导数讲义终极版
导数的概念及导数的运算讲义
导数的概念及其运算教学目的：1、理解导数定义，能够运用定义求解简单函数的导数2、了解导数的几何意义，会求曲线在某点的切线和法线方程3、掌握可导与连续的关系，判别函数在某点的可导性与连续性教学重点：1、导数定义，包括函数在某点与在某区间的定义，单侧导数的定义2、导数的几何意义，求切线方程与法线方程教学难点：1、导数定义，包括函数在某点与在某区间的定义，单侧导数的定义2、导数的几何意义，求切线方程与法线方程教学过程：1、引入导数概念3、给出导数定义（1）函数在某点导数的定义（2）函数在某区间导数的定义（3）单侧导数的定义4、求导数举例5、导数的几何意义6、求切线和法线方程举例7、可导与连续的关系8、举例判别函数在某点处的连续性和可导性9、课堂小结10、布置作业导数及其运算 (3)一、导数的概念 (3)1、导数的引入 (3)2、导数的定义 (3)总结说明： (4)基础演练： (5)求导数举例 (6)总结与延伸： (7)基础演练： (8)二、导数的几何意义 (8)函数的可导性与连续性的关系 (9)基础演练： (10)例题精讲： (10)三、应用练习： (13)四、能力训练 (14)总结归纳： (14)课后作业： (15)导数及其运算一、 导数的概念1、导数的引入设一质点在坐标轴上作非匀速运动, 时刻t 质点的坐标为s , s 是t 的函数: s =f (t ),求动点在时刻t 0的速度. 考虑比值000)()(t t t f t f t t s s --=--, 这个比值可认为是动点在时间间隔t -t 0内的平均速度. 如果时间间隔选较短, 这个比值在实践中也可用来说明动点在时刻t 0的速度. 但这样做是不精确的, 更确地应当这样: 令t -t 0→0,取比值00)()(t t t f t f --的极限, 如果这个极限存在, 设为v , 即0)()(limt t t f t f v t t --=→,这时就把这个极限值v 称为动点在时刻t 0的速度. 2、导数的定义从上面所讨论的两个问题看出, 非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下的极限:00)()(lim 0x x x f x f x x --→.令∆x =x -x 0, 则∆y =f (x 0+∆x )-f (x 0)= f (x )-f (x 0), x →x 0相当于∆x →0, 于是00)()(lim 0x x x f x f x x --→成为 x yx ∆∆→∆0lim 或xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 000.导数的定义 设函数y =f (x )在点x 0及其近旁有定义, 当自变量x 在x 0处取得增量∆x 时, 相应地函数y 取得增量∆y =f (x 0+∆x )-f (x 0)， 如果当∆x →0时，x y∆∆的极限存在, 则称这个极限为函数y =f (x )在点x 0处的导数, 记作,0()f x , 即xx f x x f x yx f x x ∆-∆+=∆∆='→∆→∆)()(lim lim )(00000,也可记作0|x x y =',x x dx dy =或0)(x x dx x df =. 函数f (x )在点x 0处有导数（即极限xyx ∆∆→∆0lim 存在），有时也说成f (x )在点x 0可导.如果极限xyx ∆∆→∆0lim不存在, 就说函数y =f (x )在点x 0处不可导.如果不可导的原因是由于∆x →0时,xy∆∆→∞也往往说函数y =f (x )在点x 0处的导数为无穷大. 拓展：导数的定义式也可取不同的形式, 常见的有 hx f h x f x f h )()(lim)(0000-+='→,00)()(lim)(0x x x f x f x f x x --='→.在实际中, 需要讨论各种具有不同意义的变量的变化“快慢”问题, 在数学上就是所谓函数的变化率问题. 导数概念就是函数变化率这一概念的精确描述.总结说明： 定义 实例平均 变化率 函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率为Δy Δx = f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1①平均速度；②曲线割线的斜率 瞬时变化率函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是函数f (x )从x 0到x 0＋Δx 的平均变化率在Δx →0时的极限，即lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δx →ΔyΔx ①瞬时速度：物体在某一时刻的速度； ②切线斜率 2．平均变化率也可以用式子Δy Δx 表示，ΔyΔx有什么几何意义？答 Δx 表示x 2－x 1是相对于x 1的一个“增量”；Δy 表示f (x 2)－f (x 1).观察图象可看出，Δy Δx = f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1表示曲线y ＝f (x )上两点(x 1，f (x 1))、(x 2，f (x 2))连线的斜率. 3．基础演练：已知函数532)(2++=x x x f(1)求当x 1＝4，且Δx ＝1时，函数增量Δy 和平均变化率ΔyΔx ；(2)求当x 1＝4，且Δx ＝0.1时，函数增量Δy 和平均变化率ΔyΔx；4． 利用导数的定义求函数f (x )＝－x 2＋3x 在x ＝2处的导数.5．求函数f (x )＝3x 2－2x 在x ＝1处的导数.6．已知函数f (x )＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy )，则ΔyΔx 等于7．已知函数f (x )＝1x，则f ′(1)＝________.如果函数y =f (x )在开区间（a ，b ）内的每一点都可导, 就称函数y=f (x )在开区间（a ，b ）内可导, 这时, 对于开区间（a ，b ）内的任一点x , 都对应着一个确定的导数,()f x . 这样就构成了一个以（a ，b ）为定义域的新函数, 这个新函数叫做原来函数f (x )的导函数, 简称导数，记作)(x f ',y ',dx dy , 或dxx df )(. 即 )(x f '=x yx ∆∆→∆0lim或xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 000f '(x 0)与f '(x )之间的关系:函数f (x )在点x 0处的导数f '(x )就是导函数f '(x )在点x =x 0处的函数值, 即0)()(0x x x f x f ='='.导函数f '(x )简称导数, 而f '(x 0)是f (x )在x 0处的导数或导数f '(x )在x 0处的值. 左右导数: 所列极限存在, 则定义小结 求平均变化率的主要步骤：(1)先计算函数值的改变量Δy ＝f (x 2)－f (x 1).(2)再计算自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1.(3)得平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.f (x )在0x 的左导数:0,()fx -=lim 0x -∆→00()()f x x f x x +∆-∆;f (x )在0x 的右导数:0,()f x +=lim 0x +∆→00()()f x x f x x+∆-∆.左导数和右导数统称为单侧导数.导数与左右导数的关系: 函数f (x )在点x 0处可导的充分必要条件是左导数左导数f '-(x 0) 和右导数f '+(x 0)都存在且相等.如果函数f (x )在开区间(a , b )内可导, 且右导数f '+(a ) 和左导数f '-(b )都存在, 就说f (x )有闭区间[a , b ]上可导..求导数举例例1．求函数f (x )=C （C 为常数）的导数. 解: hx f h x f x f h )()(lim )(0-+='→0lim 0=-=→h C C h . 即 (C ) '=0.例2. 求xx f 1)(=的导数.解: h x h x h x f h x f x f h h 11lim )()(lim )(00-+=-+='→→ 2001)(1lim )(lim x x h x x h x h h h h -=+-=+-=→→. 例3. 求x x f =)(的导数. 解: hx h x h x f h x f x f h h -+=-+='→→00lim )()(lim )( xx h x x h x h h h h 211lim )(lim00=++=++=→→.例4．求函数f (x )=x n (n 为正整数)在x =a 处的导数. 解: f '(a )a x a f x f ax --=→)()(lima x a x n n a x --=→lim ax →=lim (x n -1+ax n -2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n -1)=na n -1. 把以上结果中的a 换成x 得 f '(x )=nx n -1, 即 (x n )'=nx n -1. (C )'=0, 21)1(x x -=', xx 21)(=', 1)(-⋅='μμμx x .更一般地, 有(x μ)'=μx μ-1 , 其中μ为常数.例5．求函数f (x )=sin x 的导数. 解: f '(x )hx f h x f h )()(lim 0-+=→h x h x h sin )sin(lim 0-+=→ 2sin )2cos(21lim0hh x h h +⋅=→ x h hh x h cos 22sin )2cos(lim 0=⋅+=→.即 (sin x )'=cos x .用类似的方法, 可求得 (cos x )'=-sin x .例6．求函数f (x )= a x (a >0, a ≠1) 的导数. 解: f '(x )h x f h x f h )()(lim-+=→ha a x h x h -=+→0lim h a a h h x 1lim 0-=→t a h =-1令)1(log lim0t t a a t x +→ a a ea x a xln log 1==. 特别地有(e x )=e x .例7．求函数f (x )=log a x (a >0, a ≠1) 的导数. 解: hx h x h x f h x f x f a a h h log )(log lim )()(lim)(00-+=-+='→→ hxa h a h a h xh x x h h x x x h x h )1(log lim 1)1(log lim 1)(log 1lim 000+=+=+=→→→ a x e x a ln 1log 1==. 解:h xh x x f a a h log )(log lim)(0-+='→)1(log 1lim 0xh h a h +=→h x a h x h x )1(log lim 10+=→ax e x a ln 1log 1==.即 a x x a ln 1)(log =' . : 特殊地 xx 1)(ln ='.a x x a ln 1)(log =', xx 1)(ln ='.例8．求函数f (x )=|x |在x =0处的导数. 解: 1||lim )0()0(lim )0(00-==-+='--→→-h h h f h f f h h , 1||lim )0()0(lim )0(00==-+='++→→+h h hf h f f h h , 因为f '-(0)≠ f '+(0), 所以函数f (x )=|x |在x =0处不可导.总结与延伸：1．常见函数的导数公式：（1）0'=C (C 为常数)； （2）1)'(-=n nnxx (Q n ∈)；（3）x x cos )'(sin =；（4）x x sin )'(cos -=；（5）a a a xx ln )'(=；（6）xx e e =)'(； （7）e xx a a log 1)'(log =； （8）xx 1)'(ln =． 2．导数的运算法则：法则1 )()()]()(['''x v x u x v x u ±=±．法则2 [()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+, [()]'()Cu x Cu x '=．法则3 '2''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭． 3．复合函数的导数：设函数u =ϕ(x )在点x 处有导数u ′x =ϕ′(x )，函数y =f (u )在点x 的对应点u 处有导数y ′u =f ′(u )，则复合函数y =f (ϕ (x ))在点x 处也有导数，且x u x u y y '''⋅= 或f ′x (ϕ (x ))=f ′(u ) ϕ′(x )．基础演练：1：求函数323y x x =-+的导数.2．函数y =x 2cos x 的导数为 。
导数讲义
导数讲义导数作为研究函数单调性最一般、最有效的工具，同时也是刻画复合函数图像，求解函数极值最值，解决恒成立、存在问题的最理想手段，其重要性不言而喻，而且定积分也是建立在导数基础之上的，在高考题目中分值一般在17分左右，那么，Let ’s Go,young man!一、导数的定义：严格地来说，导数依然是一种特殊的函数，其特殊性主要表现在其对应关系不是传统的由数集A 中的数通过某种或几种四则、对数、指数、开方运算得到一个集合B 中唯一的数，而是另一个函数在任意自变量处函数值变化量与自变量变化量比值的极限与数集B 中唯一的数对应，即对应关系f 为0limx yx。
