，并且以方程Ax ＋By ＋C ＝0的任意一个解作为点的坐标都在__________，就称直线l 是方程Ax ＋By ＋C ＝0的直线，称方程Ax ＋By ＋C ＝0是直线l 的方程．45.若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，且线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x ，y)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ ，y ＝ ，此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式． 自我检测1．(2011·银川调研)若A(－2,3)，B(3，－2)，C ⎝⎛⎭⎫12，m 三点共线，则m 的值为( )A .12B ．－12C ．－2D ．2 2．直线l 与两条直线x －y －7＝0，y ＝1分别交于P 、Q 两点，线段PQ 的中点为(1，－1)，则直线l 的斜率为( )A ．－32B .32C .23D ．－233．下列四个命题中，假命题是( )A ．经过定点P(x 0，y 0)的直线不一定都可以用方程y －y 0＝k(x －x 0)表示B ．经过两个不同的点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)来表示C ．与两条坐标轴都相交的直线不一定可以用方程x a ＋yb＝1表示D ．经过点Q(0，b)的直线都可以表示为y ＝kx ＋b 4．(2011·商丘期末)如果A·C<0，且B·C<0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限5．已知直线l 的方向向量与向量a ＝(1,2)垂直，且直线l 过点A (1,1)，则直线l 的方程为( )A ．x －2y －1＝0B ．2x ＋y －3＝0C ．x ＋2y ＋1＝0D ．x ＋2y －3＝0探究点一 倾斜角与斜率例1 已知两点A (－1，－5)、B (3，－2)，直线l 的倾斜角是直线AB 倾斜角的一半，求l 的斜率．变式迁移1 直线x sin α－y ＋1＝0的倾斜角的变化范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，π2 B ．(0，π) C.⎣⎡⎦⎤－π4，π4 D.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π 探究点二 直线的方程 例2 (2011·武汉模拟)过点M (0,1)作直线，使它被两直线l 1：x －3y ＋10＝0，l 2：2x ＋y －8＝0所截得的线段恰好被M 所平分，求此直线方程．变式迁移2 求适合下列条件的直线方程： (1)经过点P (3,2)且在两坐标轴上的截距相等；(2)经过点A (－1，－3)，倾斜角等于直线y ＝3x 的倾斜角的2倍．探究点三 直线方程的应用例3 过点P (2,1)的直线l 交x 轴、y 轴正半轴于A 、B 两点，求使： (1)△AOB 面积最小时l 的方程； (2)|P A |·|PB |最小时l 的方程．变式迁移3 为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD 内建一个矩形草坪(如图)，另外△EF A 内部有一文物保护区不能占用，经测量|AB |＝100 m ，|BC |＝80 m ，|AE |＝30 m ，|AF |＝20 m ，应如何设计才能使草坪面积最大？探究点四 数形结合思想例4 已知实数x ，y 满足y ＝x 2－2x ＋2(－1≤x ≤1)．试求y ＋3x ＋2的最大值与最小值．变式迁移4 直线l 过点M (－1,2)且与以点P (－2，－3)、Q (4,0)为端点的线段恒相交，则l 的斜率范围是( )A ．[－25，5]B ．[－25，0)∪(0,5]C ．(－∞，－25]∪[5，＋∞)D ．[－25，π2)∪(π2，5](满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分) 1．(2011·临沂月考)已知直线l 经过A (2,1)、B (1，m 2) (m ∈R )两点，那么直线l 的倾斜角的取值范围是( )A ．(0，π) B.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎭⎫π2，π C.⎣⎡⎦⎤0，π4 D.⎣⎡⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π2，π 2．若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫π6，π3B.⎝⎛⎭⎫π6，π2C.⎝⎛⎭⎫π3，π2D.⎣⎡⎦⎤π6，π2 3．点P (x ，y )在经过A (3,0)，B (1,1)两点的直线上，那么2x ＋4y 的最小值是( ) A ．2 2 B ．4 2 C ．16 D ．不存在 4．(2011·宜昌调研)点A (a ＋b ，ab )在第一象限内，则直线bx ＋ay －ab ＝0不经过的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．(2011·包头期末)经过点P (2，－1)，且在y 轴上的截距等于它在x 轴上的截距的2倍的直线l 的方程为( )A ．2x ＋y ＝2B ．