九年级下册数学知识树[1]
九年级下册数学知识点归纳大全
九年级下册数学知识点归纳大全一、代数1.一次函数一次函数是指数为一的函数，通常表示为y = kx + b的形式，其中k是斜率，b是截距。
学生需要掌握一次函数的图像、斜率和截距的意义以及如何根据函数关系式绘制函数图像等知识。
2.二次函数二次函数是指数为二的函数，一般表示为y = ax² + bx + c的形式。
学生需要了解二次函数的图像、顶点坐标、开口方向、导数为零点等概念，以及二次函数与一次函数的关系、二次函数的变形和平移等知识。
3.多项式多项式是由常数项、一次项、二次项等有限个单项式相加得到的代数式。
学生需要了解多项式的基本运算、多项式的乘法公式、多项式的因式分解以及根据题目中的条件列方程等相关内容。
4.方程与不等式学生需要掌握一元一次方程、一元二次方程、一元一次不等式、一元二次不等式以及方程和不等式的解法、应用等内容，同时还需要了解方程组、不等式组和绝对值方程、绝对值不等式等知识。
5.实数学生需要掌握实数的性质、实数的大小比较、实数的乘方与开方、实数的运算、实数的应用等内容。
二、几何1.平面直角坐标系学生需要了解平面直角坐标系的基本概念、平面点坐标、平面直角坐标系中点的坐标、距离公式、中点公式、斜率公式等知识。
2.图形的性质学生需要掌握直线的性质、三角形的性质、四边形的性质以及多边形的性质，包括各种图形的角的性质、边的性质、对称性质、相似性质等内容。
学生需要了解圆的基本概念、圆的元素、圆的性质、圆的方程、切线和割线的性质、圆周角和弦长的关系以及圆与直线、圆与圆的位置关系等知识。
4.空间图形学生需要掌握立体图形的视图、投影、截面等基本概念，理解立体图形的表面积和体积等内容。
5.三角形学生需要了解三角形的基本概念、三角形的分类、三角形的内角和外角性质、三角形的周长和面积等知识。
三、概率与统计1.概率学生需要了解随机事件、概率的基本概念、概率的计算方法、互斥事件和对立事件、独立事件和相关事件、概率模型、概率分布等相关内容。
九年级下册数学知识点总结
九年级下册数学知识点总结在九年级下册的数学学习中，我们学习了许多重要的知识点，对数学的理解也更加深入。
下面就来总结一下这些知识点，希望能够帮助大家复习和回顾。
一、代数部分1. 一次函数一次函数是一种形式简单的函数，其图像是一条直线。
我们需要掌握一次函数的性质、图像和相关题型的解题方法。
2. 二次函数二次函数是一种常见的函数类型，其图像是抛物线。
我们需要了解二次函数的顶点、对称轴、零点等重要概念，并能够灵活运用。
3. 不等式不等式是数学中常见的一种关系式，我们需要学会解不等式、绘制不等式的图像以及应用不等式进行实际问题的解决。
4. 方程方程是数学中重要的内容，包括一元一次方程、一元二次方程等，我们需要熟练掌握解方程的方法和技巧。
二、几何部分1. 相似与全等三角形相似与全等三角形是几何中的重要概念，我们需要了解它们的性质、判定方法，并能够灵活运用。
2. 圆与圆的位置关系圆是几何中重要的图形，我们需要了解圆的性质、切线定理、相交定理等内容。
3. 空间几何在空间几何中，我们需要掌握直线与平面的位置关系、直线与直线的位置关系等内容，能够熟练解答相关问题。
三、概率统计1. 概率概率是数学中的一门重要知识，我们需要了解基本概率原理、事件的互斥与独立等概念，能够灵活运用于实际问题。
2. 统计统计是对数据进行整理、分析和解释的过程，我们需要了解频数、频率、中位数、众数等统计概念，能够进行数据的分析和统计。
通过这篇文章的总结，我们再次回顾了九年级下册数学的重要知识点，相信对大家的复习和提高有所帮助。
希望大家能够在考试中取得优异的成绩，更好地掌握数学知识，为将来的学习打下坚实的基础。
九年级数学下册知识点总结（最新最全）
九年级数学下册知识点总结（最新最全）九年级下册知识点第一章直角三角形边的关系1、正切：定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA=∠A的对边/∠A的邻边。
①tanA是一个完整的符号，它表示∠A的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”；②tanA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A的对边与邻边的比；③tanA不表示“tan”乘以“A”；④tanA的值越大，梯子越陡，∠A越大；∠A越大，梯子越陡，tanA的值越大。
（P1-6,11、P3-6、P4-12）2、正弦：定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA=∠A的对边/斜边；3、余弦：定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA=∠A的邻边/斜边；4、余切：定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA，即cotA=∠A的邻边/∠A的对边；5、一个锐角的正弦、余弦、正切、余切分别等于它的余角的余弦、正弦、余切、正切。
（通常我们称正弦、余弦互为余函数。
同样，也称正切、余切互为余函数，可以概括为：一个锐角的三角函数等于它的余角的余函数）用等式表达：若∠A为锐角，则①sinA=cos(90°?∠A）等等。
6、记住特殊角的三角函数值表0°，30°，45°，60°，90°。
（P4-13、P5-15,16、P10-11、P12-3）7、当角度在0°～90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值、余切值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。
0≤sinα≤1，0≤cosα≤1。
同角的三角函数间的关系：tαnα·cotα=1，tanα=sinα/cosα，cotα=cosα/sinα，sin2α+cos2α=18、在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：（1）三边之间的关系：a2+b2=c2；（2)两锐角的关系：∠A＋∠B=90°；（3)边与角之间的关系：sinα等；（4）面积公式；（5）直角三角形△ABC内接圆⊙O的半径为(a+b-c)/2；（6）直角三角形△ABC外接圆⊙O的半径为c/2。
九年级下册数学知识点归纳
九年级下册数学知识点归纳九年级下册数学知识点包括但不限于：1. 一元二次方程：一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的方程。
它是整式方程，未知数的最高次数是二次，只含有一个未知数，且二次项系数不为零。
一元二次方程的一般形式是按降幂排列，二次项系数通常为正，右端为零。
一元二次方程的根可以通过代入法求解，也可以通过配方法、公式法和因式分解法求解。
2. 三角函数：三角函数是数学中的基本概念，用于描述角度和边的关系。
主要涉及正弦、余弦、正切等概念。
3. 圆：圆是一种几何图形，由一个点固定到平面上，以该点为圆心的一系列点的集合构成。
圆的基本性质、圆的周长和面积公式也是学习的重点。
4. 统计与概率：统计与概率是研究数据收集、整理、分析和推断的科学。
其中涉及到的知识点包括数据的收集和整理、平均数、中位数、众数、方差、概率等概念。
5. 二次函数：二次函数是形如y = ax^2 + bx + c (a ≠ 0) 的函数。
它的图像是一个抛物线，其性质和图像也是学习的重点。
6. 分式与根式：分式与根式是代数中的基本概念，分式主要涉及分数的约分、通分、最简公分母等知识点；根式主要涉及根号的运算性质和运算法则等知识点。
7. 平面直角坐标系：平面直角坐标系是用于描述二维平面中点位置的数学工具。
通过坐标系，可以确定平面上的任何一个点的位置。
8. 函数及其图像：函数是描述两个变量之间关系的数学工具。
函数的图像则是函数在平面上的表现形式。
对于一次函数、反比例函数、二次函数等不同类型的函数，需要掌握它们的图像和性质。
9. 几何证明：几何证明是九年级下册数学中的一个重要知识点，涉及到的证明方法包括演绎法、归纳法等。
证明的对象包括线段的相等、角的相等、垂直平分线的性质等。
10. 锐角三角函数：锐角三角函数是用于描述锐角中边和角关系的数学工具，主要涉及正弦、余弦、正切等概念。
在学习过程中，需要掌握锐角三角函数的定义、性质和计算方法。
九年级下册数学知识树
九年级数学下册
1
12
28锐角三角函数 26二次函数 17 反比例函数 12 14一次函数 9不等式与不等式
22一元一次方程
9不等式与不等式 8二元一次方程 3 一元一次方程
13 27相似 18勾股定理 11全等三角形 23旋转 12轴对称
方程与不等式
数与式
1 有理数 2 整式的加减 13实数 15整式的乘除与因式分解
1、注意联系实际。 1、要注意加强与实际的联系。 2、注意渗透数学思想方法。 2、注意加强知识间的纵向联系。 3、注意数形结合，自然体现数与形 之间的联系。
3、注意培养推理论证能力。
相似 二次函数
1、注重探索结论。
如对于锐角三角函数的概念，教科书是利 锐角三角 用学生对直角三角形的认识以及相似三角 函数 形的有关知识引入的，结合几何图形来定 义锐角三角函数的概念，将数形结合起来 投影与视图 ，有利于学生理解 锐角三角函数的本质。 教学建议