因为导数是基于另一个函数()yf x 的，所以我们把()y f x 的导数记为'()yf x 。
②函数某点处的导数)('0x f 平均变化率：我们把yx称为平均变化率。
当自变量的变化量x 很小时，我们就称此时的平均变化率为瞬时变化率，瞬时变化率：我们把0limx yx称为瞬时变化率，00()()yf x x f x ，我们把)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率0limx yx =00()()lim x f x x f x x称为函数)(x f y =在0x x =处的导数，记做00000()()'()lim lim x x f x x f x yf x x x例1：已知函数()y f x 满足'(1)2f ，求0(13)(1)lim x f x f x③某点处导数的几何意义：我们知道1212()()f x f x x x 表示函数()yf x 图像上两点))(,()),(,(2211x f x x f x 连线的斜率，我们称之为为函数图像上一条割线的斜率，而当21,x x 即为接近时，即210x x x 时，我们可以把))(,(,)(,2211x f x x f x ）（几乎可以看成一点，此时我们可以认为这条直线为函数图像的一条切线，而导数恰好是该切线的斜率，这就是某点处导数的几何意义：函数在某点处的导数就是函数图像该点处切线的斜率。
高中数学《导数》讲义(全)
高中数学导数讲义完整版第一部分 导数的背景一、导入新课 1. 瞬时速度问题1：一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？ (221gt s =,其中g 是重力加速度）.2. 切线的斜率问题2：P （1,1）是曲线2x y =上的一点，Q 是曲线上点P 附近的一个点，当点Q 沿曲线逐渐向点P 趋近时割线PQ 的斜率的变化情况.3. 边际成本问题3：设成本为C ，产量为q ，成本与产量的函数关系式为103)(2+=q q C ，我们来研究当q ＝50时，产量变化q ∆对成本的影响. 二、小结:瞬时速度是平均速度ts∆∆当t ∆趋近于0时的极限；切线是割线的极限位置，切线的斜率是割线斜率xy∆∆当x ∆趋近于0时的极限；边际成本是平均成本q C ∆∆当q ∆趋近于0时的极限.三、练习与作业：1. 某物体的运动方程为25)(t t s =（位移单位：m ，时间单位：s ）求它在t ＝2s 时的速度. 2. 判断曲线22x y =在点P （1,2）处是否有切线，如果有，求出切线的方程. 3. 已知成本C 与产量q 的函数关系式为522+=q C ，求当产量q ＝80时的边际成本. 4. 一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离h （单位：m ）与时间t （单位：s ）之间的函数关系为2t h =，求t ＝4s 时此球在垂直方向的瞬时速度. 5. 判断曲线221x y =在（1，21）处是否有切线，如果有，求出切线的方程.6. 已知成本C 与产量q 的函数关系为742+=q C ，求当产量q ＝30时的边际成本.第二部分 导数的概念一、新课：1.设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ∆时，则函数()y f x =相应地有增量)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比xy∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限(即xy∆∆无限趋近于某个常数)，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0/x x y =，即xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim)(0000/。
(完整word版)第一讲导数、导函数的概念及导数的运算讲义(非常好、有解析)
导数与导函数的概念【基础知识点】 1．函数从到的平均变化率为①____________，若21x x x =-△，21()()y f x f x =-△，则平均变化率可表示为．2．一般的，定义在区间（a ，b ）上的函数)(x f ，)(b a x o ，∈，当x ∆无限趋近于0时，xx f x x f x y o o ∆-∆+=∆∆)()(无限趋近于一个固定的常数A ，则称)(x f 在o x x =处可导，并称A 为)(x f 在o x x =处的导数，记作)('o x f 或o x x x f =|)(' 3．几何意义：)(x f 在0x x =处的导数就是)(x f 在0x x =处的切线斜率。
4．导函数的概念：)(x f 的对于区间（a ,b ）上任意点处都可导，则)(x f 在各点的导数也随x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数被称为)(x f 的导函数，记作)('x f 。
【典例解析】【典例1】函数)(x f 满足2)1('=f ，则当x 无限趋近于0时，（1）=-+xf x f 2)1()1(（2）=-+xf x f )1()21( 变式:设f(x)在x=x 0处可导， （3）x x f x x f ∆-∆+)()4(00无限趋近于1，则)(0x f '=___________（4）xx f x x f ∆-∆-)()4(00无限趋近于1，则)(0x f '=__________（5）当△x 无限趋近于0，xx x f x x f ∆∆--∆+)2()2(00所对应的常数与)(0x f '的关系。
总结：导数等于纵坐标的增量与横坐标的增量之比的极限值。
【基础知识点】1．基本初等函数的求导公式：⑴ ()kx b k '+= (k,b 为常数) ⑵ 0)(='C (C 为常数) ⑶ ()1x '= ⑷ 2()2x x '= ⑸ 32()3x x '= ⑹ 211()x x '=- ⑺ ()2x x'=⑻ 1()x xααα-'= （α为常数）⑼ ()ln (01)xxa a a a a '=>≠，⑽ a a 11(log x)log e (01)x xlnaa a '==>≠，且 ⑾ xx e )(e =' ⑿ x1)(lnx ='⒀ cosx )(sinx =' ⒁ sinx )(cosx －='2．曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线．曲线y ＝f （x ）在点P （x 0，f （x 0））处的切线方程是y －f （x 0）＝)('o x f （x －x 0）；3． 求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解． 4．函数的差、积、商的求导法则：（1） []()()''()'()f x g x f x g x ±=± （2） []()'()'cf x cf x =（3） []()()''()()()'()f x g x f x g x f x g x =+（4） '2()'()()()'()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ⎛⎫-=≠ ⎪⎝⎭【典例解析】【典例1】求下列函数的导数 （1）35y x =（2）41y x =（3）4log y x = （4）sin()2y x π=-（5）3cos()2y x π=+ （6）x x x y = 题型一：点在曲线上【典例2】已知曲线331x y =上一点)38,2(P ,则过P 点的切线方程为 .解析：过点P 的切线的斜率为()'24k f ==，那么切线方程为()8423y x -=- ，即123160x y --= ．变式：（南通市2013届高三第一次调研测试数学试卷）曲线2(1)1()e (0)e 2x f f x f x x '=-+在点(1,f (1))处的切线方程为________. 题型二：点不在曲线上【典例3】过点)0,1(-作抛物线12++=x x y 的切线，则其中一条切线为 解析：设切点为()00,x y ，切线的斜率为()'0021fx x =+，则切线方程为：()()'000y y f x x x -=- ，因为点)0,1(-在切线上，故()()'0001y f x x -=-- ，解得00x = ，或02x =- ，切点为()0,1 或()2,3- ，故切线方程为20x y -+= 或330x y ++=变式：1．（江苏省淮安市2013届高三上学期第一次调研测试数学试题）过点()1,0-.与函数()xf x e =(e 是自然对数的底数)图像相切的直线方程是__________.2．（2011年高考（江苏卷））在平面直角坐标系xOy 中,已知点P 是函数)0()(>=x e x f x的图象上的动点,该图象在P 处的切线l 交y 轴于点M ,过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ,设线段MN 的中点的纵坐标为t ,则t 的最大值是__ 题型三：已知切线斜率求切线方程【典例4】求垂直于直线0162=+-y x 且与曲线5323-+=x x y 相切的直线方程。
导数讲义
导数讲义一、导数的概念1．切线的斜率 如图5—1所示，曲线)(x f y =在其上一点),(00y x P 处的切线PT 是割线PQ 当动点Q 沿此曲线无限接近于点P 时的极限位置．由于割线PQ 的斜率为0)()(x x x f x f k --=，因此当0x x →时如果k 的极限存在，则极限=k 00)()(limx x x f x f x x --→ ………………..（1） 即为切线PT 的斜率．2、导数的定义 设函数)(x f y =在点0x 的某邻域内有定义，若极限)()(lim00x x x f x f x x --→ (2)存在，则称函数f 在点0x 处可导，并称该极限为函数f 在点0x 处的导数，记作)(0x f '． 令),()(,000x f x x f y x x x -∆+=∆∆+=则(2)式可改写为).()()(lim lim00000x f x x f x x f x y x x '=∆-∆+=∆∆→∆→∆=000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→ (3)所以，导数是函数增量y ∆与自变量增量x ∆之比xy∆∆的极限．这个增量比称为函数关于自变量的平均变化率(又称差商)，而导数)(0x f '则为f 在0x 处关于x 的变化率． 若(2)(或(3))式极限不存在，则称f 在点0x 处不可导．3、倒数的几何意义：由导数的定义，)(x f k '=，所以曲线)(x f y =在点),(00y x 的切线方程是).)((000x x x f y y -'=-由解析几何知道，若切线斜率为k ，则法线斜率为.1k -从而过点P 的法线方程为).()(1000x x x f y y -'-=-二、常用的求导公式(1)(C )'=0, (2)n nx x n n ,)(1-='为正整数； (3);sin )(cos ,cos )(sin x x x x -='=' (4)(tan x )'=sec 2x , (cot x )'=-csc 2x , (5)),0,1,0(log 1)(log >≠>='x a a e x x a a 特别xx 1)(ln ='. (6)(a x )'=a x ln a ,特别的(e x )'=e x , (7) 211)(arcsin x x -='， 211)(a r c c o s x x --=' 211)(arctan x x +='， 211)cot arc (x x +-='.三、导数的运算法则1．、设u =u (x ), v =v (x )都可导, 则(1)(u ±v )'=u '±v ', (2)(C u )'=C u ',(3)(u v )'=u '⋅v +u ⋅v ', (4)2)(vv u v u vu '-'='. 2、复合函数的求导法则设y =f (x ), 而u =g (x )且f (u )及g (x )都可导, 则复合函数y =f [g (x )]的导数为：y '(x )=f '(u )⋅g '(x ).证明: 当u =g (x )在x 的某邻域内为常数时, y =f [ϕ(x )]也是常数, 此时导数为零, 结论自然成立. 当u =g (x )在x 的某邻域内不等于常数时, ∆u ≠0, 此时有xx g x x g x g x x g x g f x x g f x x g f x x g f x y ∆-∆+⋅-∆+-∆+=∆-∆+=∆∆)()()()()]([)]([)]([)]([ xx g x x g u u f u u f ∆-∆+⋅∆-∆+=)()()()(,xx g x x g u u f u u f x y dx dy x u x ∆-∆+⋅∆-∆+=∆∆=→∆→∆→∆)()(lim)()(lim lim 000= f '(u )⋅g '(x ). 简要证明:x u u y x y dx dy x x ∆∆⋅∆∆=∆∆=→∆→∆00lim lim )()(l i ml i m 00x g u f xu u y x u ''=∆∆⋅∆∆=→∆→∆.四、导数的应用 1． 函数的单调性⑴ 函数y ＝)(x f 在某个区间内可导，若)(x f '＞0，则)(x f 为 ；若)(x f '＜0，则)(x f 为 .反之，设函数y ＝)(x f 在某个区间内可导，如果)(x f 在该区间上单调递增（或递减），则在该区间内)(x f ' （或()f x ' ）恒成立。
高等数学导数的概念教学完美版PPT
0.
