第66练 抛物线 Word版含答案

1．(2016²宁夏银川九中月考)已知抛物线的方程为标准方程，焦点在x 轴上，其上点P (－3，m )到焦点的距离为5，则抛物线方程为( ) A ．y 2

＝8x B ．y 2

＝－8x C ．y 2＝4x

D ．y 2

＝－4x

2．(2016²九江第一次统考)已知抛物线的方程为y 2

＝2px (p >0)，过抛物线上一点M (p ，2

p )和抛物线的焦点F 作直线l 交抛物线于另一点N ，则|NF |∶|FM |等于( )

A ．1∶ 2

B ．1∶ 3

C ．1∶2

D ．1∶3

3．已知抛物线C ：y 2

＝4x ，顶点为O ，动直线l ：y ＝k (x ＋1)与抛物线C 交于A ，B 两点，则OA →²OB →

的值为( ) A ．5 B ．－5 C ．4

D ．－4

4．(2016²长春一模)过抛物线y 2

＝2px (p >0)的焦点F 且倾斜角为120°的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A 、B 两点，则|AF |

|BF |的值等于( )

A.13

B.23

C.34

D.43

5．(2016²武昌调研)设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2

＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是( ) A ．(0,2) B ．[0,2] C ．(2，＋∞)

D ．[2，＋∞)

6．已知点A (2,1)，抛物线y 2

＝4x 的焦点是F ，若抛物线上存在一点P ，使得|PA |＋|PF |最小，则P 点的坐标为( )

A ．(2,1)

B ．(1,1)

C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1

D.⎝ ⎛⎭

⎪⎫14，1 7．抛物线x 2

＝ay (a >0)的准线l 与y 轴交于点P ，若l 绕点P 以每秒π12弧度的角速度按逆时

针方向旋转t 秒钟后，恰与抛物线第一次相切，则t 等于( ) A ．1 B ．2 C ．3

D ．4

8．已知抛物线x 2

＝4y 上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到x 轴的最短距离为( ) A.34 B.3

2 C ．1 D ．2

二、填空题

9．(2017²福州质检)过抛物线y 2

＝2px (p >0)的焦点作倾斜角为30°的直线l 与抛物线交于

P ，Q 两点，分别过P ，Q 两点作PP 1，QQ 1垂直于抛线物的准线于P 1，Q 1，若|PQ |＝2，则四边

形PP 1Q 1Q 的面积是________．

10．已知过拋物线y 2

＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 是坐标原点，|AF |＝2，则|BF |＝______，△OAB 的面积是________．

11．如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米．

12．过抛物线y 2

＝4x 的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若|AB |＝8，|AF |<|BF |，则|BF |＝________.

答案精析

1．B [依题意，设抛物线方程为y 2

＝－2px (p >0)，则p

2－(－3)＝5，

∴p ＝4，∴抛物线方程为y 2

＝－8x .]

2．C [由题意知直线l 的方程为y ＝22⎝ ⎛

⎭

⎪⎫

x －p 2，

联立方程⎩⎪⎨⎪

⎧

y 2

＝2px ，y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，

得N (p 4，－2

2

p )．

所以|NF |＝p 4＋p 2＝34p ，|MF |＝p ＋p 2＝32

p ，

所以|NF |∶|FM |＝1∶2，故选C.]

3．A [设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214，y 1，B ⎝ ⎛⎭

⎪⎫y 2

24，y 2，由已知得直线l 过定点E (－1,0)，因为E ，A ，B 三点共线，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2

14＋1y 2＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫y 2

24＋1y 1，即y 1y 24(y 1－y 2)＝y 1－y 2，因为y 1≠y 2，所以y 1y 2＝4，

所以OA →²OB →＝?y 1y 2?

2

16

＋y 1y 2＝5.]

4．A [设抛物线的准线为l ：x ＝－p

2，设|FB |＝m ，|FA |＝n ，

过A ，B 两点向准线l 作垂线AC ，BD ，

由抛物线定义知：|AC |＝|FA |＝n ，|BD |＝|FB |＝m ， 过B 作BE ⊥AC ，E 为垂足，

|AE |＝|CE |－|AC |＝|BD |－|AC |＝m －n ， |AB |＝|FA |＋|FB |＝n ＋m . 在Rt △ABE 中，∠BAE ＝60°， cos 60°＝|AE ||AB |＝m －n m ＋n ＝1

2

，即m ＝3n .

故|AF ||BF |＝n m ＝m

3m ＝13

.] 5．C [抛物线C 的方程为x 2

＝8y ，∴焦点F 的坐标为(0,2)，准线方程为y ＝－2.由抛物线的定义知|MF |＝y 0＋2.以F 为圆心，|FM |为半径的圆的标准方程为x 2

＋(y －2)2

＝(y 0＋2)2

.