7
二、说教材
3、编排特点
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一、加强与实际的联系
如“二次函数”一章，引言中选取正方体表面积、物体自由下落、喷水等问题展示这种关系，在介绍 二次函数的图象和性质时也穿插安排了一些实际问题，如修建喷水池时确定水管长度的问题，用总长 一定的篱笆围成最大矩形场地的问题。 “相似”一章，通过生活中大量的实例引入相似图形、位似图形的概念，例习题中也有许多应用 相似图形知识的实例，还专门安排了“相似三角形应用举例”问题。 “二次函数”一章中，一般二次函数的图象和性质是从最简单的二次函数出发逐步深入地探讨 “锐角三角函数”一章，在引言中利用确定山坡上所铺设的水管的长度问题引出正弦函数，结合 如如 “二次函数”一章，在研究“二次函数”这一数学模型时，一直渗透着“数形结合”的思想和方法。 的，这样循序渐进的安排，力图使学生不仅学到二次函数的有关知识，而且在知识的学习过程中不 使用梯子攀登墙面问题引出解直角三角形的概念和方法等；教科书中还利用背景丰富有趣的四个实际 “相似”一章，本章主要涉及的数学思想方法有类比的方法，转化的方法等，在讨论相似的相关 断提高学习的能力。 问题，从不同的角度展示了解直角三角形在实际中的广泛应用。 内容时，注意和全等的知识作类比。在证明三角形的判定定理时，通过作全等三角形，把要证明问题转 “相似”一章，教科书编写时，注意突出图形性质的探索过程，重视直观操作和逻辑推理的 “投影与视图”一章，教科书在引出投影、平行投影、正投影等概念时，利用了在日光或灯光下 化为我们已经解决的问题。 有机结合。 物体的影子，举出皮影戏、日晷、探照灯、普通灯泡等实例；在归纳正投影规律时，教科书先后结合 “锐角三角函数”一章，第27章“相似”为本章研究锐角三角函数打下基础，因此，锐角三角函数 “锐角三角函数”一章，通过设置“观察”“思考”“讨论”“探究”“归纳”等栏目来扩大 铁丝、正方形纸板和正方形模型的例子。 的内容与相似三角形是密切联系的。 学生探索交流的空间，发展学生的思维能力。 “投影与视图”一章，对于锐角三角函数的概念，教科书是利用学生对直角三角形的认识以及相似 “投影与视图”一章，教科书在编写中先后安排了“由物画图”和“由图想物”两类问题，从 三角形的有关知识引入的，结合几何图形来定义锐角三角函数的概念，将数形结合起来，有利于学生理 不同角度加强对于空间想象能力的培养。 如 “二次函数”一章，通过探讨二次函数与一元二次方程的关系，再次展示函数与方程的联系。这样 解锐角三角函数的概念。 安排一方面可以深化学生对一元二次方程的认识，另一方面又可以运用一元二次方程解决二次函数的有 关问题。 “相似”一章，是在前面学习的全等的知识基础上的发展，从全等到相似，是一个从特殊到一般 的过程。 “锐角三角函数”一章，第27章“相似”为本章研究锐角三角函数打下基础，因此，锐角三角函数 的内容与相似三角形是密切联系的。 “投影与视图”一章，教科书在“三视图”中，从两方面反映平面图形与立体图形的联系。 9
人教版九年级数学下册全册中考知识点梳理(共27讲)
第一部分教材知识梳理·系统复习第一单元数与式第1讲实数第3讲分式第4讲二次根式第二单元方程(组)与不等式(组)第5讲一次方程(组)第6讲一元二次方程第7讲分式方程第8讲 一元一次不等式(组)知识点一：不等式及其基本性质关键点拨及对应举例 1.不等式的相关概念（1）不等式：用不等号(＞，≥，＜，≤或≠)表示不等关系的式子. （2）不等式的解：使不等式成立的未知数的值.（3）不等式的解集：使不等式成立的未知数的取值范围.例：“a 与b 的差不大于1”用不等式表示为a －b≤1. 2.不等式的基本性质 性质1：若a ＞b,则 a ±c >b ±c ；性质2：若a ＞b,c >0，则ac >bc ，a c >b c ；性质3：若a ＞b,c <0，则ac <bc ，a c <b c. 牢记不等式性质3，注意变号. 如：在不等式－2x ＞4中，若将不等式两边同时除以－2，可得x ＜2.知识点二 ：一元一次不等式3.定义用不等号连接，含有一个未知数，并且含有未知数项的次数都是1的，左右两边为整式的式子叫做一元一次不等式. 例：若230m mx ++>是关于x 的一元一次不等式，则m 的值为-1. 4.解法（1）步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；系数化为1.失分点警示系数化为1时，注意系数的正负性，若系数是负数，则不等式改变方向.（2）解集在数轴上表示:x ≥a x ＞a x ≤a x ＜a知识点三 ：一元一次不等式组的定义及其解法5.定义 由几个含有同一个未知数的一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组．（1）在表示解集时“≥”，“≤”表示含有，要用实心圆点表示；“＜”，“＞”表示不包含要用空心圆点表示． （2）已知不等式（组）的解集情况，求字母系数时，一般先视字母系数为常数，再逆用不等式（组）解集的定义，反推出含字母的方程，最后求出字母的值.如：已知不等式（a-1）x ＜1-a的解集是x ＞-1，则a 的取值范围是a ＜1.6.解法先分别求出各个不等式的解集，再求出各个解集的公共部分7.不等式组解集的类型假设a ＜b 解集 数轴表示 口诀x a x b ≥⎧⎨≥⎩ x ≥b 大大取大 x a x b≤⎧⎨≤⎩ x ≤a 小小取小 x a x b≥⎧⎨≤⎩ a ≤x ≤b 大小，小大中间找 x a x b≤⎧⎨≥⎩ 无解 大大，小小取不了 知识点四 ：列不等式解决简单的实际问题8.列不等式解应用题（1）一般步骤：审题；设未知数；找出不等式关系；列不等式；解不等式；验检是否有意义.（2）应用不等式解决问题的情况：a.关键词：含有“至少（≥）”、“最多（≤）”、“不低于（≥）”、“不高于（≤）”、“不大（小）于”、“超过（＞）”、“不足（＜）”等； b.隐含不等关系：如“更省钱”、“更划算”等方案决策问题，一般还需根据整数解，得出最佳方案注意：列不等式解决实际问题中，设未知数时，不应带“至少”、“最多”等字眼，与方程中设未知数一致.第9讲 平面直角坐标系与函数知识点一：平面直角坐标系关键点拨及对应举例1.相关概念（1）定义：在平面内有公共原点且互相垂直的两条数轴构成平面直角坐标系． （2）几何意义：坐标平面内任意一点M 与有序实数对(x ，y )的关系是一一对应． 点的坐标先读横坐标(x 轴)，再读纵坐标(y 轴).2.点的坐标特征( 1 )各象限内点的坐标的符号特征（如图所示）： 点P (x,y)在第一象限⇔x ＞0，y ＞0； 点P (x,y)在第二象限⇔x ＜0，y ＞0； 点P （x,y ）在第三象限⇔x ＜0，y ＜0； 点P （x,y ）在第四象限⇔x ＞0，y ＜0.（2）坐标轴上点的坐标特征： ①在横轴上⇔y ＝0；②在纵轴上⇔x ＝0；③原点⇔x＝0，y ＝0.（3）各象限角平分线上点的坐标①第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等；②第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数（4）点P （a ,b ）的对称点的坐标特征：①关于x 轴对称的点P 1的坐标为(a ，－b )；②关于y 轴对称的点P 2的坐标为(－a ，b )； ③关于原点对称的点P 3的坐标为(－a ，－b )．（5）点M （x,y ）平移的坐标特征：M （x,y ） M 1(x+a ,y ) M 2(x+a ,y+b )（1）坐标轴上的点不属于任何象限. （2）平面直角坐标系中图形的平移，图形上所有点的坐标变化情况相同. （3）平面直角坐标系中求图形面积时，先观察所求图形是否为规则图形，若是，再进一步寻找求这个图形面积的因素，若找不到，就要借助割补法，割补法的主要秘诀是过点向x 轴、y 轴作垂线，从而将其割补成可以直接计算面积的图形来解决. 3.坐标点的距离问题（1）点M(a,b)到x 轴，y 轴的距离：到x 轴的距离为|b |；)到y 轴的距离为|a |．（2）平行于x 轴，y 轴直线上的两点间的距离：点M 1(x 1,0)，M 2(x 2,0)之间的距离为|x 1－x 2|，点M 1(x 1，y )，M 2(x 2，y )间的距离为|x 1－x 2|；点M 1(0，y 1)，M 2(0，y 2)间的距离为|y 1－y 2|，点M 1(x ，y 1)，M 2(x ，y 2)间的距离为|y 1－y 2|．平行于x 轴的直线上的点纵坐标相等；平行于y 轴的直线上的点的横坐标相等.知识点二：函 数4.函数的相关概念（1）常量、变量：在一个变化过程中，数值始终不变的量叫做常量，数值发生变化的量叫做变量．（2）函数：在一个变化过程中，有两个变量x 和y ，对于x 的每一个值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么就称x 是自变量，y 是x 的函数．函数的表示方法有：列表法、图像法、解析法.（3）函数自变量的取值范围：一般原则为：整式为全体实数；分式的分母不为零；二次根式的被开方数为非负数；使实际问题有意义．