即(C )0.
例5 设函 f(x ) s 数 ix ,n 求 (sx ) i及 n (sx ) ix n . 4
解：(sx i)n lis m ix n h ()sixn
h 0
h
limcos(x
h0
h) 2
sinh 2
h
cx o . s
2 即(sx ) i n co x . s
(sixn) x coxsx
v|tt0
lim
tt0
f
(t) f (t0) tt0
例2.切线问题
y
如图, 如果割线MN绕点
yf(x)
N
M旋转而趋向极限位置
一质点在x轴上作变速直线运动,运动方程
T
MT,直线MT就称为曲线 由导数的几何意义,得切线斜率为
一质点在x轴上作变速直线运动,运动方程
CM
C在点M处的切线 第一节 导数的概念
如果 lim y ，则称y=f (x)在x0处导数为无穷大. x0 x
即 y x x 0 l x 0 i x y m l x 0 ifm (x 0 x x ) f(x 0 )
其它形式 f(x 0) lh i0f m (x 0 h h )f(x 0). f(x0)x l ix0m f(xx ) x f0 (x0).
(
x)
111ຫໍສະໝຸດ x221. 2x( x1 )
(1)x11
1 x2
.
例7
sinx, x 0 f (x) x, x 0 , 求 f ( 0 ).
解：
f (0 ) x li m 0 f(x x ) 0 f(0 ) x li m 0 s in x x 1 f (0 )x l im 0 f(x x ) 0 f(0 )x li m 0 x x 1
导数 李永乐(讲义)
题目表
题目 1： （全国高考试题） lim(
x →1
1 2 )= − 2 x − 3x + 2 x − 4 x + 3
2
A -1/2
B1/2
C -1/6
D1/6
题目 2： （北京高考试题） lim
x 2 + 3x + 2 x →−1 x2 −1 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n →∞ n2
x → x0 + 0
若函数左连续且右连续，则函数在该点连续。 定义： 若某函数在该点连续， 且左导数 f '( x0 − 0) = lim f '( x ) 和右导数 f '( x0 ) = lim f '( x ) 存
x → x0 −0 x → x0 + 0
在且相等，那么函数在该点可导。
⎫ ⎫ ⎫ ⎪ ⎬ ⇔ 左连续 ⎪ 左极限等于该点值 ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⇔ 函数在该点连续 ⎪ 存在右极限 ⎫ ⎬ ⇔ 函数在该点可导 ⎪ ⎬ ⇔ 右连续 ⎪ ⎪ 右极限等于该点值 ⎭ ⎭ ⎪ 函数在该点存在左右导数并且相等 ⎪ ⎭ 存在左极限
x →0
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题目 9：求 lim( + 1)
x →∞
1 x
x
题目 10：已知 f '( x0 ) = a , 则 lim A.
1 a 2
f ( x0 + Δx ) − f ( x0 − Δx ) = Δx 1 B. − a C. 2a 2
Δx → 0
D. −2a
题目 11： （2008 年全国 I 试题）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一 过程中汽车的行驶路程 s 看作时间 t 的函数，其图象可能是（ ）
导数讲义
导数一、基本概念 1. 导数的定义：设是函数定义域的一点，如果自变量在处有增量，则函数值也引起相应的增量；比值称为函数在点到之间的平均变化率；如果极限存在，则称函数在点处可导，并把这个极限叫做在处的导数。
()f x 在点0x 处的导数记作xx f x x f x f y x xx ∆-∆+='='→∆=)()(lim)(000002导数的几何意义：（求函数在某点处的切线方程）函数在点处的导数的几何意义就是曲线在点处的切线的斜率，也就是说，曲线在点P 处的切线的斜率是，切线方程为3．基本常见函数的导数:①0;C '=（C 为常数） ②()1;nn x nx-'=③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();xxe e '=⑥()ln xxa a a '=; ⑦()1ln x x '=; ⑧()1l g log a a o x e x'=. 二、导数的运算 1.导数的四则运算：法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即： ()()()()f x g x f x g x '''±=±⎡⎤⎣⎦法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数，即：()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''⋅=+⎡⎤⎣⎦常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：).())((''x Cf x Cf =(C 为常数) 法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：()()()()()()()()()20f x f x g x f x g x g x g x g x '⎡⎤''-=≠⎢⎥⎡⎤⎣⎦⎣⎦。
完整版)导数讲义(学生新版)
完整版)导数讲义(学生新版)导数一、导数的概念函数y=f(x)，如果自变量x在x处有增量Δx，那么函数y 相应地有增量Δy=f(x+Δx)−f(x)，比值化率，即Δy/Δx叫做函数y=f(x)在x到x+Δx之间的平均变化率。
如果当Δx→0时，有极限，我们就说函数y=f(x)在点x处可导，并把这个极限叫做f(x)在点x处的导数，记作f’(x)或y’|x=x。
例如，若lim(Δy/Δx)=k，则lim(Δy/f(x+2Δx)−f(x)/Δx)=lim(2k)等于（）=k，因此f’(x)=lim(Δy/Δx)。
变式训练：设函数f(x)在点x处可导，试求下列各极限的值：1.lim(f(x−Δx)−f(x))/Δx；2.lim(f(x+h)−f(x−h))/2h；3.若f’(x)=2，则lim(f(x−k)−f(x))/k=？二、导数的几何意义函数y=f(x)在点x处的导数的几何意义是曲线y=f(x)在点p(x,f(x))处的切线的斜率。
也就是说，曲线y=f(x)在点p(x,f(x))处的切线的斜率是f’(x)。
切线方程为y−f(x)=(f’(x))(x−x)。
三、导数的运算1.基本函数的导数公式：①C’=0；（C为常数）②x^n’=nx^(n−1)；③(sin x)’=cos x；④(cos x)’=−sin x；⑤(e^x)’=e^x；⑥(ax)’=axln a；⑦(ln x)’=1/x；⑧(log_a x)’=log_a e/x。
题：求下列函数的导数：（8分钟独立完成）1）f(x)=π；（2）f(x)=x^4；（3）f(x)=x；（4）f(x)=sin x；（5）f(x)=−cos x；（6）f(x)=3x；（7）f(x)=e^x；（8）f(x)=log_2 x；（9）f(x)=ln x；（10）f(x)=1/(1+x)；（11）y=x^4+cos x；（12）y=x/(4+x^2)；（13）y=log x−e^x；（14）y=x^3 cos x。
数学分析5.1导数的概念(讲义)
第五章导数和微分1 导数的概念一、导数的定义定义1：设函数y=f(x)在点x0的某邻域内有定义，若极限存在，则称函数f在点x0处可导，并称该极限为函数f在点x0处的导数，记作f’(x0). 若该极限不存在，则称f在点x0处不可导.令x=x0+△x，△y=f(x0+△x)-f(x0)，则：==f’(x0).∴导数是函数增量△y与自变量增量△x之比的极限. 这个增量比称为函数关于自变量的平均变化率(又称为差商)，而导数f’(x0)则为f在x0处关于x的变化率.注：显然常量函数f(x)=C在任何一点x的导数都等于零.例1：求函数f(x)=x2在点x=1处的导数，并求曲线在点(1,1)处的切线方程.解：f’(1)===2.∴曲线在点(1,1)处的切线方程为：y-1=2(x-1)，即y=2x-1.例2：证明函数f(x)=|x|在点x=0处不可导.证：f’(0)=，∵=1，=-1，∵不存在，∴f在点x=0处不可导.设f(x)在点x0可导，则ε=f’(x0)-是当△x→0时的无穷小量，于是ε·△x=o(△x)，即△y=f’(x0)△x+o(△x)，称为f在点x0的有限增量公式.该公式对△x=0仍成立.定理5.1：若函数f在点x0可导，则f在点x0连续.注：可导是连续的充分而非必要条件.例3：证明函数f(x)=x2D(x)仅在点x0=0处可导，其中D(x)为狄利克雷函数.证：当x0≠0时，由归结原理可得f在x= x0处不连续，∴f在x= x0处不可导.当x0=0时，∵D(x)有界，∴f’(0)==xD(x)=0.即f仅在点x0=0处可导.定义2：设函数y=f(x)在点x0的某右邻域(x0, x0+δ)上有定义，若右极限=(0<△x<δ)存在，则称该极限值为f在点x0的右导数，记作f’+(x0). 类似地，定义左导数为f’-(x0)==.右导数和左导数统称为单侧导数.定理5.2：若函数f在点x0的某右邻域内有定义，则f’(x0)存在的充要条件是：f’+(x0)与f’-(x0)都存在，且f’+(x0)=f’-(x0).例4：设f(x)=，讨论f(x)在x=0处的左右导数与导数.解：f’+(0)===0.f’-(x0) ===1.∵f’+(x0)≠f’-(x0)，∴f在x=0处不可导.二、导函数若函数在区间I上每一点都可导(区间端点只考虑单侧导数)，则称f为I上的可导函数. 对每一个x∈I，都有一个导数f’(x)(或单侧导数)与之对应，函数f’就称为f 在I上的导函数，简称为导数. 记作f’, y’或，即：f’(x)=, x∈I注：f’(x0)可写作：y’或例5：证明：(1)(x n)’=nx n-1，n为正整数；(2)(sinx)’=cosx，(cosx)’=-sinx；(3)(log a x)’=log a e (a>0，a≠1，x>0)，特别的(ln x)’=.证：(1)对于y=x n, ==x n-1+x n-2△x +…+△x n-1，∴(x n)’==(x n-1+x n-2△x +…+△x n-1)=x n-1=nx n-1.(2)∵==，由cosx在R上连续可得：(sinx)’==cosx.又==，由sinx在R上连续可得：(cosx)’== -sinx.