高中数学必修2教案3.3.1两条直线的交点坐标
3.3.1两条直线的交点坐标
在3x+2y－1+λ（2x－3y－5）=0（λ为任意常 数）表示的直线集合中，如何确定经过点（-2，5） 的直线？
将坐标（-2，5）代入方程3x+2y－1+λ（2x－ 1 3y－5）=0，得到 λ . 8 1 再将 λ ，代入3x+2y－1+λ（2x－3y－ 8 5）=0，得到直线方程22x+19y-3=0.
新课导入
在平面几何中，我们对方程做定性的研究. 引入直角坐标系后，我们用方程表示直线。
y
x
名称
已知条件
标准方程
适用范围
点斜式
(x0, y 0 ), k
y - y 0 k(x, x0 ) 有斜率的直线
y kx b
有斜率的直线
斜截式 k,y轴上截距b
两点式 截距式
一般式
y y1 x x1 (x1, y1 )(x2 , y 2 ) y 2 y 1 x 2 x1 x y x轴上截距a 1 a b Y轴上截距b
一元二次方程
3.3.1 两直线的交点坐标
教学目标
知识与能力
直线和直线的交点。 二元一次方程组的解。
过程与方法
学习两直线交点坐标的求法，以及判断两直线位 置的方法。 掌握数形结合的学习法。
情感态度与价值观
通过两直线交点和二元一次方程组的联系，从 而认识事物之间的内在联系。 能够用辩证的观点看问题。 体会事物之间的内在联系，能用代数方法解决 几何问题。
此方程即为所求。
例二 判断下面各对直线的位置关系，如果相交，求出 交点的坐标： (1)l1:3x+4y－2=0， l2:2x+y+2=0； (2)l1:3x+5y-2=0, (3)l1:x-2y+3=0, l2:6x+10y+7=0; l2:3x-6y+9=0;
高中数学必修二教案-两条直线的交点坐标+两点间的距离
3.3 直线的交点坐标与距离公式 3.3.1 两条直线的交点坐标 3.3.2 两点间的距离1．能用解方程组的方法求两直线的交点坐标．(重点) 2．会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系．(难点) 3．掌握两点间的距离公式并会简单应用．(重点)[基础·初探]教材整理1 两直线的交点坐标阅读教材P 102～P 103“探究”以上部分，完成下列问题．已知两直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0；l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.若两直线方程组成的方程组⎩⎨⎧ A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0有惟一解⎩⎨⎧x ＝x 0，y ＝y 0，则两直线相交，交点坐标为(x 0，y 0)．直线x ＋2y －2＝0与直线2x ＋y －3＝0的交点坐标是( ) A ．(4,1) B ．(1,4) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，43 【解析】 由方程组⎩⎨⎧x ＋2y －2＝0，2x ＋y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝43，y ＝13.即直线x ＋2y －2＝0与直线2x ＋y －3＝0的交点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13. 【答案】 C教材整理2 两点间的距离阅读教材P 104“练习”以下至P 105“例3”以上部分，完成下列问题． 1．平面上的两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.2．两点间距离的特殊情况(1)原点O (0,0)与任一点P (x ，y )的距离|OP |＝x 2＋y 2. (2)当P 1P 2∥x 轴(y 1＝y 2)时，|P 1P 2|＝|x 2－x 1|. (3)当P 1P 2∥y 轴(x 1＝x 2)时，|P 1P 2|＝|y 2－y 1|.已知点A (－1,2)，点B (2,6)，则线段AB 的长为__________． 【解析】 由两点间距离公式得|AB |＝＋2＋－2＝5.【答案】 5[小组合作型]两直线的交点问题直线l 过直线x ＋y －2＝0和直线x －y ＋4＝0的交点，且与直线3x－2y ＋4＝0平行，求直线l 的方程.【精彩点拨】 先求出交点，再由点斜式求方程或设出过交点的直线系方程，由待定系数法求方程．【自主解答】 法一 联立方程⎩⎨⎧x ＋y －2＝0，x －y ＋4＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝3，即直线l 过点(－1,3)．因为直线l 的斜率为32，所以直线l 的方程为y －3＝32(x ＋1)，即3x －2y ＋9＝0.法二 因为直线x ＋y －2＝0不与3x －2y ＋4＝0平行，所以可设直线l 的方程为x －y ＋4＋λ(x ＋y －2)＝0， 整理得(1＋λ)x ＋(λ－1)y ＋4－2λ＝0，因为直线l 与直线3x －2y ＋4＝0平行，所以1＋λ3＝λ－1－2≠4－2λ4，解得λ＝15，所以直线l 的方程为65x －45y ＋185＝0，即3x －2y ＋9＝0.1．解本题有两种方法：一是采用常规方法，先通过解方程组求出两直线交点，再根据平行关系求出斜率，由点斜式写出直线方程；二是设出过两直线交点的方程，再根据平行条件待定系数求解．2．过两条相交直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线方程可设为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(不含直线l 2)．[再练一题]1．求经过两直线l 1：3x ＋4y －2＝0和l 2：2x ＋y ＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l 的方程．【解】 法一 由方程组⎩⎨⎧3x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝2，即l 1与l 2的交点坐标为(－2,2)．∵直线过坐标原点，∴其斜率k ＝2－2＝－1.故直线方程为y ＝－x ，即x ＋y ＝0.法二 ∵l 2不过原点，∴可设l 的方程为3x ＋4y －2＋λ(2x ＋y ＋2)＝0(λ∈R )，即(3＋2λ)x ＋(4＋λ)y ＋2λ－2＝0.将原点坐标(0,0)代入上式，得λ＝1，∴直线l 的方程为5x ＋5y ＝0，即x ＋y ＝0.两点间距离公式的应用已知△ABC 的三个顶点坐标是A (－3,1)，B (3，－3)，C (1,7)．(1)判断△ABC 的形状； (2)求△ABC 的面积．【精彩点拨】 (1)先依据已知条件，画出草图，判断△ABC 的大致形状，然后从边着手或从角着手确定其形状；(2)结合三角形形状求解． 【自主解答】 (1)法一 ∵|AB |＝＋2＋－3－2＝213，|AC |＝＋2＋－2＝213，又|BC |＝－2＋＋2＝226，∴|AB |2＋|AC |2＝|BC |2， 且|AB |＝|AC |，∴△ABC是等腰直角三角形．法二∵k AC＝7－11－－＝32，k AB＝－3－13－－＝－23，则k AC·k AB＝－1，∴AC⊥AB.又|AC|＝＋2＋－2＝213，|AB|＝＋2＋－3－2＝213，∴|AC|＝|AB|.∴△ABC是等腰直角三角形．(2)△ABC的面积S△ABC＝12|AC|·|AB|＝12×213×213＝26.1．判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向．2．在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主要考察是否为直角或等角；二是要考虑三角形边的长度特征，主要考察边是否相等或是否满足勾股定理．[再练一题]2．若等腰三角形ABC的顶点A是(3,0)，底边BC的长为4，BC边的中点为D(5,4)，求等腰△ABC的腰长．【解】因为|AD|＝－2＋－2＝2 5.在Rt△ABD中，由勾股定理得|AB|＝|AD|2＋|BD|2＝20＋4＝2 6.所以等腰△ABC的腰长为2 6.[探究共研型]坐标法的应用探究1 在如图331所示平面直角坐标系中，你能用代数方法证明等腰梯形ABCD的对角线|AC|＝|BD|吗？图331【提示】设A(0,0)，B(a,0)，C(b，c)，则点D的坐标是(a－b，c)．∴|AC |＝b －2＋c －2＝b 2＋c 2.|BD |＝a －b －a2＋c －2＝b 2＋c 2.故|AC |＝|BD |.探究2 已知△ABC 是直角三角形，斜边BC 的中点为M ，建立适当的平面直角坐标系，证明：|AM |＝12|BC |.【提示】 以Rt △ABC 的直角边AB ，AC 所在直线为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系．设B ，C 两点的坐标分别为(b,0)，(0，c )，斜边BC 的中点为M ，所以点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0＋b 2，0＋c 2， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，c 2. 由两点间距离公式得|BC |＝－b2＋c －2＝b 2＋c 2， |AM |＝⎝⎛⎭⎪⎫0－b 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－c 22 ＝12b 2＋c 2， 故|AM |＝12|BC |.在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线．求证：|AB |2＋|AC |2＝2(|AD |2＋|DC |2)．【精彩点拨】 建立适当的坐标系―――――――→“形”化到“数”坐标表示A 、B 、C 、D 各点―→代数计算―――――――→“数”化到“形”几何关系 【自主解答】 以边BC 所在直线为x 轴，以D 为原点，建立坐标系，如图所示，设A (b ，c )，C (a,0)，则B (－a,0)．∵|AB |2＝(a ＋b )2＋c 2，|AC |2＝(a －b )2＋c 2，|AD |2＝b 2＋c 2，|DC |2＝a 2， ∴|AB |2＋|AC |2＝2(a 2＋b 2＋c 2)， |AD |2＋|DC |2＝a 2＋b 2＋c 2， ∴|AB |2＋|AC |2＝2(|AD |2＋|DC |2)．1．坐标法的定义：通过建立平面直角坐标系，用代数方法解决几何问题的方法称为坐标法．2．利用坐标法解平面几何问题常见的步骤：(1)建立坐标系，尽可能将有关元素放在坐标轴上；(2)用坐标表示有关的量；(3)将几何关系转化为坐标运算；(4)把代数运算结果“翻译”成几何关系．[再练一题]3．用坐标法证明：如果四边形ABCD是长方形，而对任一点M，等式|AM|2＋|CM|2＝|BM|2＋|DM|2成立．【证明】取长方形ABCD的两条边AB，AD所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系，如图所示．设长方形ABCD的四个顶点为A(0,0)，B(a,0)，C(a，b)，D(0，b)，在平面上任取一点M(m，n)，则|AM|2＋|CM|2＝m2＋n2＋(m－a)2＋(n－b)2，|BM|2＋|DM|2＝(m－a)2＋n2＋m2＋(n－b)2，所以|AM|2＋|CM|2＝|BM|2＋|DM|2.1．已知M(2,1)，N(－1,5)，则|MN|等于( )A．5 B.37C.13 D．4【解析】|MN|＝＋2＋－2＝5.【答案】 A2．过点A(4，a)和点B(5，b)的直线与y＝x＋m平行，则|AB|的值为( ) A．6 B. 2C．2 D．不能确定【解析】 由k AB ＝1，得b －a1＝1，∴b －a ＝1. ∴|AB |＝－2＋b －a 2＝1＋1＝ 2. 【答案】 B3．已知两条直线l 1：ax ＋3y －3＝0，l 2：4x ＋6y －1＝0，若l 1与l 2相交，则实数a 满足的条件是________．【解析】 l 1与l 2相交，则有a 4≠36，∴a ≠2.【答案】 a ≠24．设点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，AB 的中点是P (2，－1)，则|AB |等于________.【解析】 设A (x,0)，B (0，y )，∵AB 的中点为P (2，－1)，∴x 2＝2，y2＝－1，∴x ＝4，y ＝－2，即A (4,0)，B (0，－2)，∴|AB |＝42＋22＝2 5.【答案】 2 55．分别求经过两条直线2x ＋y －3＝0和x －y ＝0的交点，且符合下列条件的直线方程．(1)平行于直线l 1：4x －2y －7＝0；(2)垂直于直线l 2：3x －2y ＋4＝0.【解】 解方程组⎩⎨⎧2x ＋y －3＝0，x －y ＝0，得交点P (1,1)．(1)若直线与l 1平行，∵k 1＝2，∴斜率k ＝2，∴所求直线方程为y －1＝2(x －1)， 即：2x －y －1＝0.(2)若直线与l 2垂直，∵k 2＝32，∴斜率k ＝－1k 2＝－23，∴所求直线方程为y －1＝－23(x －1)，即：2x ＋3y －5＝0.。