失分点警示函数解析式，同时有几个代数式，函数自变量的取值范围应是各个代数式中自变量的公共部分. 例：函数y=35x x +-中自变量的取值范围是x ≥-3且x ≠5. 5.函数的图象 （1）分析实际问题判断函数图象的方法：①找起点：结合题干中所给自变量及因变量的取值范围，对应到图象中找对应点； ②找特殊点：即交点或转折点，说明图象在此点处将发生变化；③判断图象趋势：判断出函数的增减性，图象的倾斜方向.（2）以几何图形（动点）为背景判断函数图象的方法： ①设时间为t （或线段长为x ），找因变量与t(或x)之间存在的函数关系，用含t(或x)的式子表示， 再找相应的函数图象.要注意是否需要分类讨论自变量的取值范围.读取函数图象增减性的技巧：①当函数图象从左到右呈“上升”（“下降”）状态时，函数y 随x 的增大而增大（减小）；②函数值变化越大，图象越陡峭；③当函数y 值始终是同一个常数，那么在这个区间上的函数图象是一条平行于x 轴的线段.第10讲 一次函数知识点一 ：一次函数的概念及其图象、性质关键点拨与对应举例1.一次函数的相关概念 （1）概念：一般来说，形如y ＝kx ＋b (k ≠0)的函数叫做一次函数．特别地，当b ＝0时，称为正比例函数．（2）图象形状：一次函数y ＝kx ＋b 是一条经过点（0,b ）和（-b/k ,0）的直线.特别地，正比例函数y ＝kx 的图象是一条恒经过点（0,0）的直线.例：当k ＝1时，函数y ＝kx ＋k －1是正比例函数,2.一次函数k ，b K ＞0， K ＞0， K ＞0，b=0 k <0， k <0， k <0，（1）一次函数y=kx+b 中，k 确定xy第四象限(＋，－)第三象限 (－，－)第二象限 (－，＋)第一象限 (＋，＋)–1–2–3123–1–2–3123O的性质 符号 b ＞0 b ＜0b >0b <0 b ＝0了倾斜方向和倾斜程度，b 确定了与y 轴交点的位置.（2）比较两个一次函数函数值的大小：性质法，借助函数的图象，也可以运用数值代入法. 例：已知函数y =－2x ＋b ，函数值y 随x 的增大而减小(填“增大”或“减小”)．大致 图象经过象限 一、二、三 一、三、四 一、三 一、二、四 二、三、四 二、四 图象性质y 随x 的增大而增大 y 随x 的增大而减小 3.一次函数与坐标轴交点坐标(1)交点坐标：求一次函数与x 轴的交点，只需令y=0,解出x 即可；求与y 轴的交点，只需令x=0,求出y 即可.故一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象与x 轴的交点是⎝⎛⎭⎫－b k ，0，与y 轴的交点是(0，b )；(2)正比例函数y ＝kx (k ≠0)的图象恒过点(0，0)．例：一次函数y ＝x ＋2与x 轴交点的坐标是（-2,0），与y 轴交点的坐标是（0,2）. 知识点二 ：确定一次函数的表达式4.确定一次函数表达式的条件（1）常用方法：待定系数法，其一般步骤为： ①设：设函数表达式为y ＝kx ＋b (k ≠0)； ②代：将已知点的坐标代入函数表达式，解方程或方程组； ③解：求出k 与b 的值，得到函数表达式． （2）常见类型：①已知两点确定表达式；②已知两对函数对应值确定表达式； ③平移转化型：如已知函数是由y=2x 平移所得到的，且经过点（0,1），则可设要求函数的解析式为y=2x+b,再把点（0,1）的坐标代入即可.(1)确定一次函数的表达式需要两组条件，而确定正比例函数的表达式，只需一组条件即可. (2)只要给出一次函数与y 轴交点坐标即可得出b 的值,b 值为其纵坐标，可快速解题. 如:已知一次函数经过点（0,2），则可知b=2. 5.一次函数图象的平移 规律：①一次函数图象平移前后k 不变，或两条直线可以通过平移得到，则可知它们的k 值相同.②若向上平移h 单位，则b 值增大h ；若向下平移h 单位，则b 值减小h. 例：将一次函数y=-2x+4的图象向下平移2个单位长度，所得图象的函数关系式为y=-2x+2．知识点三 ：一次函数与方程（组）、不等式的关系6.一次函数与方程一元一次方程kx+b=0的根就是一次函数y=kx+b （k 、b 是常数，k ≠0）的图象与x 轴交点的横坐标.例：（1）已知关于x 的方程ax+b=0的解为x=1,则函数y=ax+b 与x 轴的交点坐标为（1,0）. （2）一次函数y=-3x+12中，当x＞4时，y 的值为负数．7.一次函数与方程组二元一次方程组 的解⇔两个一次函数y=k 1x+b 和y=k 2x+b 图象的交点坐标. 8.一次函数与不等式 （1）函数y=kx+b 的函数值y ＞0时，自变量x 的取值范围就是不等式kx+b ＞0的解集（2）函数y=kx+b 的函数值y ＜0时，自变量x 的取值范围就是不等式kx+b ＜0的解集知识点四 ：一次函数的实际应用9.一般步骤 （1）设出实际问题中的变量；（2）建立一次函数关系式； （3）利用待定系数法求出一次函数关系式； （4）确定自变量的取值范围； （5）利用一次函数的性质求相应的值，对所求的值进行检验，是否符合实际意义； （6）做答.一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的限制，其图象为射线或线段.涉及最值问题的一般思路：确定函数表达式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值.10.常见题型（1）求一次函数的解析式.（2）利用一次函数的性质解决方案问题.第11讲 反比例函数的图象和性质知识点一：反比例函数的概念及其图象、性质关键点拨与对应举例y=k 2x+by=k 1x+b1.反比例函数的概念（1）定义：形如y＝kx(k≠0)的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量的取值范围是非零的一切实数．（2）形式：反比例函数有以下三种基本形式：①y＝kx；②y=kx-1; ③xy=k.(其中k为常数，且k≠0)例：函数y=3x m+1，当m=－2时，则该函数是反比例函数．2.反比例函数的图象和性质k的符号图象经过象限y随x变化的情况（1）判断点是否在反比例函数图象上的方法：①把点的横、纵坐标代入看是否满足其解析式；②把点的横、纵坐标相乘，判断其乘积是否等于k.失分点警示（2）反比例函数值大小的比较时，首先要判断自变量的取值是否同号，即是否在同一个象限内，若不在则不能运用性质进行比较，可以画出草图，直观地判断.k>0 图象经过第一、三象限（x、y同号）每个象限内，函数y的值随x的增大而减小.k<0 图象经过第二、四象限（x、y异号）每个象限内，函数y的值随x的增大而增大.3.反比例函数的图象特征（1）由两条曲线组成，叫做双曲线；（2）图象的两个分支都无限接近x轴和y轴，但都不会与x轴和y轴相交；（3）图象是中心对称图形，原点为对称中心；也是轴对称图形，2条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限和二、四象限的角平分线．例：若(a，b)在反比例函数kyx=的图象上，则(－a，－b)在该函数图象上.(填“在"、"不在")4.待定系数法只需要知道双曲线上任意一点坐标，设函数解析式，代入求出反比例函数系数k即可.例：已知反比例函数图象过点（－3，－1），则它的解析式是y=3/x.知识点二：反比例系数的几何意义及与一次函数的综合5.系数k的几何意义（1）意义：从反比例函数y＝kx(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为1/2|k|.（2）常见的面积类型：失分点警示已知相关面积，求反比例函数的表达式，注意若函数图象在第二、四象限，则k＜0.例：已知反比例函数图象上任一点作坐标轴的垂线所围成矩形为3，则该反比例函数解析式为：3yx=或3yx=-.6.与一次函数的综合（1）确定交点坐标：【方法一】已知一个交点坐标为（a,b），则根据中心对称性，可得另一个交点坐标为（-a,-b）.【方法二】联立两个函数解析式，利用方程思想求解.（2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数解析式中求解（3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法，分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可.也可逐一选项判断、排除.（4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围.涉及与面积有关的问题时，①要善于把点的横、纵坐标转化为图形的边长，对于不好直接求的面积往往可分割转化为较好求的三角形面积；②也要注意系数k的几何意义.例：如图所示，三个阴影部分的面积按从小到大的顺序排列为：S△AOC=S△OPE＞S△BOD.知识点三：反比例函数的实际应用7.一般步骤（1题意找出自变量与因变量之间的乘积关系；（2设出函数表达式；（3）依题意求解函数表达式；（4）根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题.第12讲二次函数的图象与性质知识点一：二次函数的概念及解析式关键点拨与对应举例13讲二次函数的应用第第四单元图形的初步认识与三角形第14讲平面图形与相交线、平行线第15讲一般三角形及其性质5. 