惠州市2013届高三第一次调研考试数学 (理科) 答案(定稿)
高三第一次调研考试数学_(文科)
惠州市2013届高三第一次调研考试数 学 (文科）本试卷共4页，21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
2、选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
参考公式：锥体的体积公式：13V Sh =（S 是锥体的底面积，h 是锥体的高）；球体体积公式：343V R π=球(R 是半径)一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.） 1、 已知集合{}1,2,3,4A =，集合{}2,4B =，则A B = （ ）A 、{}2,4B 、{}1,3C 、{}1,2,3,4D 、∅ 2、i 为虚数单位，则复数()1i i ⋅-的虚部为（ ）A 、iB 、i -C 、1D 、1- 3、若a ∈R ，则“1a =”是“1a =”的（ ）条件A 、充分而不必要B 、必要而不充分C 、充要D 、既不充分又不必要 4、若p 是真命题，q 是假命题，则（ ）A 、p q ∧是真命题B 、p q ∨是假命题C 、p ⌝是真命题D 、q ⌝是真命题5、在A B C ∆中，a b c ，，分别为角A B C ，，所对边，若2cos a b C =，则此三角形一定是（ ） A 、等腰直角三角形B 、直角三角形C 、等腰三角形D 、等腰或直角三角形6、若函数3()()f x x x R =∈，则函数()y f x =-在其定义域上是（ ）A 、单调递减的偶函数B 、单调递减的奇函数C 、单凋递增的偶函数D 、单调递增的奇函数7、阅读右图1所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（ ）． A 、3 B 、11 C 、38 D 、123 8、已知实数4,,9m 构成一个等比数列，则圆锥曲线221xy m+=的离心率为（ ）A 、630 B 、7 C 、630 或7 D 、65或79、设图2是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A 、942π+B 、3618π+C 、9122π+ D 、9182π+10、对实数a 和b ，定义运算“⊗”：,1,,1.a a ba b b a b -≤⎧⊗=⎨->⎩。
惠州市2024届高三第一次调研考试数学试题含解析
图1图2惠州市2024届高三第一次调研考试试题数学全卷满分150分，时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。
2．作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。
3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分。
1.已知集合{}*|,6U x x x =∈≤N ，{}1,2,3A =，{}3,5B =，求()U A B = ð（）团用数学软件制作“蚊香”模型，画法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB ，作一个等边三角形ABC ，然后以点B 为圆心，AB 为半径逆时针画圆弧交线段CB 的延长线于点D ，由此得到第1段圆弧 AD ，再以点C 为圆心，CD 为半径逆时针画圆弧交线段AC 的延长线于点E ，再以点A 为圆心，AE 为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到如图2所示的“蚊香”恰好有11段圆弧时，则该“蚊香”的长度为（）A ．14πB ．18πC ．30πD ．44π多项符合题目要求。
全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分。
三、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分。
四、解答题：本题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18.（本小题满分12分）设等差数列{}n a 的公差为d ，且12d a =，59a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足11222332n n nn a b a b a b ++++=-，求{}n b 的前n 项和n S ．19．（本小题满分12分）如图，在五面体ABCDE 中，AD ⊥平面ABC ，//AD BE ，2AD BE =，AB BC =.（1）问：在线段CD 上是否存在点P ，使得PE ⊥平面ACD ？若存在，请指出点P 的位置，并证明；若不存在，请说明理由．（2）若AB =，2AC =，2AD =，求平面ECD 与平面ABC 夹角的余弦值．21．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，上顶点为B ，右焦点为()0,1F ，O 为坐标原点，线段OA 的中点为D ，且BD DF =．（1）求C 的方程；（2）已知点M N 、均在直线2=x 上，以MN 为直径的圆经过O 点，圆心为点T ，直线AM AN 、分别交椭圆C 于另一点P Q 、，证明直线PQ 与直线OT 垂直．22．（本小题满分12分）惠州市2024届高三第一次调研考试数学试题参考答案与评分细则一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分题号12345678答案BCACDBDA1.【解析】由已知可得{}1,2,3,5A B ⋃=，{}1,2,3,4,5,6U =，所以(){}6,4=B A C U ，故选：B ．5.【解析】由弧长公式r l ⋅=α得：r l ⋅=31，r l 232⋅=，r l 333⋅=，...，r l 11311⋅=，其中1==AB r ，()ππ44113213211321=+⋅⋅⋅+++=+⋅⋅⋅+++=∴l l l l L 蚊香的长度故选：D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分。
数学理卷·2015届广东省惠州市第一中学(惠州市)高三第一次调研考试修改
惠州市2015届高三第一次调研考试 数 学 (理科） 【试卷综评】试卷的题型着眼于考查现阶段学生的基础知识及基本技能掌握情况。
整份试卷难易适中，没有偏、难、怪题，保护了学生的学习信心并激励学生继续学习的热情；在选题和确定测试重点上都认真贯彻了“注重基础，突出知识体系中的重点，培养能力”的命题原则，重视对学生运用所学的基础知识和技能分析问题、解决问题能力的考查。
整份试卷充分体现了“数学来源于生活”这一新课程理念。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．复数i iz +=1（其中i 为虚数单位）的虚部是 （ ）.A 21-.B i21 .C 21.D i 21-【知识点】虚数的概念;虚数除法的运算法则.【答案解析】C 解析 ：解：化简得iz 2121+=，则虚部为21，故选C .【思路点拨】分式上下同时乘以分子的共轭复数再化简整理即可. 2．已知集合},1{R x x y y A ∈-==，}2{≥=x x B ，则下列结论正确的是（ ）.A A ∈-3 .B B ∉3 .C A B B ⋂= .D A B B ⋃=【知识点】集合元素的意义;集合运算;分段函数求值域.【答案解析】C 解析 ：解：已知集合),,3(+∞-=A ),,2[+∞=B ∴B B A = ,故选C . 【思路点拨】{}|||1,A y y x x R ==- 指的是函数值域，将绝对值函数数形结合求值域，在验证各答案.3．某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为9009001200、、人，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高三年级抽取的学生人数为( ).A 15 .B 20 .C 25.D 30【知识点】分层抽样.【答案解析】B 解析 ：解：三个年级的学生人数比例为4:3:3，按分层抽样方法，在高三年级应该抽取人数为20433450=++⨯人，故选B .【思路点拨】利用样本三个年级学生容量比与总体中其容量比相同建立等式求值. 4．已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若5418a a -=，则=8S ( ).A 18 .B 36 .C 54.D 72【知识点】等差数列的性质和求和公式.【答案解析】D 解析 ：解：由题意1854=+a a ，等差数列中8154a a a a +=+，所以722)(8548=+=a a S ，故选D .【思路点拨】先应用等差数列的性质得8154a a a a +=+，再应用等差数列求和公式1()2n n n a a S +=求和.5．在二项式52)1(x x -的展开式中，含4x 的项的系数是（ ） .A 10 .B 10- .C 5- .D 20【知识点】二项展开式通项的公式.【答案解析】A 解析 ：解：由二项式定理可知，展开式的通项为rr r x C 3105)1(--，则4310=-r 得2=r ，所以含4x 项的系数为10)1(225=-C ，故选A .【思路点拨】先由二项式定理得通项r r r x C 3105)1(--，再根据未知量次数建立等式4310=-r 得2=r ，将r 值代回通项得系数.【典型总结】本题主要考查二项展开式通项的公式.6．若某几何体的三视图如右图所示，则此几何体的体积等于（ ）.A 30 .B 12 .C 24 .D4【知识点】由三视图求面积、体积．【答案解析】C 解析 ：解：由三视图可知，原几何体是一个三棱柱被截去了一个小三棱锥得到的，如图111345(34)324232V =⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=，故选C .【思路点拨】先根据三视图判断几何体的形状，再利用体积公式计算即可． 【典型总结】本题主要考查三视图的应用，利用三视图还原成空间几何体的直观图是解决此题的关键，要求熟练掌握空间几何体的体积公式．7．已知y x ,都是区间]2,0[π内任取的一个实数，则使得x y sin ≤的取值的概率是（ ） 3 2 4 3 第6题图.A 24π .B π2 .C 21.D 22π【知识点】几何概型.【答案解析】A 解析 ：解：此题为几何概型，事件A 的度量为函数sin y x =的图像在[0,]2π内与x 轴围成的图形的面积，即20sin 1S xdx π==⎰，则事件A 的概率为21422s P s πππ==='⨯，故选A .【思路点拨】利用积分找出满足题意的图形的面积与边长为2p的正方形的面积的比值即可.8．已知向量与的夹角为θ，定义⨯为与的“向量积”，且⨯是一个向量，它θ=，若(2,0)u =r，(1,u v -=r r=+)(（ ）.A 34 .B 3 .C 6.D 32【知识点】向量加减运算;模的运算;夹角的运算.【答案解析】D 解析 ：解：由题意()(1,)v u u v =--=，则(3,3)u v +=，3cos ,u u v <+>=，得1sin ,2u u v <+>=，由定义知1()sin ,22u u v u u v u u v ⨯+=+<+>=⨯=D ..【思路点拨】先求v ，再求u v +，数形结合求sin q ，最后套“向量积”的长度公式即可. 二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分30分）（一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答． 9． 函数3log (32)y x =-的定义域是 .【知识点】对数函数的定义域.【答案解析】),32(+∞解析 ：解：由023>-x 得32>x ，则定义域为：),32(+∞ .【思路点拨】本题对未知量的限制只在真数部分，列式直接可求得.10．以抛物线x y 42=的焦点为顶点，顶点为中心，离心率为2的双曲线方程是 .【知识点】待定系数法求双曲线方程.【答案解析】2213y x -=解析 ：解：抛物线焦点(1,0)，则双曲线中：1a =，且2c e a ==，得2c =，又222c a b =+得33b =，则双曲线的标准方程为：2213y x -=.【思路点拨】据已知求a ，由离心率为2求c ，再由222c a b =+求b ，从而得到方程. 11．用数字1,2,3,4可以排成没有重复数字的四位偶数，共有____________个. 【知识点】有限制条件的排列问题；优限法.【答案解析】12解析 ：解：由题意，没有重复数字的偶数，则末位是2或4，当末位是2时，前三位将1，3，4三个数字任意排列，则有336A =种排法，末位为4时一样有336A =种，两类共有：33212A =种，故共有没有重复数字的偶数12个. 【思路点拨】本题为有限制条件的排列问题，一定要先按排限制位即个位，个位有两种情况，再分类分别求个数，最后求和即可.12．设变量y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤≥110y y x x ，则y x +的最大值是 .【知识点】线性规划.【答案解析】3 解析 ：解：由约束条件画出可行域如图所示，则目标函数z x y =+在点(2,1)B 取得最大值， 代入得3x y +=，故x y +的最大值为3. 【思路点拨】先由约束条件画可行域，再数形结合平移目标函数直线系得最优解，最后代入目标函数求值即可.13．函数)(x f 的定义域为R ，2)1(=-f ，对任意R x ∈，2)('>x f ，则42)(+>x x f 的解集为 .【知识点】利用导数研究函数的单调性；其他不等式的解法．【答案解析】(1,)-+∞解析 ：解：设F x f x 2x 4=-+（）（）（）， 则F 1f 124220-=---+=-=（）（）（），又对任意R x ∈，2)('>x f ，所以F x f x 20??（）（）＞，即F （x ）在R 上单调递增，则F （x ）＞0的解集为（-1，+∞），即f （x ）＞2x+4的解集为（-1，+∞）．故答案为：（-1，+∞）【思路点拨】构建函数F x f x 2x 4=-+（）（）（），由f （-1）=2得出F （-1）的值，求出F（x ）的导函数，根据2)('>x f ，得到F （x ）在R 上为增函数，根据函数的增减性即可得到F （x ）大于0的解集，进而得到所求不等式的解集．（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分。
惠州市2013届高三考试数学(理科) 答案
