「因明逻辑真值的量化公式」与贝尔斯学派统计学

「因明逻辑真值的量化公式」与贝尔斯学派统计学QuantificationFormulaOfHetu －Vidy āLogicalTruth －ValueAndBayesianSchoolStatistics蔡礼德撰 1.引言本文的目的，是尝试证明《因明逻辑真值化的探究》i [1]〔以下简称《探》文〕所施设的「逻辑真值的量化」公式之理念与近代广受重视的统计学理念，实为互相一致。

《探》文所施设的「逻辑真值的量化」公式：所立宗的「T.V.」 ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋂S M S N N ×⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⋂⋂⋂SP M PM PM N N N N ～S N ＞0 当今应用数学科学中，贝尔斯学派〔BayesianSchool 〕是近代统计学〔Statistics 〕中，极其重要的学派；本文将选取其学派中，最具代表性、最广受重视的两条公式：【一】拉普拉士〔Laplace 〕的「接续法那么」〔Ruleofsuccession 〕ii [2]； 【二】「贝尔斯法那么」〔Bayesrule 〕[3]iii 。

以它们来考核《探》文所施设的「逻辑真值的量化」公式，是否契合近代统计学的理念。

由于这两条公式在应用科学〔如决策论、经济学、医学、生物学等〕及数学界，都已广受重视及应用。

故藉此作为检查的工具是最为恰当的；所得出的结论，不管如何，将令人信服。

假设能证明《探》文的公式与当今统计学相一致，便能显示出陈那〔Dign āga 〕系因明的「三支比量」〔Three-MemberedSyllogism 〕，其推理的理念，与当今统计学的理念相契合；也确实是说，陈那〔Dign āga 〕系因明的推理部分，早在千多年前，已含有近代统计学〔应用科学〕的概念了。

关键词：「贝尔斯法那么」接续法那么逻辑真值的量化公式2.「因明逻辑真值的量化公式」与拉普拉士〔Laplace 〕「接续法那么」〔Ruleofsuccession 〕此部分将尝试证明《探》文所施设的「逻辑真值的量化公式」，该公式的背后理念，与当今统计学极受重视的贝尔斯学派〔BayesianSchool 〕学说相契合。

考察的方法，是检查它能否提供相同讯息及相同答案。

贝叶斯〔Bayes 〕的统计学概念，经拉普拉士〔Laplace 〕陈构及阐释后，称为「接续法那么」〔Ruleofsuccession 〕，详细演算及其推理，今不赘iv [4]。

〔有一点要留的，该派学者多幸免谈论一个概率为零，并已得到充分确证的理论，其方法是以某类归纳方式，并假设一个概率，即是说，它是以假设的知识为背境计算出来的。

〕现在只把拉普拉士的结论握要地列出。

设N〔TotalNo.ofTrails〕＝N次经验N〔No.ofEventA〕＝曾发生事件A的次数AN〔Anevent〕＝下一次或当下所发生的事件〔即第N+1次经验〕图一「接续法那么」〔Ruleofsuccession〕定义：凭过去N次经验，其中N A次为事件A，今推测最新一次经验〔即第N ＋1次经验〕为事件A的概率〔Probability〕为(N+1)/(N+2)。

A〔Definition：IfinNprevioustrials N A haveyieldedaneventA,theprobabilitythateventhappensonthenexttrialis(N A+1)/(N+2).〕──────①公式①是直截了当引用统计学的结果，至于详细的数学演算，可参考注3。

假设用佛家因明的「三支比量」〔Three-MemberedSyllogism〕去解释，就会很容易明白公式中，其分子〔N A＋1〕及分母〔N＋2〕的含意，而该公式所透露的讯息，将立时变清晰起来。

事实上，佛家因明的「三支比量」作法〔特别是陈那〔Dignāga〕系因明〕，亦是利用过去的N次经验〔Nprevioustrials〕，作为推理的依照。

例如，过去的N次经验，能够有事件或事例〔EventorExample〕A、B、C等等。

先假设N A为出现事件A的次数，然后基于过去N A次的经验，推测将面对的第N ＋1次事件，而次该事件亦为事件A之概率，或用统计学、概率学的说法，推测新出现的「样本」〔Sample,S〕为事件A的「逻辑真值」。

现在就让我们运用拉普拉士的「接续法那么」，去考察《探》文所施设的「逻辑真值的量化」公式。

但先作一些假设，如下：设N S＝1〔事件S，即第N＋1次的经验〕,N E＝1〔在N A次之外，某一次事件A〔AnadditionaleventA,E A〕〕N A 为过去的事件A 之出现次数〔Totalno.ofeventA 〕, 令 N AE ＝N A ＋N E 〔的事件A 之出现次数，加上另外一次事件A 〕∴N AE ＝N A ＋1∵N E ＝1有一点需要注意，即使在过去所有事件A 中〔即N A 次〕，加上另外一次事件A 〔即N E 〕，它们仍然能够被称为事件A 的一类，只需在总数上，多加一次〔即N A ＋1，或N A ＋N E 〕。

关于非事件A 〔即～A 〕的总数〔即N ~A 次〕，那么可不能受到事件A 的妨碍；也确实是说，只需把符号改变一下即可，由N ～A 改变成为N ～AE ，即N ～AE ＝N ～A 。