人教版高中数学必修2第三章直线与方程-《3.3.1两条直线的交点坐标》教案_001
3.3.1 两条直线的交点坐标教学目的：使学生了解两条直线交点坐标的求法，会联立两条直线所表示的方程成方 程组求交点坐标。
教学重点：两直线交点坐标的求法。
教学难点：两直线交点坐标的求法。
教学过程一、复习提问平面内两条直线有什么位置关系？空间里呢？二、新课已知两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0如何求它们的交点坐标呢？一般地将它们联立成方程组，若方程组有唯一的解，则两条直线相交，此解就是 交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两直线平行。
例1、求下列两条直线的交点坐标：l 1：3x ＋4y －2＝0l 2：2x ＋y ＋2＝0解：解方程组：⎩⎨⎧=++=-+0220243y x y x ，解得：⎩⎨⎧=-=22y x 所以两条直线的交点是M （－2,2）。
探究：当λ变化时，方程3x ＋4y －2＋λ（2x ＋y ＋2）＝0表示什么图形？图形有何特点？例2、判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点坐标：（1）l 1：x －y ＝0， l 2：3x ＋3y －10＝0（2）l 1：3x －y ＋4＝0， l 2：6x －2y ＝0（3）l 1：3x ＋4y －5＝0， l 2：6x ＋8y －10＝0解：（1）解方程组：⎩⎨⎧=-+=-010330y x y x ，解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3535y x 所以，l 1，l 2相交，交点是M （35，35） （2）解方程组：⎩⎨⎧=-=+-026043y x y x ，①×2－② 得：9＝0，矛盾！方程组无解，所以两直线无交点，l 1∥l 2（3）解方程组：：⎩⎨⎧=-+=-+010860543y x y x ，①×2得：6x ＋8y －10＝0，两个方程可以化为同一个方程，即它们表示同一条直线，l 1，l 2重合。
安徽省宿松中学2016-2017学年高一数学人教A版必修2教案：3.3.1两条直线的交点坐标
两条直线的交点坐标课题改正与创新（1 课时）1.掌握两直线方程联立方程组解的状况与两直线不一样地点的对峙关系，并且会经过直线方程系数判断解的状况，培育学生建立辩证一致的看法.2.当两条直线订交时，会求交点坐标. 培育学生思想的谨慎性，注意学生教课语言表述能力的训练.目标 3. 学生经过一般形式的直线方程解的议论，加深对分析法的理解，培育转化能力 .4.以“特别”到“一般”，培育学生探究事物实质属性的精神，以及运动变化的互相联系的看法 .教课教课要点 : 依据直线的方程判断两直线的地点关系和已知两订交直线求交重、点 .难点教课难点 : 对方程组系数的分类议论与两直线地点关系对应状况的理解.教课多媒体课件准备导入新课作出直角坐标系中两条直线，挪动此中一条直线，让学生察看这两条直线的地点关系 .讲堂设问：由直线方程的看法，我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的关系，那假如两直线订交于一点，这一点与这两条直线的方程有何关教课过系？你能求出它们的交点坐标吗？谈谈你的见解.程提出问题①已知两直线 l :A x+B y+C =0,l :A x+B y+C =0, 如何判断这两条直线的关1 1 1 12 2 2 2系？②假如两条直线订交，如何求交点坐标？交点坐标与二元一次方程组有什关系？③解以下方程组( 由学生达成 ) ：3x 4 y 2 0, 2x 6 y 3 0,( ⅱ) 1 1 ; ( ⅰ)y 2;2 x 0 y x232x6 y 0,( ⅲ)1 1.yx23如何依据两直线的方程系数之间的关系来判断两直线的地点关系？ ④当 λ 变化时，方程 3x+4y-2+ λ(2x+y+2)=0 表示什么图形，图形有什么特色？求出图形的交点坐标 .议论结果： ①教师指引学生先从点与直线的地点关系下手，看下表，并填空 .几何元素及关系代数表示点AA(a ， b)直线ll ：Ax+By+C=0点 A 在直线上直线 l 1 与 l 2 的交点 A②学生进行分组议论，教师指引学生概括出两直线能否订交与其方程所组成的方程组的关系 .设两条直线的方程是 l 1:A x+B y+C =0,l :A x+B y+C =0,1112222假如这两条直线订交, 因为交点同时在这两条直线上, 交点的坐标必定是这两个方程的独一公共解 , 那么以这个解为坐标的点必是直线l 1 和 l 2 的交点 , 所以 , 两条直线能否有交点, 就要看这两条直线方程所构成的方程组A 1 xB 1 yC 10,能否有独一解 .A 2 xB 2 yC 2 0( ⅰ) 若二元一次方程组有独一解，则 l 1 与 l 2 订交 ;( ⅱ) 若二元一次方程组无解，则l 1 与 l 2 平行 ;( ⅲ) 若二元一次方程组有无数解，则l 1 与 l 2 重合 . 即独一解l 1、l 订交,转变2直线 l、 l 联立得方程组 无量多解l 1、l 2重合 ,1 2无解l 1、l 平行.2( 代数问题 ) ( 几何问题 )③指引学生察看三组方程对应系数比的特色：(ⅰ)3≠4;( ⅱ)263;( ⅲ)2 6≠1.2 1 1 1 1 1 1 13 2 3 2一般地，关于直线l 1:A 1x+B1y+C1=0， l 2:A 2x+B2y+C2=0(A 1B1C1≠0,A 2B2C2≠0), 有独一解A1 B1l1 l2订交 , A2 B2方程组A1 x B1 y C1 0 A1 B1 C1l1 l2重合 ,. A2 x B2 y C2无量多解A2 B2 C2无解A1 B1 C1l1 l2平行 .A2 B2 C2注意： (a) 此关系不要修业生作详尽的推导, 因为过程比较繁琐，重在应用 .(b)假如 A1 ,A 2,B 1,B 2,C 1,C 2中有等于零的状况，方程比较简单，两条直线的地点关系很简单确立 .④(a) 能够用信息技术，当λ 取不一样值时，经过各样图形，经过察看，让学生从直观上得出结论，同时发现这些直线的共同特色是经过同一点.(b) 找出或猜想这个点的坐标，代入方程，得出结论.(c) 结论：方程表示经过这两条直线l 1与 l 2的交点的直线的会合.应用示例例 1求以下两直线的交点坐标,l 1： 3x+4y-2=0,l2：2x+y+2=0.3x y 2 0, 解 : 解方程组y 2 得 x=-2 ， y=2，所以 l 1与 l 2的交点坐标为2x 0,M(-2 ， 2).变式训练求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线方程 .l 1:x-2y+2=0,l 2:2x-y-2=0.解 : 解方程组 x-2y+2=0,2x-y-2=0, 得 x=2,y=2, 所以 l 1与 l 2的交点是 (2,2).设经过原点的直线方程为y=kx, 把点 (2,2) 的坐标代入以上方程, 得 k=1, 所以所求直线方程为 y=x.评论 : 本题为求直线交点与求直线方程的综合运用, 求解直线方程也可应用两点式 .例 2判断以下各对直线的地点关系. 假如订交，求出交点坐标 .(1)l ： x-y=0 ， l ： 3x+3y-10=0.12(2)l 1： 3x-y+4=0 ， l 2： 6x-2y-1=0.(3)l 1： 3x+4y-5=0 ，l 2： 6x+8y-10=0.活动： 教师让学生自己着手解方程组，看解题能否规范，条理能否清楚，表达能否简短，而后再进行讲评.x y 0,x 5 ,解: (1)得 3 解方程组3y 10 0, 53xy.3所以 l 1 与 l 2 订交 , 交点是 (5, 5).333x y 4 0,(1) (2) 解方程组6x 2 y 10,(2)①×2- ②得 9=0, 矛盾 ,方程组无解 , 所以两直线无公共点 ,l 1∥l 2.3x 4 y 5 0,(1) (3) 解方程组8 y 100,(2)6 x①×2 得 6x+8y-10=0.所以 , ①和②能够化成同一个方程, 即①和②表示同一条直线 ,l 1 与 l 2 重合 .变式训练判断以下各对直线的地点关系，若订交，则求交点.(1)l 1:7x+2y-1=0,l 2:14x+4y-2=0.(2)l 1:(3 - 2 )x+y=7,l 2:x+(3 + 2 )y-6=0.(3)l 1:3x+5y-1=0,l 2:4x+3y=5.答案： (1) 重合， (2) 平行， (3) 订交，交点坐标为 (2 ，－ 1).例 3 求过点 A(1 ，－ 4) 且与直线 2x ＋ 3y ＋ 5=0 平行的直线方程 . 解法一： ∵直线 2x ＋ 3y ＋ 5=0 的斜率为 - 2，∴所求直线斜率为- 2.又直3 3线过点 A(1 ，－ 4) ，由直线方程的点斜式易得所求直线方程为2x ＋ 3y ＋10=0.解法二： 设与直线 2x ＋ 3y ＋ 5=0 平行的直线 l 的方程为 2x ＋ 3y ＋m=0，∵l 经过点 A(1 ，－ 4),∴2×1＋3×( － 4) ＋ m=0.解之 , 得 m=10.∴所求直线方程为 2x ＋ 3y ＋ 10=0.评论： 解法一求直线方程的方法是通法，须掌握. 解法二是经常采纳的解题技巧 . 一般地，直线 Ax ＋ By ＋ C=0 中系数 A 、 B 确立直线的斜率 . 所以， 与直线 Ax ＋By ＋ C=0 平行的直线方程可设为Ax ＋ By ＋m=0，此中 m 待定 .经过点 A(x ，y ) ，且与直线 Ax ＋ By ＋ C=0平行的直线方程为 A(x － x ) ＋B(y－ y 0)=0. 变式训练求与直线 2x ＋3y ＋ 5=0 平行，且在两坐标轴上截距之和为5的直线方6程 .答案： 2x+3y-1=0. 知能训练课本本节练习 1、2. 拓展提高问题： 已知 a 为实数， 两直线 l 1:ax+y+1=0,l 2:x+y-a=0 订交于一点， 求证 :交点不行能在第一象限及x 轴上 .剖析： 先经过联立方程组将交点坐标解出， 再判绝交点横、 纵坐标的范围 .ax y 1 0, xa 1 , 21＞ 0，则 a ＞ 1.解 : 解方程组, 得a 1 . 若 ax y a 0a 2a1y1.a1当 a ＞ 1 时，－a 1＜ 0，此时交点在第二象限内 .a 122a1又因为 a 为随意实数时，都有a +1≥1＞ 0，故≠0.因为 a ≠1( 不然两直线平行，无交点 ) ，所以交点不行能在x 轴上，交点 ( －a1 , a 21) 不在 x 轴上 .a 1 a 1讲堂小结本节课经过议论两直线方程联立方程组来研究两直线的地点关系，得出了方程系数比的关系与直线地点关系的联系. 培育了同学们的数形联合思想、分类议论思想和转变思想 . 经过本节学习，要修业生掌握两直线方程联立方程组解的状况与两直线不一样地点的对峙关系，而且会经过直线方程系数判断解的状况，培育学生建立辩证一致的看法 . 当两条直线订交时，会求交点坐标 . 注意语言表述能力的训练 . 经过一般形式的直线方程解的议论，加深对分析法的理解，培育转变能力. 以“特别”到“一般”，培养探究事物实质属性的精神，以及运动变化的互相联系的看法.作业课本习题 3.3 A 组 1、 2、3, 选做 4 题 .板书设计教课反思。
人教版高中数学必修二《3.3.1 两条直线的交点坐标》
x 0y+10=0和3x+4y-2=0的交点坐标为(0,2) 又因为所求直线过点(2,1)
所以所求直线方程为x+2y-4=0
法二：设经过两直线交点的直线方程为：
当直线斜率不存 在时，如何判断?