(3)∵=log a=log a，又由log a x的连续性可得：(log a x)’=log a=log a=log a e.当a=e时，ln e=1，∴(ln x)’=.三、导数的几何意义曲线y=f(x)在点(x0,y0)的切线方程为：y-y0=f’(x0)(x-x0).即函数f在点x0的导数f’(x0)是曲线fy=(x)在点(x0,y0)的切线斜率.若α表示这条切线与x轴正方向的夹角，则f’(x0)=tanα.例6：求曲线y=x3在点P(x0,y0)处的切线方程与法线方程.解：y’=3x2, ∴f’(x0)=3x02==.当x0≠0时，曲线在点P(x0,y0)处的切线方程为y-y0=f’(x0)(x-x0)，即y=3x02x-2y0；法线方程为y-y0=(x-x0)，即y=x y0.当x0=0时，切线方程为y=0，法线方程为x=0.定义3：若函数f在点x0的某邻域U(x0)内对一切x∈U(x0)有f(x0)≥f(x)或f(x0)≤f(x)，则称f在点x0取得极大(小)值，称点x0为极大(小)值点. 极大值和极小值统称为极值，极大值点、极小值点统称为极值点.例7：证明：若f’+(x0)>0，则存在δ>0. 对任何x∈(x0,x0+δ)，有f(x0)<f(x).证：∵f’+(x0)=>0，由保号性可知，存在δ>0，对一切x∈(x0,x0+δ)，有>0，∴对任何x∈(x0,x0+δ)，有f(x0)<f(x).定理5.3(费马定理)：设函数f在点x0的某邻域内有定义，且在点x0可导，若点x0为f的极值点，则必有f’(x0)=0.我们称满足方程f’(x0)=0的点为稳定点. 稳定点不一定是极值点。
导数与函数的极值、最值讲义
导数与函数的极值、最值讲义题型一：用导数求解函数极值问题命题点1：根据函数图象判断极值典例 设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2) 命题点2：求函数的极值典例 设函数f (x )＝ln(x ＋1)＋a (x 2－x )，其中a ∈R .讨论函数f (x )极值点的个数，并说明理由． 命题点3：根据极值求参数典例 (1)若函数f (x )＝x 3－2cx 2＋x 有极值点，则实数c 的取值范围为________________．(2)若函数f (x )＝x 33－a 2x 2＋x ＋1在区间)3,21(上有极值点，则实数a 的取值范围是 思维升华 函数极值的两类热点问题(1)求函数f (x )极值的一般解题步骤①确定函数的定义域；②求导数f ′(x )；③解方程f ′(x )＝0，求出函数定义域内的所有根；④列表检验f ′(x )在f ′(x )＝0的根x 0左右两侧值的符号．(2)根据函数极值情况求参数的两个要领①列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．②验证：求解后验证根的合理性．跟踪训练 (1)函数f (x )＝(x 2－1)2＋2的极值点是( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝1或－1或0D ．x ＝0(2)若函数f (x )＝ax 22－(1＋2a )x ＋2ln x (a >0)在区间)1,21(内有极大值，则a 的取值范围是 题型二：用导数求函数的最值典例 已知函数f (x )＝1－x x ＋k ln x ，k <1e ，求函数f (x )在],1[e e上的最大值和最小值．引申探究：本例中若函数为“f (x )＝ln x －12x 2”，则函数f (x )在],1[e e上的最大值如何？ 思维升华：求函数f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤(1)求函数在(a ，b )内的极值．(2)求函数在区间端点的函数值f (a )，f (b )．(3)将函数f (x )的极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．跟踪训练设函数f (x )＝x 3－x 22－2x ＋5，若对任意的x ∈[－1,2]，都有f (x )>a ，则实数a 的取值范围是______． 题型三：函数极值和最值的综合问题典例已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c e x(a >0)的导函数y ＝f ′(x )的两个零点为－3和0. (1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )的极小值为－e 3，求f (x )在区间[－5，＋∞)上的最大值．思维升华 (1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小．(2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．跟踪训练 若函数f (x )＝13x 3＋x 2－23在区间(a ，a ＋5)上存在最小值，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－5,0)B ．(－5,0)C ．[－3,0)D ．(－3,0)反馈练习1．下列函数中，既是奇函数又存在极值的是( )A ．y ＝x 3B ．y ＝ln(－x )C ．y ＝x e －xD ．y ＝x ＋2x2．函数f (x )＝13x 3－4x ＋4的极大值为( ) A.283 B ．6 C.263D ．7 3．已知e 为自然对数的底数，设函数f (x )＝(e x －1)(x －1)k (k ＝1,2)，则( )A ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取得极小值B ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取得极大值C ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取得极小值D ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取得极大值4．记函数f (x )＝x －3＋12－3x 的最大值为M ，最小值为m ，则M －m M ＋m的值为( ) A.13 B.34C.35D.235．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，则f (2)等于( )A ．11或18B ．11C ．18D ．17或186．若函数f (x )＝13x 3－)21(b +x 2＋2bx 在区间[－3,1]上不是单调函数，则函数f (x )在R 上的极小值为( ) A ．2b －43B.32b －23 C ．0 D ．b 2－16b 3 7．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，若x ＝－3是函数f (x )的一个极值点，则实数a ＝______.8．函数f (x )＝x 3－3a 2x ＋a (a >0)的极大值是正数，极小值是负数，则a 的取值范围是________．9．已知y ＝f (x )是奇函数，当x ∈(0,2)时，f (x )＝ln x －ax )21(>a ，当x ∈(－2,0)时，f (x )的最小值为1，则a ＝________.10．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m ∈[－1,1]，则f (m )的最小值为________．11．已知函数f (x )＝e x cos x －x .(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值． 12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3＋x 2，x <1，a ln x ，x ≥1. (1)求f (x )在区间(－∞，1)上的极小值和极大值点；(2)求f (x )在[－1，e](e 为自然对数的底数)上的最大值．13．函数f (x )＝x 3－3x －1，若对于区间[－3,2]上的任意x 1，x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤t ，则实数t 的最小值是( )A ．20B ．18C ．3D ．014．设直线x ＝t 与函数h (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN |最小时，t 的值为________．15．若函数f (x )＝m ln x ＋(m －1)x 存在最大值M ，且M >0，则实数m 的取值范围是______．。
导数的概念课件
导数的物理性质
速度与加速度
在物理中，导数可以表示速度和加速度。例如，物体运动的瞬时速度是位移函数 的导数；物体运动的瞬时加速度是速度函数的导数。
斜率与加速度
在工程学中，斜率可以表示物体的加速度。例如，在电路中，电流的变化率可以 表示为电压函数的导数；在机械系统中，速度的变化率可以表示为力函数的导数 。
利用导数研究函数的曲率
总结词
描述函数曲线的弯曲程度
详细描述
导数的二阶导数可以用来描述函数的曲率。二阶导数越大， 表示函数曲线在该点越弯曲；二阶导数越小，表示函数曲线 在该点越平坦。通过计算二阶导数，可以了解函数曲线的弯 曲程度。
04
导数在实际生活中的应用
导数在经济学中的应用
总结词
导数在经济学中有着广泛的应用，它可以帮助我们理解经济现象的变化率和优化经济决 策。
链式法则
商的导数公式
若$u(x)$和$v(x)$在某点可导，且 $v(x) neq 0$，则$frac{u'(x)}{v'(x)}$ 存在。
若$u(x)$在某点可导，$f$是常数，则 复合函数$f(u(x))$在同一点也可导， 且$(f circ u)' = f' times u'$。
导数的几何性质
导数在数学分析、函数研究、优化问题、经济学等领域中 有着广泛的应用，是解决许多问题的重要工具。
导数的发展趋势与未来展望
发展趋势
随着科学技术的发展，导数在各个领域的应 用越来越广泛，如物理学、工程学、经济学 等。同时，对导数本身的研究也在不断深入 ，如对高阶导数、复合导数、变分法等的研 究。
未来展望
导数的起源与早期发展
起源
导数起源于17世纪，最初是为了解决 物理学和几何学中的问题，如速度和 切线斜率等。
导数公式大全ppt课件
(u(x)v(x)) = u(x)v(x) + u(x)v(x);
v( u(
x) x)
u( x)v( x) - u( x)v( x)
[u( x)]2
.