惠州市2013届高三第二次调研考试数学（理科）参考答案与评分标准一．选择题：共8小题，每小题5分，满分40分1．【解析】1.提示:因为(1)1z i i i =+=-+,所以(1)1z i i i =+=-+对应的点在复平面的第二象限. 故选B ． 2．【解析】由MN ≠∅可知39m -=-或33m -=,故选A ．3．【解析】31336()2s a a ==+且312a a d =+，14a =，2d ∴=.故选C 4．【解析】由//a b ，得cos 2sin 0αα+=，即1tan 2α=-，所以tan()34πα-=-，故选B5．【解析】注意,a b 的正负号.故选D ． 6.【解析】椭圆的右焦点为(2,0)F ，22p∴=，即4p=，故选D 7．【解析】前四年年产量的增长速度越来越慢， 知图象的斜率随x 的变大而变小，后四年年产量的增长速度保持不变，知图象的斜率不变，,故选B ．8.【解析】由题可知()11xf x e =->-，22()43(2)11g x x x x =-+-=--+≤，若有()()f a g b =，则()(1,1]g b ∈-，即2431b b -+->-，解得22b <<A ．二．填空题：共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只选做一题． 9．(10．12 11．3512．9 13． ()∞+,1 14．159．【解析】根据二次根式和对数函数有意义的条件，得12660000112log 0log 62x xx x x x x >⎧>⎧>⎧⎪⎪⇒⇒<≤⎨⎨⎨-≥≤⎩⎪⎪≤=⎩⎩。
10．【解析】232()x x -的展开式中的常数项即223222132()()T C x x-+=-。
11．【解析】连接1,DF D F ，则//DF AE ,所以DF 与1D F 所成的角即为异面直线所成的角，设边长为2，则1DF D F =1DD F 中13cos 5D FD ==.12．【解析】2222,2(),2x x x x h x x x⎧>=⎨≤⎩，由数形结合可知，当24x <<时, ()2h x x =所以有(3)9h =13．【解析】目标函数ax y z -=可变为直线y ax z =+，斜率为a ，仅在点()3,5处取得最小值,只须1a >14．【解析】直线的普通方程为y x =，曲线的普通方程()22(1)24x y -+-=AB ∴=15．【解析】先用切割线定理求出BC 的长度,然后距离d =三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16．（本小题满分12分）解：（1）由题意得3sin cos 1m n A A =-=………2分2sin()16A π-= ， 1sin()62A π-= ………4分由A 为锐角 ， 得(,)663A πππ-∈-,,663A A πππ-== ………6分（2）由（1）可得1cos 2A = ………7分 所以()cos 22sin f x x x =+ 212sin 2sin x x =-+ 2132(sin )22x =--+ ………9分因为x R ∈，则sin [1,1]x ∈-，当1sin 2x =时，()f x 有最大值32. 当sin 1x =-时，()f x 有最小值3-， ………11分故所求函数()f x 的值域是3[3,]2-. ………12分17．（本小题满分12分）解：（1）从3种服装商品、2种家电商品、4种日用商品中，选出3种商品，一共有39C 种不同的选法，选出的3种商品中，没有日用商品的选法有35C 种，……2分 所以选出的3种商品中至少有一种日用商品的概率为 3539537114242C P C =-=-=……4分 （2）顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额是一随机变量ξ，其所有可能的取值为0，100，200，300。
【解析版】广东省惠州市2013年高考数学一模试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
22
=2
4．（5分）（2013•惠州一模）如图是某简单组合体的三视图，则该组合体的体积为（）
6
∴半个圆锥的体积是6=36
，∴三棱锥的体积是××6，
36=36
5．（5分）（2013•惠州一模）已知向量，，，则m=（）
由题意求出，通过共线，列出关系式，求出
解：因为向量，所以
，
6．（5分）（2013•惠州一模）设随机变量ξ服从正态分布N（3，4），若P（ξ＜2a﹣3）=P（ξ＞a+2），则a ．．
a=
x
﹣，﹣﹣，[，][，]
）＜）＞[，]
（=﹣）+
））＜[，]
8．（5分）（2008•辽宁）设P为曲线C：y=x2+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是
，则点P横坐标的取值范围是（）
．。
广东省惠州市2013届高三第二次调研考试数学试题
广东省惠州市2013届高三第二次调研考试数学试题（文科）第Ⅰ卷（选择题，共50分）一．选择题：本大题共l0小题，在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．每小题5分，满分50分．1.命题“”的否命题是( )．A. B.C. D.2.为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文密文（加密），接受方由密文明文（解密），已知加密规则为：明文对应密文，例如，明文对应密文．当接受方收到密文时，则解密得到的明文为（）．A．4，6，1，7 B．7，6，1，4 C．6，4，1，7 D．1，6，4，73.已知向量，，若，则实数的值等于（）．A. B. C. D.4.已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，则椭圆的离心率等于（）．A．B．C．D．5.在一次射击训练中，一小组的成绩如下表：环数已知该小组的平均成绩为环，那么成绩为环的人数是（）．．．．．6. 下列函数为奇函数的是（）．．．．．7. 下列四个几何体中，每个几何体的三视图有且仅有两个视图相同的是（）．A．①②B．①③C．①④D．②④8.如果执行下面的程序框图，那么输出的（）．Ａ．2450 Ｂ.2500 Ｃ．2550 Ｄ．26529.将函数的图象先向左平移，然后将所得图象上所有的点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应的函数解析式为（）．A．B．C．D．10.已知全集R，集合,若a>b>0，则有( )．A. B. C. D.第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二．填空题：本大题共5小题，其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．每小题5分，满分20分．11．化简：．12. 已知是定义在R上的函数，且对任意，都有：，又则．13.若实数满足条件，则目标函数的最大值为_____ ．14. (坐标系与参数方程选做题)极坐标系中，圆上的动点到直线的距离的最大值是．15. (几何证明选讲选做题)如右图所示，是圆的直径，，，，则．三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明．证明过程和演算步骤．16.（本小题12分）在△ABC中，是角所对的边，且满足．(Ⅰ)求角的大小；(Ⅱ)设，求的最小值.17．(本小题14分)已知：正方体，，E为棱的中点．(Ⅰ) 求证：；(Ⅱ) 求证：平面；（Ⅲ）求三棱锥的体积．18．（本小题12分）有朋自远方来，已知他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别是．(Ⅰ)求他乘火车或飞机来的概率；(Ⅱ)求他不乘轮船来的概率；（Ⅲ)如果他来的概率为，请问他有可能是乘何种交通工具来的？19.（本小题14分）设函数的图象关于原点对称，的图象在点处的切线的斜率为，且当时有极值．(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)求的所有极值．20. (本小题14分)已知圆：和圆，直线与圆相切于点；圆的圆心在射线上，圆过原点，且被直线截得的弦长为．(Ⅰ)求直线的方程(Ⅱ)求圆的方程．21．（本小题14分）已知数列是等差数列，；数列的前n项和是，且．(Ⅰ) 求数列的通项公式；(Ⅱ) 求证：数列是等比数列；(Ⅲ) 记，求的前n项和．广东省惠州市2013届高三第二次调研考试数学试题（文科）参考答案答案1.解析：命题“”的否命题是：“”，故选C．2.解析：由已知，得：，故选．3.解析：若，则，解得．故选．4.解析：由题意得，又．故选．5.解析：设成绩为环的人数是，由平均数的概念，得：．故选．6.解析：是偶函数；是指数函数；是对数函数．故选．7.解析：①的三视图均为正方形；②的三视图中正视图．侧视图为相同的等腰三角形，俯视图为圆；④的三视图中正视图．侧视图为相同的等腰三角形，俯视图为正方形．故选．8.解析：程序的运行结果是，选．9.解析：的图象先向左平移，横坐标变为原来的倍．答案：．10.解析：特殊值法：令，有．故选．题号11 12 13 14 15答案11.解析：．12.解析：令，则，令，则，同理得即当时，的值以为周期，所以．13.解析：由图象知：当函数的图象过点时，取得最大值为2．14. (坐标系与参数方程选做题)解析：将极坐标方程转化成直角坐标方程，圆上的动点到直线的距离的最大值就是圆心到直线的距离再加上半径．故填．15. (几何证明选讲选做题)解析：连结，则在和中：，且，所以，故．三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明．证明过程和演算步骤．16.析：主要考察三角形中的边角关系、向量的坐标运算、二次函数的最值．解：(Ⅰ)∵，∴，………………3分又∵，∴．……………………………………………5分（Ⅱ）……………………………………………6分，………………………8分∵，∴．……………10分∴当时，取得最小值为．…………12分17．析：主要考察立体几何中的位置关系、体积．解：(Ⅰ)证明：连结，则// ，…………1分∵是正方形，∴．∵面，∴．又，∴面．………………4分∵面，∴，∴．…………………………………………5分（Ⅱ）证明：作的中点F，连结．∵是的中点，∴，∴四边形是平行四边形，∴．………7分∵是的中点，∴，又，∴．∴四边形是平行四边形，// ，∵，，∴平面面．…………………………………9分又平面，∴面．………………10分（3）．……………………………11分．……………………………14分18．析：主要考察事件的运算、古典概型．解：设“朋友乘火车、轮船、汽车、飞机来”分别为事件，则，，，，且事件之间是互斥的．(Ⅰ)他乘火车或飞机来的概率为………4分(Ⅱ)他乘轮船来的概率是，所以他不乘轮船来的概率为．………………8分（Ⅲ)由于，所以他可能是乘飞机来也可能是乘火车或汽车来的．…………………12分19.析：主要考察函数的图象与性质，导数的应用．解：(Ⅰ)由函数的图象关于原点对称，得，………………1分∴，∴．…………2分∴，∴．……………………………4分∴，即．……………………6分∴． (7)0 + 0↘极小↗极大↘∴．………………………14分20．析：主要考察直线．圆的方程，直线与圆的位置关系．解：(Ⅰ)（法一）∵点在圆上，…………………………2分∴直线的方程为，即．……………………………5分（法二）当直线垂直轴时，不符合题意．……………………………2分当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，即．则圆心到直线的距离，即：，解得，……4分∴直线的方程为．……………………………………………5分（Ⅱ）设圆：，∵圆过原点，∴．∴圆的方程为．…………………………7分∵圆被直线截得的弦长为，∴圆心到直线：的距离：．…………………………………………9分整理得：，解得或．……………………………10分∵，∴．…………………………………………………………13分∴圆：．……………………………………14分21．析：主要考察等差、等比数列的定义、式，求数列的和的方法．解：(Ⅰ)设的公差为，则：，，∴．…………………………………………4分（Ⅱ）当时，，由，得．…………………5分当时，，，∴，即．…………………………7分∴．……………………………………………………………8分∴是以为首项，为公比的等比数列．…………………………………9分（Ⅲ）由（2）可知：．……………………………10分∴．…………………………………11分∴．…14分。
【解析版】广东省惠州市2013年高考数学一模试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
22
=2
4．（5分）（2013•惠州一模）如图是某简单组合体的三视图，则该组合体的体积为（）
6
∴半个圆锥的体积是6=36
，∴三棱锥的体积是××6，
36=36
5．（5分）（2013•惠州一模）已知向量，，，则m=（）
由题意求出，通过共线，列出关系式，求出
解：因为向量，所以
，
6．（5分）（2013•惠州一模）设随机变量ξ服从正态分布N（3，4），若P（ξ＜2a﹣3）=P（ξ＞a+2），则a ．．
a=
x
﹣，﹣﹣，[，][，]
）＜）＞[，]
（=﹣）+
））＜[，]
8．（5分）（2008•辽宁）设P为曲线C：y=x2+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是
，则点P横坐标的取值范围是（）
．。
2013年惠州一模理科数学