三角形中内、外角与角平分线的规律总结如图①，AD 平分∠BAC ，AE ⊥BC ，则∠α=12∠BAC-∠CAE=12(180°-∠B-∠C ）-（90°-∠C ）=12(∠C-∠B ）； 如图②，BO 、CO 分别是∠ABC 、∠ACB 的平分线，则有∠O=12∠A+90°；如图③，BO 、CO 分别为∠ABC 、∠ACD 、∠OCD 的平分线，则∠O=12∠A ，∠O ’=12∠O ；如图④，BO 、CO 分别为∠CBD 、∠BCE 的平分线，则∠O=90°-12∠A.对于解答选择、填空题，可以直接通过结论解题，会起到事半功倍的效果.知识点二 ：三角形全等的性质与判定6.全等三角形的性质(1)全等三角形的对应边、对应角相等．(2)全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等．(3)全等三角形的周长等、面积等． 失分点警示：运用全等三角形的性质时，要注意找准对应边与对应角.7.三角形全等的判定一般三角形全等SSS （三边对应相等）SAS （两边和它们的夹角对应相等）ASA （两角和它们的夹角对应相等）AAS （两角和其中一个角的对边对应相等）失分点警示如图，SSA 和AAA 不能判定两个三角形全等.直角三角形全等(1)斜边和一条直角边对应相等（HL ）(2)证明两个直角三角形全等同样可以用 SAS,ASA 和AAS.8.全等三角形的运用（1）利用全等证明角、边相等或求线段长、求角度：将特征的边或角放到两个全等的三角形中，通过证明全等得到结论.在寻求全等的条件时，注意公共角、公共边、对顶角等银行条件. （2）全等三角形中的辅助线的作法：①直接连接法：如图①，连接公共边，构造全等.②倍长中线法：用于证明线段的不等关系，如图②，由SAS 可得△ACD ≌△EBD ，则AC=BE.在△ABE 中，AB+BE ＞AE ，即AB+AC ＞2AD. ③截长补短法：适合证明线段的和差关系，如图③、④.例：如图，在△ABC 中，已知∠1=∠2，BE=CD ，AB=5，AE=2，则CE=3.第16讲 等腰、等边及直角三角形知识点一：等腰和等边三角形关键点拨与对应举例1.等腰三角形（1）性质①等边对等角：两腰相等，底角相等，即AB ＝AC ∠B ＝∠C ； ②三线合一：顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合;③对称性：等腰三角形是轴对称图形，直线AD 是对称轴. （2）判定①定义：有两边相等的三角形是等腰三角形；②等角对等边：即若∠B ＝∠C ，则△ABC 是等腰三角形.（1）三角形中“垂线、角平分线、中线、等腰”四个条件中，只要满足其中两个，其余均成立. 如：如左图，已知AD ⊥BC,D 为BC 的中点，则三角形的形状是等腰三角形.失分点警示：当等腰三角形的腰和底不明确时，需分类讨论. 如若等腰三角形ABC 的一个内角为30°，则另外两个角的度数为30°、120°或75°、75°.2.等边三角形 （1）性质①边角关系：三边相等，三角都相等且都等于60°. 即AB ＝BC ＝AC ，∠BAC ＝∠B ＝∠C ＝60°； ②对称性：等边三角形是轴对称图形，三条高线(或角平分线或中线)所在的直线是对称轴. （2）判定①定义：三边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等（均为60°）的三角形是等边三角形；③任一内角为60°的等腰三角形是等边三角形.即若AB ＝AC ，且∠B ＝60°，则△ABC 是等边三角形. （1）等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等边三角形也满足“三线合一”的性质.（2）等边三角形有一个特殊的角60°，所以当等边三角形出现高时，会结合直角三角形30°角的性质，即BD=1/2AB.例：△ABC 中，∠B=60°，AB=AC ，BC=3，则△ABC 的周长为9.知识点二 ：角平分线和垂直平分线3.角平分线 （1）性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．即若∠1 ＝∠2，PA ⊥OA ，PB ⊥OB ，则PA ＝PB. （2）判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角平分线上．例：如图，△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB 的垂直平分线交AC 于D ，交AB 于E ，CD=2，则AC=6.4.垂直平分线图形 （1）性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点距离相等．即若OP 垂直且平分AB ，则PA ＝PB.（2）判定：到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 知识点三：直角三角形的判定与性质5.直角三角形的性质(1)两锐角互余.即∠A ＋∠B ＝90°； (2) 30°角所对的直角边等于斜边的一半.即若∠B ＝30°则AC ＝12AB ；(3)斜边上的中线长等于斜边长的一半．即若CD 是中线，则CD ＝12AB. (4)勾股定理：两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方．即 a 2＋b 2＝c 2 .（1）直角三角形的面积S=1/2ch=1/2ab(其中a,b 为直角边，c 为斜边，h 是斜边上的高)，可以利用这一公式借助面积这个中间量解决与高相关的求长度问题.（2）已知两边，利用勾股定理求长度，若斜边不明确，应分类讨论.（3）在折叠问题中，求长度，往往需要结合勾股定理来列方程解决.6.直角三角形的判定 (1) 有一个角是直角的三角形是直角三角形.即若∠C ＝90°，则△ABC 是Rt △； (2) 如果三角形一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．即若AD ＝BD ＝CD ，则△ABC 是Rt △(3) 勾股定理的逆定理：若a 2＋b 2＝c 2，则△ABC 是Rt △.第17讲 相似三角形十六、 知识清单梳理知识点一：比例线段关键点拨与对应举例21P COBAPC OBAD ABCa bc DABCa bc1. 比例线段 在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即a cb d=，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段．列比例等式时，注意四条线段的大小顺序，防止出现比例混乱.2.比例的基本性质(1)基本性质：a cb d=⇔ ad ＝bc ；（b 、d ≠0）(2)合比性质：a c b d =⇔a b b ±＝c dd ±；（b 、d ≠0） (3)等比性质：a cb d =＝…＝mn＝k (b ＋d ＋…＋n ≠0)⇔ ......a c mb d n++++++＝k .（b 、d 、···、n ≠0）已知比例式的值，求相关字母代数式的值，常用引入参数法，将所有的量都统一用含同一个参数的式子表示，再求代数式的值，也可以用给出的字母中 的一个表示出其他的字母，再代入求解.如下题可设a=3k,b=5k ,再代入所求式子，也可以把原式变形得a=3/5b 代入求解. 例：若35a b =，则a b b+=85.3.平行线分线段成比例定理（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线 段成比例.即如图所示，若l 3∥l 4∥l 5，则AB DEBC EF=. 利用平行线所截线段成比例求线段长或线段比时，注意根据图形列出比例等式，灵活运用比例基本性质求解. 例：如图，已知D ，E 分别是△ABC 的边BC 和AC 上的点，AE=2，CE=3，要使DE ∥AB ，那么BC ：CD 应等于53.（2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长 线)，所得的对应线段成比例.即如图所示，若AB ∥CD ，则OA OBOD OC =. （3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似．如图所示，若DE ∥BC ，则△ADE ∽△ABC.4.黄金分割点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果ACAB＝=5－12≈0.618，那么线段AB 被点C 黄金分割．其中点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比．例：把长为10cm 的线段进行黄金分割，那么较长线段长为5(5－1)cm ．知识点二 ：相似三角形的性质与判定5.相似三角形的判定(1) 两角对应相等的两个三角形相似(AAA).如图，若∠A ＝∠D ，∠B ＝∠E ，则△ABC ∽△DEF.