推论 1 (cu(x)) = cu(x) (c 为常数).
推论 2
1 u( x)
-
u( x) u2 ( x)
(3)
y'
x ( )' 1- x2
x '(1-
x2 ) - x(1(1- x2 )2
x2 ) '
1-
x2 - x(-2x) (1- x2 )2
1 x2
(1 - x2 )2
(4) y ' (2x3) ' (3x sin x) ' (e2 ) ' 2(x3 )'-3(x sin x)'0 6x2 - 3(sin x x cos x)
故
f (x) = (3x4 - ex + 5cos x - 1)
= (3x4) -(ex ) + (5cos x) - (1) = 12x3 - ex - 5sin x .
f (0) = (12x3 - ex - 5sin x)|x=0 = - 1
例 2 设 y = xlnx ， 求 y .
d4 y dx 4
,
···，dn y
dx n
,
f (x) 称为 f (x) 的一阶导数.
而把
例3 求下列函数的二阶导数
(1) y x cos x (2) y arctan x
解：
(1) y ' cos x x(-sin x) cos x - xsin x
导数专题二、极值问题----导数专题超级经典讲义
导数专题二、极值问题【知识结构】【知识点】 一、函数的极值定义函数()f x 在点0x 附近有定义，如果对0x 附近的所有点都有0()(),f x f x <则称0()f x 是函数的一个极大值，记作0=()y f x 极大值；如果对0x 附近的所有点都有0()(),f x f x >则称0()f x 是函数的一个极小值，记作0=().y f x 极小值极大值与极小值统称为极值，称0x 为极值点． 极大值与极小值统称为极值．极大值点与极小值点统称为极值点．极值点出现在函数的驻点（导数为0的点）或不可导点处（导函数不存在，也可以取得极值，此时驻点不存在）。
可导函数()f x 的极值点必定是它的驻点。
但是反过来，函数的驻点却不一定是极值点，例如3y x =,点()0,0是它的驻点，却不是它的极值点。
极值点上()f x 的导数为零或不存在，且函数的单调性必然变化。
极值问题主要建立在分类讨论的基础上， 二、求函数的极值点和极值注意事项：1.求极值或极值点，必须点明是极大还是极小。
若没有另一个，要说明没有。
2.要知道如何判断是否存在极值或者极值点。
3.如果已知极值或者极值点，求参数的时候，最后结果需要检验。
4.极值点是导函数的根，如果有两个根，要在合适的时候想到伟达定理。
三、求函数极值的三个基本步骤 第一步、求导数()f x '；第二步、求方程()0f x '=的所有实数根；第三步、考察在每个根0x 附近，从左到右，导函数()f x '的符号如何变化．如果()f x '的符号由正变负，则0()f x 是极大值；如果由负变正，则0()f x 是极小值．如果在()0f x '=的根0x x =的左右侧，()f x '的符号不变，则0()f x 不是极值．【考点分类】考点一、分类讨论求函数极值（点）；【例1-1】（2015-2016海淀一模文19）已知函数1()x xf x e-=. (Ⅰ)求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； (Ⅱ)求函数()f x 的零点和极值；(Ⅲ)若对任意12,[,)x x a ∈+∞，都有1221()()f x f x e-≥-成立，求实数a 的最小值. 【答案】2(1)2'()()x x x x e e x x f x e e----== （Ⅰ）设切线斜率为k ，所以()'02k f ==-，01(0)1f e==，所以曲线()y f x =在点(0,1)处的切线方程为12y x -=-，即210x y +-=。
1.1导数的概念讲义
导数的概念讲义知识要点：一、曲线的切线如图，设曲线c 是函数()y f x =的图象，点00(,)P x y 是曲线 c 上一点作割线PQ 当点Q 沿着曲线c 无限地趋近于点P ，割线PQ 无限地趋近于某一极限位置PT 我们就把极限位置上的直线PT ，叫做曲线c 在点P 处的切线y=f(x)β∆x∆yQ MPxOy二、确定曲线c 在点00(,)P x y 处的切线斜率的方法：因为曲线c 是给定的，根据解析几何中直线的点斜是方程的知识，只要求出切线的斜率设割线PQ 的倾斜角为β，切线PT 的倾斜角为α，既然割线PQ 的极限位置上的直线PT 是切线，所以割线PQ 斜率的极限就是切线PQ 的斜率tan α,即tan α=0lim →∆x =∆∆x y0lim →∆x 0x∆我们可以从运动的角度来得到切线，所以可以用极限来定义切线，以及切线的斜率.那么以后如果我们碰到一些复杂的曲线，也可以求出它在某一点处的切线了. 三、瞬时速度定义：运动物体经过某一时刻(某一位置)的速度，叫做瞬时速度. 四、确定物体在某一点A 处的瞬时速度的方法：要确定物体在某一点A 处的瞬时速度，从A 点起取一小段位移AA 1，求出物体在这段位移上的平均速度，这个平均速度可以近似地表示物体经过A 点的瞬时速度.当位移足够小时，物体在这段时间内运动可认为是匀速的，所得的平均速度就等于物体经过A 点的瞬时速度了.我们现在已经了解了一些关于瞬时速度的知识，现在已经知道物体做直线运动时，它的运动规律用函数表示为s=s(t)，也叫做物体的运动方程或位移公式，现在有两个时刻t 0，t 0+Δt ，现在问从t 0到t 0+Δt 这段时间内，物体的位移、平均速度各是：位移为Δs=s(t 0+Δt)－s(t 0)(Δt 称时间增量) 平均速度tt s t t s t s v ∆-∆+=∆∆=)()(00 现在是从t 0到t 0+Δt ，这段时间是Δt. 时间Δt 足够短，就是Δt 无限趋近于0. 当Δt →0时，平均速度就越接近于瞬时速度，用极限表示瞬时速度瞬时速度tt s t t s v v t t ∆-∆+==→∆→∆)()(lim lim 0000 所以当Δt →0时，平均速度的极限就是瞬时五、导数的定义：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ∆时，则函数()y f x =相应地有增量)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比xy∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限即xy∆∆无限趋近于某个常数。
导数讲义终极版
导数讲义终极版导数目录【导数的计算与几何意义】【三次函数】【导数与单调性】【导数与极最值】【导数与零点】【导数中的恒成立与存在性问题】【原函数导函数混合还原】【导数中的距离问题】【导数题基础练习】【分离参数】【构造新函数类】【导数中的函数不等式放缩】【导数中的卡根思想【可使用洛必达法则】【先构造，再赋值，证明和式或积式不等式】【极值点偏移问题】【极值点减元思想】【导数解决含有xln与x e的证明题】【导数解决含三角函数的证明】【高考导数真题研究】[基础知识整合]1、导数的定义:,)()(lim)(0000x x f x x f x f x ?-?+='→? xx f x x f x f x ?-?+='→?)()(lim)(0 2、导数的几何意义: 导数值)(0x f '是曲线)(x f y =上点))(,(00x f x 处的切线的斜率 3、常见函数的导数: ;sin )(cos ;cos )(sin );()(;01x x x x Q n nx x C n n -='='∈='='-;)(;log 1)(log ;1)(ln x x a a e e e xx x x ='='=' ;ln )(a a a x x =' 4、导数的四则运算:[])()(;)(;)(;)(2x u k x ku vu v v u v u u v v u uv v u v u '=''+'=''+'=''±'='±; 5、复合函数的导数:[])()())((x u f x f ??'?'='6、导函数与单调性: 求增区间，解0)(>'x f ; 求减区间，解0)(<'xf 若函数)(x f 在区间),(b a 上是增函数0)(≥'?x f 在),(b a 上恒成立; 若函数)(x f 在区间),(b a 上是减函数0)(≤'?x f 在),(b a 上恒成立; 若函数)(x f 在区间),(b a 上存在增区间0)(>'?x f 在),(b a 上成立; 若函数)(xf 在区间),(b a 上存在减区间0)(<'?x f 在),(b a 上成立.7、导函数与极最值: 确定定义域，求导，解单调区间，列表，下结论8、导数压轴题: 强化变形技巧、巧妙构造函数、一定要多记题型，总结方法导数的计算与几何意义真题再现1、(2016 全国卷1理16)若直线b kx y +=是曲线2ln +=x y 的切线，也是曲线)1ln(+=x y 的切线，则=b 。
(完整版)高二导数讲义
导数【知识归纳】1、导数的概念函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ∆，那么函数y 相应地有增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0），比值x y ∆∆叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ∆之间的平均变化率，即x y ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00。
如果当0→∆x 时，x y∆∆有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。
即f （x 0）=0lim →∆x xy ∆∆=0lim →∆x x x f x x f ∆-∆+)()(00。
说明：（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→∆x 时，xy ∆∆有极限。
如果x y ∆∆不存在极限，就说函数在点x 0处不可导，或说无导数。
（2）x ∆是自变量x 在x 0处的改变量，0≠∆x 时，而y ∆是函数值的改变量，可以是零。
由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤：（1）求函数的增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0）；（2）求平均变化率xy ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00； （3）取极限，得导数f’(x 0)=x y x ∆∆→∆0lim。
2、导数的几何意义函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。
也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。
相应地，切线方程为y －y 0=f /（x 0）（x －x 0）。
3、几种常见函数的导数:①0;C '= ②()1;n n x nx-'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '=⑥()ln x xa a a '=; ⑦()1ln x x '=; ⑧()1l g log a a o x e x '=.4、两个函数的和、差、积的求导法则法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即： (.)'''v u v u ±=±法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：.)('''uv v u uv +=若C 为常数,'''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：.)(''Cu Cu =法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积再除以分母的平方：⎪⎭⎫ ⎝⎛v u ‘=2''v uv v u -（v ≠0）。