开始2,1S k ==2013k <否1k k =+是输出S结束11S S =-惠州市2013届高三第一次模拟考试数学试题(理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知{}2 |450 A x x x =--=，{}2 | 1 B x x ==，则A B = （ ）A ．{} 1 B ．{} 1 , 1 , 5 - C ． {} 1 - D ．{} 1 , 1 , 5 --2. 已知复数(1)zi i =+ (为虚数单位），则复数z 在复平面上所对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3. 设抛物线的顶点在原点,准线方程为-2,x=则抛物线的方程是( )A.28y x = B. 28y x =- C. 24y x =- D. 24y x =4.如图是某简单组合体的三视图，则该组合体的体积为（ ）A. 363(2)π+B. 363(2)π+C. 1083πD. 108(32)π+5.已知向量(1,1)a =- ，(3,)b m = ，//()a a b +，则m =（ ）A ．2B ．2-C ．3-D ．3 6.设随机变量ξ服从正态分布(3,4)N ，若(23)(2)P a P a ξξ<-=>+，则a =（ ）A ．3B ．53 C ．5 D ．737.已知函数()39x f x x =+-的零点为0x ， 则0x 所在区间为（ ）A.3122⎡⎤--⎢⎥⎣⎦， B.1122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， C.1322⎡⎤⎢⎥⎣⎦， D.3522⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 8．设P 为曲线C ：223yx x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则点P 横坐标的取值范围为 ( ) A ．11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ B ．[]1,0- C ．[]0,1D ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦二．填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答． 9．在等差数列{}n a 中，有67812a a a ++=，则此数列的前13项之和为 .10．62()x x-展开式中，常数项是 .11．执行如图的程序框图，那么输出S 的值是 .12.已知集合A B C 、、，A={直线}，B={平面}，C A B = ．若,,a A b B c C ∈∈∈，给出下列四个命题：①//////a ba c cb ⎧⇒⎨⎩②//a ba c cb ⊥⎧⇒⎨⊥⎩③//a ba c cb ⎧⇒⊥⎨⊥⎩④//a ba c cb ⊥⎧⇒⊥⎨⎩其中所有正确命题的序号是 .13．设变量x ，y 满足约束条件22024010x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，则目标函数32z x y =-的最小值为 .（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分． 14．（坐标系与参数方程选做题）若直线的极坐标方程为cos()324πρθ-=，曲线C ：1ρ=上的点到直线的距离为d ，则d 的最大值为 .15.(几何证明选讲选做题) 如图圆O 的直径6AB =,P是AB 的延长线上一点,过点P 作圆O 的切线,切点为C ,连接AC ,若30CPA ∠=︒,则PC = .三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16.（本小题满分12分） 已知()sin()1f x A x ωϕ=++ ，（x R∈，其中0,0,02A πωϕ>><<）的周期为π，且图像上一个最低点为2(,1)3M π- （1）求()f x 的解析式；（2）当[0,]12x π∈时，求()f x 的值域．17．(本小题满分12分) 在某校高三学生的数学校本课程选课过程中，规定每位同学只能选一个科目。
惠州2013届高三第三次调研考试理科数学试题与答案
惠州市2013届高三第三次调研考试数学试题(理科）本试卷共4页，21小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹地钢笔或签字笔将自己地姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项地答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来地答案，然后再写上新地答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答地答案无效.一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出地四个选项中，只有一项是符合题目要求地）1．复数313ii -地共轭复数．．．．是（ ） A ．3i -+B ．3i --C ．3i +D ．3i -2．已知向量p ()23=-，，q ()6x =，，且//p q ，则+p q 地值为（ ） ABC ．5D ．133．已知集合{}11A =-，，{}10B x ax =+=，若B A ⊆，则实数a 地所有可能取值地集合为（ ）A ．{}1-B ．{}1C ．{}11-，D ．{}101-，， 4．已知幂函数()y f x =地图象过点1(22，，则4log (2)f 地值为（ ） A ．14B ． －14C ．2D ．－2 5．“0m n >>”是“方程221mx ny +=表示焦点在y 轴上地椭圆”地（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6．某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们每场比赛得分地情况用如图所示地茎叶图表示，则甲、乙两名运动员地中位数分别为（ ）A ．19、13 B ．13、19 C ．20、18 D ．18、207．已知x y ，满足约束条件500240x y x y z x y y ++≥⎧⎪-≤=+⎨⎪≤⎩，则地最小值为（ ） A ．14-B ．15-C ．16- D ．17-8．数列{n a } 中，1(1)21nn n a a n ++-=-，则数列{n a }前12项和等于（ ）A ．76B ．78C ． 80D ．82二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分．每小题（一）必做题（第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答） 9．在等比数列{}n a 中，11a =，公比2q =，若{}n a 前n 项和nS =则n 地值为．10．阅读右图程序框图． 若输入5n =，则输出k 地值为________11．已知双曲线22221x y a b -=地一个焦点与抛线线2y =，则该双曲线地方程为． 12．已知,m n 是两条不同直线，αβγ，，中正确地有．①m n m n αα若，，则‖‖‖；②αγβγαβ⊥⊥若，，则‖； ③m m αβαβ若，，则‖‖‖；④m n m n αα⊥⊥若，，则‖． 13．已知函数()212121x x a x f x a a x ⎧+-⎪=⎨⎪->⎩≤，，，．若()f x 在()0+∞， 上单调递增，则实数a 地取值范围为．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题）如图，PA 切O 于点A ，割线PBC 经过圆心O ，1OB PB ==，OA 绕点O 逆时针旋转60︒到OD ，则PD 地长为．15．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，已知两点A 、B 地极坐标分别为(3)3π，，(46π，，则△AOB （其中O 为极点）地面积为．三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤） 16．（本小题满分12分）已知函数()sin cos cos sin f x xx ϕϕ=+（其中x ∈R ，0ϕπ<<），且函数24y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭地图像关于直线6x π=对称．（1）求ϕ地值； （2）若2(3f πα-=，求sin 2α地值.17．（本小题满分12分）某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们地期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分地整数）分成六段：[)4050，，[)5060，，…，[]90100，后得到如下图地频率分布直方图．（1）求图中实数a 地值； （2）若该校高一年级共有学生640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分地人数；（3）若从数学成绩在[)4050，与[]90100，两个分数段内地学生中随机选取两名学生，求这两名学生地数学成绩之差地绝对值不大于10地概率18．（本小题满分14分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD AA ==，2AB =，点E 在棱AB 上移动．（1）证明：11D E A D ⊥；（2）当E 点为AB 地中点时，求点E 到平面1ACD 地距离； （3）AE 等于何值时，二面角1D EC D --地大小为4π？19．（本小题满分14分）已知点（1，31）是函数,0()(>=a a x f x且1≠a ）地图象上一点，等比数列}{n a 地前n 项和为c n f -)(， 数列}{n b )0(>n b 地首项为c ，且前n 项和n S 满足:n S －1n S -=n S 2n ≥）.（1）求数列}{n a 和}{n b 地通项公式；EDCABA 1B 1C 1D 1（2）若数列{}n c 地通项1()3nn n c b =⋅，求数列{}n c 地前n 项和n R ； （3）若数列{}11+n n b b 前n 项和为n T ，问n T >20091000地最小正整数n 是多少?20．（本小题满分14分）设椭圆222:12x y M a +=(a >地右焦点为1F ，直线2:22-=a a x l 与x 轴交于点A ，若112OF F A =（其中O 为坐标原点）． （1）求椭圆M 地方程；（2）设P 是椭圆M 上地任意一点，EF 为圆()12:22=-+y x N 地任意一条直径（E 、F 为直径地两个端点），求⋅地最大值．21．（本小题满分14分）已知函数()32()ln 2123x f x ax x ax =++--()a ∈R ． （1）若2x =为)(x f 地极值点，求实数a 地值；（2）若)(x f y =在[)3+∞，上为增函数，求实数a 地取值范围；（3）当12a =-时，方程()()311+3x b f x x--=有实根，求实数b 地最大值.参考答案40分．1．【解析】()3113i i =3+i i=-．故选D ．2．【解析】26304(23)(46)(23)x x p q ⨯+=⇒=-⇒+=-+-=-=，，，．故选B ． 3．【解析】01a =或或1-．故选D ．4．【解析】由设()f x x α=，图象过点1(22，得12111()()2222αα==⇒=， 12441log (2)log 24f ==．故选A ．5．【解析】22221111x y mx ny m n+=⇒+=，1100m n m n >>⇔<<，即p q ⇔．故选C ． 6．【解析】甲中位数为19，甲中位数为13．故选A ．7．【解析】最优解为min ( 2.5 2.5)15z --⇒=-，．故选B ． 8．【解析】2(1)(21)(21)nn n a a n n ++=--++，取19n =，5，及2610n =，，， 结果相加可得121234111278S a a a a a a =++++++=．故选B ．二、填空题：本大题查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题， 每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．9．7 10．3 11．2219x y -= 12．④13．(]12， 1415．3 9．【解析】1212721712nn n S n -===-⇒=-．答案：7． 10．【解析】511614921483n k n k n k n k ==⇒==⇒==⇒==，，，，．答案：3． 11．【解析】抛线线2y =地焦点22)10a b ⇒+=0．313e a b a ==⇒=⇒=．答案：2219x y -=．12．【解析】m n ，均为直线，其中m n ，平行α，m n ，可以相交也可以异面，故①不正确； m ⊥α，n ⊥α则同垂直于一个平面地两条直线平行；④正确 ．答案④．13．【解析】2112022a a +-≤⇒≤，x a a -是增函数，所以1a >12a ⇒<≤．答案：12a <≤．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．【解析】∵PA 切O 于点A ，B 为PO 中点，∴AB=OB=OA ， ∴60AOB ∠=，∴120POD ∠=，在△POD 中由余弦定理， 得：2222cos PD PO DO PO DO POD =+-⋅∠ =1414()72+-⨯-=．解析2：过点D 作DE ⊥PC 垂足为E ，∵120POD ∠=， ∴60DOB ∠=，可得12OE =，2DE =，在Rt PED ∆中，∴PD ===． 15．【解析】A 、B 地极坐标分别为(3)3π，，(4)6π，，则12ABCSOA OBsin AOB =∠= 134326sin π⨯⨯⨯=（其中O 为极点）．答案3． 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） （1）解：∵()()sin f x x ϕ=+，……………………………………2分 ∴函数()f x 地最小正周期为2π．……………………………………3分∵函数2sin 244y f x x ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，……………………………………5分 又sin y x =地图像地对称轴为2x k ππ=+（k ∈Z ），………………………………6分令242x k ππϕπ++=+，将6x π=代入，得12k πϕπ=-（k ∈Z ）．∵0ϕπ<<，∴1112πϕ=．……………………………………7分 （2）解：2211()sin()sin()(sin cos )3431242f ππππααααα-==-+=+=+，…9分113sin cos 1sin 2sin 2244αααα+=⇒+=⇒=-………12分 17．（本小题满分12分）（1）解：由于图中所有小矩形地面积之和等于1，所以10(0.0050.010.02⨯++0.0250.01)1a +++=．…………………………1分 解得0.03a =．………………………………………………………………………2分（2）解：根据频率分布直方图，成绩不低于60分地频率为110(0.0050.01)-⨯+0.85=．……………………………………………………3分由于该校高一年级共有学生640人，利用样本估计总体地思想，可估计该校高一年级数学成绩不低于60分地人数约为6400.85544⨯=人．………………………………………5分（3）解：成绩在[)4050，分数段内地人数为400.052⨯=人，……………… 6分 成绩在[]90,100分数段内地人数为400.14⨯=人， ………………………………7分若从这6名学生中随机抽取2人，则总地取法有2615C =………………… 9分如果两名学生地数学成绩都在[)4050，分数段内或都在[]90100，分数段内，那么这两名学生地数学成绩之差地绝对值一定不大于10.