（ 1 ）k1 k 2 , b1 b2
（2）k1 k 2 , b1 b2
l1 // l2
l1与l 2 重合
l1与l2相交
（3）k1 k 2
二、新课讲授
y P(a,b)
直线l : 2 x y 3 0
(1)点15 ， 在直线上吗？ (2)点 2， 7 在直线上吗？ (3)点3， 8 在直线上吗？
点P(a,b)在直线l上，那么 P(a,b)满足直线l的方程 即2a-b+3=0
l : 2x y 3 0
x
l1:A1x+B1y+C1=0 l2:A2x+B2y+C2=0 y
l1
y
l2
y A(a,b)
l1
A(a,b) x l1:A1x+B1y+C1=0 A1a+B1b+C1=0
A(a,b)
（3）l1:3x+4y-5=0， l2:6x+8y-10=0 x-y=0 解（ : 1）解方程组 3x+3y-10=10 x= 5 得： 3 所以l1与l2相交， 5 y= 3 5 5 交点坐标为（ 3 ，3 ）.
3x y 4 0, （2） 解方程组 6 x 2 y 1 0,
问题4:方程组 两条直线的位置关系有何关系？
3.3.1 两条直线的交点坐标 3.3.2 两点间的距离
探究1：如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标 与二元一次方程组有什关系？
如果两条直线 A1 x B1 y C1 0 和 A2 x B2 y C2 0
相交，由于交点同时在两条直线上，交点坐标一定是它们 的方程组成的方程组
A1 x B1 y C1 0 的解. A2 x B2 y C2 0
直线上的点
y
l
2x y 3 0
(1)点（ 5）在直线上吗？ 1，
(2)点（2， 7）在直线上吗？
(3)点（3， 8）在直线上吗？
P(x,y)
O
x
直线的方程就是直线上每一点坐标都满足的一个关系式
1. 两条直线的交点
已知两条直线 l1 : A1 x B1 y C1 0 l2: A2 x B2 y C 2 0 相交, 如何求这两条直线交点的坐标 ?
无数组解
重合
x y 1 0 （3） x y 1 0
无解
平行
如何根据两直线的方程系数之间的关系来判定两直线
的位置关系？
l1 : A1 x B1 y C1 0 l2:A2 x B2 y C 2 0
A1 B1 A2 B2 A1 B1 C1 A2 B2 C 2
OP x 2 y 2
例3 已知点 A(1, 2), B(2, 7), 在 使 | PA || PB | ，并求 | PA | 的值. 解：设所求点为P（x,0），于是 由 PA PB 得
x 轴上求一点
P，
x 1 0 2
2
2
x 2
2
0 7
2 (2) 相交，交点坐标（0，3 ）
高中数学必修2第三章3.3教案
必修2第三章第三节两条直线的交点坐标第一课时 3.3.1 两条直线的交点坐标教学目标：1．知道两条直线的相交、平行和重合三种位置关系，对应于相应的二元一次方程组有唯一解、无解和无穷多组解2．当两条直线相交时，会求交点坐标3．学生通过一般形式的直线方程解的讨论，加深对解析法的理解，培养转化能力教学重点：根据直线的方程判断两直线的位置关系和已知两直线相交求交点教学难点：对方程组系数的分类讨论与两直线位置关系对应情况的理解教学过程：（一）、复习准备：1. 讨论：如何用代数方法求方程组的解?2. 讨论：两直线交点与方程组的解之间有什么关系？（二）、讲授新课：1.直线上的点与直线方程的解的关系：①讨论：直线上的点与其方程Ax+By+C=0的解有什么样的关系？②练习：完成书上P109的填表.③直线L上每一个点的坐标都满足直线方程，也就是说直线上的点的坐标是其方程的解。
反之直线L的方程的每一组解都表示直线上的点的坐标。
2.两直线的交点坐标与方程组的解之间的关系及求两直线的交点坐标①讨论：点A（-2,2）是否在直线L1：3X+4Y-2=0上？点A（-2,2）是否在直线L2：2X+Y+2=0上？②A在L1上，所以A点的坐标是方程3X+4Y-2=0的解，又因为A在L2上，所以A点的坐标也是方程2X+Y+2=0的解。
即A的坐标（-2,2）是这两个方程的公共解，因此（-2,2）是方程组3X+4Y-2=0 2X+Y+2=0 的解.③讨论：点A和直线L1与L2有什么关系？为什么？④例1：求下列两条直线的交点坐标L1：3X+4Y-2=0 L2：2X+Y+2=03．如何利用方程判断两直线的位置关系？①如何利用方程判断两直线的位置关系？②两直线是否有公共点，要看它们的方程是否有公共解。
因此，只要将两条直线L1和L2的方程联立，A X+B Y+C=0 A X+B Y+C=0得方程组1112221．若方程组无解，则L1//L22.若方程组有且只有一个解，则L1与L2相交3.若方程组有无数解，则L1与L2重合③例2：判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点坐标。
3.3.1 两条直线的交点坐标
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1．已知a为实数，求当直线l1：ax＋y＋1＝0与l2：x＋y－a ＝0相交时的交点坐标．
解：若 a＝1，则直线 l1 与 l2 平行，故 l1 与 l2 无交点，
∴a≠1.
解方程组ax＋x＋y－y＋a1＝＝00，， 得yx＝＝a－a2－＋aa＋ －11.11，
∵直线 l 与直线 3x＋y－1＝0 平行，
∴λ＋3 2＝λ－1 3≠2－λ－13，得 λ＝121.
从而所求直线方程为 15x＋5y＋16＝0.
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有关对称的问题
1.对称问题 (1)中心对称 ①若点 M(x1，y1)及 N(x，y)关于 P(a，b)对称，则由中点坐 标公式得xy＝ ＝22ab－ －xy11， ，
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直线的交点的求法及应用 设直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0.如果这 两条直线相交，由于交点同时在这两条直线上，交点的坐标一定 是这两个方程的唯一公共解；反过来，如果这两个二元一次方程 只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点必是直线 l1 和 l2 的交 点．因此，两条直线是否有交点，就要看这两条直线的方程所组
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已知直线l的方程为(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0.
