人教版数学八年级上册12.3角的平分线的性质 教学设计

第十二章全等三角形

12.3角的平分线的性质教学设计

教材分析

本节内容是全等三角形知识的运用延伸，用尺规作一个角的平分线，其作法原理是三角形全等的“边边边”判定方法和全等三角形的性质；角的平分线的性质证明，运用了三角形全等的“角角边”判定方法和全等三角形的性质．角的平分线的性质证明提供了使用角的平分线的一种典型方法——利用角平分线构造两个全等的直角三角形，进而证明相关元素对应相等．角的平分线的性质反映了角的平分线的基本特征，常用来证明两条线段相等，角的平分线的性质的研究过程还可为后期学习线段垂直平分线的性质提供思路。

教学目标

1．会使用尺规作一个已知角的平分线；

2．掌握角的平分线的性质和判定；

3．能运用角的平分线的性质定理解决简单的几何问题．

教学重点及难点

重点：角平分线的尺规作图，角的平分线的性质和判定及其应用．

难点：1.理解对角平分线性质定理中“点到角两边的距离”

2.角的平分线的性质及判定定理的运用.

教学用具

直尺、刻度尺、量角器、角平分仪、多媒体、课件

教学过程

(一)导入新课

问题1：给出一个纸片做的角,能不能找出这个角的角平分线呢？

师生活动：可用量角器，若不利用工具，也可用折纸的方法，教师课件演示．

问题2：哪一种方法用起来更方便？在生活中，这些方法是否都可行呢？

师生活动：用量角器比较方便，但有误差，用折叠的方法比较简捷，但若换成木板、钢板等无法对折的材料,此方法就不行了，那还有别的方法适合吗？引出课题．［设计意图］设计“激趣设疑、联旧带新”环节，既能激发学生的学习兴趣，培养学生运用数学知识解决实际问题的意识，同时为更高层次的知识建构提供了理想途径．（二）探索新知

探究（1）：出示仪器模型，说明工人师傅常用如图所示的简易平分角的仪器来画角的平分线．介绍仪器特点（有两对边相等），将A 点放在角的顶点处，AB 和AD 沿角的两边放下，过AC 画一条射线AE ，AE 即为∠BAD 的平分线．为什么？

学生回答，用三角形全等的方法（SSS ）证明AE 是∠BAD 的平分线．

师问：把简易平分角的仪器放在角的两边时，平分角的仪器两边相等，也就是A B ＝AD ，从几何作图角度怎么画？BC ＝DC ，从几何作图角度怎么画？

师生活动：学生同桌交流，归纳角的平分线的作法．学生板演示范作图．

预设：为什么要以大于

2

1MN 的长为半径画弧？为什么强调交于角的内部？提倡学生自学、对学、再群学．

［设计意图］帮助学生体验从生产生活中分离，抽象出数学模型，以此为线索，先自学、再对学，有问题（或困难）的在小组内交流，从实验操作中获得启示，探究出作角的平分线的方法，不仅注重了个人的实效性发展，而且也实现了学生自身能力的资源共享．

探究（2）：请将一张用纸片做的角∠AOB 对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？再连续折出几个直角三角形，然后展开，观察折痕，你能得到什么结论？

问题1：第一次的折痕和角有什么关系？为什么？

问题2：第二次折叠形成的两条折痕与角的两边有何关系，它们的长度有何关系？ 学生动手折叠

师生活动：第一次折痕是角的平分线，第二次的折痕是角平分线上的点到两边的距离，它们的长度相等，连续再折出折痕长度也对应相等．由此可见，角的平分线除了有平分角的性质，还有其他性质．用文字语言阐述得到的猜想：

角的平分线上的点到角两边的距离相等

［设计意图］学生动手动脑，可猜测并能说出观察到的结论，为逻辑推理做好了铺垫． 几何语言：∵OC 是∠AOB 的角平分线（或者∠AOC ＝∠BOC ）点P 在OC 上且P D ⊥OA ，PE ⊥OB ，∴PD ＝PE ．

师生活动：分清题设和结论，画出图形，引导学生结合图形写出已知、求证，分析后完成证明过程，两名同学板演，教师巡视指导，同桌互查．证明后，教师强调经过证明正确的命题可作为定理．同时强调文字命题的证明步骤．

［设计意图］经历实践→猜想→证明→归纳的过程，符合学生的认知规律，尤其是对于结论的验证，信息技术在此体现了它的不可替代性，特别是对于那些抽象思维能力弱的学生有了很好的帮助．

交换角的平分线性质定理的条件和结论得到：(有难度要及时引导)

角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上

几何语言：∵点P在∠AOB的内部，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，PD＝PE，∴射线OP是∠AOB的平分线．

按照性质的证明方法学生自己证明．（同桌交流）教师巡视指导．

（三）例题解析

例1．如图，已知CE⊥AB于E，BD⊥AC于D，BD，CE交于O，AO平分∠BAC．求证：OB＝OC．

证明：∵AO平分∠BAC，CE⊥AB于E，BD⊥AC于D

∴∠OEB=∠ODC

在△OEB和△ODC中

OEB ODC

OE OD

EOB DOC

∠=∠

⎧

⎪

=

⎨

⎪∠=∠

⎩

，

，

，

∴△OEB≌△ODC(ASA)

∴OB＝OC

教师用多媒体展示问题，学生观察识图，独立思考，并且在小组内讨论交流，找出证明思路，4名学生板演自己的证明过程，学生再互评．

预设：有学生会仍旧去找全等三角形，而不能直接去运用性质定理解决数学问题．

［设计意图］本例题的解决是为突出重点、突破难点而设计的一项活动．提醒学生能直接运用性质定理解决的数学问题，不要再仍旧去找全等三角形，更好地拓展学生解题思路及形成知识运用能力，符合高效课堂要求．

例2．已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P．求证：点P到三边A B，BC，CA的距离相等．

证明:过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足为分别D，E，F.

∵BM是ΔABC的角平分线，点P在BM上，∴PD=PE.

同理PE=PF，

∴PD=PE=PF,

即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.

限时让学生独立思考分析，然后交流证题思路，再通过多媒体展示一般证明过程．

［设计意图］限时独立完成，并展示．通过问题的解决，帮助学生更好地理解角平分线的性质，并达到能熟练运用的程度．

（四）课堂练习

（1）判断正误，并说明理由：

如图，P在射线OC上，PE⊥OA，PF⊥OB，则PE＝PF．( )

P

F

E

O

C

B

A

如图，P是∠AOB的平分线OC上的一点，E，F分别在OA，OB上，则PE＝PF．( )