导数的概念及导数的运算讲义
导数的概念及其运算教学目的：1、理解导数定义，能够运用定义求解简单函数的导数2、了解导数的几何意义，会求曲线在某点的切线和法线方程3、掌握可导与连续的关系，判别函数在某点的可导性与连续性教学重点：1、导数定义，包括函数在某点与在某区间的定义，单侧导数的定义2、导数的几何意义，求切线方程与法线方程教学难点：1、导数定义，包括函数在某点与在某区间的定义，单侧导数的定义2、导数的几何意义，求切线方程与法线方程教学过程：1、引入导数概念3、给出导数定义（1）函数在某点导数的定义（2）函数在某区间导数的定义（3）单侧导数的定义4、求导数举例5、导数的几何意义6、求切线和法线方程举例7、可导与连续的关系8、举例判别函数在某点处的连续性和可导性9、课堂小结10、布置作业导数及其运算 (3)一、导数的概念 (3)1、导数的引入 (3)2、导数的定义 (3)总结说明： (4)基础演练： (5)求导数举例 (6)总结与延伸： (7)基础演练： (8)二、导数的几何意义 (8)函数的可导性与连续性的关系 (9)基础演练： (10)例题精讲： (10)三、应用练习： (13)四、能力训练 (14)总结归纳： (14)课后作业： (15)导数及其运算一、 导数的概念1、导数的引入设一质点在坐标轴上作非匀速运动, 时刻t 质点的坐标为s , s 是t 的函数: s =f (t ),求动点在时刻t 0的速度. 考虑比值000)()(t t t f t f t t s s --=--, 这个比值可认为是动点在时间间隔t -t 0内的平均速度. 如果时间间隔选较短, 这个比值在实践中也可用来说明动点在时刻t 0的速度. 但这样做是不精确的, 更确地应当这样: 令t -t 0→0,取比值00)()(t t t f t f --的极限, 如果这个极限存在, 设为v , 即0)()(limt t t f t f v t t --=→,这时就把这个极限值v 称为动点在时刻t 0的速度. 2、导数的定义从上面所讨论的两个问题看出, 非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下的极限:00)()(lim 0x x x f x f x x --→.令∆x =x -x 0, 则∆y =f (x 0+∆x )-f (x 0)= f (x )-f (x 0), x →x 0相当于∆x →0, 于是00)()(lim 0x x x f x f x x --→成为 x yx ∆∆→∆0lim 或xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 000.导数的定义 设函数y =f (x )在点x 0及其近旁有定义, 当自变量x 在x 0处取得增量∆x 时, 相应地函数y 取得增量∆y =f (x 0+∆x )-f (x 0)， 如果当∆x →0时，x y∆∆的极限存在, 则称这个极限为函数y =f (x )在点x 0处的导数, 记作,0()f x , 即xx f x x f x yx f x x ∆-∆+=∆∆='→∆→∆)()(lim lim )(00000,也可记作0|x x y =',x x dx dy =或0)(x x dx x df =. 函数f (x )在点x 0处有导数（即极限xyx ∆∆→∆0lim 存在），有时也说成f (x )在点x 0可导.如果极限xyx ∆∆→∆0lim不存在, 就说函数y =f (x )在点x 0处不可导.如果不可导的原因是由于∆x →0时,xy∆∆→∞也往往说函数y =f (x )在点x 0处的导数为无穷大. 拓展：导数的定义式也可取不同的形式, 常见的有 hx f h x f x f h )()(lim)(0000-+='→,00)()(lim)(0x x x f x f x f x x --='→.在实际中, 需要讨论各种具有不同意义的变量的变化“快慢”问题, 在数学上就是所谓函数的变化率问题. 导数概念就是函数变化率这一概念的精确描述.总结说明： 定义 实例平均 变化率 函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率为Δy Δx = f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1①平均速度；②曲线割线的斜率 瞬时变化率函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是函数f (x )从x 0到x 0＋Δx 的平均变化率在Δx →0时的极限，即lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δx →ΔyΔx ①瞬时速度：物体在某一时刻的速度； ②切线斜率 2．平均变化率也可以用式子Δy Δx 表示，ΔyΔx有什么几何意义？答 Δx 表示x 2－x 1是相对于x 1的一个“增量”；Δy 表示f (x 2)－f (x 1).观察图象可看出，Δy Δx = f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1表示曲线y ＝f (x )上两点(x 1，f (x 1))、(x 2，f (x 2))连线的斜率. 3．基础演练：已知函数532)(2++=x x x f(1)求当x 1＝4，且Δx ＝1时，函数增量Δy 和平均变化率ΔyΔx ；(2)求当x 1＝4，且Δx ＝0.1时，函数增量Δy 和平均变化率ΔyΔx；4． 利用导数的定义求函数f (x )＝－x 2＋3x 在x ＝2处的导数.5．求函数f (x )＝3x 2－2x 在x ＝1处的导数.6．已知函数f (x )＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy )，则ΔyΔx 等于7．已知函数f (x )＝1x，则f ′(1)＝________.如果函数y =f (x )在开区间（a ，b ）内的每一点都可导, 就称函数y=f (x )在开区间（a ，b ）内可导, 这时, 对于开区间（a ，b ）内的任一点x , 都对应着一个确定的导数,()f x . 这样就构成了一个以（a ，b ）为定义域的新函数, 这个新函数叫做原来函数f (x )的导函数, 简称导数，记作)(x f ',y ',dx dy , 或dxx df )(. 即 )(x f '=x yx ∆∆→∆0lim或xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 000f '(x 0)与f '(x )之间的关系:函数f (x )在点x 0处的导数f '(x )就是导函数f '(x )在点x =x 0处的函数值, 即0)()(0x x x f x f ='='.导函数f '(x )简称导数, 而f '(x 0)是f (x )在x 0处的导数或导数f '(x )在x 0处的值. 左右导数: 所列极限存在, 则定义小结 求平均变化率的主要步骤：(1)先计算函数值的改变量Δy ＝f (x 2)－f (x 1).(2)再计算自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1.(3)得平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.f (x )在0x 的左导数:0,()fx -=lim 0x -∆→00()()f x x f x x +∆-∆;f (x )在0x 的右导数:0,()f x +=lim 0x +∆→00()()f x x f x x+∆-∆.左导数和右导数统称为单侧导数.导数与左右导数的关系: 函数f (x )在点x 0处可导的充分必要条件是左导数左导数f '-(x 0) 和右导数f '+(x 0)都存在且相等.如果函数f (x )在开区间(a , b )内可导, 且右导数f '+(a ) 和左导数f '-(b )都存在, 就说f (x )有闭区间[a , b ]上可导..求导数举例例1．求函数f (x )=C （C 为常数）的导数. 解: hx f h x f x f h )()(lim )(0-+='→0lim 0=-=→h C C h . 即 (C ) '=0.例2. 求xx f 1)(=的导数.解: h x h x h x f h x f x f h h 11lim )()(lim )(00-+=-+='→→ 2001)(1lim )(lim x x h x x h x h h h h -=+-=+-=→→. 例3. 求x x f =)(的导数. 解: hx h x h x f h x f x f h h -+=-+='→→00lim )()(lim )( xx h x x h x h h h h 211lim )(lim00=++=++=→→.例4．求函数f (x )=x n (n 为正整数)在x =a 处的导数. 解: f '(a )a x a f x f ax --=→)()(lima x a x n n a x --=→lim ax →=lim (x n -1+ax n -2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n -1)=na n -1. 把以上结果中的a 换成x 得 f '(x )=nx n -1, 即 (x n )'=nx n -1. (C )'=0, 21)1(x x -=', xx 21)(=', 1)(-⋅='μμμx x .更一般地, 有(x μ)'=μx μ-1 , 其中μ为常数.例5．求函数f (x )=sin x 的导数. 解: f '(x )hx f h x f h )()(lim 0-+=→h x h x h sin )sin(lim 0-+=→ 2sin )2cos(21lim0hh x h h +⋅=→ x h hh x h cos 22sin )2cos(lim 0=⋅+=→.即 (sin x )'=cos x .用类似的方法, 可求得 (cos x )'=-sin x .例6．求函数f (x )= a x (a >0, a ≠1) 的导数. 解: f '(x )h x f h x f h )()(lim-+=→ha a x h x h -=+→0lim h a a h h x 1lim 0-=→t a h =-1令)1(log lim0t t a a t x +→ a a ea x a xln log 1==. 特别地有(e x )=e x .例7．求函数f (x )=log a x (a >0, a ≠1) 的导数. 解: hx h x h x f h x f x f a a h h log )(log lim )()(lim)(00-+=-+='→→ hxa h a h a h xh x x h h x x x h x h )1(log lim 1)1(log lim 1)(log 1lim 000+=+=+=→→→ a x e x a ln 1log 1==. 解:h xh x x f a a h log )(log lim)(0-+='→)1(log 1lim 0xh h a h +=→h x a h x h x )1(log lim 10+=→ax e x a ln 1log 1==.即 a x x a ln 1)(log =' . : 特殊地 xx 1)(ln ='.a x x a ln 1)(log =', xx 1)(ln ='.例8．求函数f (x )=|x |在x =0处的导数. 解: 1||lim )0()0(lim )0(00-==-+='--→→-h h h f h f f h h , 1||lim )0()0(lim )0(00==-+='++→→+h h hf h f f h h , 因为f '-(0)≠ f '+(0), 所以函数f (x )=|x |在x =0处不可导.总结与延伸：1．常见函数的导数公式：（1）0'=C (C 为常数)； （2）1)'(-=n nnxx (Q n ∈)；（3）x x cos )'(sin =；（4）x x sin )'(cos -=；（5）a a a xx ln )'(=；（6）xx e e =)'(； （7）e xx a a log 1)'(log =； （8）xx 1)'(ln =． 2．导数的运算法则：法则1 )()()]()(['''x v x u x v x u ±=±．法则2 [()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+, [()]'()Cu x Cu x '=．法则3 '2''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭． 3．复合函数的导数：设函数u =ϕ(x )在点x 处有导数u ′x =ϕ′(x )，函数y =f (u )在点x 的对应点u 处有导数y ′u =f ′(u )，则复合函数y =f (ϕ (x ))在点x 处也有导数，且x u x u y y '''⋅= 或f ′x (ϕ (x ))=f ′(u ) ϕ′(x )．基础演练：1：求函数323y x x =-+的导数.2．函数y =x 2cos x 的导数为 。