求证：不论k取何实数，直线l必过定点，并求出这个定点坐
标． 【思路点拨】(方法一)
令k＝ 0，1
→
两特殊直线方 程构成方程组
2020-2021学年数学人教A版必修2学案：3.3.1两条直线的交点坐标3.3.2两点间的距离
3．3 直线的交点坐标与距离公式3．3.1 两条直线的交点坐标3．3.2 两点间的距离[目标] 1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标；2.会用代数方法判定两直线的位置关系；3.记住两点间的距离公式并会应用．[重点] 求两直线的交点坐标、两点间的距离公式及应用．[难点] 方程组解的个数与两线相交、平行或重合的对应关系的理解．知识点一 两条直线的交点坐标[填一填]1．求法：两直线方程联立组成方程组，此方程组的解就是这两条直线的交点坐标，因此解方程组即可．2．应用：可以利用两直线的交点个数判断两直线的位置关系． 一般地，将直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0. 当方程组有唯一解时，l 1和l 2相交，方程组的解就是交点坐标； 当方程组无解时，l 1与l 2平行；当方程组有无数组解时，l 1与l 2重合．[答一答]1．在下列直线中，与直线x ＋3y －4＝0相交的直线为( C )A.x ＋3y ＝0B.y ＝－13x －12C.x 2＋y 3＝1D.y ＝－13x ＋4解析：A 、B 、D 选项的斜率都是－13，且与x ＋3y －4＝0平行，C选项的斜率是－32，所以x 2＋y 3＝1与x ＋3y －4＝0相交．2．若两直线的方程组成的方程组有解，两直线是否交于一点？ 提示：不一定．两条直线是否交于一点，取决于联立两条直线方程所得的方程组是否有唯一解．若方程组有无穷多个解，则两条直线重合．知识点二 两点间的距离公式[填一填]1．公式：点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.2．文字叙述：平面内两点的距离等于这两点的横坐标之差与纵坐标之差的平方和的算术平方根．名师点拨：坐标平面内两点间的距离公式是数轴上两点间距离公式的推广．[答一答]3．两点间的距离公式中点P 1，P 2的位置有先后之分么？提示：点P 1，P 2的位置没有先后之分，即距离公式也可以写为|P 1P 2|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2.4．对于两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，当P 1P 2平行于x 轴时，如何求P 1，P 2的距离，当P 1P 2平行于y 轴时，如何求P 1，P 2的距离？提示：当P 1P 2平行于x 轴时，|P 1P 2|＝|x 2－x 1|.当P 1P 2平行于y 轴时，|P 1P 2|＝|y 1－y 2|.5．式子x 2＋y 2的几何意义是什么？提示：x 2＋y 2表示点(x ，y )与原点(0,0)的距离．类型一 求两条直线的交点[例1] (1)直线x ＋2y －4＝0与直线2x －y ＋2＝0的交点坐标是( )A.(2,0)B.(2,1)C.(0,2)D.(1,2) (2)两直线2x ＋3y －k ＝0与x －ky ＋12＝0的交点在y 轴上，则k 的值为( )A.－24B.6C.±6D.24 [解析] (1)解方程组⎩⎨⎧ x ＋2y －4＝0，2x －y ＋2＝0，得⎩⎨⎧ x ＝0，y ＝2.即直线x ＋2y －4＝0与直线2x －y ＋2＝0的交点坐标是(0,2)．(2)在2x ＋3y －k ＝0中，令x ＝0，得y ＝k 3，在x －ky ＋12＝0中，令x ＝0，得y ＝12k ，所以12k ＝k 3，解得k ＝±6.[答案] (1)C (2)C解二元一次方程组的常用方法有代入消元法和加减消元法.(1)若一条直线的方程是斜截式，常常应用代入消元法解方程组.(2)若直线的方程都是一般式，常常应用加减消元法解方程组.[变式训练1] 判断下列各组直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标：(1)l 1：5x ＋4y －2＝0，l 2：2x ＋y ＋2＝0.(2)l 1：2x －6y ＋3＝0，l 2：y ＝13x ＋12.(3)l 1：2x －6y ＝0，l 2：y ＝13x ＋12.解：(1)解方程组⎩⎨⎧5x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－103，y ＝143. 所以l 1与l 2相交，且交点坐标为－103，143. (2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －6y ＋3＝0，①y ＝13x ＋12，②②×6整理得2x －6y ＋3＝0. 因此，①和②可以化成同一个方程，即①和②表示同一条直线，l 1与l 2重合．(3)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －6y ＝0，①y ＝13x ＋12，②②×6－①得3＝0，矛盾． 方程组无解，所以两直线无公共点，l 1∥l 2.类型二 求过两条直线交点的直线方程[例2] 已知两直线l 1：3x ＋4y －2＝0和l 2：2x ＋y ＋2＝0.(1)求两直线的交点；(2)求过两直线的交点和坐标原点的直线l 的方程．[解] (1)由方程组⎩⎨⎧ 3x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，解得⎩⎨⎧ x ＝－2，y ＝2.即l 1与l 2的交点坐标为(－2,2)．(2)解法1：∵直线过点(－2,2)和坐标原点，∴其斜率k ＝2－2＝－1，∴直线方程为y ＝－x ，一般式为x ＋y ＝0.解法2：∵l 2不过原点，∴可设l 的方程为3x ＋4y －2＋λ(2x ＋y ＋2)＝0(λ∈R )，即(3＋2λ)x ＋(4＋λ)y ＋2λ－2＝0，将原点坐标(0,0)代入上式，解得λ＝1，∴l 的方程为5x ＋5y ＝0，即x ＋y ＝0.解法2用到过两直线交点的直线系方程，避免了求两直线的交点.选择不同的方法求解题目，可以训练自己的解题思路，使思路更开阔.[变式训练2] 求经过两直线2x －3y －3＝0和x ＋y ＋2＝0的交点且与直线3x ＋y －1＝0平行的直线l 的方程．解：方法1：由方程组⎩⎨⎧ 2x －3y －3＝0，x ＋y ＋2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－35，y ＝－75.∵直线l 和直线3x ＋y －1＝0平行， ∴直线l 的斜率k ＝－3.∴根据点斜式有y －(－75)＝－3[x －(－35)]，即所求直线方程为15x ＋5y ＋16＝0.方法2：∵直线l 过两直线2x －3y －3＝0和x ＋y ＋2＝0的交点，∴设直线l 的方程为2x －3y －3＋λ(x ＋y ＋2)＝0，即(λ＋2)x ＋(λ－3)y ＋2λ－3＝0.∵直线l 与直线3x ＋y －1＝0平行，∴λ＋23＝λ－31≠2λ－3－1，解得λ＝112. 从而所求直线方程为15x ＋5y ＋16＝0.类型三 两点间距离公式的应用[例3] 已知点A (－2,1)，B (1，－2)，直线y ＝2上一点P ，使|AP |＝|BP |，则P 点坐标为________．[解析] 设P (x,2)，∵点A (－2,1)，B (1，－2)，直线y ＝2上一点P ，使|AP |＝|BP |，∴(x ＋2)2＋(2－1)2＝(x －1)2＋(2＋2)2，解得x ＝2.∴P (2,2)．[答案] (2,2)已知所求点的相关信息及该点到某点的距离满足某些条件时，设出所求点的坐标，利用两点间距离公式建立关于所求点坐标的方程或方程组求解.[变式训练3] 已知点A (－1,2)，B (1,3)，P 在直线y ＝2x 上，求|P A |2＋|PB |2取得最小值时点P 的坐标．解析：设P点坐标为(x,2x)，∵|P A|2＋|PB|2＝(x＋1)2＋(2x－2)2＋(x －1)2＋(2x－3)2＝10x2－20x＋15＝10(x－1)2＋5，∴|P A|2＋|PB|2≥5.(当且仅当x＝1时取等号)∴当|P A|2＋|PB|2取得最小值5时，点P的坐标为(1,2)．类型四对称问题命题视角1：点关于点的对称问题[例4]已知不同的两点P(a，－b)与Q(b＋1，a－1)关于点(3,4)对称，则ab＝()A.－5B.14C.－14D.5[分析]利用中点坐标公式求解．[解析]由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a＋b＋12＝3，a－b－12＝4，即⎩⎨⎧a＋b＝5，a－b＝9，解得⎩⎨⎧a＝7，b＝－2，故ab＝7×(－2)＝－14.[答案] C点关于点的对称问题一般用中点坐标公式即可解决．[变式训练4]点(1，y)关于(－1,0)的对称点坐标是(x,2)，则x＝－3，y＝－2.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋x 2＝－1，y ＋22＝0得⎩⎨⎧ x ＝－3，y ＝－2.命题视角2：点关于线、线关于线的对称问题[例5] 已知直线l ：y ＝3x ＋3，求(1)点P (4,5)关于直线l 的对称点的坐标；(2)直线l 1：y ＝x －2关于直线l 对称的直线l 2的方程．[解] (1)设点P 关于直线l 的对称点为P ′(x ′，y ′)，则线段PP ′的中点M 在对称轴上，且直线PP ′垂直于对称轴，即⎩⎪⎨⎪⎧ y ′＋52＝3×x ′＋42＋3，y ′－5x ′－4×3＝－1，解得⎩⎨⎧ x ′＝－2，y ′＝7.所以点P ′的坐标是(－2,7)．(2)由题意，得l 1上任一点P 1(x 1，y 1)关于l 的对称点P 2(x 2，y 2)一定在l 2上，反之也成立．故⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 22＝3×x 1＋x 22＋3，y 1－y 2x 1－x 2×3＝－1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－45x 2＋35y 2－95，y 1＝35x 2＋45y 2＋35. 把(x 1，y 1)代入y ＝x －2，整理得7x 2＋y 2＋22＝0，所以直线l 2的方程为7x ＋y＋22＝0.(1)点A (x 0，y 0)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的对称点M (x ，y )可由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y －y 0x －x 0·⎝ ⎛⎭⎪⎫－A B ＝－1(AB ≠0)，A ·x ＋x 02＋B ·y ＋y 02＋C ＝0求得．(2)求直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称的直线l 2的方程的方法：转化为点关于直线对称，在l 1上任取两点P 1和P 2，求出P 1，P 2关于l 的对称点，再用两点式可求出l 2的方程．[变式训练5] 已知两点A (3，－3)，B (5,1)，直线l ：y ＝x ，在直线l 上求一点P 使|P A |＋|PB |最小．解：如图，作点A 关于直线l 的对称点A ′，易知A ′(－3,3)．连接BA ′交直线l 于点P ，则|P A |＋|PB |＝|P A ′|＋|PB |＝|A ′B |.