【精品推荐】高中数学北师大版必修四课后训练3.2.2 两角和与差的正弦、余弦函数第1课时 Word版含答案
3.2.2两角和与差的正弦、余弦函数 课件(北师大版必修4)
1 π 3 π (2)法一：原式＝2( sin － cos ) 2 2 2 12 π π π π ＝2(sin sin －cos cos ) 6 12 6 12 π π π ＝－2cos( ＋ )＝－2cos ＝－ 2. 6 12 4 1 π 3 π 法二：原式＝2( sin － cos ) 2 12 2 12 π π π π ＝2(cos sin －sin cos ) 3 12 3 12 π π ＝2sin( － ) 12 3 π ＝－2sin ＝－ 2. 4
π π [解题过程] (1)原式＝sin xcos ＋cos xsin ＋ 3 3 π π 2π 2sin xcos －2cos xsin － 3cos cos x－ 3sin 3 3 3 2π sin x 3 π π 2π ＝cos 3＋2cos 3－ 3sin 3 sin x＋ π π 2π sin －2sin － 3cos 3 3 3 cos x 1 3 3 3 ＝ ＋1－ 3× sin x＋ － 3＋ cos x＝0. 2 2 2 2
[题后感悟] 解此类问题的关键是把“所求角” 用“已知角”表示出来． (1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示 为两个“已知角”的和或差的形式； (2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求 角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱 导公式把“所求角”变成“已知角”． (3)角的拆分方法不唯一，可根据题目合理选择拆 分方式．
[题后感悟]
对比法一和法二，用 sin(α－β)的值
π π 求解时比较简单，因为－ <x< 时，y＝sin x 是单 2 2 调的，而用 cos(α－β)较麻烦，还需要将角的范围 缩小，一方面计算麻烦，另一方面容易求出两解 导致错误，请同学们注意二者的区别，在具体解 题中合理地选择和运用．
「精品」高中数学课时作业22两角和与差的正弦余弦北师大版必修4
(1)sin ＋2sin － cos ；
(2) －2cos(α＋β)．
解析：(1)原式＝sinx·cos ＋cosxsin ＋2sinxcos －2cosx·sin － cos ·cosx－ sin sinx
＝ sinx＋ cosx＋sinx－ cosx＋ ·cosx－ sinx
＝ sinx＋ cosx＝0.
(2)原式＝
＝
＝
＝ .
10．已知α，β均为锐角，且sinα＝ ，cosβ＝ ，求α－β的值．
解析：因为α，β均为锐角，且sinα＝ ，cosβ＝ ，
所以cosα＝ ，sinβ＝ .
所以sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ
＝ × － × ＝－ .
又因为α，β均为锐角，
所以－ <α－β< .故α－β＝－ .
所以cosβ＝ .
所以sinα＝sin[(α－β)＋β]
＝sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)sinβ
＝ × ＋ × ＝ .
14．已知sin ＝－ ，sin ＝ ，其中 <α< ， <β< ，求角α＋β的值．
解析：因为 <α< ，
所以－ < －α<0.
因为 <β< ，
所以 < ＋β< .
由已知可得co为[－ ， ]．
答案：B
5．已知cos ＋sinα＝ ，则sin 的值为()
A．－ B.
C．－ D.
解析：因为cos ＋sinα＝ ，
所以cosαcos ＋sinαsin ＋sinα＝ ，
所以 cosα＋ sinα＝ ，
即 cosα＋ sinα＝ .
高中数学北师大版必修4《两角和与差的三角函数习题课》练习含试卷分析详
所以左边＝ ＝ ＝ ＝ ，
右边＝ － － ＝ － － ＝ － －tan ＝ － －tan ＝ ，
所以左边＝右边，所以原等式成立．
11．已知函数f(x)＝ sin －cos ，x∈R.
(1)求f 的值；
(2)若α，β∈ ，f ＝ ，f(3β＋2π)＝ ，求cos(α＋β)的值．
解析：(1)∵f(x)＝ sin －cos ，x∈R，
∴f(x)＝2sin ，x∈R.f ＝2sin ＝2sin ＝ .
(2)f ＝2sinα＝ ，∴sinα＝ ，∵α∈ ，∴cosα＝ .
f(3β＋2π)＝2sin ＝2cosβ＝ ，∴cosβ＝ ，∵β∈ ，∴sinβ＝ .
∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝ × － × ＝ .
＝ sinx－ cosx＋ cosx－ sinx＝0.
8．函数y＝2 sin2x＋2cos2x－3在x∈ 上的值域为________．
答案：[－5,1]
解析：y＝2 sin2x＋2cos2x－3＝4sin －3.又x∈ ，所以2x＋ ∈ ，sin ∈ ，所以－2≤4sin ≤4，所以－5≤4sin －3≤1.所以函数y＝2 sin2x＋2cos2x－3在x∈ 上的值域为[－5,1]．
4．若sin2α＝ ，sin(β－α)＝ ，且α∈ ，β∈ ，则α＋β的值是()
A. B.
C. 或 D. 或
答案：A
解析：因为α∈ ，所以2α∈ .又sin2α＝ ，故2α∈ ，所以α∈ ，所以cos2α＝－ .又β∈ ，所以β－α∈ ，且α＋β∈ ，于是cos(β－α)＝－ ，所以cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos2αcos(β－α)－sin2αsin(β－α)＝－ × － × ＝ ，故α＋β＝ .