如果一个成绩在[)4050，分数段内，另一个成绩在[]90100，分数段内，那么这两名学生地数学成绩之差地绝对值一定大于10．………10分则所取两名学生地数学成绩之差地绝对值不大于10分地取法数为 22247C C +=……11分所以所求概率为()715P M =．………………………………………………………13分 18．（本小题满分14分）（1）证明：如图，连接1D B ，依题意有：在长方形11A ADD 中，11AD AA ==，1111111111111A ADD A D AD A D AD B AB A ADD AB A D A D D E D E AD B AD AB A ⇒⊥⎫⇒⊥⎫⎪⊥⇒⊥⇒⊥⎬⎬⊂⎭⎪=⎭四边形平面又平面平面．……… 4分（2）解：AC ==/21AE AB ==，EC =cos 2AEC ∠==-， ABCDsin 2AEC ⇒∠=．∴111222AEC S ∆=⨯=，…………… 6分 111113D AEC V -=⨯⨯=．1AD==1D C ==1sin D AC ⇒∠==．∴11322A DCS ∆==． 设点E 到平面1ACD 地距离为d ，∴11131326D AEC E AD C V V d --==⨯=13d ⇒=．∴点E 到平面1ACD 地距离为13． ………………………………………………… 8分（3）解：过D 作DF EC ⊥交EC 于F ，连接1D F ．由三垂线定理可知，1DFD ∠为二面角1D EC D --地平面角．∴14DFD π∠=，12D DF π∠=，111D D DF =⇒=． ……………………… 10分1sin 26DF DCF DCF DC π∠==⇒∠=，∴3BCF π∠=．…………………… 12分∴tan 3BE BE BCπ=⇒=2AE AB BE =-=故2AE =-时，二面角1D EC D --地平面角为4π．…………………………… 14分19．（本小题满分14分）解：（1）()113f a ==Q ，()13xf x ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭()1113a f c c =-=- ，()()221a f c f c =---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦29=-， ()()323227a f c f c =---=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ . 又数列{}n a 成等比数列，22134218123327a a c a===-=-- ，所以 1c =；又公比2113aq a ==，所以12112333n nn a -⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭*n N ∈ ；……………………2分1n nS S --==Q ()2n ≥又0n b >0>， 1=； 数列构成一个首相为1公差为1()111n n =+-⨯= ， 2n S n =当2n ≥， ()221121n n n b S S n n n -=-=--=- ；又其满足11b c ==，21n b n ∴=-(*n N ∈)； ……………………… 5分（2）11(21)33n nn n c b n ⎛⎫⎛⎫∴==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以123n n R c c c c =++++L12331111135(21)3333n R n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ①2341111111135(23)(21)333333n n n R n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ②①式减②式得：234121111112(21)3333333n n n R n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++--⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L …… 7分 化简：2111113321122(1)12(21)133333313n n n n n R n -+⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦=+⨯--⨯=-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-…9分所以所求113n nn R +=-………………………………………… 10分 （3）12233411111n n n T b b b b b b b b +=++++L ()1111133557(21)21n n =++++⨯⨯⨯-⨯+K1111111111112323525722121n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭K …… 12分11122121n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭；…… 13分 由1000212009n n T n =>+得10009n >，满足10002009n T >地最小正整数为112. ………14分20．（本小题满分14分） 解：（1）由题设知，20)A，)10F ，………………………………1分由112OF AF +=0，得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-22222222a a a a ，…………………………3分 解得62=a ．所以椭圆M 地方程为126:22=+y x M ．………………………………………………4分 （2）方法1：设圆()12:22=-+y x N 地圆心为N ，则()()NP NF NP NE PF PE -⋅-=⋅………………………………………………6分()()NF NP NF NP =--⋅-…………………………………………7分2221NP NF NP =-=-．………………………………………………………………8分从而求PF PE ⋅地最大值转化为求2NP 地最大值．……………………………………9分因为P 是椭圆M 上地任意一点，设()00P x y ，，………………………………………10分所以1262020=+y x ，即202036y x -=．………………………………………………11分因为点()2,0N ，所以()()121222020202++-=-+=y y x NP ．…………………12分因为0y ⎡∈⎣，所以当10-=y 时，2取得最大值12．…………………13分所以⋅地最大值为11．…………………………………………………………14分方法2：设点112200()(),()E x y F x y P x y ，，，，， 因为,E F 地中点坐标为(0,2)，所以2121,4.x x y y =-⎧⎨=-⎩………………………………………6分所以10201020()()()()PE PF x x x x y y y y ⋅=--+--…………………………………7分10101010()()()(4)x x x x y y y y =---+---222201011044x x y y y y =-+-+-22220001114(4)x y y x y y =+--+-．………………………………………9分因为点E 在圆N 上，所以2211(2)1x y +-=，即2211143x y y +-=-．………………10分因为点P 在椭圆M 上，所以2200162x y +=，即220063x y =-．…………………………11分所以PE PF ⋅200249y y =--+202(1)11y =-++．……………………………………12分因为0[y ∈，所以当01y =-时，()min11PE PF⋅=．………………………14分方法3：①若直线EF 地斜率存在，设EF 地方程为2y kx =+，………………………6分由⎩⎨⎧=-++=1)2(222y x kx y ，解得112+±=k x ．……………………………………………7分 因为P 是椭圆M 上地任一点，设点()00P x y ，，所以1262020=+y x ，即202036y x -=．……………………………………………8分所以002PE x y ⎛⎫=--⎪⎭，00,2PF x y ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭…………………………………9分 所以11)1(21)2(1)2(11202020222022++-=--+=+--++-=⋅y y x k k y k x ． ……………………………………10分因为0y ⎡∈⎣，所以当10-=y 时，PF PE ⋅取得最大值11．……………11分②若直线EF 地斜率不存在，此时EF 地方程为0x =，由22(2)1x x y =⎧⎨+-=⎩，解得1y =或3y =．不妨设，()03E ，，()01F ，． …………………………………………12分 因为P 是椭圆M 上地任一点，设点()00P x y ，，所以1262020=+y x ，即202036y x -=．所以()003PE x y =--，，()001PF x y =--，．所以2220000432(1)11PE PF x y y y ⋅=+-+=-++．因为0y ⎡∈⎣，所以当10-=y 时，⋅取得最大值11．……………13分综上可知，⋅地最大值为11．…………………………………………14分 21．（本小题满分14分）解：（1）22()2221a f x x x a ax '=+--+()()222144221x ax a x a ax ⎡⎤+--+⎣⎦=+．……1分 因为2x =为()f x 地极值点，所以()20f '=．…………………………………2分即22041aa a -=+，解得0a =．…………………………………………3分 又当0=a 时，()(2)f x x x '=-，从而2()x f x =为地极值点成立．……………4分（2）因为()f x 在区间[)3,+∞上为增函数，所以()()()2221442021x ax a x a f x ax ⎡⎤+--+⎣⎦'=≥+在区间[)3,+∞上恒成立．……5分①当0=a 时，()(2)0f x x x '=-≥在[3,)+∞上恒成立，所以()[3)f x +∞在，上为增函数，故0=a 符合题意．…………………………………………6分②当0a ≠时，由函数()f x 地定义域可知，必须有10ax +>2对3x ≥恒成立，故只能0a >，所以222(14)(42)0[3)ax a x a x +--+≥∈+∞对，上恒成立．……………………7分 令22()2(14)(42)g x ax a x a =+--+，其对称轴为114x a=-，…………8分因为0a >所以1114a -<，从而()0[3)g x ≥+∞在，上恒成立，只要(3)0g ≥即可， 因为()3g =24610a a -++≥，解得3344a -+≤≤． ……………………………………9分 因为0a >，所以304a +<≤．综上所述，a地取值范围为0⎡⎢⎣⎦．……………………………10分 （3）若12a =-时，方程3(1)(1)+3x b f x x --=可化为，xb x x x =-+--)1()1(ln 2． 问题转化为223ln (1)(1)ln b x x x x x x x x x x =--+-=+-在()0+∞，上有解，即求函数32ln )(x x x x x g -+=地值域．………………………………11分 以下给出两种求函数()g x 值域地方法： 方法1：因为()()2ln g x x x x x=+-，令2()ln (0)h x x x xx =+->，则xx x x x x h )1)(12(211)(-+=-+='，………………………………12分 所以当01,()0x h x '<<>时，从而()(01)h x 在，上为增函数，当1()0x h x '><时，，从而),1()(+∞在x h 上为减函数，………………13分因此()(1)0h x h ≤=．而0x >，故()0b x h x =⋅≤，因此当1x =时，b 取得最大值0．………………………………………14分方法2：因为()()2ln g x x x x x =+-，所以2321ln )(x x x x g -++='． 设2()ln 123p x x x x =++-，则21621()26x x p x x x x--'=+-=-．当106x +<<时，()0p x '>，所以()p x 在1(06+，上单调递增；当16x +>时，()0p x '<，所以()p x 在1()6++∞，上单调递减；因为()10p =，故必有0p >⎝⎭，又22441233210p e e e e ⎛⎫=-++-<-< ⎪⎝⎭，因此必存在实数021x e ∈(使得0'()0g x =， 00()0x x g x '∴<<<当时，，所以()0()0g x x 在，上单调递减； 当01()0x x g x '<<>时，，所以()0(),1g x x 在上单调递增； 当()1'()0()1x g x g x ><+∞时，，所以在，上单调递减； 又因为)41(ln )(ln ln )(232+≤-+=-+=x x x x x x x x x x x g ， 当10ln 04x x →+<时，，则()0g x <，又(1)0g =． 因此当1x =时，b 取得最大值0．…………………………………………14分版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有This article includes some parts, including text, pictures, and design. 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惠州市2011届高三第一次调研考试数学(理科)试题及答案
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共
4页
数学试题 (理 科
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第 2页
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(二 )选 做迈
(H0~15迈 ,考 生只能从中选仗-Ⅱ :两 追扭都钍的,只 记第-庄 饣分 )
19.