判定三角形相似的思路：①条件中若有平行 线，可用平行线找出相等的角而判定；②条 件中若有一对等角，可再找一对等角或再找 夹这对等角的两组边对应成比例；③条件中 若有两边对应成比例可找夹角相等；④条件 中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证 明直角边和斜边对应成比例；⑤条件中若有 等腰关系，可找顶角相等或找一对底角相等 或找底、腰对应成比例.(2) 两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似． 如图，若∠A ＝∠D ，AC ABDF DE=，则△ABC ∽△DEF.(3) 三边对应成比例的两个三角形相似．如图，若AB AC BCDE DF EF==，则△ABC ∽△DEF. 6.相似三角形的性质(1)对应角相等，对应边成比例．(2)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方． (3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比．例：(1)已知△ABC∽△DEF，△ABC 的周长为3，△DEF 的周长为2，则△ABC 与△DEF 的面积之比为9：4.(2) 如图，DE ∥BC ， AF ⊥BC,已知S △ADE:S △ABC=1:4，则AF:AG =1：2.F E D CBA l 5l 4l 3l 2l 1ODCBAED CBAFE DC BAFE DC B AFE DC B A7.相似三角形的基本模型（1）熟悉利用利用相似求解问题的基本图形，可以迅速找到解题思路，事半功倍.（2）证明等积式或者比例式的一般方法：经常把等积式化为比例式，把比例式的四条线段分别看做两个三角形的对应边.然后，通过证明这两个三角形相似，从而得出结果.第18讲解直角三角形知识点一：锐角三角函数的定义关键点拨与对应举例1.锐角三角函数正弦: sin A＝∠A的对边斜边＝ac余弦: cos A＝∠A的邻边斜边＝bc正切: tan A＝∠A的对边∠A的邻边＝ab.根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.2.特殊角的三角函数值度数三角函数30°45°60°sinA122232 cosA322212 tanA331 3知识点二：解直角三角形3.解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．科学选择解直角三角形的方法口诀：已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切；已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢；已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦.例：在Rt△ABC中，已知a=5,sinA=30°，则c=10,b=5.4.解直角三角形的常用关系(1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2；(2)锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；(3)边角之间的关系：sin A＝=cosB=ac，cos A＝sinB=bc，tan A＝ab.知识点三：解直角三角形的应用5.仰角、俯角、坡度、坡角和方向(1)仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角．（如图①）(2)坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或者叫做坡比)，用字母i表示．坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用α表示，则有i＝tanα. （如图②）解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型：（1）叠合式（2）背靠式角(3)方向角：平面上，通过观察点Ο作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从点O 出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角．（如图③）解题方法：这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边，或通过公共边相等，列方程求解.6.解直角三角形实际应用的一般步骤 (1)弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型； (2)将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；(3)选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．第五单元 四边形第19讲 多边形与平行四边形知识点一：多边形关键点拨与对应举例 1.多边形的相关概念 （1）定义：在平面内，由一些段线首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形．（2）对角线：从n 边形的一个顶点可以引(n －3)条对角线，并且这些对角线把多边形分成了(n －2)个三角形；n 边形对角线条数为()32n n -． 多边形中求度数时，灵活选择公式求度数，解决多边形内角和问题时，多数列方程求解. 例：(1)若一个多边形的内角和为1440°，则这个多边形的边数为10．(2)从多边形的一个顶点出发引对角线，可以把这个多边形分割成7个三角形，则该多边形为九边形．2.多边形的内角和、外角和 ( 1 ) 内角和：n 边形内角和公式为(n －2)·180°（2）外角和：任意多边形的外角和为360°.3.正多边形（1）定义：各边相等，各角也相等的多边形.（2）正n 边形的每个内角为()2180n n -⋅，每一个外角为360°/n.( 3 ) 正n 边形有n 条对称轴.（4）对于正n 边形，当n 为奇数时，是轴对称图形；当n 为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形.知识点二 ：平行四边形的性质4.平行四边形的定义 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形用“□”表示.利用平行四边形的性质解题时的一些常用到的结论和方法： （1）平行四边形相邻两边之和等于周长的一半. （2）平行四边形中有相等的边、角和平行关系，所以经常需结合三角形全等来解题. （3）过平行四边形对5.平行四边形的性质（1） 边：两组对边分别平行且相等.即AB ∥CD 且AB ＝CD ，BC ∥AD 且AD ＝BC.（2）角：对角相等，邻角互补.即∠BAD ＝∠BCD ，∠ABC ＝∠ADC ， ∠ABC ＋∠BCD ＝180°，∠BAD ＋∠ADC ＝180°.（3）对角线：互相平分.即OA ＝OC ，OB ＝OD（4）对称性：中心对称但不是轴对称.ODCBA。
九年级下册数学知识点总结
九年级下册数学知识点总结九年级下册的数学学习内容较为广泛，涵盖了各个领域的知识点。
下面将对这些知识进行分类总结。
一、代数与函数1. 多项式的定义与运算：包括同类项的合并、多项式的加减乘除等基本运算。
2. 一元一次方程与一元一次不等式：学习如何解一元一次方程与不等式，并在实际问题中应用。
3. 二元一次方程组：通过消元法和代入法解决二元一次方程组。
4. 相交与平行线：学习如何利用角度关系解决相交与平行线的问题。
5. 函数的概念与性质：明确函数的定义，学习函数的图像、单调性、奇偶性等性质。
二、几何与图形1. 二次根式：学习二次根式的定义、性质以及运算法则。
2. 平面内直角坐标系：了解平面内直角坐标系的概念，学习直线和圆的方程。
3. 三角形：研究三角形的各类性质，包括三角形的分类、内角和、外角和等。
4. 圆的性质：学习圆的周长、面积、弧长等相关概念。
5. 相似与全等三角形：了解相似三角形和全等三角形的定义、判定及性质。
6. 平面向量：学习平面向量的定义、运算、共线性以及向量坐标。
7. 空间几何：研究直线与平面的位置关系，包括两条直线、一条直线和一个平面的交线等。
三、概率与统计1. 事件与概率：学习基本概念，包括事件的运算、概率的计算等。
2. 抽样与调查：了解抽样的方法和调查的过程，学习如何进行数据整理和分析。
四、数据与函数1. 数据的收集与整理：学习数据的收集方法以及如何用表格、图表等形式进行数据整理。
2. 平均数与比例：了解平均数的求法和应用，掌握比例的计算方法。
3. 线性函数：研究线性函数的性质，包括函数关系、函数图像以及相关的应用。
综上所述，九年级下册的数学知识点较为繁杂，涉及代数、几何、概率统计以及数据函数等多个方面。
学生在学习过程中，应注重基本概念的理解、方法的掌握，同时加强与实际问题的联系，灵活运用所学知识解决实际问题。
这将有助于提高数学学习的效果。
初中数学知识树图
对角等相等 性质
邻角互补判定
角
对角线 性质 对角线
互相平 判定
分
性质
等腰
判定
直角
正方形
轴对 旋转 称性 不变性
①③ 菱形
等圆 垂 对周 径 等角 定 定定 理 理理
空间与图形6-3
外心：是三边垂
直平 分线的交
点.