数学北师大版必修4例题与探究：3.2两角和与差的三角函
典题精讲 例1计算︒︒-︒20cos 20sin 10cos 2.思路分析：10°、20°角直观上看似没有联系，但是两者的和角是30°为特殊角，所以把10°等价代换成30°-20°后就可以用两角差的公式化简. 解：︒︒-︒20cos 20sin 10cos 2=︒︒-︒-︒20cos 20sin )2030cos(2=320cos 20sin 20sin 20cos 3=︒︒-︒+︒.绿色通道：本题是无条件的三角函数求值问题，这是三角函数中的重要内容，是高考常考查的内容之一，对于这类非特殊角的三角函数式，求解具体数值一般有以下途径： （1）将非特殊角化为特殊角的和或差的形式； （2）化为正负相消的项，消项，求值； （3）化为分子、分母形式，进行约分求值； （4）利用诱导公式化任意角的三角函数为在［0, 2π］内的三角函数； （5）特别注意诱导公式2π±α的应用； （6）化切函数为弦函数；（7）善于逆用和变形三角函数的和差公式.在进行求值过程中，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式，则整体变形，否则才进行各局部的变形.变式训练1(2006陕西高考卷，理)13 cos43°cos77°+sin43°cos167°的值为_____________. 思路分析：原式=cos43°cos77°+sin43°cos(90°+77°)=cos43°cos77°-sin43°sin77°=cos(43°+77°) =cos120°=-21. 答案：-21 变式训练2求sin187πcos 92π-sin 9πsin 92π的值. 思路分析：观察分析这些角的联系，会发现9π=2π-187π，即187π与9π是互余的两角，因此可用诱导公式将sin9π变为cos 187π，进而用和差角的正余弦公式求解. 解：原式=sin 187πcos 92π-sin （2π-187π）sin 92π=sin 187πcos 92π-cos 187πsin 92π=sin （187π-92π）=sin 6π=21.例2(2006重庆高考卷，理13)已知α,β∈（43π,π），sin(α+β)=53-,sin （β-4π）=1312,则cos（α+4π）=________________. 思路分析：利用α+4π=(α+β)-(β-4π)来求值.∵ α,β∈（43π,π）， ∴(α+β)∈(23π,2π).∴cos(α+β)=)(sin 12βα+-=54.又(β-4π)∈(2π,43π)，∴cos(β-4π)=-135.∴cos(α+4π)=cos ［(α+β)-(β-4π)］=cos(α+β)cos(β-4π)+sin (α+β)sin(β-4π)=54(-135)+( 53-)1312=-6556. 答案：-6556绿色通道：本题属于“知值求值”的题目，“变角”的技巧在三角函数求值以及证明中常用，因为变角后可充分利用已知条件中的三角函数值来计算或证明.常见的角的变换方式：α=(α+β)-β，2α=(α+β)+(α-β)，α+2β=(α+β)+β等等，变换的方式很多，需要自己慢慢的体会和探索.黑色陷阱：求解时如果将sin(α+β)和sin （β-4π）展开，通过解方程组求sinβ和cosβ，那么运算量很大，会因解方程组而陷入困境. 变式训练1已知cosα=71，cos （α+β）=1411-，且α、β∈（0，2π），求cosβ的值. 思路分析：观察得β=（α+β）-α，再利用两角差的余弦公式展开，求出结果. 解：∵α、β∈（0，2π）， ∴0<α+β<π. ∵cosα=71，cos （α+β）=1411-， ∴sinα=734)71(1cos122=-=-α， sin （α+β）=1435))1411(1()(cos 122=--=+-βα. ∴cosβ=cos ［（α+β）-α］=cos （α+β）cosα+sin （α+β）sinα =1411-×71+1435×734=21. ∴cosβ=21.变式训练2已知sinα+sinβ=53，cosα+cosβ=54，求cos （α-β）的值. 思路分析：由于cos （α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ，欲求cos （α-β）的值，只需要求出cosαcosβ+sinαsinβ的值，而要得到两组同名三角函数乘积，需将条件中的两式平方，再相加即得cosαcosβ+sinαsinβ的结果.解：∵(sinα+sinβ)2=259，(cosα+cosβ)2=2516， ∴sin 2α+2sinαsinβ+sin 2β=259,①cos 2α+2cosαcosβ+cos 2β=2516.②①+②得2+2（cosαcosβ+sinαsinβ）=1， ∴ 2+2cos （α-β）=1. ∴cos （α-β）=-21. 例3已知锐角α、β满足sinα=55，cosβ=10103，求α+β. 思路分析：要求α+β的值，需先求α+β的一个三角函数值，再根据角的范围确定角的具体值.解：∵α、β是锐角， ∴ cosα=552511sin12=-=-α， sinβ=10101091cos12=-=-β. ∴cos （α+β）=cosαcosβ+sinαsinβ=552·10103-55·221010=. 由0＜α＜2π，0＜β＜2π，得到０＜α+β＜π. ∴α+β=4π. 绿色通道：本题是“知值求角”的题目.其解题策略是先求角的一个三角函数值，再由角的范围确定角的大小，通常情况下，所求的角是特殊角.选择求角的三角函数值方法：已知正切函数值，选择求正切函数；已知正、余弦函数值，选择求正弦或余弦函数.若角的范围是(0,2π)，有时选正弦函数，有时选余弦函数.若角的范围是(-2π,2π)，选正弦函数比余弦函数好；若角的范围是(0,π)，则选余弦函数比正弦函数好.黑色陷阱：本题若是改求sin(α+β)的值，则会得到α+β两个值，这样还要将α+β的范围(0,π)再缩小才行，问题就变得复杂了. 变式训练1已知sinα=55,sinβ=1010，且α和β均为钝角，求α＋β的值.思路分析：先求cos （α＋β）的值，再确定α＋β的值. 解：∵α和β均为钝角， ∴cosα=552sinh 1-=--α，cosβ=β2sin 1--=-10103.∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ =552-×（-10103）-（-55）×（-1010）=22. 由α和β均为钝角得π<α+β<2π， ∴α＋β=47π. 变式训练2已知tan(α-β)=21，tanβ=-71，且α、β∈(0,π)，求2α-β的值. 思路分析：转化为2α-β的正切值，其中注意角的变换2α-β=(α-β)+α. 解：∵tan(α-β)=βαβαtan tan 1tan tan +-=21，∴21)71tan(1)71(tan =-+--α. ∴tan 4π=1＞tanα=31＞0.又∵ α∈(0,π)，∴α∈(0,4π). ∴2α∈(0,2π).∵β∈(0,π)，tanβ=-71, ∴β∈(2π,π). ∴-π<2α-β<0.∵tan(2α-β)=tan ［(α-β)+α］=αβααβαtan )tan(1tan )tan(--+-=312113121⨯-+=1＞0， ∴2α-β=-43π. 例4(2006上海春季高考卷，19)已知函数f(x)=2sin （x+6π）-2cosx,x ∈［2π,π］.（1）若sinx=54，求函数f(x)的值；（2）求函数f(x)的值域. 解：（1）∵sinx=54,x ∈［2π,π］,∴cosx=53-. f(x)=2（23sinx+21cosx ）-2cosx=3sinx-cosx.∴当sinx=54时， 函数f(x)=3×54-(53-)=354+53. （2）f(x)=2sin （x+6π）-2cosx =3sinx-cosx =2sin （x-6π）， ∵2π≤x≤π， ∴3π≤x -6π≤65π. ∴21≤sin （x-6π）≤1. ∴ 函数f(x)的值域为［1,2］. 绿色通道：讨论三角函数的性质时，通常先将函数的解析式化简为y=Asin(ωx+φ)+b 的形式，有时利用换元法转化为二次函数，再讨论其性质.变式训练1(2006广东广州二模，11)函数y=sin2x-3cos2x 的最大值是________________. 思路分析：化为y=Asin(ωx+φ)+b 的形式求最值.y=sin2x-3cos2x=2sin(2x-3π)，则最大值为2.答案：2变式训练2已知函数y=sinx+cosx+2sinxcosx+2， （1）若x ∈R ，求函数的最大值和最小值； （2）若x ∈［0，2π］，求函数的最大值和最小值. 