第5章刚体力学基础 (2)

J m i ri
i 1
n
2
J
2 r dm
SI单位：kg . m
2 、转动惯量的计算：

若质量离散分布：
（质点，质点系）
J mi ri2
J r2 d m
若质量连续分布：
dm dl
其中：
dm dS
d m dV
说明
刚体的转动惯量与下列三个因素有关： （1）刚体的大小、形状； （2）刚体的质量分布情况； （3）给定轴的位置。所以在谈及刚体的转动惯量时，必须指 明是对哪个转轴而言。
B
xdm
L 2
L
C
x
x
B
L 2
JC x 2 d m
L 2 L 2
2 mL x 2 d x 12
例题5-4 （1）求质量为m，半径为R 的均匀圆环对中心轴的转 动惯量。（2）求质量为m半径为R 的均匀薄圆盘对中心轴的转 动惯量。 解: (1) 设质量线密度为λ
dm dl
d
P

z
F
F
F
o
r
P
M z r F
3、多个力作用于刚体 合力矩
M z M1z M 2 z M nz r1 F1 rn Fn
各外力作用点各不相同，外力对转轴的
刚体所受的合力矩等于各个力矩的矢量和。
可证：刚体中内力对给定轴的力矩的矢量和为零，只需考虑 外力矩的作用。
例题5-3 求长为L质量为m 的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量 解: 1）取A 点为坐标原点。在距A 点为x 处取dm= λdx 。
d J x 2 d m x 2 d x 2 L mL J A x 2 d x 0 3
2）取C 点为坐标原点。 在距C 点为x 处取dm 。
A
A
x dm
M z Fi ri sin i
i
J mi r 2 i
i
于是得
M z J
刚体的定轴转动定律
它表明：刚体绕定轴转动时，刚体对该轴的转动惯量与角加 速度的乘积，等于作用于刚体上所有外力对该轴力 矩的代数和。
1、转动定律适用条件：刚体定轴转动。
2、M 一定：作用不同刚体上，J 大时，β 小， 转速不宜 改变，转动惯性大。反之，J 小，转动惯性小。 — 转动惯量是物体转动惯性大小的量度。
M J
类比
F ma
3、刚体转动定律是解决刚体转动问题的重要定律。 应用时应注意以下问题： ① 力矩和转动惯量必须对同一转轴而言。 ② 选定转轴的正方向，以确定力矩或角加速度、 角速度的正负。 ③ 当系统中既有转动物体，又有平动物体时，用 隔离法解题。 对转动物体应用转动定律建立方 程， 对平动物体则用牛顿第二定律建立方程。
i
i
i
2 ( m r f r sin Fi ri sin i i i i i i )
i
i
i
因为内力中的任意对作用力和反作用力的力矩相加为零，所以 上式第二项
f r sin
i i i
i
0
而剩下的第一项正是刚体所受全部外力对转轴Oz的力矩的代 数和，即合外力矩。令
1 1 4 R mR2 2 2
圆柱、滑轮等
3、平行轴定理： 若有任一轴与过质心的轴平行，且两轴相距为d，刚体 对该轴的转动惯量为J，则有：
J J C md
两轴平行；
2
说明： JC 为刚体绕质心轴的转动惯量 d 为两平行轴间距离。 例 均匀圆盘对O 轴的转动惯量。
1 J C mR 2 2
质点的动能
1 2 Ek mv 2
当刚体既有平动又有绕质心轴的转动时，刚体的动能应是平 动动能和转动动能之和，其平动部分可理解为质心的运动。 此时刚体的动能为
1 1 2 2 Ek J mv C 2 2
如果把所研究的刚体看成是由许多质量元dm组成的质点系，任 一质量元到转轴的距离为r，则质量元的动能为
n n
整个刚体具有的动能为
1 1 n 2 2 Ek Eki mi ri (mi ri 2 ) 2 2 i 1 i 1 i 1 2
定义：
J m i ri
整个刚体以角速度ω绕定轴转动所具有的转动动能为
E k转
1 J 2 2
2