(本
14.(坐 标系与参扭方程选做题 )已 知圆的极坐标方程为 ρ=2∞ sθ 9则 该圆的圆心到直线
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oosθ
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(1)求 函数r(△ )的 单调递增区间
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・ ∷ ∶ ∷
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,
A
B
C
【解析版】广东省惠州市2013届高三第三次调研数学试卷(理科)
广东省惠州市2013届高三第三次调研数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）（2013•惠州模拟）复数的共轭复数是（）的分子、分母同时乘以复数=2．（5分）（2013•惠州模拟）已知向量=（2，﹣3），=（x，6），且，则|+|的值B解：由向量==，且，=．3．（5分）（2013•惠州模拟）已知集合A={﹣1，1}，B={x|ax+1=0}，若B⊆A，则实数a的4．（5分）（2013•惠州模拟）已知幂函数y=f（x）的图象过点（，），则log4f（2）的B，图象过点（，），=22转化为，然后根据椭圆的定义判断．转化为，，且，可得出6．（5分）（2013•济宁一模）某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们每场比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示，则甲、乙两名运动员的中位数分别为（）7．（5分）（2013•惠州模拟）已知x、y满足约束条件，则Z=2x+4y的最小值为解：满足约束条件（﹣，﹣×）8．（5分）（2013•惠州模拟）数列{a n} 中，a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，则数列{a n}前12项和二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分30分）(必做题:第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答,选做题:14～15题，考生只能从中选做一题）9．（5分）（2013•惠州模拟）在等比数列{a n}中，a1=1，公比q=2，若{a n}前n项和S n=127，则n的值为7．127=10．（5分）（2013•济宁二模）阅读如图的程序框图．若输入n=5，则输出k的值为3．11．（5分）（2013•惠州模拟）已知双曲线﹣=1的一个焦点与抛线线y2=4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为．=4双曲线的离心率等于x的焦点（e==．故答案为：．12．（5分）（2013•惠州模拟）已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的有④．①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若m∥α，m∥β，则α∥β；④若m⊥α，n⊥α，则m∥n．13．（5分）（2013•惠州模拟）已知函数f（x）=．若f（x）在（0，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围为1＜a≤2．递增，且a递增，且，由14．（5分）（2013•梅州二模）如图，PA切⊙O于点A，割线PBC经过圆心O，OB=PB=1，OA绕点O逆时针旋转60°到OD，则PD的长为．POD=∴，15．（2013•惠州模拟）在极坐标系中，已知两点A、B的极坐标分别为（3，），（4，），则△AOB（其中O为极点）的面积为3．首先由极坐标与直角坐标系转换公式解：由极坐标与直角坐标系转换公式，）的直角坐标分别为三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）16．（12分）（2013•惠州模拟）已知函数f（x）=sinxcosφ+cosxsinφ（其中x∈R，0＜φ＜π），且函数y=f（2x+）的图象关于直线x=对称．（1）求φ的值；（2）若f（a﹣）=，求sin2a的值．）+；代入（a+=sina+cosa=）2x+）2x++x=满足2x++k++…﹣﹣+a+a+=sina+cosa==a=﹣对称，求17．（12分）（2013•惠州模拟）某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到如图所示的频率分布直方图．（1）求图中实数a的值；（2）若该校高一年级共有学生640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；（3）若从数学成绩在[40，50）与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．．18．（14分）（2005•江西）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动．（1）证明：D1E⊥A1D；（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；（3）AE等于何值时，二面角D1﹣EC﹣D的大小为．=），的法向量为，从而的法向量，可求得的大小为，所以根据余弦定理可得AE=的大小为，=∴，∴．中，∵，∴∵，∴∴∴），的法向量为，也即，得，从而的距离为的法向量∴，令∴．依题意∴（不合，舍去），．的大小为．19．（14分）（2013•惠州模拟）已知点（1，）是函数f（x）=a x（a＞0，且a≠1）的图象上一点，等比数列{a n}的前n项和为f（n）﹣c，数列{b n}（b n＞0）的首项为c，且前n项和S n满足：S n﹣S n﹣1=+（n≥2）．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）若数列{c n}的通项c n=b n，求数列{c n}的前n项和R n；（3）若数列{}前n项和为T n，问T n＞的最小正整数n是多少？，，然后由（{n{＞）是函数，所以，，．成等比数列，所以，q=+，，所以}，所以时，，；）由得：，所以，满足20．（14分）（2013•惠州模拟）（理科）设椭圆的右焦点为F1，直线与x轴交于点A，若（其中O为坐标原点）（1）求椭圆M的方程；（2）设点P是椭圆M上的任意一点，线段EF为圆N：x2+（y﹣2）2=1的任意一条直径（E、F为直径的两个端点），求的最大值．的坐标，利用）利用向量的数量积运算，将求的最大值，利用配）由题设知，）∵，∴的方程为；∴=从而将求的最大值转化为求，即，∴∵，∴取最大值∴21．（14分）（2013•惠州模拟）已知函数f（x）=ln（2ax+1）+﹣x2﹣2ax（a∈R）．（1）若x=2为f（x）的极值点，求实数a的值；（2）若y=f（x）在[3，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围；（3）当a=﹣时，方程f（1﹣x）=有实根，求实数b的最大值．）由题意可得）由题意可得lnx+=，其对称轴为的取值范围为）若时，方程0．．）在）在故必有，又使得，lnx+。
广东省惠州市2014届高三上学期第一次调研数学(理)试题
惠州市2014届高三第一次调研考试数学试题(理科）（本试卷共4页，21小题，满分150分。
考试用时120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知集合{}{}1,2,3,14M N x Z x ==∈<<，则 （ ）A.N M ⊆B.N M =C.}3,2{=N MD.)4,1(=N M 2.复数1iz i=-在复平面上对应的点位于 （ ） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知平面向量a ()1,2=-，b ()4,m =，且⊥a b ，则向量53-a b =( ) A. (7,16)-- B.(7,34)-- C.(7,4)-- D.(7,14)-4.已知直线1l 与直线2:l 3460x y +-=平行且与圆：2220x y y ++=相切,则直线1l 的方程是( ) A. 3410x y +-= B. 3410x y ++=或3490x y +-= C. 3490x y ++= D. 3410x y +-=或3490x y ++= 5.对于平面α、β、γ和直线a 、b 、m 、n ,下列命题中真命题是( ) A.若,,,,a m a n m n αα⊥⊥⊂⊂,则a α⊥ B.若//,a b b α⊂,则//a αC.若//,,,a b αβαγβγ== 则//a bD.若,,//,//a b a b ββαα⊂⊂,则//βα6.不等式组201x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪≤-⎩表示的平面区域的面积是( )A.12 B. 0 C. D. 327.已知函数x x x f 3)(3-=，若过点()0,16A 且与曲线()y f x =相切的切线方程为16y ax =+，则实数a 的值是( )A.3-B.3C.6D.98.对于任意两个正整数,m n ,定义某种运算“※”如下:当,m n 都为正偶数或正奇数时,m ※n =m n +;当,m n 中一个为正偶数,另一个为正奇数时,m ※n =mn .则在此定义下,集合{(,)M a b a =※12,,}b a b **=∈∈N N 中的元素个数是( )A.10个B.15个C.16个D.18个二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．（一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答． 9.右图是某高三学生进入高中三年来第次到14次的数学考试成绩 茎叶图, 根据茎叶图计算数据的中位数为 . 10.已知等差数列{n a },满足381,6a a ==,则此数列的前10项 的和10S = .11.已知直线与直线01=--y x 垂直，则直线的倾斜角=α .12.设()f x 是(,)-∞+∞上的奇函数,(3)()f x f x +=. 当01x ≤≤时有()2f x x =, 则(8.5)f = .13.一物体在力5, 02,()34, 2x F x x x ≤≤⎧=⎨+>⎩(单位：N )的作用下沿与力F 相同的方向,从0x =处运动到4x = (单位：m )处,则力()F x 做的功为 焦.14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中,圆4sin ρθ=的圆心到直线()6R πθρ=∈ 的距离是 .15.（几何证明选讲选做题）如图,AD 为圆O 直径,BC 切圆O 于点E ,,AB BC DC BC ⊥⊥ , 4,1AB DC ==,则AD 等于 .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．7 98 6 3 89 3 9 8 8 4 1 5 10 3 1 11 416.（本小题满分12分）已知函数()2sin 22cos 2,f x x x x R =+∈.(1)求()f x 的最大值和最小正周期；(2) 若3282f απ⎛⎫-=⎪⎝⎭，α是第二象限的角，求sin 2α. 17.（本小题满分12分）某社团组织50名志愿者利用周末和节假日参加社会公益活动,活动内容是：1、到各社区宣传慰问,倡导文明新风；2、到指定的医院、福利院做义工,帮助那些需要帮助的人.各位志愿者根据各自的实际情况,选择了不同的活动项目,相关的数据如下表所示：宣传慰问 义工 总计 20至40岁 11 16 27 大于40岁 15 8 23 总计262450(1) 分层抽样方法在做义工的志愿者中随机抽取6名,年龄大于40岁的应该抽取几名? (2) 上述抽取的6名志愿者中任取2名,求选到的志愿者年龄大于40岁的人数的数学期望.18.（本小题满分14分）如图,已知三棱锥O ABC -的侧棱,,OA OB OC 两两垂直,且1OA =,2OB OC ==,E 是OC 的中点.(1)求O 点到面ABC 的距离；(2)求二面角E AB C --的正弦值.19.（本小题满分14分）已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，它的前n 项和为ns ，若570s=，且2722,,a a a 成等比数列.（1） 求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列1n s ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：1368n T ≤<. 20.（本小题满分14分）在平面直角坐标系x o y 中，点(,)(0)P a b a b >>为动点，12,F F 分别为椭圆22221x y a b +=的左右焦点．已知△12F P F 为等腰三角形．（1）求椭圆的离心率e ；（2）设直线2P F 与椭圆相交于,A B 两点，M 是直线2P F 上的点，满足2A M B M =-，求点M 的轨迹方程．BOxyF 1F 2P A MABCEO21.（本小题满分14分）已知二次函数2(),(0)f x ax bx c a =++≠,且不等式()2f x x <的解集为(12)-，.(1) 方程()30f x a +=有两个相等的实根,求()f x 的解析式.(2) ()f x 的最小值不大于3a -,求实数a 的取值范围.(3) a 如何取值时,函数2()()y f x x ax m =--+(||1m >)存在零点,并求出零点.惠州市2014届高三第一次调研考试数学 (理科）参考答案与评分标准一．选择题：共8小题，每小题5分，满分40分题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案CBADCADB1.【解析】{}{}3,241=<<∈=x Z x N ，故}3,2{=N M ，故选C. 2.【解析】1i i -(1)11222i i i +==-+，所以点（11,)22-位于第二象限.故选B. 3.【解析】∵⊥a b ,∴4-202m m ⋅==⇒=a b ,∴53(7,16)-=--a b .故选A.4.【解析】圆2220x y y ++=的圆心为(0,1)-,半径为1r =,因为直线12//l l ,所以,设直线1l 的方程为340x y c ++=,由题意得22|304(1)|1134c c ⨯+⨯-+=⇒=-+或9c =.所以,直线1l 的方程3410x y +-=或3490x y ++=.故选D.(二）【解析】对于平面α、β、γ和直线a 、b ,真命题是“若//,,,a b αβαγβγ== , 则//a b ”.故选C6.【解析】不等式组表示的可行域如图所示， 故面积为211121=⋅⋅.故选A. 7.【解析】设切点为00(,)M x y ，则03003x x y -= ①， ∵33)(200-='=x x f k ，又切线l 过A 、M 两点， ∴0016x y k -=则00201633x y x -=- ② 联立①、②可解得2,200-=-=y x ，从而实数a 的值为21692a k --===-故选D . 8.【解析】从定义出发,抓住,a b 的奇偶性对12实行分拆是解决本题的关键,当,a b 同奇偶时,根据m ※n =m n +将12分拆两个同奇偶数的和,当,a b 一奇一偶时,根据m ※n =mn 将12分拆一个奇数与一个偶数的积,再算其组数即可.若,a b 同奇偶,有1211121039485766=+=+=+=+=+=+,前面的每种可以交换位置,最后一种只有1个点(6,6),这时有25111⨯+=;若,a b 一奇一偶,有1211234=⨯=⨯,每种可以交换位置,这时有224⨯=; ∴共有11415+=个.故选B二．填空题：共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题． 9．94.5 10．35 11．34π （或135︒） 12．1- 13．36 14． 3 15． 5 9.【解析】从茎叶图中可知14个数据排序为：79 83 86 88 91 93 94 95 98 98 99 101 103 114中位数为94与95的平均数94.5 . 10.【解析】1103810()10()1071035222a a a a S +⨯+⨯⨯====.11.【解析】 直线与直线10x y --=垂直得1tan l k α=-=，∴34απ=. 12.【解析】(8.5)(5.53)(5.5)(2.53)(2.5)(0.53)f f f f f f =+==+==-+(0.5)(0.5)20.51f f =-=-=-⨯=-.13.【解析】42402()5(34)W F x dx dx x dx ==++=⎰⎰⎰205x +42234362x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭14.【解析】由4sin ρθ=得圆O 为22(2)4x y +-=,圆O 的圆心(0,2)C 直线()6R πθρ=∈的直角坐标方程为30x y -=，所以点(0,2)C 到直线()6R πθρ=∈的距离是3.15.【解析】连接OE , BC 切圆O 于点E ,OE BC ∴⊥.又 ,AB BC DC BC ⊥⊥，O 是AD 中点，1()2OE AB DC ∴=+.25AD OE ∴== 三、解答题：16.