思路分析：将sinx+cosx 平方，可得1+2sinxcosx ，于是sinx+cosx 和2sinxcosx 可用一个未知数代替，这样利用换元法就可以转化为二次函数问题. 解：（1）设t=sinx+cosx=2sin （x+4π）. ∵x ∈R ，∴-2≤t≤2. 则t 2=1+2sinxcosx ， ∴ 2sinxcosx=t 2-1.∴y=t 2+t+1=（t+21）2+43，-2≤t≤2. ∴当t=2时，y 取最大值23+；当t=-21时，y 取最小值43. ∴ y max =3+2，y min =43.（2）若x ∈［0，2π］，则t ∈［1，2］. ∴ y ∈［3，3+2］， 即y max =3+2，y min =3.问题探究问题（1）试分别计算tanA+tanB+tanC-tanAtanBtanC 的值： ①在等边三角形ABC 中； ②A=210°,B=120°,C=30°； ③A=-150°,B=30°,C=-60°. （2）由（1），你发现了什么结论？并加以证明. （3）利用（2）的结论，计算︒︒︒︒+︒+︒3.76tan 5.93tan 2.10tan 33.76tan 5.93tan 2.10tan 的值.导思：从A ＋B ＋C 上归纳并猜想出结论. 探究：（1）①由题意，得A=B=C=60°， tanA+tanB+tanC-tanAtanBtanC=tan60°+tan60°+tan60°-tan60°tan60°tan60° =3+3+3-3×3×3=0.②tanA+tanB+tanC-tanAtanBtanC=tan210°+tan120°+tan30°-tan210°tan120°tan30° =33+(-3)+33-33×(-3)×33=0. ③tanA+tanB+tanC-tanAtanBtanC=tan(-150°)+tan30°+tan(-60°)-tan(-150°)tan30°tan(-60°) =33＋33＋（-3）-33×33×（-3）=0. （2）在（1）①中,A+B+C=180°，有tanA+tanB+tanC-tanAtanBtanC=0； 在（1）②中,A+B+C=360°，有tanA+tanB+tanC-tanAtanBtanC=0； 在（1）③中,A+B+C=-180°，有tanA+tanB+tanC-tanAtanBtanC=0. 猜想：当A+B+C=k·180°（k ∈Z ），A ，B ，C≠k·180°+90°时，有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC. 证明：∵A+B+C=k·180°(k ∈Z ). ∴ A+B=k·180°-C. ∴tan(A+B)=tan(k·180°-C). ∴BA BA tan tan 1tan tan -+=tanC.∴tanA+tanB=tanC(1-tanAtanB). ∴tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.（3） ∵10.2°+93.5°+76.3°=180°， ∴tan10.2°+tan93.5°+tan76.3°=tan10.2°tan93.5°tan76.3°. ∴313.76tan 5.93tan 2.10tan 33.76tan 5.93tan 2.10tan =︒︒︒︒+︒+︒.。
北师大版必修4高中数学323《两角和与差的正切函数》课后训练
"【志鸿全优设计】2013-2014学年高中数学 3、2、3 两角和与差的正切函数课后训练 北师大版必修4 "1。
若tan α＝3，则13tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为( ）. A 。
－2 B.2 C.12 D.12- 2.已知tan （α＋β)＝25,1tan 44πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值等于（ ）。
A.1318 B 。
322 C.1322 D.3183.在△ABC 中，∠C ＝120°,tan A ＋tan B ＝233，则tan A t an B 的值为( ）。
A.14 B.13 C.12 D.53 4。
若A ＝15°，B ＝30°，则（1＋tan A ）(1＋tan B )的值为（ )。
A 。
1 B.2 C.－1 D.－25.设A ，B ,C 是△ABC 的三个内角，且tan A ,tan B 是方程3x 2－5x ＋1＝0的两个实数根，则△ABC 是( ).A.等边三角形B 。
等腰直角三角形C 。
锐角三角形D 。
钝角三角形6.在△ABC 中,tan A ＋tan B ＋3＝3tan A tan B ,则C ＝__________。
7。
tan 20tan 501tan20tan50(-)--＝__________。
8.已知tan =24πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，求212sin cos cos ααα+的值. 9.如图，两座建筑物AB ,CD 的高度分别是9 m 和15 m ，从建筑物AB 的顶部A 看建筑物CD 的张角∠CAD ＝45°,求建筑物AB 和CD 的底部之间的距离BD .10。
设一元二次方程mx 2＋(2m －1）x ＋(m ＋1)＝0的两根为tan α，tan β,求tan （α＋β）的取值范围。
参考答案1答案：A2答案：B3答案:B4答案:B5答案:D6答案：3π7答案:38答案：2 39答案：18 m10答案：(－∞,－1）∪31,4⎛⎤--⎥⎝⎦。
北师大版数学高一必修4作业3.2.1两角差的余弦函数两角和与差的正弦、余弦函数
课下能力提升(二十五) 两角差的余弦函数 两角和与差的正弦、余弦函数一、选择题1．(重庆高考)sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝( ) A ．－32 B ．－12C.12D.322．在△ABC 中，若sin(B ＋C )＝2sin B cos C ，那么这个三角形一定是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形3．(湖南高考)函数f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的值域为 ( ) A ．[－2，2] B ．[－3，3]C ．[－1，1] D.⎣⎡⎦⎤－32，32 4．已知sin αcos α＝1225，0<α<π2，则2cos ⎝⎛⎭⎫π4－α的值为( ) A.15 B ．－15C.75 D ．±15二、填空题5．函数y ＝sin x cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最小正周期T ＝________． 6．在△ABC 中，A ，B 为锐角，且sin A ＝55，sin B ＝1010，则A ＋B ＝________． 7．(大纲全国卷)当函数y ＝sin x －3cos x (0≤x <2π)取最大值时，x ＝________．8．设α，β，γ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，则β－α等于________．三、解答题9．已知函数f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－1. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π4上的最大值和最小值．10．已知0<β<π4，π4<α<3π4，cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35，sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋β＝513，求sin(α＋β)的值．答案1．解析：选C 原式＝sin （30°＋17°）－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 30°cos 17°＋cos 30°sin 17°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 30°cos 17°cos 17°＝12. 2．解析：选D ∵sin(B ＋C )＝2sin B cos C ，∴sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos C即cos B sin C ＝sin B cos C ，sin(B －C )＝0又－π<B －C <π，∴B －C ＝0，B ＝C .3．