2x ＋y ＝4C ．2x ＋y ＝3D ．2x ＋y ＝3或x ＋2y ＝0 二、填空题(每小题4分，共12分) 6．过两点A (m 2＋2，m 2－3)，B (3－m －m 2,2m )的直线l 的倾斜角为45°，则m ＝________.7．直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0(a ∈R )的倾斜角的取值范围是________．8．设A 、B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且|P A |＝|PB |，若直线P A 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程是________________．三、解答题(共38分)9．(12分)已知两点A (－1,2)，B (m,3)，求： (1)直线AB 的斜率k ； (2)求直线AB 的方程；(3)已知实数m ∈⎣⎡⎦⎤－33－1，3－1，求直线AB 的倾斜角α的范围．10．(12分)(2011·秦皇岛模拟)已知线段PQ 两端点的坐标分别为(－1,1)、(2,2)，若直线l ：x ＋my ＋m ＝0与线段PQ 有交点，求m 的范围．11．(14分)已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0 (k ∈R )． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S ，求S 的最小值并求此时直线l 的方程．学案47 直线及其方程自主梳理1．(1)①正向 向上 0° ②0°≤α<180° (2)①正切值 tan α ②y 2－y 1x 2－x 12.(x 2－x 1，y 2－y 1) 3.Ax ＋By ＋C ＝0直线l 上 4.y －y 0＝k(x －x 0) y ＝kx ＋b y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1 x a ＋yb＝1(a ≠0，b ≠0) Ax＋By ＋C ＝0(A 、B 不同时为0) 5.x 1＋x 22 y 1＋y 22自我检测1．A 2.D 3.D 4.C 5.D 课堂活动区例1 解题导引 斜率与倾斜角常与三角函数联系，本题需要挖掘隐含条件，判断角的范围．关键是熟练掌握好根据三角函数值确定角的范围这一类题型．解 设直线l 的倾斜角为α，则直线AB 的倾斜角为2α，由题意可知：tan 2α＝－2－(－5)3－(－1)＝34，∴2tan α1－tan 2α＝34.整理得3tan 2α＋8tan α－3＝0.解得tan α＝13或tan α＝－3，∵tan 2α＝34>0，∴0°<2α<90°，∴0°<α<45°，∴tan α>0，故直线l 的斜率为13.变式迁移1 D [直线x sin α－y ＋1＝0的斜率是k ＝sin α， 又∵－1≤sin α≤1，∴－1≤k ≤1.当0≤k ≤1时，倾斜角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π4， 当－1≤k<0时，倾斜角的范围是⎣⎡⎭⎫3π4，π.]例2 解题导引 (1)对直线问题，要特别注意斜率不存在的情况． (2)求直线方程常用方法——待定系数法．待定系数法就是根据所求的具体直线设出方程，然后按照它们满足的条件求出参数．解 过点M 且与x 轴垂直的直线是y 轴，它和两已知直线的交点分别是⎝⎛⎭⎫0，103和(0,8)， 显然不满足中点是点M(0,1)的条件．故可设所求直线方程为y ＝kx ＋1，与两已知直线l 1、l 2分别交于A 、B 两点，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x －3y ＋10＝0，① ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，2x ＋y －8＝0，② 由①解得x A ＝73k －1，由②解得x B ＝7k ＋2.∵点M 平分线段AB ，∴x A ＋x B ＝2x M ，即73k －1＋7k ＋2＝0，解得k ＝－14.故所求直线方程为x ＋4y －4＝0.变式迁移2 解 (1)设直线l 在x ，y 轴上的截距均为a ， 若a ＝0，即l 过点(0,0)和(3,2)，∴l 的方程为y ＝23x ，即2x －3y ＝0.若a ≠0，则设l 的方程为x a ＋ya＝1，∵l 过点(3,2)，∴3a ＋2a＝1，∴a ＝5，∴l 的方程为x ＋y －5＝0，综上可知，直线l 的方程为2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0. (2)由已知：设直线y ＝3x 的倾斜角为α， 则所求直线的倾斜角为2α.∵tan α＝3，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－34. 又直线经过点A(－1，－3)，因此所求直线方程为y ＋3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y ＋15＝0.例3 解题导引 先设出A 、B 所在的直线方程，再求出A 、B 两点的坐标，表示出△ABO 的面积，然后利用相关的数学知识求最值．