又直线A ′B 的方程为x ＋4y －9＝0，与y ＝x 联立解得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫95，95.1．直线x ＋2y －2＝0与直线2x ＋y －3＝0的交点坐标是( C )A.(4,1)B.(1,4)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，43 解析：由方程组⎩⎨⎧ x ＋2y －2＝0，2x ＋y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝43，y ＝13.即直线x ＋2y －2＝0与直线2x ＋y －3＝0的交点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13. 2．已知M (2,1)，N (－1,5)，则|MN |等于( A )A.5B.37C.13D.4 解析：|MN |＝(2＋1)2＋(1－5)2＝5.3．经过直线2x －y ＋4＝0与x －y ＋5＝0的交点，且垂直于直线x －2y ＝0的直线方程是( A )A.2x ＋y －8＝0B.2x －y －8＝0C.2x ＋y ＋8＝0D.2x －y ＋8＝0解析：首先解得交点坐标为(1,6)，再根据垂直关系得斜率为－2，可得方程y －6＝－2(x －1)，即2x ＋y －8＝0.4．已知两条直线l 1：ax ＋3y －3＝0，l 2：4x ＋6y －1＝0，若l 1与l 2相交，则实数a 满足的条件是a ≠2.解析：l 1与l 2相交则有：a 4≠36，∴a ≠2.5．已知△ABC 的三个顶点的坐标是A (－3,1)，B (3，－3)，C (1,7)．(1)判断△ABC 的形状；(2)求△ABC 的面积．解：(1)因为|AB |＝(3＋3)2＋(－3－1)2＝213，|AC|＝(1＋3)2＋(7－1)2＝213，又|BC|＝(1－3)2＋(7＋3)2＝226，所以|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|，所以△ABC是等腰直角三角形．(2)△ABC的面积S△ABC＝12|AC|·|AB|＝12×213×213＝26.——本课须掌握的两大问题1．过两条直线交点的直线系方程：过两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程是A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x ＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但此方程中不含l2；一般形式是m(A1x＋B1y＋C1)＋n(A2x＋B2y＋C2)＝0(m2＋n2≠0)，是过l1与l2交点的所有直线方程．2．坐标平面内两点间的距离公式，是解析几何中的最基本最重要的公式之一，利用它可以求平面上任意两个已知点间的距离．反过来，已知两点间的距离也可以根据条件求其中一个点的坐标．。
两条直线的交点坐标的教学设计
3.3.1两条直线的交点坐标的教学设计（3课时）主备教师：谢太正一、内容及其解析本节课是在“直线的方程、直线的位置关系”等内容的基础上，进一步研究“两条直线的交点”的，它是前面所学内容的巩固与深化，也是后继学习曲线关系的基础．本节课的教学任务就是通过几何直观，理解直线交点与方程组的解之间的关系，掌握用解方程组的方法求出交点坐标．二、目标及其解析目标：1、会求两条直线的交点坐标；2、会解二元一次方程组。
解析:求两直线的交点坐标，只需写出这两条直线的方程，然后联立求解.两条直线是否有交点，就要看这两条直线所组成的方程组是否有唯一解；若方程组有唯一解，则两直线相交，交点坐标即为方程组的解；若无解，则两直线平行；若有无数解，则两直线重合.三、问题诊断与分析两条直线的交点坐标实际上就是对应二元一次方程组的解，所以，求交点坐标的关键就是求对应二元一次方程组的解，方程组有唯一解，则此解就是两条直线的交点，若方程组无解，则两条直线平行，而两点间的距离勾股定理的应用，所以，在课堂教学中，应先复习二元一次方程组的解法和勾股定理，以便为本节课的学习做准备。
在整堂课中学生经历了用代数方法刻画两直线关系交点的过程（由数到形），让学生真正了解解析几何解决问题的基本方法，体会到了“数形结合”的思想．这对于学生理解解析几何、领悟数学具有着重要的意义．四、教学支持条件分析教学过程支持多媒体辅助教学，多媒体用于问题的呈现及旧知的复习，以加大课堂教学的容量，加快教学进度。
五、教学设计（一）复习准备：1.如何用代数方法求二元一次方程组的解? 解方程组3420,220.x y x y +-=⎧⎨++=⎩ 2.直线的一般式方程与二元一次方程之间有什么关系？（二）探究新知1．探究：两条直线的交点坐标阅读教材第102—103页内容，回答问题（两直线交点坐标）问题1：已知两直线0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l 相交，如何求这两条直线的交点坐标？（设计意图：明确研究对象：探索两条直线的交点坐标）小问题1：填右表，说说直线上的点与其方程AX+BY+C=0的解有什么样的关系？（设计意图：让学生明确直线上的点与方程之间的关系)小问题2：两条直线方程所组成的二元一次方程组的解的个数与直线的位置关系有什么联系？（设计意图：深入理解方程组的解与直线的位置之间的关系)结论：<1>求两直线的交点坐标，只需写出这两条直线的方程，然后联立求解.由于交点同时在这两条直线上，交点的坐标一定是这两个方程的唯一公共解，那么以这个解为坐标的点必定是这两条直线的交点.因此，两条直线是否有交点，就要看这两条直线所组成的方程组是否有唯一解；<2>若方程组有唯一解，则两直线相交，交点坐标即为方程组的解；若无解，则两直线平行；若有无数解，则两直线重合.小问题3：请同学们解下列方程组：①⎩⎨⎧=+=-.124,732y x y x ②2640,220.x y x y -+=⎧⎨-+=⎩ ③⎩⎨⎧=-+=-+.0142,012y x y x 如何根据两直线的方程的系数之间的关系来判定两直线的位置关系呢？结论：对于直线0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l ，0,0222111≠≠C B A C B A ,12122111112222121221222 ()(0)k k A B A B A B C l l k A B C b b B C B C A B C ==⎧⎧⇔⇔=≠≠⇔⎨⎨≠≠⎩⎩与平行斜率存在12122111112222121221222 ()(0)k k A B A B A B C l l A B C b b B C B C A B C k ==⎧⎧⇔⇔==≠⇔⎨⎨==⎩⎩与重合斜率存在11121222122122 ()(0)A B l l k k A B A B A B A B k ⇔≠⇔≠≠⇔≠与相交斜率存在特别地：应用1例1：课本P103例1例2：课本P103例2变式训练：已知两直线 l 1：2x-3y-3=0，l 2：x+y+2=0.（1）求两直线的交点；(2) 求过该点且与直线l 3：3x+y-1=0平行的直线方程.121212121()0l l k k A A B B k ⊥⇔=-⇔+=斜率存在2. 探究：当λ变化时，方程表示什么图形？图形有什么特点？六、课堂小结：一般地,将两条直线的方程联立,得方程组⎩⎨⎧=++=++00222111C y B x A C y B x A ,若方程组有唯一解,则这两条直线有 个交点,此时两直线的位置关系为_______________;若方程组无解,则这两条直线有__________交点,此时两条直线的位置关系为_____________.若方程组有无数个解,则这两条直线有__________交点,此时两条直线的位置关系为_____________.七、目标检测设计1.直线0153=-+y x 和0534=-+y x 的交点是（ ）A ．)1,2(- B.)2,3(- C.)1,2(- D.(3,-2)2．不论m 为何实数，直线(m －1)x －y ＋2m ＋1＝0 恒过定点 （ ）（A ）(1, －21) （B ）(－2, 0) （C ）(2, 3) （D ）(－2, 3) 3.已知直线1l :0111=++C y B x A ,0:2222=++C y B x A l ,若1l 与2l 只有一个公共点,则有 ( )A. 02211≠-B A B AB.01221≠-B A B AC.2121B B A A ≠D.2211B A B A ≠ 4．直线方程为(3m ＋2)x ＋y ＋8=0, 若直线不过第二象限，则m 的取值范围是八、配餐作业A 组1． 若直线12++=k kx y 与直线221+-=x y 的交点在第一象限,则实数 k 的取值范围是( ) A.)21,61(- B.)21,21(- C.)21,0( D.),21()61,(+∞--∞ 2. 若三条直线相交于一点,0832:1=++y x l ;01:2=--y x l ;0:3=+ky x l 相交于一点,则k 的值是( )A.2-B.21-C.2D.21 3．若直线l ：0),(=y x f 不过点),(00y x ，则方程0),(),(00=-y x f y x f 表示 （A ）与l 重合的直线（B ）与l 平行的直线 （C ）与l 相交的直线 （D ）可能不表示直线4. 已知点P(－1, 0), Q(1, 0), 直线y ＝－2x ＋b 与线段PQ 相交，则b 的取值范围是A.[－2, 2]B.[－1, 1]C.[－21, 21] D.[0, 2] 5．已知点M(0, －1)，点N 在直线x －y ＋1＝0上，若直线MN 垂直于直线x ＋2y －3＝0，则点N 的坐标是 ( )A.(－2, －1)B.(2, 1)C.(2, 3)D.(－2, 3)6.求证：不论m 为何实数，直线l ：(21)(3)(11)0m x m y m --+--=恒过一定点，并求出此定点的坐标．7.求满足下列条件的直线方程：经过两直线2x-3y+10=0与3x+4y-2=0的交点，且和直线3x-2y+4=0垂直.B 组P109习题3.3的1、2、3、4、5。
人教高一数学教学设计之《3.3.1两条直线的交点坐标》
人教高一数学教学设计之《3.3.1两条直线的交点坐标》一. 教材分析《3.3.1两条直线的交点坐标》这一节内容，主要让学生了解两条直线的交点坐标的概念，掌握求解两条直线交点坐标的方法。
教材通过实例分析，引导学生探究并总结两条直线交点的性质，从而加深对坐标系中直线交点的理解。
二. 学情分析高一学生已经具备了一定的函数知识，对直线方程、坐标系等概念有一定的了解。
但学生在解决实际问题时，仍可能对直线交点的求解方法感到困惑。
因此，在教学过程中，需要关注学生的认知水平，引导学生通过观察、操作、思考、交流等方式，自主探索并掌握求解直线交点坐标的方法。
三. 教学目标1.理解两条直线的交点坐标的概念，掌握求解两条直线交点坐标的方法。
2.培养学生的观察能力、操作能力、思考能力和交流能力。
3.提高学生解决实际问题的能力，培养学生的数学素养。
四. 教学重难点1.重点：两条直线的交点坐标的概念及求解方法。
2.难点：如何引导学生发现并总结两条直线交点的性质，以及如何在实际问题中灵活运用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过实例分析，引导学生观察、操作、思考，激发学生的学习兴趣。
2.启发式教学法：教师提问，引导学生主动探究，培养学生的问题解决能力。
3.合作学习法：分组讨论，鼓励学生相互交流，提高学生的合作意识。