解析：选B f (x )＝sin x －cos(x ＋π6)＝sin x －32cos x ＋12sin x ＝3sin(x －π6)， ∵sin(x －π6)∈[－1，1]， ∴f (x )值域为[－3，3]．4．解析：选C ∵2cos(π4－α)＝2(cos π4cos α＋sin π4·sin α)＝cos α＋sin α，∴[2cos(π4－α)]2＝(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋2×1225＝4925.∵0<α<π2， ∴－π2<－α<0，－π4<π4－α<π4， ∴cos(π4－α)>0.∴2cos(π4－α)＝75. 5．解析：y ＝sin(x ＋x ＋π4)＝sin(2x ＋π4)，∴T ＝2π2＝π. 答案：π6．解析：∵A ，B 为锐角，∴cos A ＝1－sin 2A ＝255， cos B ＝1－sin 2B ＝31010. ∴cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝255×31010－55×1010＝22. 又0<A ＋B <π，∴A ＋B ＝π4. 答案：π47．解析：y ＝sin x －3cos x ＝2sin(x －π3)，由0≤x <2π⇔－π3≤x －π3<5π3可知－2≤2sin(x －π3)≤2，当且仅当x －π3＝π2时即x ＝5π6取得最大值． 答案：5π68．解析：由条件知sin β－sin α＝sin γ，①cos β－cos α＝－cos γ，②由①2＋②2得2－2(sin βsin α＋cos αcos β)＝1.∴cos(β－α)＝12，又由① 知sin β>sin α， ∴β>α，β－α∈(0，π2)．∴β－α＝π3. 答案：π39．解：(1)∵f (x )＝4cos x sin(x ＋π6)－1 ＝4cos x (32sin x ＋12cos x )－1 ＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin(2x ＋π6)， ∴f (x )的最小正周期为π.(2)∵－π6≤x ≤π4，∴－π6≤2x ＋π6≤2π3. ∴当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2； 当2x ＋π6＝－π6，即x ＝－π6时，f (x )取得最小值－1. 10．解：∵π4<α<3π4， ∴－π2<π4－α<0. ∴sin(π4－α)＝－ 1－（35）2＝－45. 又∵0<β<π4， ∴3π4<3π4＋β<π， ∴cos(3π4＋β)＝－ 1－（513）2＝－1213. ∴sin(α＋β)＝－cos(π2＋α＋β)＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋βcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋βsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝－⎝⎛⎭⎫－1213×35－513×⎝⎛⎭⎫－45＝5665.。
北师大版高中数学必修四学两角和与差的正弦、余弦函数第课时课后训练(1)
"【志鸿全优设计】2013-2014学年高中数学 3.2.2 两角和与差的正弦、余弦函数第1课时课后训练 北师大版必修4 "1．cos 195°的值为( )．A BC D 2．已知cos(α＋β)＝15，cos(α－β)＝35，则tan αtan β的值为( )． A ．2 B ．3 C ．12 D ．133．设α∈0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭，若sin α＝354πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为( )． A ．75 B ．15 C ．72D ．44．12sin 15°cos 15°的值为( )．A B ． C D ． 5．已知在△ABC 中，cos B cos C ＞sin B sin C ，那么△ABC 是 ( )．A ．锐角三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形6．函数y ＝sin(x ＋15°)cos(x ＋60°)的最大值为__________．7．已知向量a ＝(sin α，cos α)，向量b ＝(cos β，sin β)，α，β都是锐角，且a ∥b ，则α＋β等于__________．8．若0＜α－β＜4π，π＜α＋β＜32π，sin(α＋β)＝35-，cos (α－β)＝1213，求cos 2α的值． 9．已知函数()2cos 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ (其中ω＞0，x ∈R )的最小正周期为10π． (1)求ω的值； (2)设α，β∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，56535f πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，5165617f πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求cos(α＋β)的值．10．已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，|a －b |． (1)求cos(α－β)；(2)若0＜α＜2π，－2π＜β＜0，且sin β＝513-，求sin α．参考答案1答案：D2答案：C3答案：B4答案：B5答案：D6答案：17答案：π28答案：33 65 -9答案：(1)15(2)1385-10答案：(1)35(2)3365。
北师大版数学必修四：《两角和与差的正弦、余弦》导学案(含解析)
第2课时两角和与差的正弦、余弦1.会用向量的数量积推导两角差的余弦公式.2.能够利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦公式、两角和的正、余弦公式.3.能够运用两角和的正、余弦公式进行简单的化简、求值、证明.我们在第一章学习了任意三角函数的概念,知道一些特殊角的三角函数值,如cos 45°=错误！未找到引用源。
,cos 30°=错误！未找到引用源。
,由此我们能否得到cos 15°=cos(45°-30°)的值?大家可以猜想,是不是等于cos 45°-cos 30°呢?问题1:cos 15°=cos(45°-30°)=cos 45°-cos 30°(填“是”或“是不”)成立的,如果不成立,那么不查表求得cos 15°的值是.问题2:如何用向量的方法探究cos(α-β)的表达式?如图,在直角坐标系xOy内作单位圆O,分别作α、β,它们的终边分别与单位圆O交于A、B点,则错误！未找到引用源。
=(cos α,sin α),错误！未找到引用源。
=(cos β,sin β).∴错误！未找到引用源。
²错误！未找到引用源。
=cos αcos β+sin αsin β,设错误！未找到引用源。
与错误！未找到引用源。
的夹角为θ,则错误！未找到引用源。
²错误！未找到引用源。
=|错误！未找到引用源。
|²|错误！未找到引用源。
|²cos θ=cos θ.∴cos(α-β)=cos θ= .问题3:两角和的余弦、两角和与差的正弦公式的推导(1)cos(α+β)=cos[α-(-β)]=cos αcos(-β)+sin αsin(-β)= ;(2)sin(α+β)=cos[错误！未找到引用源。
-(α+β)]=cos[(错误！未找到引用源。
-α)-β]= ;(3)sin(α-β)=sin[α+(-β)]=sin αcos(-β)+cos αsin(-β)= .问题4:C(α-β)、C(α+β)、S(α+β)、S(α-β)公式间的特点两角和与差的余弦公式的特点:同名积、符号反、任意角.两角和与差的正弦公式的特点:、、.1.不查表,求co s 75°的值为().A.错误！未找到引用源。
【精品推荐】高中数学北师大版必修四课后训练3.2.3 两角和与差的正切函数 Word版含答案
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3
10．设一元二次方程 mx2＋(2m－1)x＋(m＋1)＝0 的两根为 tan α，tan β，求 tan(α＋β)的 取值范围．
参考答案
1 答案：A 2 答案：B 3 答案：B 4 答案：B 5 答案：D 6 答案：
3
2 3
7 答案： 3 8 答案：