令 N ～AE ＝N ～A令N ＝N A ＋N ～A 〔事件A 之总数＝〔事件A 之总数〕加〔非事件A 之总数〕〕,∴ N ＋1 ＝N A ＋N ～A ＋1 ＝〔N A ＋N E 〕＋N ～A ∵N E ＝1＝N AE ＋N ～AE ∵N AE ＝N A ＋N E ,N ～AE ＝N ～A现在能够开始演算。

首先利用公式①：由公式①, ＝21++N N A ＝()()111+++N N A＝()()111～++++A A A N N N ∵N ＝N A ＋N ～A ＝()()1～++++A E A E A N N N N N ∵N E ＝1＝()1～++A AEAEN N N ∵N AE ＝N A ＋N E＝SAE AE AEN N N N ++～∵N S ＝1,N ～A ＝N ～AE＝SAE AEAEN N N N ++～─────②在未接着演算下去前，那个地方有两点需要说明一下：【一】「三支比量」里，假设为「正因」〔hetu,validreasons 〕，就必须举出一个的事件A 〔EventA,E A 〕，作为例子〔example 〕去支持「所立宗」(paksa)，即是「同喻依」〔s ādharmya-drst ānta 〕；此点决不能忽略。

而「接续法那么」中的分子为N A ＋1〔即公式②中的N AE 〕及分母为N ＋2〔即公式②中的N AE ＋N ～AE ＋N S 〕，正有那个涵义。

【二】关于犯了「不共不定因」过〔as ādh āsiddha 〕或「相违因」过〔Viruddha, contradicting 〕，在这两情况下，就不能举出任何的实例〔E M ∩P 〕，去支持「所立宗」了。

故此，我们不能像「接续法那么」所要求的那样，预先放入一个不可能发生的事件〔即公式①中的分子N A ＋1〕。

在公式中如何表达？其解决方法：正如上面所施设的那样，将事件A 的总数量，由N A 改为N AE ，即可。

也确实是说，N AE 的数量〔其数量为N AE ＝N A ＋N E 〕，已包涵了一个同喻例子〔即N E ＝1〕。

假设从来没有经验过任何事件A 〔即N AE ＝0〕，自然就举不出任何事件A 的例子。

因此，「接续法那么」公式在右边的写法，便需要由原来的21++N N A ，改写为上面公式②的1～++AE AEAEN N N 了。

这确实是公式②所要表达的涵义了。

由此可见，拉普拉士的「接续法那么」公式，关于一些未经验过的理由〔即「三支比量」中的「因」支〕，是不能作出令人信服的计算。

〔这就牵涉到正态分布〔uniformdistribution 〕及主观概率〔subjectiveprobability 〕的问题，已超出了本文要讨论的范围，而近代学者亦已看到那个问题v [5]，并一直致力于将该公式改良。

〕相反，佛家因明〔特别是陈那因明〕却容许关于一些未经验过的理由，作出令人信服的计算〔例如，假设犯「不共不定因」过，其「逻辑真值」L.T.V.＝0%〕；因为，佛家因明的另一个功能，是猎取新知识，纵使最后得出的结果，其「逻辑真值」为0%〔如犯「不共不定因」过等〕，立、敌双方，也能受益于那个结论。

为了便于理解《探》文所施设的「逻辑真值的量化公式」与拉普拉士的「接续法那么」的关系，现在施设一简单图例去说明〔或参考拙著vi [6]〕：图二令 AE ＝〔M ∩P 〕的事件集合〔set 〕, ～AE ＝〔M ∩～P 〕的事件集合〔set 〕, N AE ＝N M ∩P , N ～AE ＝N M ∩～P ,N M ＝N M ∩P ＋N M ∩～P然后，代入公式②＝SP M PM PM N N N N ++⋂⋂⋂～S N ＞0─③＝SM PM N N N +⋂S N ＞0────④＝「后二相因」的「逻辑真值」〔T.V.〕S = Sample,样本M = Matched Reason, 配对理由 P = Population , 族群E = Event or Example, 事件、事例换言之，贝叶斯学派的拉普拉士〔Laplace 〕的「接续法那么」〔Ruleofsuccession 〕，即是《探》文vii [7][所施设的「后二相因」的「T.V.」公式。

或言，在满足了〔fulfilled 〕「第一相因」〔1st condition 〕下，即N S ＝N S ∩M ，其「所立宗」的「T.V.」：＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋂S M S N N ×⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋂⋂⋂S P M PM PM N N NN ～S N ＞0 ＝(1)×⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⋂⋂⋂S P M PM PM N N NN ～∵N S ＝N S ∩M 〔满足「第一相因」〕＝「所立宗」的「逻辑真值」〔T.V.〕这确实是《探》文所施设的「逻辑真值的量化公式」！由此可知，《探》文所施设的「逻辑真值的量化」公式，同样能够提供的「接续法那么」〔Ruleofsuccession 〕所需要的讯息及答案。

在文中，能够见到该公式，事实上已包涵了贝叶斯学派的「接续法那么」；而「逻辑真值的量化」公式的应用范围，比贝叶斯学派的「接续法那么」更广，因为，「接续法那么」不能处理从未经验过的事件。

3.「因明逻辑真值的量化公式」与「贝尔斯法那么」〔Bayesrule 〕在此部分，将尝试证明《探》文所施设的「逻辑真值的量化公式」，其背后理念，是与「贝尔斯法那么」相契合的。

至于考察的方法，将与上第二部分无异，即是检查它能否提供「贝尔斯法那么」所能提供的讯息及答案。