3 3g 2L
2)由v r得： v A L
L 3 3 gL 3 3 gL vB 2 8 2
5.2 定轴转动刚体的功和能
5.2.1、刚体的动能 当刚体作定轴转动时,各质量元具有相同的角速度,第i个质元的 动能为 1 1 1 2 2 2 2
Eki mi vi mi ( ri ) mi ri 2 2 2
而1＋ 2＋ 3 100 2
1t1
2
1t 2
1t 3
2
200
t2
200 1 (t1 t3 ) / 2
1
200 / 1 (t1 t3 ) / 2 182.9s
t t1 t 2 t 3 193.9s
求: 1) 棒自水平静止开始运动，θ = π / 3 时, 角速度ω ? 2) 此时端点A 和中点B 的线速度为多大? 解： 1) 棒做变加速运动：
o
d
C
1 J o mR2 md 2 2
4、垂直轴定理：
z
设一薄板如图所示，过其上一点作z轴垂直 于板面，x，y轴在平板面内，若取一质元 mi
则有
O
2 2 2
J z mi ri mi ( xi yi ) mi xi mi yi J x J y
注意：刚体平动时，运动轨迹不一定是直线。 3、刚体的转动 : 刚体上的各点绕同一直线做圆周运动。
定轴转动 :转轴在空间的位置固定不动。 特征： 1）各点的角位移、角速度、角加速度相同。 2）各点的线位移、线速度、线加速度不同。 4、刚体的一般运动：刚体的一般运动可看成是平动和转动的叠加
5.1.2、刚体定轴转动的角量描述 定轴转动只有两个转动方向。 规定 沿Ox 轴逆时针方向转动为正方向，反之为负方向。 角位置：
an R 2 0.1 482 230.4( m/s2 )
o
at R 0.1 48 4.8( m/s2 )
2 4 2) an R 14.4t at R 2.4t

tan45 at / an 1
此时砂轮的角度：
14.4t 4 2.4t
t 0.55s ( 舍去t = 0 和 t = -0.55s )
v r a n r 2

a r 2 4
线速度与角速度之间的矢量关系为:
v r
o r
v
例题5-1一半径为R = 0.1m 的砂轮作定轴转动，其角位置随时 间t 的变化关系为 = ( 2 + 4 t 3 ) rad ，式中 t 以秒计。试求： 1）在 t = 2s 时,砂轮边缘上一质点的法向加速度和切向加速度的大 小。2）当角 为多大时，该质点的加速度与半径成 45 o。 d d 2 24t 12 t 解： 1) dt dt
J R dm
2
2R
o
R
dm
0
R 2 d l
R2 2R mR2 质点作圆周运动、圆筒
(2) 设质量面密度为σ 取半径为 r 宽为d r 的薄圆环,
R
o
r
dr
d m d s 2 r d r
J r dm r 2 2rdr
2 0 R
O
i
P
i
ri
mi ain
mi ri 2
由于法向力的作用线穿过转轴，其力矩为零，故只讨论切向方程 对切向方程两边同乘以 ri ，可得
Fi ri sin i f i ri sin i mi ri 2
则有：
2 ( m r f r sin F r sin i i i i i i i i )
d 3 g cos dt 2L
d d d d d t d
O
3g cos , L 为棒长。 例题5-2一细棒绕O 点自由转动，并知 2L

B
3g d cosd 2L


0
d


3
0
3g cosd 2L
A
3g 3 3 sin g L 3 2L
(2 4t 3 ) 2 4 0.553 2.67(rad)
习题5-3 一飞轮从静止开始加速，在6s内其角速度均匀地增 加到200rad/min,然后以这个速度匀速旋转一段时间，再予以制 动，其角速度均匀减小。又过了5s后，飞轮停止了转动。若飞 轮总共转了100转，求共运转了多少时间？ 解：整个过程分为三个阶段 2 1t1 2 1 t 1 ①加速阶段 1 0 211 1 1 1 2 1 2 ②匀速阶段 2 1t 2 2 1t 3 1 2 3 ③制动阶段 1 3 t 3 1 2 3 3 2 3 2
第5章
刚体力学基础
本章重点：5.2；5.3
本章作业：5-4，5-5，5-6，5-8
5 .1 刚体运动学
5.1.1、刚体 平动与转动 1、刚体:在外力作用下形状和大小完全不变的物体为刚体。 刚体是一种理想模型。刚体上任两点间的距离始终保持不变
2、刚体的平动: 刚体上任意两点的连线在运动中保持平行,这种 运动称为刚体的平动。平动的刚体可当作质点, 质点力学的规律 适用。 特征： 各个质点的位移、速度、加速度相等。