9 答案：18 m 10 答案：(－∞，－1)∪ 1, 4
1．若 tan α＝3，则 tan 4．若 A＝15° ，B＝30° ，则(1＋tan A)(1＋tan B)的值为( )． A．1 B．2 C．－1 D．－2 5．设 A，B，C 是△ABC 的三个内角，且 tan A，tan B 是方程 3x2－5x＋1＝0 的两个实 数根，则△ABC 是( )． A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 6．在△ABC 中，tan A＋tan B＋ 3 ＝ 3 tan Atan B，则 C＝__________．
课后训练
13 )． 的值为( 4 1 1 A．－2 B．2 C． D． 2 2 2 1 2．已知 tan(α＋β)＝ ， tan ，则 tan 的值等于( )． 5 4 4 4 13 3 13 3 A． B． C． D． 18 22 22 18 2 3 ，则 tan Atan B 的值为( 3．在△ABC 中，∠C＝120° ，tan A＋tan B＝ )． 3 1 1 1 5 A． B． C． D． 4 3 2 3
tan 20 tan50 1 7． ＝__________． tan20 tan50 1 8．已知 tan =2 ，求 的值． 2sin cos cos 2 4
2019-2020学年高中数学北师大版必修4练习：第3章 第2节 第3课时 两角和与差的正切函数
1
5
10.
导学号 93774096 已知 tan α=-3,cos β= 5 ,α,β∈(0,π).
(1)求 tan(α+β)的值; (2)求函数 f(x)= 2sin(x-α)+cos(x+β)的最大值.
解析∵tan 60°=
1 - ������������������23°������������������37°,
∴tan 23°+tan 37°= 3 ‒ 3tan 23°tan 37°,
∴tan 23°+tan 37°+ 3tan 23°tan 37°= 3. 答案 3
( ) ( ) 8.已知
1 - ���������������������2���������������������������
1
-
1 3
3
������
23
,即 tan2+tan β= 3 ,∴tan
������
23 1
������
3
2,tan β 是 x2- 3 x+3=0 的两个根,解得 tan2=tan β= 3 .
答案 1
9.
导学号 93774095 已知 tan α=3.
( ) (1)求
tan
������
-
������ 4
的值;
������������������������ + ������������������������
(2)求������������������������ - 2������������������������的值.
北师大版数学高一-必修4测评 3.2.12.2 两角和与差的正弦、余弦函数
学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．化简sin(x＋y)·sin(x－y)＋cos(x＋y)·cos(x－y)的结果是() A．sin 2x B．cos 2yC．－cos 2x D．－cos 2y【解析】原式＝cos[(x＋y)－(x－y)]＝cos 2y.【答案】 B2．若12sin x＋32cos x＝cos(x＋φ)，则φ的一个可能值是()A．－π6B．－π3C.π6D．π3【解析】12sin x＋32cos x＝cos x·cosπ6＋sin x·sinπ6＝cos⎝⎛⎭⎪⎫x－π6，故φ的一个可能的值为－π6.【答案】 A3．在△ABC中，若sin(B＋C)＝2sin B·cos C，那么这个三角形一定是() A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰三角形【解析】sin(B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C，由sin(B＋C)＝2sin B cos C，得cos B sin C＝sin B cos C，所以cos B sin C－sin B cos C＝0，即sin(C－B)＝0，所以C＝B，故为等腰三角形．【答案】 D4．α，β都是锐角，且sin α＝1213，cos(α＋β)＝－45，则cos β＝()A ．3365B ．1665 C.5665D ．6365【解析】 ∵α，β都是锐角， ∴cos α＝1－sin 2α＝513，sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝35，∴cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－45×513＋35×1213 ＝1665. 【答案】 B5．已知A (3,0)，B (0,3)，C (cos α，sin α)，若AC →·BC →＝ －1，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4等于( )A ．13 B ．23 C.33D ．23【解析】 AC →＝(cos α－3，sin α)，BC →＝(cos α，sin α－3)， ∴AC →·BC →＝(cos α－3)cos α＋sin α(sin α－3) ＝cos 2α－3cos α＋sin 2α－3sin α ＝1－3(sin α＋cos α)＝－1， ∴3(sin α＋cos α)＝2， ∴32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝23. 【答案】 B 二、填空题6．cos(α－35°)·cos(25°＋α)＋sin(α－35°)·sin(25°＋α)＝________.【导学号：66470069】【解析】 cos(α－35°)·cos(25°＋α)＋sin(α－35°)·sin(25°＋α) ＝cos[(α－35°)－(α＋25°)] ＝cos(－60°) ＝cos 60° ＝12. 【答案】 127．(2016·合肥高一检测)已知α，β均为锐角，满足cos α＝255，sin β＝1010，则cos(α－β)＝________.【解析】 因为α，β均为锐角， 所以sin α＝1－cos 2α＝55，cos β＝1－sin 2β＝31010，所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝255×31010＋55×1010＝7210. 【答案】 72108．已知α，β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α＝________. 【解析】 由cos(α＋β)＝sin(α－β)，得cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β， (cos α－sin α)(cos β＋sin β)＝0.因为α，β均为锐角，所以cos β＋sin β>0， 所以cos α－sin α＝0，即tan α＝1. 【答案】 1 三、解答题9．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝32，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6的值．【解】 原式＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α－1＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－32－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝－23＋14.10．已知0<β<π4，π4<α<3π4，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝513.求sin(α＋β)的值．【解】 ∵π4<α<3π4， ∴－π2<π4－α<0， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝－45.又∵0<β<π4，∴3π4<3π4＋β<π， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫5132 ＝－1213.