解(1)∵22()2sin 2cos 22cos sin 2sin cos 22244f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2sin 24x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ………………………4分∴()f x 的最大值为2,……5分，最小正周期为22T ππ== ………6分 (2)由(1)知,()2sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭所以32sin 282f απα⎛⎫-==⎪⎝⎭,即3sin 4α= ………………………8分 又α是第二象限的角,所以22313cos 1sin 144αα⎛⎫=--=--=- ⎪ ⎪⎝⎭……10分 所以31339sin 22sin cos 2448ααα⎛⎫==⨯⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭ ………12分 17解：(1)若在做义工的志愿者中随机抽取6名,则抽取比例为61244=……………2分 ∴ 年龄大于40岁的应该抽取1824⨯=人. ………………………4分 (2)在上述抽取的6名志愿者中任取2名,假设选到年龄大于40岁的人数为ξ, ∵ 6名志愿者中有2人的年龄大于40岁,其余4人的年龄在20到40岁之间, ∴ ξ可能的取值为0,1,2. ………………………5分则0224262(0)5C C p C ξ===,1124268(1)15C C p C ξ===,22261(2)15C p C ξ===………8分 ∴ξ的分布列为ξ2P25815 115………10分∴ ξ的数学期望为2812012515153E ξ=⨯+⨯+⨯= ………12分 18（本小题满分14分）解: (1)取BC 的中点D ,连AD 、OD,OB OC OD BC =⊥ 则、,AD BC ⊥.,BC OAD O OH AD H ∴⊥⊥面过点作于则OH ⊥面ABC ,OH 的长就是所要求的距离.2222, 2.BC OD OC CD ==-= ………………………3分OA OB ⊥ 、OA OC ⊥,,.OA OBC OA OD ∴⊥⊥平面则223AD OA OD =+=,在直角三角形OAD 中,有26.33OA OD OH AD⋅===…6分（另解:由1126,.)3633ABC V S OH OA OB OC OH ∆=⋅=⋅⋅==知(2)连结CH 并延长交AB 于F ,连结OF 、EF .,.,,,OC OAB OC AB OH ABC CF AB EF AB ⊥∴⊥⊥∴⊥⊥ 面又面则EFC ∠就是所求二面角的平面角. ……………9分 作EG CF ⊥于G ,则16.26EG OH == 在直角三角形OAB 中,2,5OA OB OF AB ⋅== 在直角三角形OEF 中,22431,55EF OE OF =+=+=……………12分 63030766sin ,arcsin .(arccos )31818185EG EFG EFG EF ∠===∠=或表示为,故所求的正弦值是1830 ……………14分方法二: (1)以O 为原点,OB 、OC 、OA 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系. 则有(0,0,1)A 、(2,0,0)B 、(0,2,0)C 、(0,1,0).E ……2分设平面ABC 的法向量为1(,,),n x y z =则由11:20;n AB n AB x z ⊥⋅=-=知由11:20.n AC n AC y z ⊥⋅=-= 知取1(1,1,2)n =,……4分则点O 到面ABC 的距离为1126.3114n OA d n ⋅===++ ……6分 (2) (2,0,0)(0,1,0)(2,1,0),(2,0,0)(0,0,1)(2,0,1)EB AB =-=-=-=-……8分设平面EAB 的法向量为(,,),n x y z = 则由n AB ⊥ 知:20;n AB x z ⋅=-=由n EB ⊥ 知:20.n EB x y ⋅=-= 取(1,2,2).n =……………10分由(1)知平面ABC 的法向量为1(1,1,2).n =……………11分则cos <1,n n >11124776189636n n n n ⋅++====⋅. ……………13分结合图形可知,二面角E AB C --的正弦值是1830……………14分 19.（本题满分14分）解：（1） 数列{}n a 是等差数列且570s =，∴151070a d +=. ①…2分2722,,a a a 成等比数列，∴27222a a a =即2111(6)()(21).a d a d a d +=++②………4分 由①，②解得16,4a d ==或114,0(a d ==舍去）…………5分∴42n a n =+ ………6分（2）证明;由（1）可得224n s n n =+， …………7分 所以211111()2442ns n n n n ==-++.…………8分所以123111111n n nT s s s s s -=+++++ 111111*********()()()()()41342443541142n n n n =-+-+-++-+--++ 3111()8412n n =-+++. …………10分3111()08412n T n n -=-+<++，∴38nT <. …………11分 1111()0413n n T T n n +-=->++，∴数列{}n T 是递增数列，∴116n T T ≥=.………13分∴1368nT≤<.…………14分20解：（1）设12(,0),(,0)(0)F c F c c ->，由题意,可得212PF F F =,即22()2a c b c -+=， ……………2分 整理得22()10c c aa++=，得1c a=-(舍)或12c a =，所以12e =. ……………4分（2）由（1）知2,3a c b c ==,可得椭圆方程为2223412x y c +=.直线2PF 方程为3(),y x c =- ……………………………………………5分,A B 两点的坐标满足方程组22234123()x y c y x c ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩,消去y 并整理得2580,x cx -=……6分解得1280,,5x x c ==得方程组的解1103,x y c =⎧⎪⎨=-⎪⎩228533,5x c c y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩……………………8分 不妨设833(,),(0,3)55cA cB c -,设M 的坐标为(,)x y 则833(,),55c AM x c y =-- (,3)BM x y c =+， …………10分由3(),y x c =-得33c x y =-. 于是833833(,),15555AM y x y x =-- (,3)BM x x = …………11分由2AM BM =-得833833()()3215555x y x x y x -⋅+-⋅=-， 化简得218163150x xy --=， ………………………………13分将21815163x y x-=代入33c x y =-得210516x c x+=，由0c >得0x >.因此,点M 的轨迹方程是218163150(0)x xy x --=>. …14分 21解：∵()2f x x <的解集为(12)-，,∴220ax b x c +-+<（）的解集为(12)-，, ……………………1分 ∴0a >,且方程220ax b x c +-+=（）的两根为12-和即202a 4402a b c b a b c c a-++==-⎧⎧⇒⎨⎨+-+==-⎩⎩2，∴2()(2)2,(0)f x ax a x a a =+--> ……2分 （1）∵方程()30f x a +=有两个相等的实根,即2(2)0ax a x a +-+=有两个相等的实根∴222(2)403440a a a a ∆=--=⇒+-=, ∴2a =-或23a =…………3分 ∵0a >,∴23a =, ∴2244()333f x x x =+- …………4分（2）222228(2)()(2)224a a a f x ax a x a a x aa----=+--=++（） ∵0a >,∴()f x 的最小值为228(2)4a a a ---, ……………………5分则228(2)34a a a a---≤-,23440a a +-≤,解得223a -≤≤, …………7分∵0a >,∴203a <≤………………………………8分（3）由2()()0,(0,1)y f x x ax m a m =--+=>>,得2(1)2(2)0a x x a m -+-+= (※)①当1a =时,方程(※) 有一解12m x =+, 函数2()()y f x x ax m =--+有一零点12m x =+； ……………………9分 ②当1a ≠时, 242(2)(1)a m a m ⎡⎤∆=+-+-⎣⎦方程(※)有一解242(2)(1)0a m a m ⎡⎤⇔∆=+-+-=⎣⎦, 令214440m m ∆=+-≥ 得222222m m ≥-≤--或, ||1m > 11m m ><-即或，∴ i)当1m >，224444m m m a -++-=时，（224444m m m a --+-=（负根舍去）），函数2()()y f x x ax m =--+有一零点11x a=-. ……………10分 ii) 当222m ≤--时，a 的两根都为正数，∴当224444m m m a -++-=或224444m m m a --+-=时，函数2()()y f x x ax m =--+有一零点11x a=-.11分 ⅲ) 当2221m --<<-时，214440m m ∆=+-<，0∴∆>③方程(※)有二解242(2)(1)0a m a m ⎡⎤⇔∆=+-+->⎣⎦,i) 若1m >,214440m m ∆=+->，224444m m m a -++->时, （224444m m m a --+-=（负根舍去）），函数2()()y f x x ax m =--+有两个零点()221,2242(2)(1)12(2)(1)211a m a m a m a m a a x ⎡⎤-±+-+--±+-+-⎣⎦==--； …12分 ii) 当222m <--时，214440m m ∆=+->，a 的两根都为正数，∴当224444m m m a -++->或2244404m m m a --+-<<时， 函数2()()y f x x ax m =--+有两个零点21,212(2)(1)1a m a m a x -±+-+-=-。
广东省惠州市2013届高三调研考试数学(理)试题答案
惠州市2013届高三第三次调研考试 数学（理科）试题参考答案及评分标准分．题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案D B C A C A B B 1．【解析】()3113i i =3+i i=-．故选D ． 2．【解析】26304(23)(46)(23)13x x p q ⨯+=⇒=-⇒+=-+-=-=，，，．故选B ． 3．【解析】01a =或或1-．故选D ．4．【解析】由设()f x x α=，图象过点12(2，得121211()()222αα==⇒=， 12441log (2)log 24f ==．故选A ．5．【解析】22221111x y mx ny m n+=⇒+=，1100m n m n >>⇔<<，即p q ⇔．故选C ． 6．【解析】甲中位数为19，甲中位数为13．故选A ．7．【解析】最优解为min ( 2.5 2.5)15z --⇒=-，．故选B ． 8．【解析】2(1)(21)(21)nn n a a n n ++=--++，取19n =，5，及2610n =，，， 结果相加可得121234111278S a a a a a a =++++++=．故选B ．二、填空题：本大题查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题， 每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．9．7 10．3 11．2219x y -= 12．④ 13．(]12， 14．7 15．39．【解析】1212721712nn n S n -===-⇒=-．答案：7． 10．【解析】511614921483n k n k n k n k ==⇒==⇒==⇒==，，，，．答案：3． 11．【解析】抛线线2410y x =的焦点2210)10a b ⇒+=0． 1010313e a b a ==⇒=⇒=．答案：2219x y -=．12．【解析】m n ，均为直线，其中m n ，平行α，m n ，可以相交也可以异面，故①不正确； m ⊥α，n ⊥α则同垂直于一个平面的两条直线平行；④正确 ．答案④．13．【解析】2112022a a +-≤⇒≤，x a a -是增函数，所以1a >12a ⇒<≤．答案：12a <≤．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．【解析】∵PA 切O 于点A ，B 为PO 中点，∴AB=OB=OA ， ∴60AOB ∠=，∴120POD ∠=，在△POD 中由余弦定理， 得：2222cos PD PO DO PO DO POD =+-⋅∠=1414()72+-⨯-=．解析2：过点D 作DE ⊥PC 垂足为E ，∵120POD ∠=， ∴60DOB ∠=，可得12OE =，DE =，在Rt PED ∆中，∴PD ===． 15．【解析】A 、B 的极坐标分别为(3)3π，，(4)6π，，则12ABCSOA OBsin AOB =∠= 134326sin π⨯⨯⨯=（其中O 为极点）．答案3． 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） （1）解：∵()()sin f x x ϕ=+，……………………………………2分 ∴函数()f x 的最小正周期为2π．……………………………………3分 ∵函数2sin 244y f x x ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，……………………………………5分 又sin y x =的图像的对称轴为2x k ππ=+（k ∈Z ），………………………………6分令242x k ππϕπ++=+，将6x π=代入，得12k πϕπ=-（k ∈Z ）．∵0ϕπ<<，∴11πϕ=．……………………………………7分（2）解：2211()sin()sin()(sin cos )3431242f ππππααααα-==-+=+=+，…9分113sin cos 1sin 2sin 2244αααα+=⇒+=⇒=-………12分 17．（本小题满分12分）（1）解：由于图中所有小矩形的面积之和等于1，所以10(0.0050.010.02⨯++0.0250.01)1a +++=．…………………………1分 解得0.03a =．………………………………………………………………………2分（2）解：根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率为110(0.0050.01)-⨯+0.85=．……3分 由于该校高一年级共有学生640人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级数学成绩不低于60分的人数约为6400.85544⨯=人．………………………………………5分 （3）解：成绩在[)4050，分数段内的人数为400.052⨯=人，……………… 6分 成绩在[]90,100分数段内的人数为400.14⨯=人， ……………………………………7分若从这6名学生中随机抽取2人，则总的取法有2615C = (9)分如果两名学生的数学成绩都在[)4050，分数段内或都在[]90100，分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在[)4050，分数段内，另一个成绩在[]90100，分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10．………………… 10分则所取两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10分的取法数为 22247C C += (11)分所以所求概率为()715P M =．……………………………………………………………………13分 18．（本小题满分14分）（1）证明：如图，连接1D B ，依题意有：在长方形11A ADD 中，11AD AA ==，1111111111111A ADD A D AD A D AD B AB A ADD AB A D A D D E D E AD B AD AB A ⇒⊥⎫⇒⊥⎫⎪⊥⇒⊥⇒⊥⎬⎬⊂⎭⎪=⎭四边形平面又平面平面．……… 4分 （2）解：AC =，/21AE AB ==，EC =cos AEC ∠==，sin 2AEC ⇒∠=．∴111222AEC S ∆=⨯=，…………… 6分 111113D AEC V -=⨯⨯=．1AD==1D C ==1sin D AC ⇒∠==．∴11322A DCS ∆==． 设点E 到平面1ACD 的距离为d ，∴11131326D AEC E AD C V V d --==⨯=13d ⇒=．