确定直线方程可分为两个类型：一是根据题目条件确定点和斜率或确定两点，进而套用直线方程的几种形式，写出方程，此法称直接法；二是利用直线在题目中具有的某些性质，先设出方程(含参数或待定系数)，再确定参数值，然后写出方程，这种方法称为间接法．解 设直线的方程为x a ＋yb＝1 (a>2，b>1)，由已知可得2a ＋1b ＝1.(1)∵2 2a ·1b ≤2a ＋1b ＝1，∴ab ≥8.∴S △AOB ＝12ab ≥4.当且仅当2a ＝1b ＝12，即a ＝4，b ＝2时，S △AOB 取最小值4，此时直线l 的方程为x 4＋y2＝1，即x ＋2y －4＝0.(2)由2a ＋1b ＝1，得ab －a －2b ＝0，变形得(a －2)(b －1)＝2，|PA|·|PB|＝(2－a )2＋(1－0)2·(2－0)2＋(1－b )2 ＝[(2－a )2＋1]·[(1－b )2＋4] ≥2(a －2)·4(b －1).当且仅当a －2＝1，b －1＝2， 即a ＝3，b ＝3时，|PA|·|PB|取最小值4. 此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0.变式迁移3 解 如图所示建立直角坐标系，则E(30,0)，F(0,20)，∴线段EF 的方程为x 30＋y20＝1(0≤x ≤30)．在线段EF 上取点P(m ，n)， 作PQ ⊥BC 于点Q ，PR ⊥CD 于点R ，设矩形PQCR 的面积为S ， 则S ＝|PQ||PR|＝(100－m)(80－n)． 又m 30＋n20＝1(0≤m ≤30)， ∴n ＝20(1－m30)．∴S ＝(100－m)(80－20＋23m)＝－23(m －5)2＋18 0503(0≤m ≤30)．∴当m ＝5时，S 有最大值，这时|EP||PF|＝30－55＝5.所以当矩形草坪的两边在BC 、CD 上，一个顶点在线段EF 上，且这个顶点分EF 成5∶1时，草坪面积最大．例4 解题导引 解决这类问题的关键是弄清楚所求代数式的几何意义，借助数形结合，将求最值问题转化为求斜率取值范围问题，简化了运算过程，收到事半功倍的效果．解 由y ＋3x ＋2的几何意义可知，它表示经过定点P(－2，－3)与曲线段AB 上任一点(x ，y)的直线的斜率k ，由图可知：k PA ≤k ≤k PB ，由已知可得： A(1,1)，B(－1,5)， ∴43≤k ≤8， 故y ＋3x ＋2的最大值为8，最小值为43.变式迁移4 C[如图，过点M 作y 轴的平行线与线段PQ 相交于点N.k MP ＝5，k MQ ＝－25.当直线l 从MP 开始绕M 按逆时针方向旋转到MN 时，倾斜角在增大，斜率也在增大，这时，k ≥5.当直线l 从MN 开始逆时针旋转到MQ 时，∵正切函数在(π2，π)上仍为增函数，∴斜率从－∞开始增加，增大到k MQ ＝－25，故直线l 的斜率范围是(－∞，－25]∪[5，＋∞)．]课后练习区1．B 2.B 3.B 4.C 5.D6．－2 7.[34π，π) 8.x ＋y －5＝09．解 (1)当m ＝－1时， 直线AB 的斜率不存在；(1分)当m ≠－1时，k ＝1m ＋1.(3分)(2)当m ＝－1时，AB 的方程为x ＝－1，(5分)当m ≠－1时，AB 的方程为y －2＝1m ＋1(x ＋1)，即y ＝xm ＋1＋2m ＋3m ＋1.(7分)∴直线AB 的方程为x ＝－1或y ＝xm ＋1＋2m ＋3m ＋1.(8分)(3)①当m ＝－1时，α＝π2；②当m ≠－1时，∵k ＝1m ＋1∈(－∞，－3]∪⎣⎡⎭⎫33，＋∞，∴α∈⎣⎡⎭⎫π6，π2∪⎝⎛⎦⎤π2，2π3.(10分) 综合①②，知直线AB 的倾斜角α∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3.(12分) 10.解 直线x ＋my ＋m ＝0恒过A(0，－1)点．(2分)k AP ＝－1－10＋1＝－2，k AQ ＝－1－20－2＝32，(5分)则－1m ≥32或－1m ≤－2，∴－23≤m ≤12且m ≠0.(9分)又m ＝0时直线x ＋my ＋m ＝0与线段PQ 有交点，∴所求m 的范围是－23≤m ≤12.(12分)11．(1)证明 直线l 的方程是：k(x ＋2)＋(1－y)＝0， 令⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2＝01－y ＝0，解之得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝1， ∴无论k 取何值，直线总经过定点(－2,1)．(4分)(2)解 由方程知，当k ≠0时直线在x 轴上的截距为－1＋2kk，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k ≤－21＋2k ≥1，解之得k>0；(7分) 当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意，故k ≥0.(9分) (3)解 由l 的方程，得A ⎝⎛⎭⎫－1＋2k k ，0，B(0,1＋2k)．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k <0，1＋2k>0， 解得k>0.(11分)∵S ＝12·|OA|·|OB|＝12·⎪⎪⎪⎪1＋2k k ·|1＋2k| ＝12·(1＋2k )2k ＝12⎝⎛⎭⎫4k ＋1k ＋4≥12×(2×2＋4)＝4， “＝”成立的条件是k>0且4k ＝1k，即k ＝12，∴S min ＝4，此时l ：x －2y ＋4＝0.(14分)。