到三顶
点的距离相等锐
—形内；直—斜
圆 内边上圆上；钝圆外—形外
内心：是三角平 分线的交点. 到三边的距离相
用坐标表示 对称点的 旋转 坐标符号
三、教材内容
空间与图形6-5
对应点的坐标
两图形相似
到角两边 距离相等
比为k或-k
放大或缩 小图形
对应顶点的连线交于 一点对应边平行
点到角两
适用于
边 的距
直角三角
离相等
形
HL
性质
的点 判定
应用
用坐标表示 动
位似变换
应用
性质 特征
外位似 内位似
对应角相等， 对应边成比例， 周长的比=相似比
三、教材内容
空间与图形6-2
条件 定义
镶嵌
外角和
内角和 定义
内角和
外角的性质
等
表
边
定 义
示 方 法
要 素
对 等 角
三 线 合 一
概念
性质
多边形 及其 内角和
等腰三角形
有关的角 三角形
等 角 对 等 边
判定
等 边 三 角 形
特例
已知两 边求第
三边 应用
证明
弦图 毕达哥拉 斯苏菲尔
德
定理
内容
九年级数学下册知识点重点归纳
九年级数学下册知识点重点归纳数学作为一门关乎逻辑、推理和计算的学科，是学生们学习过程中的一大挑战。
在九年级数学下册中，学生们将进一步学习和掌握一些重要的数学知识点。
在这篇文章中，我们将对这些知识点进行重点归纳，以帮助同学们更好地理解和掌握它们。
一、平面直角坐标系和直线方程在九年级数学下册中，学生们将进一步学习平面直角坐标系和直线方程的相关知识。
平面直角坐标系由横轴x和纵轴y组成，可以用来表示平面上的点的位置。
直线方程可以通过给定的点和斜率或两个点的坐标来确定。
学生们需要掌握直线的斜率和截距的概念，以及如何根据这些信息来确定直线方程。
此外，学生们还需要学习如何通过两条直线的交点来确定它们的方程，并且能够利用直线方程解决与平面几何相关的问题。
二、图形的相似性与几何应用在九年级数学下册中，学生们将学习图形的相似性和与之相关的几何应用。
相似性是指两个图形在形状上保持比例关系。
学生们需要了解如何使用比例来判断两个图形是否相似，并且学会根据已知图形的顶点和比例因子来构造相似图形。
此外，学生们还需要学习如何计算相似图形之间的长度比例、面积比例以及体积比例。
这些概念在日常生活中有广泛的应用，例如在地图上测量距离、计算物体的体积等。
三、三角函数的基本概念与计算三角函数是九年级数学下册中的另一个重要知识点。
学生们将学习正弦、余弦和正切等三角函数的基本概念，以及如何计算它们的值。
在学习三角函数时，学生们需要了解单位圆上角度的表示方法，并且能够根据已知角的弧度值或角度值计算三角函数的值。
此外，学生们还需要掌握如何利用三角函数计算直角三角形中的各个边长和角度。
四、函数与方程的应用在九年级数学下册中，学生们将学习利用函数和方程解决实际问题的应用。
函数是一种能够将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的元素的规则。
学生们需要学习如何根据已知的函数关系式来构造函数图像，并且能够利用图像来解决与函数相关的问题。
此外，学生们还需掌握如何利用方程来解决实际问题，例如利用二次方程来解决抛物线的最值问题等。
初中数学知识树
初中数学知识树初中数学是数学学习的一个重要阶段，它为我们奠定了后续学习的基础。
对于初中数学的知识，我们可以将其组织成一个知识树，以便更好地理解和掌握。
知识树的构建可以从最基础的数学知识开始，逐步扩展到更高级的数学概念。
对于初中数学而言，我们可以将其分为以下几个主要部分：基本几何知识：直线、射线、线段、角度、面积、体积等平面几何图形：三角形、四边形、圆形、椭圆等及其性质立体几何图形：长方体、正方体、圆柱体、圆锥体等及其性质空间位置关系：点、线、面的位置关系，平行与垂直等数据收集与整理：图表、统计表、平均数、中位数、众数等概率与随机事件：概率计算、随机事件、排列组合等化归思想：将复杂问题转化为简单问题，将未知问题转化为已知问题数形结合思想：将数量关系和几何图形结合起来解决问题函数思想：用函数关系描述变量之间的关系，预测变化趋势等以上是初中数学知识树的主要内容，这些知识点之间有着密切的和相互渗透。
在学习的过程中，我们需要不断地将这些知识点进行比较、归纳和总结，以便更好地掌握初中数学的知识体系。
在数学学习的世界中，小学阶段是基础知识积累的关键时期。
这个阶段的学习，就像一棵扎根于土壤的大树，不断地吸收营养，壮大自己，等待着日后的茁壮成长。
这棵“小学数学知识树”便是对小学数学学习内容的形象比喻。
这棵大树主要由三个主要的树干组成，分别是“数与运算”、“几何与空间”以及“统计与概率”。
这些树干分别代表了数学学习的三大领域，它们交织在一起，形成了小学数学的知识结构。
“数与运算”是这棵大树的主干，它包括数的认识、数的比较、数的运算和简易方程等部分。
数的认识从整数开始，逐渐引入分数、小数、百分数等，帮助学生建立数的概念。
数的比较教学生如何比较大小，数的运算则教学生如何进行加减乘除等基本运算，以及如何解决生活中的简单数学问题。
简易方程则是初步引入了代数思维，为日后的数学学习打下基础。
“几何与空间”是这棵大树的一个主要分支，它包括图形的认识、测量、图形与变换和图形与位置等部分。
九年级下册数学重点知识点汇总
九年级下册数学重点知识点汇总在九年级下册的数学学习中，有许多重要的知识点需要我们掌握。
下面我将对这些知识点进行一个系统的总结，以便同学们更好地复习和巩固。
1. 代数：代数是数学中的一个重要分支，其中包括各种代数式、方程和不等式的求解。
在九年级下册，我们需要掌握以下知识点：- 代数式的展开与因式分解：掌握展开与合并同类项的方法，以及因式分解的技巧。
- 一元一次方程与一元一次不等式：能够熟练解一元一次方程和不等式，包括含有分数和小数的情况。
- 二元一次方程组的解法：掌握二元一次方程组的解法，可以通过消元、代入等方法求解未知数的值。
2. 几何：几何是数学中的另一个重要分支，主要研究空间形状、大小、位置等性质。
在九年级下册，我们需要重点掌握以下内容：- 三角形与四边形的性质：包括各种类型三角形和四边形的内角和、外角和、边长关系等。
- 圆的性质与圆的应用：了解圆的周长、面积计算方法，以及圆与直线、圆与多边形间的关系。
- 空间几何体的计算：熟练计算各种空间几何体（如圆柱、圆锥、球体）的表面积和体积。
3. 概率与统计：概率与统计是数学中的另一重要领域，主要研究随机事件的发生规律和数据的收集、整理、分析。
在九年级下册，我们需要了解以下方面：- 概率的基本概念与性质：掌握概率的定义、计算方法，以及事件间的互斥与独立性。
- 统计图的绘制与解读：能够绘制不同类型的统计图（如折线图、柱状图、饼图等），并从中获取信息。
- 统计参数的计算：了解数据的集中趋势（如平均数、中位数）、数据的离散程度（如方差、标准差）的计算方法。
通过对九年级下册数学的重点知识点进行系统的总结，相信同学们可以更好地理清思路，有针对性地进行复习。
希望大家认真学习，取得好成绩！。
九年级下册-数学知识点思维导图
九年级下册-数学知识点思维导图数学是一门既有规律又有思考的学科，对于九年级的学生来说，数学知识点的理解和掌握至关重要。
为了帮助同学们更好地学习数学，我们可以尝试使用思维导图的方式整理和总结九年级下册的数学知识点。
第一章相似与全等相似与全等是几何学中的重要概念，也是九年级下册数学的基础部分。
相似是指两个图形的形状和内角关系都相似，但是大小可以不同；全等是指两个图形的形状、大小和内角关系完全相同。
相似和全等的判断标准：比较两个图形的对应边长、对应角度是否相等，根据边长比例和角度判断是否相似或全等。
相似的性质：相似图形的对应角度相等，对应边长之比相等，对应边平行。
全等的性质：全等图形的对应边长相等，对应角度相等，对应边平行。
在应用中，我们可以根据相似和全等的性质解决实际问题，如计算建筑物的高度、计算三角形的面积等。
第二章平面向量平面向量是代数学在几何学中的重要应用，九年级下册所学习的平面向量是二维空间中的有方向和大小的箭头。
几何学中常用的平面向量是以有向线段的形式表示。
平面向量的加法：平面向量的加法满足交换律和结合律，即向量的加法不受顺序和分组的影响。
平面向量的数量积：数量积也被称为点积或内积，是平面向量间的一种运算。
数量积的定义有两种，分别是向量之积与向量夹角的余弦值。
平面向量的应用：平面向量的应用非常广泛，如力的合成、位移、速度、加速度、碰撞等，都可以通过平面向量来进行分析和计算。
第三章不等式与绝对值不等式在九年级下册数学中也有重要的地位，常用的不等式包括一元一次不等式、一元二次不等式、绝对值不等式等。
一元一次不等式：一元一次不等式是指未知数的最高次数为1的方程式。
解一元一次不等式的方法有图像法和符号法。
一元二次不等式：一元二次不等式是指未知数的最高次数为2的方程式。