∴sin(α＋β)＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＋β＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋βcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213×35－513×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝5665.[能力提升]1．已知0<α<π2<β<π，又sin α＝35，cos(α＋β)＝－45，则sin β＝( ) A ．0 B ．0或2425 C.2425D ．1225【解析】 ∵0<α<π2<β<π，sin α＝35，cos(α＋β)＝－45， ∴cos α＝45，sin(α＋β)＝35或－35，∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)·cos α－cos (α＋β)·sin α＝2425或0. ∵π2<β<π， ∴sin β＝2425. 【答案】 C 2.sin 7°＋cos 15°·sin 8°cos 7°－sin 15°·sin 8°＝________.【解析】 原式＝sin (15°－8°)＋cos 15°·sin 8°cos (15°－8°)－sin 15°·sin 8°＝sin 15°·cos 8°cos 15°·cos 8°＝tan 15°＝sin 15°cos 15° ＝sin (60°－45°)cos (60°－45°)＝2－ 3. 【答案】 2－ 33．(2016·西安高一检测)△ABC 中，AB →＝(cos 18°，cos 72°)，BC →＝(2cos 63°，2cos 27°)，则B ＝________.【解析】 ∵AB →＝(cos 18°，cos 72°)， ∴BA →＝(－cos 18°，－sin 18°)． ∴|BA →|＝(－cos 18°)2＋(－sin 18°)2＝1.BC →＝(2sin 27°，2cos 27°)， ∴|BC →|＝2. ∴cos B ＝BA →·BC→|BA →||BC →|＝－2(sin 27°cos 18°＋cos 27°sin 18°)1×2＝－sin(27°＋18°) ＝－sin 45°＝－22. ∵B 是△ABC 的内角， ∴B ＝3π4. 【答案】 3π44．已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，|a －b |＝255. (1)求cos(α－β)的值；(2)若0<α<π2，－π2<β<0，且sin β＝－513，求sin α. 【解】 (1)∵|a |＝1，|b |＝1， |a －b |2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2＝|a |2＋|b |2－2(cos αcos β＋sin αsin β) ＝2－2cos(α－β)． 又∵|a －b |2＝⎝⎛⎭⎪⎫2552＝45， ∴2－2cos(α－β)＝45， ∴cos(α－β)＝35.(2)∵－π2<β<0<α<π2，∴0<α－β<π， 由cos(α－β)＝35，得sin(α－β)＝45. 由sin β＝－513，得cos β＝1213， ∴sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β ＝45×1213＋35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－513＝3365.。
高中数学 3.2.2 两角和与差的正弦、余弦函数第2课时课后训练 北师大版必修4
高中数学 3.2.2 两角和与差的正弦、余弦函数第2课时课后训练 北师大版必修41．sin 35°·cos 25°＋cos 35°·sin 25°的值为( )． A ．12 B ．32 C ．33- D ．12- 2．35sin 12π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值是( )． A ．264- B ．264+ C ．624- D ．264+- 3．已知α和β都是锐角，且sin α＝513，cos(α＋β)＝45-，则si n β的值为( )． A ．3365 B ．1665 C ．5665 D ．63654．函数()sin cos 6f x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的值域为( )． A ．[－2,2] B ．[－3，3] C ．[－1,1] D ．33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦5．已知y ＝sin x ＋cos x ，给出以下四个命题，其中正确命题的序号为__________． ①若x ∈[0，π]，则y ∈[1，2]；②直线x ＝4π是函数y ＝sin x ＋cos x 图像的一条对称轴； ③在区间5,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上函数y ＝sin x ＋cos x 是增函数； ④函数y ＝sin x ＋cos x 的图像可由2cos y x =的图像向右平移4π个单位而得到． 6．设△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，向量m ＝(3sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，3cos A )，若m·n ＝1＋cos(A ＋B )，则C ＝__________．7．已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝110，则tan tan αχ的值是__________． 8．已知tan α＝13-，cos β＝55，其中α，β∈(0，π)． (1)求cos α的值； (2)求sin(α＋β)的值． 9．已知函数f (x )＝a sin x ＋b cos x 的图像经过点,03π⎛⎫⎪⎝⎭和,12π⎛⎫ ⎪⎝⎭． (1)求实数a 和b 的值；(2)当x 为何值时，f (x )取得最大值．10．已知函数73()sin+cos44f x x xππ⎛⎫⎛⎫=+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，x∈R．(1)求f(x)的最小正周期和最小值；(2)已知cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝45-，02παβ⎛⎫<<≤⎪⎝⎭，求证：[f(β)]2－2＝0．参考答案1答案：B2答案：A3答案：C4答案：B5答案：②④6答案：2 3π7答案：3 28答案：(1)31010-(2)22-9答案：(1)a＝1，b＝3-(2)x＝2kπ＋56π，k∈Z时，f(x)取得最大值210答案：(1)T＝2π，f(x)min＝－2 (2)略。
2018版高中数学北师大版必修四学案：第三章 2.2 两角和与差的正弦、余弦函数
2.2 两角和与差的正弦、余弦函数学习目标 1.掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦公式的过程.2.会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等.3.熟悉两角和与差的正弦、余弦公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法．知识点一 两角和的余弦思考 如何由两角差的余弦公式得到两角和的余弦公式？梳理 两角和的余弦公式公式cos(α＋β)＝________________简记符号使用条件α，β都是________记忆口决：“余余正正，符号相反”知识点二 两角和与差的正弦思考1 如何利用两角差的余弦公式和诱导公式得到两角和的正弦公式？思考2 怎样由两角和的正弦公式得到两角差的正弦公式？梳理 两角和与差的正弦公式内容两角和的正弦两角差的正弦简记符号S(α＋β)S(α－β)公式形式sin(α＋β)＝___________________sin (α－β)＝__________________记忆口诀：“正余余正，符号相同”．类型一 给角求值例1 (1)＝________.sin 50°－sin 20°cos 30°cos 20°(2)化简求值：sin(x ＋27°)cos(18°－x )－sin(63°－x )·sin(x －18°)．反思与感悟 (1)解答此类题目一般先要用诱导公式把角化正化小，化切为弦统一函数名称，然后根据角的关系和式子的结构选择公式．(2)解题时应注意观察各角之间的关系，恰当运用拆角、拼角技巧，以达到正负抵消或可以约分的目的，从而使问题得解．