六. 教学准备1.准备相关的实例问题，用于引导学生观察和思考。
2.准备多媒体教学设备，如投影仪、电脑等。
3.准备练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示生活中的实际问题，如平面直角坐标系中两条直线的交点问题。
引导学生关注问题，激发学习兴趣。
2.呈现（10分钟）展示两条直线的交点坐标实例，引导学生观察并描述两条直线的交点特征。
教师通过提问，引导学生思考并总结两条直线交点的性质。
3.操练（10分钟）学生分组讨论，每组选取一个实例，尝试求解两条直线的交点坐标。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）教师出示一组练习题，学生独立完成，检验自己对直线交点坐标的理解和掌握程度。
高中数学必修二教案-两条直线的交点坐标示范
3.3 直线的交点坐标与距离公式3.3.1 两条直线的交点坐标整体设计教学分析本节课从知识内容来说并不是很难，但从解析几何的特点看，就需要培养学生如何利用直线方程来讨论其特点，得到直线交点，以及交点个数对应于直线在平面内的相对位置关系.在教学过程中应该围绕两直线一般方程的系数的变化来揭示两直线方程联立解的情况，从而判定两直线的位置特点，设置平面内任意两直线方程组解的情况的讨论，为课题引入寻求理论上的解释，使学生从熟悉的平面几何的直观定义深入到准确描述这三类情况.在教学过程中，应强调用交点个数判定位置关系与用斜率、截距判定两直线位置关系的一致性.三维目标1.掌握两直线方程联立方程组解的情况与两直线不同位置的对立关系，并且会通过直线方程系数判定解的情况，培养学生树立辩证统一的观点.2.当两条直线相交时，会求交点坐标.培养学生思维的严谨性，注意学生语言表述能力的训练.3.学生通过一般形式的直线方程解的讨论，加深对解析法的理解，培养转化能力.4.以“特殊”到“一般”，培养学生探索事物本质属性的精神，以及运动变化的相互联系的观点.重点难点教学重点:根据直线的方程判断两直线的位置关系和已知两相交直线求交点.教学难点:对方程组系数的分类讨论与两直线位置关系对应情况的理解.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.作出直角坐标系中两条直线，移动其中一条直线，让学生观察这两条直线的位置关系.课堂设问：由直线方程的概念，我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的关系，那如果两直线相交于一点，这一点与这两条直线的方程有何关系？你能求出它们的交点坐标吗？说说你的看法.思路2.你认为该怎样由直线的方程求出它们的交点坐标?这节课我们就来研究这个问题. 推进新课新知探究提出问题①已知两直线l 1:A 1x+B 1y+C 1=0,l 2:A 2x+B 2y+C 2=0,如何判断这两条直线的关系？②如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标与二元一次方程组有什关系？ ③解下列方程组(由学生完成)： (ⅰ)⎩⎨⎧=++=-+022,0243y x y x ; (ⅱ)⎪⎩⎪⎨⎧+==+-2131,0362x y y x ; (ⅲ)⎪⎩⎪⎨⎧+==-2131,062x y y x . 如何根据两直线的方程系数之间的关系来判定两直线的位置关系？④当λ变化时，方程3x+4y-2+λ(2x+y+2)=0表示什么图形，图形有什么特点？求出图形的交点坐标.讨论结果：①教师引导学生先从点与直线的位置关系入手，看下表，并填空.②学生进行分组讨论，教师引导学生归纳出两直线是否相交与其方程所组成的方程组的关系.设两条直线的方程是l 1:A 1x+B 1y+C 1=0,l 2:A 2x+B 2y+C 2=0,如果这两条直线相交,由于交点同时在这两条直线上,交点的坐标一定是这两个方程的唯一公共解,那么以这个解为坐标的点必是直线l 1和l 2的交点,因此,两条直线是否有交点,就要看这两条直线方程所组成的方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++0,0222111C y B x A C y B x A 是否有唯一解. (ⅰ)若二元一次方程组有唯一解，则l 1与l 2相交;(ⅱ)若二元一次方程组无解，则l 1与l 2平行;(ⅲ)若二元一次方程组有无数解，则l 1与l 2重合.即 直线l 1、l 2联立得方程组⎪⎩⎪⎨⎧⇔⎪⎩⎪⎨⎧.,,212121平行重合相交无解无穷多解唯一解转化、l l 、l l 、l l(代数问题) (几何问题)③引导学生观察三组方程对应系数比的特点： (ⅰ)23≠14;(ⅱ)21316312=--=;(ⅲ)16312--=≠211. 一般地，对于直线l 1:A 1x+B 1y+C 1=0，l 2:A 2x+B 2y+C 2=0(A 1B 1C 1≠0,A 2B 2C 2≠0),有 方程组⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⇔≠=⇔⇔==⇔⇔≠⇔⎪⎩⎪⎨⎧=++=++.,,002121212121212121212121222111平行无解重合无穷多解相交唯一解l l C C B B A A l l C C B B A A l l B B A A C y B x A C y B x A . 注意：(a)此关系不要求学生作详细的推导,因为过程比较繁杂，重在应用. (b)如果A 1,A 2,B 1,B 2,C 1,C 2中有等于零的情况，方程比较简单，两条直线的位置关系很容易确定.④(a)可以用信息技术，当λ取不同值时，通过各种图形，经过观察，让学生从直观上得出结论，同时发现这些直线的共同特点是经过同一点.(b)找出或猜想这个点的坐标，代入方程，得出结论.(c)结论：方程表示经过这两条直线l 1与l 2的交点的直线的集合.应用示例例1 求下列两直线的交点坐标,l 1：3x+4y-2=0,l 2：2x+y+2=0.解:解方程组⎩⎨⎧=++=-+,022,023y x y x 得x=-2，y=2，所以l 1与l 2的交点坐标为M(-2，2). 变式训练求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线方程.l 1:x-2y+2=0,l 2:2x-y-2=0. 解:解方程组x-2y+2=0,2x-y-2=0,得x=2,y=2,所以l 1与l 2的交点是(2,2).设经过原点的直线方程为y=kx,把点(2,2)的坐标代入以上方程,得k=1,所以所求直线方程为y=x.点评:此题为求直线交点与求直线方程的综合运用,求解直线方程也可应用两点式. 例2 判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点坐标.(1)l 1：x-y=0，l 2：3x+3y-10=0.(2)l 1：3x-y+4=0，l 2：6x-2y-1=0.(3)l 1：3x+4y-5=0，l 2：6x+8y-10=0.活动：教师让学生自己动手解方程组，看解题是否规范，条理是否清楚，表达是否简洁，然后再进行讲评.解:(1)解方程组⎩⎨⎧=-+=-,01033,0y x y x 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.35,35y x 所以l 1与l 2相交,交点是(35,35). (2)解方程组⎩⎨⎧=--=+-)2(,0126)1(,043y x y x ①×2-②得9=0,矛盾,方程组无解,所以两直线无公共点,l 1∥l 2.(3)解方程组⎩⎨⎧=-+=-+)2(,01086)1(,0543y x y x①×2得6x+8y-10=0. 因此,①和②可以化成同一个方程,即①和②表示同一条直线,l 1与l 2重合.变式训练判定下列各对直线的位置关系，若相交，则求交点.(1)l 1:7x+2y-1=0,l 2:14x+4y-2=0.(2)l 1:(3-2)x+y=7,l 2:x+(3+2)y-6=0.(3)l 1:3x+5y-1=0,l 2:4x+3y=5.答案：(1)重合，(2)平行，(3)相交，交点坐标为(2，－1).例3 求过点A(1，－4)且与直线2x ＋3y ＋5=0平行的直线方程.解法一：∵直线2x ＋3y ＋5=0的斜率为-32，∴所求直线斜率为-32.又直线过点A(1，－4)，由直线方程的点斜式易得所求直线方程为2x ＋3y ＋10=0. 解法二：设与直线2x ＋3y ＋5=0平行的直线l 的方程为2x ＋3y ＋m=0，∵l 经过点A(1，－4),∴2×1＋3×(－4)＋m=0.解之,得m=10.∴所求直线方程为2x ＋3y ＋10=0.点评：解法一求直线方程的方法是通法，须掌握.解法二是常常采用的解题技巧.一般地，直线Ax ＋By ＋C=0中系数A 、B 确定直线的斜率.因此，与直线Ax ＋By ＋C=0平行的直线方程可设为Ax ＋By ＋m=0，其中m 待定.经过点A(x 0，y 0)，且与直线Ax ＋By ＋C=0平行的直线方程为A(x －x 0)＋B(y －y 0)=0.变式训练求与直线2x ＋3y ＋5=0平行，且在两坐标轴上截距之和为65的直线方程. 答案：2x+3y-1=0.知能训练课本本节练习1、2.拓展提升问题：已知a 为实数，两直线l 1:ax+y+1=0,l 2:x+y-a=0相交于一点，求证:交点不可能在第一象限及x 轴上.分析：先通过联立方程组将交点坐标解出，再判断交点横、纵坐标的范围. 解:解方程组⎩⎨⎧=-+=++0,01a y x y ax ,得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=-+-=.11,112a a y a a x .若112-+a a ＞0，则a ＞1. 当a ＞1时，－11-+a a ＜0，此时交点在第二象限内. 又因为a 为任意实数时，都有a 2+1≥1＞0，故112-+a a ≠0. 因为a≠1(否则两直线平行，无交点)，所以交点不可能在x 轴上，交点(－11,112-+-+a a a a )不在x 轴上. 课堂小结本节课通过讨论两直线方程联立方程组来研究两直线的位置关系，得出了方程系数比的关系与直线位置关系的联系.培养了同学们的数形结合思想、分类讨论思想和转化思想.通过本节学习，要求学生掌握两直线方程联立方程组解的情况与两直线不同位置的对立关系，并且会通过直线方程系数判定解的情况，培养学生树立辩证统一的观点.当两条直线相交时，会求交点坐标.注意语言表述能力的训练.通过一般形式的直线方程解的讨论，加深对解析法的理解，培养转化能力.以“特殊”到“一般”，培养探索事物本质属性的精神，以及运动变化的相互联系的观点.作业课本习题3.3 A 组1、2、3,选做4题.设计感想本节课从知识内容来说并不是很难，但从解析几何的特点看，就需要培养学生如何利用直线方程来讨论其特点，得到直线交点，以及交点个数对应于直线在平面内的相对位置关系.在教学过程中应该围绕两直线一般方程的系数的变化来揭示两直线方程联立解的情况，从而判定两直线位置特点，其实质是直线方程Ax ＋By ＋C=0中A 、B 、C 就表示了直线的本质属性.还要注重研究方法的探讨，为学习下一章圆锥曲线时，对于曲线交点的研究打基础.。
3.3.1两条直线的交点坐标1
交点坐标
会用方程组的思想求两直线的交点。 会判断两直线的位置关系。 理解直线系的特征，并能应用解题。 加强数形结合思想和转化思想的应用。
直线有几种方程形式？点在直线上 如何断定？ 两直线的位置关系有哪几种？
如何判定两直线的平行垂直关系？
已知两条直线 l1 : A1 x B1 y C1 0 l2 : A2 x B2 y C2 0 相交, 如何求这两条直线交点 的坐标?