∴点E 到平面1ACD 的距离为13． ………………………………………………… 8分（3）解：过D 作DF EC ⊥交EC 于F ，连接1D F ．由三垂线定理可知，1DFD ∠为二面角1D EC D --的平面角．∴14DFD π∠=，12D DF π∠=，111D D DF =⇒=． ……………………… 10分1sin 26DF DCF DCF DC π∠==⇒∠=，∴3BCF π∠=．…………………… 12分∴tan 3BEBE BCπ=⇒=2AE AB BE =-= D CA B A B CDF 045故2AE =-时，二面角1D EC D --的平面角为4π．…………………………… 14分 19．（本小题满分14分）解：（1）()113f a ==，()13xf x ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭()1113a f c c =-=- ，()()221a f c f c =---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦29=-， ()()323227a f c f c =---=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ . 又数列{}n a 成等比数列，22134218123327a a c a ===-=-- ，所以 1c =；又公比2113a q a ==，所以12112333n nn a -⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭*n N ∈ ；……………………2分1n n S S --== ()2n ≥又0n b >0>，1=；数列构成一个首相为1公差为1()111n n =+-⨯= ， 2n S n =当2n ≥， ()221121n n n b S S n n n -=-=--=- ；又其满足11b c ==，21n b n ∴=-(*n N ∈)； (5)分（2）11(21)33n nn n c b n ⎛⎫⎛⎫∴==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以123n n R c c c c =++++12331111135(21)3333n R n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭①2341111111135(23)(21)333333n n n R n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭②①式减②式得：234121111112(21)3333333nn n R n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++--⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦…… 7分化简：2111113321122(1)12(21)133333313n n nn n R n -+⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦=+⨯--⨯=-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- (9)分所以所求113n nn R +=-………………………………………… 10分（3）12233411111n n n T b b b b b b b b +=++++()1111133557(21)21n n =++++⨯⨯⨯-⨯+1111111111112323525722121n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭…… 12分11122121n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭； ……13分 由1000212009n n Tn =>+得10009n >，满足10002009n T >的最小正整数为112. ………… 14分20．（本小题满分14分） 解：（1）由题设知，20)A ，)10F ，………………………………1分由112OF AF +=0，得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-22222222a a a a ，…………………………3分 解得62=a ． 所以椭圆M的方程为126:22=+y x M ．…………………………………………………………4分（2）方法1：设圆()12:22=-+y x N 的圆心为N ，则()()-⋅-=⋅ ………………………………………………6分 ()()NF NP NF NP =--⋅-…………………………………………7分2221NP NF NP =-=-．………………………………………………………………8分从而求⋅的最大值转化为求2NP 的最大值．……………………………………9分 因为P 是椭圆M 上的任意一点，设()00P x y ，，………………………………………10分所以1262020=+y x ，即202036y x -=．………………………………………………11分因为点()2,0N ，所以()()121222020202++-=-+=y y x NP ．…………………12分因为0y ⎡∈⎣，所以当10-=y 时，2取得最大值12．…………………13分所以⋅的最大值为11．…………………………………………………………14分方法2：设点112200()(),()E x y F x y P x y ，，，，， 因为,E F 的中点坐标为(0,2)，所以2121,4.x x y y =-⎧⎨=-⎩ ………………………………………6分所以10201020()()()()PE PF x x x x y y y y ⋅=--+--…………………………………7分 10101010()()()(4)x x x x y y y y =---+---222201011044x x y y y y =-+-+-22220001114(4)x y y x y y =+--+-．………………………………………9分因为点E 在圆N 上，所以2211(2)1x y +-=，即2211143x y y +-=-．………………10分因为点P 在椭圆M 上，所以2200162x y +=，即220063x y =-．…………………………11分所以PE PF ⋅200249y y =--+202(1)11y =-++．……………………………………12分因为0[y ∈，所以当01y =-时，()min11PE PF⋅=．………………………14分方法3：①若直线EF 的斜率存在，设EF 的方程为2y kx =+，………………………6分 由⎩⎨⎧=-++=1)2(222y x kx y ，解得112+±=k x ．……………………………………………7分因为P 是椭圆M 上的任一点，设点()00P x y ，，所以1262020=+y x ，即202036y x -=．……………………………………………8分所以002PE x y ⎛⎫=--⎪⎭，00,2PF x y ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭…………………………………9分所以11)1(21)2(1)2(11202020222022++-=--+=+--++-=⋅y y x k k y k x ． ……………………………………10分因为0y ⎡∈⎣，所以当10-=y 时，PF PE ⋅取得最大值11．……………11分②若直线EF 的斜率不存在，此时EF 的方程为0x =，由22(2)1x x y =⎧⎨+-=⎩，解得1y =或3y =．不妨设，()03E ，，()01F ，． …………………………………………12分 因为P 是椭圆M 上的任一点，设点()00P x y ，，所以1262020=+y x ，即202036y x -=．所以()003PE x y =--，，()001PF x y =--，．所以2220000432(1)11PE PF x y y y ⋅=+-+=-++．因为0y ⎡∈⎣，所以当10-=y 时，⋅取得最大值11．……………13分综上可知，⋅的最大值为11．…………………………………………14分 21．（本小题满分14分）解：（1）22()2221a f x x x a ax '=+--+()()222144221x ax a x a ax ⎡⎤+--+⎣⎦=+．……1分因为2x =为()f x 的极值点，所以()20f '=．…………………………………2分即22041aa a -=+，解得0a =． ................................................3分 又当0=a 时，()(2)f x x x '=-，从而2()x f x =为的极值点成立． (4)分（2）因为()f x 在区间[)3,+∞上为增函数，所以()()()2221442021x ax a x a f x ax ⎡⎤+--+⎣⎦'=≥+在区间[)3,+∞上恒成立． (5)分①当0=a 时，()(2)0f x x x '=-≥在[3,)+∞上恒成立，所以()[3)f x +∞在，上为增函数，故0=a 符合题意．…………………………………………6分②当0a ≠时，由函数()f x 的定义域可知，必须有10ax +>2对3x ≥恒成立，故只能0a >，所以222(14)(42)0[3)ax a x a x +--+≥∈+∞对，上恒成立． ……………………7分令22()2(14)(42)g x ax a x a =+--+，其对称轴为114x a=-， …………8分因为0a >所以1114a -<，从而()0[3)g x ≥+∞在，上恒成立，只要(3)0g ≥即可， 因为()3g =24610a a -++≥，解得3344a -+≤≤． ……………………………………9分 因为0a >，所以304a +<≤．综上所述，a的取值范围为304⎡⎢⎣⎦，． ……………………………10分（3）若12a =-时，方程3(1)(1)+3x b f x x --=可化为，x b x x x =-+--)1()1(ln 2． 问题转化为223ln (1)(1)ln b x x x x x x x x x x =--+-=+-在()0+∞，上有解，即求函数32ln )(x x x x x g -+=的值域． ………………………………11分以下给出两种求函数()g x 值域的方法：方法1：因为()()2ln g x x x x x =+-，令2()ln (0)h x x x x x =+->，则xx x x x x h )1)(12(211)(-+=-+=' ， ………………………………12分所以当01,()0x h x '<<>时，从而()(01)h x 在，上为增函数， 当1()0x h x '><时，，从而),1()(+∞在x h 上为减函数， ………………13分因此()(1)0h x h ≤=．而0x >，故()0b x h x =⋅≤，因此当1x =时，b 取得最大值0． ………………………………………14分方法2：因为()()2ln g x x x x x =+-，所以2321ln )(x x x x g -++='．设2()ln 123p x x x x =++-，则21621()26x x p x x x x--'=+-=-．当0x <<时，()0p x '>，所以()p x在(0上单调递增；当x >()0p x '<，所以()p x在)+∞上单调递减； 因为()10p =，故必有106p ⎛⎫+> ⎪ ⎪⎝⎭，又22441233210p e e e e ⎛⎫=-++-<-< ⎪⎝⎭，因此必存在实数021x e ∈(使得0'()0g x =， 00()0x x g x '∴<<<当时，，所以()0()0g x x 在，上单调递减；当01()0x x g x '<<>时，，所以()0(),1g x x 在上单调递增； 当()1'()0()1x g x g x ><+∞时，，所以在，上单调递减； 又因为)41(ln )(ln ln )(232+≤-+=-+=x x x x x x x x x x x g ，当10ln 04x x →+<时，，则()0g x <，又(1)0g =． 因此当1x =时，b 取得最大值0． …………………………………………14分。
惠州市2013届高三第一次调研考试
惠州市2013届高三第一次调研考试英语试题2012.07 本试卷分选择题和非选择题两部分．满分135分，考试用时120分钟为。
注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的市（县）／区、学校、班级、姓名、准考证号、试室号和座位号填写在答卡的密封线内。
2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案：不能答在试题卷上。
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4. 考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，请将答题卷和答题卡一并交回。
I 语言知识及应用（共两节，满分45分）第一节完形填空（共15小题；每小题2分，满分30分）阅读下面短文，掌握其大意，然后从1-15各题所给的A、B, C和D项中，选出最佳选项，并在答题卡上将该项涂黑。
What will happen if you put a buzzard in a pen (围栏) which is six to eight feet square and entirely open at the top? The bird in spite of its ability to fly, will be an absolute __1__. The reason is that a buzzard always begins a(an) __2__, from the ground with a run of ten to twelve feet. Without enough __3__ to run, as is its habit, it will not even __4__ to fly, but remain a prisoner for life in such a small jail with no top.The ordinary bat that flies around at night, who is even a really __5__ creature in the air, cannot take off from a __6__ place. If it is placed on the floor or flat ground, all it can do is to move about __7__ and, no doubt, painfully, until it reaches some slightly __8__ place from which it can throw itself into the air. Then, at once, it takes off like a __9__.If dropped into a/(an) __10__ flat-bottomed glass, a bumblebee will be there until it dies, unless it is taken out. It never sees the means of escape at the top, but __11__ trying to find some way out through the sides near the __12__. It will seek a way where none exists, until it __13__ destroys itself.In many ways, we are like the buzzard, the bat and the bumblebee. We __14__ about with all our __15__ and difficulties, not realizing that the answer is right there above us.1. A. winner B. servant C. suspect D. prisoner2. A. escape B. growth C. flight D. guidance3. A. space B. time C. width D. place4. A. undertake B. imagine C. attempt D. succeed5. A. flexible B. swift C. trained D. clumsy6. A. steep B. widespread C. straight D. level7. A. helplessly B. carelessly C. curiously D. regularly8. A. farther B. nearer C. higher D. lower9. A. flame B. frame C. flesh D. flash10. A. tiny B. open C. large D. covered11. A. continues B. practises C. stops D. enjoys12. A. opening B. bottom C. stage D. trap13. A. particularly B. hardly C. separately D. completely14. A. wander B. fly C. struggle D. tremble15. A. problems B. wishes C. hopes D. minds第二节语法填空（共10小题；每小题1.5分，满分15分）阅读下面短文，按照句子结构的语法性和上下文连贯的要求，在空格处填入一个适当的词或使用括号中词语的正确形式填空，井将答案填写在答题卡标号为16-25的相应位置上。