跟踪训练1 计算：(1)sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°；(2)sin(54°－x )cos(36°＋x )＋cos(54°－x )sin(36°＋x )．类型二 给值求值例2 已知sin ＝，cos ＝，且0<α<<β<，求cos(α＋β)的值．(3π4＋α)513(π4－β)35π43π4反思与感悟 (1)给值(式)求值的策略①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．(2)给值求角本质上为给值求值问题，解题时应注意对角的范围加以讨论，以免产生增解或漏解．跟踪训练2 已知<β<α<，cos(α－β)＝，π23π41213sin(α＋β)＝－，求cos 2α与cos 2β的值．35类型三 可化为两角和与差的正弦形式例3 将下列各式写成A sin(ωx ＋φ)的形式：(1)sin x －cos x ；3(2)sin(－x )＋cos(－x )．24π464π4反思与感悟 一般地对于a sin α＋b cos α形式的代数式，可以提取，化为a 2＋b 2A sin(ωx ＋φ)的形式，公式a sin α＋b cos α＝sin(α＋φ)(或a sin α＋b cos a 2＋b 2α＝cos(α－φ))称为辅助角公式．利用辅助角公式可对代数式进行化简或求值．a 2＋b 2跟踪训练3 sin －cos ＝________.π123π121．计算cos ＋sin 的值是( )2π126π12A. B ．2 C ．2 D.22222．sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°等于( )A ．－ B. C ．－ D.323212123．已知锐角α、β满足sin α＝，cos β＝，则α＋β＝________.25510104．设α为锐角，若cos(α＋)＝，则sin(α－)＝________.π635π125．化简：sin cos －cos ·(π4－3x )(π3－3x )(π6＋3x )sin .(π4＋3x )1．公式的推导和记忆(1)理顺公式间的逻辑关系C (α－β)C (α＋β)S (α＋β) S (α－β)．―――――――→以－β代换β ―――――――→诱导公式 ―――――――→以－β代换β (2)注意公式的结构特征和符号规律对于公式C (α－β)，C (α＋β)可记为“同名相乘，符号反”；对于公式S (α－β)，S (α＋β)可记为“异名相乘，符号同”．(3)符号变化是公式应用中易错的地方，特别是公式C (α－β)，C (α＋β)，S (α－β)，且公式sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，角α，β的“地位”不同也要特别注意．2．应用公式需注意的三点(1)要注意公式的正用、逆用，尤其是公式的逆用，要求能正确地找出所给式子与公式右边的异同，并积极创造条件逆用公式．(2)注意拆角、拼角的技巧，将未知角用已知角表示出来，使之能直接运用公式．(3)注意常值代换：用某些三角函数值代替某些常数，使之代换后能运用相关公式，其中特别要注意的是“1”的代换，如1＝sin 2α＋cos 2α，1＝sin 90°，＝cos 60°，＝sin 60°等，1232再如：0，，，等均可视为某个特殊角的三角函数值，从而将常数换为三角函数．122232答案精析问题导学知识点一思考 用－β代换cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β中的β便可得到．梳理 cos αcos β－sin αsin β C (α＋β)任意角知识点二思考1 sin(α＋β)＝cos ＝cos ＝cos cos β＋sin sin β＝sin[π2－(α＋β)][(π2－α)－β](π2－α)(π2－α)αcos β＋cos αsin β.思考2 用－β代换β，即可得sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β.梳理 sin αcos β＋cos αsin βsin αcos β－cos αsin β题型探究例1 (1) (2)1222跟踪训练1 解 (1)原式＝sin 14°cos 16°＋sin(90°－14°)cos(90°－16°)＝sin 14°cos 16°＋cos 14°sin 16°＝sin(14°＋16°)＝sin 30°＝.12(2)原式＝sin[(54°－x )＋(36°＋x )]＝sin 90°＝1.例2 解 ∵0<α<<β<，π43π4∴<＋α<π，－<－β<0.3π43π4π2π4又∵sin ＝，(3π4＋α)513cos ＝，(π4－β)35∴cos ＝－，(3π4＋α)1213sin ＝－.(π4－β)45∴cos(α＋β)＝sin[π2＋(α＋β)]＝sin[(3π4＋α)－(π4－β)]＝sin cos －cos ·(3π4＋α)(π4－β)(3π4＋α)sin(π4－β)＝×－×51335(－1213)(－45)＝－.3365跟踪训练2 解 ∵<β<α<，π23π4∴0<α－β<，π<α＋β<.π43π2∴sin(α－β)＝1－cos2(α－β)＝ ＝，1－(1213)2513cos(α＋β)＝－1－sin2(α＋β)＝－ ＝－.1－(－35)245∴cos 2α＝cos[(α－β)＋(α＋β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β)＝－×－×＝－，451213(－35)5133365cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝－×＋×＝－.451213(－35)5136365例3 解 (1)sin x －cos x 3＝2(sin x －cos x )3212＝2(cos sin x －sin cos x )π6π6＝2sin(x －)．π6(2)原式＝[sin(－x )＋cos(－x )]2212π432π4＝[sin sin(－x )＋cos cos(－x )]22π6π4π6π4＝cos(－x －)＝cos(－x )22π4π622π12＝sin(x ＋)．225π12跟踪训练3 －2当堂训练1．B 2.D 3. 4. 5.3π42102－64。
北师大版数学高一-必修四3.2两角和与差 的三角函数(练)
必修四3.2两角和与差 的三角函数（练）一、选择题1．已知α为锐角，且sin α∶sin α2＝8∶5，则cos α的值为( ) A.45B.825C.1225D.725 [答案] D[解析] 由已知sin αsin α2＝85，即(2sin α2·cos α2)sin α2＝85得cos α2＝45，则cos α＝2cos 2α2－1＝2×1625－1＝725. 2.2－sin 22＋cos4的值是( )A ．sin2B ．－cos2C.3cos2D ．－3cos2[答案] D[解析] 原式＝1＋cos 22＋2cos 22－1＝3cos 22 ＝－3cos2.3．若tan θ＝13，则cos 2θ＋12sin2θ的值是( ) A ．－65B ．－45C.45D.65[答案] D[解析] ∵tan θ＝13，∴原式＝cos 2θ＋sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝1＋tan θ1＋tan 2θ＝1＋131＋19＝65. 4．若sin α＋cos α＝－2，则tan α＋1tan α＝( ) A ．1B ．2C ．－1D ．－2[答案] B[解析] 法一：sin α＋cos α＝－2⇒sin(α＋π4)＝－1， ⇒α＝2k π＋5π4，k ∈Z ， ∴tan α＝1，∴原式＝1＋11＝2. 法二：由sin α＋cos α＝－2两边平方得，sin αcos α＝12， ∴原式＝sin αcos α＋cos αsin α＝sin 2α＋cos 2αsin αcos α＝112＝2. 5．cos π5·cos 2π5的值是( ) A ．4B.14C ．2D.12[答案] B[解析] 原式＝sin π5cos π5cos 2π5sin π5＝14sin 4π5sin π5＝14.6．已知等腰三角形底角的余弦值为23，则顶角的正弦值是( ) A.459B.259C ．－459D ．－259[答案] A[解析] 令底角为α，则顶角β＝π－2α， ∵cos α＝23，∴sin α＝53， ∴sin β＝sin(π－2α)＝sin2α＝2sin αcos α＝2×53×23＝459. 7．若sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α的值是( ) A ．