(x-y=0) 2：求经过原点且经过以下两条直线的交点的 直线方程:l1：x－2y+2=0，l2：2x－y－2=0. (用直线系的方法求解)
变式：求经过两条直线x+2y－1=0和2x－y－7=0
的交点，且垂直于直线x+3y－5=0的直线方程。
变式：求经过两条直线x+2y－1=0和2x－y－7=0的交点， 且垂直于直线x+3y－5=0的直线方程。
（ ，）
5 5 3 3
l1∥l2 l1与l2重合
已知两直线 l1:x+my+6=0, l2:(m-2)x+3y+2m=0， 问：当m为何值时，直线l1与l2： (1)相交，(2) 平行，(3) 垂直
1m 3且m 1
2m 1
1 3m 2
求直线3x+2y－1=0和2x－3y－5=0的交点M 的坐标，并证明方程： 3x+2y－1+λ（2x－3y－5）=0（λ为任意常 数）表示过M点的所有直线。
两条直线的交点：
如果两条直线A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0相 交，由于交点同时在两条直线上，交点坐标一定 A1x+B1y+C1=0 是它们的方程组成的方程组 A x+B y+C =0 2 2 2 A1x+B1y+C1=0 的解；反之，如果方程组 A2x+B2y+C2=0 只有一个解，那么以这个解为坐标的点就是直线 A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0的交点。
3.3.1两条直线的交点坐标
3.3.1 两条直线的交点坐标求两直线的交点求下列两条直线的交点坐标：l1：3x＋4y－2＝0，l2：2x＋y＋2＝0.1．求下列各对直线的交点坐标，并画出图形：(1)l1：2x＋3y＝12，l2：x－2y＝4；(2)l1：x＝2，l2：3x＋2y－12＝0.两条直线的位置关系的判断判定下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标．(1)l1：x－y＝0，l2：3x＋3y－10＝0；(2)l1：3x－y＋4＝0，l2：6x－2y－1＝0；(3)l1：3x＋4y－5＝0，l2：6x＋8y－10＝0.2．判断下列各对直线的位置关系．如果相交，求出交点的坐标：(1)2x －y ＋7＝0，x ＋y ＝1；(2)x －3y －10＝0，y ＝x ＋53； (3)3x －5y ＋10＝0，9x －15y ＋30＝0.求两点间的距离已知点A (－1，2)，B (2，7)，在x 轴上求一点P ，使|P A |＝|PB |，并求|P A |的值．3．求下列两点间的距离：(1)A (6，0)，B (－2，0)；(2)C (0，－4)，D (0，－1)；(3)P (6，0)，Q(0，－2)；(4)M (2，1)，N(5，－1)．坐标法证明几何问题证明：平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和．4．证明：直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等．若三条直线l 1：ax ＋y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋1＝0，l 3：x ＋y ＋a ＝0能构成三角形，则a 应满足的条件是( )A ．a ＝1或a ＝－2B ．a ≠±1C ．a ≠1且a ≠－2D ．a ≠±1且a ≠－25．直线y ＝2x ＋10，y ＝x ＋1，y ＝ax －2交于一点，则a 的值为( )A ．12B ．－12C ．23D ．－23某县相邻两镇在一平面直角坐标系下的坐标为A (1，2)，B (4，0)，一条河所在直线方程为l ：x ＋2y －10＝0，若在河边l 上建一座供水站P 使之到A ，B 两镇的管道最省，问供水站P 应建在什么地方？此时|P A |＋|PB |为多少？A组训练1．已知点A(－3，4)和B(0，b)，且|AB|＝5，则b等于()A．0或8 B．0或－8C．0或6 D．0或－62．经过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点，且垂直于直线x－2y＝0的直线方程是() A．2x＋y－8＝0 B．2x－y－8＝0C．2x＋y＋8＝0 D．2x－y＋8＝03．若过点A(4，a)和点B(5，b)的直线与直线y＝x＋m平行，则|AB|的值为()A．6 B． 2C．2 D．不能确定4.已知A(2，1)，B(3，2)，C(－1，4)，则△ABC是()A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形5．点P(2，5)关于直线x＋y＝0的对称点的坐标是()A．(5，2) B．(2，5)C．(－5，－2) D．(－2，5)6．直线y＝ax＋1与y＝x＋b交于点(1，1)，则a＝________，b＝________．7．直角坐标平面上连接点(－2，5)和点M的线段的中点是(1，0)，那么点M到原点的距离为________．8．经过两条直线2x －3y ＋10＝0和3x ＋4y －2＝0的交点，且垂直于直线3x －2y ＋4＝0的直线的方程为________．9．(1)求在x 轴上与点A (5，12)的距离为13的点的坐标；(2)已知点P 的横坐标是7，点P 与点N(－1，5)间的距离等于10，求点P 的纵坐标．10．求经过两直线2x ＋y －8＝0与x －2y ＋1＝0的交点，且在y 轴上的截距为x 轴上截距的2倍的直线l 的方程．B 组训练1．已知A (－3，8)，B (2，2)，在x 轴上有一点M ，使得|MA |＋|MB |最短，则点M 的坐标是( )A ．(－1，0)B ．(1，0)C ．(225，0) D ．(0，225)2．若三条直线x＋y＋1＝0，2x－y＋8＝0和ax＋3y－5＝0共有三个不同的交点，则实数a 应满足的条件是________．3．已知AO是△ABC边BC的中线，求证：|AB|2＋|AC|2＝2(|AO|2＋|OC|2)．4．已知两点A(－2，4)，B(4，2)和直线l：y＝kx－2.(1)求直线l恒过的定点P的坐标；(2)若直线l与线段AB相交，试求k的取值范围．3.3.1 两条直线的交点坐标参考答案求两直线的交点求下列两条直线的交点坐标：l 1：3x ＋4y －2＝0，l 2：2x ＋y ＋2＝0.[解] 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2.所以，l 1与l 2的交点坐标是M (－2，2)．1．求下列各对直线的交点坐标，并画出图形：(1)l 1：2x ＋3y ＝12，l 2：x －2y ＝4；(2)l 1：x ＝2，l 2：3x ＋2y －12＝0.解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝12，x －2y ＝4，解得⎩⎨⎧x ＝367，y ＝47， ∴交点坐标为(367，47)．如图(1)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，3x ＋2y －12＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3， ∴交点坐标为(2，3)，如图(2)．两条直线的位置关系的判断判定下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标．(1)l 1：x －y ＝0，l 2：3x ＋3y －10＝0；(2)l 1：3x －y ＋4＝0，l 2：6x －2y －1＝0；(3)l 1：3x ＋4y －5＝0，l 2：6x ＋8y －10＝0.[解] (1)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝03x ＋3y －10＝0， 得⎩⎨⎧x ＝53y ＝53. 所以，l 1与l 2相交，交点坐标是M (53，53)． (2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＋4＝0， ①6x －2y －1＝0， ②①×2－②得9＝0，矛盾，方程组无解，所以两直线无公共点，l 1∥l 2.(3)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －5＝0， ①6x ＋8y －10＝0， ②①×2得6x ＋8y －10＝0.因此，①和②可以化成同一个方程，即①和②表示同一条直线，l 1与l 2重合．2．判断下列各对直线的位置关系．如果相交，求出交点的坐标：(1)2x －y ＋7＝0，x ＋y ＝1；(2)x －3y －10＝0，y ＝x ＋53； (3)3x －5y ＋10＝0，9x －15y ＋30＝0.解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋7＝0，x ＋y ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3.所以两直线相交，交点坐标为(－2，3)．(2)两直线方程分别化为y ＝13x －103， y ＝13x ＋53.由斜率相等，纵截距不等知两直线平行． (3)将3x －5y ＋10＝0的两边同乘以3得，9x－15y＋30＝0，与第二个方程完全相同，故两直线重合．求两点间的距离已知点A(－1，2)，B(2，7)，在x轴上求一点P，使|P A|＝|PB|，并求|P A|的值．[解]设所求点为P(x，0)，∵|P A|＝|PB|，∴（x＋1）2＋（0－2）2＝（x－2）2＋（0－7）2，∴x2＋2x＋5＝x2－4x＋11，解得x＝1.∴所求点为P(1，0)，|P A|＝（1＋1）2＋（0－2）2＝2 2.3．求下列两点间的距离：(1)A(6，0)，B(－2，0)；(2)C(0，－4)，D(0，－1)；(3)P(6，0)，Q(0，－2)；(4)M(2，1)，N(5，－1)．解：(1)|AB|＝[6－（－2）]2＋（0－0）2＝8.(2)|CD|＝（0－0）2＋[－4－（－1）]2＝3.(3)|P Q|＝（6－0）2＋[0－（－2）]2＝210.(4)|M N|＝（2－5）2＋[1－（－1）]2＝13.坐标法证明几何问题证明：平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和．[证明]如图所示，以顶点A为坐标原点，AB边所在直线为x轴，建立直角坐标系，有A(0，0)．设B(a，0)，D(b，c)，由平行四边形的性质得点C的坐标为(a＋b，c)．因为|AB|2＝a2，|CD|2＝a2，|AD|2＝b2＋c2，|BC |2＝b 2＋c 2，|AC |2＝(a ＋b )2＋c 2，|BD |2＝(b －a )2＋c 2.所以|AB |2＋|CD |2＋|AD |2＋|BC |2＝2(a 2＋b 2＋c 2)，|AC |2＋|BD |2＝2(a 2＋b 2＋c 2)．所以|AB |2＋|CD |2＋|AD |2＋|BC |2＝|AC |2＋|BD |2.因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和．4．证明：直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等．证明：以两直角边OA ，OB 所在直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，C 为AB 的中点，设A (a ，0)，B (0，b )，则C (a 2，b 2)． ∴|OC |＝（a 2）2＋（b 2）2＝12 a 2＋b 2，|AB |＝ a 2＋b 2. ∴|OC |＝12|AB |， 即直角三角形斜边上的中点到三个顶点的距离相等．若三条直线l 1：ax ＋y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋1＝0，l 3：x ＋y ＋a ＝0能构成三角形，则a 应满足的条件是( )A ．a ＝1或a ＝－2B ．a ≠±1C ．a ≠1且a ≠－2D ．a ≠±1且a ≠－2[解析] 为使三条直线能构成三角形，需三条直线两两相交且不共点．(1)若三条直线交于一点，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋ay ＋1＝0，x ＋y ＋a ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－a －1，y ＝1，将l 2，l 3 的交点(－a －1，1)代入l 1的方程解得a ＝1或a ＝－2①；(2)若l 1∥l 2，则由a ×a －1×1＝0， 得a ＝±1②，当a ＝1时，l 1与l 2重合；(3)若l 2∥l 3，则由1×1－a ×1＝0， 得a ＝1，当a ＝1时，l 2与l 3重合； (4)若l 1∥l 3，则由a ×1－1×1＝0， 得a ＝1，当a ＝1时，l 1与l 3重合． 综上，当a ＝1时，三条直线重合；当a ＝－1时，l 1∥l 2；当a ＝－2时，三条直线交于一点， 所以要使三条直线能构成三角形，需a ≠±1且a ≠－2.[答案] D5．直线y ＝2x ＋10，y ＝x ＋1，y ＝ax －2交于一点，则a 的值为( ) A ．12B ．－12C ．23D ．－23解析：选C ．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋10y ＝x ＋1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－9y ＝－8，把点(－9，－8)代入y ＝ax －2，得－8＝－9a －2， 解得a ＝69＝23.某县相邻两镇在一平面直角坐标系下的坐标为A (1，2)，B (4，0)，一条河所在直线方程为l ：x ＋2y －10＝0，若在河边l 上建一座供水站P 使之到A ，B 两镇的管道最省，问供水站P 应建在什么地方？此时|P A |＋|PB |为多少？