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2、(2015 全国卷1理21(1)) 己知函数41)(3++=ax x x f ，当a 为何值时，x 轴为曲线)(x f y =的切线。
3、(2015 安徽卷理18(1) )设*∈N n ,n x 是曲线122+=+n x y 在点)2,1(处的切线与x 轴交点的横坐标求数列{}n x 的通项公式。
4、(2015重庆卷理20 (1)) 设函数),(3)(2R a e axx x f x∈+=若)(x f 在0=x 处取得极值，确定a 的值，并求此时曲线)(x f y =在点(1,)1(f ) 处的切线方程。
经典题：l 、函数x x f 2cos )(=在点)21,4(π处的切线方程为 。
2、过523)(23++-=x x x x f 图象上 一个动点作函数的切线，则切线倾斜角的范围是 。
3、若一直线与曲线x y ln =和曲线)0(2>=a ay x 相切于同一点P ,则a 的值为 。
4、若两曲线12-=x y 与1ln -=x a y 存在公切线，则正实数a 的取值范围是.5、已知b a ,为正实数，直线a x y -=与曲线)ln(b x y +=相切，则ba a +22的取值范围是( )),0.(+∞A )1,0.(B )21,0.(C [)+∞,1.D6、若曲线ex y 22=与曲线x a y ln =在它们的公共点),(t s P 处具有公共切线，则实数a 的值为( )2.-A 21.B 1.C 2.D7、函数)(x f 是定义在),0(+∞的可导函数，当0>x 且1≠x 时，01)()(2>-'+x x f x x f ，)(x f y =在1=x 处的切线的斜率为43-，则=)1(f ( )0.A 1.B 83.C 51.D三次 函 数l 、函数5)1(2)1(2131)(23+-++-=x m x m x x f 在)4,0(上无极值，则=m ______。
2、己知2233)(a bx ax x x f +++=在1-=x 时有极值0，则b a -=______。
3、设函数ax x a x x f +++=23)1()( 有两个不同的极值点21,x x ，且对不等式0)()(21≤+x f x f 恒成立，则实数a 的取值范围是_________。
4、函数,23)(23a ax x x x f --+-=若存在唯一正整数0x ，使得0)(0>x f ,则a 的范围是_______。
5、己知函数1)(23--+-=x ax x x f 在R 上是单调函数，则实数a 的取值范围是( )[]3,3.-A )3,3.(-B ),3()3,.(+∞--∞ C (][)+∞-∞-,33,.D6、若函数1231)(23++-=x x a x x f 在区间)3,21(上有极值点，则实数a 的取值范围是( ) )25,2.(A ⎪⎭⎫⎢⎣⎡25,2.A )310,2.(C ⎪⎭⎫⎢⎣⎡310,2.D7、若函数1231)(23++-=x x a x x f 在区间)3,21(上单调递减，则实数a 的取值范围是( ) ⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,31.A ⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,35.B ⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,310.C ⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,316.D8、若函数3231)(23-+=x x x f 在区间)5,(+a a 上存在最小值，则实数a 的取值范围是( ) [)0,5.-A )0,5.(-B )0,3.(-C [)0,3.-D9、若,7)(223a a bx ax x x f --++=在1=x 处取得极大值10,则ab的值为( ) 2123.--或A 2123.或-B 23.-C 21.-D导数与单调性1、已知函数,ln 25)(2x x x x f +-=则函数)(x f 的单调递增区间是_______。
2、已知函数),(ln )(R a ae x e x f x x ∈-=若)(x f 在),0(+∞上单调，则a 的取值范围是________。
3、设函数),(3)(2R a eaxx x f x∈+=,若)(x f 在[)+∞,3上为减函数，则a 的取值范围是_______。
4、若函数)(x f 在定义域D 内的某个区间I 上是增函数，且xx f x F )()(=在I 上也是增函数，则 称)(x f y =是I 上的“完美函数”.已知1ln )(+-+=x x e x g x ,若函数)(x g 是区间⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,2m 上的“完美函数”，则整数m 的最小值为________。
5、设函数x e e x f x x 2)(--=-下列结论正确的是( ))0()2(.min f x f A = )0()2(.max f x f B =.C )2(x f 在R 上递增，无极值 .D )2(x f 在R 上递减，无极值6、设函数ax e x f x +=2)(在),0(+∞上单调递增，则实数a 的取值范围为( )),1.(+∞-A [)+∞-,1.A ),2.(+∞-C [)+∞-,2.D7.函数ax e x f x +=2)(在其定义域内的一个子区间)1,1(+-k k 内不单调，则k 的范围是( )[)+∞,1.A ⎪⎭⎫⎢⎣⎡23,1.B [)2,1.C ⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,23.D8、若函数2ln )(2-+=ax x x f 在区间)2,21(内存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是( )(]2,.-∞-A ),2.(+∞-B )81,2.(--C ),81.(+∞-D9、设,21<<x 则222ln ,)ln (,ln x x x x x x 的大小关系是( ) 222ln ln )ln .(x x x x x x A << 222ln )ln (ln .x x x x x x B <<x x x x x x C ln ln )ln .(222<< xx x x x x D ln )ln (ln .222<<10、下列命题为真命题的个数是( )①22>ee ②322ln >③e 1ln <ππ ④ππln 22ln < 1.A 2.B 3.C 4.D导数与极最值1、已知0=x 是函数)2)(2()(322a x a x a x x f ++-=的极小值点，则a 的范围是_2、已知1=x 是函数)0(2)2()(2>+--=k kx x k e x x f x 的极小值点，则k 的范围是_3、已知函数x a x x x f ln 12)(2++-=有两个极值点21,x x 且21x x <，则( )42ln 21)(.2+-<x f A 42ln 21)(.2-<x f B42ln 21)(.2+>x f C 42ln 21)(.2->x f D4、若函数x ae x f x 3)(+= 在R 上有小于零的极值点，则实数a 的取值范围是( )()+∞-,3.A ()3,.-∞-B ),31.(+∞-C )31,.(--∞D5、己知函数)(ln )(ax x x x f -=有两个极值点，则实数a 的取值范围是( )()0,.∞-A )21,0.(B )1,0.(C ),0.(+∞D6、若函数)0(ln 2)21(2)(2>++-=a x x a x a x f 在区间)1,21(内有极值，则a 的取值范围是( ) ),1.(+∞eA ),1.(+∞B )2,1.(C ),2.(+∞D7、若函数)(x f 在区间A 上，对)(),(),(,,,c f b f a f A c b a ∈∀为一个三角形的三边长，则称函数)(x f 为“三 角形函数”已知函数m x x x f +=ln )(在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡e e ,12上是“三角形函数”，则实数m 的取值范围为( ))2,1.(2e e e A + ),2.(+∞e B ),1.(+∞eC ),2.(2+∞+e e D导数与零点1、设函数a xxex x x f +--=ln 2)(2，若函数)(x f 至少存在一个零点，则实数a 的取值范围是 ⎥⎦⎤ ⎝⎛-e e A 1,0.2 ⎥⎦⎤ ⎝⎛+e e B 1,0.2 ⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,1.2e e C ⎥⎦⎤ ⎝⎛+∞-e e D 1,.22、己知函数2)(xme x f =与函数12)(2+--=x x x g 的图象有两个不同的交点，则实数m 的取值范围为[)1,0.A [)⎭⎬⎫⎩⎨⎧-2182,0.e B ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-218)2,0.(e C [)⎭⎬⎫⎩⎨⎧-2182,0.e e D3、定义: 如果函数)(x f 在[]b a ,上存在21,x x )(21b x x a <<<满足a b a f b f x f --=')()()(1a b a f b f x f --=')()()(1，则称)(x f 是[]b a , 上的“双中值函数”，已知函数mx x x f +-=232)(是[]a 2,0上“双中值函数”，则实数a 的取值范围是( ))41,81.(A )41,121.(B )81,121.(C )1,81.(D4、若存在正实数m ,使得关于x 的方程[]0ln )ln()422(=-+-++x m x ex m x a x 有两个不同的 根，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围是( ))0,.