－79B ．－13 C.13 D.79[答案] A[解析] ∵sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π6－α ＝cos ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝13， ∴cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π3＋α－1 ＝2×⎝⎛⎭⎫132－1＝－79. 8．函数y ＝cos x 1－sin x的单调递增区间是( ) A.⎝⎛⎭⎫2k π－32π，2k π＋π2(k ∈Z )B.⎝⎛⎭⎫2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z ) C.⎝⎛⎭⎫2k π－3π2，2k π－π2(k ∈Z ) D.⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z ) [答案] A[解析] y ＝cos x 1－sin x ＝cos 2x 2－sin 2x 2⎝⎛⎭⎫cos x 2－sin x 22 ＝cos x 2＋sin x 2cos x 2－sin x 2＝1＋tan x 21－tan x 2＝tan ⎝⎛⎭⎫π4＋x 2，当π4＋x 2∈⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2，k ∈Z 时，函数为增函数，此时x ∈⎝⎛⎭⎫2k π－3π2，2k π＋π2，k ∈Z ，故选A.9．(2010·福建省福州市)已知sin10°＝a ，则sin70°等于( )A ．1－2a 2B ．1＋2a 2C ．1－a 2D ．a 2－1[答案] A[解析] 由题意可知，sin70°＝cos20°＝1－2sin 210°＝1－2a 2，故选A.10．已知方程x 2＋4ax ＋3a ＋1＝0(a >1)的两根为tan α、tan β，且α，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，则tan α＋β2的值是( )A.12B ．－2C.43D.12或－2 [答案] B[解析] ∵⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＝－4a <0tan α·tan β＝3a ＋1>0， ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝43， ∵tan α<0，tan β<0，∴⎩⎨⎧ －π2<α<0－π2<β<0，∴－π<α＋β<0，∴－π2<α＋β2<0， ∵tan(α＋β)＝2tan α＋β21－tan 2α＋β2＝43，∴tan α＋β2＝－2，故选B. 二、填空题11．若sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝35，则cos2α＝________. [答案] －725[解析] ∵sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝35，∴cos α＝35， ∴cos2α＝2cos 2α－1＝2×925－1＝－725. 12．若cos θ>0，且sin2θ<0，则角θ的终边所在象限是________．[答案] 第四象限[解析] ∵sin2θ＝2sin θcos θ<0，cos θ>0，∴sin θ<0，∴θ是第四象限角．13．如果tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝2010，那么1cos2α＋tan2α＝______. [答案] 2010[解析] ∵tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝2010，∴1cos2α＋tan2α＝1cos2α＋sin2αcos2α＝(sin α＋cos α)2cos 2α－sin 2α＝sin α＋cos αcos α－sin α＝tan α＋11－tan α＝tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝2010. 14．已知sin θ2＋cos θ2＝12，则cos2θ＝__________. [答案] －18[解析] ∵(sin θ2＋cos θ2)2＝14，∴sin θ＝－34， ∴cos2θ＝1－2sin 2θ＝1－2×916＝－18. 三、解答题15．化简：2cos 2α－12tan ⎝⎛⎭⎫π4－αsin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α. [解析] 原式＝cos2α2tan ⎝⎛⎭⎫π4－αsin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α2·sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α·sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4＋α2·cos ⎝⎛⎭⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4＋α·sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α＝1.16．已知cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝35且17π12<x <7π4，求sin2x ＋2sin 2x 1－tan x的值． [解析] ∵cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝35，5π3<x ＋π4<2π， ∴sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝－1－⎝⎛⎭⎫352＝－45， tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝－43. 又sin2x ＝－cos2⎝⎛⎭⎫x ＋π4 ＝1－2cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝1－2·⎝⎛⎭⎫352＝725.∴原式＝sin2x ⎝⎛⎭⎫1＋2sin 2x 2sin x cos x 1－tan x＝sin2x ·1＋tan x 1－tan x ＝sin2x ·tan π4＋tan x 1－tan π4tan x ＝sin2x ·tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝725×⎝⎛⎭⎫－43＝－2875. 17．若π<α<3π2，化简1＋sin α1＋cos α－1－cos α＋1－sin α1＋cos α＋1－cos α . [解析] ∵π<α<3π2，∴π2<α2<3π4， ∴cos α2<0，sin α2>0. ∴原式＝⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α222⎪⎪⎪⎪cos α2－2⎪⎪⎪⎪sin α2 ＋⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α222⎪⎪⎪⎪cos α2＋2⎪⎪⎪⎪sin α2 ＝⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22－2⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α2＋⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α222⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α2 ＝－sin α2＋cos α22＋sin α2－cos α22＝－2cos α2. 18．已知sin α＋sin β＝12，cos α＋cos β＝13，求cos 2α－β2的值． [解析] 将sin α＋sin β＝12与cos α＋cos β＝13的两边分别平方得， ∴sin 2α＋2sin αsin β＋sin 2β＝14① cos 2α＋2cos αcos β＋cos 2β＝19② ①＋②得：2＋2cos(α－β)＝1336.∴cos(α－β)＝－5972， ∴2cos 2α－β2－1＝－5972，∴cos 2α－β2＝13144.。