[解]如图所示，过A 作直线l 的对称点A ′，连接A ′B 交l 于P ，因为若P ′(异于P )在直线l 上，则|AP ′|＋|BP ′|＝|A ′P ′|＋|BP ′|>|A ′B |.因此，供水站只能在点P 处，才能取得最小值． 设A ′(a ，b )，则AA ′的中点在l 上，且AA ′⊥l ， 即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋12＋2×b ＋22－10＝0，b －2a －1·（－12）＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝6，即A ′(3，6)，所以直线A ′B 的方程为6x ＋y －24＝0， 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋y －24＝0，x ＋2y －10＝0，得⎩⎨⎧x ＝3811，y ＝3611.所以P 点的坐标为(3811，3611)．故供水站应建在点P (3811，3611)处，此时|P A |＋|PB |＝|A ′B |＝（3－4）2＋（6－0）2＝37.A 组训练1．已知点A (－3，4)和B (0，b )，且|AB |＝5，则b 等于( ) A ．0或8 B ．0或－8 C ．0或6 D ．0或－6 解析：选A ．由|AB |＝5得（－3－0）2＋（4－b ）2＝5，所以(4－b )2＝16， ∴4－b ＝±4， ∴b ＝0或b ＝8.2．经过直线2x －y ＋4＝0与x －y ＋5＝0的交点，且垂直于直线x －2y ＝0的直线方程是( ) A ．2x ＋y －8＝0 B ．2x －y －8＝0 C ．2x ＋y ＋8＝0 D ．2x －y ＋8＝0解析：选A ．由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋4＝0x －y ＋5＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝6，故过点(1，6)与x －2y ＝0垂直的直线为y －6＝－2(x －1)，即2x ＋y －8＝0.3．若过点A (4，a )和点B (5，b )的直线与直线y ＝x ＋m 平行，则|AB |的值为( ) A ．6B ． 2C ．2D ．不能确定解析：选B ．因为直线AB 与y ＝x ＋m 平行，则b －a5－4＝1，即b －a ＝1，|AB |＝（4－5）2＋（a －b ）2＝ 2.4.已知A (2，1)，B (3，2)，C (－1，4)，则△ABC 是( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形 解析：选A ．∵|AB |＝（2－3）2＋（1－2）2＝2，|BC |＝（3＋1）2＋（2－4）2＝20， |AC |＝（2＋1）2＋（1－4）2＝18，所以|AB |2＋|AC |2＝|BC |2， 所以△ABC 为直角三角形．5．点P (2，5)关于直线x ＋y ＝0的对称点的坐标是( ) A ．(5，2) B ．(2，5) C ．(－5，－2) D ．(－2，5) 解析：选C ．设对称点P ′(x ，y )， 则⎩⎪⎨⎪⎧y －5x －2＝1x ＋22＋y ＋52＝0，∴x ＝－5，y ＝－2.6．直线y ＝ax ＋1与y ＝x ＋b 交于点(1，1)，则a ＝________，b ＝________． 解析：因为直线y ＝ax ＋1与y ＝x ＋b 的交点为(1，1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＝a ＋11＝1＋b ⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ＝0.答案：0 07．直角坐标平面上连接点(－2，5)和点M 的线段的中点是(1，0)，那么点M 到原点的距离为________．解析：设M 的坐标为(x ，y )， 则⎩⎪⎨⎪⎧－2＋x 2＝15＋y 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝－5，所以|OM |＝42＋（－5）2＝41.答案：418．经过两条直线2x －3y ＋10＝0和3x ＋4y －2＝0的交点，且垂直于直线3x －2y ＋4＝0的直线的方程为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋10＝03x ＋4y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝2，垂直于直线3x －2y ＋4＝0的直线的斜率为－23，故所求的直线方程为y －2＝－23(x ＋2)，即2x ＋3y －2＝0.答案：2x ＋3y －2＝09．(1)求在x 轴上与点A (5，12)的距离为13的点的坐标；(2)已知点P 的横坐标是7，点P 与点N(－1，5)间的距离等于10，求点P 的纵坐标． 解：(1)设x 轴上的点为B (x ，0)， 由|AB |＝13， 得（x －5）2＋（0－12）2＝13，∴(x －5)2＝25， ∴x －5＝5或x －5＝－5. ∴x ＝10或x ＝0，即点B 的坐标为(10，0)或(0，0)．(2)设点P 的纵坐标为y ，即P (7，y )． 由于|P N|＝10， ∴[7－（－1）]2＋（y －5）2＝10，∴(y －5)2＝36，∴y －5＝6或y －5＝－6，从而y ＝11或y ＝－1， ∴P 点的纵坐标为11或－1.10．求经过两直线2x ＋y －8＝0与x －2y ＋1＝0的交点，且在y 轴上的截距为x 轴上截距的2倍的直线l 的方程．解：(1)2x ＋y －8＝0在x 轴、y 轴上的截距分别是4和8，符合题意． (2)当l 的方程不是2x ＋y －8＝0时， 设l ：(x －2y ＋1)＋λ(2x ＋y －8)＝0， 即(1＋2λ)x ＋(λ－2)y ＋(1－8λ)＝0. 据题意，1＋2λ≠0，λ－2≠0. 令x ＝0，得y ＝－1－8λλ－2；令y ＝0，得x ＝－1－8λ1＋2λ.所以－1－8λλ－2＝2·(－1－8λ1＋2λ)，解得λ＝18，此时直线l 的方程为2x －3y ＝0.综合(1)(2)，所求直线方程为2x ＋y －8＝0或2x －3y ＝0.B 组训练1．已知A (－3，8)，B (2，2)，在x 轴上有一点M ，使得|MA |＋|MB |最短，则点M 的坐标是( )A ．(－1，0)B ．(1，0)C ．(225，0)D ．(0，225)解析：选B ．A (－3，8)关于x 轴对称的点A ′(－3，－8)，A ′B 与x 轴的交点，就是使|MA |＋|MB |最短的M 点，直线A ′B 的方程为 y ＋82＋8＝x ＋32＋3， 当y ＝0时，得x ＝1， 即此时M 的坐标为(1，0)．2．若三条直线x ＋y ＋1＝0，2x －y ＋8＝0和ax ＋3y －5＝0共有三个不同的交点，则实数a 应满足的条件是________． 解析：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋1＝02x －y ＋8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3y ＝2，即两直线的交点坐标为(－3，2)． 依题意知，实数a 满足的条件为⎩⎨⎧a ·（－3）＋3×2－5≠0－a3≠－1－a 3≠2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ≠13a ≠3a ≠－6，即实数a 满足的条件为a ∈R ，且a ≠13且a ≠3且a ≠－6.答案：a ≠13且a ≠3且a ≠－63．已知AO 是△ABC 边BC 的中线，求证： |AB |2＋|AC |2＝2(|AO |2＋|OC |2)． 证明：以BC所在直线为x轴，BC的中点O为原点，建立平面直角坐标系，设B(－a，0)，C(a，0)，A(b，c)．则|AB|2＋|AC|2＝[b－(－a)]2＋(c－0)2＋(b－a)2＋(c－0)2＝2(a2＋b2＋c2)，|AO|2＋|OC|2＝b2＋c2＋a2.故|AB|2＋|AC|2＝2(|AO|2＋|OC|2)．4．已知两点A(－2，4)，B(4，2)和直线l：y＝kx－2.(1)求直线l恒过的定点P的坐标；(2)若直线l与线段AB相交，试求k的取值范围．解：(1)令x＝0，则y＝－2，所以不论k取什么值，直线l：y＝kx－2都过定点P(0，－2)．(2)直线l：y＝kx－2过定点P(0，－2)，所以k P A＝－2－40－（－2）＝－3，k PB＝－2－20－4＝1.如图所示，所以直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－3]∪[1，＋∞)．。
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3.3.1 两条直线的交点坐标
【教学目标】
1.掌握两直线方程联立方程组解的情况与两直线不同位置的对立关系，并且会通过直线方程系数判定解的情况，
2.当两条直线相交时，会求交点坐标.
3.学生通过一般形式的直线方程解的讨论，加深对解析法的理解，培养转化能力.
【重点难点】
教学重点:根据直线的方程判断两直线的位置关系和已知两相交直线求交点.
教学难点:对方程组系数的分类讨论与两直线位置关系对应情况的理解.
【教学过程】
导入新课
问题1.作出直角坐标系中两条直线，移动其中一条直线，让学生观察这两条直线的位置关系. 课堂设问：由直线方程的概念，我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的关系，那如果两直线相交于一点，这一点与这两条直线的方程有何关系？你能求出它们的交点坐标吗？说说你的看法.
问题2.你认为该怎样由直线的方程求出它们的交点坐标?这节课我们就来研究这个问题.
新知探究
提出问题
①已知两直线l 1:A 1x+B 1y+C 1=0,l 2:A 2x+B 2y+C 2=0,如何判断这两条直线的关系？
②如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标与二元一次方程组有什关系？
③解下列方程组(由学生完成)：
(ⅰ)⎩⎨⎧=++=-+022,0243y x y x ; (ⅱ)⎪⎩⎪⎨⎧+==+-2131,0362x y y x ; (ⅲ)⎪⎩
⎪⎨⎧+==-2131,062x y y x . 如何根据两直线的方程系数之间的关系来判定两直线的位置关系？
④当λ变化时，方程3x+4y-2+λ(2x+y+2)=0表示什么图形，图形有什么特点？求出图形的交点坐标. 讨论结果：①教师引导学生先从点与直线的位置关系入手，看下表，并填空.
②学生进行分组讨论，教师引导学生归纳出两直线是否相交与其方程所组成的方程组的关系.
设两条直线的方程是l 1:A 1x+B 1y+C 1=0,l 2:A 2x+B 2y+C 2=0,
如果这两条直线相交,由于交点同时在这两条直线上,交点的坐标一定是这两个方程的唯一公共解,那么以这个
解为坐标的点必是直线l 1和l 2的交点,因此,两条直线是否有交点,就要看这两条直线方程所组成的方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++0
,0222111C y B x A C y B x A 是否有唯一解. (ⅰ)若二元一次方程组有唯一解，则l 1与l 2相交;
(ⅱ)若二元一次方程组无解，则l 1与l 2平行;
(ⅲ)若二元一次方程组有无数解，则l 1与l 2重合.即
直线l 1、l 2联立得方程组⎪⎩⎪⎨⎧⇔⎪⎩⎪⎨⎧.
,,212121平行重合相交无解无穷多解唯一解转化、l l 、l l 、l l
(代数问题) (几何问题)
③引导学生观察三组方程对应系数比的特点：
(ⅰ)23≠1
4;(ⅱ)21316312=--=;(ⅲ)16312--=≠2
11. 一般地，对于直线l 1:A 1x+B 1y+C 1=0，l 2:A 2x+B 2y+C 2=0(A 1B 1C 1≠0,A 2B 2C 2≠0),有 方程组⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪
⎪⎨⎧⇔≠=⇔⇔==⇔⇔≠⇔⎪⎩⎪⎨⎧=++=++.,,002121212121212121212121222111平行无解重合无穷多解相交唯一解l l C C B B A A l l C C B B A A l l B B A A C y B x A C y B x A . 注意：(a)此关系不要求学生作详细的推导,因为过程比较繁杂，重在应用. (b )如果A 1,A 2,B 1,B 2,C 1,C 2中有等于零的情况，方程比较简单，两条直线的位置关系很容易确定.
④(a)可以用信息技术，当λ取不同值时，通过各种图形，经过观察，让学生从直观上得出结论，同时发现这些直线的共同特点是经过同一点.
(b)找出或猜想这个点的坐标，代入方程，得出结论.
(c)结论：方程表示经过这两条直线l 1与l 2的交点的直线的集合.
应用示例
例1 求下列两直线的交点坐标,l 1：3x+4y-2=0,l 2：2x+y+2=0.
解:解方程组⎩⎨⎧=++=-+,
022,023y x y x 得x=-2，y=2，所以l 1与l 2的交点坐标为M(-2，2).
变式训练
求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线方程.l 1:x-2y+2=0,l 2:2x-y-2=0.
解:解方程组x-2y+2=0,
2x-y-2=0,
得x=2,
y=2,所以l 1与l 2的交点是(2,2).
设经过原点的直线方程为y=kx,把点(2,2)的坐标代入以上方程,得k=1,所以所求直线方程为y=x.
点评:此题为求直线交点与求直线方程的综合运用,求解直线方程也可应用两点式.
例2 判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点坐标.。