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17．（本小题满分12分）某校从高一年级学生中随机抽取 40 名学生，将他们的期中考试数 学成绩（满分100分，成绩均为不低于 40 分的整数）分成六段：
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电通，力1根保过据护管生高线产中0不工资仅艺料可高试以中卷解资配决料置吊试技顶卷术层要是配求指置，机不对组规电在范气进高设行中备继资进电料行保试空护卷载高问与中题带资2负料2，荷试而下卷且高总可中体保资配障料置各试时类卷，管调需路控要习试在题验最到；大位对限。设度在备内管进来路行确敷调保设整机过使组程其高1在中正资，常料要工试加况卷强下安看与全22过，22度并22工且22作尽22下可护都能1关可地于以缩管正小路常故高工障中作高资；中料对资试于料卷继试连电卷接保破管护坏口进范处行围理整，高核或中对者资定对料值某试，些卷审异弯核常扁与高度校中固对资定图料盒纸试位，卷置编工.写况保复进护杂行层设自防备动腐与处跨装理接置，地高尤线中其弯资要曲料避半试免径卷错标调误高试高等方中，案资要，料求编试技5写、卷术重电保交要气护底设设装。备备置管4高调、动线中试电作敷资高气，设料中课并技3试资件且、术卷料中拒管试试调绝路包验卷试动敷含方技作设线案术，技槽以来术、及避管系免架统不等启必多动要项方高方案中式；资，对料为整试解套卷决启突高动然中过停语程机文中。电高因气中此课资，件料电中试力管卷高壁电中薄气资、设料接备试口进卷不行保严调护等试装问工置题作调，并试合且技理进术利行，用过要管关求线运电敷行力设高保技中护术资装。料置线试做缆卷到敷技准设术确原指灵则导活：。。在对对分于于线调差盒试动处过保，程护当中装不高置同中高电资中压料资回试料路卷试交技卷叉术调时问试，题技应，术采作是用为指金调发属试电隔人机板员一进，变行需压隔要器开在组处事在理前发；掌生同握内一图部线纸故槽资障内料时，、，强设需电备要回制进路造行须厂外同家部时出电切具源断高高习中中题资资电料料源试试，卷卷线试切缆验除敷报从设告而完与采毕相用，关高要技中进术资行资料检料试查，卷和并主检且要测了保处解护理现装。场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
广东省惠州市2013届高三数学第三次调研考试试题 理(详细解析)
开始 0k = 输入n惠州市2013届高三第三次调研考试理科数学试题详细解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．复数313ii - 的共轭复数．．．．是（ ） A ．3i -+B ．3i --C ．3i +D ．3i -2．已知向量p ()23=-，，q ()6x =，，且//p q ，则+p q 的值为（ ）A 513．5 D ．13 3．已知集合{}11A =-，，{}10B x ax =+=，若B A ⊆，则实数a 的所有可能取值的集合为（ ）A ．{}1-B ．{}1C ．{}11-，D ．{}101-，， 4．已知幂函数()y f x =的图象过点12(22，，则4log (2)f 的值为（ ） A ．14 B ． －14C ．2D ．2- 5．“0m n >>”是“方程221mx ny +=表示焦点在y 轴上的椭圆”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们每场比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示，则甲、乙两名运动员的中位数分别为（ ） A ．13,19 B ．19,13C ．18,20D ．20,187．已知x y ，满足约束条件500240x y x y z x y y ++≥⎧⎪-≤=+⎨⎪≤⎩，则的最小值为（ ） A ．14- B ．15- C ．16- D ．17-8．数列{n a } 中，1(1)21nn n a a n ++-=-，则数列{n a }前12项和等于（ ）A ．76B ．78C ．80D ．82 二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分30分）（一）必做题（第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答） 9．在等比数列{}n a 中，11a =，公比2q =，若{}n a 前n 项和127n S =，则n 的值为 ．10．阅读右图程序框图． 若输入5n =，则输出k 的值为________．11．已知双曲线22221x y a b-=的一个焦点与抛线线2410y x =的焦点10，则该双曲线的方程为 ． 12．已知,m n 是两条不同直线，αβγ，，是三个不同平面，下列命题 中正确的有 ．①m n m n αα若，，则‖‖‖；②αγβγαβ⊥⊥若，，则‖； ③m m αβαβ若，，则‖‖‖；④m n m n αα⊥⊥若，，则‖． 13．已知函数()212121x x a x f x a a x ⎧+-⎪=⎨⎪->⎩≤，，，．若()f x 在()0+∞， 上单调递增，则实数a 的取值范围为 ．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题）如图，PA 切O 于点A ，割线PBC 经过圆心O ，1OB PB ==，OA 绕点O 逆时针旋转60︒到OD ，则PD 的长为 ．15．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，已知两点A 、B 的极坐标分别为(3)3π，，(4)6π，，则△AOB （其中O 为极点）的面积为 ．三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤） 16．（本小题满分12分）已知函数()sin cos cos sin f x x x ϕϕ=+（其中x ∈R ，0ϕπ<<），且函数24y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像关于直线6x π=对称．（1）求ϕ的值； （2）若22()34f πα-=，求sin 2α的值。
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惠州市2013届高三第一次调研考试数学 (理科）参考答案与评分标准一．选择题：共8小题，每小题5分，满分40分1．【解析】由交集的定义选A.2．【解析】或（∨）一真必真，且（∧）一假必假，非（⌝）真假相反，故选D 3．【解析】111444442221444(2)()22r rr rrrrr rr r T C x x C xC x-+----+===，令14322r r -=⇒= 3x 的系数为4224224C -=．故选C ．4.【解析】在ABC ∆中，若2cos a b C =，则sin 2sin cos A B C =即sin()2sin cos B C B C += s i n ()0B C B C ∴-=∴= ．故选C ．5．【解析】因4,,9m 成等比，则2366m m =∴=±当6m =+时圆锥曲线为椭圆2216x y +=其；当6m =-时圆锥曲线为双曲线2216x y -=故选C6．【解析】第一步：212310a =+=<，第二步：2321110a =+=>，输出11．故选B7．【解析】2 4.5x y ==，，线性回归直线过样本中心点(2 4.5) 4.50.952 2.6a a ⇒=⨯+⇒=，．故选D ．8．【解析】由题设()22,12,1,12x x f x x x x ⎧--≤≤=⎨-<->⎩或画出函数的图象，函数图象的四个端点（如图）为()2,1A ，，()2,B ，()1,1C --，()1,2D --． 从图象中可以看出，直线y c =穿过点B ，点A 之间时，直线y c =与图象有且只有两个公共点，同时，直线y c =穿过点C ，点D 时，直线y c =与图象有且只有两个公共点，所以实数c 的取值范围是(](]2,11,2-- ．故选Ｂ二．填空题：共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．9．1 10．1011．1e 12．2π 13．2=-+E F V14．2cos =θρ 15．59．【解析】2(1)2(1)112i i i i i ++==-+-．虚部为1．10．【解析】cos a b a b a b<>==，11.【解析】因函数⎩⎨⎧><=,0,ln ,0,)(x x x e x f x 所有1111[()]ln (1)f f f f e e e e -⎡⎤==-==⎢⎥⎣⎦12.【解析】由该定积分的几何意义可知为半圆：221(0)x y y +=≥的面积。
2π. 13.【解析】2=-+E F V 三、解答题：16. （本小题满分12分）解：（1） 图象上相邻的两个最高点之间的距离为π2,π2=∴T , 则12==Tπω.)sin()(ϕ+=∴x x f . ………2分 )(x f 是偶函数, )(2Z k k ∈+=∴ππϕ, 又πϕ≤≤0，2πϕ=∴．则 x x f cos )(=． ………5分（2）由已知得)2,3(,31)3cos(ππαπα-∈=+ ，)65,0(3ππα∈+∴． 则 322)3sin(=+πα． ………8分∴924)3cos()3sin(2)322sin()352sin(-=++-=+-=+παπαπαπα…12分 17.（本小题满分12分）解：（1）ξ的所有可能取值为0，1，2，依题意得：3211244242333666131(0);(1);(2)555C C C C C P P P C C C ξξξ=========--------３分 ξ∴的分布列为1310121555E ξ∴=⨯+⨯+⨯=----------------５分（2）设“甲、乙都不被选中”为事件C ，则343641()205C P C C ===∴所求概率为14()1()155P C P C =-=-=-------------８分 （3）记“男生甲被选中”为事件A ，“女生乙被选中”为事件B ，215433661011();()2025C C P A P B A C C =====()143615C P BA C == ------------10分 ()2(|)()5P BA P B A P A ==（或直接得142542(|)105C P B A C === ------------1２分18. （本小题满分14分）解：（1）解：取CE 中点P ，连结FP 、BP ，∵F 为CD 的中点，∴FP//DE ，且FP=.21DE 又AB//DE ，且AB=.21DE ∴AB//FP ，且AB=FP ， ∴ABPF 为平行四边形，∴AF//BP 。
-------------------2分 又∵AF ⊄平面BCE ，BP ⊂平面BCE ，∴AF//平面BCE 。
-------------------4分 （2）∵△ACD 为正三角形，∴AF ⊥CD 。
∵AB ⊥平面ACD ，DE//AB ，∴DE ⊥平面ACD ，又AF ⊂平面ACD ， ∴DE ⊥AF 。
又AF ⊥CD ，CD ∩DE=D ，∴AF ⊥平面CDE 。
--------------------------------6分 又BP//AF ，∴BP ⊥平面CDE 。
又∵BP ⊂平面BCE ，∴平面BCE ⊥平面CDE 。
------------------------8分 （3）法一、由（2），以F 为坐标原点，FA ，FD ，FP 所在的直线分别为x ，y ，z 轴（如图）， 建立空间直角坐标系F —xyz.设AC=2，则C （0，—1，0），).2,1,0(,),1,0,3(E B -----------------------------9分 ).1,1,0(,1.022,03,0,0,),,(-==⎩⎨⎧=+=++-=⋅=⋅=n z z y z y x CE n CB n BCE z y x n 则令即则的法向量为平面设 ------11分 显然，)1,0,0(=m 为平面ACD 的法向量。
设面BCE 与面ACD 所成锐二面角为,α则||cos ||||m n m n α⋅===⋅∴ 45=α.即平面BCE 与平面ACD 所成锐二面角为45°. -----14分法二、延长EB 、DA ，设EB 、DA 交于一点O ，连结CO ． 则CO DAC EBC =⋂面面．由ＡＢ是EDO ∆的中位线，则AD DO 2=．在AC AD OD OCD 22==∆ 中，， 060=∠ODC ． CD OC ⊥，又DE OC ⊥．.,ECD CE ECD OC 面而面⊂⊥∴为所求二面角的平面角ECD CE OC ∠∴⊥∴,．----------------------------12分，中，在CD ED EDCK Rt =∆ 045=∠∴ECD即平面BCE 与平面ACD 所成锐二面角45°.-------------------------14分19．（本小题满分14分）解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d,等比数列{}n b 的公比为q ，由题知: 722=+b s ， 234=-b s 52=+∴q d ，0132=+-q d 解直得,q=2或q=-8（舍去），d=1； ----------------------5分 n n a n =-+=∴)1(1 n n b 2=； ------------------------7分（2）证明： nn n a a c 212-=，n c ∴n n 212-= ．654321⋅⋅=n T n n 212-⋅⋅⋅法一、 下面用数学归纳法证明nT n 21≥对一切正整数成立．（１）121122111⨯-⨯≥==T n 时，当，命题成立． ------------------8分 （２）kT k n k 21≥∴=时命题成立，假设当则当≥++⋅=+=+)1(21211k k T T k n k k 时，)1(21221++k k k ＝1212121+++k k k k＝k k k k k 4414412122++++121+≥k ，这就是说当1+=k n 时命题成立。
--12分 综上所述原命题成立． -----------------------------------１４分 法二、121+≥++n n n n ∴≥-⋅-⋅⋅⋅⋅⋅=nn n n T n 2122126565434321212nn n n n 412121222655443322121=-⋅--⋅⋅⋅⋅⋅ nT n 21≥∴ --------------------------14分法三、设数列{}n A ，n n T n A =，则111+++=n n T n A ---------------9分1441441212)1(21)12(221≥+++=++=+++=∴+nn n n nn n n n n n A A n n --------12分∴数列{}n A 单调递增，于是11A A A n n ≥≥≥- ，而211=A nT n 21≥∴ ------------------------------14分20. （本小题满分14分）（1）解：由e 2c a ==，得2234a c =，再由222c a b =-，得2a b =----2分 由题意可知，1224,22a b ab ⨯⨯==即解方程组22a b ab =⎧⎨=⎩ 得2,1a b ==---5分 所以椭圆的方程为2214x y +=--------6分 (2)解：由（1）可知A （-2,0）。
设B 点的坐标为（x 1,,y 1）,直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为(2)y k x =+, --------7分于是A,B 两点的坐标满足方程组22(2)14y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩由方程组消去y 并整理， 得2222(14)16(164)0k x k x k +++-= --------8分由2121642,14k x k --=+得21122284,,1414k kx y k k -==++从而--------9分 设线段AB 是中点为M ，则M 的坐标为22282(,)1414k kk k-++以下分两种情况： （1）当k=0时，点B 的坐标为（2,0）。
线段AB 的垂直平分线为y 轴，于是000(2,y ),(2,=QA QB y QA QB y →→→→=--=-± ）由4，得=分②当k 0≠时，线段AB 的垂直平分线方程为222218()1414k k y x k k k--=+++ 令x=0，解得02614ky k-=+ 由0110(2,y ),(,QA QB x y y →→=--=-）2101022222(28)6462(()14141414k k k kQA QB x y y y k k k k→→--=---++++++ ）=42224(16151)4(14)k k k +-=+=整理得272,=k k y ==±故---13分综上00==5y y ±±。