解一元二次不等式的方法有图像法和符号法。
绝对值不等式：绝对值不等式是指带有绝对值符号的不等式。
解绝对值不等式可以根据绝对值的性质和情况进行分类讨论。
九年级下册数学归纳知识点
九年级下册数学归纳知识点数学是一门需要运用逻辑思维和抽象概念的学科，而归纳是数学学习中一个重要的方法和技巧。
在九年级下册的数学学习中，归纳知识点也占据着重要的位置。
本文将归纳九年级下册数学中的一些重要知识点，帮助同学们更好地掌握数学知识。
一、平面直角坐标系与图形的坐标平面直角坐标系是数学中非常重要的工具，它能够帮助我们描述图形的位置和性质。
在九年级下册数学学习中，我们会遇到很多与平面直角坐标系相关的知识点，例如直线的斜率、图形的对称性等。
通过学习这些知识，同学们能够更好地理解图形的性质和变化规律。
二、方程与不等式的解法方程和不等式是数学中常见的问题，解方程和不等式是我们数学学习的基本内容之一。
在九年级下册的数学学习中，我们继续深入学习方程与不等式的解法。
掌握解方程和不等式的方法，能够帮助我们解决实际生活中的问题，提高问题解决能力。
三、函数与函数图像函数是数学中非常重要的概念，它能够帮助我们描述各种各样的变化规律。
在九年级下册的数学学习中，我们不仅要学习函数的定义和性质，还要学习函数的图像。
通过学习函数与函数图像，可以帮助同学们更好地理解函数的意义和特点，并能够使用函数进行问题求解。
四、平面几何与立体几何在九年级下册数学学习中，我们将与平面几何和立体几何相关的知识进行深入学习。
平面几何主要包括图形的性质、相似与全等等知识点，而立体几何则包括立体图形的表面积和体积的计算等内容。
通过学习几何知识，同学们可以进一步提高空间想象和问题解决能力。
五、统计与概率统计与概率是数学学科中的一门重要分支，它能够帮助我们对数据进行分析和推断。
在九年级下册数学学习中，我们将进一步学习统计与概率相关的知识。
通过学习统计与概率，同学们可以了解到随机事件的概念和性质，并学会运用概率计算问题。
综上所述，九年级下册数学归纳知识点主要包括平面直角坐标系与图形的坐标、方程与不等式的解法、函数与函数图像、平面几何与立体几何以及统计与概率等内容。
九年级下册数学重点知识
九年级下册数学重点知识在九年级下学期的数学学习中，有一些重点知识点需要我们特别关注和掌握。
这些知识点包含了数学的基础理论和实际应用，对于我们深入理解和运用数学知识具有重要意义。
本文将介绍九年级数学下册的重点知识，并进行详细解析。
一、线性方程组和二次方程线性方程组是九年级下学期数学中的一个重点。
线性方程组由多个线性方程组成，通常以矩阵的形式来表示。
解线性方程组的方法有代入法、消元法和矩阵法等。
这些方法可以帮助我们求解未知数的值，从而解决实际问题。
二次方程也是九年级下学期数学的重点之一。
二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c是已知数，x是未知数。
解二次方程的方法有因式分解法、配方法和求根公式法等。
通过这些方法，我们可以找到二次方程的解并应用到各种实际问题中。
二、立体几何在九年级下学期数学中，我们将学习到一些重要的立体几何知识。
立体几何研究的是空间内的形状、大小和相互关系等问题。
其中，重点涉及到了体积和表面积的计算。
对于各种几何体，我们需要了解如何计算其体积和表面积。
例如，正方体、长方体、圆柱体和圆锥体等。
通过学习这些立体几何的知识，我们可以更好地理解物体的结构特征，并应用于实践中，比如计算物体的容积或表面积。
三、数据的收集和整理数据的收集和整理也是九年级下学期数学的重点知识之一。
数据的收集包括通过观察、实验、调查等方法获取相关的数据。
而数据的整理则是对收集到的数据进行加工和整理，以便进行分析和利用。
在学习数据的收集和整理过程中，我们需要学会制作各种统计图表，如条形图、折线图、饼状图等。
这些统计图表可以直观地展示数据的特征和规律。
同时，我们还需要学会对数据进行分析和判断，以得出结论。
四、函数与直线图像函数与直线图像是九年级下学期数学的另一重点内容。
函数是数学中一个基本概念，表示了自变量与因变量之间的关系。
在函数的图像中，我们常常遇到线性函数和非线性函数。
线性函数的图像是一条直线，而非线性函数的图像则可以是曲线或其他形状。
九年级数学核心知识点下册
九年级数学核心知识点下册九年级是学习数学的关键年级之一。
下册的数学知识点更加深入和复杂，要求学生具备扎实的基础和清晰的思维方式。
本文将按照教材的顺序，逐一讲解九年级数学下册的核心知识点。
一、平面坐标系平面坐标系是九年级数学的基础。
在平面坐标系中，我们可以用有序数对(x, y)来表示平面上的点。
其中，x表示点在x轴上的位置，y表示点在y轴上的位置。
通过平面坐标系，我们可以更直观地理解和解决各种数学问题。
二、函数与方程函数是九年级数学非常重要的一个概念。
简单地说，函数是一个输入和输出之间的对应关系。
函数可以用方程的形式表示，方程则是描述函数的等式。
在解方程的过程中，我们可以通过变换等式的两边来求解未知数的值。
函数与方程是解决各种实际问题的关键工具，例如求解速度、距离、时间等问题。
三、三角形与三角函数三角形是几何学中一个基础的概念。
掌握三角形的性质和我们可以推导出各种定理和公式，例如勾股定理、正弦定理、余弦定理等。
三角函数是研究三角形的关键工具，包括正弦、余弦、正切等函数。
通过三角函数，我们可以解决各种涉及角度的问题，例如测量高度、角度的大小、影子的长度等。
四、立体几何立体几何是九年级数学的一个重要内容。
学习立体几何，我们可以了解到各种几何体的性质和特点，例如长方体、正方体、棱锥、棱柱等。
通过计算体积和表面积，我们可以解决各种涉及容量、装填等问题。
立体几何在实际生活中经常应用于建筑、设计等领域。
五、概率与统计概率与统计是数学中一个非常实用的领域。
通过学习概率，在面对随机事件时，我们可以计算事件发生的可能性。
统计则帮助我们分析和总结数据，了解事物的规律性。
掌握概率和统计的方法，可以应用于生活中的决策、预测和研究等方面。
六、变量与表达式变量与表达式是数学中非常基础的概念。
通过引入变量，我们可以灵活地处理各种数学问题。
表达式则是用数字、变量和数学符号组成的数学式子。
通过简化和求值等运算，我们可以得到表达式的结果。
九年级数学下册知识点汇总
九年级数学下册知识点汇总数学是一门认识世界的科学，也是一门解决问题的工具。
在九年级数学下册学习中，我们接触到了许多重要的知识点。
接下来，我将对这些知识点进行汇总和总结，帮助大家更好地理解和掌握这些内容。
一、平面几何1. 平面几何基本概念：点、线、面、线段、角等。
这些概念是我们研究和描述几何图形的基础。
2. 直线和角的性质：包括平行线与相交线的性质、同位角与内错角的性质等。
通过研究这些性质，我们可以推导出很多几何定理和性质。
3. 三角形和四边形的性质：包括三角形的内角和外角、三边关系和相似三角形的性质；四边形的内角和外角、对角线关系和平行四边形的性质等。
了解这些性质可以帮助我们解决相关的几何问题。
4. 圆的性质和相关定理：包括圆的构造、圆心角和弧度、弧长和扇形面积等。
了解圆的性质和相关定理可以帮助我们解决与圆相关的几何问题。
二、数与代数1. 整式的加减乘除：这是数学中最基本的运算，也是我们解决各种数学问题的基础。
2. 一元一次方程和不等式：包括一元一次方程组的解法、一元一次不等式的解法和一元一次方程不等式组的解法。
了解这些解法可以帮助我们解决与一元一次方程和不等式相关的问题。
3. 二次根式和二次方程：包括二次根式的化简和计算、二次方程的解法等。
了解这些内容可以帮助我们解决与二次根式和二次方程相关的问题。
4. 数据分析和概率：包括统计图表的制作和分析、概率的计算和判断等。
掌握这些技巧可以帮助我们进行数据的处理和分析，从而解决实际问题。
三、立体几何与空间几何1. 立体几何基本概念：包括立方体、长方体、正方体等几何体的性质和计算方法。
2. 点、线、面与空间几何关系：包括点与面的位置关系、直线与平面的位置关系等。
了解这些关系可以帮助我们解决与空间几何相关的问题。
3. 相交线与平面判定：包括相交线与平面的关系和判断方法。
通过学习这些方法，我们能够解决与相交线和平面相关的问题。
四、函数与图像1. 一次函数和二次函数：包括一次函数和二次函数的图像、性质以及相关的计算方法。
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锐角三角 空间与图形 统计与概率 函数
二次函数
数与代数
内容标准
九 年 级 下 册
析会确定二次函 数的表达式，并体会 二次函数的意义；会 用描点法画出二次函 数的图象，能从图象 上认识二次函数的性 质；会根据公式确定 图象的顶点和对称轴 ，并能解决简单的实 际问题。