(-∞A )21,0.(e B ),21()0,.(+∞-∞e C ),21.(+∞eD导数中的恒成立与存在性问题1、（15年新课标1理科12）设函数()a ax x e x f x +--=)12(，其中1<a ，若存在唯一的整数0x ，使得()00<x f ，则a 的取值范围是()A 、)1,23[e -B 、)43,23[e -C 、)43,23[eD 、)1,23[e2、设函数()a ax x e x f x +--=)13(,其中a<1,若有且只有一个整数1<a 使得()00≤x f ,则a 的取值范围是( )A 、)43,2(eB 、⎪⎭⎫⎢⎣⎡43,2eC 、)1,2(eD 、⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,2e3、已知函数())1(xe a x xf -=曲线()x f y =上存在两个不同点，使得曲线在这两点处的切线都 与y 轴垂直，则实数a 的取值范围是( )),.(2+∞-e A )0,.(2e B - ),1.(2+∞-e C )0,1.(2eD -4、设e 表示自然对数的底数，函数)()(4)()(222R a a x a e x f ∈-+-=若关于x 的不等式 ()51≤x f 有解，则实数a 的值为( ) 51.A 41.B 0.C 21.-D5.已知())0(21ln 2>+=a x x a x f ,若对任意两个不等的正实数21,x x ，都有2)()(2121>--x x x f x f 恒 成立，则实数a 的取值范围是( )A 、(]1,0B 、),1(+∞C 、)1,0(D 、),1[∞+6、已知函数(),)1ln(2x x a x f -+=若对)1,0(,∈∀q p ,且q p ≠，有2)1()1(>-+-+qp q f p f 成立，则实数a 的取值范围为( )A 、)18,(-∞B 、(]18,∞-C 、[)+∞,18D 、),18(+∞7、设函数)2()33()(3-≥--+-=x x ae x x e x f x x ，若不等式0)(≤x f 有解，则实数a 的最小 值为( )e A 11.- e B 12.- 11.-eC 21.eD +8、设函数x ae x x x e x f x x --+-+=2)2623()(23 若不等式0)(≤x f 在[)+∞-,2上有解，则 实数a 的最小值为( )e A 123.-- e B 223.-- e C 2143.-- eD 11.--9、已知函数),()(ln )(2R b x b x x x f ∈+-+=若存在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21x ,使得)()(x f x x f '->,则实数b 的取值范围是( )A 、)2,(-∞B 、)23,(-∞C 、)49,(-∞ D 、)3,(-∞10、已知x xe x f =)(,a x x g ++-=2)1()(若R x x ∈∃21,使得)()(12x g x f ≤成立，则实数a 的 取值范围是______11、若关于x 的不等式0ln )1(22≥++-cx x cx x c 在),0(+∞上恒成立，则实数c 的取值范围是____12、若关于x 的不等式0))(ln 1(≥+-ax x ax 在),0(+∞ 上恒成立，则实数a 的取值范围是______13、若函数,ln 1)(x a x x f --=,0,)(<=a eexx g x ,且对任意[])(4,3,2121x x x x ≠∈， )(1)(1)()(2121x g x g x f x f -<-恒成立，则实数a 的取值范围为______14、设函数x e x x g x x x f =+=)(,1)(2,0,)(<=a eexx g x ,对任意),0(,21+∞∈x x ，不等式1)()(21+≤k x f k x g 恒成立，则正数k 的取值范围是______15、过曲线x e x f x 2)(--= 上任意一点处的切线为1l ，总存在过曲线x ax x g cos 3)(+= 上一点处的切线为2l ，使得21l l ⊥，则实数a 的取值范围是______原函数导函数混合还原常见导数不等式构造法0)()(≥'+x f x x nf构造())()(())((1x f x x nf x x f x n n '+='-) 特别的)()())((,1x f x x f x xf n '+='=0)()(≥'-x f x x nf 构造1)()())((+-'='n n x x nf x f x x x f 特别的,1=n 2)()())((x x f x f x x x f -'='0)()(≥'+x f x nf构造))()(())((x f x nf e x f e nx nx '+='特别的,1=n ))()(())((x f x f e x f e x x '+='0)()(≥'-x f x nf 构造nxnx e x nf x f e x f )()())((-'=' 特别的,1=n x x e x f x f e x f )()())((-'=' kx f ≥')(构造0)()()(≥'⇒-=x F kx x f x F[][]⎥⎦⎤⎢⎣⎡+'=+'=+'='x x f x f x x f x x f x x x f x x f x x f tan )()(sin )(tan )(cos cos )(sin )(sin )( [][]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-'=-'=-'=')(tan )(sin tan )()(cos sin )(cos )(cos )(x f x x f x x x f x f x x x f x x f x x f[]x x f x x f x x x x f x x f x x f 22sin )(tan )(cos sin cos )(sin )(sin )(-'=-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡ x x x f x f x x x f x x f x x f cos tan )()(cos sin )(cos )(cos )(2+'=+'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡1、(2015全国卷11理12) 已知函数)(x f '是奇函数)(x f 的导函数，且0)1(=-f ,当0>x 时， 有0)()(<-'x f x f x 0,则使得0)(>x f 成立的x 的取值范围是(A 、)1,0()1,( --∞B 、),1()0,1(+∞-C 、)0,1()1,(---∞D 、),1()1,0(+∞2、已知)(x f y =为),0(+∞上的可导函数,且有0)()(>+'xx f x f ,则对于任意的),0(,+∞∈b a 当b a >时，有( )A 、)()(b bf a af <B 、)()(b bf a af >C 、)()(a bf b af >D 、)()(a bf b af <3、已知)(x f 是定义在区间),0(+∞ 上的函数，其导函数为)(x f ',且不等式)(2)(x f x f x <'恒成立， 则( )A 、)2()1(4f f <B 、)2()1(4f f >C 、)2(4)1(f f <D 、)2(4)1(f f '<4、已知奇函数)(x f 的导函数为)(x f '，且当),0(+∞∈x 时，x x f x f x =-')()(，e e f =)(，则0)(>x f 的解集为( )A 、),0(),(e e --∞B 、),()0,(+∞-e eC 、)1,0()1,( --∞D 、),1()0,1(+∞-5、已知定义在R 上的函数)(x f 和)(x g 满足x f x e f x f x )0(22)1()(222-+'=-，且0)(2)(<+'x g x g ，则下列不等式成立的是( ))2018()2016()2(g g f A <、 )2018()2016()2(g g f B >、 )2018()2()2016(g f g C <、 )2018()2()2016(g f g D >、6、函数)(x f 是定义在),0(+∞上的可导函数，)(x f '为其导函数，若)1()()(-=+'x e x f x f x x为)(x f ，0)2(=f ，则0)(<x f 的解集为( )）、（2,1A ）、（+∞,2B ）、（1,0C ）、（2,0D7、若)(x f 和)(x g 都是定义在R 上的函数，,)()(,0)()()()(,0)(x a x g x f x g x f x g x f x g =<'-'≠，25)1()1()1()1(=--+g f g f ，则关于的方程)1,0(,02522∈=++b x abx ，有两个不等根的概率为（ ） 53、A 52、B 51、C 21、D8、函数)(x f 是在R 上存在导函数)(x f '，R x ∈∀，有2)()(x x f x f =-+，在),0(+∞上x x f <')(，若022)()2(2≥-+--+-m m m f m f ，则实数m 的取值范围为( )[]1,1-、A [)+∞,1、B [)+∞,2、C (][)+∞-∞-,22, 、B9.已知定义在），（∞+0上的函数)(x f .满足）（10)(>x f ；(2))(2)()(x f x f x f <'<（其中)(x f '是)(x f 的导函数，e 是自然对数的底数)，则)3()1(f f 的范围为( ) ）、（241,1e e A ）、（e e B 1,12 ）、（261,1ee C ）、（3,e e D10、已知定义在实数集R 的函数)(x f 满足4)1(=f ，且)(x f 导函数3)(<'x f ，则不等式1ln 3)(ln +>x x f 的解集为( )）、（+∞,1A ）、（+∞,e B ）、（1,0C ）、（e D ,011、已知定义在R 上的可导函数)(x f 的导函数为)(x f '，满足)()(x f x f <'，且)2(+x f 为偶函数，1)4(=f ，则不等式x e x f <)(的解集为( )）、（+∞-,2A ）、（+∞,0B ），、（∞+1C ）、（+∞,4D12.已知定义在R 上的函数)(x f 的导函数为)(x f '，对任意R x ∈满足0)()(<'+x f x f ，则下列结论正确的是( ))3(ln 3)2(ln 2f f A >、 )3(ln 3)2(ln 2f f B <、 )3(ln 3)2(ln 2f f C ≥、 )3(ln 3)2(ln 2f f D ≤、13、函数)(x f 的导函数为)(x f '.对R x ∈∀,都有)()(x f x f >'成立，若2)2(e f =，则不等式xe xf >)(的解是( )）、（+∞,2A ）、（1,0B ），、（∞+1C ）、（2ln ,0D14、已知定义在R 上的函数)(x f 使不等式)2(22ln )2(x f x f ⋅>'恒成立，其中)(x f '是)(x f 的导函数，则( )2)0()2(>f f A 、，2)2()0(>-f f )2(4)0(2)2(->>f f f B 、2)0()2(<f f C 、， 2)2()0(<-f f )2(4)0(2)2(-<<f f f D 、15.设函数)(x f '是()R x x f ∈)(的导函数，1)0(=f ，且3)()(3-'=x f x f ，则)()(4x f x f '>的解集是( )）、（+∞,34ln A ）、（+∞,32ln B ），、（∞+23C ）、（+∞,3e D16、已知奇函数)(x f 定义域为()()ππ，，00 -，其导函数是)(x f '。