把重点放在与实际问题的结合上。
相似 二次函数
锐角三角 函数 投影与视图
要关注培养学生的空间想象力。
评价建议
九 年 级 下 册
1、确定评价内容时，应注意考查本章 的重点内容，有一定量的利用二次函数 解决实际问题的题目，同时适当关注 函数与其他内容的联系。 2、关注“数形结合”这一数学思想方法。
21
三、说建议
到九年级下册“二次函数”的学习，中间相隔了一段时 间。函数的概念，描点法画函数的图象等在本章中都要 用到，因此要注意复习已学函数内容。
三、说建议
7、评价建议
20
1、关注学生在学习活动中相似 形概念的建立和探究三角形相 似的条件的过程。 2、在掌握知识的同时，要注意 启发学生思考。
1、评价时要注意考察知识的形成 过程，关注锐角三角函数与几何图 形之间关系，重视解直角三角形在 实际问题中的应用。 2、评价时要注意对于解直角三角形要
内容结构 立体整合 教学建议
说教材
说课标
课标要求
说教材内容
说建议 评价建议
课程资源 开发利用
九 年 级 下 册
3
一、说课标
1、新课程标准对九年级下册书的 基本要求
4
能用函数刻画事物间的 相互关系;在探索相似 三角形性质和判定定理 过程中，培养推理能力； 能画三视图，培养空间 想象能力，发展几何直 觉。
2
一般式 顶点式
y a x h k
2
解析式 交点式
y ax x1 x x2
利润问题 应用 桥拱问题
磁道问题
(a 0)
a 0
九 年 级 下 册
13
二次函数与与一元二次方程之间的立体整合
抛物线与x轴的交点 关系
有两交点 （x1,0）( x2,0 ）
一元二次方程的根
认识通过观察、实 验、归纳、类比、 推断可以获得数学 猜想；体验数学活 动充满着探索性和 创造性。
5
一、说课标
2、内容标准
6
了解锐角三角函数的 概念，记忆30°、 45°、60°的正 弦、余弦和正切的 函数值；理解直角 三角形中边与边的 关系，角与角的关系 和边与角的关系；会 解直角三角形，并 会用解直角三角形 的有关知识解决简单 的实际问题。
如探究等腰三角形的性质时， 可制作等腰三角形纸片，通过 折纸片发现等腰三角形的性质。
23
24
函数
7三角形
三角形
19四边形
图形与变换 圆 24圆
数与代数
四边形
图形与几何
线与角
4图形认识初步
投影与视图 11
29视图与投影
5相交线与平行线
知识内容
16 分式
21二次根式
统计与概率
统计 概率
实践与综合运用 课题学习 数学活动
10数据的收集、整理与描述 25概率初步 20数据的分析
初 中 数 学
2
编排特点 体例安排 内容标准
19
九 2、注意联系实际。 在本章中，一般二次函数的图像和 年 性质是从最简单的二次函数出发逐 3、注意复习相关内容。 级 步深入地探讨的。应通过观察、思 下 考、讨论等栏目，引导学生探索相 二次函数的学习是以函数内容为基础的，从八年级上册 册 关的结论。 “一次函数”、八年级下册“反比例函数”的学习学习
15
三角函数
30°
45°
60°
sin a
1 2
2 2 2 2
1
3 2
1 2
cosa
tan a
3 2 3 3
求 边
3
求 角
正 弦
余 弦
正 切
计算 解直角三角形
俯仰 角角
方 位 角
坡 度
特殊值的运算
应用
定义 锐角三角函数
第二十八章 锐角三角函数
九 年 级 下 册
16
正投影
正投影
平行投影 中心投影 投影
8、课程资源的开发与利用
22
信息技术应用 观察与猜想 选学栏目
阅读与思考
实验与探究
教材 资源
数学活动
课程资源的 开发与利用
课外 资源
计算机、 多媒体
实物材料 自制教具 设备
实物模型
对于巩固学生的课堂知识 和扩大知识面，对于培养 学生的理论联系实际，对 于激发学生的学习兴趣都 有好处。
初 中 数 学
有两个不等根 X1， x2
Δ＞0 Δ=0
有一交点 （ b ,0）
2a
有两个等根 b x1= x2 = 2 a
无交点
Δ＜ 0
无实根
14
对应角相等 对应边成比例
对应中线的比=对应高的 比=对应角平分线的比= 相似比 周长的比=相似比 面积的比=相似比的平方
A字型 X字型
平行
两角对 应相等
相似三角形 的性质 相似三角形
7
二、说教材
3、编排特点
8
一、加强与实际的联系
如“二次函数”一章，引言中选取正方体表面积、物体自由下落、喷水等问题展示这种关系，在介绍 二次函数的图象和性质时也穿插安排了一些实际问题，如修建喷水池时确定水管长度的问题，用总长 一定的篱笆围成最大矩形场地的问题。 “相似”一章，通过生活中大量的实例引入相似图形、位似图形的概念，例习题中也有许多应用 相似图形知识的实例，还专门安排了“相似三角形应用举例”问题。 “二次函数”一章中，一般二次函数的图象和性质是从最简单的二次函数出发逐步深入地探讨 “锐角三角函数”一章，在引言中利用确定山坡上所铺设的水管的长度问题引出正弦函数，结合 如如 “二次函数”一章，在研究“二次函数”这一数学模型时，一直渗透着“数形结合”的思想和方法。 的，这样循序渐进的安排，力图使学生不仅学到二次函数的有关知识，而且在知识的学习过程中不 使用梯子攀登墙面问题引出解直角三角形的概念和方法等；教科书中还利用背景丰富有趣的四个实际 “相似”一章，本章主要涉及的数学思想方法有类比的方法，转化的方法等，在讨论相似的相关 断提高学习的能力。 问题，从不同的角度展示了解直角三角形在实际中的广泛应用。 内容时，注意和全等的知识作类比。在证明三角形的判定定理时，通过作全等三角形，把要证明问题转 “相似”一章，教科书编写时，注意突出图形性质的探索过程，重视直观操作和逻辑推理的 “投影与视图”一章，教科书在引出投影、平行投影、正投影等概念时，利用了在日光或灯光下 化为我们已经解决的问题。 有机结合。 物体的影子，举出皮影戏、日晷、探照灯、普通灯泡等实例；在归纳正投影规律时，教科书先后结合 “锐角三角函数”一章，第27章“相似”为本章研究锐角三角函数打下基础，因此，锐角三角函数 “锐角三角函数”一章，通过设置“观察”“思考”“讨论”“探究”“归纳”等栏目来扩大 铁丝、正方形纸板和正方形模型的例子。 的内容与相似三角形是密切联系的。 学生探索交流的空间，发展学生的思维能力。 “投影与视图”一章，对于锐角三角函数的概念，教科书是利用学生对直角三角形的认识以及相似 “投影与视图”一章，教科书在编写中先后安排了“由物画图”和“由图想物”两类问题，从 三角形的有关知识引入的，结合几何图形来定义锐角三角函数的概念，将数形结合起来，有利于学生理 不同角度加强对于空间想象能力的培养。 如 “二次函数”一章，通过探讨二次函数与一元二次方程的关系，再次展示函数与方程的联系。这样 解锐角三角函数的概念。 安排一方面可以深化学生对一元二次方程的认识，另一方面又可以运用一元二次方程解决二次函数的有 关问题。 “相似”一章，是在前面学习的全等的知识基础上的发展，从全等到相似，是一个从特殊到一般 的过程。 “锐角三角函数”一章，第27章“相似”为本章研究锐角三角函数打下基础，因此，锐角三角函数 的内容与相似三角形是密切联系的。 “投影与视图”一章，教科书在“三视图”中，从两方面反映平面图形与立体图形的联系。 9
第二十九章 投影与视图
俯视图
主视图 视图 左视图 俯视图
左视图
九 年 级 下 册
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三、说建议
6、教学建议
18
1、注意联系实际。 1、要注意加强与实际的联系。 2、注意渗透数学思想方法。 2、注意加强知识间的纵向联系。 3、注意数形结合，自然体现数与形 之间的联系。
3、注意培养推理论证能力。
相似 二次函数
编排 特点
二、重视探索过程培养能力
三、加强知识间的联系
四、重视渗透数学思想方法
二、说教材
4、体例安排
10
小贴士 和云朵 观察、思考、探究、 讨论、归纳等栏目
选学栏目
正 文
章前图 引言
小结
章 前
章 末 体例安排 九 年 级 下 册
11
习题
二、说教材
5、教材内容及立体整合
12
y
y
o
开口方向. 对称轴在y a＞0.向上 轴的位置 a＜0.向下 左同右异
1、注重探索结论。
如对于锐角三角函数的概念，教科书是利 锐角三角 用学生对直角三角形的认识以及相似三角 函数 形的有关知识引入的，结合几何图形来定 义锐角三角函数的概念，将数形结合起来 投影与视图 ，有利于学生理解 锐角三角函数的本质。 教学建议
1、教学中应重视借助直观模型 ，帮助学生克服立体几何知识 不足的困难。 2、重视平面图形与立体图形的 联系，从不同角度综合培养空 间想象能力。
数学思考
解决问题
尝试从不同角度 寻求解决问题的 方法并能有效地 解决问题；体会 在解决问题的过 程中与他人合作 的重要性。